2.4圆的方程讲义- 2026-2027学年 高二上学期 数学人教A版 选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学“圆的方程”核心知识点，从圆的定义出发，系统梳理标准方程（含过原点、圆心在坐标轴等特殊位置）、一般方程（含方程表示圆的条件）、参数方程，进而延伸至点与圆位置关系（几何法、代数法）、距离最值，最终拓展到阿波罗尼斯圆，构建从基础到应用的完整学习支架。 该资料知识体系严谨且题型分类精准，涵盖选择、填空、解答等多元题型。通过阿波罗尼斯圆等内容培养数学抽象与几何直观，圆的轨迹问题等题型需学生运用推理能力构建模型，体现数学思维与语言。课中辅助教师模块教学，课后助力学生针对性练习，有效查漏补缺。

圆的方程 圆的方程 1 【知识梳理】 1 【题型演练】 3 【题型一：圆的方程】 3 【题型二：圆过定点】 5 【题型三：点圆问题】 6 【题型四：圆的轨迹问题】 8 【题型五：阿波罗尼斯圆】 9 圆的方程 【知识梳理】 1. 圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合 2. 圆的标准方程：我们把称为圆心为，半径为r的圆的标准方程 几种特殊位置的圆的标准方程： 条件 方程形式 过原点 圆心在原点 圆心在x轴上 圆心在y轴上 圆心在x轴上且过原点 圆心在y轴上且过原点 与x轴相切 与y轴相切 3. 圆的一般方程：当时，方程表示一个圆，我们把方程叫做圆的一般方程 【注释】 对方程配方可得，与0的大小关系对方程图形的影响如下表所示： 条件 图形 不表示任何图形 表示一个点 表示以为圆心,以为半径的圆 4. 圆的参数方程：，圆心为（a，b），半径为r，为参数 以为直径的圆的方程： 5. 点与圆的位置关系:平面内点和圆存在三种位置关系，点在圆上，点在圆内，点在圆外 已知圆的标准方程：，圆心为，半径为r； 圆的一般方程：，平面内任意一点 判断点与圆位置关系的方法： （1） 几何法:计算点到圆心的距离 点在圆上：d=r 点在圆内：d<r 点在圆外：d>r （2） 标准方程代数法：代入点坐标算 点在圆上： 点在圆内： 点在圆外： （3）一般方程代数法：代入点坐标计算 点在圆上： 点在圆内： 点在圆外： 6. 圆上的点到定点的最大、最小距离：设圆心C到定点A的距离为d，圆的半径为r，圆上动点为P； 则不论点在圆上，圆内，圆外， 7. 阿波罗尼斯圆：在平面上给定两点A,B，设P点在同一平面上且满足，则P点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆，特别地，当时，点P的轨迹是线段AB的中垂线 证明：设以AB中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则。又设则由得，化简整理得 当时，，轨迹为线段AB的垂直平分线 当时，，轨迹为以点为圆心，为半径的圆 【题型演练】 【题型一：圆的方程】 1．过，，三点的圆的标准方程为_______. 2．已知，两点，且是圆M的直径，则圆M的方程为（   ） A． B． C． D． 3．圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（多选）为使成为一个圆的方程，的取值可以是（    ） A． B． C． D． 5．已知圆的方程为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．若方程表示一个圆，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（多选）若方程表示一个圆，则的取值可能为（    ） A．3 B．2 C． D． 8. 已知，方程表示圆，则圆心坐标是_______． 9．由曲线围成的图形的面积为（    ） A． B． C． D． 10．曲线与轴所围成区域的面积为（    ） A． B． C． D． 11．若实数满足，则的取值范围为_______. 【题型二：圆过定点】 12．圆恒过的定点是______. 13．圆：. (1)若圆与轴相切，求圆的方程； (2)求证：不论为何值，圆必过两定点. 14．已知曲线C: ，其中. (1)求证：曲线C都表示圆,并且这些圆心都在同一条直线上； (2)证明：曲线C过定点； (3)若曲线C与x轴相切，求k的值. 【题型三：点圆问题】 15．点在圆外，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 16．若点在圆外，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 17．已知点为直线上的一点，，分别为圆与圆上的点，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 18． 已知圆，圆，分别为圆和圆上的动点，为直线上的动点，则的最小值为__________． 19．已知圆经过，两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于，两点，如果，求直线的方程； (3)已知是圆上动点，求的最大值. 20．已知直线，圆，若圆C上存在两点关于直线l对称，则的最小值是（    ） A．5 B． C． D．20 21．已知点是圆上的动点，则下面说法正确的是（   ） A．圆的半径为2 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值为5 22．（多选）已知曲线E：（x，y不同时为0），则（    ） A．曲线E围成图形的面积为 B．曲线E的长度为 C．曲线E上的点到原点的最小距离为 D．曲线E上任意两点间最大距离为 23．已知曲线，则下列说法错误的是（   ） A．曲线围成图形面积为 B．曲线的长度为 C．曲线上任意一点到原点的最小距离为2 D．曲线上任意两点间最大距离 【题型四：圆的轨迹问题】 24． 已知圆过，两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆C上运动，求线段AB中点P的轨迹方程. 25．已知圆心为的圆经过和，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)已知点在圆上．求的最大值； (3)线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程． 26．已知圆，是圆C上的两个动点，且，则线段AB的中点M的轨迹方程为________，设则的最大值为________. 【题型五：阿波罗尼斯圆】 27．已知点，点关于直线的对称点为点，在中，，则面积的最大值为__________. 28． 在中，，点是上的点，平分面积是面积的3倍，当的面积最大时，__________. 29． 已知圆的直径，动点与的距离是它与的距离的倍，当面积最大时，（    ） A．16 B．32 C．48 D．64 30． 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆．若点到，的距离比为，则点到圆上的点的距离最大值是______． 31．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比（，），那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，已知动点的M与定点和定点的距离之比为2，其方程为，若点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 32．古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知点，为直线上的动点，为圆上的动点，则的最小值为__________. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 圆的方程 圆的方程 2 【知识梳理】 2 【题型演练】 4 【题型一：圆的方程】 4 【题型二：圆过定点】 9 【题型三：点圆问题】 11 【题型四：圆的轨迹问题】 19 【题型五：阿波罗尼斯圆】 22 圆的方程 【知识梳理】 1. 圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合 2. 圆的标准方程：我们把称为圆心为，半径为r的圆的标准方程 几种特殊位置的圆的标准方程： 条件 方程形式 过原点 圆心在原点 圆心在x轴上 圆心在y轴上 圆心在x轴上且过原点 圆心在y轴上且过原点 与x轴相切 与y轴相切 3. 圆的一般方程：当时，方程表示一个圆，我们把方程叫做圆的一般方程 【注释】 对方程配方可得，与0的大小关系对方程图形的影响如下表所示： 条件 图形 不表示任何图形 表示一个点 表示以为圆心,以为半径的圆 4. 圆的参数方程：，圆心为（a，b），半径为r，为参数 以为直径的圆的方程： 5. 点与圆的位置关系:平面内点和圆存在三种位置关系，点在圆上，点在圆内，点在圆外 已知圆的标准方程：，圆心为，半径为r； 圆的一般方程：，平面内任意一点 判断点与圆位置关系的方法： （1） 几何法:计算点到圆心的距离 点在圆上：d=r 点在圆内：d<r 点在圆外：d>r （2） 标准方程代数法：代入点坐标算 点在圆上： 点在圆内： 点在圆外： （3）一般方程代数法：代入点坐标计算 点在圆上： 点在圆内： 点在圆外： 6. 圆上的点到定点的最大、最小距离：设圆心C到定点A的距离为d，圆的半径为r，圆上动点为P； 则不论点在圆上，圆内，圆外， 7. 阿波罗尼斯圆：在平面上给定两点A,B，设P点在同一平面上且满足，则P点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆，特别地，当时，点P的轨迹是线段AB的中垂线 证明：设以AB中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则。又设则由得，化简整理得 当时，，轨迹为线段AB的垂直平分线 当时，，轨迹为以点为圆心，为半径的圆 【题型演练】 【题型一：圆的方程】 1．过，，三点的圆的标准方程为_______. 【答案】. 【分析】设圆的标准方程为，代入，，得到的方程组求解即可. 【详解】不妨设圆的标准方程为，由， 可解得于是圆的标准方程为. 故答案为：. 2．已知，两点，且是圆M的直径，则圆M的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直径端点的坐标可得圆心和半径，进而可求圆的方程. 【详解】由题意得圆M的圆心坐标为，，所以圆M的方程为. 3．圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出点关于直线的对称点的坐标，即可得出所求圆的方程. 【详解】圆的圆心为，半径为， 设点关于直线的对称点为，且直线的斜率为， 所以，解得，即所求圆的圆心坐标为， 故圆关于直线对称的圆的方程为. 故选：D. 4．为使成为一个圆的方程，的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据方程成为圆的条件,然后对各个选项进行判断，从而求解. 【详解】由题意知：表示一个圆， 则：，化简得：， 即：或，解之得：或， 所以：A项和B项不满足要求，故A项和B项错误； 所以：C项和D项满足要求，所以C项和D项正确； 故选：CD. 5．已知圆的方程为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的一般式方程满足的条件列不等式求解即可. 【详解】由题意得，解得. 故选：D. 6．若方程表示一个圆，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将方程化为圆的一般方程，利用列式即可求. 【详解】若方程表示一个圆，则， 方程可化为， 所以，解得，且不等于0， 所以或. 故选：D 7．若方程表示一个圆，则的取值可能为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】AC 【分析】根据圆的一般方程，建立系数方程，经检验，可得答案. 【详解】解：由圆的一般方程形式知，的系数相同， 则，∴或3， 当时，方程为表示一个圆； 当时，方程为表示一个圆. 故选：AC. 8．已知，方程表示圆，则圆心坐标是_______． 【答案】 【分析】由条件结合圆的一般方程的特点列关系式求，再确定圆心坐标. 【详解】因为方程表示圆， 所以①，②， 由①可得或． 当时，，不满足要求，舍去， 当时，，满足要求， 所以圆的方程为， 即，圆心为； 故答案为：. 9．由曲线围成的图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分两种情况写出曲线方程，再做出图像，求出面积. 【详解】    当时，曲线为 当时，曲线 画出图像如上图， 所求面积为两个圆的面积减去一个重叠部分的面积 圆的半径为，两圆对称， 故为 故选：D 10．曲线与轴所围成区域的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆的标准方程求解. 【详解】    由可得，， 所以曲线表示圆的部分， 因为圆心坐标为，所以圆关于轴对称， 所以曲线与轴所围成区域的面积为， 故选:B. 11．若实数满足，则的取值范围为_______. 【答案】 【分析】条件方程化为，即为圆心为，半径为1的圆，为与连线的斜率，由数形结合，求出直线与圆相切的斜率，即可求解 【详解】由题得，，即为圆心为，半径为1的圆， 为与连线的斜率，记为k，如图所示， ∵，∴斜率存在，设过的直线为， 则当直线与圆相切时，有，解得， 由图易得k在直线与圆的两切线斜率之间，故. 故答案为： 【题型二：圆过定点】 12．圆恒过的定点是______. 【答案】 【分析】分离参数，即可列方程组求解. 【详解】圆方程化为， 由解得故圆恒过点. 故答案为： 13．圆：. (1)若圆与轴相切，求圆的方程； (2)求证：不论为何值，圆必过两定点. 【答案】(1)或. (2)证明见解析 【分析】（1）将圆的方程化为标准式，求出圆心和半径，然后利用圆心到轴距离等于半径列式，求解即可； （2）将圆的方程变形，然后解方程组即可求得圆经过的定点. 【详解】（1）圆的方程：， 其中恒成立，圆心为，半径为， 因为圆与轴相切，所以， 解得或， 所以圆的方程为或. （2）证明：圆的方程即：， 联立方程组：可得或， 则圆恒过定点和. 14．已知曲线C: ，其中. (1)求证：曲线C都表示圆,并且这些圆心都在同一条直线上； (2)证明：曲线C过定点； (3)若曲线C与x轴相切，求k的值. 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3). 【分析】(1) 将方程配方得到圆的标准方程，由可得曲线一定表示圆；根据圆心的坐标，消去参数可得圆心所在的直线方程； (2) 将曲线方程变化为关于k的方程，进而令系数、常数都为0，即可求得所过的定点坐标； (3) 因为与y轴相切，所以纵坐标的绝对值即为圆的半径，因而可求得k的值． 【详解】（1）原方程可化为. ∵，∴. 故方程表示圆心为，半径为的圆. 设圆心为，由消去，得. ∴圆心都在直线上. （2）将原方程变形成， ∴，解得 ∴曲线过定点. （3）∵圆C与x轴相切, ∴圆心到x轴的距离等于半径, 即. 两边平方，得. 解得. 【题型三：点圆问题】 15．点在圆外，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方程表示圆及点在圆外得到不等式，求出k的取值范围. 【详解】由题意可知：表示圆， 可得：，解得， 又在圆外，所以，得， 所以k的取值范围为. 故选：C 16．若点在圆外，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可求出，将圆化为标准方程则，即可得出答案. 【详解】因为点在圆外， 所以，则. 又因为圆化为标准方程可得：， 所以，则，解得：或. 所以的取值范围为：. 故选：D. 17．已知点为直线上的一点，，分别为圆与圆上的点，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】利用对称，求得关于直线对称的点坐标，则.对于直线上任一点到圆上的点的距离的最小值均为，到圆上的点的距离的最小值均为.又，所以的最小值为. 【详解】由题知，两圆圆心为，，半径都是1， 设关于直线对称的点，则，解得，即. 对于直线上任意一点，到圆上的点的距离的最小值为， 到圆上的点的距离的最小值为. 又，且， 所以的最小值为. 即的最小值为3. 故选：C.      18．已知圆，圆，分别为圆和圆上的动点，为直线上的动点，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】先求得圆关于直线对称的圆为圆，将原问题转化为到圆和圆上的动点距离之和最小值问题求解. 【详解】圆，即， 圆心为，半径 圆，即， 圆心为，半径， 设点关于直线对称的点为 ， 则 ，解得：， 圆关于直线对称的圆为圆， 其圆心为，半径， 则其方程为， 设圆上的点与圆上点对称，则有， 原问题可以转化为到圆和圆上的动点距离之和最小值问题， 如图所示： 连接，与直线交于点， 此时点是满足最小的点， 此时， 即的最小值为， 故答案为： 19．已知圆经过，两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于，两点，如果，求直线的方程； (3)已知是圆上动点，求的最大值. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）计算线段的垂直平分线，再计算线段的垂直平分线与直线交点得到圆心，再计算半径得到答案； （2）考虑直线斜率存在和不存在两种情况，根据点到直线的距离公式结合弦长公式计算得到答案； （3）设，原问题转化为求的最大值，当直线与圆相切时，能取得最值，再结合点到直线的距离公式得解. 【详解】（1）因为，， 所以，的中点坐标为， 所以的垂直平分线为，即， 联立，解得，所以圆心的坐标为， 又圆的半径为， 所以圆的方程为； （2）若直线的斜率不存在，则直线的方程为， 圆心到直线的距离为，所以，满足条件； 若直线的斜率存在，则设直线的方程为，即， 所以圆心到直线的距离为， 又，所以圆心到直线的距离为， 所以，解得， 所以直线的方程为，即， 综上所述，直线的方程为或； （3）设，则求的最大值即求的最大值， 当直线与圆相切时，能取最值， 此时圆心到该直线的距离为，即， 解得或， 所以的最大值为，即的最大值为    20．已知直线，圆，若圆C上存在两点关于直线l对称，则的最小值是（    ） A．5 B． C． D．20 【答案】D 【分析】由题意，直线l过圆心，有，则，利用配方法求最小值. 【详解】圆的圆心坐标为， 圆C上存在两点关于直线l对称，则直线l过圆心，即，有， ， 当时，有最小值20. 故选：D 21．已知点是圆上的动点，则下面说法正确的是（   ） A．圆的半径为2 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值为5 【答案】B 【分析】对于A：将圆化为标准方程，即可圆心和半径；对于B：分析可知直线与圆有公共点，结合点到直线的距离公式列式求解；对于C：设，可得，结合圆的性质求最值；对于D：分析可知直线与圆有公共点，结合点到直线的距离公式列式求解. 【详解】对于A：， 因此该圆的圆心为，半径为，故A错误； 对于B：因为点是圆：上的动点， 设，可知直线与圆有公共点， 则，解得， 因此的最大值为，故B正确； 对于C：因为，设， 则， 由圆的性质可知：的最小值为， 所以的最小值为，故C错误； 对于D： 令， 可知直线与圆有公共点，则，解得， 所以的最大值为6，故D错误； 故选：B. 22．已知曲线E：（x，y不同时为0），则（    ） A．曲线E围成图形的面积为 B．曲线E的长度为 C．曲线E上的点到原点的最小距离为 D．曲线E上任意两点间最大距离为 【答案】ABD 【分析】通过分类讨论去掉绝对值后，可画出曲线的图形，由图可得答案. 【详解】当时，曲线，即； 当时，曲线； 当时，曲线； 当时，曲线； 画出曲线的图形，如图所示. 对于A，曲线围成的面积可分割为一个边长为的正方形和四个半径为的半圆， 故其面积为，故A正确； 对于B，曲线由四个半径为的半圆组成，故周长为，故B正确； 对于C，由图可得曲线上点到原点距离最小值为2，故C错误； 对于D，如图所示，曲线上任意两点的连线过圆心及原点时，距离最大，最大为，故D正确. 故选：ABD. 23．已知曲线，则下列说法错误的是（   ） A．曲线围成图形面积为 B．曲线的长度为 C．曲线上任意一点到原点的最小距离为2 D．曲线上任意两点间最大距离 【答案】C 【分析】通过分类讨论去掉绝对值后，可画出曲线图形，结合图形逐项分析判断即可. 【详解】当时，曲线； 当时，曲线； 当时，曲线； 当时，曲线； 当时，曲线为原点. 画出曲线的图形，如图所示. 对于A，曲线围成的面积可分割为一个边长为的正方形和四个半径为的半圆， 故面积为，故A正确； 对于B，曲线由四个半径为的半圆组成，故周长为，故B正确； 对于C，如图所示，因为原点在曲线上，所以最小值为0，故C错误； 对于D，如图所示，曲线上任意两点的连线过圆心及原点时，距离最大，最大为.故D正确. 故选：C 【题型四：圆的轨迹问题】 24． 已知圆过，两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆C上运动，求线段AB中点P的轨迹方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得线段的垂直平分线的方程，通过联立垂直平分线的方程和直线的方程求得圆心的坐标，进而求得半径，从而求得圆的标准方程. （2）设出点的坐标，求得点的坐标，将点的坐标代入圆的方程，化简求得点的轨迹方程. 【详解】（1）线段的中点的坐标为， 直线的斜率为， 所以线段的垂直平分线的斜率为， 所以线段的垂直平分线的方程为，即 由，解得，所以， , 所以圆的标准方程为. （2）设，，由于是线段的中点，已知， 则，即，所以， 将点的坐标代入圆的方程得， 整理得点的轨迹方程为：. 25．已知圆心为的圆经过和，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)已知点在圆上．求的最大值； (3)线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由和的坐标，确定的斜率，进而得到 垂直平分线的方程，解得圆心的坐标，再由和的坐标，利用两点间的距离公式求出的值，即为圆的半径，由圆心和半径写出圆的标准方程即可. （2）通过三角换元即可求解； （3）设出和的坐标，由中点坐标公式把的坐标用的坐标表示，然后代入圆即可得到答案． 【详解】（1）因为，，所以，所以弦的垂直平分线的斜率为， 又弦的中点坐标为， 所以弦的垂直平分线的方程为，即， 与直线联立解得：，， 所以圆心坐标为所以圆的半径， 则圆C的方程为：； （2）由（1）设 所以， 所以当时，取到最大值. （3）设，线段的中点为，，为中点， 所以，则，①； 因为端点在圆上运动，所以， 把①代入得：， 所以线段的中点M的轨迹方程是. 26．已知圆，是圆C上的两个动点，且，则线段AB的中点M的轨迹方程为________，设则的最大值为________. 【答案】 【分析】①根据垂径定理求出，得出其轨迹为圆，结合圆心半径写出标准方程即可； ②根据点到直线的距离公式，所求式子可以看作点M到直线距离的倍，利用圆心到直线的距离加半径即可求得最值. 【详解】由垂径定理可得，， 则点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，其标准方程为； 设直线，过点分别作的垂线，垂足分别为， 则， 由于C到的距离，则， ， 其最大值为. 故答案为：①；②. 【题型五：阿波罗尼斯圆】 27．已知点，点关于直线的对称点为点，在中，，则面积的最大值为__________. 【答案】 【分析】先求点关于直线的对称点为点，再求出动点的轨迹，进而可得点在或时，三角形的面积最大，从而结合三角形的面积公式即可求出结果. 【详解】因为点关于直线的对称点为点， 设B的坐标为， 则，解得， 即点B的坐标为，则， 设， 因为，即， 可得，整理可得， 可知动点的轨迹是以圆心为，半径为的圆（x轴上的点除外）， 当点在或时，三角形的面积最大，， 所以面积的最大值为. 故答案为：. 28．在中，，点是上的点，平分面积是面积的3倍，当的面积最大时，__________. 【答案】/ 【分析】建立平面直角坐标系，利用到角公式求出点的轨迹为以为圆心，半径为3的圆，数形结合，得到当在点处时，的面积最大，结合余弦定理和同角的平方关系计算即可求解. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则， 由，得，又，所以， 则，设，由角平分线定理可得， 当时，，可得，此时； 当时，直线的斜率分别为， 则，又， 由到角公式得，即， 得， 整理得，即， 所以点的轨迹为以为圆心，半径为3的圆. 所以当在点处时，的面积最大. 此时， 在中，由余弦定理得， 又为锐角，所以. 故答案为： 29．已知圆的直径，动点与的距离是它与的距离的倍，当面积最大时，（    ） A．16 B．32 C．48 D．64 【答案】D 【分析】以所在直线为轴，线段的中垂线为轴建立平面直角坐标系. 设动点，由可得动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆.根据三角形面积公式可知当面积最大时，点的坐标，根据平面向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】以所在直线为轴，线段的中垂线为轴建立平面直角坐标系如图所示. 则由题可知，，则圆的方程为：. 设动点，则根据可得， 化简可得：，即动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆. 因为，所以当面积最大时，点坐标， 当点的坐标为时，，， 所以. 当点的坐标为时，，， 所以. 故选：D. 30．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆．若点到，的距离比为，则点到圆上的点的距离最大值是______． 【答案】 【分析】设点，先利用距离比值求出点的轨迹方程，确定圆心和半径，再根据圆的方程确定圆的圆心和半径，利用两点间距离公式求出圆心距，确定两圆的位置关系，最后利用两圆的位置关系求出点到圆的最大值． 【详解】设点，， ，整理得， 点的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 圆的标准方程为， 圆是以为圆心，半径是， 圆心与之间的距离， ， 点到圆的距离的最大值为． 故答案为：． 31．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比（，），那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，已知动点的M与定点和定点的距离之比为2，其方程为，若点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，应用两点距离公式列方程求M轨迹，结合已知圆的方程求参数m，进而得，再由，数形结合求目标式最小值. 【详解】由题设，令，则， 所以，则，即， 又，即在圆外，，即在圆外， 由，当且仅当共线上等号成立， 所以的最小值为. 故选：C 32．古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知点，为直线上的动点，为圆上的动点，则的最小值为__________. 【答案】9 【分析】根据阿波罗尼斯圆的定义可设，利用待定系数法得的坐标为，即可根据三点共线，结合点到直线的距离公式即可求解. 【详解】令，则． 由题意可得圆是关于点，的阿波罗尼斯圆，且， 设点坐标为，则， 整理得， 由题意得该圆的方程为，即 所以，解得， 所以点的坐标为，所以， 当时，此时最小，最小值为， 因此当时，的值最小为， 故答案为：9      【点睛】关键点点睛：根据的形式，设，则，利用阿波罗尼斯圆的定义待定出点，即可利用点到直线的距离求解. 学科网（北京）股份有限公司 $