2.3.2 点到直线的距离公式、两平行线直线间的距离讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦“点到直线的距离公式”与“两条平行直线间的距离”核心知识点，前承直线方程基础，通过定义推导点到直线距离公式，归纳点到特殊直线（如坐标轴、平行于坐标轴的直线）的距离，后接两条平行直线距离公式及综合运用，构建从概念到推导、从特殊到一般、从公式到应用的完整学习支架。 该资料以公式推导过程培养学生数学思维（推理能力），通过特殊与一般结合的距离归纳发展数学眼光（抽象能力），分层设计基础题型、综合题型及跟踪训练强化数学语言表达（应用意识）。课中例题与跟踪训练助力教师高效授课，课后练习题帮助学生巩固知识、查漏补缺，提升距离相关问题的解决能力。

2.3.2 点到直线的距离公式 两条平行直线间的距离 知识点一、点到直线的距离公式 1.点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不能同时为0)的距离：. 2.公式的推导 已知点P(x0，y0)，直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不能同时为0)，根据定义，点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，如图. 由可知的斜率为，垂线的方程为，与的方程联立得方程组，解得垂足的坐标为. 所以. 3.点到几种特殊直线的距离 （1）点P(x0，y0)到y轴的距离为|x0|. （2）点P(x0，y0)到与y轴平行的直线x=a（a≠0）的距离为|x0－a|. （3）点P(x0，y0)到x轴的距离为|y0|. （4）点P(x0，y0)到与x轴平行的直线y=b（b≠0）的距离为|y0－b|. 知识点二、两条平行直线间的距离公式及应用 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离为：. 题型一：点到直线的距离 例1.若点到直线的距离为，则( ) A. B. C. D.或 例2.已知坐标平面内两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则实数m的值为 ． 跟踪训练： 1.求点P(2，－3)到下列直线的距离． （1）y＝x＋； （2）03y＝4. 2.已知点，点在直线上，则的最小值是 A. B. C. D. 3.求垂直于直线x＋3y－5＝0且与点P(－1,0)的距离是的直线l的方程． 题型二：两条平行直线间的距离 例1.直线与直线间的距离为( ) A. B. C. D. 跟踪训练： 1.已知直线5x＋12y－3＝0与直线10x＋my＋20＝0平行，则它们之间的距离是(　　) A．1 B．2 C. D．4 2.已知直线l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是 ． 3.求两条平行直线3x＋4y－12＝0与mx＋8y＋6＝0之间的距离. 题型三：距离的综合运用 例1.已知在中，，，，若的中点到的距离大于到的距离，则实数的取值范围为 . 跟踪训练： 1.两条互相平行的直线分别过点和，并且各自绕着点旋转，如果两条平行直线间的距离为. （1）求的变化范围； （2）当取最大值时，求两条直线的方程. 2.已知△ABC的顶点坐标为A(1,1)，B(m，)，C(4,2)，1<m<4.当m为何值时，△ABC的面积S最大？ 1.点P(－1,2)到直线2x＋y－10＝0的距离为 ． 2.平行直线与间的距离为( ) A. B. C. D. 3.已知点(a，1)到直线x－y＋1＝0的距离为1，则a的值为(　　) A． B． C. 1 D．1 4.已知点M(1,2)，点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上，则|MP|的最小值是(　　) A. B. C. D. 5.（多选）若直线与直线的距离为，则的值为( ) A. B. C. D. 6.与直线和直线的距离相等的直线方程为 . 7.直线3x－4y－27＝0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是 . 8.与直线3x－4y＋1＝0垂直，且与点(－1，－1)距离为2的直线方程为 . 1.点到直线的距离为( ) A. B. C. D. 2.已知点(a，2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于(　　) A.2－ B. C. ＋1 D. －1 3.已知直线3x＋my－3＝0与6x＋4y＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是(　　 ) A. B. C. D.4 4.(多选)已知A(－2，－4)，B(1,5)两点到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值可能为(　　) A．－3 B．3 C．－2 D．1 5.直线l过点A(3,4)且与点B(－3,2)的距离最远，那么l的方程为(　　) A．3x＋y－13＝0 B．3x－y－13＝0 C．3x－y＋13＝0 D．3x＋y＋13＝0 6.原点到直线的距离的最大值为( ) A. B. C. D. 7.已知入射光线在直线l1：2x－y＝3上，经过x轴反射到直线l2上，再经过y轴反射到直线l3上．若点P是直线l1上某一点，则点P到直线l3的距离为(　　) A．6 B．3 C. D. 8.若倾斜角为的直线被直线与所截得的线段为，则的长为 . 9.若直线被两条平行直线与所截得的线段长为，则直线的倾斜角大小为 . 10.已知直线过点，且原点到直线的距离为1，则直线的方程为 . 11.已知点P在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为，则点P的坐标为 . 12.经过点P(－3,4)，且与原点的距离等于3的直线l的方程为 . 13.已知x＋y－3＝0，则的最小值为 . 14.已知正方形的中心为直线x－y＋1＝0和2x＋y＋2＝0的交点，正方形一边所在直线方程为x＋3y－2＝0，求其他三边所在直线的方程． 15.如图，平行四边形的面积为8.为原点，点的坐标为，点在第一象限. (1)求直线的方程； (2)若，求点的坐标. 16.已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2,0)，B(－2，－4)． (1)在直线l上求一点P，使|PA|＋|PB|最小； (2)在直线l上求一点P，使||PB|－|PA||最大． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3.2 点到直线的距离公式 两条平行直线间的距离 知识点一、点到直线的距离公式 1.点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不能同时为0)的距离：. 2.公式的推导 已知点P(x0，y0)，直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不能同时为0)，根据定义，点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，如图. 由可知的斜率为，垂线的方程为，与的方程联立得方程组，解得垂足的坐标为. 所以. 3.点到几种特殊直线的距离 （1）点P(x0，y0)到y轴的距离为|x0|. （2）点P(x0，y0)到与y轴平行的直线x=a（a≠0）的距离为|x0－a|. （3）点P(x0，y0)到x轴的距离为|y0|. （4）点P(x0，y0)到与x轴平行的直线y=b（b≠0）的距离为|y0－b|. 知识点二、两条平行直线间的距离公式及应用 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离为：. 题型一：点到直线的距离 例1.若点到直线的距离为，则( ) A. B. C. D.或 解：由题意得：解得或.故选：D. 例2.已知坐标平面内两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则实数m的值为 ． 解：由，得|3m＋5|＝|m－7|，∴m＝－6或m＝. 故答案为：m＝－6或m＝. 跟踪训练： 1.求点P(2，－3)到下列直线的距离． （1）y＝x＋； （2）03y＝4. 解：（1）y＝x＋可化为4x－3y＋1＝0，则点P(2，－3)到该直线的距离为 . （2）3y＝4可化为3y－4＝0，则点P(2，－3)到该直线的距离为. 2.已知点，点在直线上，则的最小值是 A. B. C. D. 解：的最小值即点到直线的距离.所以的最小值为. 故选：B. 3.求垂直于直线x＋3y－5＝0且与点P(－1,0)的距离是的直线l的方程． 解：设与直线x＋3y－5＝0垂直的直线的方程为3x－y＋m＝0，则由点到直线的距离公式知， d＝.所以|m－3|＝6，即m－3＝±6.得m＝9或m＝－3， 故所求直线l的方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0. 题型二：两条平行直线间的距离 例1.直线与直线间的距离为( ) A. B. C. D. 解：由直线方程知两直线平行. 方法1：取直线上一点，则点到直线的距离为，即直线间的距离为. 方法2：由两条平行直线间的距离公式可知，直线间的距离. 故选：A. 跟踪训练： 1.已知直线5x＋12y－3＝0与直线10x＋my＋20＝0平行，则它们之间的距离是(　　) A．1 B．2 C. D．4 解：由两条直线平行可得，解得m＝24.即5x＋12y＋10＝0，由两条平行线间的距离公式得d＝.故选：A. 2.已知直线l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是 ． 解：当两条平行直线与A，B两点的连线垂直时，两条平行直线间的距离最大．因为A(1,1)，B(0，－1)．所以kAB＝，所以两条平行直线的斜率为，所以直线l1的方程为y－1＝(x－1)，即x＋2y－3＝0.故答案为：x＋2y－3＝0. 3.求两条平行直线3x＋4y－12＝0与mx＋8y＋6＝0之间的距离. 解：由两直线平行得，∴m＝6. ∴直线6x＋8y＋6＝0即为3x＋4y＋3＝0. ∴两平行直线间的距离d＝. 题型三：距离的综合运用 例1.已知在中，，，，若的中点到的距离大于到的距离，则实数的取值范围为 . 解：的中点的坐标为，当直线，的斜率均存在时，且，由，得，直线的方程为， 即.同理得直线的方程为. 由点到的距离大于点到的距离，得， 解得，故此时且. 当直线的斜率不存在时，，直线的方程为， 直线的方程为，即， 点到的距离为. 又点到的距离为，，故满足题意. 同理可判断当直线的斜率不存在，即时，不满足题意. 综上，实数的取值范围为. 跟踪训练： 1.两条互相平行的直线分别过点和，并且各自绕着点旋转，如果两条平行直线间的距离为. （1）求的变化范围； （2）当取最大值时，求两条直线的方程. 解：（1）如图，显然有. 而.故所求的变化范围为. （2）由图可知，当取最大值时，两条直线与垂直.而， 所以所求直线的斜率为. 故所求的直线方程分别为和， 即和. 2.已知△ABC的顶点坐标为A(1,1)，B(m，)，C(4,2)，1<m<4.当m为何值时，△ABC的面积S最大？ 解：|AC|＝， 直线AC的方程为，即x－3y＋2＝0. 因为点B(m，)到直线AC的距离d＝， 所以△ABC的面积S＝|AC|·d＝. 因为1<m<4，所以1<<2，所以0<≤，0<S≤. 所以当＝，即m＝时，△ABC的面积S最大． 1.点P(－1,2)到直线2x＋y－10＝0的距离为 ． 解：由距离公式可得：.故答案为：. 2.平行直线与间的距离为( ) A. B. C. D. 解：由得，解得，则，即，所以与之间的距离为.故选：B. 3.已知点(a，1)到直线x－y＋1＝0的距离为1，则a的值为(　　) A． B． C. 1 D．1 解：由题意知，即|a|＝ ，∴a＝ .故选：A. 4.已知点M(1,2)，点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上，则|MP|的最小值是(　　) A. B. C. D. 解：点M到直线2x＋y－1＝0的距离，即为|MP|的最小值，所以|MP|的最小值为.故选：A. 5.（多选）若直线与直线的距离为，则的值为( ) A. B. C. D. 解：直线的方程可化为，由两平行直线间的距离公式， 得，解得或.故选：AB. 6.与直线和直线的距离相等的直线方程为 . 解：设该直线方程为，则由两平行直线之间的距离公式得， 解得，故该直线方程为.故答案为：. 7.直线3x－4y－27＝0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是 . 解：由题意知过点P作直线3x－4y－27＝0的垂线，设垂足为M，则|MP|最小， 直线MP的方程为y－1＝(x－2)，解方程组，解得：. ∴所求点的坐标为(5，－3)． 故答案为：(5，－3)． 8.与直线3x－4y＋1＝0垂直，且与点(－1，－1)距离为2的直线方程为 . 解：设所求直线方程为4x＋3y＋C＝0. 则，即|C－7|＝10.解得：C＝－3或C＝17. 故所求直线方程为4x＋3y－3＝0或4x＋3y＋17＝0. 故答案为：4x＋3y－3＝0或4x＋3y＋17＝0. 1.点到直线的距离为( ) A. B. C. D. 解：直线的方程可化为，由点到直线的距离公式得：. 故选：A. 2.已知点(a，2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于(　　) A.2－ B. C. ＋1 D. －1 解：由点到直线的距离公式，得1＝，即|a＋1|＝.因为a>0，所以a＝ －1. 故选：D. 3.已知直线3x＋my－3＝0与6x＋4y＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是(　　 ) A. B. C. D.4 解：∵3x＋my－3＝0与6x＋4y＋1＝0平行，∴，∴m＝2， 化6x＋4y＋1＝0为3x＋2y＋＝0，∴d＝.故选：C. 4.(多选)已知A(－2，－4)，B(1,5)两点到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值可能为(　　) A．－3 B．3 C．－2 D．1 解：由题意得，解得a＝－3或a＝3.故选：AB. 5.直线l过点A(3,4)且与点B(－3,2)的距离最远，那么l的方程为(　　) A．3x＋y－13＝0 B．3x－y－13＝0 C．3x－y＋13＝0 D．3x＋y＋13＝0 解：由已知可知，l是过A且与AB垂直的直线，∵kAB＝，∴kl＝－3， 由点斜式得，y－4＝－3(x－3)，即3x＋y－13＝0.故选：A. 6.原点到直线的距离的最大值为( ) A. B. C. D. 解：因为直线的方程可化为. 所以直线过直线与直线的交点， 解方程组得，所以直线过定点， 当时，原点到直线的距离最大，最大距离为，最大值为.故选：C. 7.已知入射光线在直线l1：2x－y＝3上，经过x轴反射到直线l2上，再经过y轴反射到直线l3上．若点P是直线l1上某一点，则点P到直线l3的距离为(　　) A．6 B．3 C. D. 解：如图所示， 结合图形可知，直线l1∥l3，则直线l1上一点P到直线l3的距离即为l1与l3之间的距离． 由题意知l1与l2关于x轴对称，故l2的方程为y＝－2x＋3，l2与l3关于y轴对称， 故l3的方程为y＝2x＋3.由两平行线间的距离公式，得l1与l3间的距离d＝. 即点P到直线l3的距离为. 故选：C. 8.若倾斜角为的直线被直线与所截得的线段为，则的长为 . 解：由题意，可得直线与直线垂直，则由两条平行直线间的距离公式，得.故答案为：. 9.若直线被两条平行直线与所截得的线段长为，则直线的倾斜角大小为 . 解：由两平行直线间的距离公式，得直线与间的距离.又直线被两平行直线与所截得的线段的长为，即直线与直线所成角为.又直线的倾斜角为，所以直线的倾斜角为或.故答案为：或. 10.已知直线过点，且原点到直线的距离为1，则直线的方程为 . 解：当直线过点，且斜率不存在时，直线的方程为，原点到直线的距离为1，满足题意.当直线过点，且斜率存在时： 由题意设直线的方程为，即. 因为原点到直线的距离为1，所以，解得. 所以直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或.故答案为：或. 11.已知点P在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为，则点P的坐标为 . 解：设点P的坐标为(a，5－3a)，由题意得，解得a＝1或2， 所以点P的坐标为(1,2)或(2，－1)．故答案为：(1,2)或(2，－1)． 12.经过点P(－3,4)，且与原点的距离等于3的直线l的方程为 . 解：(1)当直线l的斜率不存在时，原点到直线l：x＝－3的距离等于3，满足题意； (2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－4＝k(x＋3)， 即kx－y＋3k＋4＝0.原点到直线l的距离d＝＝3，解得k＝. 直线l的方程为7x＋24y－75＝0.综上可知，直线l的方程为x＝－3或7x＋24y－75＝0. 故答案为：x＝－3或7x＋24y－75＝0. 13.已知x＋y－3＝0，则的最小值为 . 解：设P(x，y)，A(2，－1)，则点P在直线x＋y－3＝0上， 且＝|PA|.|PA|的最小值为点A(2，－1)到直线x＋y－3＝0的距离 d＝.故答案为：. 14.已知正方形的中心为直线x－y＋1＝0和2x＋y＋2＝0的交点，正方形一边所在直线方程为x＋3y－2＝0，求其他三边所在直线的方程． 解：因为由得，所以中心坐标为(－1,0)． 所以中心到已知边的距离为. 设正方形相邻两边方程为x＋3y＋m＝0和3x－y＋n＝0. 因为正方形中心到各边距离相等，所以和. 所以m＝4或m＝－2(舍去)，n＝6或n＝0. 所以其他三边所在直线的方程为x＋3y＋4＝0,3x－y＝0,3x－y＋6＝0. 15.如图，平行四边形的面积为8.为原点，点的坐标为，点在第一象限. (1)求直线的方程； (2)若，求点的坐标. 解：(1)因为四边形是平行四边形，所以，所以. 设直线的方程为，即. 因为平行四边形的面积为8，，所以与间的距离为. 又直线的方程为，所以，解得. 由图可知，所以.故直线的方程为. （2）设点的坐标为.因为，所以. 所以，解得或.故点的坐标为或. 16.已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2,0)，B(－2，－4)． (1)在直线l上求一点P，使|PA|＋|PB|最小； (2)在直线l上求一点P，使||PB|－|PA||最大． 解：(1)设A关于直线l的对称点为A′(m，n)， 则,解得.故A′(－2,8)． 因为P为直线l上的一点，则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|， 当且仅当B，P，A′三点共线时，|PA|＋|PB|取得最小值，为|A′B|，点P即是直线A′B与直线l的交点，则，解得：. 故所求的点P的坐标为(－2,3)． (2)A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，则||PB|－|PA||≤|AB|， 当且仅当A，B，P三点共线时，||PB|－|PA||取得最大值，为|AB|，点P即是直线AB与直线l的交点，又直线AB的方程为y＝x－2，则，解得：. 故所求的点P的坐标为(12,10)． 1 学科网（北京）股份有限公司 $