2.1 第1课时 一元二次方程（word导学案）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（北师大版·新教材）

该初中数学导学案聚焦“一元二次方程”第1课时，核心内容为理解一元二次方程的概念及一般形式。课堂导入通过复习方程和一元一次方程，结合教室地毯铺设、连续整数平方和、梯子滑动三个实际问题引导学生建立方程，对比一元一次方程的区别，搭建新旧知识联系的学习支架。 资料以实际问题情境激发兴趣，通过合作探究让学生经历从具体到抽象的过程，培养用数学眼光观察现实世界的能力。典例与分层练习结合，强化概念理解和模型意识，发展数学思维，提升运用方程解决实际问题的能力。

第二章 一元二次方程 2.1 认识一元二次方程 第1课时 一元二次方程 【学习目标】 1.理解一元二次方程的概念及其一般形式，确定各项系数； 2.根据实际问题，建立一元二次方程的数学模型； 3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题. 学习重点：理解一元二次方程的概念. 学习难点：理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题. 【复习导入】 1. 什么叫方程？我们学过哪些方程？ 2. 什么叫一元一次方程？ 想一想：什么是一元二次方程呢？ 【合作探究】 探究点：一元二次方程的相关概念 问题1：幼儿园某教室矩形地面的长为 8 m，宽为 5 m，现准备在地面正中间铺设一块面积为 18 m2 的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？ 思 考：问题中有哪些等量关系？ 解：如果设所求的宽为 x m，那么地面中央长方形地毯图案的长为 m，宽为　　m， 根据题意，可得方程： 问题2：观察下面等式：102 + 112 + 122 = 132 + 142 你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？ 解：如果设五个连续整数中的第一个数为 x，那么后面四个数依次可表示为： ， ， ， .　 根据题意，可得方程： 问题3：如图，一个长为 10 m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为 8 m.如果梯子的顶端下滑1 m，那么梯子的底端滑动多少米？ 解：由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙　 　m. 如果设梯子底端滑动 x m，那么滑动后梯子底端距墙　　 m. 根据题意，可得方程： 议一议 方程 ①、②、③ 都不是一元一次方程. 那么这三个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？ ( 8 - 2x)( 5 - 2x) = 18 ① x2 + (x + 1)2 + (x + 2)2 = (x + 3)2 + (x + 4)2 ② (x + 6)2 + 72 = 102 ③ 【知识要点】 一元二次方程的概念： 一元二次方程的一般形式： 想一想 为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？ 【典例精析】 例1 下列选项中，是关于 x 的一元二次方程的是（ ） B. 3x² - 5xy + y² = 0 C (x - 1)(x - 2) = 0 D 4x²- 1 = (2x + 3)² 练一练 1. 判断下列方程是否为一元二次方程？ (1) x2 + x = 36； (2) x3 + x2 = 36； (3)x + 3y = 36； (5) x + 1 = 0； (7)ax2 + bx + c = 0； 【典例精析】 例2 a为何值时，下列方程为关于x的一元二次方程？ (1)ax2－x = 2x2 (2) (a－1)x | a |+1－2x－7 = 0. 思考：一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？ 一元一次方程 一元二次方程 一般式 相同点 不同点 【典例精析】 例3 将方程 3x(x - 1) = 5(x + 2) 化成一元二次方程一般形式，并分别指出它的二次项、一次项和常数项及它们的系数. 当堂反馈 1.下列方程中，属于一元二次方程的是(　　) A.x－2y＝2024 B.x2＋1＝ C.x2－2y＋1＝0 D.x2－2x＋1＝0 2.将一元二次方程5x2－1＝4x化成一般形式(a＞0)后，一次项系数为(　　) A.4 B.－4 C.－1 D.1 3.两个连续奇数的平方和为130，若设较小的数为x，则可列方程为　 　. 4.[高频易错]若方程(m－1)x｜m｜＋1＋2mx－3＝0是关于x的一元二次方程， 则m的值为　　. 5.将下列方程化成一元二次方程的一般形式(a＞0)，并写出二次项系数、一次项系数和常数项. (1)3x2－1＝2x； (2)x(x－2)＝4x2－3x. 6.根据下列问题，列出一元二次方程，并化为一般形式. (1)在一幅长80cm、宽50cm的矩形风景画的四周镶上一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，要使整个挂图的面积是5000cm2，设金色纸边的宽为xcm； (2)如图，某中学有一块矩形场地，计划在该场地上修筑宽都为1m的两条互相垂直的道路(阴影部分)，余下的四块矩形小场地建成草坪.若矩形场地的长与宽之比为2∶1，并且四块草坪的面积之和为144m2，设这块矩形场地的宽为xm. 参考答案 【合作探究】 探究点：一元二次方程的相关概念 问题1： 解：如果设所求的宽为 x m，那么地面中央长方形地毯图案的长为( 8 - 2x)m，宽为( 5 - 2x) m， 根据题意，可得方程：( 8 - 2x)( 5 - 2x) = 18.① 问题2： 解：如果设五个连续整数中的第一个数为 x，那么后面四个数依次可表示为：x + 1，x + 2，x + 3，x + 4.　 根据题意，可得方程：x2 + (x + 1)2 + (x + 2)2 = (x + 3)2 + (x + 4)2. ②　　　 问题3： 解：由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙 6 m. 如果设梯子底端滑动 x m，那么滑动后梯子底端距墙x + 6 m. 根据题意，可得方程：(x + 6)2 + 72 = 102.③ 议一议 特点：1.只含有一个未知数； 2.未知数的最高次数是2；3.整式方程． 知识要点 一元二次方程的概念： 只含有一个未知数 x 的整式方程，并且都可以化为ax2 + bx + c = 0 (a，b，c 为常数，a ≠ 0) 的形式，这样的方程叫做一元二次方程. 一元二次方程的一般形式： ax2 + bx + c = 0 (a，b，c为常数，a ≠ 0). 其中，ax2称为二次项，a称为二次项系数；bx称为一次项，b称为一次项系数；c称为常数项. 想一想 当 a = 0 时， bx＋c = 0，不符合定义； 当 a ≠ 0， b = 0 时，ax2＋c = 0，符合定义； 当 a ≠ 0， c = 0 时，ax2＋bx = 0，符合定义； 当 a ≠ 0，b = c =0 时，ax2 = 0，符合定义． 例题精析 例1 C 判断 （1）对 （2）错 （3）错 （4）错 （5）错 （6）对 （7）错 （8） 例题精析 例2 解：(1)将方程整理，得 (a - 2)x2 - x = 0， 所以当 a - 2 ≠ 0，即 a ≠ 2 时，原方程是一元二次方程. (2)由 | a | + 1 = 2，且 a - 1 ≠ 0 知，当 a = - 1 时， 原方程是关于 x 的一元二次方程. 思考：ax + b = 0 (a ≠ 0) ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 都是整式方程，且只含有一个未知数 未知数最高次数是 1 未知数最高次数是 2 典例精析 例3 解： 去括号，得 3x2 - 3x = 5x + 10. 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2 - 8x - 10 = 0. 其中二次项是 3x2，系数是 3；一次项是 - 8x，系数是 - 8；常数项是 - 10. 当堂反馈 1.　D　 2.　B　 3.　x2＋(x＋2)2＝130　. 4.　－1　. 5.解：(1)整理，得3x2－2x－1＝0，二次项系数为3， 一次项系数为－2，常数项为－1. (2)整理，得3x2－x＝0，二次项系数为3， 一次项系数为－1，常数项为0. 6.解：(1)根据题意得(80＋2x)(50＋2x)＝5000， 化为一般形式为4x2＋260x－1000＝0. (2)由题意得(2x－1)(x－1)＝144， 化为一般形式为2x2－3x－143＝0. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $