2.3 一元二次方程的根与系数的关系（word导学案）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（北师大版·新教材）

该初中数学导学案聚焦一元二次方程根与系数的关系，通过复习求根公式和判别式导入，以“根与系数a,b,c还有其他关系吗”的问题连接旧知，搭建从已有知识到新知的探究支架。 资料亮点在于合作探究通过实例验证因式分解与根的关系，培养推理意识，典例和练习覆盖基础及综合应用提升运算能力，注重从具体到抽象的思维过程，引导学生用数学语言表达关系，发展应用意识。

第二章 一元二次方程 2.3 一元二次方程的根与系数的关系 【学习目标】 1. 探索一元二次方程的根与系数的关系. 2. 利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题. 学习重点：利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题. 学习难点：探索一元二次方程的根与系数的关系 【复习导入】 1. 一元二次方程的求根公式是什么？ 2. 如何用判别式来判断一元二次方程根的情况？ 想一想：方程的根与系数 a，b，c 之间还有其他关系吗？ 【合作探究】 探究点1：一元二次方程根与系数的关系 由前面的学习我们知道，如果 ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2) (a≠0，x1，x2 是实数)， 那么一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 必有两个实数根， x = x1，x = x2。 反过来，如果 x1，x2 是一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的两个实数根，那么 ax2 + bx + c= a(x - x1)(x - x2) 一定成立吗？ 合作探究 (1) 2x² - 3x + 1 = 0 的两根为 x1 = ，x2 = 1，那么2x² - 3x + 1 和 2(x - 1/2 )(x - 1) 相等吗？换几个一元二次方程再试一试。 试一试：下列几个一元二次方程是否有上述结论. ①方程 x² - 5x + 6 = 0； ②方程 3x² - 7x + 2 = 0. (2) 你认为 ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2) 是否一定成立？与同伴进行交流。 思考·交流 如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 有两个实数根 x1，x2 ，那么这两个实数根与该方程的系数有怎样的关系呢？与同伴进行交流。 思考1：观察求根公式 它有什么特点？ 因为 x1＝ ，x2＝ . 所以 x1 + x2= x1·x2= 归纳总结：一元二次方程的根与系数的关系 如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、x2，那么，. (前提条件是b2－4ac≥0) 【典例精析】 例1 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积. （1）x2 + 7x + 6 = 0； （2）2x2 - 3x - 2 = 0； 例2 已知关于x的方程 5x2 + kx - 6 = 0 的一个根是2，求它的另一个根及 k 的值. 例3 不解方程，求方程2x2+3x－1=0的两根的平方和、倒数和. 常见的求值式子如下： 练一练 1.设x1，x2为方程x2－4x+1=0的两个根，则： (1) ， (2) ， (3) ， (4) . 2. 已知 x1，x2 是方程 x2－x－2026 = 0 的两个实数根，则代数式 －2026x1 + 的值是 ( ) A. 4053 B. 4052 C. 2026 D. 1 当堂反馈 1.设下列方程的两个根均为α，β，不解方程，直接写出两根的和与积. (1)x2＋4x－1＝0； α＋β＝　　；α·β＝　　. (2)2x2＋4x＋1＝0； α＋β＝　　；α·β＝　　. (3)6x2－x＝2x2＋3. α＋β＝　　；α·β＝　　. 2.设x1，x2是方程2x2＋4x－3＝0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： (1)＋； (2)＋. 3.[高频易错]已知关于x的方程x2＋(2k＋1)x＋k2－k＋1＝0有两个实数根. (1)求k的取值范围； (2)若该方程有两个实数根x1，x2，且(x1＋1)(x2＋1)＝11，求k的值. 参考答案 【合作探究】 探究点1：一元二次方程根与系数的关系 合作探究 (1) 相等。 2(x - )(x - 1) = 2(x² - x - x + ) = 2(x²- x + ) = 2x²- 3x + 1 试一试： ①求根：x1 = 2，x2 = 3. 因式分解：(x − 2)(x − 3) = x² - 5x + 6，与原多项式相等。 ②求根：x1 = ，x2 = 2. 因式分解：3(x − )(x − 2) = 3x² - 7x + 2，与原多项式相等。 (2) 如果 x1，x2 是一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的两个实数根，那么 ax2 + bx + c= a(x - x1)(x - x2). 思考·交流 事实上，因为 ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2)， 而 a(x - x1)(x - x2) = ax2 - a(x1 + x2) x + ax1·x2 ， 所以 b = - a(x1 + x2)， c = ax1x2 【典例精析】 例1 (1) 解：这里 a = 1，b = 7， c = 6 . Δ = b2 - 4ac = 72–4×1×6 = 49–24 = 25＞0. 所以方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1， x2，那么 x1 + x2 = –7， x1 x2 = 6. (2) 解：这里 a = 2，b = –3， c = -2. Δ = b2 − 4ac = (−3)2–4×2×(−2) = 9 + 16 = 25 ＞ 0， 所以方程有两个实数根。 设方程的两个实数根是 x1，x2，那么 x1 + x2 = ， x1 x2 =–1. 例2 解：设方程的两个根分别是x1，x2，其中x1=2 . 所以x1 x2 =2x2=即x2 = 由于x1 + x2=2+ = 得k=－7. 答：方程的另一个根是k=－7. 例3 解：根据根与系数的关系可知： ∵∴ 练一练 1.（1）4 （2）1 （3）14 （4）12 2.A 当堂反馈 1.(1)　－4　；　－1　. (2)　－2　；　　. (3)　　；　－　. 2.解：根据根与系数的关系，得x1＋x2＝－2，x1x2＝－. (1)＋＝＝＝. (2解：＋＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－2)2－2×(－)＝7. 3.(1)解：∵方程有两个实数根， ∴Δ＝(2k＋1)2－4(k2－k＋1)≥0， 解得k≥. (2)解：∵x1＋x2＝－2k－1，x1x2＝k2－k＋1，(x1＋1)(x2＋1)＝11， ∴x1x2＋(x1＋x2)＋1＝11， 即k2－k＋1－2k－1＋1＝11. 整理得k2－3k－10＝0， 解得k1＝－2，k2＝5. ∵k≥，∴k＝5. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $