2.4 第1课时 行程(或动点)问题及平均变化率问题（word导学案）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（北师大版·新教材）

该初中数学导学案聚焦一元二次方程的应用，核心内容为行程（动点）问题及平均变化率问题。课堂导入通过复习“梯子下滑”旧知，搭建学习支架，引导学生从熟悉的几何情境过渡到方程模型的抽象过程。 资料特色在于以合作探究为主线，结合军舰巡航、矩形动点等真实情境设计问题，通过典例精析与分层练习，培养学生数学眼光（抽象能力）和数学思维（推理与运算能力），强化模型意识，助力学生掌握方程应用并提升解决实际问题的能力。

第二章 一元二次方程 2.4 应用一元二次方程 第1课时 行程(动点)问题及平均变化率问题 【学习目标】 1. 掌握列一元二次方程解决行程(动点)、几何、变化率等问题，并能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性. 2. 理解将实际问题抽象为方程模型的过程，并能运用所学的知识解决问题． 学习重点：掌握列一元二次方程解决行程(动点)、几何、变化率等问题，并能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性. 学习难点：理解将实际问题抽象为方程模型的过程，并能运用所学的知识解决问题. 【复习导入】 还记得本章开始时梯子下滑的问题吗？ 如图，一个长为 10 m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为 8 m. 如果梯子的顶端下滑 1 m，那么梯子的底端滑动多少米？ 【合作探究】 探究点1：利用一元二次方程解决行程(动点)问题 (1) 在这个问题中，梯子顶端下滑 1 m 时，梯子底端滑动的距离大于 1 m，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和它相等呢？ (2) 如果梯子的长度是 13 m，梯子顶端与地面的垂直距离为 12 m，那么梯子顶端下滑的距离与梯子的底端滑动的距离可能相等吗？如果相等，那么这个距离是多少？ 典例精析 例1 如图，某海军基地位于A处，在其正南方向 200 n mile 处有一目标B，在B的正东方向 200 n mile 处有一重要目标C. 小岛D位于AC 的中点，岛上有一补给码头，小岛F位于BC的中点. 一艘军舰沿A出发，经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰. 已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里 (结果精确到0.1海里)？ 练一练 1.如图，在矩形ABCD中，AB = 6 cm，BC = 12 cm，点P从点A开始沿AB边向点B以 1 cm/s 的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以 2 cm/s 的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后五边形APQCD的面积为 64 cm2？ 探究点2：平均变化率问题与一元二次方程 前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，设下降率是x，则去年生产1 吨甲种药品的成本是 元，如果保持这个下降率，那么现在生产1吨甲种药品的成本是 元. 例2 前年生产 1 吨甲种药品的成本是 5000 元，随着生产技术的进步，现在生产 1 吨甲种药品的成本是 4050 元，试求甲种药品成本的年平均下降率. 注意：下降率不可为负，且不大于1. 例3 某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为 200 万元，一月、二月、三月的营业额共 950 万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求平均增长率是多少？ 想一想 你能总结出有关增长率和下降率的有关数量关系吗？ 练一练 2. 前年生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨乙种药品的成本是 3600元，试求乙种药品成本的年平均下降率. 当堂反馈 1.为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放1000个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶2500个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，则可列方程为(　　) A.1000(1＋x)2＝2500 B.1000(1－x)2＝2500 C.(1－x)2＋1000＝2500 D.x2＋1000＝2500 2.某种过季绿茶的价格两次大幅下降，原来每袋250元，现在每袋90元，则平均每次下降的百分率是　 　. 3.某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨，通过优化管理，产量逐年上升，第一季度共生产化工原料60万吨，设二、三月份平均增长的百分率相同，均为x，可列出方程为　 　. 4.随着互联网的迅速发展，某购物网站的年销售额从前年的200万元增长到今年的392万元.求该购物网站平均每年销售额增长的百分率. 书写通关 解：设　 　， 根据题意得　 　. 解得　 　. (x＝　 　不合题意，舍去) 答：　 　. 5.如图，在△ABC中，AC＝50m，BC＝40m，∠C＝90°，点P从点A开始沿AC边向点C以2m/s的速度匀速移动，同时另一点Q由点C开始以3m/s的速度沿着CB边向点B匀速移动，几秒时，△PCQ的面积等于450m2？ 书写通关 解：设xs时，△PCQ的面积等于450m2， 由题意可得AP＝　　m，PC＝　　m，CQ＝　　m， 所以可得方程　 　. 解得　 　. 当x＝　 　不合题意，舍去. 答：　 　s时，△PCQ的面积等于450m2. 参考答案 【合作探究】 探究点1：利用一元二次方程解决行程(动点)问题 (1) 解：设梯子顶端下滑 x m 时，梯子底端滑动 x m ，根据题意，得 (8 - x)2 + (6 + x)2 = 102. x2 - 2x = 0 解得 x1 = 0 （舍）， x2 = 2. 答：梯子顶端下滑 2 m. (2) 解：设梯子顶端下滑 x m 时，梯子底端滑动的距离和它相等，根据题意，得 (12 - x)2 + (5 + x)2 = 132，x2 - 7x = 0 解得 x1 = 0 (舍)，x2 = 7. 典例精析 例1 解：连接 DF.∵AD = CD，BF = CF，∴DF 是△ABC 的中位线. ∴DF∥AB，且 DF = AB，∵AB⊥BC，AB = BC = 200 n mile， ∴DF⊥BC，DF = 100 n mile，DF = 100 n mile. 设相遇时补给船航行了 x n mile，那么DE = x n mile，AB + BE = 2x n mile， EF = AB + BF - (AB + BE) = (300 - 2x) n mile. 在 Rt△DEF 中，根据勾股定理可得方程 x2 = 1002 + (300 - 2x)2. 整理，得 3x2 - 1200x + 100000 = 0， 解这个方程得 (不合题意，舍去). 所以，相遇时补给船大约航行了 118.4 n mile. 练一练 1.解：设所需时间为 t s，根据题意，得 2t(6 - t)÷2 = 6×12 - 64. 整理得 t2 - 6t + 8 = 0. 解方程，得 t1 = 2，t2 = 4 . 答：在第 2 秒和第 4 秒是五边形面积是 64 cm2. 探究点2：平均变化率问题与一元二次方程 例2 解：设甲种药品的年平均下降率为 x. 根据题意，列方程，得 5 000 (1 - x)2 = 4050， 解方程，得 x1 = 0.1，x2 = 1.9. 根据问题的实际意义，取 x = 0.1， 即甲种药品成本的年平均下降率为 10％. 例3 解：设平均增长率为 x. 根据题意，得 200 + 200(1 + x) + 200(1 + x)2 = 950， 整理方程，得 4x2 + 12x - 7 = 0. 解得 x1 = −3.5(舍去)，x2 = 0.5 = 50％. 答：平均增长率为 50％. 练一练 2. 解：设乙种药品的年平均下降率为 y. 根据题意，列方程，得 6000(1 − y)2 = 3600 解方程，得 y1≈0.225， y2≈1.775. 根据问题的实际意义，取 y≈0.225， 即甲种药品成本的年平均下降率为 22.5％. 当堂反馈 1.A　 2.　40％　. 3.　15＋15(1＋x)＋15(1＋x)2＝60　. 4. 解：设　该购物网站平均每年销售额增长的百分率为x　， 根据题意得　200(1＋x)2＝392　. 解得　x1＝0.4，x2＝－2.4　. (x＝　－2.4　不合题意，舍去) 答：　该购物网站平均每年销售额增长的百分率为40％　. 5. 解：设xs时，△PCQ的面积等于450m2， 由题意可得AP＝　2x　m，PC＝　(50－2x)　m，CQ＝　3x　m， 所以可得方程　(50－2x)·3x＝450　. 解得　x1＝10，x2＝15　. 当x＝　15时，CQ＝45m＞40m，　不合题意，舍去. 答：　10　s时，△PCQ的面积等于450m2. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $