第10讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 讲义-2026年新高二暑假数学人教A版选择性必修第一册

第11讲直线与圆、圆与圆的位置关系 目录 知识点1 直线与圆的位置关系 2 知识点2 弦长 2 知识点3 直线与圆相切 2 知识点4 圆与圆的位置关系 3 知识点5 圆与圆的公共弦 4 题型一 直线与圆的位置关系 5 题型二 直线与圆的相交问题 8 题型三 切线方程问题 9 题型四 切线长问题 11 题型五 圆的弦长问题 12 题型六 圆内接三角形问题 15 题型七 圆与圆的位置关系 16 题型八 两圆的公共弦问题 18 题型九 圆的公切线问题 19 01 学习新知 知识点1 直线与圆的位置关系 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离 代数法：由消元得到一元二次方程，判别式为 图形 知识点2 弦长 直线被圆截得的弦长为的常用方法： 1.几何法（优先推荐） ①弦心距（圆心到直线的距离）；②弦长公式： 2.代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 弦长公式： 知识点3 直线与圆相切 1.圆的切线条数 ①过圆外一点，可以作圆的两条切线;②过圆上一点，可以作圆的一条切线;③过圆内一点，不能作圆的切线 2.过一点的圆的切线方程（） ①点在圆上 步骤一：求斜率：读出圆心，求斜率，记切线斜率为，则 步骤二：利用点斜式求切线（步骤一中的斜率+切点） ②点在圆外 记切线斜率为，利用点斜式写成切线方程；在利用圆心到切线的距离求出 （注意若此时求出的只有一个答案；那么需要另外同理切线为） 3.切线长公式 记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求； 知识点4 圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系的判定方法有几何法和代数法两种，如下表： 位置关系 几何法 代数法 图示 外离 外切 相交 内切 内含 知识点5 圆与圆的公共弦 1.圆与圆的公共弦:圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦. 2.公共弦所在直线的方程 设:,:, 联立作差得到：即为两圆共线方程 3.公共弦长的求法 代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长． 几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长． 02 经典题型 题型一 直线与圆的位置关系 1. 已知圆，则下列说法错误的是（    ） A．点在圆外 B．直线平分圆 C．圆的周长为 D．直线与圆相离 【答案】D 【解析】由可知圆心坐标为，圆的半径为1． 对于选项A：由点到圆心的距离 所以点在圆外，故A正确； 对于选项B：因为圆心在直线上， 所以圆关于直线对称，故B正确； 对于选项C，圆的周长为，故C正确； 对于选项D，因为圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相切，故D错误．故选：D． 2. 直线：与圆：的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 【答案】C 【详解】由直线，可得直线过定点， 又由圆：，可得点在圆C上， 因为直线的斜率显然存在，所以公共点的个数为2.故选：C. 3. 若直线与圆相交，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】依题意，由圆的圆心到直线的距离， 解得，. 故答案为：. 4. 已知直线与圆和圆都相切，则实数的值为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解析】因为直线与圆相切，所以，解得， 由直线和圆相切， 所以或，解得或， 故实数的值为或.故选：D. 5. 已知直线与圆，点，则下列说法错误的是（    ） A．若点在圆上，则直线与圆相切 B．若点在圆内，则直线与圆相离 C．若点在圆外，则直线与圆相离 D．若点在直线上，则直线与圆相切 【答案】C 【详解】圆心到直线的距离， 若点在圆上， 则，所以， 则直线与圆相切，故A正确; 若点在圆内， 则，所以， 则直线与圆相离，故B正确； 若点在圆外， 则，所以， 则直线与圆相交， 故C错误； 若点在直线上， 则，即，所以直线与圆相切， 故D正确，故选：C． 题型二 直线与圆的相交问题 6. 已知圆恒过定点A，B，则直线的方程为 ． 【答案】 【详解】方程，可化为， 所以点为直线与圆的交点， 所以若点的坐标为，则点的坐标为， 所以直线的方程为，故答案为：. 7. 已知直线与圆交于，两点，为坐标原点，则 ， . 【答案】 【详解】圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 所以， 设，， 由，消去整理得，则，， 又，， 所以 . 故答案为：； 题型三 切线方程问题 8. 过点作圆的切线l，求切线l的方程 【答案】 【详解】当直线斜率不存在时，直线方程为：， 圆心到直线的距离为，不成立； 当直线的斜率存在时：设直线方程为，即， 圆心到直线的距离等于半径为：， 解得，所以直线方程为：，即. 故答案为：. 9. 若点在圆上，则过的圆的切线方程为 . 【答案】 【详解】因为点在圆上， 所以过的圆的切线方程和垂直， 因为，，所以，所以切线方程斜率为， 所以切线方程为，即. 故答案为： 10. 已知半径为2的圆的圆心在射线上，点在圆上． (1)求圆的标准方程； (2)求过点且与圆相切的直线方程． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由圆C的圆心在直线上，可设圆心C的坐标为， 又圆的半径为2，点在圆上，有， 解得（舍去）或， 故圆的标准方程为； （2）①当切线的斜率不存在时，直线与圆相切； ②当切线的斜率存在时，设切线的方程为，整理为， 由题知，解得， 可得切线方程为，整理为， 由①②知，过点且与圆相切的直线方程为或.    题型四 切线长问题 11. 若直线上仅存在一点，使得过点的直线与圆切于点，且，则的值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【详解】依题意，记为坐标原点，连接，如图， 因为圆的圆心为，半径为，则， 又，所以， 因为点唯一，使得，所以直线与直线垂直， 所以，即.故选：B． 12. 过点的直线与圆相切于点，则（    ） A．4 B．16 C． D．17 【答案】B 【详解】圆，即圆的圆心为，半径， 点到圆心的距离，所以， . 故选：B 题型五 圆的弦长问题 13. 直线被圆所截得的弦长为（    ） A．2 B． C． D．10 【答案】C 【详解】圆即，故圆心为， 显然圆心在直线上， 故直线被圆所截得的弦即为圆的直径，长为. 故选：C． 14. 若圆与直线相交于A、B两点，则弦的长为 ． 【答案】 【解析】由圆，可化为，可得圆心为， 半径为，则圆心到直线的距离为， 所以弦长. 故答案为：. 15. 过点的直线l与圆C：相交于A、B两点，则的最小值是 ． 【答案】 【解析】因为圆C：，圆心，半径 所以当过点的直线l垂直于时，弦长取最小值，即. 故答案为：. 16. 直线，被圆截得最短弦的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】直线， 即，由，解得， 设，由于，所以在圆内， 圆的圆心为，半径，如图： 当时，最短，， 所以弦长的最小值为.故选：C 17. 已知圆心为的圆与x轴交于A、B两点，，则该圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，可设圆的方程为，令，得， 设，则，，，解得， ∴圆的方程是，即.故选：C 18. （多选）已知过点的直线和圆：，则（    ） A．直线与圆相交 B．直线被圆截得最短弦长为 C．直线与被圆截得的弦长为，的方程为 D．不存在这样的直线，使得圆上有3个点到直线的距离为2 【答案】ABD 【详解】解：因为圆：，所以圆的圆心为，半径为4. 选项A：因为， 所以点在圆内，故直线与圆相交，选项A正确； 选项B：设圆心到直线的距离为，弦长为，则， 又因为圆心到直线的最长距离， 所以，故选项B正确； 选项C：直线与被圆截得的弦长为，所以圆心到直线的距离为， 当直线的斜率不存在时，直线方程为，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 故，解得，故直线方程为， 综上满足题意的直线方程为或，故选项C不正确； 选项D：当直线经过圆心时，圆上到直线的距离为2的点有4个； 当直线不经过圆心时，直线将圆分成优弧与劣弧两个部分， 由于半径为4，在优弧上一定存在两个点到直线的距离为2， 那么此时，在劣弧上有且只有一个点到直线的距离为2. 当圆心到直线的距离为时，此时圆心到直线的距离最大， 又因为半径为4，且， 所以此时劣弧上有两个点到直线的距离为2， 所以不存在所以选项D正确. 故选：ABD. 题型六 圆内接三角形问题 19. 已知直线与圆相切. (1)求的值及圆的方程； (2)已知直线与圆相交于，两点，若的面积为，求直线的方程. 【答案】(1)， (2)答案见解析 【详解】（1）因为圆，可知圆心，半径，且， 由题意可得：，解得， 此时圆. （2）由（1）可知：圆心，半径， 由题意可知：， 可得，且， 若，则圆心到直线的距离， 可得，解得或， 此时直线的方程为或； 若，则圆心到直线的距离， 可得，解得或， 此时直线的方程为或； 综上所述：直线的方程为或或或. 题型七 圆与圆的位置关系 20. 圆：与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．内切 C．外切 D．相离 【答案】A 【解析】圆的圆心为，半径为；， 则圆的圆心为，半径为.两圆心之间的距离， 且满足，可知两圆相交.故选：A. 21. 设圆：，圆：，则圆，的位置关系是（    ） A．内切 B．外切 C．相交 D．相离 【答案】B 【解析】由题可知圆的半径为，圆心；圆的半径为，圆心， 所以，，所以，故两圆外切，故选B. 22. 已知圆的圆心到直线的距离是，则圆与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相交 C．内切 D．内含 【答案】D 【详解】圆：，所以圆心，半径为. 由点到直线距离公式得：，且，所以. 又圆的圆心，半径为：1. 所以，. 由，所以两圆内含.故选：D 23. （多选）已知直线与圆：和圆：都相切，则直线的方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】由题知，两圆半径， 所以， 故圆、外切，则两圆有三条公切线，如图，的中点为两圆外切切点， 当直线过的中点，且与垂直时， 因为，所以直线的方程为，即； 当直线与平行，且到的距离为时，设直线的方程为， 所以，解得或， 所以直线的方程为或．故选：ABC． 24. （多选）已知两圆和有公共点则r的值可能是（    ） A． B．1 C．6 D．8 【答案】CD 【详解】由，可得圆心为，半径分别为， 由，可得，得圆心坐标，半径， 则两圆圆心之间的距离为， 又两圆有公共点则，解得.故选：CD． 题型八 两圆的公共弦问题 25. 圆和圆的公共弦所在的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C【解析】两个圆的方程相减，得，故选：C 26. 已知圆与圆交于A，B两点，则（    ） A． B．5 C． D． 【答案】C 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， ，圆与圆相交，两圆方程相减得直线：， 显然点在直线上，因此线段是圆的直径， 所以.故选：C 27. 两圆与的公共弦长为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】两圆的圆心分别为,半径均为1，故圆心距离为,故两圆相交，圆与圆的公共弦所在的直线方程为： ，即， 圆的圆心到公共弦的距离：，圆的半径，公共弦长．故选：B． 题型九 圆的公切线问题 28. 圆：与圆：的公切线有且仅有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B 【解析】圆，则圆心，半径， 圆，则圆心，半径， 得两圆的圆心距为：， 则， 得两圆相交，得两圆的公切线有且仅有2条． 故选：B 29. 已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意可知，圆外离，，又． 故选：D 30. 圆与圆的公切线的方程为 ． 【答案】 【详解】圆的圆心为 ，半径为1，圆的圆心为，半径为6， 因为，所以两圆内切，只有一条公切线， 将圆化为一般式得： ，， 两式相减得，即， 所以圆的公切线的方程为. 故答案为： 31. 已知圆，圆，直线分别与圆和圆切于两点，则线段的长度为 ． 【答案】 【详解】圆，圆心，半径， 圆，圆心，半径， 圆心距，由，    所以两圆相交，则. 故答案为： 32. （多选）已知圆，，则下列结论正确的有（    ） A．若圆和圆相交，则 B．若圆和圆外切，则 C．当时，圆和圆有且仅有一条公切线 D．当时，圆和圆相交弦长为 【答案】ABD 【解析】由题意可知：圆的圆心，半径； 圆的圆心，半径；则， 对于选项A：若圆和圆相交，则，即，解得，故A正确； 对于选项B：若和外切，则，即，解得，故B正确； 对于选项C：当时，由选项A可知：圆和圆相交， 所以圆和圆有且仅有2条公切线，故C错误； 对于选项D：当时，由选项A可知：圆和圆相交， 且圆，， 两圆方程作差得，即公共弦所在直线的方程为， 圆心到直线的距离，所以公共弦长为，故D正确.故选：ABD 学科网（北京）股份有限公司 $第11讲直线与圆、圆与圆的位置关 系 目录 知识点1 直线与圆的位置关系 .2 知识点2弦长 .2 知识点3直线与圆相切.… .2 知识点4圆与圆的位置关系.… .3 知识点5圆与圆的公共弦.4 题型一 直线与圆的位置关系.5 题型二 直线与圆的相交问题.8 题型三 切线方程问题 9 题型四 切线长问题 .11 题型五 圆的弦长问题 ,12 题型六 圆内接三角形问题… 15 题型七 圆与圆的位置关系.16 题型八 两圆的公共弦问题 18 题型九 圆的公切线问题 1 学习新知 知识点1直线与圆的位置关系 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 几何法：设圆心到直线的距离 判 d=Aa+Bb+c d<r d=r d>r VA2+B2 定 方 Ax+By+C=0 法 代数法：由 (x-a)2+(y-b}2=r2 消元得到 △>0 △=0 △<0 元二次方程，判别式为△ 图形 知识点2弦长 直线I被圆C截得的弦长为AB的常用方法： 1.几何法（优先推荐） ①弦心距（圆心到直线的距离）；②弦长公式：AB=2√一P2-d 2.代数法 直线l:Ax+By+C=0:圆Mx2+y2+Dx+Ey+F=0 Ax+By+C=0 联立 x2+少2+Dx+y+F=0消去“y”得到关于“，”的一元二次函数 y ax2+bx+c=0 弦长公式：AB=V1+k2V任+)2-4x 知识点3直线与圆相切 1.圆的切线条数 ①过圆外一点，可以作圆的两条切线：②过圆上一点，可以作圆的一条切线；③过圆内一点， 不能作圆的切线 2 2过一点B(x,)的圆的切线方程（⊙M:(x-a)2+(y-b)2=2) ①点(x,)在圆上 步骤一：求斜率：读出圆心M(a,b),求斜率kM,记切线斜率为k,则 kRM·k=-1→K 步骤二：利用点斜式求切线（步骤一中的斜率+切点(x,y) ②点(x,)在圆外 记切线斜率为k,利用点斜式写成切线方程y-=k(x-o):在利用圆心到切线的距离 d=r求出k (注意若此时求出的k只有一个答案；那么需要另外同理切线为x=x,) 3.切线长公式 记圆M:(x-a)2+(y-b)=r2;过圆外一点P做圆M的切线，切点为H,利用勾股定理 求PH: PH=PM2-MH? H M D 知识点4圆与圆的位置关系 圆C(c-+(-b=片与圆C,(x-c'+0-d)=片的位置关系的判定方法有 几何法和代数法两种，如下表： 位置关系 几何法 代数法 图示 外离 1CC21>r+3 △<0 外切 1CC2=i+2 4=0 X9 3 相交 h-5<1CC21<1+2 △>0 99 内切 1CC2月5-5 △=0 8 内含 1CC21<k-5l △<0 8 知识点5圆与圆的公共弦 1圆与圆的公共弦：圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦， 2.公共弦所在直线的方程 设⊙C:x-a)2+0y-b)}=r2,⊙C2:(x-a2)2+(0y-b)2=, 联立作差得到：Ar+By+C=0即为两圆共线方程 3.公共弦长的求法 代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长. 几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长. 5 经典题型 题型一直线与圆的位置关系 1.已知圆M:(x-2+y2=1 则下列说法错误的是（) A.点3,2)在圆外 B.直线2x+y-4=0平分圆M C.圆M的周长为2π D.直线x+v5y=0与圆M相离 2直线l:ar+y-2=0与圆C,(x-1旷+(0)-2=1的公共点的个数为(） A.0 B.1 C.2 D.1或2 3.若直线3x-4y+a=0与圆x-2+0-=4相交，则实数“的取值范围是」 4.已知直线1：y=x+a与圆+y=2和圆x-4+少=m(m>0)都相切，则实数m的值为 () A.② 8.2V2 c.35 D.2或35 5已知直线：a+咖-r=0与周C:r+=r(>0),点4a, ,点 ,则下列说法错误的是 () A.若点A在圆C上，则直线1与圆C相切 B.若点A在圆C内，则直线与圆C相离 6 C.若点A在圆C外，则直线1与圆C相离 D.若点A在直线I上，则直线1与圆C相切 题型二直线与圆的相交问题 C:x2+y2+ax-2ay-5=0 6.已知圆 恒过定点A,B,则直线4B的方程为 7已知直线y=x+4与圆C:(x-1+y-3=8交于M,N两点，0为坐标原点，则W= OM.ON= 题型三切线方程问题 8过点P(3,4)作圆C:r+少=25的切线1，求切线1的方程 9若点1(0,1)在园C:(x-少+少=r(>0)上，则过A的圆的切线方程为一 10.已知半径为2的圆C的圆心在射线y=x(x>0)上，点A(-1,)在圆C上. (I)求圆C的标准方程： (2)求过点B(-1,0)且与圆C相切的直线方程. 7 题型四切线长问题 x+y= “上仅存在一点P,使得过点”的直线与圆 2+y2=1 11.若直线 切于点°，且 |Pg=22 ,则“的值为() A.-32 B.3V2 C.3 D.3 12.过点-的直线与圆 C:x2+y2-6x-4y+12=0 相切于点M,则PCPW=（) A.4 B.16 D.17 题型五圆的弦长问题 13.直线-y+3=0被圆++2x-4y=0 截得的弦长为() A.2 B V5 c.25 D.10 14.若园r+少-2x-3=0与直线+y+1=0相交于A、B两点，则弦1B的长为 9 15过点1)的直线1与圆C:r-4+y=0相交于A、B两点则MB的最小值是 6直线'420+r+a+0p-m-50,装间C-2r0-y-25 截得最短弦的长为 () A.4V6 B.2V6 C.2V23 D.V23 17,已知圆心为，少的圆与x轴交于4、B两点 AB=2 则该圆的方程是() A.X+y2+2x+2y=0 8.+y+2x+2y-4=0 c.x+y2-2x-2y=0 D.r+广-2x-2y-4=0 18.（多选)已知过点 的直线和圈C.+广-4x-2-1=0 32) ,则() A.直线l与圆C相交 B.直线被圆截得最短弦长为 v14 W151 C.直线与被圆截得的弦长为 ，的方程为=2 D.不存在这样的直线1，使得圆C上有3个点到直线I的距离为2 10 题型六圆内接三角形问题 19.已知直 线：3x-4y+5=0与圆E:r+广-6-2y+a+5=0 相切： (I)求a的值及圆E的方程： (2)已知直线m:ax-y+2=0与圆E相交于M,N两点，若△MEN的面积为V5,求直线m 的方程 题型七圆与圆的位置关系 20.圆M:(x-旷+少=4与圆N:r+y+4x+2y=0的位置关系为() A.相交 B.内切 C.外切 D.相离 21.设圆9：2+y2=4 ,.+广-6x+8=0,则圆S.C的位置关系是() 圆 A.内切 B.外切 C.相交 D.相离 22.已知圆 M:x2+y2+2ay=0(a>0) 的圆心到直线3x+2y=2的距离是，则圆M与圆 N:x-2+(0+2=l的位置关系是（) 11 A.相离 B.相交 C.内切 D.内含 12 23.(多选)已知直线1与圆S:(K-2八+0-3=8和圆9：(+2)+0+少=8都相切 则直线的方程可能为() A.x+y-1=0B.x-y+5=0C.x-y-3=0 D.x-y-7=0 24,（多选)已知两圆+0-3=广和2+2-6x+2y+1=0有公共点则r的值可能是 () A.-6 B.1 C.6 D.8 题型八两圆的公共弦问题 25.园0：+-2x+6=0和圆0，：r+-6x=0 的公共弦AB所在的直线方程是()） A.2x-3+3=0 8.2x-3y-5=0 C.2x+3y=0 D.2x-3y=0 26.已知圆 0:x2+2x+y2=10g02:x2+y2-x-3y=4」 ”与圆 交于A,B两点，则 ABF（) V15 A.2 B.5 C.V26 D.3V3 13 27.两圆+=1与r+y+2x-2y+1=0 的公共弦长为（） 2 A.2 B.√2 c.2 D.1 题型九圆的公切线问题 28圆9：+y+2x+2y-2=0与圆9：+y-4-2y+1=0 公切线有且仅有() A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 29.已知圆C:+y=1与圆C:(-a+(0y-少=16(a>0)有4条公切线，则实数a的取值范 围是（) A.(0,22) 8.(2v2,+∞ c.(0,26) D.(26,+∞) 30圆9：x-+-l与图G:x-5+-3=36 的公切线的方程为. 14 31.已知圆 :买+y+4x-4y-1=0,网G+少-2x-6y+9=0,直线分别与圆C和圆 ,圆 C切于,N两点，则线段的长度为 32.(多选)已知圆G:(6x-3+广=1，C:r+广=a(a>0）,则下列结论正确的有(） A.若圆9和圆C相交.则2<a<4 B.若圆9和圆C外切，则4=2 c.当a时，回C和回C,有且仅有一条公切线 D,当。=3时回C和园C相交弦长为 15