1.4 第1课时 正方形的性质（word导学案）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（北师大版·新教材）

该初中数学导学案聚焦“正方形的性质”，通过复习平行四边形、矩形、菱形的边、角、对角线性质，搭建知识支架，引导学生从已有特殊平行四边形知识自然过渡到正方形性质的探究。 资料设计观察思考、合作探究等环节，通过对比归纳培养抽象能力与几何直观，结合证明推理与变式训练发展推理意识，典例与当堂反馈结合提升应用意识，助力学生用数学思维分析和解决问题。

第1章 特殊平行四边形 1.4 正方形的性质与判定 第1课时 正方形的性质 【学习目标】 1.通过观察、比较、动手操作探究正方形边、角、对角线、对称的性质，培养学生的归纳探究能力和数学表达能力.(重点、 难点) 2.利用正方形的性质定理进行计算或证明，培养学生分析问题和解决问题的能力.（难点） 学习重点：通过观察、比较、动手操作探究正方形边、角、对角线、对称的性质，培养学生的归纳探究能力和数学表达能力. 学习难点：利用正方形的性质定理进行计算或证明，培养学生分析问题和解决问题的能力. 【复习导入】 平行四边形 矩形特殊性质 菱形特殊性质 性质 边 对边平行且相等 角 对角相等，邻角互补 对角线 对角线互相平分 【合作探究】 探究点：正方形的性质 观察·思考 （1）正方形是矩形吗？是菱形吗？ （2）你认为正方形具有哪些性质？与同伴交流. 总结：正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形. 所以矩形、菱形有的性质，正方形都有. 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系： 探究：从正方形的边、角、对角线出发，写出正方形的性质，并证明其中的一些结论。 正方形的性质 定理 正方形的四个角都是直角，四条边相等. 定理 正方形的对角线相等且互相垂直平分. 证一证 (1) 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形. 求证：正方形 ABCD 四边相等，四个角都是直角. (2) 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形. 对角线 AC、BD 相交于点 O. 求证：AO = BO = CO = DO，AC⊥BD. 判一判 根据图形所具有的性质，在下表相应的空格中打“√”. 性质\图形 平行四边形 矩形 菱形 正方形 边 对边平行且相等 四边相等 角 四个角都是直角 对角线 对角线相互平分 对角线相互垂直 对角线相等 每条对角线平分一组对角 典例精析 例1 如图，在正方形 ABCD 中，E 为 CD 上一点，F 为 BC 边延长线上一点， 且 CE = CF. BE 与 DF 之间有怎样的关系？请说明理由. 例2 如图，在正方形 ABCD 中，△BEC 是等边三角形， 求证： ∠EAD =∠EDA = 15°. 变式题1：四边形 ABCD 是正方形，以正方形 ABCD 的一边为边作等边△ADE，求∠BEC 的大小． 变式题2：如图，在正方形 ABCD 内有一点 P 满足 AP = AB，PB = PC， 连接 AC、PD． （1）求证：△APB≌△DPC； （2）求证：∠BAP = 2∠PAC． 尝试·交流 如图，四边形 ABCD 是正方形。 (1) 在图中画一个菱形，使菱形的两个顶点分别与点 A，C 重合，则菱形的另外两个顶点需要满足怎样的条件？试一试，并与同伴交流你画图的理由。 (2) 在图中画一个矩形 EFGH，使矩形的四个顶点 E，F，G，H 依次在正方形 ABCD 的边 AB，BC，CD，AD上，则矩形 EFGH 的四个顶点需要满足什么条件？试一试，并与同伴交流你画图的理由。 当堂反馈 1.正方形具有而菱形不具有的性质是(　　) A.对角线互相垂直平分 B.内角之和为360° C.对角线相等 D.一条对角线平分一组对角 2.如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O. (1)∠ABO＝　　°，∠AOB＝　　°； (2)若正方形ABCD的面积为9，则AB＝　　，对角线BD的长为　　； (3)图中共有　　个等腰直角三角形. 3.如图，正方形ABCD的顶点B，C都在x轴上，若点A的坐标是(－2，8)，点C的坐标是(6，0)，则点D的坐标是　　. 4.如图，E是正方形ABCD内一点，且△EAB是等边三角形，则∠ADE＝　　°. 5.如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离分别为3和5，则正方形ABCD的面积为　　. 6.如图，过正方形ABCD的对角线BD上一点P，作PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF.求证：AP＝EF. 参考答案 证一证 (1) 证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形. ∴∠A = 90°，AB = AD (正方形的定义). 又∵ 正方形是平行四边形， ∴ 正方形是矩形 (矩形的定义)， 正方形是菱形 (菱形的定义). ∴∠A =∠B =∠C =∠D = 90°， AB = BC = CD = AD. (2) 证明：∵ 正方形 ABCD 是矩形， ∴ AO = BO = CO = DO. ∵ 正方形 ABCD 是菱形， ∴ AC⊥BD. 判一判 根据图形所具有的性质，在下表相应的空格中打“√”. 典例精析 例1 解：BE = DF，且 BE⊥DF. 理由如下： ①∵ 四边形 ABCD 是正方形. ∴ BC = DC，∠BCE = 90°， ∴∠DCF = 180° -∠BCE =180° - 90° = 90°. ∴∠BCE =∠DCF. 又∵ CE = CF， ∴ △BCE≌△DCF (SAS). ∴ BE = DF. ② 延长 BE 交 DF 于点 M. ∵△BCE≌△DCF， ∴∠CBE =∠CDF. ∵∠DCF = 90°， ∴∠CDF +∠F = 90°. ∴∠CBE +∠F = 90°. ∴∠BMF = 90°，∴ BE⊥DF. 综和①②可知，BE = DF，且 BE⊥DF. 例2 证明：∵ △BEC 是等边三角形， ∴ BE = CE = BC，∠EBC =∠ECB = 60°. ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ AB = BC = CD，∠ABC =∠DCB = 90°. ∴ AB = BE = CE = CD， ∠ABE =∠DCE = 30°. ∴△ABE，△DCE 是等腰三角形. ∴∠BAE =∠BEA =∠CDE =∠CED = 75°. ∴∠EAD =∠EDA = 90°-75° = 15°. 【变式题1】 解：当点 E 在正方形 ABCD 外部时， 如图①，AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°. ∴∠AEB＝15°. 同理可得∠DEC＝15°. ∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°； 当点 E 在正方形 ABCD 内部时，如图②， AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°， ∴∠AEB＝75°. 同理可得∠DEC＝75°. ∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°. 综上所述，∠BEC 的大小为 30° 或 150°. 【变式题2】 （1）证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴∠ABC =∠DCB = 90°． ∵ PB = PC， ∴∠PBC =∠PCB． ∴∠ABC -∠PBC =∠DCB -∠PCB， 即∠ABP =∠DCP． 又∵ AB = DC，PB = PC， ∴△APB≌△DPC． （2） 证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴∠BAC =∠DAC = 45°． ∵△APB≌△DPC，∴ AP = DP． 又∵AP = AB = AD， ∴ DP = AP = AD， 即 △APD 是等边三角形． ∴∠DAP = 60°． ∴∠PAC =∠DAP -∠DAC = 15°， ∠BAP =∠DAB -∠DAP = 30°． ∴∠BAP = 2∠PAC． 尝试·交流 (1) 条件：另外两个顶点在正方形对角线 BD 上，且关于AC 对称(或到 AC 与 BD 交点的距离相等)。 理由：菱形对角线互相垂直平分， 正方形中 BD⊥AC 且互相平分，满足菱形性质。 (2) 条件：AE＝CG、AH＝CF (或邻边互相垂直)。 理由：可证 EFGH 是平行四边形且有直角，符合矩形定义。 当堂反馈 1.　C　 2.(1)　45　，　90　； (2)　3　，　3　； (3)　8　. 3.　(6，8)　. 4.　75　. 5.　34　. 6. 证明：如图，连接AC，PC. ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BCD＝90°，BD垂直平分AC. ∴AP＝CP. ∵PE⊥BC，PF⊥CD， ∴∠PEC＝∠PFC＝∠BCD＝90°. ∴四边形PECF为矩形. ∴CP＝EF. ∴AP＝EF. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $