【导学案】3.1 第1课时 比例线段及相似多边形（word导学案）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（北师大版·新教材）

该初中数学导学案聚焦图形的相似，核心内容为线段的比、成比例线段及相似多边形的概念与性质。通过“形状相同图形的异同”复习导入，衔接图形认识基础，逐步引出线段比描述大小关系，搭建从具体到抽象的学习支架。 资料以合作探究为主线，通过找形状相同图形、格点图形操作等活动培养几何直观与抽象能力，结合比例性质推理和相似判定训练发展推理意识，典例与实际问题（如矩形裁剪）强化模型意识，分层习题与当堂反馈助力知识内化，提升数学应用能力。

第3章 图形的相似 3.1 成比例线段 第1课时 比例线段及相似多边形 【学习目标】 1.知道线段的比的概念，会计算两条线段的比． 2.理解成比例线段的概念及掌握成比例线段的判定方法． 3.理解相似的概念，会判断相似图形；理解相似三角形、相似多边形、相似比的概念，掌握相似三角形的性质． 4.通过现实情境，进一步发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力，培养学生的数学应用意识． 学习重点：准确计算两条线段的比；理解相似多边形、相似比的概念. 学习难点：成比例线段的判定；相似多边形的性质． 【复习导入】 有什么相同点和不同点？ 【合作探究】 探究点一：线段的比和成比例线段 [合作探究] 你能在下面这些图形中找出形状相同的图形吗？这些形状相同的图形有什么不同？ [归纳总结] 形状相同而大小不同的两个平面图形，较大的图形可以看成是由较小的图形“放大”得到的，较小的图形可以看成是由较大的图形“缩小”得到的.在这个过程中，两个图形上的相应线段也被“放大”或“缩小”. 因此，对于形状相同而大小不同的两个图形，我们可以用相应线段长度的比来描述它们的大小关系. 概念引入：如果选用同一个长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别是m，n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB∶CD=m∶n，或写成=， 其中，线段AB，CD分别叫作这个线段比的前项和后项． 如果把表示成比值k，那么=k，或AB=k•CD．两条线段的比实际上就是两个数的比． [练一练] 1. 若线段AB＝6 cm，CD＝4 cm，则 . 2. 若线段AB＝8 cm，CD＝2 dm，则 . 思考：两条线段长度的比与所采用的长度单位是否有关？ 3.已知线段 AB＝8 cm，A'B'＝2 cm，AB : A'B' 的比为　　 　，AB : A'B' 的比值为 ，AB＝　 　A'B'. 4. 如图，五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'形状相同，AB＝5 cm，A'B'＝3 cm，AB : A'B'＝ . 就是线段AB与线段A'B'的比，这个比值刻画了这两个五边形的大小关系. [操作·思考] 如图，已知小方格的边长均为1，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′的顶点都在格点上． 问题1：AB，AE，A′B′，A′E′的长度分别是多少？ 问题2：分别计算，，，的值，你发现了什么？ 概念引入：四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即=，那么这四条线段a，b，c，d叫作成比例线段，简称比例线段．在图中，AB，A′B′，BC，B′C′是成比例线段，AB，BC，A′B′，B′C′也是成比例线段． [典例精析] 例1 判断下列线段 a、b、c、d 是否是成比例线段： （1） a＝4，b＝6，c＝5，d＝10； （2）a＝2，b＝，c＝2，d＝5. 注意: 1.若 a : b = k，说明 a 是 b 的 k 倍； 2.两条线段的比与所采用的长度单位无关，但求比时两条线段的长度单位必须一致； 3.两条线段的比值是一个没有单位的正数； 4.除了 a = b 外，a : b ≠ b : a， 与 互为倒数. 探究点2：比例的基本性质 [思考交流] 如果a，b，c，d四个数成比例，即 = ，那么ad=bc吗？ 如果ad=bc，那么等式 =还成立吗？与同伴交流． 归纳总结：如果 = ，那么ad=bc．如果ad=bc（a，b，c，d都不等于0），那么 = ． [典例精析] 例2 如图，一块矩形绸布的长 AB = a m，宽 AD = 1 m，按照如图所示的方式将它裁剪成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即，那么 a 的值应当是多少？ 探究点3：相似多边形 [合作探究] 多边形 ABCDEF 是显示在电脑屏幕上的，而多边形 A'B'C'D'E'F' 是投射到银幕上的. 问题1 在这两个多边形中，是否有对应相等的内角？设法验证你的猜想. 问题2 在这两个多边形中，相等内角的两边是否成比例？ [归纳总结] 概念引入：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫作相似多边形．五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′相似，记作：五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′，“∽”读作“相似于”． 相似多边形的对应边的比叫作相似比． 如：六边形 ABCDEF 与六边形 A′B′C′D′E′F′ 六边形ABCDEF与六边形A′B′C′D′E′F′的相似比为 k1 = . 六边形A′B′C′D′E′F′与六边形ABCDEF的相似比为 k2 = . [思考·交流] (1) 两个全等三角形相似吗？为什么 (2) 任意两个等边三角形相似吗？任意两个正方形呢？任意两个正 n 边形呢？ (3) 任意的两个菱形相似吗？矩形呢？ 【典例精析】 例3 如图，四边形 ABCD 和四边形 EFGH 相似，求角 α，β 的大小和 EH 的长度 x. 练一练 5.如图所示的两个五边形相似，求未知边 a，b，c，d 的长度． 当堂反馈 1.下列线段中，能成比例的是(　　) A.3cm，6cm，8cm，9cm B.3cm，5cm，6cm，9cm C.3cm，6cm，7cm，9cm D.3cm，6cm，9cm，18cm 2.已知2x＝3y，则下列比例式成立的是(　　) A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ 3.如图，点B是线段AC上的一点，且线段AB∶BC＝2∶3，则线段AB∶AC等于(　　) A.2∶5 B.5∶2 C.3∶5 D.5∶3 4.下列图形一定相似的是(　　) A.所有的三角形 B.所有的菱形 C.所有的矩形 D.所有的正方形 5.已知矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，下列四个矩形中与矩形ABCD相似的是(　　) 6.已知四条线段a，b，c，d，其中a＝3cm，b＝8cm，c＝6cm. (1)若a，b，c，d是成比例线段，则线段d的长度为　　cm； (2)若b，a，c，d是成比例线段，则线段d的长度为　　cm. 7.已知a：b：c＝3：4：5，求的值. 书写通关 解：设a＝3k， 则b＝　　，c＝　　. 则原式＝　 　＝　 　＝　 　. 8.一个六边形的六边长分别为3，4，5，6，7，8，另一个与其相似的六边形的周长为66，则与其相似的六边形的最短边长为　　. 9.把一个矩形按如图所示的方式划分成三个全等的小矩形，每一个小矩形与原矩形相似.若小矩形的宽为2，则原矩形的宽x为　　. 10.在比例尺为1：50000的地图上，量得甲、乙两地的距离是3cm，求甲、乙两地的实际距离. 11.如图，给出的两个四边形是相似图形，具体数据如图所示，求未知边a，b的长度及∠α的度数. 12.已知＝＝≠0. (1)求的值； (2)若a－b＋c＝9，求3a－2b＋c的值. 13.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，EF∥BC，EF将四边形ABCD分成两个四边形AEFD和EBCF，且四边形AEFD∽四边形EBCF.若AD＝3，BC＝4，求AE：EB的值. 参考答案 合作探究 一、要点探究 知识点1：线段的比和成比例线段 练一练 1. . 2. . 3.　4　'.4. 5 : 3 . [操作·思考] 问题1：解：AB=2，AE=2，A′B′=1，A′E′=． 问题2：解：==2，==2，==，==，=，=． 例题精析 例1 解：（1）∵==，==，∴≠．∴线段a，b，c，d不是成比例线段． （2）∵==，==，∴=．∴线段a，b，c，d是成比例线段 探究点2：比例的基本性质 例2 探究点3：相似多边形 例3 解：∵ 四边形 ABCD 和四边形 EFGH 相似， ∴ 它们的对应角相等． 由此可得 ∠α＝∠C＝83°，∠A＝∠E＝118°. 在四边形 ABCD 中，∠β＝360°－(78°＋83°＋118°)＝81°. ∵ 四边形 ABCD 和四边形 EFGH 相似， ∴它们的对应边成比例，由此可得 ,即 解得 x = 28 cm. 练一练 5.解：由相似多边形的对应边的比相等可得 解得 a = 3，b = 4.5，c = 4，d = 6. 所以未知边 a，b，c，d 的长度分别为 3，4.5，4，6. 当堂反馈 1.　D　 2.　C　 3.　A　 4.　D　 5.　A 6.(1)　16　； (2)　　. 7. 　4k　，c＝　5k　. 则原式＝　　＝　　＝　－　. 8.　6　. 9.　2　. 10.解：设甲、乙两地的实际距离为xcm， 则有＝，解得x＝150000. 则150000cm＝1500m. 答：甲、乙两地的实际距离为1500m. 11.解：∵四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似， ∴∠B'＝∠B＝63°，∠D'＝∠D，＝＝， 即＝＝. ∴a＝5，b＝18.在四边形A'B'C'D'中， ∠α＝∠D'＝360°－(84°＋75°＋63°)＝138°. 12.(1)解：设＝＝＝k，则a＝2k，b＝3k，c＝4k， ∴＝＝. (2)解：设＝＝＝k，则a＝2k，b＝3k，c＝4k. ∵a－b＋c＝9， ∴2k－3k＋4k＝9，解得k＝3. ∴a＝6，b＝9，c＝12. ∴3a－2b＋c＝3×6－2×9＋12＝18－18＋12＝12. 13解：∵四边形AEFD∽四边形EBCF， ∴＝. ∴EF2＝AD·BC＝3×4＝12. ∴EF＝2. ∵四边形AEFD∽四边形EBCF， ∴AE：EB＝AD：EF＝3：2＝. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $