2.2 第4课时 因式分解法（word导学案）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（北师大版·新教材）

该初中数学导学案聚焦一元二次方程的因式分解法，涵盖解法概念、步骤、十字相乘法拓展及解法选择。课堂导入通过“若ab=0则a=0或b=0”的已有知识，引导学生解决(x+3)(x-5)=0，搭建新旧知识联系的学习支架。 以小球运动问题创设情境，对比不同解法培养推理意识，步骤口诀与表格归纳助于模型构建，分层练习提升应用能力，发展数学思维与应用意识，让学生在探究中掌握方法，提升解决问题的能力。

第二章 一元二次方程 2.2 一元二次方程的解法 第4课时 因式分解法 【学习目标】 1. 掌握三角形的定义、基本要素(边、角、顶点)及表示方法. 2. 理解三角形的分类标准(按角分:锐角、直角、钝角三角形；按边分:等边、底边和腰不相等的等腰、不等边三角形). 3. 经历从具体到抽象的数学思维过程,体会数学的严谨性,感受几何图形的对称性与美感. 学习重点：三角形的定义、基本要素(边、角、顶点)及表示方法. 学习难点：理解三角形的分类标准. 【复习导入】 我们知道，若 ab = 0，则 a = 0 或 b = 0．类似地，解方程 (x + 1)(x － 1) = 0 时，可转化为两个一元一次方程 x + 1 = 0 或 x － 1 = 0 来解． 你能求出方程 (x + 3)(x － 5) = 0 的解吗？ 【合作探究】 探究点1：用因式分解法解一元二次方程 一个小球从地面以 15 m/s 的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度 h (单位：m) 与时间 t (单位：s) 满足关系：h = 15t － 5t²。小球从弹出到落回地面，经过了几秒？ 设小球经过 t s 落回地面，此时 h = 0， 于是可得方程 15t － 5t² = 0。 小颖、小明、小亮都求出了这个方程的解，但他们的解法各不相同。 小颖：由方程 15t － 5t² = 0，得 5t² － 15t = 0， 所以 t1 = 0，t2 = 3。 小明：由方程 15t － 5t² = 0，得 5t² = 15t， 两边都约去 5t，得 t = 3。 小亮： 由方程 15t－5t² = 0，得 5t² － 15t = 0， 即 5t(t － 3) = 0， 于是 t = 0，或 t － 3 = 0。所以 t1 = 0，t2 = 3。 定义总结： 因式分解法的概念 当一元二次方程的一边为 0，而另一边能够分解成两个一次因式的乘积时，就可以用小亮的方法求解.这种解一元二次方程的方法称为因式分解法. 因式分解法的基本步骤 一移——使方程的右边为 0； 二分——将方程的左边因式分解； 三化——将方程化为两个一元一次方程； 四解——写出方程的两个解. 简记歌诀：右化零，左分解；两因式，各求解. 【典例精析】 例1 解下列方程： (1) 5x2 = 4x； (2) x(x－ 2) = x－2. 练一练 1.解下列方程： (1)(x+1)2=5x+5； (2)x2－6x+9=(5－2x)2． 拓展提升：十字相乘法 运算法则：x2 + (p + q)x + pq= (x + p)(x + q) 条件：1. 多项式为二次三项式； 2. 多项式的常数项可分解成两个因数，且两个因数的和等于一次项系数. 简记口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中. 典例精析 例2 解方程：x2 − 5x + 6 = 0. 练一练 2.解方程： x2+4x－5=0； 探究点2：灵活选用适当的方法解方程 操作·思考 解下列方程： x2 － 4 = 0，(x + 1)2 － 25 = 0，x2 + 2x － 3 = 0，x2 － 6x + 8 = 0。 【典例精析】 例2 用适当的方法解方程： (1) 3x(x+5)=5(x+5)； (2) (5x+1)2=1； (3) x2－12x=4； (4) 3x2 = 4x + 1. 填一填：一元二次方程的各种解法及适用类型. 一元二次方程的解法 适用的方程类型 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解 当堂反馈 1.已知一元二次方程的两根分别为x1＝1，x2＝－3，则这个方程可以是(　　) A.(x－1)(x－3)＝0 B.(x－1)(x＋3)＝0 C.(x＋1)(x＋3)＝0 D.(x＋1)(x－3)＝0 2.方程x2＝－6x的根是(　　) A.x1＝0，x2＝－6 B.x1＝0，x2＝6 C.x＝6 D.x＝0 3.用因式分解法解下列方程： (1)3y2－6y＝0； 书写通关 解：因式分解，得　 　. ∴　 　. 解得y1＝　 　，y2＝　　. (2)x(x＋1)＝2x2； (3)(2x－1)2＝(x＋3)2. 4.选用合适的方法解下列方程： (1)(2x－1)2＝9； (2)x2＋4x－1＝0； 解法一：(配方法) 解法二：(公式法) (3)x2－9＝2x＋6. 参考答案 【合作探究】 探究点1：用因式分解法解一元二次方程 【典例精析】 例1 解：(1) 原方程可变形为5x2 － 4x = 0，x(5x － 4) = 0. x = 0 或 5x － 4 = 0.∴ x1 = 0，x2 = . (2) 原方程可变形为 x(x － 2) － (x － 2) = 0. (x － 2)(x － 1) = 0.x － 2 = 0 或 x － 1 = 0. ∴ x1 = 2，x2 = 1. 练一练 1.解：(1)∵(x+1)2=5(x+1)，∴(x+1)2－5(x+1)=0，则(x+1)(x－4)=0， ∴x+1=0，或x－4=0，即x1=4，x2=－1． (2)方程整理得(x－3)2－(5－2x)2=0，则[(x－3)+(5－2x)][(x－3)－(5－2x)]=0， (2 − x)(3x − 8) = 0，∴2－x=0，或3x－8=0， 典例精析 例2 解：分解因式，得 (x − 2)(x − 3) = 0 . 于是 x − 2 = 0，或 x − 3 = 0， 即 x1 = 2，x2 = 3. 练一练 分解因式，得(x+5)(x－1)=0，解得x1=－5，x2=1； 探究点2：灵活选用适当的方法解方程 操作·思考 1.法一：因式分解法解 x2 － 4 = 0 解： x2 － 4 = 0 可变形为 (x + 2)(x － 2) = 0.x + 2 = 0 或 x － 2 = 0. ∴ x1 = －2，x2 = 2 . 法二：直接开方法解 x2 － 4 = 0 解：移项，得 x2 = 4. 直接开平方，得 x =±2. ∴ x1 = －2，x2 = 2. 2.法一：因式分解法 解：分解因式，得[(x + 1) + 5][(x + 1) － 5] = 0. (x + 6)(x － 4) = 0. x + 6 = 0 或 x － 4 = 0. ∴ x1 = －6，x2 = 4. 法二：直接开方法 解：移项，得 (x + 1)2 = 25. 直接开平方，得 x + 1 = ±5 x + 1 = －5或x + 1 = 5∴ x1 = －6，x2 = 4. 3.法一：解：分解因式，得(x + 3)(x － 1) = 0.x + 3 = 0 或 x － 1 = 0. ∴ x1 = －3，x2 = 1. 法二：配方法 解：移项，得 x2 + 2x = 3.配方，得 (x + 1)2 = 4.由此可得x + 1 = ±2， ∴ x1 = －3，x2 = 1. 4.法一：因式分解法 解：分解因式，得(x － 2)(x － 4) = 0.x － 2 = 0 或 x － 4 = 0. ∴ x1 = 2，x2 = 4. 法二：公式法 解：这里 a = 1，b = −6，c = 1. ∵ b2－4ac = (−6)2 －4×1×8 = 4. 【典例精析】 例2 解：（1）化简 (3x － 5) (x + 5) = 0.即 3x －5 = 0 或 x + 5 = 0. （2） 开平方,得5x + 1 = ±1. （3） 配方，得x2 － 12x + 62 = 4 + 62,即 (x － 6)2 = 40.开平方，得 （4） 解：化为一般形式3x2－4x－1 = 0. ∵Δ=b2 － 4ac = 28 > 0, . 当堂反馈 1.B 2.A　 3.(1) 解：因式分解，得　3y(y－2)＝0　. ∴　3y＝0或y－2＝0　. 解得y1＝　0　，y2＝　2　. (2)解：移项，得x(x＋1)－2x2＝0， 因式分解，得x(x＋1－2x)＝0， x(1－x)＝0，∴x＝0或1－x＝0， 解得x1＝0，x2＝1. (3)解：移项，得(2x－1)2－(x＋3)2＝0. 因式分解，得[(2x－1)－(x＋3)][(2x－1)＋(x＋3)]＝0， 即(x－4)(3x＋2)＝0， 解得x1＝4，x2＝－. 4.(1)解：x1＝2，x2＝－1. (2)解法一：(配方法) 解：x1＝－2＋，x2＝－2－. 解法二：(公式法) 解：x1＝－2＋，x2＝－2－. (3)解：x1＝－3，x2＝5. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $