专题2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系（高效培优讲义）数学人教A版高二选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学“直线与圆、圆与圆的位置关系”核心知识点，系统梳理位置关系判定（代数法、几何法）、切线方程、弦长计算、公共弦及公切线等内容，从基础概念到综合应用形成递进学习支架。 资料以数形结合为核心，通过10类题型（如位置关系判定、参数范围、切线问题）及即学即练、典例变式设计，培养学生几何直观（数学眼光）、逻辑推理（数学思维）和代数表达（数学语言），课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺。

专题2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系 教学目标 1. 理解直线与圆、圆与圆的五种位置关系，掌握利用圆心到直线的距离、圆心距判断位置关系的两种基本方法，会联立方程通过判别式判定直线和圆的位置。 2. 能运用位置关系求解切线方程、弦长、参数范围、两圆公共弦等问题，提升数形结合、代数运算转化几何问题的解题能力。 3. 体会几何直观与代数解析的联系，学会用坐标法研究几何，养成借助图形分析解析几何问题的思维习惯。 教学重难点 重点 1. 用圆心到直线的距离、圆心距判定直线与圆、圆与圆的位置关系。 2. 直线与圆相切时切线方程、弦长公式的理解与应用。 3. 两圆相交时公共弦直线方程、公共弦长的求解方法。 难点 1. 过圆外一点求圆的切线时漏解，含参直线与圆位置关系中参数范围的分类讨论。 2. 灵活选择几何法、代数法解决直线与圆的综合问题，合理规避复杂运算。 3. 两圆位置关系的临界辨析，区分两圆内含、内切、外切、外离的边界条件，处理动圆位置的动态问题。 知识点01 直线与圆的位置关系 1．直线与圆的位置关系： （1）直线与圆相交，有两个公共点；（2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有公共点． 2．直线与圆的位置关系的判定： （1）代数法： 判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解．如果___________，直线与圆C有公共点． 有两组实数解时，直线与圆C相交；有___________时，直线与圆C相切； ___________时，直线与圆C相离． （2）几何法： 由圆C的圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断： 当时，直线与圆C相交；当时，直线与圆C相切；当时，直线与圆C相离． 【即学即练】 1．已知直线l：与圆C：相切，且l关于x轴对称的直线与圆C有2个交点，则______． 2．（多选）已知直线，圆，点，则（    ） A．若在圆上，则直线与圆相交 B．若在圆内，则直线与圆相离 C．若在圆外，则直线与圆相交 D．若在直线上，则直线与圆相离 3．已知圆，直线，则圆上到直线的距离等于1的点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 知识点02 圆的切线方程的求法 1．点在圆上，如图． 利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率的乘积等于，即． 圆心到直线的距离等于半径． 2．点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出． 因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上． 结论：常见圆的切线方程： （1）过圆上一点的切线方程是______________________； （2）过圆上一点的切线方程是______________________． 【即学即练】 1．圆过点的切线方程为______． 2．过原点且与圆相切的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 3．与圆相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有（    ） A．2条 B．3条 C．4条 D．6条 知识点03 求直线被圆截得的弦长的方法 1．应用圆中直角三角形：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法． 2．利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长． 【即学即练】 1．已知一条直线截圆所得的弦长为定值，则该定值为（    ） A． B． C． D． 2．直线被圆截得的弦长为（    ） A． B． C． D． 3．已知直线：，圆（点为圆心）. (1)若直线与圆相切，求实数的值； (2)当时，判断直线与圆是否相交于不同的两点？如果相交于不同两点，记这两点为，，并求的面积，如果不相交，请说明理由. 知识点04 圆与圆的位置关系 1．圆与圆的位置关系： （1）圆与圆相交，有两个公共点；（2）圆与圆相切（内切或外切），有一个公共点； （3）圆与圆相离（内含或外离），没有公共点． 2．圆与圆的位置关系的判定： （1）代数法：判断两圆的方程组成的方程组是否有解． 有两组不同的实数解时，两圆相交；有一组实数解时，两圆相切；方程组无解时，两圆相离． （2）几何法： 设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为．当时，两圆___________； 当时，两圆外切；当时，两圆___________；当时，两圆___________；当时，两圆___________． 3．两圆公共弦长的求法有两种： 方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长．方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长． 4．两圆公切线的条数 与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． （1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条；（2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条；（3）两圆相交时，只有2条外公切线；（4）两圆内切时，只有1条外公切线；（5）两圆内含时，无公切线． 【即学即练】 1．（多选）（多选）已知圆和圆相交于两点，则下列结论正确的是（    ） A．两圆相交 B．直线的方程为 C．两圆有两条公切线 D．线段的长为 2．（多选）已知圆，圆，则（    ） A．当时，圆与圆相切 B．当时，圆与圆相交于两点，且直线的方程为 C．当时，圆与圆相交 D．当时，圆与圆相交于两点，且 3．已知圆与圆外切，则（    ） A． B． C． D． 题型01 不含参数（含参数）的直线与圆的位置关系 抓住直线与圆的位置关系的代数特征，从而转化为对方程的解的研究，这是研究直线与曲线的位置关系的基本方法；法二抓住直线与圆的位置关系的几何特征，从而转化为研究圆心到直线的距离，抓住几何特征对于研究圆的问题特别有效；法三通过判定直线过圆内一定点，从而使问题获证．由上述三种解法可知，解题的切入点不同，解法就有优劣之分．因此，在解题时，审题要慢，要仔细地分析题意，透彻地理解题意，挖掘其中的隐含条件，从而找到解决问题的捷径． 【典例1】已知直线与圆，则（   ） A．与相离 B．与相切 C．平分 D．与相交但不平分 【变式1】直线与圆的位置关系为（ ） A．相交且过圆心 B．相交且不过圆心 C．相切 D．相离 【变式2】直线与圆的位置关系是（    ） A．相交且过圆心 B．相切 C．相离 D．相交但不过圆心 题型02 由直线与圆的位置关系求参数、求直线与圆的交点坐标 求解这类问题有两条核心路径：代数法将直线与圆的方程联立，得到一元二次方程，利用判别式判断交点情况，解方程直接求出交点坐标。几何法借助圆心到直线的距离先判断位置，仅在相交时存在两个交点。求参数时，相切取Δ=0或距离等于半径，相交、相离对应不等关系。注意含参直线要考虑直线斜率不存在的特殊情况。算出交点后可代回原式检验，解题优先用几何法快速定参数范围，求交点坐标必须依靠联立解方程。 【典例1】若直线是圆的一条对称轴． (1)求圆的圆心坐标与半径； (2)求与直线平行的圆的切线方程． 【变式1】已知圆，斜率为1的直线与交于，，以为直径的圆过原点，则直线的方程为______． 【变式2】若直线与圆相离，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型03 切线与切线长问题 求圆的切线方程一般有三种方法： （1）直接法：应用常见结论，直接写出切线方程； （2）待定系数法； （3）定义法． 一般地，过圆外一点可向圆作两条切线，在后两种方法中，应注意斜率不存在的情况． 【典例1】若圆心在轴上的圆与直线相切于点，则圆心的坐标为__________. 【变式1】已知圆，，为坐标原点. (1)若在圆内，求实数的取值范围； (2)若直线与圆相切，求实数的值， 【变式2】过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 题型04 弦长问题 ①利用垂径定理：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法． ②利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长． ③利用弦长公式：设直线，与圆的两交点，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：． 【典例1】经过圆与直线的交点，且在轴上的弦长为的圆的方程是______． 【变式1】若直线被圆C截得的弦长为，则（　　） A．±2 B． C．2 D．2 【变式2】已知直线与圆交于A，B两点，，则过点的圆C的切线长为__________. 题型05 判断圆与圆的位置关系 已知两圆半径分别为，两圆的圆心距为，则： （1）两圆外离；（2）两圆外切；（3）两圆相交； （4）两圆内切；（5）两圆内含； 【典例1】已知：圆与圆． (1)当时，判断两圆是否相交．并说明理由．如果相交，求公共弦所在直线的方程． (2)当两圆外切时， ①求的值； ②某直线分别与圆和圆相切于相异的两点，求． 【变式1】圆：与圆：的公切线的条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】已知圆和圆交于两点，点在圆上运动，点在圆上运动，则下列说法正确的是（    ） A．圆和圆关于直线对称 B．圆和圆的公共弦长为 C．的取值范围为 D．若为直线上的动点，则的最小值为 题型06 由圆的位置关系确定参数 利用几何法判定两圆的位置关系比用代数法（即解两圆方程联立方程组的方法）要简捷些，但需要注意的是，我们这里所说的几何法仍然是在解析几何前提下的几何法，即利用圆的方程及两点间距离公式求出两圆圆心距d和两圆的半径R和r，再根据d与、d与的大小关系来判定即可 【典例1】已知与有且只有两条公切线，则实数的取值范围是______． 【变式1】已知圆与圆恰有三条公切线，则______. 【变式2】在平面直角坐标系中，已知圆与圆． (1)若圆与圆有公共点，求正实数的取值范围； (2)求过点且与圆相切的直线的方程． 题型07 公共弦与切点弦问题 圆的切线方程的求法 ①点在圆上， 法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率的乘积等于，即． 法二：圆心到直线的距离等于半径． ②点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出． 注意：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上． 常见圆的切线方程 过圆上一点的切线方程是； 过圆上一点的切线方程是． 过圆外一点作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为 过曲线上，做曲线的切线，只需把替换为，替换为，替换为，替换为即可，因此可得到上面的结论．两圆的公共弦方程为两圆方程相减可得． 【典例1】圆与圆相交于两点，则线段的垂直平分线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】圆与圆的公共弦所在直线方程为___________． 【变式2】已知圆和圆． (1)求证：圆和圆相交； (2)求圆与圆的公共弦所在直线的方程及公共弦的长． 题型08 公切线问题 解决两圆公切线问题，先判断两圆位置关系确定公切线条数：外离4条、外切3条、相交2条、内切1条、内含无公切线。求切线方程常用两种思路，设切线斜率，利用圆心到直线距离等于半径列方程求解，务必留意斜率不存在的漏解情况。求公切线时也可借助连心线与公切线的几何特征，利用相似三角形找切点或者定点。遇到动圆公切线参数问题，优先用几何关系简化运算，尽量避免复杂联立，算出结果后带回距离公式验证。 【典例1】若直线是与的公切线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知圆系方程（，m为参数），这些圆的公切线方程为________. 【变式2】（多选）已知直线与圆：和圆：都相切，则直线的方程可能为（    ） A． B． C． D． 题型09 圆中范围与最值问题 涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地： （1）形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题． （2）形如的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题． （3）形如的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a，b）的距离平方的最值问题 【典例1】已知为坐标原点，圆在直线上运动，则的最小值为__________. 【变式1】若是圆上的动点，则到直线的最小距离是________. 【变式2】已知点，，点P是圆上任意一点，则面积的最小值为（　　） A． B．9 C．6 D．3 题型10 圆系问题 圆系方程：若圆与圆相交于A，B两点，则过A，B两点的圆系方程为： 简记为：，不含 当时，该圆系退化为公共弦所在直线（根轴） 【典例1】求过直线和圆的交点，且面积最小的圆的方程. 【变式1】圆心在直线上，且经过两圆和的交点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】经过点以及圆与交点的圆的方程为______． 1．已知两直线，． (1)求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； (2)已知两点，， ①判断直线与以A，B为直径的圆D的位置关系； ②动点P在直线运动，求的最小值． 2．已知直线经过点，且与圆相交于两点，若，则直线的方程为______． 3．（多选）已知点，圆，则（    ） A．点在直线上 B．点可能在圆上 C．圆上至少有2个点与点的距离为1 D．过点作圆的切线，则切点弦过点 4．若圆：上有四个不同的点到直线的距离为3，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（多选）点在圆上，点在圆上，则（    ） A．两个圆的公切线有2条 B．的取值范围为 C．两个圆上任意一点关于直线的对称点仍在对应圆上 D．到两个圆的公共弦所在直线的距离为 6．在平面直角坐标系xOy中，已知圆与圆分别为圆和圆上的动点，则直线PQ的斜率的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．已知圆，直线，则直线与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交或相切 8．已知圆与圆的公切线条数是（    ） A． B． C． D． 9．在平面直角坐标系中，圆C经过点和点，且圆心C在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)已知圆的方程为，请问圆与圆会相交吗？若相交求出两圆的公共弦长；若不相交，请说明理由. 10．若圆上总存在两点到点的距离等于3，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．设圆，直线，为上的动点，过点作圆的两条切线、，切点分别为、，则下列说法中不正确的有（ ） A．圆上恰有两个点到直线的距离为1 B．四边形面积的最小值为 C．存在点使 D．直线过定点 2．（多选）已知圆C：和直线l：，则下列说法正确的是（   ） A．当时，直线l被圆截得的弦长为 B．当时，圆上到直线的距离为1的点有3个 C．存在实数，使得直线与圆相切 D．若直线与圆相交，则实数的取值范围为 3．已知平面内有两点和，且该平面内的点满足，若点的轨迹关于直线对称，则（    ） A．0 B．2 C．5 D．7 4．已知直线与圆交于不同的两点，是坐标原点，且有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（多选）已知圆，圆．则下列选项正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．当圆和圆有三条公切线时，若P，Q分别是圆上的动点，则 C．若圆和圆共有2条公切线，则 D．当时，圆与圆相交弦的弦长为 6．（多选）已知圆，直线过点，则下列说法正确的是（    ） A．点在圆上 B．若直线过原点，则圆截直线所得弦长为 C．若与圆相切，则的方程为 D．若与圆相交于A，B两点，且为直角三角形，则的方程为 7．已知圆的圆心为，且经过点，过点作圆的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 8．若圆，圆的两交点分别为A，B，则（    ） A． B． C． D． 9．已知圆与圆外离，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（多选）已知圆O：，点是圆O上的点，直线l：，则（    ） A．圆O上恰有3个点到直线l的距离等于1 B．直线l与圆O相交弦长 C．过点P的圆O的切线方程是 D．过点P向圆M：引切线，A为切点．则最小值为 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系 教学目标 1. 理解直线与圆、圆与圆的五种位置关系，掌握利用圆心到直线的距离、圆心距判断位置关系的两种基本方法，会联立方程通过判别式判定直线和圆的位置。 2. 能运用位置关系求解切线方程、弦长、参数范围、两圆公共弦等问题，提升数形结合、代数运算转化几何问题的解题能力。 3. 体会几何直观与代数解析的联系，学会用坐标法研究几何，养成借助图形分析解析几何问题的思维习惯。 教学重难点 重点 1. 用圆心到直线的距离、圆心距判定直线与圆、圆与圆的位置关系。 2. 直线与圆相切时切线方程、弦长公式的理解与应用。 3. 两圆相交时公共弦直线方程、公共弦长的求解方法。 难点 1. 过圆外一点求圆的切线时漏解，含参直线与圆位置关系中参数范围的分类讨论。 2. 灵活选择几何法、代数法解决直线与圆的综合问题，合理规避复杂运算。 3. 两圆位置关系的临界辨析，区分两圆内含、内切、外切、外离的边界条件，处理动圆位置的动态问题。 知识点01 直线与圆的位置关系 1．直线与圆的位置关系： （1）直线与圆相交，有两个公共点；（2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有公共点． 2．直线与圆的位置关系的判定： （1）代数法： 判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线与圆C有公共点． 有两组实数解时，直线与圆C相交；有一组实数解时，直线与圆C相切； 无实数解时，直线与圆C相离． （2）几何法： 由圆C的圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断： 当时，直线与圆C相交；当时，直线与圆C相切；当时，直线与圆C相离． 【即学即练】 1．已知直线l：与圆C：相切，且l关于x轴对称的直线与圆C有2个交点，则______． 【答案】 【分析】利用直线与圆相切可求得或，分类讨论，利用直线关于轴对称的直线有两个交点可求得. 【详解】由圆C：得圆心，半径为， 由点到直线的距离可得圆心到直线的距离， 即，解得或． 当时，直线：， 圆：，则直线关于轴对称的直线为：． 因为圆心到直线的距离， 所以直线与圆有2个交点，满足题意； 当时，直线：，圆：， 则直线关于轴对称的直线为：， 因为圆心到直线的距离， 所以直线与圆没有交点，不满足题意，舍去；综上，． 故答案为：． 2．（多选）已知直线，圆，点，则（    ） A．若在圆上，则直线与圆相交 B．若在圆内，则直线与圆相离 C．若在圆外，则直线与圆相交 D．若在直线上，则直线与圆相离 【答案】BC 【分析】根据点与圆的位置关系，得a，b的关系，即可确定直线与圆的关系来判断A，B，C选项；根据点与直线的位置关系，得a，b的关系，即可确定直线与圆的关系来判断D选项． 【详解】由圆，得圆心，半径． 对于A，若在圆上，则， 圆心到直线的距离，则直线与圆相切，故A错误． 对于B，若在圆内，则， 圆心到直线的距离，则直线与圆相离，故B正确． 对于C，若在圆外，则， 圆心到直线的距离，则直线与圆相交，故C正确． 对于D，若在直线上，则， 圆心到直线的距离，则直线与圆相切，故D错误． 故选：BC. 3．已知圆，直线，则圆上到直线的距离等于1的点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据圆的标准方程得到圆的圆心和半径，计算圆心到直线的距离并判断直线和圆的位置关系，再结合半径，判断到直线的距离为1的两条直线与圆的位置关系即可. 【详解】易知圆的圆心为，半径为2， 圆心到的距离， 所以直线与圆相交，结合圆半径为2，到直线的距离为1的直线有两条， 可得一条与圆相切，一条与圆相交， 因此圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1. 故选：C. 知识点02 圆的切线方程的求法 1．点在圆上，如图． 利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率的乘积等于，即． 圆心到直线的距离等于半径． 2．点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出． 因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上． 结论：常见圆的切线方程： （1）过圆上一点的切线方程是； （2）过圆上一点的切线方程是． 【即学即练】 1．圆过点的切线方程为______． 【答案】 【分析】解法一:先判断点与圆的位置关系，利用即可求直线的斜率，利用点斜式即可求解； 解法二:先判断点与圆的位置关系，利用切线方程为即可求解. 【详解】解法一:由知点在圆上，连接， 设切线为，则，如图，，则， 则切线的斜率为，所以切线方程为， 整理得． 故答案为：. 解法二 : 由知点在圆上， 则所求切线的方程为， 整理得． 故答案为：. 2．过原点且与圆相切的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断原点与圆的位置关系，再求出切线方程. 【详解】原点在圆上，而圆心， 直线斜率为，因此切线的斜率为，方程为，即. 故选：A 3．与圆相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有（    ） A．2条 B．3条 C．4条 D．6条 【答案】B 【分析】分类讨论，①当直线不经过原点时，设截距为，②当直线经过原点时，设直线方程为. 【详解】因为直线在两坐标轴上截距相等，所以 ①当直线不经过原点时，设截距为，. 则直线过点，那么直线斜率为. 所以直线方程为. 因为该直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径. 即，化简得，求解得或（舍去）. 此情况下有一条直线符合题意，直线方程为. ②当直线经过原点时，设直线方程为，即. 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径. 即，化简得，求解得. 此情况下有两条直线符合题意，直线方程为. 综上，共有3条直线符合题目要求. 故选：B. 知识点03 求直线被圆截得的弦长的方法 1．应用圆中直角三角形：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法． 2．利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长． 【即学即练】 1．已知一条直线截圆所得的弦长为定值，则该定值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对圆的方程进行变形，列出方程组，解方程组即可得到动圆恒过的两个定点，最后使用两点间距离公式解出定弦长. 【详解】由可得， 令，解得或， 故动圆恒过两个定点， 故定弦长为. 故选：A. 2．直线被圆截得的弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出圆心到直线的距离，然后由勾股定理求解. 【详解】圆的圆心为，半径为3，则圆心到直线的距离为，则直线被圆截得的弦长为． 故选：B. 3．已知直线：，圆（点为圆心）. (1)若直线与圆相切，求实数的值； (2)当时，判断直线与圆是否相交于不同的两点？如果相交于不同两点，记这两点为，，并求的面积，如果不相交，请说明理由. 【答案】(1)，或 (2)是， 【分析】（1）利用圆心到直线的距离等于半径可得答案； （2）当时，利用圆心到直线的距离与半径比较大小可得直线与圆相交，再由及求出的面积. 【详解】（1）圆，，半径， 若直线与圆相切，则，解得，或； （2）当时，直线的方程为， 由圆心到直线的距离为， 得直线与圆相交于不同两点， 所以， 所以. 知识点04 圆与圆的位置关系 1．圆与圆的位置关系： （1）圆与圆相交，有两个公共点；（2）圆与圆相切（内切或外切），有一个公共点； （3）圆与圆相离（内含或外离），没有公共点． 2．圆与圆的位置关系的判定： （1）代数法：判断两圆的方程组成的方程组是否有解． 有两组不同的实数解时，两圆相交；有一组实数解时，两圆相切；方程组无解时，两圆相离． （2）几何法： 设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为．当时，两圆相交； 当时，两圆外切；当时，两圆外离；当时，两圆内切；当时，两圆内含． 3．两圆公共弦长的求法有两种： 方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长．方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长． 4．两圆公切线的条数 与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． （1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条；（2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条；（3）两圆相交时，只有2条外公切线；（4）两圆内切时，只有1条外公切线；（5）两圆内含时，无公切线． 【即学即练】 1．（多选）（多选）已知圆和圆相交于两点，则下列结论正确的是（    ） A．两圆相交 B．直线的方程为 C．两圆有两条公切线 D．线段的长为 【答案】ACD 【分析】对于AC，由两圆圆心距与两圆半径关系可得两圆位置关系；对于B，两圆方程相减可得直线的方程；对于D，由B分析可得到直线的距离，据此可得线段长度. 【详解】对于AC，圆的圆心是，半径为2；圆的圆心是，半径为1， 圆心距为，所以两圆相交，公切线有两条．故AC正确； 对于B，将两圆方程相减，整理得．故B不正确； 对于D，点到直线的距离为， 所以．故D正确. 故选：ACD 2．（多选）已知圆，圆，则（    ） A．当时，圆与圆相切 B．当时，圆与圆相交于两点，且直线的方程为 C．当时，圆与圆相交 D．当时，圆与圆相交于两点，且 【答案】AB 【分析】利用距离和半径的关系判断两圆的位置关系. 【详解】圆，则， 圆的圆心，半径为；圆的圆心，半径为， 则，，， 对于A，当时， ，，则，故两圆内切，故A正确； 对于B， 当时，，，则，故两圆相交，又圆，故直线的方程为，故B正确； 对于D，由选项B可知，此时圆心到直线的距离为，则，故D错误； 对于C，两圆相交，则，即，解得，故C错误. 故选：AB. 3．已知圆与圆外切，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先得到两圆的圆心和半径，再利用两圆外切得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】因为圆的圆心为，半径为， 圆可化为， 则圆的圆心为，半径为， 因为两圆外切，所以， 即，解得. 故选：B. 题型01 不含参数（含参数）的直线与圆的位置关系 抓住直线与圆的位置关系的代数特征，从而转化为对方程的解的研究，这是研究直线与曲线的位置关系的基本方法；法二抓住直线与圆的位置关系的几何特征，从而转化为研究圆心到直线的距离，抓住几何特征对于研究圆的问题特别有效；法三通过判定直线过圆内一定点，从而使问题获证．由上述三种解法可知，解题的切入点不同，解法就有优劣之分．因此，在解题时，审题要慢，要仔细地分析题意，透彻地理解题意，挖掘其中的隐含条件，从而找到解决问题的捷径． 【典例1】已知直线与圆，则（   ） A．与相离 B．与相切 C．平分 D．与相交但不平分 【答案】C 【分析】判断出直线过圆心即可得结果. 【详解】因为圆的圆心为， 直线过点，所以直线平分， 故选：C. 【变式1】直线与圆的位置关系为（ ） A．相交且过圆心 B．相交且不过圆心 C．相切 D．相离 【答案】C 【分析】求出圆心到直线的距离，与半径比较大小，即可得到结论. 【详解】圆，即， 其圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离， 直线与圆的位置关系为相切. 故选：C 【变式2】直线与圆的位置关系是（    ） A．相交且过圆心 B．相切 C．相离 D．相交但不过圆心 【答案】D 【分析】先求出圆的圆心和半径，再求出圆心到直线的距离，与半径比较可得结论. 【详解】圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 因为，所以直线与圆相交但不过圆心， 故选：D. 题型02 由直线与圆的位置关系求参数、求直线与圆的交点坐标 求解这类问题有两条核心路径：代数法将直线与圆的方程联立，得到一元二次方程，利用判别式判断交点情况，解方程直接求出交点坐标。几何法借助圆心到直线的距离先判断位置，仅在相交时存在两个交点。求参数时，相切取Δ=0或距离等于半径，相交、相离对应不等关系。注意含参直线要考虑直线斜率不存在的特殊情况。算出交点后可代回原式检验，解题优先用几何法快速定参数范围，求交点坐标必须依靠联立解方程。 【典例1】若直线是圆的一条对称轴． (1)求圆的圆心坐标与半径； (2)求与直线平行的圆的切线方程． 【答案】(1)圆心，半径1 (2)或． 【分析】（1）根据直线经过圆心，可求的值，进而求得圆心和半径. （2）利用圆心到直线的距离等于圆的半径求切线方程. 【详解】（1）由圆的方程可知，圆心， 由题意可知直线过圆心，即，解得， 所以圆心，半径. （2）设与直线平行的直线方程为，可得圆心到直线的距离等于半径， 即，解得或， 所以所求的直线的方程为或． 【变式1】已知圆，斜率为1的直线与交于，，以为直径的圆过原点，则直线的方程为______． 【答案】或 【分析】先设出直线方程，然后联立直线与圆的方程，得到交点坐标的关系，再根据以为直径的圆过原点得出向量垂直的条件，进而求解直线方程. 【详解】直线的斜率为1，设直线的方程为，联立，得， 设，，则，， 又直线与圆有两个交点，判别式，解得， 以为直径的圆过原点，，，即， ，即，解得或， 符合题意的直线有两条，其方程分别为或． 故答案为：或. 【变式2】若直线与圆相离，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆心到直线的距离大于半径求解. 【详解】圆C的圆心为，半径， 到直线的距离，解得， 又，所以. 故选：B. 题型03 切线与切线长问题 求圆的切线方程一般有三种方法： （1）直接法：应用常见结论，直接写出切线方程； （2）待定系数法； （3）定义法． 一般地，过圆外一点可向圆作两条切线，在后两种方法中，应注意斜率不存在的情况． 【典例1】若圆心在轴上的圆与直线相切于点，则圆心的坐标为__________. 【答案】 【分析】求出过点且与直线垂直的直线方程，再令求出，即可得解. 【详解】设过点且与直线垂直的直线为， 则，解得， 所以，即圆心在直线，又圆心在轴上， 令，可得，所以圆心坐标为. 故答案为： 【变式1】已知圆，，为坐标原点. (1)若在圆内，求实数的取值范围； (2)若直线与圆相切，求实数的值， 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用点与圆的位置关系列式求解. （2）求出直线的方程，利用切线性质，结合点到直线距离公式计算得解. 【详解】（1）圆，则， 由在圆内，得，解得， 所以实数的取值范围是. （2）由（1）知，圆的圆心，半径， 直线方程为：，即，由直线与圆相切，得，解得， 所以实数的值为. 【变式2】过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直线与圆相切得到直角三角形利用边长求解即可. 【详解】 中， ，即 故选：A 题型04 弦长问题 ①利用垂径定理：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法． ②利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长． ③利用弦长公式：设直线，与圆的两交点，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：． 【典例1】经过圆与直线的交点，且在轴上的弦长为的圆的方程是______． 【答案】或 【分析】方法一，所求圆过已知圆与直线的交点，且直线和圆方程已知，可以设过直线与圆交点的圆系方程来求解；方法二，设圆方程为，由弦长为求得k值. 【详解】方法一： 设所求圆的方程为，该圆与轴的交点坐标分别为，． 在圆方程中，令得，则，，则． 联立，解得或则点，在所求圆上， 所以解得或 故所求圆的方程为或． 方法二： 设所求圆的方程为， 且与轴交点的纵坐标为， 令得，化简得， 所以，， 由两边平方得，所以， 化简得，解得或． 检验知两个值都符合题意， 所以所求圆的方程为， 或， 即或． 故答案为：或． 【变式1】若直线被圆C截得的弦长为，则（　　） A．±2 B． C．2 D．2 【答案】A 【分析】由直线和圆相交时的弦长公式求解即可. 【详解】由题意可得圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 又因为截得的弦长为， 所以， 化简得，解得. 故选：A. 【变式2】已知直线与圆交于A，B两点，，则过点的圆C的切线长为__________. 【答案】3 【详解】求出m，得圆半径，由切线长定理即可求解. 【解答】解：圆可化为， 则圆心坐标为，半径为. ，即， 圆心到直线的距离. 圆心到直线的距离为，解得，则圆半径， 则， 则切线长为， 故答案为：3 题型05 判断圆与圆的位置关系 已知两圆半径分别为，两圆的圆心距为，则： （1）两圆外离；（2）两圆外切；（3）两圆相交； （4）两圆内切；（5）两圆内含； 【典例1】已知：圆与圆． (1)当时，判断两圆是否相交．并说明理由．如果相交，求公共弦所在直线的方程． (2)当两圆外切时， ①求的值； ②某直线分别与圆和圆相切于相异的两点，求． 【答案】(1)两圆相交，理由见解析； (2)①，②4. 【分析】（1）根据两圆的方程得出圆心坐标和半径，计算出圆心距，比较圆心距与半径之和，半径之差的绝对值的大小，进而判断两圆位置关系；相交时，将两圆的方程相减，即得公共弦所在直线的方程； （2）①利用两圆外切的条件得出关于参数的方程，即可求出的值，②利用外公切线的计算公式计算即可. 【详解】（1）由圆与圆， 可知两圆圆心分别为，半径，则， 当时，，则，， 所以，故两圆相交． 两圆方程相减得，即两圆公共弦所在直线的方程为． （2）①若两圆外切，则，即，解得． ②因为，所以. 【变式1】圆：与圆：的公切线的条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据圆方程确定圆心坐标和半径，即可确定圆与圆的位置关系，从而可确定公切线条数. 【详解】由，可得， 所以圆心， 设两圆的半径分别为，则， 圆心距， 所以两圆外切，则公切线的条数为3条， 故选:C. 【变式2】已知圆和圆交于两点，点在圆上运动，点在圆上运动，则下列说法正确的是（    ） A．圆和圆关于直线对称 B．圆和圆的公共弦长为 C．的取值范围为 D．若为直线上的动点，则的最小值为 【答案】D 【分析】求出圆心和半径，再结合中垂线知识可判断A，利用等等这些距离公式结合勾股定理可判断B，由题意可知，当点和重合时，的值最小，当，，，四点共线时，的值最大，进而可判断C，求出关于直线对称点的坐标，再结合两点间距离公式可判断D. 【详解】对于A，和圆， 圆心和半径分别是， 则两圆心中点为， 若圆和圆关于直线对称，则直线是的中垂线， 但两圆心中点不在直线上，故A错误； 对于B，到直线的距离， 故公共弦长为，B错误； 对于C，圆心距为，当点和重合时，的值最小， 当四点共线时，的值最大为， 故的取值范围为，C错误； 对于D，如图，设关于直线对称点为，    则解得即关于直线对称点为， 连接交直线于点，此时最小， ， 即的最小值为，D正确. 故选：D. 题型06 由圆的位置关系确定参数 利用几何法判定两圆的位置关系比用代数法（即解两圆方程联立方程组的方法）要简捷些，但需要注意的是，我们这里所说的几何法仍然是在解析几何前提下的几何法，即利用圆的方程及两点间距离公式求出两圆圆心距d和两圆的半径R和r，再根据d与、d与的大小关系来判定即可 【典例1】已知与有且只有两条公切线，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】由题可得两圆相交，据此可得答案. 【详解】得的圆心，半径． 将化为标准方程得， 易知的圆心，半径． 又两圆只有两条公切线，故两圆相交，即，显然， 则，即， 解得． 故答案为：. 【变式1】已知圆与圆恰有三条公切线，则______. 【答案】 【分析】根据两圆恰有三条公切线，可得两圆外切，利用圆心距等于半径之和即可求解. 【详解】由题知，两圆外切， 由圆方程得，半径， 由圆方程得，半径， 则，解得. 故答案为： 【变式2】在平面直角坐标系中，已知圆与圆． (1)若圆与圆有公共点，求正实数的取值范围； (2)求过点且与圆相切的直线的方程． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）首先确定圆心坐标与半径，依题意可得，解得即可； （2）分直线的斜率不存在与存在两种情况讨论，斜率存在时设直线的方程为，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求出，从而求出切线方程. 【详解】（1）圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， ∵圆与圆有交点，∴，∴． （2）∵直线过点且与圆相切，∴①当直线垂直于轴时，直线的方程为，满足题意； ②当直线不垂直于轴时，设直线的方程为，即． 又直线与圆相切，∴圆心到直线的距离， 解得，∴直线的方程为． 综上所述，所求切线方程为或． 题型07 公共弦与切点弦问题 圆的切线方程的求法 ①点在圆上， 法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率的乘积等于，即． 法二：圆心到直线的距离等于半径． ②点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出． 注意：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上． 常见圆的切线方程 过圆上一点的切线方程是； 过圆上一点的切线方程是． 过圆外一点作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为 过曲线上，做曲线的切线，只需把替换为，替换为，替换为，替换为即可，因此可得到上面的结论．两圆的公共弦方程为两圆方程相减可得． 【典例1】圆与圆相交于两点，则线段的垂直平分线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆与圆的位置关系可知，所求直线为两圆的圆心所在直线. 【详解】线段的垂直平分线为圆心连线， 由圆的方程可知，，，, 所以直线的方程为，化简为. 故选：B 【变式1】圆与圆的公共弦所在直线方程为___________． 【答案】 【分析】两相交圆的方程相减后，即可求得两圆公共弦所在直线方程. 【详解】由可得圆心为，半径为， 由可得圆心为，半径为， 两圆圆心距离为，两半径之和为，两半径之差为， 有，故两圆相交， 两圆方程作差为， 化简可得，即两圆公共弦所在直线方程为. 故答案为：. 【变式2】已知圆和圆． (1)求证：圆和圆相交； (2)求圆与圆的公共弦所在直线的方程及公共弦的长． 【答案】(1)证明：由题设，则， ，则， 所以，即圆和圆相交； (2)公共弦方程为，公共弦的长为. 【分析】（1）根据圆的方程确定圆心、半径，由圆心距与半径和差的关系即可证； （2）两圆方程作差求公共弦方程，应用点线距离公式、几何法求公共弦的长. 【详解】（1）略 （2）由（1）结论，将两圆方程作差得，即公共弦方程为， 又到的距离， 所以公共弦的长为. 题型08 公切线问题 解决两圆公切线问题，先判断两圆位置关系确定公切线条数：外离4条、外切3条、相交2条、内切1条、内含无公切线。求切线方程常用两种思路，设切线斜率，利用圆心到直线距离等于半径列方程求解，务必留意斜率不存在的漏解情况。求公切线时也可借助连心线与公切线的几何特征，利用相似三角形找切点或者定点。遇到动圆公切线参数问题，优先用几何关系简化运算，尽量避免复杂联立，算出结果后带回距离公式验证。 【典例1】若直线是与的公切线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直线与圆相切的关系及点到直线的位置关系即可求解. 【详解】已知的圆心，半径是的圆心是，半径是2． 由题知直线是和的公切线， 当时，直线为，此时直线与圆不相切，所以， 由，解得， 则有． 故选：A． 【变式1】已知圆系方程（，m为参数），这些圆的公切线方程为________. 【答案】 【分析】先求圆心的轨迹,再设切线方程计算即可求出公切线. 【详解】圆心坐标为，所以圆心在直线上， 设圆的切线为，即， 所以两直线间的距离为圆的半径，，所以直线方程为. 故答案为: . 【变式2】（多选）已知直线与圆：和圆：都相切，则直线的方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】先明确两圆位置关系，从而根据两圆位置关系明确公切线的情况，再根据公切线特征情况分情况直接计算求解即可. 【详解】由题知，两圆半径， 所以， 故圆、外切，则两圆有三条公切线，如图，的中点为两圆外切切点， 当直线过的中点，且与垂直时， 因为，所以直线的方程为，即； 当直线与平行，且到的距离为时，设直线的方程为， 所以，解得或， 所以直线的方程为或． 故选：ABC． 题型09 圆中范围与最值问题 涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地： （1）形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题． （2）形如的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题． （3）形如的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a，b）的距离平方的最值问题 【典例1】已知为坐标原点，圆在直线上运动，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】求出原点关于直线的对称点的坐标，可得出，进而可得出，再结合圆的几何性质可求得的最小值. 【详解】圆的圆心为，半径为，如下图所示： 设原点关于直线的对称点为， 而直线的斜率为，且线段的中点在直线上， 由题意可得，解得，即点， 由对称性可得， 所以，， 当且仅当三点共线，故取最小值. 故答案为：. 【变式1】若是圆上的动点，则到直线的最小距离是________. 【答案】5 【分析】根据圆的方程确定圆心与半径，应用点线距离公式求圆心到直线距离，进而确定圆上点到直线距离的最小值. 【详解】圆的方程化为标准方程得，圆心为，半径， ∴圆心到直线的距离， ∴，则到直线的最小距离为5. 故答案为：5 【变式2】已知点，，点P是圆上任意一点，则面积的最小值为（　　） A． B．9 C．6 D．3 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出直线的方程及线段长，再求出点到直线距离的最小值即可. 【详解】由点，，得， 直线：，即， 因为圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 因此点到直线距离的最小值， 所以△PAB面积的最小值为. 故选：A. 题型10 圆系问题 圆系方程：若圆与圆相交于A，B两点，则过A，B两点的圆系方程为： 简记为：，不含 当时，该圆系退化为公共弦所在直线（根轴） 【典例1】求过直线和圆的交点，且面积最小的圆的方程. 【答案】 【分析】根据题意，设出圆的方程为，求得圆的半径，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】设过直线和圆的交点的圆系方程， 可设为， 即， 可得圆的半径为， 故当时对应圆的半径最小，且最小半径为. 故所求圆的方程为. 【变式1】圆心在直线上，且经过两圆和的交点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用圆系方程可求圆的方程. 【详解】由题可先设出圆系方程：， 则圆心坐标为； ， 又圆心在直线上，可得，解得， 所以圆的方程为：，故A正确. 故选：A. 【变式2】经过点以及圆与交点的圆的方程为______． 【答案】 【分析】求出两圆的交点坐标，设出所求圆的一般方程，将三点坐标代入，解出参数，可得答案. 【详解】联立，整理得， 代入，得，解得或， 则圆与交点坐标为， 设经过点以及的圆的方程为, 则，解得， 故经过点以及圆与交点的圆的方程为， 故答案为： 1．已知两直线，． (1)求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； (2)已知两点，， ①判断直线与以A，B为直径的圆D的位置关系； ②动点P在直线运动，求的最小值． 【答案】(1) (2)①相离；② 【分析】（1）求出两直线的交点，利用垂直得出斜率，点斜式可得方程； （2）①根据圆心到直线的距离与半径的大小关系可判断位置关系；②求出点的对称点，利用两点之间线段最短可求答案. 【详解】（1）联立方程，解得； 因为所求直线垂直于直线，所以所求直线的斜率为， 故所求直线方程为，即； （2）①以、为直径的圆的方程为， 整理得，故该圆的圆心为，半径为， 故圆心到直线的距离为， 故直线与圆的位置关系为相离. ②设点关于直线对称的点为， 则，解得，即； 则, 故的最小值为. 2．已知直线经过点，且与圆相交于两点，若，则直线的方程为______． 【答案】或 【分析】根据圆的半径、弦长可求出圆心到弦的距离，再利用点到直线的距离公式即可求出直线的斜率，从而得到直线方程. 【详解】圆的圆心，半径，圆心到直线的距离为3， 此直线与圆相切，因此直线的斜率存在． 设直线的方程为，即， 由，得圆心到直线的距离， 于是，解得或，所以直线的方程为或． 故答案为：或． 3．（多选）已知点，圆，则（    ） A．点在直线上 B．点可能在圆上 C．圆上至少有2个点与点的距离为1 D．过点作圆的切线，则切点弦过点 【答案】AD 【分析】对选项A将点代入验证即可；对于选项B则求圆心到直线的距离可知直线与圆外离，即可得结果；对于C点P到圆上一点的最小值为1；对于D根据选项构造以线段为直径的圆，求出圆和圆的公共弦方程进而求解. 【详解】对A,点，代入直线方程得，故点在直线上．故A正确； 对B，圆心到直线的距离为（为圆的半径），故直线与圆相离，因此点不可能在圆上．故B错误； 对C，因为，所以圆上只有1个点与点的距离为1．故C错误； 对D,构造以线段为直径的圆，则线段为圆和圆的公共弦． 圆的直径式方程为， 整理得  ①． 圆方程化为一般式为，与①作差变形得的方程为．整理得，令解得即直线经过点．故D正确 故选：AD 4．若圆：上有四个不同的点到直线的距离为3，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把圆的一般方程化为标准方程，确定圆心与半径，要使得圆上有四个不同的点到直线距离为3，将问题转化为圆心到直线的距离小于3即可． 【详解】圆， 故圆心为，半径为6． 设圆心到直线的距离为， 要使圆上有四个不同的点到直线的距离为3， 则与直线平行且距离为3的两条直线都必须与圆相交于两个不同的点， 所以，得，即， 解得， 故选：C． 5．（多选）点在圆上，点在圆上，则（    ） A．两个圆的公切线有2条 B．的取值范围为 C．两个圆上任意一点关于直线的对称点仍在对应圆上 D．到两个圆的公共弦所在直线的距离为 【答案】BC 【分析】根据题意确定圆心及半径，根据两圆位置关系逐项判断即可. 【详解】易知圆的圆心为，半径， 将圆化为，可知圆心为，半径， 对于A，易知，可知两圆外离，所以两个圆的公切线有4条，故A错误； 对于B，易知的最小值为，最大值为， 所以｜PQ｜的取值范围为，故B正确； 对于C，显然两圆圆心都在直线上， 因此直线为两圆对称轴，故C正确； 对于D，由选项A可知两圆外离，即不存在公共弦，故D错误. 6．在平面直角坐标系xOy中，已知圆与圆分别为圆和圆上的动点，则直线PQ的斜率的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出图形可知两圆外离，直线PQ的斜率的最大值是斜率为正的公切线斜率，故只需求出直线的斜率即可. 【详解】圆M：，可得圆心为，半径为， 圆，可得圆心为，半径为，易知两圆外离， 则直线PQ的斜率的最大值是斜率为正的公切线斜率． 如图所示，，且， 所以，在中，可得， 所以，即直线PQ的斜率的最大值为．    故选：D. 7．已知圆，直线，则直线与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交或相切 【答案】D 【分析】化简直线方程可得直线过定点，点在圆上，进而即得. 【详解】由可得， 直线的方程整理为， 则直线恒过点，又点在圆上， 故直线与圆相交或相切． 故选：D 8．已知圆与圆的公切线条数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用圆与圆位置关系的判断方法，得到两圆的位置关系，即可求解. 【详解】由，得到，所以圆的圆心为，半径为， 由，得到，所以圆的圆心为，半径为， 又，所以， 故圆与圆外切，所以圆与圆的公切线条数是条， 故选：B. 9．在平面直角坐标系中，圆C经过点和点，且圆心C在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)已知圆的方程为，请问圆与圆会相交吗？若相交求出两圆的公共弦长；若不相交，请说明理由. 【答案】(1) (2)相交， 【分析】（1）利用圆的几何性质-弦的中垂线经过圆心，结合题设条件求得圆心和半径，即得圆的方程； （2）先利用两圆的位置关系判断即得圆C与圆相交，根据两圆的方程求出过两交点的直线方程.再由圆的弦长公式，计算即得弦长. 【详解】（1）因，则线段的中点的坐标为， 且直线的斜率, 于是线段的垂直平分线所在直线方程为 ,   则由，解得，        ∴圆心，半径,                     ∴圆的方程为； （2）由圆得：    ∴ 圆心，半径， ∵ 圆的圆心坐标为，半径， 由，， 因 ，故圆与圆相交 ； 设圆与圆的两个交点分别为点，如图， 由左右分别相减，整理得, ∴直线的方程为, ∴ 圆心到直线的距离 , ∴， 综上：圆与圆相交，两圆的公共弦长为. 10．若圆上总存在两点到点的距离等于3，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题转化为圆与以为圆心，为半径的圆有个公共点，由圆与圆的位置关系建立不等式求解即可． 【详解】因为圆上总存在两个点到点的距离为， 所以圆与以为圆心，为半径的圆有个公共点， 则圆与圆相交， 所以，即， 解得：或， 所以实数的取值范围是． 故选：A． 1．设圆，直线，为上的动点，过点作圆的两条切线、，切点分别为、，则下列说法中不正确的有（ ） A．圆上恰有两个点到直线的距离为1 B．四边形面积的最小值为 C．存在点使 D．直线过定点 【答案】C 【分析】求出圆心到直线距离判断A；利用切线长公式求解判断BC；设出点的坐标，进而求出直线的方程判断D. 【详解】圆的圆心，半径， 对于A，点到直线的距离为，而， 因此圆上恰有两个点到直线的距离为1，A正确； 对于B，，则，当且仅当时取等号， 而，则四边形面积，B正确； 对于C，假定，则，在中，， 与矛盾，因此不存在点使，C错误； 对于D，设，以为直径的圆的圆心为， 半径为，方程为， 化简得，圆的方程与以为直径的圆方程相减得 公共弦所在直线方程，即， 由，得，因此直线过定点，D正确. 故选：C 2．（多选）已知圆C：和直线l：，则下列说法正确的是（   ） A．当时，直线l被圆截得的弦长为 B．当时，圆上到直线的距离为1的点有3个 C．存在实数，使得直线与圆相切 D．若直线与圆相交，则实数的取值范围为 【答案】ACD 【分析】对于A，利用弦长公式，直接求出弦长，即可求解；对于B，由选项A知圆心到直线的距离为，从而有，，数形结合，即可求解；对于C和D，利用直线与圆的位置关系，即可求解. 【详解】由得，所以圆的圆心为，半径为， 对于A，当时，直线l：，圆心到直线的距离为， 所以直线l被圆截得的弦长为，故A正确， 对于B，由选项A知圆心到直线的距离为，又， 则，， 所以由图可知，圆上到直线的距离为1的点有个，故B错误，    对于C，由，得到，解得或， 所以当或时，圆心到直线的距离等于半径， 即存在实数，使得直线与圆相切，所以C正确， 对于D，因为直线与圆相交，则，整理得到， 解得，所以D正确， 故选：ACD. 3．已知平面内有两点和，且该平面内的点满足，若点的轨迹关于直线对称，则（    ） A．0 B．2 C．5 D．7 【答案】B 【分析】设点的坐标为，根据已知求出轨迹为圆，依题意圆心在直线上即可得解. 【详解】设点的坐标为，因为， 所以，即， 整理得点的轨迹方程为，此方程表示一个圆． 因为点的轨迹关于直线对称， 所以圆心在此直线上，代入得． 故选：B 4．已知直线与圆交于不同的两点，是坐标原点，且有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取中点为，根据已知条件求得的范围，利用点到直线距离公式将其转化为关于的不等式，求解得到的取值范围. 【详解】如图，设的中点为，连接OC，则． ∵，∴， ∴．又（弦心距d、半径r和弦长的一半构成直角三角形）， ∴，即． 又∵直线与圆交于不同的两点A，B， ∴，故，则． ∵，∴． 故选：B. 5．（多选）已知圆，圆．则下列选项正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．当圆和圆有三条公切线时，若P，Q分别是圆上的动点，则 C．若圆和圆共有2条公切线，则 D．当时，圆与圆相交弦的弦长为 【答案】ABD 【分析】根据圆的方程确定圆心，可求出直线的方程，即可判断A；根据圆和圆外切求出a的值，数形结合，可判断B；根据两圆公切线条数判断两圆相交，列不等式求解判断C；求出两圆的公共弦方程，即可求得两圆的公共弦长，判断D. 【详解】对于A，由圆，， 可知，故直线的方程为， 即，即得直线恒过定点，A正确； 对于B，即， 当圆和圆有三条公切线时，圆和圆外切，则， 解得， 当时，如图示，当共线时,； 同理求得当时，，B正确； 对于C，若圆和圆共有2条公切线，则两圆相交， 则，即，解得，C错误 对于D，当时，两圆相交， ，， 将两方程相减可得公共弦方程， 则到的距离为， 则圆与圆相交弦的弦长为，D正确， 故选：ABD. 6．（多选）已知圆，直线过点，则下列说法正确的是（    ） A．点在圆上 B．若直线过原点，则圆截直线所得弦长为 C．若与圆相切，则的方程为 D．若与圆相交于A，B两点，且为直角三角形，则的方程为 【答案】AC 【分析】对于A，将点的坐标代入圆的方程验算即可判断；对于B，求得圆心到直线的距离，再结合弦长公式即可验算；对于C，由直线与圆的位置关系即可验算；对于D，由题意得圆心到的距离为，故只需求出的斜率即可验算. 【详解】A（√）：因为，所以点在圆上． B（×）：若经过原点，设的方程为，由得，则的方程为． 圆，可得圆心，半径． 圆心到直线的距离， 所以弦长为． C（√）：因为点在圆上，轴，所以直线的方程为． D（×）：因为为直角三角形，且，所以， 则圆心到的距离为． 由题意易得的斜率一定存在，所以可设的方程为， 即．由，解得或－1， 故的方程为或． 故选：AC. 7．已知圆的圆心为，且经过点，过点作圆的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意求得其中一个切点的坐标，并求出的斜率即可求解. 【详解】由题意，圆的半径为圆的标准方程为． 当斜率不存在时，过点的直线为，与圆相切于点． 由圆的切线的性质可知，， 直线AB的方程为，即． 故选：A. 8．若圆，圆的两交点分别为A，B，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方法一：求得相交弦方程，由圆的圆心为，半径为2即可求解；方法二：联立两圆的方程把两点坐标求出来即可. 【详解】方法一  将两圆的方程作差，可得，即直线AB的方程为，圆的圆心为，半径为2， 则到直线的距离为，故． 方法二  联立解得或 所以． 故选：B. 9．已知圆与圆外离，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出两圆的圆心和半径，结合两圆外离求解即可. 【详解】由，圆心为，半径为， 圆，即， 则圆心，半径为，， 又，且两圆外离， 则，即，解得， 所以，即的取值范围是. 故选：C 10．（多选）已知圆O：，点是圆O上的点，直线l：，则（    ） A．圆O上恰有3个点到直线l的距离等于1 B．直线l与圆O相交弦长 C．过点P的圆O的切线方程是 D．过点P向圆M：引切线，A为切点．则最小值为 【答案】ABD 【分析】根据点到直线的距离判断弦长及圆上的点到直线的距离即可判断AB，根据圆上切线特点即可判断C，再根据切线长的计算公式可得最值，即可判断D. 【详解】A选项：如图所示，由已知圆，则圆心，半径， 圆心到直线的距离， 则，，所以圆上恰有个点到直线的距离等于，A选项正确； B选项：由A知弦长为，B选项正确； C选项：当直线的斜率存在且不为0时，此时斜率为， 则切线斜率为，此时切线方程为， 即，即， 当直线的斜率不存在或为0时，切线方程适合上式， 故过点P的圆O的切线方程是，故C错误； D选项：由圆可知圆心，半径， 由切线长可知， 所以当取得最小值时，取最小值， 又，即的最小值为， 当三点共线，且P在O，M之间时取等号， 所以的最小值为，D选项正确； 故选：ABD. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $