第2章 4.2 一元二次方程在实际问题中的应用（2） 导学案 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦一元二次方程在实际问题中的应用，涵盖动态几何、存在性、方案设计等复杂情境。通过点运动、图形折叠等具体案例衔接方程解法，以问题链为支架引导学生从实际中抽象等量关系建立模型。 特色在于情境化与跨知识综合，借动态几何、经济决策等实例，培养学生用数学眼光发现问题、用数学思维推理建模、用数学语言表达解的合理性，习题分层且注重实际约束检验，提升数学建模与问题解决能力。

2026－2027学年度北师大数学九年级上册课时同步训练 第二章 一元二次方程 4 一元二次方程的应用 第2课时 一元二次方程在实际问题中的应用（2） ▌课时目标 1. 能运用一元二次方程解决动态几何、存在性、方案设计等较复杂的实际问题，准确找出等量关系并建模求解，进一步提升数学建模能力。 2. 能综合运用特殊平行四边形、勾股定理、函数等知识，结合一元二次方程解决跨章节的综合问题，体会知识之间的内在联系。 3. 在解决实际问题的过程中，养成“检验解的合理性”的习惯，能根据问题的实际约束条件（如边长范围、整数要求、资源限制等）对方程的解进行取舍。 ▌课时目录 知识点01：动态几何问题 知识点02：几何图形中的存在性问题 知识点03：方案设计问题 知识点04：经济决策问题 知识点05：一元二次方程与其他知识的综合应用 ▌知识点01：动态几何问题 动态几何问题通常涉及点在线段上运动、图形折叠或旋转等情境，解题关键是抓住变化过程中的不变量或等量关系，设时间为未知数（或直接设线段长为未知数），利用几何图形的性质（如勾股定理、特殊平行四边形性质等）列出方程。 例如：矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从A出发沿AB以1cm/s的速度向B运动，点Q从B出发沿BC以2cm/s的速度向C运动，几秒后△PBQ的面积为8cm²？ 解：设运动t秒，则PB＝6－t，BQ＝2t，由(6－t)·2t＝8得t2－6t＋8＝0，解得t＝2或t＝4，均符合0≤t≤4的实际范围（Q到C需4秒），故2秒或4秒后满足条件。 注意：需根据运动范围检验解的有效性，若求出t＝5则超出Q的运动时间，应舍去。 1．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，，点从点开始沿射线方向以的速度运动；同时点也从点开始沿射线方向以的速度运动．_______秒后以、、、为顶点的四边形的面积为． 【答案】或 【分析】先根据动点速度设运动时间为，得出、，依据点、所在线段位置划分为、、三种情况，每种情况结合图形形状选用对应割补法列出四边形面积方程求解，求出解后验证数值是否落在对应取值范围内，舍去取值范围内不符的解，即可得出所有符合条件的时间． 【详解】解：设运动时间为，由题意得，， 当点在线段上时，； 当点在线段上时，； 故分三种情况讨论： ①当时，如图， ， ∵， ∴， 解得 或（不合题意，舍去）； ②当时，如图， ， ∵， ∴， 解得； ③当时，如图， ， ∵， ∴， 解得（，不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）； 综上所述， 或秒后以、、、为顶点的四边形的面积为． 2．（25-26九年级上·福建莆田·阶段检测）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．若P，Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q两点同时停止运动． 求： (1)几秒后，的面积等于？ (2)的面积能否等于？说明理由． 【答案】(1)当出发1秒后，的面积等于； (2)解：不能， 理由：假设经过t秒后，的面积等于，即， ∴， 整理得：， 由于， 则方程没有实数根， ∴的面积不能等于． 【分析】（1）设出发t秒时，则，， ，根据， 解方程即可求解； （2）令，根据三角形的面积公式列出方程，再根据得出方程没有实数根，从而得出的面积不能等于． 【详解】（1）解：设出发秒时，则， ，． ∴ 即 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴当出发1秒后，的面积等于； （2）略 3．（25-26九年级下·山东淄博·期末）如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 【答案】(1)①经过2秒或4秒后，的面积等于；②的面积不能等于； (2)当为秒或秒，的面积等于． 【分析】（1）①设运动时间为x秒，根据三角形面积公式构建方程求解即可； ②设运动时间为x秒，的面积等于，根据三角形面积公式构建方程，解方程即可判断； （2）分两种情况讨论，用面积公式列方程即可得到答案． 【详解】（1）解：①设运动时间为x秒，则，， 又， ∴， 根据题意，得， 解得，． ∴经过2秒或4秒后，的面积等于； ②设运动时间为x秒，的面积等于， 根据题意，得， 整理得， ∴， ∴方程无解， ∴的面积不能等于； （2）解：设运动的时间为t秒， ①当时，， 由题意，得， 解得：，； ②当时，， 由题意，得， 解得：，（舍去）， 综上所述，当为秒或秒时，的面积等于． 4．（2026·江苏南通·模拟预测）如图：在直角坐标系中，长方形中，，，点从点出发，沿射线方向以每秒个单位长的速度移动，点从点出发，沿射线方向以每秒个单位长的速度运动，设点的运动时间为秒． (1)如图1，当为何值时，的面积为； (2)当是的角平分线时，求出此时点的坐标； (3)当为何值时，是等腰三角形？ 【答案】(1) (2)或 (3)或或或 【分析】（1）用含的式子表示三角形底与高，代入面积公式列方程，舍去负根即可求出的值； （2）利用长方形对边平行得到，结合角平分线条件推导出，得到，用表示，在中利用勾股定理列出关于的方程求解，即可得到点坐标； (3)先写出三点坐标，借助平面内两点距离公式写出、、三条边长代数式，分、、三类情况列方程求解，舍去不符合实际运动意义的根，即可得到所有符合条件的的值． 【详解】（1）解：如图，由题意得，， ， 当的面积为时， ，解得或（不合题意，舍去）， 即当时，的面积为； （2）解：如图， ∵四边形是长方形， ∴，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 解得或， 即或， ∴此时点的坐标为或； （3）解：由题意得，，， ∴，，， 是等腰三角形，可分三种情况讨论： ①，则 ， 解得或（不合题意，舍去）； ②，则 ， 解得或； ③，则 ， 解得或（不合题意，舍去）； 综上，或或或． ▌知识点02：几何图形中的存在性问题 存在性问题指"是否存在某种情况使图形满足特定条件"的探究型问题，通常假设存在，列方程求解，再根据解的情况判断是否存在。 例如：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点P在BC上，是否存在点P使PA＝PB？ 解：设PC＝x，则PB＝8－x，PA＝，由PA＝PB得，两边平方得，解得x＝2，在0≤x≤8范围内，故存在点P，PC＝2。 注意：平方操作可能引入增根，需代回原方程检验；若解出x为负数或超出线段长度，则不存在满足条件的点。 5．（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）如图，在四边形中，，，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)当______时，平分四边形的面积． (2)求经过多少秒后，． (3)连接，是否存在某一时刻，使得恰好平分？若存在，求出此时的移动时间；若不存在，请说明理由． (4)运动过程中，是否存在某一时刻使得点B在线段的垂直平分线上？若存在，求出此时的移动时间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)当时，恰好平分． (4)当时，点B在线段的垂直平分线上． 【分析】（1）根据题意可得，，解方程即可求出答案； （2）分和两种情况，根据平行四边形的判定和性质进行列方程解答即可； （3）连接，作于点E，，，分三种情况分别列方程，解方程进行解答即可． （4）如图，连接，过作于，证明，结合，，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，， ∵ ∴四边形是直角梯形， 由题意可得，， 解得． （2）解：当时， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 则， 解得：， 当，时，如图， 过作于，过作于， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 同理：四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 解得：， 综上：当或时，． （3）解：如图，连接，过作于， ∵恰好平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得：， 解得：， ∴当时，恰好平分． （4）解：如图，连接，过作于， ∵点B在线段的垂直平分线上， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：或（不符合题意舍去）， 综上：当时，点B在线段的垂直平分线上． 【点睛】此题考查了矩形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理、解一元二次方程，全等三角形的判定与性质等知识，分情况讨论是解题的关键． 6．（25-26九年级上·广东江门·期中）如图，是边长为的等边三角形，动点，同时从，两点出发，分别沿、匀速移动，它们的速度都是，当点到达点时，、两点都停止运动．设点的运动时间为，解答下列问题： (1)当为何值时，是等腰三角形？ (2)是否存在，使四边形的面积是面积的？若存在，求出的值；若不存在．请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】（1）易得，得到为等腰三角形时，为等边三角形，进而得到，列出方程进行求解即可； （2）易得的面积是面积的，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵是边长为的等边三角形， ∴， ∴当是等腰三角形时，为等边三角形， ∴， 由题意，， ∴， ∴，解得； （2）解：存在； 作，则， ∴， ∴， 作，则， ∴， ∴， ∴当四边形的面积是面积的时，则的面积是面积的， ∴， 解得或； 综上：或． 7．（25-26九年级上·广东茂名·阶段检测）在矩形中， ，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)当t为何值时，点B在的垂直平分线上？ (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当t的值为时，点B在的垂直平分线上 (2)当时，的长度等于10cm (3)存在t的值，使得五边形的面积等于，此时t的值为1 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用、勾股定理，理解题意，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）由题意得，，则，再根据垂直平分线的性质可得进行求解即可； （2）由勾股定理得出关于的一元二次方程，计算即可得解； （3）根据题意得出关于的一元二次方程，计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意得：，则， 当时，点B在的垂直平分线上， ∴， 解得， ∴当t的值为时，点B在的垂直平分线上； （2）解：在中，由勾股定理得：， 即， ， ， 解得：（不合题意，舍去）， ∴当时，的长度等于； （3）解：存在t的值，使得五边形的面积等于，理由如下： 由题意得：， ， ∴五边形的面积， 即， 整理得：， 解得：， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； ∴存在t的值，使得五边形的面积等于，此时t的值为1． 8．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，正方形的边长为，动点从点出发，以的速度沿的方向向点运动；动点从点出发，以的速度沿的方向向点运动．若、两点同时出发，运动时间为 (1)连接、、，是否存在的值，使的面积为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (2)当点在上运动时，是否存在的值，使是以为一腰的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)不存在，见解析 (2)存在的值，使是以为一腰的等腰三角形，的值为或 【分析】本题考查了正方形、一元二次方程、等腰三角形的相关知识，解决本题的关键是分类讨论思想的运用． （1）根据正方形的性质和面积公式，利用割补法即可求解； （2）根据勾股定理、等腰三角形的性质得出一元二次方程，分情况讨论以PD为腰的等腰三角形即可说明． 【详解】（1）解：不存在， 理由：当点在上，即时， ，， ，． ， ， 解得，，均不合题意，舍去． 当点在上，即时， ，． ∵， ∴，解得(不合题意，舍去)． 不存在的值，使的面积为 ． （2）存在由题意，得 ，， ，． 当时，由题意，得，， ， ，即， 解得． 当时，在中，， 在中，， ，解得不合题意，舍去，． 存在的值，使是以为一腰的等腰三角形，的值为或 ▌知识点03：方案设计问题 方案设计问题要求在多种可行方案中选取最优解，通常需要列出不同方案对应的方程，通过求解和比较来确定符合条件的方案。 例如：用长为30m的篱笆围矩形养鸡场，一面靠墙（墙长12m），若要使面积为48m²，应如何设计？ 解：设垂直于墙的边长为xm，则平行于墙的边长为(30－2x)m，列方程x(30－2x)＝48，即x2－15x＋24＝0，解得x＝3或x＝8。当x＝3时，平行于墙的边长为24m＞12m（超过墙长，舍去）；当x＝8时，平行于墙的边长为14m＞12m（超过墙长，舍去）。故本题无解，即无法用30m篱笆靠12m墙围出48m²的矩形。 此类问题需严格检验几何约束条件。 9．（25-26八年级下·山东烟台·期末）某文创店生产一款文创产品并进行销售．每件文创产品的生产成本是30元，售价定为每件50元时，每天能售出40件．经市场调研发现：每件文创产品的售价每降低1元，每天会多售出8件． (1)该文创店为了提升利润，决定降价销售，若每天利润达到1200元，且尽可能让利于顾客，请求出相应的降价方案； (2)该文创店通过降价销售，每天利润能够达到1400元吗？如果能，请求出相应的降价方案；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)每件文创产品的售价应降低10元； (2)每天利润不能达到1400元，理由如下： 假设每天利润能够达到1400元，设每件文创产品的售价降低y元，则每件文创产品的销售利润为元，每天能售出件， 根据题意得：， 整理得， ， 原方程没有实数根， 假设不成立，即每天利润不能够达到1400元． 【分析】（1）设每件文创产品的售价降低x元，根据题意列方程解方程即可； （2）假设每天利润能够达到1400元，根据题意列一元二次方程，根据根的判别式判断方程根的情况即可． 【详解】（1）解：设每件文创产品的售价降低x元，则每件文创产品的销售利润为元，每天能售出件， 根据题意得：， 整理得， 解得， 又要尽可能让利于顾客， ． 答：每件文创产品的售价应降低10元； （2）略． 10．（25-26八年级下·广西梧州·期中）综合与实践 【问题情境】小豪毕业后决定从事农业养殖，他计划在老家建一个面积为的长方形养鸡场，为了节省材料，养鸡场的一边利用原有的一面墙（如图），另三边用铁丝网围成，已知铁丝网的长为． (1)若墙足够长，则垂直于墙的一边长可以设计为多少米？ 【方案设计】 (2)若墙的长度为，则垂直于墙的一边长应设计为多少米？ 【方案预测】 (3)小豪经过实地考察，希望能在未来扩大养殖．其他条件不变，且墙足够长，你认为将长方形养鸡场的面积扩建为是否可行？若可行，则请给出符合条件的方案；若不可行，则请说明理由． 【答案】(1)答：若墙足够长，则垂直于墙的一边长可以设计为米或米． (2)答：若墙的长度为，则垂直于墙的一边长应设计为米． (3)不可行，理由见解析 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意，找到等量关系，列出方程，进行求解，即可． （1）设垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为，根据面积为，列出方程，即可； （2）由（1）可得，垂直于墙的一边长为或；分别求出平行于墙的一边长，进行比较，即可； （3）长方形养鸡场的面积扩建为，设垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为，列出方程，进行解答，即可． 【详解】（1）解：设垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为， ∴， 解得：，； 答：若墙足够长，则垂直于墙的一边长可以设计为米或米． （2）解：当，则平行于墙的一边长为：符合题意； 当，则平行于墙的一边长为：，不符合题意； 答：若墙的长度为，则垂直于墙的一边长应设计为米． （3）解：不可行，理由如下： 设垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为， ∴， 整理得：， ， ∴此方程没有实数根， ∴没有符合题意的方案． 11．（25-26八年级下·山东东营·期末）综合与实践 【主题】“知耕园”生态农场田地设计 【情境】为了让同学们懂得劳动之义，知晓劳动之责，厚植劳动情怀；学校决定建立“知耕园”生态农场，开展种菜、采摘等劳动课程，老师请同学们参与一块长为60米，宽为40米的矩形菜地的方案设计，以下是同学们对菜地小路设计的研究过程． (1)【任务一】要求：设计的每一条小路都连接矩形菜地的一组对边．同学们设计的方案主要有如图1所示的甲、乙、丙三种典型的方案，三幅图中．为施工方便，学校选择甲方案设计，并要求菜地面积为2262平方米，则每条小路的宽度是______米． (2)【任务二】为了便于开展更多的劳动课程，学校打算在农场旁边建一个花圃．如图2，花圃一边利用水池，其它边用长为150米的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃．若可利用的水池长70米，花圃的面积刚好为1800平方米，求矩形花圃的一边的长． 【答案】(1)1 (2)30米 【分析】（1）设每条小路的宽度是米，根据除小路后菜地面积为2262平方米列方程，解方程即得答案； （2）设矩形花圃的一边的长为米，则的长为米，根据花圃的面积刚好为1800平方米列方程，解方程即得答案． 【详解】（1）解：设每条小路的宽度是米， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴每条小路的宽度是1米； （2）解：设矩形花圃的一边的长为米，则的长为米， ∵水池长70米， ∴，解得， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：的长为30米． 12．（25-26八年级下·安徽六安·期末）根据以下素材，探究完成任务： 制作长方体收纳盒 背景 某校数学项目化学习小组准备了一些长为，宽为的长方形硬纸板，准备利用纸板做长方体收纳盒（接缝处忽略不计）．    方案甲 如图所示，甲活动小组在长方形纸板的四个直角处裁掉四个边长均为的小正方形，再沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒，盒子的底面是矩形．    方案乙 如图所示，乙活动小组在长方形纸板的四个直角处裁掉四个长均为宽均为的小长方形，再沿虚线折成一个有盖的长方体收纳盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面是矩形．    (1)任务一：用含的代数式表示：方案甲制作出的无盖收纳盒的底面长为________，底面宽为________． (2)任务二：若方案甲制作出的无盖收纳盒的底面积为，求裁去小正方形的边长的值 (3)任务三：若方案乙制作出的有盖收纳盒的底面积为，请通过计算判断，图中长为，宽为，厚度为的书本能否完全放入该收纳盒内．    【答案】(1)； (2)裁去小正方形的边长的值为 (3)书本能完全放入该收纳盒内 【分析】（1）根据方案甲长方形纸板的四个直角处裁掉四个边长均为的小正方形，可得长和宽为原来的长和宽分别减去； （2）利用（1）的代数式，结合面积公式列出方程解答即可； （3）根据图示得出该收纳盒的高为，然后表示出收纳盒底面的长和宽，结合面积公式列出方程求得收纳盒的高，进而得到收纳盒的长和宽，即可判断． 【详解】（1）解：依题意，方案甲制作出的无盖收纳盒的底面长为，底面宽为． （2）解：∵无盖收纳盒的底面长，底面宽，底面积为， ， 解得或， 底面宽，即， 舍去， ， 答：裁去小正方形的边长的值为； （3）解：根据题意可知，收纳盒的高为， 则盒子的底面的矩形中，， ∵收纳盒的底面积为， ， 解得或（不合题意，舍去）， ∴收纳盒的高为，，， ，，， ∴书本能完全放入该收纳盒内． ▌知识点04：经济决策问题 经济决策问题在利润问题基础上增加决策条件，如“如何定价才能使利润达标”“选择哪种方案更划算”等。解题关键是根据不同方案列出对应的利润方程或不等式，通过比较得出结论。 例如：某商店销售进价为20元的商品，售价30元时每天可卖50件，每涨价1元销量减少2件。 （1）若要实现日利润600元，售价应为多少？ （2）若商店希望日利润不低于600元，售价应控制在什么范围？ 解：（1）设涨价x元，则(30＋x－20)(50－2x)＝600，解得x＝5或x＝10，故售价为35元或40元； （2） 由(30＋x－20)(50－2x)≥600得5≤x≤10，故售价应控制在35元~40元之间。 （3） 注意：需结合实际意义检验边界值，如售价不能超过消费者承受范围等。 13．（25-26八年级下·浙江湖州·期末）某花圃用花盆培育某种花苗，经试验发现，每盆花的盈利与每盆株数存在一定的关系：每盆植入株时，平均单株盈利元；以同样的栽培条件，若增加花苗株数，每盆平均单株盈利（元）与每盆的总株数（株）成如图所示的一次函数关系． (1)每盆种植株时，平均单株的盈利是多少元？ (2)若要求每盆花苗超过株，且每盆的盈利为元，则每盆应种植多少株？ 【答案】(1)株时，平均单株的盈利是元 (2)或株 【分析】（1）设一次函数表达式为，根据待定系数法解题； （2）根据题意，，将（1）中的代入解方程即可． 【详解】（1）解：设一次函数表达式为， 代入和， 有， 解得 ∴函数表达式为， 当时，， 即每盆种植株时，平均单株的盈利是元； （2）解：根据题意，得， ， 整理得， ， 解得，，且都符合题意， 即每盆应种植或株． 14．（25-26八年级下·江苏南通·期末）某网店销售一批同款护眼台灯，在销售过程中发现，这款护眼台灯销售单价为元时，每星期卖出个．如果调整销售单价，每降价元，每星期就可以多卖出个．现网店决定降价销售，设销售单价为元，每星期的销售量为个． (1)关于的函数解析式为_； (2)若销售单价不低于元时，求最大销售量； (3)若这款护眼台灯进价为每个元，该网店能否达到元的利润？ 【答案】(1) (2) 个 (3) 不能达到 【分析】（1）根据降价金额与销量增加的关系，推导y与x的函数解析式； （2）利用一次函数的增减性，结合自变量的取值范围，求出最大销售量； （3）根据总利润单个利润销售量列方程，通过判断方程是否存在实数解，得到能否达到目标利润的结论. 【详解】（1）解： 由题意可得，销售单价为元时，降价金额为元， 每降价1元多卖出2个，因此多卖出的销量为个， 总销量， 整理得； （2）解：由题意得，结合(1)可得， 函数中，， ∴随的增大而减小， 当取最小值时，取得最大值， 将代入得； 答：最大销售量为（个）. （3）解：由题意， ， 展开整理得， ∵， ∴该方程没有实数根， ∴不存在满足条件的销售单价； 答：该网店不能达到元的利润. 15．（25-26八年级下·河北石家庄·期末）问题情境： 八年级（1）班的同学，对石家庄梨膏糖食品厂出产的“梨膏糖”每日生产和销售的情况进行了信息整理，结果如下： 信息1：这款“梨膏糖”日产量x（千克）的范围是． 信息2：这款“梨膏糖”每千克的生产成本（元）与日产量x（千克）之间关系如下表所示． 信息3：这款“梨膏糖”每千克的售价（元）与日产量x（千克）之间的关系式为：． 日产量x（千克） 30 60 90 120 每千克的生产成本（元） 55 50 45 40 问题解决： (1)根据表格信息，这款“梨膏糖”每千克生产成本是x的一次函数，求此函数关系式； (2)求这款“梨膏糖”每千克的售价的最大值是多少元； (3)若该厂每日生产的“梨膏糖”当天会全部售完． ①该厂计划将某日这款“梨膏糖”的销售利润定为1200元，如果你是生产部经理，当日该产品的日产量应该定为多少比较合理？为什么？ ②该厂计划将某日这款“梨膏糖”的销售利润定为1500元，能否实现？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2) 80元 (3) ①日产量定为60千克；②不能实现 【分析】（1）利用待定系数法，代入表格数据求解一次函数解析式； （2）根据一次函数的增减性，结合自变量取值范围求的最大值； （3）①先根据总利润每千克利润日产量，得到总利润关于的二次函数，再令求解即可； ②令，通过方程解的情况判断目标利润能否实现． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 从表格中选取两组数据，即；， 代入得，解得， 则有， 经检验，其余点均满足该解析式，结合的取值范围，得函数关系式为； （2）解：已知 ， 随的增大而减小， 当时，取得最大值，最大值为， 即这款“梨膏糖”每千克的售价的最大值是80元； （3）解：由题意，每日生产的梨膏糖全部售完，设总利润为W， 则， ①当时，得方程， 整理得，解得，均满足， 在获得相同利润时，日产量为60千克比120千克投入的人力和原材料更少，成本更低， 因此选择60千克更合理， 答：当日该产品的日产量应该定为60千克． ②当时，得方程， 整理得，配方得， 任何实数的平方都大于等于0，因此方程没有实数解，即不存在满足条件的日产量，因此不能实现目标利润， 答：不能实现利润为1500元的计划． 16．（25-26八年级下·浙江金华·期末）根据以下素材，探索完成任务． 13度的甜，14度的鲜，夏季的兰溪杨梅，不仅是自然的馈赠，更是交织成初夏最让人心动的味道，但由于“泡药风波”，使得杨梅的销售较往年增加了一些难度，为了促进销售，某农户决定采取网上和实体店同步销售，请你帮助一起设计兰溪杨梅的销售方案． 素材1 某农户在网上和实体店同时销售兰溪杨梅（以下简称杨梅），成本价为20元/千克． 素材2 杨梅的网上销售价定为30元/千克时，当天网上销售量是100千克，实体店的销售价定为40元/千克时，当天实体店销售量是50千克．一天内实体店的销售价保持不变，网上销售价可按实际情况进行适当调整，需确保网上销售价始终高于成本价． 素材3 据调查，网上销售价每降低1元，当天网上多售出20千克，实体店少售出2千克． 问题解决： (1)任务1：当杨梅网上销售价为25元/千克时，求农户在网上销售杨梅当天的毛利润（毛利润=销售总额-成本）与实体店销售该杨梅当天的毛利润各是多少元？ (2)任务2：杨梅的网上单价每千克降多少元时，农户一天的总毛利润（总毛利润=网上毛利润+实体店毛利润）为2040元？ (3)任务3：你觉得该农户一天的总毛利润能否达到3000元，若能，请求出杨梅的网上单价是每千克多少元？若不能，请说明理由． 【答案】(1)网店毛利润为1000元，实体店毛利润为800元 (2)网店单价每千克降低1元或2元时，总毛利润为2040元 (3)不能，理由： 设网店售价每千克降低元，假设总毛利润能达到3000元， 根据任务2的计算可得： 整理得： 可得： 由根的判别式得方程无解 所以该农户一天的总毛利润不能达到3000元． 【分析】（1）根据毛利润单件毛利润销售数量求解即可； （2）设网店售价每千克降低元，分别求得网店毛利润和实体店毛利润，根据题意列方程，解方程，即可求解． （3）设网店售价每千克降低元，假设总毛利润能达到3000元，根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）当网店售价为25元时，相比初始价30元降低了元． 网店情况：销量（千克） 单件毛利润（元/千克） 网店毛利润（元） 实体店情况：销量（千克） 单件毛利润（元/千克） 实体店毛利润（元） 答：网店毛利润为1000元，实体店毛利润为800元． （2）解：设网店售价每千克降低元， 则网店毛利润； 实体店毛利润 根据题意列方程： 化简可得： ∴ 解得：， 答：网店单价每千克降低1元或2元时，总毛利润为2040元． （3）略 ▌知识点05：一元二次方程与其他知识的综合应用 综合题通常融合特殊平行四边形、不等式等多个知识点，解题时需综合运用各方面知识列出方程。 此类题目综合性强，需分步分析，找准等量关系是关键。 17．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）某机器人研究小组对机器人行走时的步长（米/步）、步频（步/秒）与步行速度（米/秒）进行研究，步长是指机器人单步前进的距离，步频是指单位时间内机器人完成的步数，则机器人的步行速度步长步频，即．在测试模式下，已知步长与步频满足一次函数（）． (1)当步频（步/秒）时，步长为_______（米/步），步行速度为_______（米/秒）． (2)机器人的步行速度能否达到1.8（米/秒）？若能，请求出此时步频的值；若不能，请说明理由． (3)研究小组记录了某两次测试情况：在第一次测试中，机器人以某步频行走了8米；在第二次测试中，机器人的步频比第一次多了1步/秒，并在与第一次相同的时间内行走了9米，求第一次测试中机器人的步频． 【答案】(1) ， (2) 能，此时步频的值为 (3) 第一次测试中机器人的步频为（步/秒） 【分析】（1）利用题干给出的关系，结合已知的与的一次函数关系求解，第一问直接代入计算即可； （2）令列一元二次方程，判断解是否在范围内； （3）设第一次测试中机器人的步频为（步/秒），则第二次步频为（步/秒） ，分别表示行走时间，再由两次行走时间相等建立方程求解． 【详解】（1）解：当步频（步/秒）时，步长（米/步），步行速度（米/秒）； （2）解：由，，可得 令，得方程 整理得 解得 ，符合条件 步行速度能达到（米/秒），此时； （3）解：设第一次测试中机器人的步频为（步/秒），则第二次步频为（步/秒） 第一次步行速度为，行走时间为 第二次步行速度为，行走时间为 由两次行走时间相等，得 整理得 解得， ∵， ∴舍去 ∴第一次测试中机器人的步频为2步/秒． 18．（25-26八年级下·浙江台州·期末）芯片是我国“十五五”核心攻关项目，场效应晶体管（管）是基本单元．管饱和区工作电流（单位：）由栅源电压（单位：）调节控制，满足公式：，其中和为常数，．已知某S型管满足，某R型管满足． (1)当时，_A，当时，_V． (2)只要控制管电流相同，不同型号的管就可以串联一起同时在饱和区工作，现将该和两型号管串联在饱和区工作，若两款管的安全电压都为， ①将型管调整为，通过计算判断该型管是否安全工作； ②在两款管都正常串联在饱和区工作的前提下，判断和的关系，并说明理由． 【答案】(1)1；5 (2)①R型管安全工作， 当S型时，， S和R两型号管电流相同， ． 由公式， 可得， 解得，（舍去）． ∵两款MOS管的安全电压都为， ∴R型MOS管在安全电压范围内，即安全工作． ②，理由如下： ∵S和R两型号管电流相同， ，即． ∵两款MOS管的安全电压都为， ，，即，． 化简可得， 可得． 【分析】（1）将已知数据代入题干公式即可解答； （2）①计算电流，根据和两型号管电流相同，代入相关公式，解方程即可解答； ②根据题意可得，化简可得答案． 【详解】（1）解：当时，A； 当时，可得， 解得（负数舍去）， 则当时，V； （2）①略 ②略 19．（25-26八年级下·浙江台州·期末）小健为了科学健身，依次采用慢跑、快跑、核心力量训练的健身模式，每次健身总时长60分钟．慢跑平均每分钟消耗热量6千卡，快跑平均每分钟消耗热量12千卡，核心力量训练时，第一分钟消耗千卡，后续每分钟比前一分钟多消耗千卡． (1)小健在某次健身时，其中核心力量训练时长为t分钟（t为整数），则最后一分钟消耗的热量是__________（用含t的代数式表示）千卡，t分钟总消耗热量是__________（用含t的代数式表示）千卡． 提示：若一列数，，…，，满足，则． (2)小健在某次健身中，慢跑时长为快跑时长的3倍，他在本次训练中，总消耗热量是否有可能达到380千卡？若能，请写出慢跑、快跑及核心力量训练的时长，若不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2)总消耗热量不可能达到380千卡 【分析】（1）根据题意，列出代数式即可； （2）设快跑时长为x分钟，则慢跑时长为分钟，核心力量训练时长为t分钟，则总消耗热量为千卡，根据题意，可得，令总消耗热量为380千卡，列出一元二次方程，根据解的情况，即可求解． 【详解】（1）解：由题可知，第t分钟消耗的热量是：千卡； t分钟总消耗热量是：千卡； （2）解：总消耗热量不可能达到380千卡，理由如下： 设快跑时长为x分钟，则慢跑时长为分钟，核心力量训练时长为t分钟，（其中x、t均为整数）， 则总消耗热量为：千卡， 根据题意可列方程，，则， 则总消耗热量为：千卡， 当总消耗热量为380千卡时，，整理可得，， 则，即方程没有实数根， 总消耗热量不可能达到380千卡． 20．（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴负半轴于点C，且面积为7． (1)求直线的解析式； (2)点E为线段上一点，过点E作轴交直线于点F，作轴交直线于点G，设点E的横坐标为t． ①用含t的代数式表示； ②当时，求点E的坐标； (3)如图2，若M为线段上一点，直线交y轴于N点，且满足． ①求点M的坐标； ②点Q为直线上一动点，在y轴上是否存在点D，使得以点Q、D、B、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；② (3)①；②存在，点D的坐标为或或 【分析】（1）首先确定点，坐标，设，则，利用面积公式解得的值，即可确定点坐标，然后利用待定系数法确定直线的解析式； （2）①根据题意，可知，由轴可知，然后由求解即可；②首先确定，结合轴可得，将其代入直线并求解，可得点坐标，进一步可得，结合计算的值，即可获得答案； （3）①设，设直线的表达式为，将点，代入并计算，即可确定直线的表达式，进一步确定点坐标，结合求得的值，即可获得答案；②结合①确定直线的表达式，设，，设该平行四边形的对角线交点为，然后分为平行四边形的对角线、为平行四边形的对角线、以为平行四边形的对角线三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：对于直线， 当时，可得，即， 当时，可得，解得，即， ∴， 设，则， ∵面积为7， ∴，解得， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为； （2）解：①∵点E的横坐标为t，且点E在线段上， ∴， ∵轴， ∴， 由（1）可知直线的解析式为， ∴，即， ∴； ②∵，， ∴， ∵轴，， ∴， 将其代入直线，可得， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， ∴； （3）解：①设，设直线的表达式为， 将点，点代入， 得，解得， ∴直线的表达式为， 当时，，即， ∴，， ∵， ∴，即， ∴，整理可得， 解得，（不合题意，舍去）， ∴； ②由①可知，直线的表达式为， 设，， 设该平行四边形的对角线交点为， 分情况讨论： 情况1，当以为平行四边形的对角线时，如下图， ∵，， ∴，解得， ∴； 情况2，当以为平行四边形的对角线时，如下图， ∴，解得， ∴； 情况3，当以为平行四边形的对角线时，如下图， ∴，解得， ∴． 综上所述，点坐标为或或． ▌课时训练 一、选择题 1．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）某商品每件的售价为121元，经过两次降价后每件的售价为81元，设该商品两次降价的平均下降率为x，根据题意，下列方程正确的为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解题思路是根据降价过程依次表示两次降价后的价格，再结合题意列方程． 【详解】解：∵已知商品原价为121元，两次降价的平均下降率为， ∴第一次降价后的价格为， 第二次降价是在第一次降价后的价格基础上再次下降， 因此第二次降价后的价格为， 又∵两次降价后售价为81元， ∴可列方程为， 因此选A． 2．（2026·安徽·二模）某地规划了充电桩单循环组网模式（即每两个充电桩之间都要铺设1条专用通信电路），实际铺设50条线路后发现，一个充电桩点位仅完成了5条电路连接．则原规划建设的充电桩个数为（     ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【分析】原规划个充电桩，根据题意得出个充电桩已完成全部连接，仅一个充电桩只完成5条连接，实际铺设50条线路，列出方程求解即可． 【详解】解：设原规划建设的充电桩个数为， ∵ 原计划为单循环连接，原总线路数为， 又∵ 其余个充电桩已完成全部连接，仅一个充电桩只完成5条连接，实际铺设50条线路， ∴ 实际总线路满足方程：， 解得 （负值舍去）， 所以原规划建设的充电桩个数为11． 3．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）近年来，苏州环境空气质量稳中向好，各项空气质量指标整体稳定在国家二级标准，下图是“年苏州市空气优良天数比例”条形统计图．若设年苏州市空气优良天数比例的年平均增长率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别计算年和年的空气优良天数的比例即可得出结论． 【详解】解：∵年苏州市空气优良天数的比例为， 又∵年的年平均增长率为， ∴年的空气优良天数的比例为，年的空气优良天数的比例为， ∴可列方程． 4．（25-26八年级下·江苏南通·期末）如图，学校为八年级“青春仪式”制作了长，宽的大背景板，学生们想在背景板四周贴一圈等宽的粘贴区，用于粘贴装饰品，中间空白部分面积为．设粘贴区宽度为，则可列方程（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设粘贴区宽度为，则中间空白部分的长为，宽为， 则． 二、填空题 5．（25-26九年级上·广东江门·期中）用长的铁丝围成一个一边靠墙的长方形菜园，使菜园的面积为，并且在平行于墙的一边开一个长的小门（该门用其他材料），若墙长足够长，设该长方形菜园垂直于墙的边长为，则列方程为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程与实际问题，题目中存在的等量关系为长方形菜园平行于墙的边长长方形菜园垂直于墙的边长． 【详解】根据题意可知，长方形菜园平行于墙的边长为，即，可得 整理，得 故答案为： 6．（25-26九年级上·湖南郴州·期末）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，则___________秒后的面积为？ 【答案】1或5 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设运动秒钟后的面积为，则，，，，利用分割图形求面积法结合的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设运动秒钟后的面积为，则，，，， ， ， ， ， 解得：，． 故运动1秒或5秒后的面积为． 故答案为：1或5． 7．（25-26九年级上·江西赣州·期末）有一块矩形红色研学场地，如图，该场地长，宽，工作人员要在场内修筑同样宽的参观通道（图中阴影部分），余下部分作为研学体验区，且使体验区的面积为，若设通道的宽为，那么可列方程为______． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，关键是利用平移求面积．通过平移可得体验区为矩形，长为，宽为，再根据面积的等量关系列出方程，最后化为一般形式即可． 【详解】解：由题意得，， 整理得，． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·福建泉州·期末）元代数学家朱世杰的著作《算学启蒙》中有题“今有直田，积三百步，长较阔多七步．问长阔各几何？”，其大意是：一块矩形田地面积为300平方步，长比宽多7步，问长、宽各是多少步？设这个矩形田地的宽为x步，根据题意可列方程为_______． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设矩形田地的宽为x步，则长为步．结合这个矩形田地面积为300平方步，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵这个矩形田地的长比宽多7步，且设这个矩形田地的宽为x步， ∴这个矩形田地的长为步． 根据题意得：． 故答案为：． 三、解答题 9．（25-26八年级下·浙江金华·期末）某地农业研究所培育海水稻，其中第一期试验田亩产量为，在每期亩产量平均增长率保持不变的情况下，第三期亩产量达到． (1)求每期海水稻亩产量的平均增长率． (2)农业研究所将收获的海水稻对外售卖，且海水稻的进价为每千克4元．经市场调研发现：若售价定为每千克8元，则日销售量为200千克；若售价每提高0.5元，则日销售量减少10千克．当海水稻的定价为每千克多少元时，每天可获利960元？ 【答案】(1)平均增长率为 (2)海水稻的定价为每千克10元或12元 【分析】（1）设平均增长率为，根据“第三期亩产量达到”建立等式求解即可． （2）设海水稻的定价为每千克元，根据“每天可获利960元”建立等式求解即可． 【详解】（1）解：设平均增长率为， 则， 解得：（负值舍）， 答：每期海水稻亩产量的平均增长率为． （2）解：设海水稻的定价为每千克元，则每千克的利润为元， 根据题意可知，日销售量减少千克，则日销售量为千克， 则：，即， 解得：或12， 答：海水稻的定价为每千克10元或12元． 10．（2026·内蒙古巴彦淖尔·三模） 综合与实践 数学与交通 情境材料 司机在驾驶汽车行驶过程中，经常会遇到因前方有异常情况而需要紧急刹车的情况．从司机发现前方道路有异常情况到踩下刹车需要一段时间，这段时间可称作反应时间，在反应时间内汽车行驶的距离叫反应距离；从踩下刹车到汽车最终停止，汽车行驶的距离叫制动距离；从司机发现前方道路有异常情况开始到汽车停止行驶，这段距离称作停车距离d，停车距离反应距离制动距离． 实验数据 ①已知反应距离与行驶速度之间近似满足函数关系，反应距离与行驶速度关系如下： 40 50 60 70 80 反应距离 8 10 16 ②制动距离与行驶速度之间近似满足二次函数关系，制动距离与行驶速度的关系为∶ 交通规则 《中华人民共和国道路交通安全法实施条例》 第六十条：机动车在道路上发生故障或者发生交通事故妨碍交通又难以移动的，应当按照规定开启危险报警闪光灯，并在车后50米至100米处设置警告标志，夜间还应当同时开启示廓灯和后位灯； 第八十条：机动车在高速公路上行驶，车速超过每小时100千米时，应当与同车道前车保持100米以上的距离，车速低于每小时100千米时，与同车道前车距离可以适当缩短，但最小距离不得少于50米． 《中华人民共和国道路交通安全法》 第六十八条：机动车在高速公路上发生故障时，警告标志应当设置在故障车来车方向150米以外，车上人员应当迅速转移到右侧路肩上或者应急车道内，并且迅速报警． (1)请写出反应距离与行驶速度的函数关系式及停车距离与行驶速度的函数关系式． (2)某司机在高速公路以行驶，前方车辆突发故障，发现故障时至少需与故障车辆保持多远的距离，才能安全停车？并结合法规分析150米的安全距离是否足够． (3)某司机发现正前方80米处有警告标志，此时，车速不超过多少时才能在刹车后避免追尾事故的发生？结合计算结果，给司机朋友提出1条安全驾驶建议． 【答案】(1)， (2)至少需要米，米的安全距离足够 (3)车速不超过时，可避免事故；安全驾驶建议：在高速公路行驶时，若前方有故障或警示标志，应提前减速，车速不超过，并与前车保持足够安全距离，避免急刹追尾 【分析】（1）由表格数据可知，反应距离与行驶速度成正比例关系，利用待定系数法求解即可；再根据停车距离反应距离制动距离，制动距离与行驶速度的关系求解即可； （2）将代入即可求得至少需与故障车辆保持的距离；再与150米比较即可判断安全距离是否足够； （3）令，则，即可求得不得超过的速度；再根据安全需要提建议即可． 【详解】（1）解∶由表格数据可知，反应距离与行驶速度成正比例关系． 设，将代入得∶，解得， ∴反应距离与行驶速度的函数关系式为， ∵停车距离反应距离制动距离，制动距离与行驶速度的关系为：， ∴停车距离与行驶速度的函数关系式． （2）解：当时， ； 根据《中华人民共和国道路交通安全法》第六十八条，警告标志应设置在故障车来车方向150米以外． ∵1， ∴150米的安全距离足够． 答：至少需与故障车辆保持110.4米的距离才能安全停车；150米的安全距离足够． （3）解：根据题意，令，得∶ ， 整理得∶ ，解得：或(不合题意，舍去)． 所以车速不超过． 建议：在高速公路上行驶时，应时刻关注前方路况保持安全车距，遇有警告标志应提前减速，确保行车安全． / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步训川练 第二章一元二次方程 4一元二次方程的应用 第2课时一元二次方程在实际问题中的应用(2) 课时目标 1. 能运用一元二次方程解决动态几何、存在性、方案设计等较复杂的实际问题，准确找 出等量关系并建模求解，进一步提升数学建模能力。 2. 能综合运用特殊平行四边形、勾股定理、函数等知识，结合一元二次方程解决跨章节 的综合问题，体会知识之间的内在联系。 3. 在解决实际问题的过程中，养成“检验解的合理性”的习惯，能根据问题的实际约束 条件（如边长范围、整数要求、资源限制等）对方程的解进行取舍。 课时目录 知识点01：动态几何问题 知识点02：几何图形中的存在性问题 知识点03：方案设计问题 知识点04：经济决策问题 1/17 知识点05：一元二次方程与其他知识的综合应用 知识点01：动态几何问题 动态几何问题通常涉及点在线段上运动、图形折叠或旋转等情境，解题关键是抓住变化过 程中的不变量或等量关系，设时间为未知数（或直接设线段长为未知数），利用几何图形 的性质（如勾股定理、特殊平行四边形性质等）列出方程。 例如：矩形ABCD中，AB=6cm,BC=8cm,点P从A出发沿AB以lcm/s的速度向B运 动，点Q从B出发沿BC以2cm/s的速度向C运动，几秒后△PBQ的面积为8cm? 解：设运动t秒，则PB=6-t,BQ=2t,由2(6-)2t=8得P-6t+8=0,解得t=2或t= 4,均符合0≤t≤4的实际范围(Q到C需4秒)，故2秒或4秒后满足条件。 注意：需根据运动范围检验解的有效性，若求出t=5则超出Q的运动时间，应舍去。 1.(25-26八年级下陕西咸阳期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm,AC=8cm,点P从 点C开始沿射线CA方向以lcms的速度运动：同时点Q也从点C开始沿射线CB方向以3cm/s的速度运 动. 秒后以A、B、P、Q为顶点的四边形的面积为20cm」 B A 2.(25-26九年级上福建莆田阶段检测)如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm,BC=7cm,点P从 点A开始沿AB边向点B以lcm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动. 若P,Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P,Q两点同时停止运动. ○ P B 求： 2/17 (1)几秒后，△PBO的面积等于4cm2? △PBQ 7cm (2) 的面积能否等于？说明理由. 3.(25-26九年级下·山东淄博期末)如图，矩形ABCD中，AB=6cm,BC=8cm,点P从A开始沿AB 边向点B以lcm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，P,Q两点分别 从A,B同时出发. P (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动. △PBO ①经过几秒， 8cm2 的面积等于 ②△PBQ的面积能否等于10cm2?如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由. (2)若点P到达B后不停止，立即以原速沿BA返回；点Q到达C后不停止，继续以原速沿射线BC方向 运动，直到点P第一次回到A时，两点同时停止运动.在整个运动过程中，第几秒△PB的面积等于 6cm2 4.(2026江苏南通模拟预测)如图：在直角坐标系中，长方形0ABC中，0A=10,OC=5,点D从点 C出发，沿射线CO方向以每秒2个单位长的速度移动，点E从点O出发，沿射线OA方向以每秒1个单 位长的速度运动，设点E的运动时间为秒， B 0 A A 图1 备用图 (I)如图1，当t为何值时，△CDE的面积为1： 3/17 (2)当CE是∠OEB的角平分线时，求出此时点E的坐标； (3)当t为何值时，△CDE是等腰三角形？ 知识点02：几何图形中的存在性问题 存在性问题指"是否存在某种情况使图形满足特定条件"的探究型问题，通常假设存在，列 方程求解，再根据解的情况判断是否存在。 例如：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=8,点P在BC上，是否存在点P使PA= PB? 解：设PC=x,则PB=8-X,PA=VAC2+PC2=V36+r,由PA=PB得V36+x=8-x ,两边平方得36+x2=64-16x+x2,解得x=2,在0≤x≤8范围内，故存在点P,PC=2。 注意：平方操作可能引入增根，需代回原方程检验：若解出x为负数或超出线段长度，则 不存在满足条件的点。 5.(25-26九年级上山东青岛阶段检测)如图，在四边形ABCD中，AD‖BC,∠B=90°，AB=4cm, AD=7cm,BC=1lcm点P从点A出发，以lcm/s的速度向点D运动；点从点C同时出发，以2cm/s 的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒. D D 备用图 (1)当t=_时，PQ平分四边形ABCD的面积. (②)求经过多少秒后，PO=CD】 (3)连接BP,是否存在某一时刻，使得BP恰好平分∠APQ？若存在，求出此时的移动时间；若不存在， 请说明理由， (4)运动过程中，是否存在某一时刻使得点B在线段PQ的垂直平分线上？若存在，求出此时的移动时间： 若不存在，请说明理由. 4/17 6.(25-26九年级上广东江门期中)如图，△ABC是边长为8Cm的等边三角形，动点P,Q同时从A, B两点出发，分别沿AB、BC匀速移动，它们的速度都是lcm/s,当点P到达点B时，P、Q两点都停 止运动.设点P的运动时间为s,解答下列问题： (1)当t为何值时，△PBO是等腰三角形？ 7 (2)是否存在t,使四边形APQC的面积是△ABC面积的8？若存在，求出t的值；若不存在.请说明理 由. 7.(25-26九年级上广东茂名·阶段检测)在矩形ABCD中，AB=10cm,BC=12cm,点P从点A开始 沿边AB向终点B以2Cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以4cm/s的速度 移动.如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动.设运动时间为t秒 (t>0) D (I)当t为何值时，点B在PQ的垂直平分线上？ (2)当t为何值时，PQ的长度等于10cm? (3)是否存在t的值，使得五边形APOCD的面积等于104cm2?若存在，请求出此时t的值：若不存在， 请说明理由， 8.(25-26九年级上江苏南京·阶段检测)如图，正方形ABCD的边长为4cm,动点P从点B出发，以 2cm/s的速度沿B→C→D的方向向点D运动：动点Q从点A出发，以lcm/s的速度沿A→B的方向 5/17 向点B运动.若P、Q两点同时出发，运动时间为s. B (I)连接PD、P吧、D0,是否存在t的值，使△PQD的面积为llcm2?若存在，求出t的值；若不存在， 请说明理由， (2)当点P在BC上运动时，是否存在t的值，使△PQD是以PD为一腰的等腰三角形？若存在，请求出 符合条件的的值：若不存在，请说明理由. 知识点03：方案设计问题 方案设计问题要求在多种可行方案中选取最优解，通常需要列出不同方案对应的方程，通 过求解和比较来确定符合条件的方案。 例如：用长为30m的篱笆围矩形养鸡场，一面靠墙（墙长12m),若要使面积为48m,应 如何设计？ 解：设垂直于墙的边长为m,则平行于墙的边长为(30一2x)m,列方程x(30一2x)=48,即 x2一15x+24=0,解得x=3或x=8。当x=3时，平行于墙的边长为24m>12m（超过墙 长，舍去)；当x=8时，平行于墙的边长为14m>12m(超过墙长，舍去)。故本题无 解，即无法用30m篱笆靠12m墙围出48m的矩形。 此类问题需严格检验几何约束条件。 9.(25-26八年级下·山东烟台期末)某文创店生产一款文创产品并进行销售.每件文创产品的生产成本 是30元，售价定为每件50元时，每天能售出40件.经市场调研发现：每件文创产品的售价每降低1 元，每天会多售出8件. (1)该文创店为了提升利润，决定降价销售，若每天利润达到1200元，且尽可能让利于顾客，请求出相 应的降价方案： (2)该文创店通过降价销售，每天利润能够达到1400元吗？如果能，请求出相应的降价方案：如果不能， 请说明理由， 10.(25-26八年级下·广西梧州期中)综合与实践 6/17 【问题情境】小豪毕业后决定从事农业养殖，他计划在老家建一个面积为160m的长方形养鸡场，为 了节省材料，养鸡场的一边利用原有的一面墙（如图），另三边用铁丝网围成，已知铁丝网的长为 36m 墙 B ()若墙足够长，则垂直于墙的一边长可以设计为多少米？ 【方案设计】 (2)若墙的长度为18m,则垂直于墙的一边长应设计为多少米？ 【方案预测】 3)小豪经过实地考察，希望能在未来扩大养殖.其他条件不变，且墙足够长，你认为将长方形养鸡场 的面积扩建为180m是否可行？若可行，则请给出符合条件的方案；若不可行，则请说明理由. 11.(25-26八年级下山东东营·期末)综合与实践 【主题】“知耕园”生态农场田地设计 【情境】为了让同学们懂得劳动之义，知晓劳动之责，厚植劳动情怀；学校决定建立“知耕园”生态 农场，开展种菜、采摘等劳动课程，老师请同学们参与一块长为60米，宽为40米的矩形菜地的方案 设计，以下是同学们对菜地小路设计的研究过程 ()【任务一】要求：设计的每一条小路都连接矩形菜地的一组对边.同学们设计的方案主要有如图1 所示的甲、乙、丙三种典型的方案，三幅图中AB=CD=W=EF=KL=HG.为施工方便，学校选择甲 方案设计，并要求菜地面积为2262平方米，则每条小路的宽度是米。 CD B HG K L HG KL HG K L 甲：直径简洁型 乙：垂直倾斜型 丙：曲径通幽型 图1 (2)【任务二】为了便于开展更多的劳动课程，学校打算在农场旁边建一个花圃.如图2，花圃一边利 用水池，其它边用长为150米的篱笆围成中间隔有一道篱笆EF的矩形花圃ABCD.若可利用的水池 长70米，花圃的面积刚好为1800平方米，求矩形花圃的一边AB的长， 7/17 水池 E F 图2 12.(25-26八年级下·安徽六安·期末)根据以下素材，探究完成任务： 制作长方体收纳盒 某校数学项目化学习小组准备了一些长为80cm 背景 宽为60cm的长方形硬纸板，准备利用纸板做 长方体收纳盒（接缝处忽略不计）· 如图所示，甲活动小组在长方形纸板的四个直 角处裁掉四个边长均为c的小正方形，再沿 A 方案甲 虚线折成一个无盖的长方体收纳盒，盒子的底 面是矩形ABCD B C a E 如图所示，乙活动小组在长方形纸板的四个直 角处裁掉四个长均为acm宽均为bcm的小长方 F 方案乙 形，再沿虚线折成一个有盖的长方体收纳盒， 若EF和W两边怡好重合且无重叠部分，盒子 E() 的底面是矩形MNOP, (I)任务一：用含x的代数式表示：方案甲制作出的无盖收纳盒的底面长BC为 cm,底面宽 AB为 cm (2②)任务二：若方案甲制作出的无盖收纳盒的底面积为2400cm2,求裁去小正方形的边长x的值 (3)任务三：若方案乙制作出的有盖收纳盒的底面积为l750cm,请通过计算判断，图中长为32cm,宽 为22cm,厚度为4cm的书本能否完全放入该收纳盒内. 8/17 六宽22cm 长32cm 厚4cm 知识点04：经济决策问题 经济决策问题在利润问题基础上增加决策条件，如“如何定价才能使利润达标”“选择哪 种方案更划算”等。解题关键是根据不同方案列出对应的利润方程或不等式，通过比较得 出结论。 例如：某商店销售进价为20元的商品，售价30元时每天可卖50件，每涨价1元销量减少 2件。 (1)若要实现日利润600元，售价应为多少？ (2)若商店希望日利润不低于600元，售价应控制在什么范围？ 解：(1)设涨价x元，则(30十x-20)(50一2x)=600,解得x=5或x=10,故售价为35元 或40元； (2)由(30+x一20)(50-2x)≥600得5≤x≤10，故售价应控制在35元~40元之间。 (3)注意：需结合实际意义检验边界值，如售价不能超过消费者承受范围等。 13.(25-26八年级下·浙江湖州·期末)某花圃用花盆培育某种花苗，经试验发现，每盆花的盈利与每盆株 数存在一定的关系：每盆植入6株时，平均单株盈利4元：以同样的栽培条件，若增加花苗株数，每 盆平均单株盈利少（元）与每盆的总株数x(株)成如图所示的一次函数关系. 3 6 18 (1)每盆种植7株时，平均单株的盈利是多少元？ (2)若要求每盆花苗超过6株，且每盆的盈利为32元，则每盆应种植多少株？ 14.(25-26八年级下·江苏南通期末)某网店销售一批同款护眼台灯，在销售过程中发现，这款护眼台灯 销售单价为60元时，每星期卖出100个.如果调整销售单价，每降价1元，每星期就可以多卖出2个. 现网店决定降价销售，设销售单价为x元，每星期的销售量为》个」 9/17 (1)y关于x的函数解析式为-： (2)若销售单价不低于50元时，求最大销售量； 3)若这款护眼台灯进价为每个40元，该网店能否达到2600元的利润？ 15.(25-26八年级下河北石家庄期末)问题情境： 八年级(1)班的同学，对石家庄梨膏糖食品厂出产的“梨膏糖”每日生产和销售的情况进行了信息 整理，结果如下： 信息1：这款“梨膏糖”日产量x(千克)的范围是30≤x≤120 信息2：这款“梨膏糖”每千克的生产成本片（元）与日产量x(千克)之间关系如下表所示. 1 信息3：这款“梨膏糖”每千克的售价与（元）与日产量x(千克)之间的关系式为：片=3x+90 日产量x(千克) 30 60 90 120 每干克的生产成本片 55 50 45 40 (元) 问题解决： ()根据表格信息，这款“梨膏糖”每千克生产成本是x的一次函数，求此函数关系式： (2)求这款“梨膏糖”每千克的售价的最大值是多少元： 3)若该厂每日生产的“梨膏糖”当天会全部售完。 ①该厂计划将某日这款“梨膏糖”的销售利润定为1200元，如果你是生产部经理，当日该产品的日 产量应该定为多少比较合理？为什么？ ②该厂计划将某日这款“梨膏糖”的销售利润定为1500元，能否实现？请通过计算说明理由. 16.(25-26八年级下浙江金华期末)根据以下素材，探索完成任务. 13度的甜，14度的鲜，夏季的兰溪杨梅，不仅是自然的馈赠，更是交织成初夏最让人心动 的味道，但由于“泡药风波”，使得杨梅的销售较往年增加了一些难度，为了促进销售， 某农户决定采取网上和实体店同步销售，请你帮助一起设计兰溪杨梅的销售方案。 素 材 某农户在网上和实体店同时销售兰溪杨梅（以下简称杨梅），成本价为20元千克。 素 杨梅的网上销售价定为30元/千克时，当天网上销售量是100千克，实体店的销售价 10117 材 定为40元/千克时，当天实体店销售量是50千克.一天内实体店的销售价保持不 2 变，网上销售价可按实际情况进行适当调整，需确保网上销售价始终高于成本价 素 材 据调查，网上销售价每降低1元，当天网上多售出20千克，实体店少售出2千克. 3 问题解决： (I)任务1：当杨梅网上销售价为25元/千克时，求农户在网上销售杨梅当天的毛利润（毛利润=销售总 额成本)与实体店销售该杨梅当天的毛利润各是多少元？ (2)任务2：杨梅的网上单价每千克降多少元时，农户一天的总毛利润（总毛利润=网上毛利润+实体店 毛利润)为2040元？ (3)任务3：你觉得该农户一天的总毛利润能否达到3000元，若能，请求出杨梅的网上单价是每千克多 少元？若不能，请说明理由， 知识点05：一元二次方程与其他知识的综合应用 综合题通常融合特殊平行四边形、不等式等多个知识点，解题时需综合运用各方面知识列 出方程。 此类题目综合性强，需分步分析，找准等量关系是关键。 17.(25-26八年级下·浙江宁波期末)某机器人研究小组对机器人行走时的步长s(米步)、步频/ (步/秒)与步行速度y(米/秒)进行研究，步长s是指机器人单步前进的距离，步频子是指单位时间 内机器人完成的步数，则机器人的步行速度=步长×步频，即v=s×于.在测试模式下，已知步长s与 步频∫满足一次函数s=0.2f+1.2(0<f<6). ()当步频f=2(步秒)时，步长s为一（米步），步行速度v为 一（米/秒）. (②)机器人的步行速度v能否达到1.8（米/秒）？若能，请求出此时步频∫的值：若不能，请说明理由， (③)研究小组记录了某两次测试情况：在第一次测试中，机器人以某步频行走了8米；在第二次测试中， 机器人的步频比第一次多了1步/秒，并在与第一次相同的时间内行走了9米，求第一次测试中机器人 的步频。 11/17 18.(25-26八年级下浙江台州期末)芯片是我国“十五五”核心攻关项目，MOS场效应晶体管(MOS 管)是基本单元.MOS管饱和区工作电流I(单位：A)由栅源电压U(单位：V)调节控制，满 足公式，I=亿-，其中kb为常数，U≥0.已知菜S型M0S管满足4=C-2,某R型 MOs管满足4=4亿，-1. 1)当 U,=3V ,人A当=4A时，V 时， 时， (2)只要控制MOS管电流相同，不同型号的MOS管就可以串联一起同时在饱和区工作，现将该S和R 两型号MOS管串联在饱和区工作，若两款MOS管的安全电压都为2~20V, ①将'型M0S管y10V °管调整为，通过计算判断该R型MOS 管是否安全工作； UU ②在两款M0S管都正常串联在饱和区工作的前提下，判断和0的关系，并说明理由。 19.(25-26八年级下浙江台州期末)小健为了科学健身，依次采用慢跑、快跑、核心力量训练的健身模 式，每次健身总时长60分钟，慢跑平均每分钟消耗热量6千卡，快跑平均每分钟消耗热量12千卡， 核心力量训练时，第一分钟消耗3.1千卡，后续每分钟比前一分钟多消耗0.2千卡， (I)小健在某次健身时，其中核心力量训练时长为t分钟(t为整数)，则最后一分钟消耗的热量是 (用含t的代数式表示)千卡，t分钟总消耗热量是 (用含t的代数式表示)千 卡 (a+a,)n 提示：若一列数a’4,,a,’满足a,-4=4,-a,==0,-0则4+a++a.= 2 (2)小健在某次健身中，慢跑时长为快跑时长的3倍，他在本次训练中，总消耗热量是否有可能达到 380千卡？若能，请写出慢跑、快跑及核心力量训练的时长，若不能，请说明理由. 20.(25-26八年级下·湖南衡阳期末)如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+2与x轴交于点A,与y 轴交于点B,过点B的直线交x轴负半轴于点C,且△ABC面积为7. 12117 图1 图2 (1)求直线BC的解析式： (②)点E为线段AB上一点，过点E作EF∥y轴交直线BC于点F,作EG∥x轴交直线BC于点G,设 点E的横坐标为t ①用含t的代数式表示EF: ②当EF+EG=AC时，求点E的坐标； B)如图2，若M为线段CB上一点，直线4M交y轴于N点，且满 S△B=S△4oN ①求点M的坐标： ②点Q为直线AM上一动点，在y轴上是否存在点D,使得以点Q、D、B、C为顶点的四边形为平行 四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由. 课时训练 一、选择题 1.(25-26八年级下·安徽马鞍山期末)某商品每件的售价为121元，经过两次降价后每件的售价为81元， 设该商品两次降价的平均下降率为x,根据题意，下列方程正确的为() A 121(1-x)2=81 B.121(1-2x)=81 C.81(1+x}=121 D.1211-x2)=81 2.(2026安徽二模)某地规划了充电桩单循环组网模式（即每两个充电桩之间都要铺设1条专用通信电 路)，实际铺设50条线路后发现，一个充电桩点位仅完成了5条电路连接.则原规划建设的充电桩个 数为() A.10 B.11 C.12 D.13 3.(25-26八年级下·江苏苏州期末)近年来，苏州环境空气质量稳中向好，各项空气质量指标整体稳定 在国家二级标准，下图是“2023-2025年苏州市空气优良天数比例”条形统计图.若设2023-2025年 13/17 苏州市空气优良天数比例的年平均增长率为x,则下面所列方程正确的是() 空气优良天数比例(%) 100- 81.4 83.8 80 60 40 20 0 2023年2024年 2025年年份 A.81.4%.x2=83.8% B.81.4%(1+2x)=83.8% C.81.4%(1+x}=83.8% D.81.49%×2(1+x)=83.8% 4.(25-26八年级下江苏南通期末)如图，学校为八年级“青春仪式”制作了长3.5m,宽2.5m的大背 景板，学生们想在背景板四周贴一圈等宽的粘贴区，用于粘贴装饰品，中间空白部分面积为8m.设 粘贴区宽度为xm,则可列方程() 3.5 A.(6.5+2x02.5+2)=8 B.(6.5-2x02.5-2x)=8 c.3.5+x2.5-x)=8 D.(3.5-x2.5+)=8 二、填空题 5.(25-26九年级上：广东江门期中)用长28m的铁丝围成一个一边靠墙的长方形菜园，使菜园的面积为 96m,并且在平行于墙的一边开一个长2m的小门（该门用其他材料），若墙长足够长，设该长方形 菜园垂直于墙的边长为m,则列方程为 6.(25-26九年级上·湖南郴州期末)如图，在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=12cm,点P从点A出发 14117 沿AB以lcm/s的速度向点B移动，同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动，则 秒后△DPQ的面积为31cm2? ○ B 7.(25-26九年级上江西赣州期末)有一块矩形红色研学场地，如图，该场地长32m,宽20m,工作人 员要在场内修筑同样宽的参观通道（图中阴影部分），余下部分作为研学体验区，且使体验区的面积 为540m,若设通道的宽为m,那么可列方程为. 32 20 8.(25-26九年级上福建泉州期末)元代数学家朱世杰的著作《算学启蒙》中有题“今有直田，积三百 步，长较阔多七步.问长阔各几何？”，其大意是：一块矩形田地面积为300平方步，长比宽多7步， 问长、宽各是多少步？设这个矩形田地的宽为x步，根据题意可列方程为 三、解答题 9.(25-26八年级下~浙江金华期末)某地农业研究所培育海水稻，其中第一期试验田亩产量为500kg, 在每期亩产量平均增长率保持不变的情况下，第三期亩产量达到720kg. (1)求每期海水稻亩产量的平均增长率. (②)农业研究所将收获的海水稻对外售卖，且海水稻的进价为每千克4元.经市场调研发现：若售价定 为每千克8元，则日销售量为200千克；若售价每提高0.5元，则日销售量减少10千克.当海水稻的 定价为每千克多少元时，每天可获利960元？ 10.(2026内蒙古巴彦淖尔·三模) 综合与实践数学与交通 15117 司机在驾驶汽车行驶过程中，经常会遇到因前方有异常情况而需要紧急刹车的情 况.从司机发现前方道路有异常情况到踩下刹车需要一段时间，这段时间可称作反 d 情 应时间，在反应时间内汽车行驶的距离叫反应距离；从踩下刹车到汽车最终停 境 材 止，汽车行驶的距离叫制动距离2；从司机发现前方道路有异常情况开始到汽车停 料 止行驶，这段距离称作停车距离d,停车距离=反应距离+制动距离. 反应距离 制动距离 停车距离 d (m) ①已知反应距离与行驶速度之间近似满足函数关系，反应距离 与行驶速度 v(km/h 关系如下： 实 v(km/h) 40 50 60 70 80 验 数 d,(m) 反应距离 8 10 1.2 14.2 据 ,m） ②制动距离与行驶速度之间近似满足二次函数关系，制动距离 与行驶速度 v(km/h)的关系为：d2= 3 v2 500 《中华人民共和国道路交通安全法实施条例》 第六十条：机动车在道路上发生故障或者发生交通事故妨碍交通又难以移动的，应 当按照规定开启危险报警闪光灯，并在车后50米至100米处设置警告标志，夜间还 应当同时开启示廓灯和后位灯： 交 第八十条：机动车在高速公路上行驶，车速超过每小时100千米时，应当与同车道 通 前车保持100米以上的距离，车速低于每小时100千米时，与同车道前车距离可以 规 适当缩短，但最小距离不得少于50米. 《中华人民共和国道路交通安全法》 第六十八条：机动车在高速公路上发生故障时，警告标志应当设置在故障车来车方 向150米以外，车上人员应当迅速转移到右侧路肩上或者应急车道内，并且迅速报 警 ①)请写出反应距离4(m)与行驶速度 (km/h) dm） v(km/h) 的函数关系式及停车距离 与行驶速度 的函 16117 数关系式 (2)某司机在高速公路以120km/h行驶，前方车辆突发故障，发现故障时至少需与故障车辆保持多远的 距离，才能安全停车？并结合法规分析150米的安全距离是否足够 (3)某司机发现正前方80米处有警告标志，此时，车速不超过多少时才能在刹车后避免追尾事故的发 生？结合计算结果，给司机朋友提出1条安全驾驶建议 17/17