第二章 直线和圆的方程（举一反三讲义·培优篇）高二数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学讲义通过十六大压轴题型分类框架系统梳理直线和圆的方程知识体系，涵盖直线斜率范围、圆的轨迹方程等核心内容，以题型递进呈现知识脉络，突出直线与圆位置关系、最值问题等重难点及内在逻辑联系。 讲义亮点在于“举一反三”的分层练习设计，如轨迹问题中通过动点关系推导方程培养数学抽象能力，圆的切线问题结合几何推理与代数运算发展逻辑思维。每个题型包含基础题与综合题，基础学生可掌握通法，优秀学生能深化探究，为教师实施精准分层教学提供有力支持。

第二章 直线和圆的方程全章十六大压轴题型归纳（举一反三讲义·培优篇） 【人教A版】 题型1 直线与线段的相交关系求斜率范围 1．（25-26高二上·福建泉州·期中）已知过点的直线与以点和为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】记点为，求出直线的斜率，结合斜率的变化情况可得. 【解答过程】记点为， 由题意可得，，， 当直线由转到与轴重合时，直线l的斜率k满足； 当直线由轴转到与直线重合时，直线l的斜率k满足， 若要保证直线与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是 故选：D. 2．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知点，，过的直线与线段没有交点，则直线斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先计算过点与线段的两端点，的直线的斜率，再根据直线与线段无交点的条件，结合图象确定斜率的取值范围. 【解答过程】设点坐标为，则，， 设直线的斜率为， 由图可知过点的直线与线段没有交点时，直线的斜率满足， ∴. 故选：D. 3．（25-26高二上·安徽·期中）已知直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用直线过定点，再利用过定点的直线与两点的斜率，结合图象可得到斜率范围，从而可确定倾斜角范围. 【解答过程】 由题可知直线过定点．，， 与线段相交，由题意设直线的斜率为或． 由于在及上均单调递增， 直线的倾斜角的范围为． 故选:C． 4．（25-26高二上·安徽淮南·阶段检测）已知点，，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是__________． 【答案】 【解题思路】分别求得直线的斜率，结合图形可得的斜率的范围． 【解答过程】点，，过点的直线与线段有公共点， 直线的斜率或， 的斜率为，的斜率为， 直线的斜率或，即， 故答案为：．    5．（24-25高二上·陕西安康·阶段检测）已知直线过点，且与以和为端点的线段相交. (1)求直线的斜率k的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 【答案】(1) (2). 【解题思路】（1）在平面直角坐标系中画出图象，根据图象分析，，三点之间的关系，不难给出直线的斜率的取值范围； （2）根据直线斜率与倾斜角的关系，结合图象即可求解直线的倾斜角的取值范围． 【解答过程】（1）在平面直角坐标系中画出图象如图： ， 直线过点，且与以和为端点的线段相交. 所以直线的斜率的取值范围. （2）由（1）可知，， 直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 由此可得此时直线的倾斜角的取值范围， 由图可知，当直线斜率不存在时，所得直线符合题意，故此时直线的倾斜角， 综上，直线的倾斜角的取值范围. 题型2 直线与坐标轴围成图形的面积问题 1．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知直线的方程为，若与轴的正半轴，轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点，且的面积为2，则（    ） A． B．-1 C． D．0 【答案】B 【解题思路】由题意，求出点A的横坐标、B的纵坐标，根据三角形的面积公式建立关于b的方程，解之即可. 【解答过程】如图， 在中， 令，得；令，得， 由题意，得，， 所以的面积， 即，解得. 故选：B. 2．（25-26高二上·安徽·期中）已知直线过点，且与两个坐标轴的正半轴分别交于点、，为坐标原点，则面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设直线的方程为，可得出，利用基本不等式可求得的最小值，由此可得出的最小值. 【解答过程】不妨设直线的方程为，将点的坐标代入直线的方程得， 由基本不等式可得，可得，即， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故，即面积的最小值为. 故选：B. 3．（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）直线的倾斜角是直线倾斜角的一半，且直线与坐标轴所围成的三角形的面积为，则直线的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由斜率的几何意义结合二倍角公式可以先求出所求直线的斜率，再结合已知条件即可求出直线方程. 【解答过程】由题意不妨设直线与直线的斜率分别为，倾斜角分别为， 而，，又由二倍角公式， 所以有，整理得，解得或（舍去）， 所以设直线的方程为， 则直线与坐标轴分别交于， 所以由题意直线与坐标轴所围成的三角形的面积为， 解得，所以设直线的方程为， 当时，它可以变形为. 故选：C. 4．（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）若经过点的直线在，轴上的截距之比为，则与两坐标轴围成的三角形的面积为__________. 【答案】 【解题思路】利用截距式方程，求直线在两坐标轴上的截距，再求三角形的面积. 【解答过程】由条件可知，直线不过原点， 设直线，则，则， 所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积为. 故答案为：. 5．（25-26高二上·湖北武汉·期末）已知直线方程为． (1)若直线的倾斜角为，求的值； (2)若直线分别与轴、轴的负半轴交于、两点，为坐标原点，求面积的最小值及此时直线的方程． 【答案】(1)； (2)面积的最小值为，此时直线的方程为. 【解题思路】（1）由直线的斜率和倾斜角的关系可求得的值； （2）求出点、的坐标，根据已知条件求出的取值范围，求出的面积关于的表达式，利用基本不等式可求得面积的最小值，利用等号成立的条件可求得的值，即可得出直线的方程. 【解答过程】（1）解：由题意可得. （2）解：在直线的方程中，令可得，即点， 令可得，即点， 由已知可得，解得， 所以， ， 当且仅当时，等号成立，此时直线的方程为，即. 题型3 根据两直线平行、垂直求参数 1．（25-26高二上·天津和平·期末）已知直线与直线：平行，且直线与直线：垂直，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据直线平行及垂直系数关系计算求解参数. 【解答过程】因为直线与直线：平行， 所以直线的斜率为， 又因为直线与直线：垂直， 则， 则. 故选：C. 2．（25-26高二上·安徽六安·期末）已知直线与平行，则实数的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【解题思路】利用两直线平行时，斜率间的关系可求答案. 【解答过程】因为直线与平行， 所以，解得. 故选：B. 3．（25-26高二上·广西河池·期末）若直线与直线垂直，则（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】A 【解题思路】根据一般式下两直线垂直的关系得到方程，解得即可. 【解答过程】因为直线与直线垂直， 所以，解得. 故选：A. 4．（25-26高二上·北京·阶段检测）当m为何值时，过两点，，的直线. (1)与过两点，的直线垂直； (2)与过两点，的直线平行. 【答案】(1)或； (2)或. 【解题思路】（1）根据两直线垂直则斜率之积为，列方程求解即可； （2）根据两直线平行则斜率相等，列方程求解即可. 【解答过程】（1）经过，两点的斜率为：， 经过，两点的斜率为：， 两直线垂直则斜率之积为，所以，解得或； （2）经过，两点的斜率为：， 两直线平行则斜率相等，所以，解得或. 5．（25-26高二上·安徽蚌埠·期末）已知直线和直线. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 【答案】(1)0或2 (2) 【解题思路】（1）根据两直线垂直的公式，求解即可得答案； （2）根据两直线平行，，可得值，代回直线验证，即可得答案. 【解答过程】（1）若，则，解得或2. （2）若，则，解得或1， 当时，，满足； 当时，，此时与重合，故舍去. 所以. 题型4 求与已知直线平行、垂直的直线方程 1．（25-26高二上·河北石家庄·期末）过点且垂直于直线的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题可设垂直于直线的直线方程为，进而利用待定系数法求解. 【解答过程】设垂直于直线的直线方程为，代入， 得，解得，即， 故选：C. 2．（25-26高二上·四川遂宁·期末）求经过点，且与直线平行的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设所求直线方程为，代入点坐标求出可得方程. 【解答过程】因为所求直线与直线平行，故可设所求直线方程为， 将点坐标代入得，解得， 所以所求直线方程为. 故选：B. 3．（25-26高二上·北京丰台·期中）的三个顶点是，，，则边上的高所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由斜率，确定高的斜率，再由点斜式求解. 【解答过程】， 所以边上的高所在直线斜率为1， 所以边上的高所在直线的方程为， 即， 故选：C. 4．（25-26高二下·上海浦东新·期中）过点且与直线垂直的直线的一般式方程为___________. 【答案】 【解题思路】由垂直关系求得斜率，再由点斜式即可求解. 【解答过程】由，可知其斜率为， 所以过点且与直线垂直的直线方程为： ， 即， 故答案为：. 5．（25-26高二上·北京平谷·阶段检测）已知的三个顶点分别为，求： (1)所在直线的方程； (2)过点与边平行的直线方程； (3)边的垂直平分线的方程． 【答案】(1)； (2)； (3). 【解题思路】（1）根据的坐标即可求得直线的斜率，利用点斜式可得所求方程； （2）根据平行可设所求方程，再将点的坐标代入可得所求方程； （3）根据垂直可求得斜率，再求得线段的中点坐标，根据点斜式可得所求方程. 【解答过程】（1）如图，因为，所以直线的斜率为， 由点斜式可得直线的方程为，即. （2）因为所求直线与直线平行， 由（1）知可设所求直线方程为， 又直线过点， 所以将的坐标代入可得，解得， 所以所求直线方程为. （3）因为，且其斜率都存在， 所以，解得. 又直线过线段的中点， 由点斜式可得直线的方程为，即. 题型5 三线能围成三角形的问题 1．（25-26高二上·北京·期中）下面三条直线，，不能构成三角形，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先由直线与联立求出交点的坐标，再由题中条件，得到过点，或分别与、平行，进而可求出结果. 【解答过程】由解得，即直线与的交点为， 因为直线，，不能构成三角形， 所以过点，或分别与、平行， 若过点，则，即； 若，则，即； 若，则，所以. 综上，的可能取值为. 故选：C. 2．（25-26高二上·福建宁德·期中）三条直线构成一个三角形，则的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】B 【解题思路】根据题意判断三条直线能够组成三角形时的条件，列出不等式组，求出结果即可. 【解答过程】当三条直线能构成一个三角形时，直线不与这两条直线平行，且不经过两条直线的交点即可. 由，解得，所以，解得； 不与平行时，； 不与平行时，； 综上，的取值范围是且； 故选：B. 3．（25-26高二上·全国·课后作业）使三条直线不能围成三角形的实数m的值最多有几个（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【解题思路】根据题设，讨论存在两条直线平行或三条直线交于一点，分别求出对应m值，进而验证是否满足题设，即可得答案. 【解答过程】要使三条直线不能围成三角形，存在两条直线平行或三条直线交于一点， 若平行，则，即； 若平行，则，即无解； 若平行，则，即； 若三条直线交于一点，，可得或； 经检验知：均满足三条直线不能围成三角形，故m最多有4个. 故选：B. 4．（25-26高二上·江苏镇江·阶段检测）若三条直线，，不能构成三角形，则实数所有可能的取值组成的集合为___________. 【答案】 【解题思路】分三种情况，三条直线交于同一点，与平行,与平行，分别求出的值，得到答案. 【解答过程】当三条直线，，交于同一点时，不能构成三角形， 联立，解得，将代入得，解得； 当与平行时，不能构成三角形，此时； 当与平行时，不能构成三角形，此时； 综上，实数所有可能的取值组成的集合为. 故答案为：. 5．（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）已知两直线，． (1)求过直线交点P，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程； (2)若直线与直线能构成三角形，求实数a的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【解题思路】（1）联立两条直线构成方程组，求解方程组即可得到交点坐标；在两坐标轴上的截距相等时，设出直线方程，分截距为0和不为0两种情况讨论即可； （2）直线与直线能构成三角形时要考虑不能构成三角形的三种情况即可． 【解答过程】（1）由题意得，，解得，∴点P的坐标为． 设所求直线为l， （i）当直线l在两坐标轴上的截距不为0时，设直线方程为， 则，解得，所以直线l的方程为，即； （ⅱ）当直线l在两坐标轴上的截距为0时， 设直线方程为，则，解得， ∴直线l的方程为，即． 综上，直线l的方程为或． （2）（i）当直线与平行时，不能构成三角形，此时，解得； （ⅱ）当直线与平行时，不能构成三角形，此时，解得； （iii）当直线过与的交点时，不能构成三角形，此时，解得． 综上，当，且，且时，能构成三角形． 即实数a的取值范围为. 题型6 与距离有关的最值问题 1．（25-26高二上·黑龙江·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】y可看作x轴上一点到点与点的距离之和，可知当A，P，B三点共线时取得最小值可得答案. 【解答过程】， 则y可看作x轴上一点到点与点的距离之和， 即，则可知当A，P，B三点共线时，取得最小值， 即． 故选：A. 2．（25-26高二上·青海西宁·期中）点到直线（为任意实数）的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】化简直线为，求得直线过定点，结合直线与垂直时，点到的距离最大，即可求解． 【解答过程】由直线， 化为：， 联立方程组， 解得，，即直线过定点， 当直线与垂直时，此时点到的距离最大， 又由，所以点到的距离最大值为． 故选：D． 3．（25-26高二上·贵州贵阳·期末）已知点为直线上任意一点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据点点距离，结合点到直线的距离公式即可求解. 【解答过程】表示点到点的距离， 故的最小值为点到直线的距离 故选：C. 4．（25-26高三上·黑龙江·阶段检测）函数的最大值为___________． 【答案】 【解题思路】采用数形结合的方法求函数的最大值. 【解答过程】因为， 所以问题可转化为求动点与点，的距离之差的最大值． 如图： 因为，当且仅当，，三点共线时等号成立， 所以，此时． 故答案为：. 5．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知两直线. (1)求过两直线的交点且与直线平行的直线方程. (2)已知两点，动点在直线运动，求的最小值. 【答案】(1) (2). 【解题思路】（1）联立直线方程求得交点坐标，根据平行关系，可得答案； （2）由题意求点关于直线的对称点，由图可得答案. 【解答过程】（1）联立，所以两直线的交点为 设与直线平行的直线方程为， 将代入得， 所以所求的直线方程为 （2）设点关于直线对称的点为， ，解得 则， 故的最小值为. 题型7 光线反射问题 1．（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）一条沿直线传播的光线经过点，且在轴上的截距为，然后被直线反射，则反射光线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出入射点坐标，以及关于直线对称的点的坐标，再根据反射光线经过所求两点即可求解反射光线所在直线方程． 【解答过程】入射光线所在直线的方程为，即， 由解得，即入射点的坐标为， 设关于直线对称的点为， 则，解得，即， 因为反射光线所在直线经过入射点和点，所以反射光线所在直线的斜率为， 所以反射光线所在直线的方程为，即． 故选：B． 2．（25-26高二上·吉林松原·期中）一束光线从点射出，与轴相交于点．经轴反射，则反射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】首先求出点关于轴对称的点，依题意反射光线所在直线过点与，求出直线的斜率，再由斜截式计算可得. 【解答过程】点关于轴对称的点为， 依题意反射光线所在直线过点与，则斜率， 所以反射光线所在直线的方程为，即. 故选：C. 3．（25-26高二上·辽宁大连·阶段检测）如图，在直角中，，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的面积等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意建立直角坐标系，结合光的反射原理，依次求出点关于直线，轴的对称点，并由四点共线，即可得到直线的方程，进而解出点的坐标并求得线段的长度，再运用点到直线的距离公式求得点到直线的距离，最后代入三角形的面积公式即可得解. 【解答过程】根据题意，以点为原点，以，分别为轴，轴建立直角坐标系， 则，所以直线的方程为，的重心为.    设点，其中，则点关于直线的对称点， 满足，解得，即， 易得点关于轴的对称点，由光的反射原理可知四点共线， 直线的斜率，所以直线的方程为， 由于直线经过的重心，代入得， 化简得或（舍去），故点，点，点， 直线的方程为，即， 联立，解得，即点， 联立，解得，即点， 所以， 又点到直线的距离为， 所以. 故选：A. 4．（25-26高二上·江苏泰州·阶段检测）已知光线通过点，经轴反射，反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程是___________. 【答案】 【解题思路】求出点关于轴的对称点的坐标，可知反射光线所在直线为直线，求出该直线的方程即可. 【解答过程】如下图所示： 点关于轴的对称点为， 由题意可知，反射光线所在直线为直线，且该直线的斜率为， 故反射光线所在直线的方程为，即. 故答案为：. 5．（25-26高二上·湖北武汉·期中）已知点，直线. (1)求过点，且与直线平行的直线的方程； (2)光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点，求反射光线所在直线的方程. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据平行设出直线方程，再根据点在线上求参即可； （2）设点关于直线的对称点为，再根据斜率及中点在直线上求出，最后应用两点式写出直线方程. 【解答过程】（1）因为直线与直线平行，直线的方程为， 故可设直线的方程为， 因为点在直线上， 所以， 所以， 所以直线的方程为 （2）设点关于直线的对称点为． 由题意得， 解得，所以点的坐标为， 所以反射光线所在直线斜率为， 直线方程为． 题型8 直线方程综合 1．（25-26高二上·山西·期中）在中，点A的坐标为,边的中线所在的直线方程为，边的高线所在的直线方程为，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设出点后，根据点在的高线上，且的中点在的中线所在直线上，列出两个方程，求解即可. 【解答过程】 设点,线段的中点为,则. 因为点必在的高线上，故有； 因为边的中线所在直线方程为上,即点在该直线方程上,故有. 联立,解得. 即点. 故选：B. 2．（25-26高二上·广西南宁·阶段检测）数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一条直线上．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点，，则的欧拉线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由已知求得重心与外心坐标，进而利用直线的两点式方程可求的欧拉线方程. 【解答过程】因为，所以的重心，即， 又因为，，所以， 所以，所以的外心为的中点，即， 所以直线的方程为，即， 又三角形的外心、垂心和重心都在同一条直线上， 所以的欧拉线方程为. 故选：B. 3．（25-26高二上·河南·期中）台球是一项在球桌上用球杆击打主球以撞击目标球的体育运动，假设主球（体积忽略不计，看作一个点）在球桌上均做直线运动，碰撞到球桌壁后反弹时满足反射角等于入射角.如图，现击打主球在球桌壁点反弹后，经过点，再在球桌壁点反弹后，击中目标球.以球桌壁所在直线分别为，轴，建立如图所示的直角坐标系，发现点的坐标为，目标球的坐标为，则在该坐标系中，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意，分别求得点关于轴的对称点为和点关于轴的对称点为，以及关于轴的对称点为，得到的方程，进而求得的坐标， 【解答过程】由点关于轴的对称点为，则点在直线上， 点关于轴的对称点为，则关于轴的对称点为， 所以点在直线上，则， 所以直线的方程为， 令，解得，则点的坐标为. 故选：D. 4．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知直线： ，直线： ，其中为实数. (1)当时，求的值； (2)当 时，直线，的交点为， ①直线经过，且与直线 垂直，求直线的方程； ②设，若直线过交点，且点到直线的距离等于1，求直线的方程. 【答案】(1) (2)① ；②或 【解题思路】（1）由得，即可求解； （2）①由题意，，所以，得，即可求解； ②分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论，即可得解. 【解答过程】（1）直线： 的斜率为， 由，得直线的斜率存在且为， 由得，即，解得. （2）当 时，直线：， 由，得，则， ①直线的斜率为， 因为，所以，得， 因为直线经过，其方程为， 化简得直线的方程为. ②若直线的斜率不存在，则直线的方程为， 此时点到直线的距离等于1，符合题意； 若直线的斜率存在且过点， 设直线的方程为，即， 因为点到直线的距离等于1，则， 化简得，解得，所以直线的方程为， 综上所述，直线的方程为或. 5．（25-26高二上·甘肃张掖·期中）已知直线. (1)求经过点且与直线垂直的直线方程； (2)求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程. (3)若直线交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程. 【答案】(1) (2)或 (3)S的最小值为16，此时直线l的方程为． 【解题思路】（1）根据直线的斜率可设所求直线方程为，代入点即可求解； （2）联立直线与的方程可得交点坐标，分截距为0和截距不为0两种情况分别求解； （3）先求出两点的坐标，进而得到的面积表达式，然后利用基本不等式求出面积的最小值，即可确定直线的方程． 【解答过程】（1）由直线可得直线的斜率为， 依题意，所求直线斜率为，则其方程可设为， 该直线经过点，则，解得， 故所求直线方程为，即； （2）联立，解得，即直线与的交点为， 当直线经过原点时，满足题意，设直线方程为， 代入解得，此时； 当直线的截距都不为0时，设直线方程为， 依题意，解得，此时直线方程为， 综上，所求直线方程为或. （3）由题可知， 在中，令，解得，即得A， 再令，可得，即得， 故， 则 当且仅当，即时取等号， 故S的最小值为16，此时直线l的方程为． 题型9 轨迹问题——圆 1．（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）已知定点，点P是圆上一动点，点Q是线段AP的中点，则点Q的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设点，结合中点坐标公式可得，进而代入即可求解. 【解答过程】设点，，定点，点Q是线段AP的中点， 所以，则，即， 又因为动点P在圆上，所以， 则，所以点Q轨迹方程为. 故选：A. 2．（25-26高二上·广东东莞·期中）已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，可得为线段中点，再利用坐标代换法求出轨迹方程. 【解答过程】设点，由，得为线段中点，则点， 而点在圆上，因此，即， 所以点的轨迹方程为. 故选：B. 3．（25-26高三上·宁夏石嘴山·期中）已知的斜边为，且，，则直角边中点的轨迹方程是（   ） A． B． C．（且） D．（且） 【答案】C 【解题思路】设，根据是线段的中点，得到，根据计算即可求得的轨迹方程. 【解答过程】设， 因为，是线段的中点， 由中点坐标公式得，所以， 即，所以， 由，得， 即， 又不能与重合，所以且，解得且， 动点的轨迹方程为（且）. 故选：C. 4．（25-26高二上·全国·期中）已知，动点满足，则动点的轨迹的方程为_________. 【答案】 【解题思路】设动点，根据两点间距离公式，列方程即可求解. 【解答过程】设动点，则， 即，整理得， 故动点的轨迹的方程为. 故答案为：. 5．（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）已知圆经过点，，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)设点，为圆上的动点，点满足，求点的轨迹方程． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由和的坐标，确定的斜率，进而得到垂直平分线的方程，解得圆心的坐标，再由和的坐标，利用两点间的距离公式求出的值，即为圆的半径，由圆心和半径写出圆的标准方程即可. （2）设出和的坐标，由向量坐标运算公式用的坐标表示的坐标，然后代入圆的方程即可求解． 【解答过程】（1）因为，，所以，所以弦的垂直平分线的斜率为， 又弦的中点坐标为， 所以弦的垂直平分线的方程为，即， 与直线联立解得：，， 所以圆心坐标为，所以圆的半径， 则圆的方程为：； （2）设，，， 则有，，． 由，可得，解之得， 由点在圆上，得，所以， 即， 故点的轨迹方程为. 题型10 直线与部分圆的相交问题 1．（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）若直线与曲线C：有两个不同的公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据曲线的方程可得曲线是以原点为圆心，为半径的圆的轴的上半部分（含轴），求出直线与圆相切时的值，再结合图形即可求解. 【解答过程】由可得， 所以曲线是以原点为圆心，为半径的圆的轴的上半部分（含轴）， 直线过定点， 当直线与圆相切时， 圆心到直线的距离， 解得或（舍去）， 当直线过点时， 直线斜率为， 结合图形可得实数的取值范围是. 故选：C. 2．（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）已知曲线与直线有两个公共点，那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先得到曲线轨迹为以为圆心，2为半径的上半圆，求出恒过定点，把半圆和直线画出，数形结合得到有两个相异的交点时实数k的取值范围即可. 【解答过程】由题意得，变形得到， 故曲线轨迹为以为圆心，2为半径的上半圆， 而恒过定点，把半圆和直线画出，如下： 当过点时，满足两个相异的交点， 且此时取得最大值，最大值为， 当与相切时， 由到直线距离等于半径可得，解得， 故要想曲线与直线有两个相异的交点， 则，故D正确. 故选：D. 3．（25-26高二上·广西河池·阶段检测）直线与曲线恰有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】曲线是以原点为圆心，2为半径的右半圆，作出图象，利用直线与半圆有两个交点求出b的取值范围. 【解答过程】是斜率为1的直线， 曲线即，是以原点为圆心，2为半径的右半圆，画出它们的图象如图， 当直线与圆相切时，，解得，或（舍去）， 当直线过时，，直线与半圆有两个公共点； 由图可以看出：当时，直线与半圆有两个公共点. 故选：B. 4．（25-26高二上·上海浦东新·阶段检测）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解题思路】由题曲线可化为，即表示以为圆心，半径为1的圆的上半部分，根据直线和圆的位置关系，结合图形求得答案. 【解答过程】直线，即，过定点， 曲线，可化为，表示以为圆心，半径为1的圆的上半部分， 画出直线和半圆的图形如下图所示， 设，则， 当直线和半圆相切时，则，解得或（舍去）， 所以要使得直线和曲线有两个交点，则. 故答案为：. 5．（25-26高二上·上海·期中）过点的直线与曲线有且仅有两个不同的交点，则的斜率的取值范围为____________. 【答案】 【解题思路】画出图象，结合直线与半圆的位置关系求得正确答案. 【解答过程】对于曲线，两边平方并化简得， 所以曲线表示以原点为圆心，半径为的圆在轴下方的半圆， 画出图象如下图所示， 依题意可知，直线的斜率存在，设斜率为， 则直线的方程为，即， 令原点到直线的距离，整理得， 解得或. 过和两点的直线的斜率为， 过和两点的直线的斜率为， 结合图象可知，要使直线与曲线有且仅有两个不同的交点， 直线的斜率的取值范围是. 故答案为：. 题型11 圆的切线长及切线方程问题 1．（25-26高二上·江苏镇江·期中）已知圆，过直线与轴的交点向圆引切线，切点为，则长为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】求出圆心和半径及，根据切线长公式求得结果． 【解答过程】直线与轴的交点， 圆，即， 则圆心，半径， ， 故切线长， 故选：C． 2．（25-26高二上·广东深圳·期中）过圆上的点作圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意，得到点在圆上，设过点的切线为，由，求得直线的斜率，结合点斜式方程，即可求解. 【解答过程】由点满足圆的方程，所以点在圆上， 又由圆，即，可得圆心， 设过点的切线为，则， 因为，所以 ，所以直线的方程为， 即，所以切线方程为. 故选：A. 3．（25-26高二上·浙江嘉兴·期中）经过点作圆的切线，则切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设出直线方程后，结合切线定义与点到直线的距离公式计算即可得. 【解答过程】易知切线斜率存在，设该切线方程为，即， 则有，化简得，故， 故该切线方程为，即. 故选：C. 4．（25-26高二上·广西来宾·期中）过点作圆的切线，切点为，则___________. 【答案】5 【解题思路】根据题意，求得，结合圆的切线长公式，即可求解. 【解答过程】由圆，可得圆心，半径为， 连接，因为是圆的切线，所以， 又因为，可得， 所以. 故答案为：.    5．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知圆经过点，，且圆心在直线上，直线. (1)若直线与圆相切，求的值; (2)若，过直线上一点作圆的切线、，切点分别为、，求四边形面积的最小值及此时点的坐标. 【答案】(1)或； (2)四边形面积的最小值为， 【解题思路】（1）设出圆心坐标，利用半径相等得到方程，求出，进而确定圆心和半径，得到圆的方程； （2）由对称性可知，四边形的面积，且当最小时，切线长最短，由点到直线距离公式得到的最小值，从而求出最小值，从而求出面积的最小值，并根据垂直关系求出直线方程为，联立求出点的坐标. 【解答过程】（1）圆心C在直线上，不妨设圆心C的坐标为， 则，解得， 故半径为， 故圆C的方程为； 由已知得圆心到直线的距离等于半径， 即，解得或. （2）当时，直线l的方程为， 如图，圆的半径为，即，其中， 由对称性可知，四边形的面积. 由勾股定理得，故当最小时，切线长最短， 显然当时，，所以， 四边形的面积的最小值， 直线的斜率为，由垂直关系可知此时， 又，故直线方程为，即， 联立与得，即.    题型12 直线与圆有关的面积问题 1．（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）已知直线与圆交于A，B两点，当的面积最大时，（    ） A． B． C．0或 D．0或 【答案】D 【解题思路】利用已知直线与圆的位置关系，结合三角形面积公式和点到直线的距离公式列关于的方程求解． 【解答过程】 直线， 圆是圆心为，半径为的圆， 的面积，， 当时，的面积最大，此时圆心到直线l的距离为， ，解得或，经验证均符合题意， 当的面积最大时，或． 故选：D． 2．（25-26高二上·江苏盐城·期末）已知点，，点P是圆上任意一点，则面积的最小值为（　　） A． B．9 C．6 D．3 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，求出直线的方程及线段长，再求出点到直线距离的最小值即可. 【解答过程】由点，，得， 直线：，即， 因为圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 因此点到直线距离的最小值 ， 所以△PAB面积的最小值为. 故选：A. 3．（2026·山西吕梁·一模）已知圆，点为直线上的动点，以为直径的圆与圆相交于两点，则四边形面积的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【解题思路】写出面积表达式，从而得到当与直线垂直时面积最小，代入数据计算即可. 【解答过程】由已知在以为直径的圆上， 所以， 又在圆上， 所以为圆的两条切线， 故 所以四边形面积， 圆的圆心坐标为，半径为， 所以， 所以， 而的最小值为点到直线的距离，此时与直线垂直，垂足为， 且点到直线的距离， 所以四边形面积的最小值为. 故选：B. 4．（25-26高二上·甘肃白银·期中）已知圆的圆心在直线上，圆经过点，且与直线相切. (1)求圆的方程； (2)已知直线与圆交于点M，N，求的面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设圆心为，根据直线与圆相切则圆心到直线的距离等于半径可列方程求解a，从而求得圆心与半径，即可写出圆的方程； （2）设圆心到直线的距离为，利用勾股定理用d表示出进而将整理为关于d的函数，再根据d的范围及二次函数的性质求出的取值范围. 【解答过程】（1）因为圆心在直线上，设圆心为. 则点到直线的距离，由题意，， 所以，化简得，解得. 所以圆心为，半径， 所以圆的方程是. （2）设圆心到直线的距离为，则，即. 因为直线与圆交于两点，所以. 所以， 因为，则，所以. 所以的面积的取值范围为. 5．（25-26高二上·山东泰安·期中）已知圆过点，圆心在直线上，且圆与直线相切． (1)求圆的标准方程； (2)若点为直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为、，求四边形面积的最小值，并求出此时点的坐标． 【答案】(1) (2)四边形面积的最小值为，点的坐标为 【解题思路】（1）设圆心，根据题意列关于的方程，解方程，可求出圆的半径，进而可得出圆的标准方程； （2）可得出四边形面积，分析可知，当时，取最小值，求出方程，联立、的方程，求点的坐标，并求出的值，由此可得出四边形面积的最小值. 【解答过程】（1）因为圆的圆心在直线上，设圆心为， 根据题意可得，即， 解得，故圆心为，该圆的半径为， 因此，圆的标准方程为. （2）因为、都与圆相切，由切线长定理可得， 又因为，， 则，且，， 所以，四边形面积， 当时，取最小值，则四边形面积最小， 因为直线的斜率为，则直线的斜率为， 所以，直线的方程为，即， 由得，即点的坐标为， 此时，则四边形面积的最小值为. 题型13 直线与圆有关的最值问题 1．（25-26高二上·广西南宁·阶段检测）已知直线与圆交于两点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由题意可得直线恒过定点，求得圆心到直线的距离的最大值可求的最大值． 【解答过程】由，得圆心，半径， 由直线，即，得直线恒过定点此点在圆内，. 又越小，则圆心到直线的距离越大， 如图，圆心到直线的最大距离为， 而， 所以圆心到直线的距离的最大值为， 此时， 所以， 所以的最大值为． 故选：D.      2．（25-26高二上·宁夏·阶段检测）在平面直角坐标系中，三点，，，动点满足，则点到直线距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据可求得点轨迹方程为，再求方程后，利用圆上点到直线距离最值的求解方法可解. 【解答过程】设，由得：， 即， 化简可得：，即点轨迹方程为， 直线的方程为，则圆心到直线的距离为， 点到直线距离最小值为. 故选：D. 3．（25-26高二上·广东广州·期中）已知点是圆上的动点，点是圆上的动点，点在直线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用圆的性质及直线与圆的位置关系，得出目标表达式与两圆的关系式，再求出关于直线的对称点，再结合两点间线段最短求出的最小值． 【解答过程】    的圆心为，半径，的圆心为，半径，分别是圆上的动点， ，故， 设点关于直线的对称点为，则垂直于直线 且的中点在直线上， 即，解得， ， 两点之间线段最短，的最小值为， ， 的最小值为，故D正确． 故选：D． 4．（25-26高二上·贵州毕节·期中）已知，则的最小值为___________． 【答案】 【解题思路】将所求式子看成圆上的点到直线距离的5倍，进而转化为圆到直线的距离可得. 【解答过程】由 ，表示圆上的点到直线的距离的5倍. 圆的圆心，半径，如图： 由圆心到直线的距离. 所以直线与圆相离，且圆上点到直线距离的最小值为. 所以的最小值为. 故答案为：3. 5．（25-26高二上·海南海口·期中）已知动点与点的距离是它与原点的距离的2倍. (1)求动点的轨迹的方程； (2)求的最小值； (3)经过原点的两条互相垂直的直线分别与轨迹相交于，两点和，两点，求四边形ACBD的面积的最大值. 【答案】(1) (2) (3)7 【解题思路】（1）根据动点与点的距离是它与原点的距离的2倍，由化简求解； （2）设，代入，得到，利用判别式求解； （3）当AB和CD的斜率都存在和AB和CD两直线中有一条没有斜率，另一条的斜率为0，设直线AB方程为：，分别求得弦长AB和CD，再由四边形ACBD的面积为求解. 【解答过程】（1）因为动点与点的距离是它与原点的距离的2倍， 所以， 即， ； （2）设，则，代入， 得， 由，得， 解得，即， 所以的最小值为； （3）当AB和CD的斜率都存在时，设直线AB方程为：， 则直线CD的方程为：， 已知轨迹是以为圆心，以2为半径的圆， 则圆心到直线的距离为， 所以，同理， 所以四边形ACBD的面积为：， ； 当AB和CD两直线中有一条没有斜率，另一条的斜率为0， 此时 ， 所以四边形ACBD的面积为， 当，即时，四边形ACBD的面积的最大值是7. 题型14 直线与圆中的定点定值问题 1．（25-26高二上·安徽合肥·期中）经过直线上一动点向圆引两条切线，，，为切点，则直线经过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设，可得以为直径的圆的方程，两圆方程相减，可得其公共弦，化为，由可得结果． 【解答过程】因为点为直线上一动点， 设，，是圆的切线， ，，是圆与以为直径的两圆的公共弦， 的中点为，可得以为直径的圆的方程为： ① 又，② ①与②相减得：， 化为， 由可得， 可得总满足直线方程，即过定点， 故选：A． 2．（25-26高二上·全国·期中）设与轴，轴的正半轴分别交于两点，点（异于）是上一点，若直线与轴交于点，直线与轴交于点，则（    ） A．为定值 B．有最小值 C．为定值 D．有最大值 【答案】C 【解题思路】讨论直线斜率不存在和存在时两种情况，存在时设，利用直线方程可分别求出，坐标，即可求出的表达式，化简可得答案. 【解答过程】由题得，，    ①当直线斜率不存在时，，是原点，与重合， 则，，所以； ②当直线斜率存在时，设，直线的方程为， 令，解得，则，同理可得， 所以， 又在上，所以， 代入上式得， 综合可得为定值． 故选：C. 3．（2026·湖北襄阳·三模）在平面直角坐标系中，，过点作直线l与圆交于不同的两点． (1)若直线l的斜率为1，求； (2)设直线，的斜率分别是，，探索是不是定值，若是，求出该定值，若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)是定值，且定值为 【解题思路】（1）先计算圆心到直线l的距离，再利用垂径定理计算即可； （2）设，与圆方程联立，利用韦达定理化简即可. 【解答过程】（1）依题意，得直线，即， 则圆心到直线l的距离，所以． （2）依题意，直线l的斜率存在且不为零，设，， 联立，得， 则，， 所以 ， 所以是定值，且定值为． 4．（25-26高二上·江苏泰州·期中）在平面直角坐标系xOy中，圆的圆心在直线上，圆经过点，且与直线相切. (1)求圆的方程； (2)设直线交圆于P，Q两点，若直线的斜率之积为3，求证：直线过一个定点，并求出该定点坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）由圆心在直线上，可设圆心坐标，由圆心到切线的距离等于半径列方程解得a后可得圆方程； （2）分类讨论，直线斜率不存在时，可设，由已知求出，但此直线与圆无交点，不合题意；直线l的斜率存在．设直线l的方程，把已知用坐标表示出来，记为①式，由直线与圆相交，直线方程与圆方程联立，消元后应用韦达定理得，代入①式，得出的关系式，代入直线方程整理可得直线过的定点的坐标． 【解答过程】（1）因为圆心在直线上，所以设， 因为圆C经过点，所以圆C的半径， 因为圆C和直线相切，所以圆C的半径， 所以. 化简，得，解得. 所以，半径. 所以圆C的方程为. （2）若直线的斜率不存在，则可设， 所以， 消去得，再代入不存在， 所以直线的斜率存在. 设直线的方程， 所以， 整理得， ① 直线方程与圆C方程联立，， 消去y得， 所以代入 ① 得， 由于，整理得，即， 所以直线l的方程为，即， 令，解得， 所以直线l过一个定点，该定点坐标为. 5．（25-26高一下·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中．点，直线，．圆经过两点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)当直线与圆相切时，求实数的值． (3)若直线与圆相交于两点，当变化时，是否存在一个定点，使得为定值？若存在，求出一个的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)为点时，为定值 【解题思路】（1）设圆心坐标为 ，由题意可得，且，可求得圆心坐标与半径，进而可求得圆的方程； （2）由题意可得，求解即可； （3）由题意可得直线经过定点，设过的直线与圆的切点为， 可得，当为定点，符合题意. 【解答过程】（1）设圆心坐标为 ，因为圆心在直线 上， 则， 因为利用圆经过点和，所以， 两边平方后得， 整理得，又，解得，，所以圆心为， 的以圆的半径， 所以圆的标准方程为； （2）因为， 由题意可得 的距离为，所以 两边平方，化简得，解得或； （3）直线的方程为 即， 由，解得，所以直线经过定点， 又，所以点在圆外， 设过的直线与圆的切点为， 则有，又， 所以 所以当为定点时，为定值. 题型15 两圆的公切线问题 1．（25-26高二上·广东广州·期末）已知圆与圆相内切，则与的公切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据两圆内切求出圆的半径，分析可知公切线与直线垂直，据此可设公切线的方程为，即，利用直线与圆相切可得出关于的方程组，求出的值，即可得出所求公切线的方程. 【解答过程】圆的圆心为，半径为， 圆的标准方程为，则，可得， 其圆心为，半径为， 因为，即圆心在圆外，故圆内切于圆， 故， 易知公切线与直线垂直，且，故公切线的斜率为， 设公切线的方程为，即， 所以，解得，所以两圆公切线方程为. 故选：D. 2．（25-26高三上·河北·阶段检测）已知圆，圆，则与的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】分别确定两个圆的圆心坐标与半径，根据圆与圆的位置关系求解圆心距，从而得圆与圆的位置关系，即可得公切线条数. 【解答过程】由题意可得圆25，圆心， 圆 ，圆心， 则圆心距 ， 则，所以两圆相交，故其公切线条数为2. 故选：B. 3．（25-26高三上·广西百色·阶段检测）圆，圆，则两圆的一条公切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由圆与圆位置关系的判断可知两圆外离，得公切线条数；根据两圆半径相同可确定两条公切线过，两条公切线平行于，假设公切线方程，利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求得公切线. 【解答过程】由两圆方程得：圆心，，半径， 两圆圆心距，，即两圆外离，公切线共有条； 两圆半径相同，两圆两条公切线经过中点，两条公切线与平行， 经过中点的公切线斜率显然存在，可设为：， ，解得：或，即公切线方程为：或； ，与平行的公切线方程为，即， ，解得：，即公切线方程为或； 综上所述：两圆的公切线方程为：或或或. 故选：C. 4．（25-26高二上·全国·期中）圆与圆的公切线长为___________. 【答案】4 【解题思路】先由圆心距与两圆半径和差关系判断两圆位置关系，再由几何性质利用勾股定理求解公切线长. 【解答过程】由题可得，由圆， 则圆心为，半径为， 由圆， 则圆的圆心为，半径为. 则两圆心的距离， 因为，所以圆与圆相交. 如图，设切点为，作于点， 所以圆与圆的公切线长为. 故答案为：.    5．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）已知动点到两定点和的距离之比为. (1)求动点的轨迹的方程； (2)已知圆：，判断和的位置关系，并求它们的公切线方程. 【答案】(1) (2)相交；或 【解题思路】（1）设，根据题意得到，利用两点间距离公式列式化简即可得解； （2）利用两圆的位置关系判断得和的位置关系，再利用公切线的性质，结合点线距离公式列式即可得解. 【解答过程】（1）依题意，设，则，即， 所以，则，整理得， 故动点的轨迹的方程为. （2）由（1）知，动点的轨迹是一个圆，其圆心，半径为， 圆：的圆心，半径为， 所以，显然，则圆和圆相交， 所以圆和圆的公切线有两条，且斜率都存在， 不妨设为，即， 则有，则，解得或， 当时，得，解得或， 当时，，此时公切线方程为； 当时，，此时公切线方程为； 当时，得，方程无解； 综上，公切线方程为或. 题型16 两圆的公共弦长问题 1．（25-26高二上·山东济宁·期中）圆：和圆：的公共弦长是（   ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】D 【解题思路】利用两圆方程相减可得公共弦方程，再利用一个圆心到公共弦的距离来求弦长即可. 【解答过程】由圆：可得圆心，半径， 由圆：和圆：方程相减可得公共弦的直线方程：， 由圆心到公共弦的距离为：， 所以公共弦长为， 故选：D. 2．（25-26高二下·安徽阜阳·期末）圆与圆的公共弦长为，则的值为（   ） A．12或4 B．12或-4 C．16或4 D．16或-4 【答案】B 【解题思路】利用圆的方程求得公共弦所在直线方程，由点到直线的距离公式，求得弦心距，根据弦长公式建立方程，求得参数，结合圆的方程成立条件检验，可得答案. 【解答过程】两圆方程作差可得，即公共弦所在直线方程为， 由圆，则圆心，半径， 点到公共弦所在直线的距离， 公共弦长为，则，解得或， 由圆，整理可得， 则，所以或. 故选：B. 3．（25-26高二上·江苏镇江·阶段检测）已知圆，圆，则这两圆的公共弦长为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】C 【解题思路】由两圆方程求出两圆公共弦所在直线方程，再与圆联立求出相交弦的弦长即可. 【解答过程】由圆，圆， 两式相减得相交弦所在直线方程：. 由圆可得圆， 所以圆心、半径. 所以圆心到直线的距离， 所以相交弦长为. 故选：C. 4．（25-26高二上·山西朔州·期末）圆与圆的公共弦的长为___________. 【答案】 【解题思路】两个圆的方程相减，得到相交弦所在的直线方程，结合点到直线距离公式、圆的弦长公式进行求解即可. 【解答过程】两圆为① ，② ， ②-①可得，即两圆的公共弦所在直线的方程为. 圆的圆心为点，半径为， 圆心到公共弦的距离为公共弦的长为. 故答案为：. 5．（25-26高二上·河南新乡·期末）已知圆过原点，且与直线相切． (1)求圆的方程； (2)判断圆与圆是否相交，若相交，请求出公共弦的长． 【答案】(1) (2)相交，且公共弦长为 【解题思路】（1）利用圆过原点，以及直线与圆相切，可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出圆的方程； （2）利用圆与圆的位置关系可判断出圆与圆相交，将两圆方程作差，可得出相交弦方程，再利用勾股定理可求出相交弦所在直线截圆所得弦长即可. 【解答过程】（1）圆过原点，，① 圆与直线相切，，② 联立①②，解得，， 圆的方程为． （2）圆的圆心，半径． 则，，， ，圆与圆相交． 将圆的方程与圆的方程相减，得公共弦所在直线方程为， 点到公共弦所在直线的距离， 公共弦的长为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 直线和圆的方程全章十六大压轴题型归纳（举一反三讲义·培优篇） 【人教A版】 题型1 直线与线段的相交关系求斜率范围 1．（25-26高二上·福建泉州·期中）已知过点的直线与以点和为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知点，，过的直线与线段没有交点，则直线斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·安徽·期中）已知直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·安徽淮南·阶段检测）已知点，，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是__________． 5．（24-25高二上·陕西安康·阶段检测）已知直线过点，且与以和为端点的线段相交. (1)求直线的斜率k的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 题型2 直线与坐标轴围成图形的面积问题 1．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知直线的方程为，若与轴的正半轴，轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点，且的面积为2，则（    ） A． B．-1 C． D．0 2．（25-26高二上·安徽·期中）已知直线过点，且与两个坐标轴的正半轴分别交于点、，为坐标原点，则面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）直线的倾斜角是直线倾斜角的一半，且直线与坐标轴所围成的三角形的面积为，则直线的方程可能是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）若经过点的直线在，轴上的截距之比为，则与两坐标轴围成的三角形的面积为__________. 5．（25-26高二上·湖北武汉·期末）已知直线方程为． (1)若直线的倾斜角为，求的值； (2)若直线分别与轴、轴的负半轴交于、两点，为坐标原点，求面积的最小值及此时直线的方程． 题型3 根据两直线平行、垂直求参数 1．（25-26高二上·天津和平·期末）已知直线与直线：平行，且直线与直线：垂直，则实数（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·安徽六安·期末）已知直线与平行，则实数的值为（    ） A． B． C． D．2 3．（25-26高二上·广西河池·期末）若直线与直线垂直，则（    ） A．1 B． C．3 D． 4．（25-26高二上·北京·阶段检测）当m为何值时，过两点，，的直线. (1)与过两点，的直线垂直； (2)与过两点，的直线平行. 5．（25-26高二上·安徽蚌埠·期末）已知直线和直线. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 题型4 求与已知直线平行、垂直的直线方程 1．（25-26高二上·河北石家庄·期末）过点且垂直于直线的直线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·四川遂宁·期末）求经过点，且与直线平行的直线方程为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·北京丰台·期中）的三个顶点是，，，则边上的高所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·上海浦东新·期中）过点且与直线垂直的直线的一般式方程为___________. 5．（25-26高二上·北京平谷·阶段检测）已知的三个顶点分别为，求： (1)所在直线的方程； (2)过点与边平行的直线方程； (3)边的垂直平分线的方程． 题型5 三线能围成三角形的问题 1．（25-26高二上·北京·期中）下面三条直线，，不能构成三角形，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·福建宁德·期中）三条直线构成一个三角形，则的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且 3．（25-26高二上·全国·课后作业）使三条直线不能围成三角形的实数m的值最多有几个（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 4．（25-26高二上·江苏镇江·阶段检测）若三条直线，，不能构成三角形，则实数所有可能的取值组成的集合为___________. 5．（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）已知两直线，． (1)求过直线交点P，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程； (2)若直线与直线能构成三角形，求实数a的取值范围． 题型6 与距离有关的最值问题 1．（25-26高二上·黑龙江·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·青海西宁·期中）点到直线（为任意实数）的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·贵州贵阳·期末）已知点为直线上任意一点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·黑龙江·阶段检测）函数的最大值为___________． 5．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知两直线. (1)求过两直线的交点且与直线平行的直线方程. (2)已知两点，动点在直线运动，求的最小值. 题型7 光线反射问题 1．（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）一条沿直线传播的光线经过点，且在轴上的截距为，然后被直线反射，则反射光线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·吉林松原·期中）一束光线从点射出，与轴相交于点．经轴反射，则反射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·辽宁大连·阶段检测）如图，在直角中，，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的面积等于（    ）    A． B． C． D． 4．（25-26高二上·江苏泰州·阶段检测）已知光线通过点，经轴反射，反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程是___________. 5．（25-26高二上·湖北武汉·期中）已知点，直线. (1)求过点，且与直线平行的直线的方程； (2)光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点，求反射光线所在直线的方程. 题型8 直线方程综合 1．（25-26高二上·山西·期中）在中，点A的坐标为,边的中线所在的直线方程为，边的高线所在的直线方程为，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·广西南宁·阶段检测）数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一条直线上．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点，，则的欧拉线方程为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·河南·期中）台球是一项在球桌上用球杆击打主球以撞击目标球的体育运动，假设主球（体积忽略不计，看作一个点）在球桌上均做直线运动，碰撞到球桌壁后反弹时满足反射角等于入射角.如图，现击打主球在球桌壁点反弹后，经过点，再在球桌壁点反弹后，击中目标球.以球桌壁所在直线分别为，轴，建立如图所示的直角坐标系，发现点的坐标为，目标球的坐标为，则在该坐标系中，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知直线： ，直线： ，其中为实数. (1)当时，求的值； (2)当 时，直线，的交点为， ①直线经过，且与直线 垂直，求直线的方程； ②设，若直线过交点，且点到直线的距离等于1，求直线的方程. 5．（25-26高二上·甘肃张掖·期中）已知直线. (1)求经过点且与直线垂直的直线方程； (2)求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程. (3)若直线交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程. 题型9 轨迹问题——圆 1．（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）已知定点，点P是圆上一动点，点Q是线段AP的中点，则点Q的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·广东东莞·期中）已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·宁夏石嘴山·期中）已知的斜边为，且，，则直角边中点的轨迹方程是（   ） A． B． C．（且） D．（且） 4．（25-26高二上·全国·期中）已知，动点满足，则动点的轨迹的方程为_________. 5．（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）已知圆经过点，，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)设点，为圆上的动点，点满足，求点的轨迹方程． 题型10 直线与部分圆的相交问题 1．（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）若直线与曲线C：有两个不同的公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）已知曲线与直线有两个公共点，那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·广西河池·阶段检测）直线与曲线恰有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·上海浦东新·阶段检测）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是___________． 5．（25-26高二上·上海·期中）过点的直线与曲线有且仅有两个不同的交点，则的斜率的取值范围为____________. 题型11 圆的切线长及切线方程问题 1．（25-26高二上·江苏镇江·期中）已知圆，过直线与轴的交点向圆引切线，切点为，则长为（    ） A．3 B． C． D． 2．（25-26高二上·广东深圳·期中）过圆上的点作圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·浙江嘉兴·期中）经过点作圆的切线，则切线方程为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·广西来宾·期中）过点作圆的切线，切点为，则___________. 5．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知圆经过点，，且圆心在直线上，直线. (1)若直线与圆相切，求的值; (2)若，过直线上一点作圆的切线、，切点分别为、，求四边形面积的最小值及此时点的坐标. 题型12 直线与圆有关的面积问题 1．（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）已知直线与圆交于A，B两点，当的面积最大时，（    ） A． B． C．0或 D．0或 2．（25-26高二上·江苏盐城·期末）已知点，，点P是圆上任意一点，则面积的最小值为（　　） A． B．9 C．6 D．3 3．（2026·山西吕梁·一模）已知圆，点为直线上的动点，以为直径的圆与圆相交于两点，则四边形面积的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 4．（25-26高二上·甘肃白银·期中）已知圆的圆心在直线上，圆经过点，且与直线相切. (1)求圆的方程； (2)已知直线与圆交于点M，N，求的面积的取值范围. 5．（25-26高二上·山东泰安·期中）已知圆过点，圆心在直线上，且圆与直线相切． (1)求圆的标准方程； (2)若点为直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为、，求四边形面积的最小值，并求出此时点的坐标． 题型13 直线与圆有关的最值问题 1．（25-26高二上·广西南宁·阶段检测）已知直线与圆交于两点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·宁夏·阶段检测）在平面直角坐标系中，三点，，，动点满足，则点到直线距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·广东广州·期中）已知点是圆上的动点，点是圆上的动点，点在直线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·贵州毕节·期中）已知，则的最小值为___________． 5．（25-26高二上·海南海口·期中）已知动点与点的距离是它与原点的距离的2倍. (1)求动点的轨迹的方程； (2)求的最小值； (3)经过原点的两条互相垂直的直线分别与轨迹相交于，两点和，两点，求四边形ACBD的面积的最大值. 题型14 直线与圆中的定点定值问题 1．（25-26高二上·安徽合肥·期中）经过直线上一动点向圆引两条切线，，，为切点，则直线经过定点（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·全国·期中）设与轴，轴的正半轴分别交于两点，点（异于）是上一点，若直线与轴交于点，直线与轴交于点，则（    ） A．为定值 B．有最小值 C．为定值 D．有最大值 3．（2026·湖北襄阳·三模）在平面直角坐标系中，，过点作直线l与圆交于不同的两点． (1)若直线l的斜率为1，求； (2)设直线，的斜率分别是，，探索是不是定值，若是，求出该定值，若不是，说明理由． 4．（25-26高二上·江苏泰州·期中）在平面直角坐标系xOy中，圆的圆心在直线上，圆经过点，且与直线相切. (1)求圆的方程； (2)设直线交圆于P，Q两点，若直线的斜率之积为3，求证：直线过一个定点，并求出该定点坐标. 5．（25-26高一下·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中．点，直线，．圆经过两点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)当直线与圆相切时，求实数的值． (3)若直线与圆相交于两点，当变化时，是否存在一个定点，使得为定值？若存在，求出一个的坐标；若不存在，请说明理由． 题型15 两圆的公切线问题 1．（25-26高二上·广东广州·期末）已知圆与圆相内切，则与的公切线方程为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·河北·阶段检测）已知圆，圆，则与的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26高三上·广西百色·阶段检测）圆，圆，则两圆的一条公切线方程为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·全国·期中）圆与圆的公切线长为___________. 5．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）已知动点到两定点和的距离之比为. (1)求动点的轨迹的方程； (2)已知圆：，判断和的位置关系，并求它们的公切线方程. 题型16 两圆的公共弦长问题 1．（25-26高二上·山东济宁·期中）圆：和圆：的公共弦长是（   ） A．4 B．5 C．8 D．10 2．（25-26高二下·安徽阜阳·期末）圆与圆的公共弦长为，则的值为（   ） A．12或4 B．12或-4 C．16或4 D．16或-4 3．（25-26高二上·江苏镇江·阶段检测）已知圆，圆，则这两圆的公共弦长为（    ） A． B． C．2 D．1 4．（25-26高二上·山西朔州·期末）圆与圆的公共弦的长为___________. 5．（25-26高二上·河南新乡·期末）已知圆过原点，且与直线相切． (1)求圆的方程； (2)判断圆与圆是否相交，若相交，请求出公共弦的长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $