2.2.3 求解一元二次方程--用因式分解法解一元二次方程 知识清单 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

2.2.3 求解一元二次方程--用因式分解法解一元二次方程 复习回顾： 1. 一元二次方程的解法有哪些？ 2. 因式分解的方法： (1)提公因式法： (2)公式法： 3. 若A×B＝0，下面两个结论正确吗？ (1)A和B都为0，即A＝0，且B＝0.( ) (2)A和B至少有一个为0，即A＝0或B＝0. ( ) · 一个小球从地面以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中运动的高度h(单位：m)与运动的时间(单位：s)满足关系：h＝15t－5t2.小球从弹出到落回地面，经过了几秒？ 设小球经过t s落回地面，此时h＝0，于是可得方程15t－5t2＝0. 小颖、小明、小亮都求出了这个方程的解，但他们的解法各不相同. 小颖： 由方程15t－5t2＝0， 得5t2－15t＝0. 因此t＝ 所以t1＝0，t2＝3. 小明： 由方程15t－5t2＝0， 得5t2－15t＝0. 两边都约去5t，` 得t＝3. 小亮： 由方程15t－5t2＝0， 得5t2－15t＝0. 即5t(t－3)＝0. 于是t＝0，或t－3＝0. 所以t1＝0，t2＝3. 分析上面的求解过程，他们分别运用了怎样的方法?他们的结果正确吗? · 当一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法称为因式分解法. 例1：解下列方程 (1)5x2＝4x；(2)x(x－2)＝x－2. 操作·思考 (1)解方程x2－4＝0，(x＋1)2－25＝0，x2＋2x－3＝0，x2＋6x－8＝0. (2)你用了哪些方法求解(1)中的方程？ 回顾·反思 1. 回顾一元二次方程的各种解法，你对它们的共性及各自的特点有什么理解？ 方法 适用范围 理论依据 关键步骤 直接开平方法 形如(ax＋m)2＝n(n≥0)的方程 平方根的意义 开平方 配方法 所有一元二次方程 完全平方公式 配方 公式法 所有一元二次方程 配方法 代入求根公式 因式分解法 一边是0，另一边能够分解成两个一次因式的乘积的方程 若两个因式的乘积为0，则这两个因式中至少有一个因式为0 因式分解 随堂练习： 1. 用因式分解法解下列方程： (1)(x＋2)(x－4)＝0；(2)4x(2x＋1)＝3(2x＋1). 2. 一个数平方的2倍等于这个数的7倍，求这个数. 习题2.2 [知识技能] 1. 用因式分解法解方程： (1)(4x－1)(5x＋7)＝0；(2)x(x＋2)＝3x＋6；(3)(2x＋3)2＝4(2x＋3)；(4)2(x－3)2＝x2－9. 2. 解方程： (1)5(x2－x)＝3(x2 + x) ；(2)(x－2)2＝(2x＋3)2；(3)(x－2)(x－3)＝12； (4)2x＋6＝(x＋3)2；(5)2y2＋4y＝y＋2. 3. 写一个一元二次方程，并判断这个方程的根的情况 [问题解决] 4. 如图，在一块长35m、宽26m的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行)，剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为850m2，道路的宽应为多少？ 5. 游行队伍有8行12列，后又增加了69人，使得队伍增加的行、列数相同，你知道增加了多少行或多少列吗？ 6. 印度古算书中有这样一首诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏.八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮.告我总数共多少，两队猴子在一起.”你能解决这个问题吗？ 7. 如图，在矩形ABCD中，AB＝16cm，BC＝6cm.动点P从点A出发沿AB方向以3cm/s的速度运动，动点Q同时从点C出发沿CD方向以2cm/s的速度运动.当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动. (1)这两个动点出发后经过多长时间它们之间的距离是10cm？ (2)请根据题目情景提出一个新问题，并加以解决. 8. 今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈.问：户高、广各几何？(选自《九章算术》) 题目大意：已知矩形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，门的高和宽各是多少？ 9. 在一幅长90cm、宽40cm的矩形风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，如果要求风景画的面积占整个挂图面积的72%，那么金色纸边的宽应该是多少？ 10. 某农场要建一个矩形鸡舍，鸡舍的一边靠墙(墙长25m)，另三边用木栏围成，木栏长40m. (1)鸡舍的面积能达到180m2吗？能达到200m2吗？ (2)鸡舍的面积能达到250m2吗？ 11. 如图，圆柱的高为15cm，全面积(也称表面积)为200πcm2，那么该圆柱的底面半径为多少？ 12. 在一块长16m、宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半.你能给出设计方案吗？ (1)小明的设计方案如图所示，其中花园四周小路的宽度都相同，求小路的宽度； (2)小亮的设计方案如图所示，其中花园每个角上的扇形都相同，求图中的x(单位：m). [联系拓广] 13. 如图，以点P(14，1)，A(a，0)，B(0，a) (0＜a＜14)为顶点的△PAB的面积为 18，求a的值.如果a＞14 呢？ 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2.3 求解一元二次方程--用因式分解法解一元二次方程 复习回顾： 1. 一元二次方程的解法有哪些？ ①直接开方法：x2＝p.，当p≥0时，它的根为x＝±； ②配方法：(mx＋n)2＝p(m≠0，p≥0)，它的根为x＝； ③公式法：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac≥0时，它的根是：x＝. 2. 因式分解的方法： (1)提公因式法： am＋bm＋cm＝m(a＋b＋c) (2)公式法： a2－b2＝(a＋b)(a－b)；a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2 3. 若A×B＝0，下面两个结论正确吗？ (1)A和B都为0，即A＝0，且B＝0.( × ) (2)A和B至少有一个为0，即A＝0或B＝0. ( √ ) · 一个小球从地面以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中运动的高度h(单位：m)与运动的时间(单位：s)满足关系：h＝15t－5t2.小球从弹出到落回地面，经过了几秒？ 设小球经过t s落回地面，此时h＝0，于是可得方程15t－5t2＝0. 小颖、小明、小亮都求出了这个方程的解，但他们的解法各不相同. 小颖： 由方程15t－5t2＝0， 得5t2－15t＝0. 因此t＝ 所以t1＝0，t2＝3. (对) 小明： 由方程15t－5t2＝0， 得5t2－15t＝0. 两边都约去5t，` 得t＝3. (错误的，约去t的时候必须保证t≠0，他的做法漏掉了根为0的情况) 小亮： 由方程15t－5t2＝0， 得5t2－15t＝0. 即5t(t－3)＝0. 于是t＝0，或t－3＝0. 所以t1＝0，t2＝3. (对) 分析上面的求解过程，他们分别运用了怎样的方法?他们的结果正确吗? · 当一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法称为因式分解法. 例1：解下列方程 (1)5x2＝4x；(2)x(x－2)＝x－2. 解：(1)原方程可变形为 5x2－4x＝0， x(5x－4)＝0 ，(提公因式) x＝0 ，或5x－4＝0. (降次思想) 所以x1＝0，x2＝ (提公因式法) (2)原方程可变形为 x(x－2)－(x－2)＝0， (x－2)(x－1)＝0 (提公因式) x－2＝0 ，或x－1＝0. (降次思想) 所以x1＝2，x2＝1 (提公因式法) 降次思想：原来的一元二次方程转化成了两个一元一次方程 操作·思考 (1)解方程x2－4＝0，(x＋1)2－25＝0，x2＋2x－3＝0，x2＋6x－8＝0. (2)你用了哪些方法求解(1)中的方程？ x2－4＝0 (x＋1)2－25＝0 ①解：原方程可变形为 x2＝4 x＝±2 x1＝－2，x2＝2 (直接开平方法) ②解：原方程可变形为 (x＋2)(x－2)＝0 x＋2＝0 或x－2＝0 x1＝－2，x2＝2 (因式分解法) ①解：原方程可变形为 (x＋1)2＝25 x＋1＝±5 x＋1＝5或x＋1＝－5 x1＝4，x2＝－6(直接开平方法) ②解：原方程可变形为 (x＋1＋5)(x＋1－5)＝0 (x＋6)(x－4)＝0 x＋6＝0 或x－4＝0 x1＝4，x2＝－6(因式分解法) x2＋2x－3＝0 x2＋6x－8＝0 ①解：原方程可变形为 (x＋3)(x－1)＝0 x＋3＝0 或x－1＝0 x1＝－3，x2＝1 (因式分解法) ②解：移项，得x2＋2x＝3， 两边都加12，得x2＋2x＋1＝4 即(x＋1)2＝4 两边开平方，得x＋1＝±2 x＋1＝－2 或x＋1＝2 x1＝－3，x2＝1(配方法) ①解：a＝1，b＝6，c＝－8 ∵b2－4ac＝62－4×1×(－8)＝68＞0， ∴x＝＝－3± x1＝－3＋，x2＝－3－ (因式分解法) ②解：移项，得x2＋6x＝8 两边都加12，得 x2＋6x＋9＝17即(x＋3)2＝17 两边开平方，得 x1＝－3＋， x2＝－3－(配方法) 回顾·反思 1. 回顾一元二次方程的各种解法，你对它们的共性及各自的特点有什么理解？ 方法 适用范围 理论依据 关键步骤 直接开平方法 形如(ax＋m)2＝n(n≥0)的方程 平方根的意义 开平方 配方法 所有一元二次方程 完全平方公式 配方 公式法 所有一元二次方程 配方法 代入求根公式 因式分解法 一边是0，另一边能够分解成两个一次因式的乘积的方程 若两个因式的乘积为0，则这两个因式中至少有一个因式为0 因式分解 随堂练习： 1. 用因式分解法解下列方程： (1)(x＋2)(x－4)＝0；(2)4x(2x＋1)＝3(2x＋1). 解：(1)x1＝－2，x2＝4；(2) x1＝，x2＝－ 2. 一个数平方的2倍等于这个数的7倍，求这个数. 解：x1＝0，x2＝ 习题2.2 [知识技能] 1. 用因式分解法解方程： (1)(4x－1)(5x＋7)＝0；(2)x(x＋2)＝3x＋6；(3)(2x＋3)2＝4(2x＋3)；(4)2(x－3)2＝x2－9. 解：(1)x1＝，x2＝－；(2)x1＝3，x2＝－2；(3) x1＝，x2＝－；(4) x1＝3，x2＝9. 2. 解方程： (1)5(x2－x)＝3(x2 + x) ；(2)(x－2)2＝(2x＋3)2；(3)(x－2)(x－3)＝12； (4)2x＋6＝(x＋3)2；(5)2y2＋4y＝y＋2. 解：(1)x1＝0，x2＝4；(2)x1＝－，x2＝－5；(3) x1＝6，x2＝－1；(4) x1＝－3，x2＝－1；(5)y1＝，y2＝－2. 3. 写一个一元二次方程，并判断这个方程的根的情况 [问题解决] 4. 如图，在一块长35m、宽26m的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行)，剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为850m2，道路的宽应为多少？ 解：道路的宽为1m. 5. 游行队伍有8行12列，后又增加了69人，使得队伍增加的行、列数相同，你知道增加了多少行或多少列吗？解：增加了3行或3列. 6. 印度古算书中有这样一首诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏.八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮.告我总数共多少，两队猴子在一起.”你能解决这个问题吗？ 解：共有猴16只或48只． 7. 如图，在矩形ABCD中，AB＝16cm，BC＝6cm.动点P从点A出发沿AB方向以3cm/s的速度运动，动点Q同时从点C出发沿CD方向以2cm/s的速度运动.当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动. (1)这两个动点出发后经过多长时间它们之间的距离是10cm？ (2)请根据题目情景提出一个新问题，并加以解决. 解：(1)1.6s或4.8s后点P和点Q的距离是10cm. 8. 今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈.问：户高、广各几何？(选自《九章算术》) 题目大意：已知矩形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，门的高和宽各是多少？ 解：门的高是9.6尺，宽是2.8尺. 9. 在一幅长90cm、宽40cm的矩形风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，如果要求风景画的面积占整个挂图面积的72%，那么金色纸边的宽应该是多少？ 解：金色纸边的宽度是5cm. 10. 某农场要建一个矩形鸡舍，鸡舍的一边靠墙(墙长25m)，另三边用木栏围成，木栏长40m. (1)鸡舍的面积能达到180m2吗？能达到200m2吗？ (2)鸡舍的面积能达到250m2吗？ 解：(1)鸡场宽为(10＋)m时，鸡场面积达到180m2，鸡场宽为10m时，鸡场面积达到200m2； (2)鸡场面积不能达到250m2. 11. 如图，圆柱的高为15cm，全面积(也称表面积)为200πcm2，那么该圆柱的底面半径为多少？ 解：圆柱底面半径为5cm 12. 在一块长16m、宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半.你能给出设计方案吗？ (1)小明的设计方案如图所示，其中花园四周小路的宽度都相同，求小路的宽度； (2)小亮的设计方案如图所示，其中花园每个角上的扇形都相同，求图中的x(单位：m). 解：(1)小路的宽为2m；(2)x1≈ 5.5，x2≈－5.5(舍). [联系拓广] 13. 如图，以点P(14，1)，A(a，0)，B(0，a) (0＜a＜14)为顶点的△PAB的面积为 18，求a的值.如果a＞14 呢？ 解：当0＜a＜14时，a1＝12 或 a2＝3；当a＞14时，a1＝或 a2＝(舍) 3 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $