2.5直线与圆、圆与圆的位置关系讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦直线与圆、圆与圆的位置关系核心知识点，系统梳理点与圆、直线与圆、两圆的几何及代数判定方法，整合垂径定理、切线长公式等二级公式，延伸至隐圆模型（直角隐圆、阿波罗尼斯圆等）及圆相关最值问题，构建从基础判定到综合应用的学习支架。 该资料以考纲为导向，通过六大题型分类搭配通用解题模板，培养学生数学思维。融入高频易错点分析和应试技巧，助力学生用数学眼光识别问题本质，课中辅助教师系统授课，课后通过分类练习帮助学生查漏补缺，强化知识应用能力。

2.5直线与圆、圆与圆的位置关系原卷版 知识点 + 题型解题技巧 一、北京高二 / 高考考纲核心要求 1. 掌握点与圆、直线与圆、两圆三类位置关系，几何判定、代数判定两种方法； 2. 熟练使用点到直线距离、垂径弦长、切线长公式完成计算； 3. 会处理含参数动直线、恒过定点直线、上半圆限定图形题型； 4. 识别三类隐圆模型（垂直向量、距离倍数、垂直交点轨迹），结合两圆位置求参数； 5. 掌握圆相关最值：弦长、切线长、圆上点到直线距离、三角形面积； 6. 会求公共弦直线、判断公切线条数、圆对称综合题； 7. 结合存在性、恒成立、充分必要条件综合解题。 二、基础核心知识点 （一）点与圆的位置关系 设圆标准方程，点，点到圆心距离 1. ⇔ 点在圆外； 2. ⇔ 点在圆上； 3. ⇔ 点在圆内。 快速技巧：直接将点坐标代入圆左侧式子，结果和比较大小。 补充结论：直线平分圆 / 圆关于直线对称 ⇔ 直线经过圆心。 （二）直线与圆的位置关系 圆心，半径r，直线，圆心到直线距离公式： 1. 几何判定（考场首选） · ：相离，无交点； · ：相切，1 个交点，直线为切线； · ：相交，2 个交点，存在弦。 2. 代数判定（联立判别式） · 直线与圆联立消元，得到一元二次方程，判别式： 相交；相切；相离。 3. 必考二级公式 1. 垂径定理・弦长公式 （半径、圆心距、半弦构成直角三角形） 2. 切线长公式 圆外一点P，切点A，切线长 3. 圆上动点到直线距离最值 最大值：；最小值：（直线与圆相离） 4. 动直线恒过定点处理 将含参数项合并：，令方程组，解定点；定点在圆内则直线恒相交。 4. 特殊图形：上半圆 根号自带限制，图像只有 x 轴上半圆弧，做题必须画图找临界切线斜率。 （三）两圆位置关系 圆，圆 圆心距 位置关系 距离条件 公切线条数 交点个数 外离 4 0 外切 3 1 相交 2 2 内切 1 1 内含 0 0 公共弦直线求法 两圆一般方程直接相减，消去，得到一次式即为公共弦。 （四）三类隐圆模型（北京期中高频） 1. 直角隐：（(PA⊥PB），P轨迹是以AB为直径的圆，剔除(A、B)； 2. 阿波罗尼斯圆：|PA|=k|PB|,k≠1，动点轨迹为圆； 3. 垂直直线交点：两条直线斜率乘积恒为，交点轨迹是以两定点连线为直径的圆。 三、六大题型分类 + 通用作答模板 + 解题技巧 题型一：点与圆位置、圆心对称类 考法 1 判断点在圆内 / 上 / 外 步骤： 1. 圆配方化为标准式，写出圆心、半径； 2. 计算点到圆心距离d； 3. 比较d与r大小，得出结论。 速解技巧：点代入圆左侧，在外，在上，在内。 考法 2 直线是圆对称轴（平分圆） 核心结论：直线必过圆心，将圆心坐标代入直线方程，直接解参数。 考法 3 定点在圆内外求参数范围 步骤： 1. 定点代入圆方程列不等关系； 2. 附加条件：圆一般式需满足； 3. 联立两个条件取交集。 题型二：直线与圆位置、切线参数 通用解题模板 1. 配方得圆心、半径r； 2. 直线整理为； 3. 计算圆心到直线距离； 4. 对比(d、r)，列等式 / 不等式求解。 细分考法： 1. 相切：，绝对值方程，多解需检验； 2. 相离：，解绝对值不等式； 3. 相交有公共点：(d≤r)； 4. 动直线先求定点，定点在圆内→直线一定相交。 题型三：弦长、面积、最值综合（解答必考） 考 1 已知弦长反求参数 垂径定理：，代入弦长先解d，再列距离方程。 考 2 三角形\(△ACB\)面积最值 ，最大值为 1，即\(∠ACB=90°\)时面积最大，此时。 考 3 过圆内定点弦长最值 最短弦：定点与圆心连线垂直于直线； 最长弦：直线过圆心（直径）。 考 4 圆上点到直线距离最值 最小值；最大值。 考 5 切线长最小值 ，取最小（圆心向直线作垂线）时切线长最小。 题型四：上半圆限定图形（易错选择） 解题步骤： 1. 去掉根号写出完整圆，标注\(y≥0\)； 2. 分离参数，求动直线恒过定点； 3. 求直线与半圆相切时的临界斜率； 4. 结合图像判断交点对应的斜率区间。 题型五：两圆位置、公共弦、公切线 考 1 判断两位置 / 求参数 步骤： 1. 两圆全部配方，写出圆心、半径； 2. 计算圆心距d； 3. 对比\(r_1+r_2、|r_1-r_2|\)，列等式求解。 考 2 公共弦直线 两圆一般方程直接相减，一步得出直线，无需求交点。 考 3 公切线条数 外离 4 条、外切 3 条、相交 2 条、内切 1 条、内含 0 条。 题型六：隐圆 + 存在性求参数（难点选择） 通用思路：垂直、距离倍数条件转化为动点轨迹圆，题目 “存在点满足条件” 等价于两圆有公共点。 步骤： 1. 写出动点轨迹隐圆； 2. 写出已知定圆的圆心、半径； 3. 两圆有交点：\(|r_1-r_2|≤d≤r_1+r_2\)，解不等式得参数范围。 四、高频易错扣分点 1. 只用联立判别式，不用距离法，计算量大易出错； 2. 上半圆忘记\(y≥0\)，区间判断错误； 3. 垂径定理混淆直角边、斜边，弦长忘记乘 2、漏根号； 4. 直角隐圆忘记剔除\(A、B\)两点，定义域扣分； 5. 动直线不会分离参数找定点，硬联立计算； 6. 求公共弦联立交点，不用两圆方程相减，步骤繁琐； 7. 切线漏检验竖直直线（斜率不存在情况）； 8. 圆一般式忽略，参数范围多解； 9. 两圆位置只写单侧不等式，漏掉\(|r_1-r_2|≤d\)； 10. 三角形面积最值误以为直径最大，忽略\(∠ACB=90°\)。 五、北京期中 / 高考应试答题技巧 1. 选择填空优先几何距离法，不联立方程，节省时间； 2. 题干出现\(PA⊥PB\)，直接识别隐圆，两圆相交模型快速解范围； 3. “直线平分圆 / 圆对称” 第一步代入圆心； 4. 弦长、面积大题固定三步：求圆心距→套垂径 / 面积公式→解方程； 5. 含参数动直线，先分离参数找定点，定点在圆内直接判定相交； 6. 半圆题型必须画图，相切斜率为区间分界； 7. 两圆题目统一先配方，再算圆心距对比半径； 题型分类练习 题型一：点与圆的位置关系 1．（2026·山东·一模）点与圆的位置关系是（    ） A．点P在圆上 B．点P在圆外 C．点P在圆内且不是圆心 D．点P在圆内且是圆心 2．（25-26高二上·山东临沂·期中）已知圆的方程为，则下列点中在圆内的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·江苏盐城·期中）点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．与的值有关 4．（24-25高二上·浙江·期中）已知圆，其中，下列各点中一定在圆C内的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·河南郑州·期中）已知，是方程的两个不等实数根，则点与圆：的位置关系是（   ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．无法确定 6．（24-25高二上·北京昌平·期末）“”是“坐标原点在圆的外部”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2024·河南省直辖县级单位·二模）已知点A（1，2）在圆C：外，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·北京海淀·期末）已知圆经过原点，则实数等于（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高二上·北京·期中）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A． B． C．1 D．-1 10．（23-24高二上·北京丰台·期中）已知圆关于直线对称，则实数（    ） A． B． C． D．或 11．（22-23高二上·北京·期末）设是圆上的动点，是圆的切线，且，则点P到点距离的最小值为（    ） A．15 B．6 C．5 D．4 题型二：直线与圆的位置关系 1．（25-26高二上·北京大兴·期中）直线与圆的位置关系是（   ） A．相切 B．相交且过圆心 C．相离 D．相交且不过圆心 2．（22-23高二上·北京·期中）轴与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 3．（22-23高二下·北京海淀·期中）直线与圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 4．（23-24高一上·陕西渭南·期末）若直线与圆相切，则实数（    ） A．1 B． C． D．4 5．（22-23高二上·北京·期中）直线与圆的位置关系是(    ) A．相交但直线不过圆心 B．相切 C．相离 D．相交且直线过圆心 6．（22-23高二上·北京·期中）直线与圆的位置关系为（    ） A．相切 B．相交但直线不过圆心 C．相交且直线过圆心 D．相离 7．（22-23高二上·重庆万州·阶段检测）直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断 8．（25-26高二上·北京顺义·期末）若直线：（）与圆：相切，则（   ） A．9 B．9或 C． D．1 9．（25-26高二上·北京平谷·期末）若直线与圆相切，则的值等于（    ） A．1或 B．10或 C．或 D． 10．（25-26高二上·北京·期末）若直线与圆相离，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 11．（北京市第四中学顺义分校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷）已知直线与曲线有两个交点，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高二上·北京·期中）过点的直线与圆有公共点，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 13．（25-26高二上·北京西城·期中）设为坐标原点，若对于圆上的任意两点，均有，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 14．（25-26高二上·北京通州·期中）已知圆心为的圆和圆心为的圆都与轴相切，点，都在直线上，设圆和圆的半径分别为，（），若，则（   ） A． B． C．，或 D．，或 15．（25-26高二上·北京顺义·期中）若曲线上相异两点P，Q关于直线对称，则k的值为（    ） A．1 B． C． D．2 16．（25-26高二上·北京·期中）直线与圆相切，则的值是（   ） A．或12 B．2或12 C．或 D．2或 17．（25-26高二上·北京·期中）已知点是圆上的动点，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 18．（25-26高二上·北京·阶段检测）直线与圆交于，两点，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 19．（24-25高二上·河南·期中）若直线与圆相离，则点（   ） A．在圆O外 B．在圆O内 C．在圆O上 D．与圆O的位置关系不确定 20．（24-25高二下·北京·期中）若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21．（24-25高二上·北京平谷·期末）已知圆，直线，若圆上至少有3个点到直线的距离为2，则可以是（    ） A．3 B． C．2 D． 22．（24-25高二上·北京·期末）已知直线与圆相交于两点．若圆上存在一点，使得四边形为菱形，则实数的值是（    ） A． B． C． D． 23．（24-25高二上·北京延庆·期末）若直线与圆相切，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 24．（24-25高三上·北京·阶段检测）直线 与圆 相交于 两点，当 面积最大时， （    ） A．0 B． C． D． 题型三：利用直线与圆的位置关系求解参数范围 1．（24-25高二下·河北衡水·期末）若圆上仅有4个点到直线的距离为1，则实数r的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·北京朝阳·二模）若圆上存在点，直线上存在点，使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·北京延庆·期中）已知点，直线，若直线上至少存在三个，使得为直角三角形，直线倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·江苏南京·阶段检测）设直线与圆相交于两点，且的面积为8，则（    ） A． B． C．1 D． 5．（23-24高二上·北京西城·期中）过点的直线与圆有公共点，则直线的倾斜角取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·全国·课后作业）过直线所过的定点作圆的两条切线，切点分别为，，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·北京昌平·二模）若圆与轴，轴均有公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·北京西城·期末）在直角坐标系内，圆，若直线绕原点顺时针旋转后与圆存在公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二上·北京石景山·期末）为直线上一点，过总能作圆的切线，则的最小值（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二上·北京海淀·期末）设动直线l与交于两点．若弦长既存在最大值又存在最小值，则在下列所给的方程中，直线l的方程可以是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高二上·北京昌平·期中）若圆上存在点， 直线上存在点，使得 则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 12．（2023·北京朝阳·一模）已知点，．若直线上存在点P，使得，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．（25-26高二上·北京大兴·期中）已知直线恒过定点E，直线恒过定点F，且直线与交于点P，则点P到x轴的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 14．（24-25高二上·江苏无锡·期中）已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 15．（24-25高二上·北京·阶段检测）圆上的动点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 16．（23-24高二下·北京海淀·期末）已知直线与交于、两点，则“”是“的面积取得最大值”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 17．（23-24高二上·北京·期中）已知点是圆上一点，则点到直线的距离的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 18．（23-24高二上·北京海淀·期末）已知直线恒过定点A，直线恒过定点B，且直线与交于点P，则点P到点的距离的最大值为（    ） A．4 B． C．3 D．2 19．（23-24高二上·北京东城·期末）在平面直角坐标系中，M，N分别是x，y轴正半轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则该圆半径的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 20．（23-24高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知圆：，过点作直线与圆交于，两点，若是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．0 21．（2023·北京西城·模拟预测）已知圆，过直线上的动点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 22．（23-24高二上·北京东城·期中）已知圆，直线为上的动点，过点作圆的切线，，且切点为，，最小值为（    ） A．2 B． C．3 D．4 23．（22-23高二上·北京·阶段检测）设为直线的动点，为圆的一条切线，为切点，则的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 24．（22-23高二上·北京平谷·期末）已知半径为2的圆经过点，其圆心到直线的距离的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．6 25．（22-23高二上·北京大兴·期末）已知M是圆上的动点，则到直线距离的最大值为（    ） A．2 B． C．3 D． 26．（22-23高二上·北京·期末）已知动圆C经过点，并且与直线相切，若直线与圆C最多有一个公共点，则圆C的面积（    ） A．有最小值为 B．有最大值为 C．有最小值为 D．有最大值为 27．（23-24高二上·北京·期末）已知，直线，为上一个动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 28．（23-24高三上·北京·期末）已知半径为2的圆经过点，其圆心到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 29．（23-24高二上·北京平谷·期末）已知点是圆上的动点，到直线的距离为，当变化时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 30．（25-26高二上·北京朝阳·期末）已知圆C：，过原点的直线l被圆C截得的弦长为m，则“”是“直线l的方程为”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 31．（2025·广东揭阳·二模）若直线被圆截得的弦长为，则（   ） A． B． C．2 D． 32．（24-25高二上·北京房山·期末）已知圆与直线交于两点，若，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 33．（24-25高三上·北京西城·期末）过点的直线与圆相交于两点，那么当取得最小值时，直线的方程是（    ） A． B． C． D． 34．（22-23高二下·北京延庆·期中）已知点，圆，则经过圆内一点且被圆截得弦长最短的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 35．（23-24高二下·北京东城·期末）已知直线被圆截得的弦长为整数，则满足条件的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 36．（2024·北京朝阳·一模）已知直线和圆相交于A，B两点.若，则（    ） A．2 B． C．4 D． 题型四：圆与圆的位置关系 1．（25-26高二上·北京东城·期中）圆与圆的位置关系是（   ） A．相交 B．相离 C．内切 D．外切 2．（25-26高二上·北京西城·期中）圆和圆的位置关系是（　　） A．相交 B．内切 C．外离 D．内含 3．（25-26高二上·北京·期中）圆与圆的位置关系是（   ） A．相交 B．相离 C．外切 D．内含 4．（25-26高二上·北京大兴·期中）已知圆：与圆：，则圆与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相交 C．外切 D．内含 5．（25-26高二上·北京·期中）圆与圆的位置关系为（    ） A．外离 B．相交 C．外切 D．内切 6．（25-26高二上·北京朝阳·期中）已知圆与圆外切，则（   ） A． B． C．1 D．3 7．（25-26高二上·北京海淀·期末）已知点，点，半径为的圆恒经过点，若存在圆心使得，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型五：利用圆与圆之间的位置关系求参数（隐圆识别） 1．（25-26高二上·北京丰台·期末）已知圆：（）和两点，，若圆上存在一点，使得，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．5 D．6 2．（25-26高二上·北京昌平·期末）已知A，B是圆上的两点，是直线上一点．若存在点A、B、P，使得，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·北京丰台·期中）已知是圆：上的一个动点，且直线与直线交于点，则对于任意实数，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·北京·阶段检测）已知圆与圆外切，则（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高二上·北京顺义·期中）已知圆与圆外切，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型六：公共弦与公切线问题 1．（24-25高二上·重庆渝中·阶段检测）已知圆：，圆：，则两圆的公共弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·北京·期中）⊙C1：(x－1)2＋y2＝4与⊙C2：(x＋1)2＋(y－3)2＝9相交弦所在直线为l，则l被⊙O：x2＋y2＝4截得弦长为（    ） A． B．4 C． D． 3．（25-26高二上·北京昌平·期中）圆与圆的公切线条数（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 4．（25-26高二上·北京·阶段检测）已知圆与圆，则两圆公切线的条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（23-24高二上·北京·期中）圆：与圆：的公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5直线与圆、圆与圆的位置关系解析版 题型一：点与圆的位置关系 1．（2026·山东·一模）点与圆的位置关系是（    ） A．点P在圆上 B．点P在圆外 C．点P在圆内且不是圆心 D．点P在圆内且是圆心 【答案】C 【分析】将圆方程变为标准方程，可得圆心和半径，根据两点间距离公式，可得点P到圆心的距离，分析即可得答案. 【详解】圆变为标准方程为， 圆心为，半径， 所以点P到圆心的距离， 所以点P在圆内，且不是圆心. 故选：C 2．（25-26高二上·山东临沂·期中）已知圆的方程为，则下列点中在圆内的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点与圆位置关系的坐标判断方法，逐项验证即可得结论. 【详解】由于，故点在圆上； 又，故点在圆外； 因为，故点在圆内； 又，故点在圆外； 综上，在圆内的是. 故选：C. 3．（25-26高二上·江苏盐城·期中）点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．与的值有关 【答案】C 【分析】将点的坐标代入圆的方程即可判断得到结果. 【详解】， 在圆外， 故选：C. 4．（24-25高二上·浙江·期中）已知圆，其中，下列各点中一定在圆C内的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用代入验证法确定正确答案. 【详解】由圆，可知，即， ，A选项正确， ，不一定小于0，B选项错误， ，不一定小于0，C选项错误， ，不一定小于0，D选项错误. 故选：A 5．（24-25高二上·河南郑州·期中）已知，是方程的两个不等实数根，则点与圆：的位置关系是（   ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．无法确定 【答案】C 【分析】利用韦达定理及点与圆的位置关系计算判断. 【详解】由是方程的两个不等实数根，得， 则， 所以点与圆外. 故选：C 6．（24-25高二上·北京昌平·期末）“”是“坐标原点在圆的外部”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先由“坐标原点在圆的外部”得且，进而可得. 【详解】由坐标原点在圆的外部可得，即且， 故“”是“且”的必要不充分条件， 故选：B 7．（2024·河南省直辖县级单位·二模）已知点A（1，2）在圆C：外，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由表示圆可得，点A（1，2）在圆C外可得，求解即可 【详解】由题意，表示圆 故，即或 点A（1，2）在圆C：外 故，即 故实数m的取值范围为或 即 故选：A 8．（23-24高二上·北京海淀·期末）已知圆经过原点，则实数等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将原点代入圆的方程即可求得. 【详解】将代入圆的方程可得：，解得：. 故选：B. 9．（24-25高二上·北京·期中）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A． B． C．1 D．-1 【答案】A 【分析】根据直线过圆心可求参数的值. 【详解】圆的标准方程为：，故圆心为， 因为直线是圆的对称轴，故圆心在直线上， 故即， 故选：A. 10．（23-24高二上·北京丰台·期中）已知圆关于直线对称，则实数（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据圆的对称性得出圆心在直线上，求出圆心坐标代入直线方程计算并检验即可. 【详解】由题意可知，， 且圆心在直线上，代入直线方程得（舍去） 或. 故选：C 11．（22-23高二上·北京·期末）设是圆上的动点，是圆的切线，且，则点P到点距离的最小值为（    ） A．15 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】本题首先可根据题意得出，则点的轨迹方程为，然后用圆心到点的距离减去半径即可得出结果. 【详解】解：由圆的方程，易知圆心，半径为， 因为是圆的切线，且， 所以，， 所以，点的轨迹方程为， 点到点距离的最小值为， 故选：D. 题型二：直线与圆的位置关系 1．（25-26高二上·北京大兴·期中）直线与圆的位置关系是（   ） A．相切 B．相交且过圆心 C．相离 D．相交且不过圆心 【答案】C 【分析】求出圆心到直线的距离与半径比较大小，即可得到结论. 【详解】圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离. 故选：C. 2．（22-23高二上·北京·期中）轴与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】C 【分析】是以为圆心为半径的圆，根据圆心到轴的距离可判断. 【详解】因为是以为圆心为半径的圆， 圆心到轴为， 所以与轴关系是相离. 故选：C 3．（22-23高二下·北京海淀·期中）直线与圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 【答案】C 【分析】求出直线恒过的定点，判断定点与圆的位置关系. 【详解】由题知，圆心坐标，半径， 将直线化为点斜式得， 知该直线过定点， 又，故该定点在圆内， 所以该直线与圆必相交. 故选：C 4．（23-24高一上·陕西渭南·期末）若直线与圆相切，则实数（    ） A．1 B． C． D．4 【答案】C 【分析】由直线与圆相切则圆心到直线的距离为圆的半径建立关系式， 求出即可. 【详解】由圆知，圆心为，半径， 因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离为圆的半径即： ， 所以， 故选：C. 5．（22-23高二上·北京·期中）直线与圆的位置关系是(    ) A．相交但直线不过圆心 B．相切 C．相离 D．相交且直线过圆心 【答案】A 【分析】要判断圆与直线的位置关系，方法是利用点到直线的距离公式求出圆心到此直线的距离，和圆的半径比较即可得到此圆与直线的位置关系． 【详解】由圆的方程得到圆心坐标为，半径，直线为， ∴到直线的距离， ∴圆与直线的位置关系为相交， 又圆心不在直线上， 故选：A． 6．（22-23高二上·北京·期中）直线与圆的位置关系为（    ） A．相切 B．相交但直线不过圆心 C．相交且直线过圆心 D．相离 【答案】B 【分析】先求出圆心和半径，再求出圆心到直线的距离与半径比较可得结果. 【详解】由，得， 所以圆心，半径为， 因为圆心到直线的距离为 ， 所以直线与圆相交， 因为不在直线上， 所以直线与圆相交但直线不过圆心， 故选：B 7．（22-23高二上·重庆万州·阶段检测）直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断 【答案】B 【分析】直接由直线与圆的位置关系的解法得出答案. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 则直线与圆相切， 故选：B. 8．（25-26高二上·北京顺义·期末）若直线：（）与圆：相切，则（   ） A．9 B．9或 C． D．1 【答案】B 【分析】利用圆心到直线的距离等于半径可得答案. 【详解】因为，圆心为，半径为1， 圆心到直线的距离为， 因为直线和圆相切，所以，解得或. 故选：B 9．（25-26高二上·北京平谷·期末）若直线与圆相切，则的值等于（    ） A．1或 B．10或 C．或 D． 【答案】A 【分析】确定圆心与半径，利用直线与圆相切列方程即可求得的值. 【详解】圆转化为，则圆心坐标为，半径， 若直线与圆相切，则圆心到直线的距离， 解得或. 故选：A. 10．（25-26高二上·北京·期末）若直线与圆相离，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离，再根据相离的性质解不等式即可得到答案. 【详解】由圆的标准方程可知圆的圆心坐标为，半径为， 根据点到直线的距离公式, 根据已知条件代入可得， 直线和圆相离则有，即， 解含绝对值不等式可得或， 即. 故选： 11．（北京市第四中学顺义分校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷）已知直线与曲线有两个交点，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意确定曲线轨迹，结合图像求k的取值范围即可． 【详解】解：，即，圆心为， 直线过定点， 当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离， 解得或（舍）， 当直线过原点和定点的斜率为1， 结合图像可知k的取值范围为． 故选：A． 12．（25-26高二上·北京·期中）过点的直线与圆有公共点，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先设直线的方程，根据条件转化为圆心到直线的距离，即可求解. 【详解】设直线的方程为，即， 圆心到直线的距离，即， 解得：. 故选：D 13．（25-26高二上·北京西城·期中）设为坐标原点，若对于圆上的任意两点，均有，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据可得当圆的半径最大时，的最大值为，此时，进一步计算即可. 【详解】因为, 所以， 当圆半径最大时，角取最大值， 此时直线均与圆相切， 且，则中， ,    故选： 14．（25-26高二上·北京通州·期中）已知圆心为的圆和圆心为的圆都与轴相切，点，都在直线上，设圆和圆的半径分别为，（），若，则（   ） A． B． C．，或 D．，或 【答案】D 【分析】根据题意作图，观察半径之间的关系，列出参数之间的等式，判断结果即可. 【详解】 如图所示，当两圆在同一象限时，过作垂直轴于，过作垂直轴于，作垂直于于， 可知，，所以， 由，可得，即； 如图所示，当两圆不在同一象限时，过作垂直与轴于，过作垂直与轴于，交于， 可知，，所以， 由，可得，即； 故选：D. 15．（25-26高二上·北京顺义·期中）若曲线上相异两点P，Q关于直线对称，则k的值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】依题意，直线过圆的圆心，把圆心坐标代入直线方程可求k的值. 【详解】曲线，即， 曲线是以为圆心，3为半径的圆， 圆上有两点满足关于直线对称， 所以直线必过其圆心，即，解得. 故选：D 16．（25-26高二上·北京·期中）直线与圆相切，则的值是（   ） A．或12 B．2或12 C．或 D．2或 【答案】B 【分析】利用点到直线的距离公式可得，求解即可. 【详解】由圆，可得圆心，半径， 由直线与圆相切， 所以，所以，解得或. 故选：B. 17．（25-26高二上·北京·期中）已知点是圆上的动点，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出对应的几何图象，然后结合几何关系可知，和圆相切时是临界情况，结合直线的倾斜程度的变化情况进一步得出斜率范围. 【详解】 设的直线方程是，则， 当直线和圆相切时， 根据点到直线的距离，，解得， 如图可知是直线和圆的切点，且，， 当在圆上运动时，根据几何关系，. 故选：B 18．（25-26高二上·北京·阶段检测）直线与圆交于，两点，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用垂径定理及勾股定理表示出弦长，列出关于的不等式，求出不等式的解集，即可得到的范围. 【详解】由圆的方程知，圆心，半径， 圆心到直线即的距离， ， 变形整理得，即，解得， 的取值范围是， 故选：D 19．（24-25高二上·河南·期中）若直线与圆相离，则点（   ） A．在圆O外 B．在圆O内 C．在圆O上 D．与圆O的位置关系不确定 【答案】B 【分析】根据已知直线与圆相离，得到圆心到直线的距离大于半径，进行计算求解. 【详解】由题意，圆的圆心为，半径.直线到圆心的距离为，根据相离条件，即，整理得，这表明点到原点的距离的平方小于4，即点在圆内部. 故选：B. 20．（24-25高二下·北京·期中）若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】斜率为1的直线平行移动与曲线表示的图形有两公共点，根据图象即可求解． 【详解】由题意，曲线表示的曲线为圆心在原点， 半径为1的圆在轴以及轴上方的部分． 在同一坐标系中，作出斜率为1的直线，在直线平移的过程中可发现， 直线过时先与半圆形有2个交点，此时. 再将直线向上平移一直到最后与半圆相切，此时，且, 即， 所以满足条件的的取值范围. 故选：D. 21．（24-25高二上·北京平谷·期末）已知圆，直线，若圆上至少有3个点到直线的距离为2，则可以是（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据题意，只需使圆心到直线的距离，解得的范围，根据选项逐一判断即得. 【详解】由圆方程可得圆心坐标为， 依题意需使点到直线的距离，解得. 故选：D. 22．（24-25高二上·北京·期末）已知直线与圆相交于两点．若圆上存在一点，使得四边形为菱形，则实数的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由四边形为菱形，得到到的距离等于1，由点到线的距离公式列出等式求解即可； 【详解】    因为圆上存在一点，使得四边形为菱形， 所以到的距离等于, 即， 解得：， 故选：C. 23．（24-25高二上·北京延庆·期末）若直线与圆相切，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据点到直线的距离等于半径，列出方程即可得答案； 【详解】圆的标准方程为，有，解得或3． 故选：C 24．（24-25高三上·北京·阶段检测）直线 与圆 相交于 两点，当 面积最大时， （    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】求出圆心和半径，直接利用三角形面积公式求出最值，从而得到圆心到直线的距离，代入计算即可. 【详解】，即， 则其圆心为，半径为2，而， 当且仅当时等号成立，此时为顶点为的等腰直角三角形， 此时圆心到直线的距离， 则，解得. 故选：B. 题型三：利用直线与圆的位置关系求解参数范围 1．（24-25高二下·河北衡水·期末）若圆上仅有4个点到直线的距离为1，则实数r的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】到已知直线的距离为1的点的轨迹，是与已知直线平行且到它的距离等于1的两条直线，根据题意可得这两条平行线与有4个公共点，由此利用点到直线的距离公式加以计算，可得r的取值范围. 【详解】 作出到直线的距离为1的点的轨迹，得到与直线平行， 且到直线的距离等于1的两条直线， 圆的圆心为原点， 原点到直线的距离为， 两条平行线中与圆心O距离较远的一条到原点的距离为， 又圆上有4个点到直线的距离为1， 两条平行线与圆有4个公共点，即它们都与圆相交. 由此可得圆的半径， 即，实数r的取值范围是. 故选：A. 2．（2023·北京朝阳·二模）若圆上存在点，直线上存在点，使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得到直线与圆有公共点，从而得到，再解不等式即可. 【详解】因为圆上存在点，直线上存在点，使得， 所以直线与圆有公共点. 所以，解得. 故选：A 3．（24-25高二上·北京延庆·期中）已知点，直线，若直线上至少存在三个，使得为直角三角形，直线倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】，过或作轴平行线，它们一定与直线相交，共有两个交点满足题意，然后由直线与 以为直径的圆有交点可得倾斜角的范围． 【详解】当时，直线上不存在，使得为直角三角形， 当，如图，过或作轴平行线，它们一定与直线相交，这就是符合题意的两个， 因为至少有三个，使得为直角三角形， 所以直线与以为直径的圆有公共点，圆心是原点，半径为， 由，解得或， 设直线的倾斜角为，则或， 所以或， 所以倾斜角范围是， 故选：B． 4．（24-25高二上·江苏南京·阶段检测）设直线与圆相交于两点，且的面积为8，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】利用三角形的面积公式可得，由圆心到直线的距离，再利用点线距公式建立方程，解之即可. 【详解】由三角形的面积公式可得， 得，由，得， 所以为等腰直角三角形， 所以圆心到直线的距离为， 由点到直线的距离公式得，解得. 故选：C 5．（23-24高二上·北京西城·期中）过点的直线与圆有公共点，则直线的倾斜角取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直线与圆的位置关系及倾斜角与斜率的关系计算即可. 【详解】易知圆的半径为，圆心为原点， 当倾斜角为时，即直线方程为，此时直线与圆相切满足题意； 当斜率存在时，不妨设直线方程为， 则圆心到其距离为，解不等式得， 所以直线的倾斜角取值范围为 故选：A 6．（24-25高二上·全国·课后作业）过直线所过的定点作圆的两条切线，切点分别为，，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用题意求出切点，利用线段垂直的性质求出，再利用直线方程的点斜式求解方程即可. 【详解】将直线变形为， 故直线过定点，我们把进行化简， 得到圆的标准方程是，圆心，半径为1， 显然过点的直线是圆的切线，从而求得切点， 根据题意，可知直线与直线垂直，又直线的斜率， 由，解得， 所以直线的方程为，即，故B正确. 故选：B 7．（2024·北京昌平·二模）若圆与轴，轴均有公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用圆的一般方程满足的条件得到，再分别令，利用，即可求出结果. 【详解】因为表示圆，所以，得到， 令，得到，则，得到， 令，得到，则，得到， 所以， 故选：A. 8．（23-24高二上·北京西城·期末）在直角坐标系内，圆，若直线绕原点顺时针旋转后与圆存在公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意首先得出旋转后的直线为，然后由直线与圆的位置关系列出不等式即可求解. 【详解】连接，设（即以轴正方向为始边，为终边的角）， 由题意对于直线上任意一点，存在，使得， 则直线绕原点顺时针旋转后，点对应点为，即， 因为在直线上，所以满足 设，所以， 即所在直线方程为， 而圆的圆心，半径分别为， 若直线绕原点顺时针旋转后与圆存在公共点， 所以圆心到直线的距离，解得. 故选：A. 【点睛】关键点睛：关键是求出旋转后的直线，从而即可顺利得解. 9．（23-24高二上·北京石景山·期末）为直线上一点，过总能作圆的切线，则的最小值（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，得到直线与圆相切或相离，结合直线与圆的位置关系，即可求解. 【详解】由题意，点为直线上一点，过总能作圆的切线， 可得直线与圆相切或相离， 则满足圆心到直线的距离，解得，即， 所以的最小值为. 故选：D. 10．（23-24高二上·北京海淀·期末）设动直线l与交于两点．若弦长既存在最大值又存在最小值，则在下列所给的方程中，直线l的方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由动直线恒与圆相交得直线过圆内一定点，再验证弦长取最值即可. 【详解】，圆心，半径， 选项A，由直线斜率为，可得动直线为为平行直线系， 圆心到直线的距离， 当或时，，直线与圆不相交，不满足题意，故A错误； 选项B，由直线可化为， 则直线恒过，因为，点在圆外， 故直线不一定与圆相交，故B错误； 选项C，由直线恒过，点在圆上， 当时，直线方程可化为， 此时圆心到直线的距离， 圆与直线相切，不满足题意，故C错误； 选项D，由直线方程可化为， 则直线恒过，且点在圆内，故直线恒与圆相交， 当直线过圆心时，弦长最长，由在直线上， 可得，取到最大值； 如图，取中点，则，圆心到直线的距离 ，当取最大值时，弦长最短， 即当直线与垂直时，弦长最短，由的斜率为 此时直线斜率为，即当时，取到最小值.故D正确. 故选：D.    11．（23-24高二上·北京昌平·期中）若圆上存在点， 直线上存在点，使得 则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由判断出直线和圆有公共点，利用圆心到直线的距离小于或等于半径列不等式，解不等式求得的取值范围. 【详解】由于，即是圆的直径，因此直线和圆有公共点， 于是圆心到直线的距离，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：C    12．（2023·北京朝阳·一模）已知点，．若直线上存在点P，使得，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将问题化为直线与圆有交点，注意直线所过定点与圆的位置关系，再应用点线距离公式列不等式求k的范围. 【详解】由题设，问题等价于过定点的直线与圆有交点， 又在圆外，所以只需，可得 . 故选：D 13．（25-26高二上·北京大兴·期中）已知直线恒过定点E，直线恒过定点F，且直线与交于点P，则点P到x轴的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出点E、F坐标，分析可得，可得点P在以为直径的圆上移动，求出圆心和半径，根据直线与圆的位置关系，分析即可得答案. 【详解】直线恒过，直线化为，恒过. 当时，，，此时， 当时，，斜率为m， 直线，变形为，斜率为， 所以， 所以点P在以为直径的圆上，圆心，半径， 所以点P到x轴距离的最大值为. 故选：B 14．（24-25高二上·江苏无锡·期中）已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出直线所过的定点M，再根据直线与垂直时，弦最小，结合圆的弦长公式即可得解. 【详解】根据题意，圆，圆心的坐标为，半径， 直线，即，恒过定点， 又由圆的方程为，则点在圆内， 当直线与垂直时，弦最小， 此时， 则的最小值为； 故选：A 15．（24-25高二上·北京·阶段检测）圆上的动点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先得到圆的圆心与半径，再利用点到直线的距离公式即可得解. 【详解】因为圆，所以其圆心，半径， 所以圆心到直线的距离， 则所求距离的最小值为. 故选：A. 16．（23-24高二下·北京海淀·期末）已知直线与交于、两点，则“”是“的面积取得最大值”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用三角形的面积公式可得，当时，的面积取得最大值，利用等面积求出圆心到直线的距离， 再由点到直线的距离公式求出的值，最后结合充要条件的定义进行判断即可. 【详解】 由，可得圆心，半径， 又， 当且仅当时，等号成立， 此时， 由等面积可得点到直线的距离， 又点到直线的距离， 解得，， 因此“”是“的面积取得最大值”的充分必要条件. 故选：C. 17．（23-24高二上·北京·期中）已知点是圆上一点，则点到直线的距离的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】首先求出圆心到直线的距离，再减去半径，即可求解. 【详解】圆的圆心为，半径为1， 圆心到直线的距离为， 所以点到直线的距离的最小值为. 故选：C. 18．（23-24高二上·北京海淀·期末）已知直线恒过定点A，直线恒过定点B，且直线与交于点P，则点P到点的距离的最大值为（    ） A．4 B． C．3 D．2 【答案】A 【分析】首先求点的坐标，并判断两条直线的位置关系，则点P到点的距离的最大值等于点P到圆心的距离与半径之和即点P到线段AB中点距离与半径之和 【详解】设 由直线，可得 由直线，可得， 因为直线与直线满足， 所以， 所以点P在以AB为直径的圆上，所以点P到点的距离的最大值等于点P到圆心的距离与半径之和即点P到线段AB中点距离与半径之和， 由，，得AB中点为，半径为1， 所以点P到点的距离的最大值为， 故选：A    19．（23-24高二上·北京东城·期末）在平面直角坐标系中，M，N分别是x，y轴正半轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则该圆半径的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】首先确定以为直径的圆过原点，则以原点到直线的距离为直径的圆的半径最小，利用点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】因为是直径，， 所以原点在圆上， 过作垂直直线，垂足为点， 因为圆与直线相切， 所以要使圆的半径最小，此时为圆的直径， 点到直线的距离 所以圆的半径的最小值为1. 故选：B 20．（23-24高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知圆：，过点作直线与圆交于，两点，若是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】根据题意作出图示，根据条件确定出中点的轨迹方程，结合以及轨迹方程即可求解出的最小值. 【详解】设中点为，如下图所示： 因为为中点，所以，所以， 因为， 所以，所以， 所以的轨迹方程为， 又因为，所以， 因为在上，在圆上， 所以即为圆心到直线的距离再减去圆的半径， 所以， 所以的最小值为， 故选：C. 21．（2023·北京西城·模拟预测）已知圆，过直线上的动点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】连接，，当最小时，最小，计算点到直线的距离得到答案. 【详解】如图所示：连接，则， 当最小时，最小，， 故的最小值为. 故选：C. 22．（23-24高二上·北京东城·期中）已知圆，直线为上的动点，过点作圆的切线，，且切点为，，最小值为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】D 【分析】最小值满足四边形的面积最小，可转化为动点到点的距离最小值，即可求解． 【详解】圆， ，即圆心为，半径为2， 如图所示，    连接，，四边形的面积为， 要使最小， 则只需四边形的面积最小，即只需的面积最小， ，只需最小， ， 所以只需直线上的动点到点的距离最小，其最小值是圆心到直线的距离， 此时，， 则此时四边形的面积为2，即的最小值为4． 故选：D． 23．（22-23高二上·北京·阶段检测）设为直线的动点，为圆的一条切线，为切点，则的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆的方程可得圆心与半径，利用三角形的面积，将面积的最值小问题转化为点到直线的距离的最小值可求答案． 【详解】由圆的标准方程为， 则圆心坐标为，半径， 则的面积， 要使的面积的最小，则最小，又， 即最小即可，此时最小值为圆心到直线的距离， ， 即的面积的最小值为． 故选：C． 24．（22-23高二上·北京平谷·期末）已知半径为2的圆经过点，其圆心到直线的距离的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．6 【答案】C 【分析】设圆心坐标得到圆的圆心的轨迹方程，再利用点到线的距离公式求解. 【详解】半径为2的圆经过点，设圆心坐标为，则 所以该圆的圆心的轨迹是以为圆心，2为半径的圆 故圆心到直线的距离的最小值为点到直线的距离减半径，即 故选：. 25．（22-23高二上·北京大兴·期末）已知M是圆上的动点，则到直线距离的最大值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据圆上的点到一条直线距离的最大值等于圆心到此直线距离与半径和，根据恒过的定点，过圆心作直线的垂线，垂足为，得知点的轨迹为以为直径的圆，则求解. 【详解】设圆的圆心为，点到直线的距离为，过点作直线的垂线，垂足为， 则点到直线的距离为，所以， 又因为直线恒过定点，则垂足的轨迹为以为直径的圆， 则，所以 故选：B 26．（22-23高二上·北京·期末）已知动圆C经过点，并且与直线相切，若直线与圆C最多有一个公共点，则圆C的面积（    ） A．有最小值为 B．有最大值为 C．有最小值为 D．有最大值为 【答案】D 【分析】已知直线与圆C最多有一个公共点，则直线l与圆相切或相离，而圆C经过点，并且与直线相切，则直线l与圆相切时圆最大，直线l与圆相离时圆最小，数形结合求出半径即可得到圆C的面积. 【详解】解：已知直线与圆C最多有一个公共点，则直线l与圆相切或相离， 当直线l与圆相离时圆最小，满足经过点，并且与直线相切的圆如图所示， 此时以原点O为圆心，1为半径， 圆C的面积，故A，C选项错误； 当直线l与圆相切时圆最大，满足经过点，并且与直线相切的圆如图所示， 此时直线l与直线为圆的公切线，则圆心需在两直线所成角的角平分线上， 因为直线l的斜率为，则倾斜角为， 所以角平分线的倾斜角为，斜率为， 联立，可得 所以角平分线的方程为，即， 恰好点在角平分线上，则， 所以，解得， 圆C的面积，故B选项错误； 故选：D. 27．（23-24高二上·北京·期末）已知，直线，为上一个动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】求得圆的圆心，半径，根据，得到，结合点到直线的距离公式，求得的最小值，进而求得的最小值. 【详解】如图所示，化简圆的方程为，可得圆心，半径， 因为为圆的切线且为切点，所以， 由勾股定理可得， 所以当最小时，取得最小值， 因为， 所以，即的最小值为. 故选：D.    28．（23-24高三上·北京·期末）已知半径为2的圆经过点，其圆心到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设圆心坐标得到圆的圆心的轨迹方程，再利用点到线的距离公式求解. 【详解】半径为2的圆经过点，设圆心坐标为，则圆的方程为 所以该圆的圆心的轨迹是以为圆心，2为半径的圆 故圆心到直线的距离的最小值为点到直线的距离减半径，即 故选：B 【点睛】结论点睛：本题考查直线与圆的位置关系，求圆上点到直线的距离最值， 当直线与圆相离时，圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，圆上点到直线距离的， 29．（23-24高二上·北京平谷·期末）已知点是圆上的动点，到直线的距离为，当变化时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】先求出圆的圆心坐标和半径，由直线可得过定点，因为点在圆内，则点到直线的距离的最大值等于圆心到直线的距离加上半径，当时，圆心到直线的距离最大，可得答案. 【详解】设直线，圆的圆心为 由圆可得 所以圆的圆心为，半径为 直线恒过定点，又点在圆内. 所以点到直线的距离的最大值等于圆心到直线的距离加上半径. 当时，圆心到直线的距离最大，此时 所以点到直线的距离的最大值为 故选：D 【点睛】关键点睛：本题考查求圆上的点到直线的距离的最大值问题，解答本题的关键是先分析出直线恒过定点，再由点到直线的距离的最大值等于圆心到直线的距离加上半径.当时，圆心到直线的距离最大，属于中档题. 30．（25-26高二上·北京朝阳·期末）已知圆C：，过原点的直线l被圆C截得的弦长为m，则“”是“直线l的方程为”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据弦长公式和点到直线的距离公式判断直线方程即可. 【详解】设半径为，圆心到直线的距离为， 则，当时， ， 当直线斜率存在时，设直线的方程为， 则, 当时，， 所以满足使得. 当直线斜率不存在时，， 此时圆心到直线的距离，也满足弦长. 所以当时，直线的方程可能为或 故“”是“直线l的方程为”的必要不充分条件. 故选：B. 31．（2025·广东揭阳·二模）若直线被圆截得的弦长为，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由圆方程得出圆心和半径，再由弦长公式以及点到直线距离公式计算可得结果. 【详解】易知圆的圆心为，半径为 ， 设圆心到直线l的距离为d，由弦长公式可得，， 所以圆心到直线的距离， 解得或，又，所以， 故选：C 32．（24-25高二上·北京房山·期末）已知圆与直线交于两点，若，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】根据圆的方程，得圆心坐标和半径，再由，得到圆心到直线的距离为，结合点到直线距离公式，列出方程求解即可. 【详解】因为圆的圆心为，半径为； 且圆与直线交于两点，， 所以为等腰直角三角形，，则， 因此圆心到直线的距离为， 即，解得或； 故选：C 33．（24-25高三上·北京西城·期末）过点的直线与圆相交于两点，那么当取得最小值时，直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出过圆心与点的直线的斜率，当直线与垂直时，取得最小值，则可得直线的斜率，则直线的方程可求． 【详解】由题意得圆的标准方程为，则圆心. 过圆心与点的直线的斜率为. 当直线与垂直时，取得最小值， 故直线的斜率为， 所以直线的方程为， 即， 故选：C． 34．（22-23高二下·北京延庆·期中）已知点，圆，则经过圆内一点且被圆截得弦长最短的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由条件可得过点且弦长最短的弦应是垂直于直线的弦，再由直线的点斜式方程，即可得到结果． 【详解】设经过圆内一点且被圆截得弦长最短的直线的斜率为，直线的斜率为， 由题意得，， 因为，所以， 所以圆内一点且被圆截得弦长最短的直线的方程为，即， 故选：B． 35．（23-24高二下·北京东城·期末）已知直线被圆截得的弦长为整数，则满足条件的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】首先求得，又，而直径是4，所以分进行讨论即可求解. 【详解】圆的圆心、半径分别为， 圆心到直线的距离为， 设直线被圆截得的弦长为， 由于直线被圆所截得的弦长不超过直径长度，故分以下情形讨论： 当时，，解得， 当时，，化简得，解得， 当时，，化简得，该方程无解， 当时，，化简得，该方程无解， 而直线是斜率为且过定点的直线，直线由唯一决定， 综上所述，满足条件的直线共有3条. 故选：C. 36．（2024·北京朝阳·一模）已知直线和圆相交于A，B两点.若，则（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】借助点到直线的距离公式与垂径定理计算即可得. 【详解】圆的圆心为：，半径为， 则圆心到直线的距离为， 由垂径定理可得. 故选：D. 题型四：圆与圆的位置关系 1．（25-26高二上·北京东城·期中）圆与圆的位置关系是（   ） A．相交 B．相离 C．内切 D．外切 【答案】D 【分析】求出两圆圆心的距离，再与两圆半径进行比较，得到答案. 【详解】圆，圆， 所以两圆圆心为，， 所以， 两圆半径分别为，， 所以， 所以两圆位置关系为外切. 故选：D. 2．（25-26高二上·北京西城·期中）圆和圆的位置关系是（　　） A．相交 B．内切 C．外离 D．内含 【答案】C 【分析】求出两圆圆心距，并与两圆半径和比较大小，可得出结论. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 圆心距为， 因为，故两圆外离. 故选：C. 3．（25-26高二上·北京·期中）圆与圆的位置关系是（   ） A．相交 B．相离 C．外切 D．内含 【答案】A 【分析】利用圆与圆的位置关系判断. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 则， ， 所以圆与圆的位置关系是相交， 故选：A 4．（25-26高二上·北京大兴·期中）已知圆：与圆：，则圆与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相交 C．外切 D．内含 【答案】B 【分析】确定两个圆的圆心与半径，求解圆心距，利用圆与圆的位置关系判断即可. 【详解】圆圆心，半径1；圆化为，圆心，半径4， 圆心距，又， 故圆与圆相交. 故选：B. 5．（25-26高二上·北京·期中）圆与圆的位置关系为（    ） A．外离 B．相交 C．外切 D．内切 【答案】C 【分析】利用两圆心之间的距离与两圆半径之间的关系判断即可． 【详解】解：对于圆，转化为标准方程为：， 故其圆心为，半径为 对于圆，转化为标准方程为：， 故其圆心为，半径为， 所以圆心距为， 所以，两圆的位置关系为外切. 故选：C 6．（25-26高二上·北京朝阳·期中）已知圆与圆外切，则（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】D 【分析】求出两圆的圆心和半径，再利用两圆外切列方程求解． 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 由圆，外切，得，即， 所以. 故选：D. 7．（25-26高二上·北京海淀·期末）已知点，点，半径为的圆恒经过点，若存在圆心使得，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意圆心在以为圆心，为半径的圆上，由存在圆心使得，以为直径的圆与圆有公共点，求出两圆心距，即可得到不等式组，解得即可. 【详解】因为半径为的圆恒经过点， 所以圆心在以为圆心，为半径的圆上， 又存在圆心使得， 所以以为直径的圆与圆有公共点， 圆的圆心为，半径， 又与的距离， 所以，解得， 即的取值范围是. 故选：C 题型五：利用圆与圆之间的位置关系求参数（隐圆识别） 1．（25-26高二上·北京丰台·期末）已知圆：（）和两点，，若圆上存在一点，使得，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由知点P的轨迹方程是以 AB 为直径的圆，将问题等价于圆与圆：有公共点即可求解. 【详解】因为，所以， 因此点 P 必在以 AB 为直径的圆上，圆心为，半径为 ， 因为圆：圆心为 ，半径为， 所以两圆的圆心距为 问题等价于圆与圆：有公共点， 所以，即，解得. 则的最小值为2. 故选：B. 2．（25-26高二上·北京昌平·期末）已知A，B是圆上的两点，是直线上一点．若存在点A、B、P，使得，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题确定点在以为直径的圆上，且，根据均值不等式得到圆上的点到点的最大距离为，得到，解得答案. 【详解】因为，所以点在以为直径的圆上， 设的中点为，则， 由图知，点到圆上点的最大距离为， 由基本不等式，，当且仅当时等号成立， 因点到直线的距离为，解得. 故选：B.    3．（25-26高二上·北京丰台·期中）已知是圆：上的一个动点，且直线与直线交于点，则对于任意实数，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】确定点的轨迹方程，由两圆的位置关系即可求解. 【详解】对于直线，化简可得：，恒过点， 对于直线，化简可得：，恒过点， 又可知两直线垂直， 所以点在以为直径的圆上，圆心，半径， 方程为， 因直线恒过点，若交点为， 则点也应在另一条直线上，代入得，即，不成立， 故点的轨迹不包含点， 当时，直线与直线交于点， 所以点轨迹方程为， 则圆和圆，易知相离，两圆圆心距为， 的距离下限为，在时取得， 但因点的轨迹不包含点，故该值无法取到， 最大值为，当取最大值， 所以的取值范围是， 故选：A 4．（25-26高二上·北京·阶段检测）已知圆与圆外切，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出两圆的圆心和半径，再利用两圆外切列方程求解. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 由圆外切，得，则， 所以. 故选：C 5．（22-23高二上·北京顺义·期中）已知圆与圆外切，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】分别求出两圆的圆心和半径，然后可建立方程求解. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 所以由两圆外切可得，解得， 故选：C 题型六：公共弦与公切线问题 1．（24-25高二上·重庆渝中·阶段检测）已知圆：，圆：，则两圆的公共弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两圆的公共弦所在直线的特点，两圆方程相减即可得解. 【详解】圆：，圆： 两圆方程相减得公共弦所在直线的方程为：. 故选：B 2．（23-24高二上·北京·期中）⊙C1：(x－1)2＋y2＝4与⊙C2：(x＋1)2＋(y－3)2＝9相交弦所在直线为l，则l被⊙O：x2＋y2＝4截得弦长为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】由⊙C1与⊙C2的方程相减求出相交弦所在的直线l的方程，然后利用点到直线的距离公式求出圆心O(0，0)到l的距离，再利用勾股定理可求得结果 【详解】解：由⊙C1与⊙C2的方程相减得l：2x－3y＋2＝0. 圆心O(0，0)到l的距离，⊙O的半径R＝2， ∴截得弦长为. 故选：D 【点睛】此题考查两圆的位置关系，直线与圆的位置关系，考查了点到直线的距离公式，属于基础题. 3．（25-26高二上·北京昌平·期中）圆与圆的公切线条数（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B 【分析】求出圆心距，判断两圆的位置关系后可得公切线的条数. 【详解】圆的标准方程是，设圆心，半径， 圆，设圆心，半径， 因为，，， 所以， 所以两圆相交，公切线有2条. 故选：B 4．（25-26高二上·北京·阶段检测）已知圆与圆，则两圆公切线的条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先把两圆方程化为标准形式确定圆心和半径，再计算圆心距，通过比较圆心距和两圆半径之和的关系判断两圆的位置关系，进而确定公切线的条数． 【详解】圆的标准形式为：， 该圆为以为圆心，半径是的圆； 圆为以为圆心，半径是的圆， 圆心距， ， ， 两圆相外切，共有3条公切线． 故选：C． 5．（23-24高二上·北京·期中）圆：与圆：的公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】求出两圆的圆心坐标与半径，由圆心距与半径间的关系可知两圆相交，从而得到两圆公切线的条数． 【详解】解：化为， 可知圆的圆心坐标为，半径为2； 又圆的圆心坐标为，半径为1． 而，即． 圆与圆相交，则公切线条数为2． 故选：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $