专题2.4 圆的方程（高效培优讲义）数学人教A版高二选择性必修第一册

本讲义聚焦圆的方程核心知识点，系统梳理圆的标准方程推导与应用、一般方程识别与转化，结合点与圆位置关系，构建从几何条件到代数方程的转化支架，为后续直线与圆位置关系学习奠定基础。 资料以“即学即练+典例变式”分层设计，通过待定系数法、数形结合培养数学思维，如圆过定点问题用分离参数法抽象模型，轨迹方程求解强化数学语言表达，课中助力教师高效教学，课后帮助学生查漏补缺。

专题2.4 圆的方程 教学目标 1. 掌握圆的标准方程与一般方程，理解两种方程的相互转化，能根据条件写出圆的方程。 2. 会由圆的方程求出圆心、半径，提升代数运算与数形结合素养，体会解析几何坐标法思想。 3. 能够利用圆的方程解决简单实际几何问题，为后续直线与圆、圆与圆位置关系学习打好基础。 教学重难点 重点 1. 圆的标准方程的推导、理解与应用，明确圆心、半径对圆方程的影响。 2. 圆的一般方程的识别，会将一般方程化为标准方程求圆心和半径。 3. 依据已知条件，选用合适形式求解圆的方程。 难点 1. 圆的一般方程成立条件，辨析二元二次方程表示圆的限定条件。 2. 结合几何条件，运用待定系数法求解含参数的圆的方程。 3. 几何条件转化为代数方程，数形结合处理圆的综合问题。 知识点01 圆的标准方程 ，其中为圆心，为半径． （1）如果圆心在坐标原点，这时，圆的方程就是．有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x轴上：；圆与y轴相切时：；圆与x轴相切时：；与坐标轴相切时：；过原点： （2）圆的标准方程圆心为，半径为，它显现了圆的几何特点． （3）标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径．由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用_________和_________． 【即学即练】 1．已知圆的方程为，则圆的圆心、半径分别为（   ） A．，2 B．，4 C．，2 D．，4 2．圆关于原点对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 3．圆关于直线对称，则 __________． 知识点02 点和圆的位置关系 如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有 （1）若点在圆上 （2）若点在圆外 （3）若点在圆内 【即学即练】 1．已知圆，其中，下列各点中一定在圆C内的是（   ） A． B． C． D． 2．（多选）已知圆心为的圆与点，则（    ） A．圆的半径为2 B．点在圆外 C．点在圆内 D．点与圆上任一点距离的最小值为 3．（多选）已知圆M的方程为，则下列说法正确的是（    ） A．圆M的圆心为（2，－1） B．圆M的半径为5 C．点在圆M外 D．圆M被x轴截得的弦长为4 知识点03 圆的一般方程 当时，方程叫做圆的一般方程．为圆心，为半径． 由方程得 （1）当时，方程只有实数解．它表示一个点． （2）当时，方程没有实数解，因而它__________________． （3）当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆． 【即学即练】 1．曲线与曲线关于直线对称，则曲线的方程为______． 2．已知一个圆过点，，它与轴的交点为，，与轴的交点为，，且，求此圆的方程. 3．已知的三个顶点分别为. (1)求的面积； (2)求的外接圆的方程. 知识点04 轨迹方程 求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的_________． 1．当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）． 2．求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等． 3．求轨迹方程的步骤： （1）建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标；（2）列出关于的方程； （3）把方程化为最简形式；（4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）；（5）作答． 【即学即练】 1．若直线，，设与的交点为P，O为坐标原点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．已知圆，圆心坐标为． (1)求圆的一般方程； (2)若点为圆上的动点，定点，求满足条件的点的轨迹方程并判断它的形状． 3．在平面直角坐标系中，的顶点，，则点的轨迹方程为______． 题型01 圆的标准方程 确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a、b、r的方程组，求a、b、r或直接求出圆心和半径r，一般步骤为： （1）根据题意，设所求的圆的标准方程为； （2）根据已知条件，建立关于a、b、r的方程组； （3）解方程组，求出a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程． 【典例1】已知点，则以为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知直线过圆的圆心，则的最小值为（   ） A． B． C．6 D．9 【变式2】在平面直角坐标系中，圆心为，半径为2的圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 题型02 圆的一般方程 （1）若一个圆可用一般方程表示，则它具备隐含条件，解题时，应充分利用这一隐含条件． （2）一般地，当给出了圆上的三点坐标，特别是当这三点的横坐标和横坐标之间、纵坐标和纵坐标之间均不相同时，选用圆的一般方程比选用圆的标准方程简捷；而在其他情况下的首选应该是圆的标准方程，此时要注意从几何角度来分析问题，以便找到与圆心和半径相联系的可用条件． 【典例1】以直线恒过的定点为圆心，半径为的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知圆，直线，圆心到直线的距离等于6，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知圆上的所有点都在第二象限，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型03 点与圆的位置关系 如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有 （1）若点在圆上 （2）若点在圆外 （3）若点在圆内 【典例1】（多选）已知圆C：及点，则下列说法正确的是（    ） A．圆心C的坐标为 B．点Q在圆C外 C．若点在圆C上，则直线PQ的斜率为 D．若M是圆C上任一点，则的取值范围为. 【变式1】若点，圆的一般方程为，则点A与圆位置关系（    ） A．圆外 B．圆内且不是圆心 C．圆上 D．圆心 【变式2】点与圆的位置关系是（    ） A．点P在圆上 B．点P在圆外 C．点P在圆内且不是圆心 D．点P在圆内且是圆心 题型04 二元二次曲线与圆的关系 判断二元二次方程是否表示圆，先保证x2、y2系数相等且不为0，不存在xy交叉项。将方程通过配方法转化为圆的标准方程，看半径平方的取值：大于零代表实圆；等于零表示一个点；小于零则没有对应轨迹。处理含参数问题，逐条列出约束条件联立计算，求出参数后回代检验。做题不能只看形式，配方是关键，规避忽略隐含条件造成错解。 【典例1】已知，方程表示圆，则圆心的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式1】若方程表示圆，则整数m的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【变式2】若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型05 圆过定点问题 求解圆过定点问题，常用分离参数法，把圆的一般方程整理为含参数项与常数项分组，令参数系数与常数项部分分别等于零，联立方程组求解得到定点坐标。也可代入两组特殊参数，得到两个圆方程，联立求交点，再回代原方程验证。注意不要仅凭观察猜测定点，必须检验。遇到几何题型，可结合圆系方程简化运算，区分圆过定点与圆心定点，审题看清条件，计算结束务必验证，防止出现错解漏解。 【典例1】已知圆的圆心在直线上，且圆过点，. (1)求圆的一般方程； (2)若圆与圆关于直线对称，求圆的标准方程. 【变式1】已知函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点. (1)求经过、、三点的圆的方程； (2)圆是否经过某定点（其坐标与无关）?请说明理由. 【变式2】已知圆经过原点，则（    ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 题型06 轨迹问题 用直接法求曲线方程的步骤如下： （1）建系设点：建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点坐标为； （2）几何点集：写出满足题设的点的集合； （3）翻译列式：将几何条件用坐标、表示，写出方程； （4）化简方程：通过同解变形化简方程； （5）查漏除杂：验证方程表示的曲线是否为已知的曲线，重点检查方程表示的曲线是否有多余的点，曲线上是否有遗漏的点． 求轨迹时常用的方法：代入法 对于“双动点”问题，即若已知一动点在某条曲线上运动而求另一动点的轨迹方程时，通常用这一方法．代入法是先设所求轨迹的动点坐标为，在已知曲线上运动的点的坐标为，用，表示，，即，，并将它代入到已知曲线方程，即求出所求动点的轨迹方程．一般情况下，证明可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明，即扣除不合题意的解或补上失去的解． 【典例1】在平面直角坐标系中，点M在圆心为C的圆上．若动点P满足，则对于，点P到直线的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知实数满足，，，则的最大值为________ 【变式2】已知圆的圆心为点，其在直线上，且与轴交于两点、． (1)求的面积； (2)求圆的标准方程； (3)已知，点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程． 题型07 定点到圆上的点最值问题 定点到圆上点的最值，先求出圆心与定点之间的距离，再结合半径求解。若点在圆外，最大值为圆心距加半径，最小值为圆心距减半径；若点在圆内，最大值为圆心距加半径，最小值为半径减去圆心距；点在圆上，最小值为0。解题优先数形结合画图辅助判断，分清定点在圆内、圆上、圆外三种位置。可以联立方程验证结果，注意不要直接套用公式，先判定点和圆的位置关系，避免计算出错。 【典例1】已知实数、满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】某数据中心有一核心节点，周围边缘节点均部署在圆上．定义流量损耗函数，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【变式2】已知复数z满足，则的最小值为（   ） A． B．3 C． D．1 1.杭州有很多圆拱的悬索拱桥，经测得某圆拱索桥（如图）的跨度米，拱高米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与OP相距30米的支柱MN的高度约是______米．（注：） 2．（多选）已知圆及点，则下列说法中正确的是（    ） A．圆心的坐标为 B．点在圆外 C．若点在圆上，则直线PQ的斜率为 D．若是圆上任一点，则｜MQ｜的取值范围为 3．已知圆C过点，圆心在轴上，且圆心在直线上，则圆的标准方程为______；设点，若圆上存在两点和，使得，则实数的取值范围为______． 4．已知直线，直线，设直线与的交点为，点的坐标为，则以AP为直径的圆的方程为______． 5．已知圆与圆关于原点对称． (1)求圆的标准方程； (2)设点为圆上任意一点，求代数式的最值． 6．已知点，则以为直径的圆的方程为（ ） A． B． C． D． 7．如图，轴，垂足为，点在的延长线上，且，当点在圆上运动时，点的轨迹方程为______． 8．已知实数满足，则的最小值为_____. 9．若点在圆的外部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．若点在圆的外部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 1．若点在圆的外部，则实数的取值可能为（    ） A． B． C． D． 2．已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知圆是圆上一动点，点为线段的中点，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 4．（多选）已知圆过点，，且圆心在轴上，则下列说法正确的是（   ） A．圆心的坐标为 B．圆的标准方程为 C．圆与轴的交点坐标为 D．圆上一点到点距离的最大值为 5．已知点，则以为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 6．已知三个顶点的坐标分别是. (1)求的面积 (2)求外接圆的方程 7．“”是“点在圆内”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 8．圆上的点到直线的最大距离是（    ） A．36 B． C． D．18 9．若圆经过点，，且圆心在直线上，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 10．已知圆，圆心在直线上，且圆心在第二象限，半径长为. (1)求圆C的一般方程； (2)判断和圆的位置关系． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.4 圆的方程 教学目标 1. 掌握圆的标准方程与一般方程，理解两种方程的相互转化，能根据条件写出圆的方程。 2. 会由圆的方程求出圆心、半径，提升代数运算与数形结合素养，体会解析几何坐标法思想。 3. 能够利用圆的方程解决简单实际几何问题，为后续直线与圆、圆与圆位置关系学习打好基础。 教学重难点 重点 1. 圆的标准方程的推导、理解与应用，明确圆心、半径对圆方程的影响。 2. 圆的一般方程的识别，会将一般方程化为标准方程求圆心和半径。 3. 依据已知条件，选用合适形式求解圆的方程。 难点 1. 圆的一般方程成立条件，辨析二元二次方程表示圆的限定条件。 2. 结合几何条件，运用待定系数法求解含参数的圆的方程。 3. 几何条件转化为代数方程，数形结合处理圆的综合问题。 知识点01 圆的标准方程 ，其中为圆心，为半径． （1）如果圆心在坐标原点，这时，圆的方程就是．有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x轴上：；圆与y轴相切时：；圆与x轴相切时：；与坐标轴相切时：；过原点： （2）圆的标准方程圆心为，半径为，它显现了圆的几何特点． （3）标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径．由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法． 【即学即练】 1．已知圆的方程为，则圆的圆心、半径分别为（   ） A．，2 B．，4 C．，2 D．，4 【答案】A 【分析】根据圆的标准方程确定圆的圆心和半径. 【详解】因为圆的方程为，所以圆心的坐标为，半径. 故选：A 2．圆关于原点对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由圆的方程可求得圆心和半径，进而求得圆心关于原点对称的点的坐标，由此可得所求圆的圆心和半径，进而得到所求圆方程. 【详解】圆的圆心为，半径． 圆心关于原点的对称点为，即所求圆的圆心为，半径为5， 所以所求圆的方程为． 故选：B. 3．圆关于直线对称，则 __________． 【答案】3 【分析】由题分析知直线过圆心，代入圆心坐标即可． 【详解】由题意得直线过圆心，代入直线方程有， 解得， 故答案为：3． 知识点02 点和圆的位置关系 如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有 （1）若点在圆上 （2）若点在圆外 （3）若点在圆内 【即学即练】 1．已知圆，其中，下列各点中一定在圆C内的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用代入验证法确定正确答案. 【详解】由圆，可知，即， ，A选项正确， ，不一定小于0，B选项错误， ，不一定小于0，C选项错误， ，不一定小于0，D选项错误. 故选：A 2．（多选）已知圆心为的圆与点，则（    ） A．圆的半径为2 B．点在圆外 C．点在圆内 D．点与圆上任一点距离的最小值为 【答案】BD 【分析】将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，求出，即可判断. 【详解】因为，即， 所以圆心为，半径，故A错误； 又，所以点在圆外，故B正确，C错误； 因为，所以点与圆上任一点距离的最小值为，故D正确. 故选：BD 3．（多选）已知圆M的方程为，则下列说法正确的是（    ） A．圆M的圆心为（2，－1） B．圆M的半径为5 C．点在圆M外 D．圆M被x轴截得的弦长为4 【答案】ACD 【分析】先将圆化成标准方程，可判断出A和B选项，将点代入可判断出C，令求出即可计算出弦长. 【详解】配方可得圆M：，故圆心为，半径为，则A项正确，B项错误； 因为，所以点在圆M外，C项正确； 令，得或，故圆M被x轴截得的弦长为4，故D项正确. 故选:ACD 知识点03 圆的一般方程 当时，方程叫做圆的一般方程．为圆心，为半径． 由方程得 （1）当时，方程只有实数解．它表示一个点． （2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． （3）当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆． 【即学即练】 1．曲线与曲线关于直线对称，则曲线的方程为______． 【答案】 【分析】在曲线上任取一点，求出点关于直线的对称点的坐标，将点的坐标代入曲线的方程，化简可得出曲线的方程. 【详解】在曲线上任取一点，则点关于直线的对称点为， 因为点在曲线上，则有， 即为. 故曲线的方程为. 故答案为：. 2．已知一个圆过点，，它与轴的交点为，，与轴的交点为，，且，求此圆的方程. 【答案】. 【分析】设该圆的一般方程为，把题干所给条件代入解方程组即可. 【详解】设该圆的一般方程为， 令，得，所以； 令，得，所以. 所以，所以.① 又，两点在圆上， 所以，② .③ 由①②③，得，，，经验证符合题意， 故所求圆的方程为. 3．已知的三个顶点分别为. (1)求的面积； (2)求的外接圆的方程. 【答案】(1)13； (2). 【分析】（1）利用两点距离求出，再求出直线的方程，利用点到直线距离公式求出高，即可求出面积； （2）设出的外接圆的方程，将三点坐标代入求解即可. 【详解】（1）， 直线的方程为，即， 所以点到直线的距离， 所以的面积； （2）设的外接圆的方程为， 则，解得， 所以的外接圆的方程为. 知识点04 轨迹方程 求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程． 1．当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）． 2．求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等． 3．求轨迹方程的步骤： （1）建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标；（2）列出关于的方程； （3）把方程化为最简形式；（4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）；（5）作答． 【即学即练】 1．若直线，，设与的交点为P，O为坐标原点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线的交点，再结合两点距离公式列式应用值域求解范围. 【详解】直线，，设与的交点为P， 联立得出， 所以， 因为，所以，所以， 所以， 所以. 故选：D. 2．已知圆，圆心坐标为． (1)求圆的一般方程； (2)若点为圆上的动点，定点，求满足条件的点的轨迹方程并判断它的形状． 【答案】(1) (2)，形状为圆 【分析】（1）根据圆心求出参数可得圆的方程； （2）设点的坐标，根据条件可得的坐标关系，利用点在圆上即可得出的轨迹方程，判断轨迹形状. 【详解】（1）因为圆的圆心为， 所以，即， 则圆的一般方程为． （2）设的坐标为，， 易得． 由得， 解得， 因为点为圆上的动点， 所以满足， 所以， 化简得点的轨迹方程为． 因为， 所以点的轨迹为圆． 3．在平面直角坐标系中，的顶点，，则点的轨迹方程为______． 【答案】 【分析】根据题意设出直线方程和直线方程，再联立两直线方程从而可求解. 【详解】设直线的方程为，因为， 所以直线斜率存在且不为0，即点不在轴上，即，即； 同理直线的方程为， 联立消去得， 故点的轨迹方程为. 故答案为：. 题型01 圆的标准方程 确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a、b、r的方程组，求a、b、r或直接求出圆心和半径r，一般步骤为： （1）根据题意，设所求的圆的标准方程为； （2）根据已知条件，建立关于a、b、r的方程组； （3）解方程组，求出a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程． 【典例1】已知点，则以为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用中点坐标公式求出圆心，利用两点间距离公式求出半径，从而得到圆的方程即可. 【详解】设中点为O，则，即， 设圆半径为r，则， 则以为直径的圆的方程为. 故选：B. 【变式1】已知直线过圆的圆心，则的最小值为（   ） A． B． C．6 D．9 【答案】A 【分析】根据圆的标准方程求得圆心坐标，可得，利用基本不等式计算可得当，时，可得的最小值为. 【详解】由圆的方程知，圆心为， 因为直线过圆心，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时，， 所以的最小值为. 故选：A 【变式2】在平面直角坐标系中，圆心为，半径为2的圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆心半径即可求解. 【详解】圆的方程：，其中为圆心，为半径. 所以圆心为，半径为2的圆的标准方程为. 故选：A 题型02 圆的一般方程 （1）若一个圆可用一般方程表示，则它具备隐含条件，解题时，应充分利用这一隐含条件． （2）一般地，当给出了圆上的三点坐标，特别是当这三点的横坐标和横坐标之间、纵坐标和纵坐标之间均不相同时，选用圆的一般方程比选用圆的标准方程简捷；而在其他情况下的首选应该是圆的标准方程，此时要注意从几何角度来分析问题，以便找到与圆心和半径相联系的可用条件． 【典例1】以直线恒过的定点为圆心，半径为的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出直线所过定点，再由圆的标准形式即可求出圆的标准方程，再转化成一般式即可. 【详解】由得， 令，则，，所以直线恒过定点， 则圆的方程为，即. 故选：D. 【变式1】已知圆，直线，圆心到直线的距离等于6，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由圆的方程确定圆心坐标，再利用点到直线的距离公式运算即可得解. 【详解】由已知得圆的标准方程为，圆心， 由点到直线的距离公式可得：，解得． 故选：B 【变式2】已知圆上的所有点都在第二象限，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将圆的一般方程化为标准方程后可得圆心及其半径，结合圆的性质与第二象限的点的性质计算即可得解. 【详解】由，化简可得， 则该圆圆心为，半径为3，由题意可得解得， 故实数的取值范围是． 故选：A. 题型03 点与圆的位置关系 如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有 （1）若点在圆上 （2）若点在圆外 （3）若点在圆内 【典例1】（多选）已知圆C：及点，则下列说法正确的是（    ） A．圆心C的坐标为 B．点Q在圆C外 C．若点在圆C上，则直线PQ的斜率为 D．若M是圆C上任一点，则的取值范围为. 【答案】AB 【分析】利用配方法、直线斜率公式、圆的几何性质逐一判断即可. 【详解】A：，显然该圆的圆心C的坐标为，因此本选项说法正确； B：因为，所以点Q在圆C外，因此本选项说法正确； C：当点在圆C上，则有， 即，所以直线PQ的斜率为，因此本选项说法不正确； D：因为，该圆的半径为， 所以， 故选：AB 【变式1】若点，圆的一般方程为，则点A与圆位置关系（    ） A．圆外 B．圆内且不是圆心 C．圆上 D．圆心 【答案】C 【分析】根据题意，将点A的坐标代入圆的方程，结合点与圆的位置关系，分析的答案． 【详解】解：根据题意，圆的一般方程为， 将点代入，可得，则点A在圆上， 故选：C. 【变式2】点与圆的位置关系是（    ） A．点P在圆上 B．点P在圆外 C．点P在圆内且不是圆心 D．点P在圆内且是圆心 【答案】C 【分析】将圆方程变为标准方程，可得圆心和半径，根据两点间距离公式，可得点P到圆心的距离，分析即可得答案. 【详解】圆变为标准方程为， 圆心为，半径， 所以点P到圆心的距离， 所以点P在圆内，且不是圆心. 故选：C 题型04 二元二次曲线与圆的关系 判断二元二次方程是否表示圆，先保证x2、y2系数相等且不为0，不存在xy交叉项。将方程通过配方法转化为圆的标准方程，看半径平方的取值：大于零代表实圆；等于零表示一个点；小于零则没有对应轨迹。处理含参数问题，逐条列出约束条件联立计算，求出参数后回代检验。做题不能只看形式，配方是关键，规避忽略隐含条件造成错解。 【典例1】已知，方程表示圆，则圆心的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】因为方程表示圆，所以，解得或. 当时，方程化为，此时，方程不表示圆； 当时，方程化为，即，所得圆的圆心坐标为. 综上，圆心坐标为. 【变式1】若方程表示圆，则整数m的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】根据二元二次方程表示圆的判别式结合一元二次不等式计算求解. 【详解】因为方程表示圆， 则，即得，解得， 则整数m的值为. 【变式2】若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由二元二次方程表示圆可得的范围，再结合点在圆的外部，即可得解. 【详解】将圆化成标准方程，可得， 由，解得. 因为点在圆的外部， 所以，解得. 综上可得. 题型05 圆过定点问题 求解圆过定点问题，常用分离参数法，把圆的一般方程整理为含参数项与常数项分组，令参数系数与常数项部分分别等于零，联立方程组求解得到定点坐标。也可代入两组特殊参数，得到两个圆方程，联立求交点，再回代原方程验证。注意不要仅凭观察猜测定点，必须检验。遇到几何题型，可结合圆系方程简化运算，区分圆过定点与圆心定点，审题看清条件，计算结束务必验证，防止出现错解漏解。 【典例1】已知圆的圆心在直线上，且圆过点，. (1)求圆的一般方程； (2)若圆与圆关于直线对称，求圆的标准方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设圆的一般方程，结合已知列方程求解的值，即可求得圆的一般方程； （2）由于圆与圆关于直线对称，根据点关于直线对称坐标特点求得的坐标，则得圆心，由对称可知半径不变，故可得圆的标准方程. 【详解】（1）设圆C的方程为，其圆心为， 已知圆的圆心在直线上，且圆过点，， 则，解得，即圆C的方程为； （2）由（1）得圆C的圆心，半径， 设圆的圆心坐标为，∵圆与圆C关于直线对称， 则有，解得，即. ∴圆的标准方程为. 【变式1】已知函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点. (1)求经过、、三点的圆的方程； (2)圆是否经过某定点（其坐标与无关）?请说明理由. 【答案】(1)或 (2)是，理由： 由（1）知圆的方程为或， 令，解得或， 故圆过定点和. 【分析】（1）设圆的方程为，在该圆的方程中，令，可知方程与方程是同一个方程，可得出、的值，然后令，得到方程，此方程有一个根为，可求出的值，即可得出圆的方程； （2）在圆的方程中，令，可求出圆所过定点的坐标. 【详解】（1）由题意知，解得或， 设所求圆的方程为， 由题意知函数的图象与两坐标轴的三个交点即为圆与坐标轴的交点. 在圆的方程中，令，得，这与是同一个方程，故，. 令，得，此方程有一个根为，代入此方程得，解得， 综上可知，圆的方程为或 （2）略 【变式2】已知圆经过原点，则（    ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 【答案】B 【分析】将代入圆的方程进行求解． 【详解】将代入圆的方程中，得，即， 方程为，满足， 故, 故选：B. 题型06 轨迹问题 用直接法求曲线方程的步骤如下： （1）建系设点：建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点坐标为； （2）几何点集：写出满足题设的点的集合； （3）翻译列式：将几何条件用坐标、表示，写出方程； （4）化简方程：通过同解变形化简方程； （5）查漏除杂：验证方程表示的曲线是否为已知的曲线，重点检查方程表示的曲线是否有多余的点，曲线上是否有遗漏的点． 求轨迹时常用的方法：代入法 对于“双动点”问题，即若已知一动点在某条曲线上运动而求另一动点的轨迹方程时，通常用这一方法．代入法是先设所求轨迹的动点坐标为，在已知曲线上运动的点的坐标为，用，表示，，即，，并将它代入到已知曲线方程，即求出所求动点的轨迹方程．一般情况下，证明可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明，即扣除不合题意的解或补上失去的解． 【典例1】在平面直角坐标系中，点M在圆心为C的圆上．若动点P满足，则对于，点P到直线的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出圆C的圆心和半径，根据数量积的几何意义，可得，进而可得点P的轨迹方程，根据直线恒过定点，结合点与圆的位置关系，分析求解，即可得答案. 【详解】圆C的方程变形为，圆心，半径， 又，， 所以，即在方向上的投影为， 所以，又，所以， 则点P的轨迹是以C为圆心，2为半径的圆， 又直线恒过定点， 所以， 则P到直线的距离的最大值为. 【变式1】已知实数满足，，，则的最大值为________ 【答案】 【分析】设，线段的中点为，分析可知点的轨迹以为圆心，半径的圆，过点分别作直线的垂线，垂足分别为，可得，结合圆的性质分析求解即可. 【详解】设，，为坐标原点，则，， 因为，，可知两点在以为圆心，半径的圆上， 又因为，且， 即，可得， 且，则， 可知三角形为等边三角形，则， 设线段的中点为，则，可知点的轨迹是以为圆心，半径的圆， 过点分别作直线的垂线，垂足分别为， 则， 因为点到直线的距离， 则，当且仅当点在线段上时，等号成立， 可得， 所以的最大值为. 【变式2】已知圆的圆心为点，其在直线上，且与轴交于两点、． (1)求的面积； (2)求圆的标准方程； (3)已知，点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出线段的中垂线方程，分析可知点为直线与线段中垂线的交点，联立两直线方程，可得出点的坐标，即可求得的面积； （2）求出圆的半径，即可得出圆的标准方程； （3）设点、，利用中点坐标公式得出，再将点的坐标代入圆的方程，化简可得出点的轨迹方程. 【详解】（1）因为、，所以线段的中垂线方程为， 易知点为直线与直线的交点， 联立得，故点，故. （2）由（1）可知圆的半径为， 故圆的标准方程为. （3）设点、，由线段中点坐标公式可得，所以， 因为点在圆上，所以，化简得. 故点的轨迹方程为. 题型07 定点到圆上的点最值问题 定点到圆上点的最值，先求出圆心与定点之间的距离，再结合半径求解。若点在圆外，最大值为圆心距加半径，最小值为圆心距减半径；若点在圆内，最大值为圆心距加半径，最小值为半径减去圆心距；点在圆上，最小值为0。解题优先数形结合画图辅助判断，分清定点在圆内、圆上、圆外三种位置。可以联立方程验证结果，注意不要直接套用公式，先判定点和圆的位置关系，避免计算出错。 【典例1】已知实数、满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取点、、，可得，数形结合可知当为线段与圆的交点时，取最小值，结合平面内两点间的距离公式求解即可. 【详解】因为实数、满足，则， ， 取点、、，则， ， 即， 当且仅当为线段与圆的交点时，等号成立，即的最小值为. 【变式1】某数据中心有一核心节点，周围边缘节点均部署在圆上．定义流量损耗函数，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将流量损耗函数化简为对勾函数形式，再结合点与圆的位置关系确定的取值范围，最后利用对勾函数单调性求最小值. 【详解】由圆可知圆心，半径， 令，则，因为，， 所以， 所以， 因为在上单调递增， 所以当时，. 【变式2】已知复数z满足，则的最小值为（   ） A． B．3 C． D．1 【答案】B 【分析】先根据复数的模的几何意义得到z在复平面上对应的点的轨迹图形，再由在复平面的几何性质即可得到其最小值． 【详解】因为， 所以复数对应的点在以为圆心，2为半径的圆上， 因为表示点与定点的距离， 所以点与定点的距离的最小值等于圆心与的距离减去圆的半径， 即. 1.杭州有很多圆拱的悬索拱桥，经测得某圆拱索桥（如图）的跨度米，拱高米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与OP相距30米的支柱MN的高度约是______米．（注：） 【答案】6.48 【分析】以点P为坐标原点建系，求出圆心和半径得出圆的方程，即可计算. 【详解】以点P为坐标原点，OP所在直线为y轴，过点P且平行于AB的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 由题意可知，点A的坐标为， 设圆拱桥弧所在圆的半径为r，由勾股定理可得， 又，所以，解得， 所以圆心的坐标为，则圆的方程为． 将代入圆的方程得， 又，解得， 所以（米）． 故答案为： 2．（多选）已知圆及点，则下列说法中正确的是（    ） A．圆心的坐标为 B．点在圆外 C．若点在圆上，则直线PQ的斜率为 D．若是圆上任一点，则｜MQ｜的取值范围为 【答案】BCD 【分析】对于A，将圆方程化为标准形式，可判断选项正误；对于B，将代入圆方程可判断选项正误；对于C，将点代入圆方程可得，然后由斜率计算公式可判断选项正误；对于D，当三点共线时，可得最值，据此可判断选项正误. 【详解】对于A，圆的标准方程为， 所以圆心坐标为，故A错误； 对于B，将代入圆方程，得，所以点在圆外.故B正确； 对于C，若点在圆上，则， 解得，则，所以直线PQ的斜率为．故C正确； 对于D，，因为是圆上任一点， 所以，所以的取值范围为． 故选：BCD 3．已知圆C过点，圆心在轴上，且圆心在直线上，则圆的标准方程为______；设点，若圆上存在两点和，使得，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】由题可得圆心坐标，求出半径即可得到圆的标准方程；由向量的线性运算可得，即，代入点坐标求解即可. 【详解】由解得所以． 设半径为，则， 则圆的标准方程为． ，即， 又，所以， 故点在以点为圆心，以4为半径的圆的内部或圆上， 即，解得， 即实数的取值范围是． 故答案为：，. 4．已知直线，直线，设直线与的交点为，点的坐标为，则以AP为直径的圆的方程为______． 【答案】 【分析】联立直线得到点的坐标，根据中点坐标公式求出圆心坐标，再利用两点距离公式求出半径，即可写出圆的方程. 【详解】联立，得，，又， 所以由中点坐标公式得的中点坐标为，即圆心坐标为， 由两点间距离公式得半径， 所以圆的方程为． 故答案为：. 5．已知圆与圆关于原点对称． (1)求圆的标准方程； (2)设点为圆上任意一点，求代数式的最值． 【答案】(1) (2)最小值为，最大值为． 【分析】（1）根据对称可得圆的圆心为，半径为2，从而得到圆的方程； （2）方法一：整理可得，由的几何意义，得到，确定点在圆外，所以，，从而求出的最值； 方法二：可设，从而表达出，由三角函数有界性求出最值. 【详解】（1）的圆心为，半径为2， 因为圆与圆关于原点对称， 所以圆的圆心为，半径为2， 所以圆的标准方程为； （2）方法一：由（1）知，圆的圆心，半径，， 因为表示点与之间的距离，即， 所以． 又， 所以点在圆外，所以， 则的最小值为， 最大值为． 方法二：由点为圆上任意一点， 且圆的标准方程为，可设 则． 因为， 所以的最小值为，最大值为． 6．已知点，则以为直径的圆的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知圆心为，半径为，进而可得圆的方程. 【详解】因为，可知线段的中点为，且， 即圆心为，半径为， 所以所求圆的方程为. 故选：D. 7．如图，轴，垂足为，点在的延长线上，且，当点在圆上运动时，点的轨迹方程为______． 【答案】 【分析】设点的坐标为，点，可得，根据点在圆上即可求出． 【详解】解：设点的坐标为，点，由题意可知， 则由题可得，即， 点在圆上运动， ， 即点的轨迹方程为． 故答案为： 8．已知实数满足，则的最小值为_____. 【答案】 【分析】根据题意，先将转化为，从而将问题转化为圆上任一点到点与的距离之和，数形结合即可得解. 【详解】因为， 所以 ， 则， 相当于圆上的任一点到点与的距离之和，如图， 因为，当在线段与圆的交点处时，即为所求， 所以所求最小值为. 故答案为：. 9．若点在圆的外部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点在圆外以及圆的一般式满足的系数关系即可列不等式求解. 【详解】由于点在圆的外部，故 ，解得， 故选：C 10．若点在圆的外部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点与圆的位置关系以及二元二次方程表示圆的条件可得不等式，解不等式即可． 【详解】由已知圆，则， 又点在圆的外部， 则， 即，解得， 故选：C． 1．若点在圆的外部，则实数的取值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用关于的二元二次方程表示圆的条件及点与圆位置的判断方法，列方程组，得到，结合选项即可求解. 【详解】因为点在圆的外部， 则，即，解得， 故选：C. 2．已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对称的性质，得到直线过的中点且与垂直，结合垂直的斜率结论可解. 【详解】圆的圆心为， 圆的圆心为，所以线段的中点坐标为， 又，则， 所以直线的方程为，即. 故选：D. 3．已知圆是圆上一动点，点为线段的中点，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，由题设得，代入已知圆方程整理即可得动点M的轨迹方程； 【详解】解：设， M为线段的中点，， ， 而A是圆C上一动点， 故， 整理得：， 即， 故动点M的轨迹方程为. 故选:C. 4．（多选）已知圆过点，，且圆心在轴上，则下列说法正确的是（   ） A．圆心的坐标为 B．圆的标准方程为 C．圆与轴的交点坐标为 D．圆上一点到点距离的最大值为 【答案】ABD 【分析】设圆心坐标为，由题意可得，可求圆心判断A；利用两点间的距离公式求得半径可判断B；令，可得圆与轴的交点坐标判断C；求得圆心到的距离可求圆上一点到点距离的最大值判断D. 【详解】设圆心坐标为，由，得， 解得，故，故A正确； 所以，故圆的标准方程为， 故B正确； 令得，，故圆与轴的交点坐标为，故C错误； 圆心到点的距离为，故圆上一点到点距离的最大值为5+，故D正确. 故选：ABD. 5．已知点，则以为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据中点坐标公式算出的中点坐标为，且，从而得到所求圆的圆心和半径，可得圆的标准方程. 【详解】因为， 线段的中点为，， 所以以线段为直径的圆的圆心坐标为，半径， 所以线段为直径的圆的方程为. 故选：D. 6．已知三个顶点的坐标分别是. (1)求的面积 (2)求外接圆的方程 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用斜率可得，则，由已知数据求解即可； （2）由，外接圆是以线段为直径的圆，求出圆心和半径即可得外接圆的方程. 【详解】（1）三个顶点的坐标分别是， 直线的斜率，直线的斜率， 则，即. ，， . （2）由，外接圆是以线段为直径的圆， 线段的中点为，半径， 所以外接圆的方程是. 7．“”是“点在圆内”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】先求出“点在圆内”的充要条件，对比即可得解. 【详解】点在圆内， 所以“”是“点在圆内”的充分不必要条件. 故选：A. 8．圆上的点到直线的最大距离是（    ） A．36 B． C． D．18 【答案】C 【分析】求出圆心和半径，则圆心到直线的距离加上半径即为最大距离. 【详解】圆，即， 其圆心为，半径为， 则圆上的点到直线的最大距离是 . 故选：C. 9．若圆经过点，，且圆心在直线上，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用待定系数法设出圆的标准方程，结合题意计算即可得. 【详解】设该圆方程为， 则圆心为，有， 将点，代入， 有，化简得， 两式相减得，即有，则， ， 故该圆方程为. 故选：B. 10．已知圆，圆心在直线上，且圆心在第二象限，半径长为. (1)求圆C的一般方程； (2)判断和圆的位置关系． 【答案】(1); (2)点在圆C上. 【分析】（1）结合已知条件，建立方程组，求解即可; （2）将点代入圆C的一般方程为,即可判断. 【详解】（1）由题意可得：因为圆,所以圆心， 因为圆心在直线上，半径长为，且圆心在第二象限. 所以，解得：, 故圆C的一般方程为：. （2）将点代入圆C的一般方程为, 得：，故点在圆C上. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $