专题02 空间基底·模长·平行坐标·垂直坐标·夹角余弦六大典型问题（高效培优专项训练）数学人教A版高二选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间向量六大核心问题，以题型分类构建从基底表示到夹角运算的递进式训练体系，培养几何直观与空间观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |空间基底表示向量|8题|用已知基底表示未知向量|从向量分解基础切入，建立空间向量表示框架| |空间向量基本定理应用|8题|基底判定与共面条件论证|深化基底概念，强化定理应用的逻辑推理| |空间向量模长问题|8题|向量长度计算及范围求解|基于数量积运算，构建模长与坐标关系| |空间向量平行问题|8题|共线向量的坐标关系应用|通过比例关系转化，培养运算能力与推理意识| |空间向量垂直问题|8题|向量垂直的数量积条件|利用数量积为零，建立垂直关系的代数表达| |空间向量夹角余弦问题|8题|夹角余弦值计算及应用|综合数量积与模长公式，实现几何关系的数学语言转化|

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02空间基底·模长平行坐标·垂直坐标·夹角余弦六大典型问题 题型归纳 题型一空间基底表示向量 题型二空间向量基本定理应用 题型三空间向量模长问题 题型四空间向量平行问题 题型五空间向量垂直问题 题型六空间向量夹角余弦问题 题型专练 题型一空间基底表示向量 1.C 2.A 3.D 4.2V33 5.A 6.C 7.BCD 8.A 题型二空间向量基本定理应用 9.B 10.C 11.C 12.C 13.C 14.-6 1/4 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 15.D 16.D 题型三空间向量模长问题 17.AC 18.C 9(g0- 20.[2,10] 21.C 2双n2西 【详解】(1)BC=(-3,0,4)-(-11,2)=(-2,-1,2), 所以c=mBC=m(-2,-1,2)=(-2m,-m,2m), 则=(-2m)}+(-m)}+(2m}=3m=3, 解得m=±1. (2)因为a=(（1,10）,b=(-1,0,2),所以a6=(1,1,0)(-1,0,2)=-1, 又a=vP+P+0=V2,=V-1+02+22=5, 所似usa6 a.b-1√10 咽0-10， 即向量。与向量石的夹角的余弦值为-0 10 23.B 24.CD 题型四空间向量平行问题 25.-2 26.A 27.A 28.±6 214 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 29.AC 30.√6 31.B 32.AB 题型五空间向量垂直问题 33.B 34.AC 35.A 36.C 37.C 38.A 39.BD 40.6-(48-2）c=g-10y120 26 【详解】(1)因为a/b,且a=(2,4,1),b=(-4,m,n）, -4_m_n 所以2=41，解得m=-8,m=-2,所以万=(4，-8，-2)： 因为b1c,所以6-c=(-4)×2+(-8)×(-1)+(-2)×k=0, 解得k=0,所以=(2，-1,0). (2)由(1)得b+3a=(2,4,1),a+c=(4,3,1), 则5+3d=V2+42+P=V21,a+d=V42+3+-V26】 (a+c(6+3a)=4×2+3×4+1x1=21, 所以cos<a+c,b+3a> (a+c(6+3a) 21 21 a+cB+3a V26xV2īV26, 所以sin<a+c,b+3a>= 21V130 2626 题型六空间向量夹角余弦问题 41.B 314 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2√42 42.- 21 43.D 44.BCD 5a刨 2= 10 2或k=2 【详解】(1)因为A(-2,0,2)、B(-11,2)、C(-3,0,4),a=AB,6=AC, 所以a=(1,1,0),b=(-1,0,2), 则cos(a,b=a6 -1 V10 a-2x5=-10· (2)因为ka+b=(k-1,k,2),kā-2b=(k+2,k,-4), 又ka+b与ka-2b垂直， 所以(kā+b)(kā-2b)=(k-1)(k+2)+K2-8=0, 解得k=一2或k=2: 46.B 47.A 48.ACD 414 专题02 空间基底·模长·平行坐标·垂直坐标·夹角余弦六大典型问题 题型一 空间基底表示向量 题型二 空间向量基本定理应用 题型三 空间向量模长问题 题型四 空间向量平行问题 题型五 空间向量垂直问题 题型六 空间向量夹角余弦问题 题型一 空间基底表示向量 1．已知三棱柱中所有的棱长均为，．若为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】作图如下图所示， 选取基底，由题意知， ，. ， 于是 则. 2．在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，在平行六面体 中， . 又因为为底面平行四边形 对角线与的交点， 所以 . 在平行六面体中，， ， ， 所以 . 从而 . 3．在四面体中，是的中点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 是的中点，故， 故． 4．如图，在平行六面体中，，，，，则的长为________．    【答案】 【分析】利用两边进行完全平方，转化为，从而求解 【详解】在平行六面体中， ， 则， 因为， 则,,, 所以， 故. 5．如图，在平行六面体中，M为与的交点，若，则下面向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由图可得，. 6．在平行六面体中，，，，且与的夹角为，与的夹角为，与的夹角为，则体对角线的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 所以 ， 所以体对角线的长为. 7．（多选）如图，在直三棱柱中，，，则（     ） A．向量在向量上的投影向量为 B．向量在向量上的投影向量为 C． D．与的夹角为锐角 【答案】BCD 【分析】由已知可得可作为一组基底，得到，再利用投影向量的计算公式，向量夹角的计算公式即可. 【详解】在直三棱柱中，，所以两两垂直，可作为一组基底. 因为，所以. 所以 . 对于选项A，向量在向量上的投影向量为，故A错误； 对于选项B，向量在向量上的投影向量为，故B正确； 对于选项C，，故C正确； 对于选项D，， 所以.又因为，所以，故D正确. 8．三棱锥中，，，，且，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，且，则，整理得，因此， 由，知是的中点，则， 由，则. 题型二 空间向量基本定理应用 9．若构成空间的一个基底，则下列可以构成空间的另一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由基底的定义逐一判断即可. 【详解】，故A不是； 不存在，使得，故B是； ，故C不是； ，故D不是. 10．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为线段上的点，若，且，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的线性运算及空间向量基本定理即可求解. 【详解】由题意可得，，设，， 且， ， 因为， 所以 所以. 11．已知为空间的一组基底，能与，组成基底的向量是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基底的概念判断即可. 【详解】对于A，，共面，不可为基底； 对于B，，共面，不可为基底； 对于C，假设共面，则，则，得，即为零向量， 这与为空间的一个基底，不为零向量矛盾，故不共面，可作为空间的一个基底， 对于D，，共面，不可为基底. 12．已知正方体的棱长为1，点P满足，其中，则直线AP与CD所成角的正切值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知有点在线段上动，即为直线与所成角，且，即可求. 【详解】由点满足，则点在线段上动，如图所示， 由于，可知即为直线与所成角， 连接，且， 在中，， . 13．在以下命题中，正确的命题有（ ） A．是，共线的充要条件 B．若，则存在唯一的实数，使 C．对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面 D．已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数使得 【答案】C 【分析】利用向量共线的概念可判断A；利用与任意向量共线可判断B；利用共面定理可判断C；利用向量共面的性质可判断D. 【详解】对于A：当非零向量同向时，，共线，但，故A错误； 对于B：当，，满足，此时不存在实数，使，故B错误； 对于C：因为，满足，则由共面向量定理知四点共面，故C正确； 对于D: 若共线时，显然共面，于是只能表示和共面的向量，对于空间中的任意向量则不一定成立,故D错误. 14．已知向量，，是两两不平行的向量，且，，则的值为__________． 【答案】 【分析】方法一：由条件可得，，消去，根据平面向量基本定理列方程求结论； 方法二：先证明共面，设，由条件结合平面向量基本定理列方程求结论. 【详解】方法一：因为，所以. 因为，所以， 所以， 因为不平行，所以，所以. 方法二：因为，，两两不平行， 所以，. 若不共面，所以，矛盾， 所以共面，可设， 所以， 所以. 因为，可设， 所以，， 所以，， ，所以. 15．如图，在空间四边形中，，，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在空间四边形中，，， 则，又， 且不共面，因此， 所以. 16．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点、分别为、的中点，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由空间向量的线性运算以及空间向量的基本定理可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出的值. 【详解】因为，所以，可得， 因为四边形为平行四边形，所以， 所以， 因为点、分别为、的中点，所以，， 所以， 因为、、不共面，所以，所以，故. 题型三 空间向量模长问题 17．（多选）已知空间向量，则（ ） A． B．向量不是共面向量 C． D． 【答案】AC 【详解】，A正确； 设，即，解得， 即，所以是共面向量，B错误； ，所以，C正确； ，D错误. 18．已知空间直角坐标系中的满足，，则（   ） A． B．3 C． D．5 【答案】C 【详解】由向量加法得， 所以. 19．已知空间向量，，向量在向量上的投影向量坐标为__________． 【答案】 【详解】已知，， 则 ， . 故向量在向量上的投影向量为. 20．在棱长为的正方体中，空间动点满足，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，根据空间向量的模长公式求出点的轨迹方程，设，，，结合空间向量数量积的坐标运算以及三角恒等变换可求得的取值范围. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则、、，设点， 则，， 所以， 则， 整理可得， 不妨设，，， ，， 所以 ， 当或时，取最大值， 当或时，取最小值. 综上所述，的取值范围是. 21．已知向量，，若，则（     ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 【答案】C 【分析】利用向量垂直的性质得到其数量积为0，从而得解. 【详解】由 可得：， 展开得： ①， 已知 ， 则，，， 代入①可得： ，解得：. 22．已知空间中三点，，，设，． (1)若且，求实数； (2)求向量与向量的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用空间向量的加减运算及数乘运算得，再利用空间向量的模计算即可； （2）利用空间向量的数量积和夹角公式计算得结论． 【详解】（1）， 所以， 则， 解得． （2）因为，，所以， 又，， 所以， 即向量与向量的夹角的余弦值为． 23．在长方体中，，，，向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，求出坐标应用线性运算得出坐标，再应用模长公式计算求解. 【详解】 以D为坐标原点，以直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 所以， 所以， 所以， 所以． 24．（多选）已知空间中三点，则（    ） A． B．方向上的单位向量是 C．是平面的一个法向量 D．在上的投影向量的模为 【答案】CD 【分析】根据向量的模及单位向量的定义求解选项AB，根据法向量定义求解选项C，根据投影向量概念求解选项D. 【详解】对于选项A，，，故A错误； 对于选项B，,方向上的单位向量是，故B错误； 对于选项C，，由于共面且不共线， , 所以，是平面的一个法向量，故C正确； 对于选项D, , 在上的投影向量的模为,故D正确. 题型四 空间向量平行问题 25．已知向量，，且，则__________． 【答案】 【分析】利用空间向量共线的坐标公式列式求解. 【详解】因为向量，，且， 所以，解得. 26．已知空间向量，，且，则（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】由向量平行的坐标表示，列出等式求解即可. 【详解】因为， 所以，解得：， 故. 27．已知空间向量，，，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】利用空间向量的坐标运算一一判定即可. 【详解】由题意可知，，. 28．已知，若，则______. 【答案】 【详解】由题设，则，可得，可得. 29．（多选）已知空间向量，则下列选项中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】AC 【分析】利用空间向量平行的性质判断A；利用空间向量垂直的性质判断B；根据空间向量坐标运算计算出，利用模长公式计算判断C；利用空间向量夹角余弦的坐标表示判断D. 【详解】对于A，当时，；故A 正确； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，当时，， 所以，，故C正确； 对于D，当时，， 则， ， 所以，故D错误. 30．已知空间向量，，若，则________． 【答案】 【分析】利用空间向量共线的坐标表示可求得、的值，可得出向量的坐标，再利用空间向量的模长公式可求得的值. 【详解】因为空间向量，，且， 则，解得，， 所以，故. 31．设，，若，则k的值是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】由空间向量平行坐标表示可得答案. 【详解】由题可得. 因，则.故选：B 32．（多选）已知空间向量，，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若在上的投影向量为，则 D．若与夹角为钝角，则 【答案】AB 【分析】根据向量的加法的坐标运算，计算即可判断A；根据两向量平行的坐标关系，可判断B；根据投影向量的求法，代数计算，即可判断C；根据夹角为钝角，可得，且与不共线，根据数量积公式求解可判断D. 【详解】对于A，由， 则，即，解得，故正确； 对于B，若，显然与不共线， 若，与共线，则， 解得，故正确； 对于C，因为在上的投影向量为， 所以，即，解得或，故错误； 对于D，若与夹角为钝角，可得，且与不共线， 则，解得，且，即， 所以，故错误， 故选：AB. 题型五 空间向量垂直问题 33．在正方体中，分别过作直线的垂线，垂足分别为M，N，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，设，，结合题意求得，进而利用可求解. 【详解】在正方体中， 以为坐标原点，以所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2，则， 则，，， 设，所以， 所以，解得，所以. 设，所以， 所以，解得，所以. 所以. 34．（多选）在空间直角坐标系中，已知点，则下列结论正确的是（    ） A． B．三点共线 C． D． 【答案】AC 【分析】使用空间向量的坐标表示及其运算即可求得A，使用空间向量共线定理结合数乘运算解B，使用空间向量的模的运算解C，由空间向量垂直的判定结合空间向量数量积的坐标运算解D即可. 【详解】对于A，由题意得，故A正确； 对于B，由题意得， 若三点共线，则存在实数，使得， 即，无解，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，由题意得， ， 即与不垂直，故D错误. 35．已知，，，则实数的值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据向量垂直的坐标表示得到方程，解得即可. 【详解】因为，所以，即，解得， 故选：A 36．设x，，向量，，，且，，则 （    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】由空间向量垂直、平行的坐标表示列方程求参数值，进而得，再应用空间向量模长的坐标运算求结果. 【详解】由，，，， ，解得， 又，则，解得， 所以，， 则，可得. 故选：C 37．已知向量，若，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】由空间向量垂直的坐标表示，得，再解方程即可． 【详解】由题意得，解得． 故选：C． 38．已知空间向量，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量垂直的坐标表示，列方程求解，得的值. 【详解】由题可知，，解得. 故选：A. 39．（多选）已知向量，，，则（   ） A． B． C．向量，的夹角为 D．向量在向量上的投影向量为 【答案】BD 【分析】对于AB，由空间向量垂直，平行坐标表示可判断选项正误；对于C，由空间向量夹角坐标公式可判断选项正误；对于D，由投影向量计算公式可判断选项正误. 【详解】对于A，，若，则存在实数，使， 从而，显然不存在，则两向量不平行，A错误； 对于B，，因， 且两向量均不为零向量，则两向量垂直，B正确； 对于C，，又，则，故C错误； 对于D，在上的投影向量为：，故D正确. 故选：BD 40．已知向量. (1)求向量的坐标； (2)求与夹角的正弦值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据向量平行坐标关系，可求得m，n值，即可得坐标，根据向量垂直坐标关系，可求得k值，即可得坐标. （2）由（1）得与坐标，根据向量夹角公式，结合同角三角函数关系，即可得答案. 【详解】（1）因为，且， 所以，解得，所以； 因为，所以， 解得，所以. （2）由（1）得， 则， ， 所以， 所以. 题型六 空间向量夹角余弦问题 41．已知向量，，且向量与夹角的余弦值为，则的值为（   ） A．-5 B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据模长坐标公式及空间向量数量积坐标公式计算夹角余弦值求解参数. 【详解】因为，， 所以，，， 又向量与夹角的余弦值为， 所以，显然，解得. 故选:B. 42．已知向量，求______． 【答案】 【分析】利用空间向量夹角坐标公式计算即可. 【详解】由题意得，， 所以. 故答案为： 43．下列关于空间向量的命题中，正确的是（    ） A．若空间向量，，则在上的投影向量为 B．若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 C．若空间中任意一点，有，则P，A，B，C四点共面 D．已知向量，，若，则与的夹角为锐角 【答案】D 【分析】对于A，在上的投影向量为，计算即可；对于B，判断，，是否共面即可；对于C，系数和是否为1即可判断P，A，B，C四点是否共面；对于D，先求出的正负，讨论，共线时的特殊情况即可. 【详解】对于A，在上的投影向量为，A错； 对于B，是空间的一组基底，而，即，，是共面向量，故不是空间的一组基底，即B错误； 对于C，在中，故P，A，B，C四点不共面，C错； 对于D，，若，则，可得，若，共线，则，解得，即当时，，不共线，，的夹角为锐角，故D正确. 故选：D. 44．（多选）已知向量，，，则下列结论正确的是（ ） A．向量与向量的夹角为 B． C．向量在向量上的投影向量为 D．向量、、不能构成空间的一组基底 【答案】BCD 【分析】利用空间向量的夹角公式可判断A选项；利用空间向量垂直的坐标关系可判断B选项；利用投影向量的概念可判断C选项；利用空间向量基底的概念可判断D选项. 【详解】对于A选项，， 又因为，所以，故向量与向量的夹角为，A错； 对于B选项，， 所以，故，B对； 对于C选项，向量在向量上的投影向量为，C对； 对于D选项，设，即， 所以，解得，故，即、、共面， 所以向量、、不能构成空间的一组基底，D对. 故选：BCD. 45．已知，，，，． (1)求； (2)若与互相垂直，求实数k的值． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）首先求出向量，，进而由向量的夹角公式求解即可； （2）首先求出与的坐标，结合向量垂直的充要条件列方程求解即可； 【详解】（1）因为、、，，， 所以，， 则． （2）因为，， 又与垂直， 所以， 解得或． 46．设向量，，若，则正实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量的夹角公式结合向量的数量积与模长公式进行计算即可. 【详解】因为，则有， ， 解得，由题得，故. 故选：B 47．已知空间内三点，则以，为邻边的平行四边形的面积为（    ） A． B． C．7 D． 【答案】A 【分析】应用向量夹角余弦公式计算，再结合同角三角函数关系得出正弦，进而应用面积公式计算求解. 【详解】因为，且， 所以，所以， 故选：A. 48．（多选）已知，，则下列正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据空间向量的坐标运算可求即可判断A，再判断，的位置关系即可判断B，根据线性运算得到，再由垂直的坐标表示判断C；由夹角公式即可判断D． 【详解】由，，得，A正确； 假设，则，显然无解，所以与不平行，B错误； 因为，所以，则，C正确； 因为，所以，D正确． 故选：ACD． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 空间基底·模长·平行坐标·垂直坐标·夹角余弦六大典型问题 题型一 空间基底表示向量 题型二 空间向量基本定理应用 题型三 空间向量模长问题 题型四 空间向量平行问题 题型五 空间向量垂直问题 题型六 空间向量夹角余弦问题 题型一 空间基底表示向量 1．已知三棱柱中所有的棱长均为，．若为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 2．在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A． B． C． D． 3．在四面体中，是的中点，则（     ） A． B． C． D． 4．如图，在平行六面体中，，，，，则的长为________．    5．如图，在平行六面体中，M为与的交点，若，则下面向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 6．在平行六面体中，，，，且与的夹角为，与的夹角为，与的夹角为，则体对角线的长度为（    ） A． B． C． D． 7．（多选）如图，在直三棱柱中，，，则（     ） A．向量在向量上的投影向量为 B．向量在向量上的投影向量为 C． D．与的夹角为锐角 8．三棱锥中，，，，且，，则等于（    ） A． B． C． D． 题型二 空间向量基本定理应用 9．若构成空间的一个基底，则下列可以构成空间的另一个基底的是（    ） A． B． C． D． 10．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为线段上的点，若，且，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 11．已知为空间的一组基底，能与，组成基底的向量是（ ） A． B． C． D． 12．已知正方体的棱长为1，点P满足，其中，则直线AP与CD所成角的正切值范围是（   ） A． B． C． D． 13．在以下命题中，正确的命题有（ ） A．是，共线的充要条件 B．若，则存在唯一的实数，使 C．对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面 D．已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数使得 14．已知向量，，是两两不平行的向量，且，，则的值为__________． 15．如图，在空间四边形中，，，若，则（    ）    A． B． C． D． 16．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点、分别为、的中点，若，且，则（    ） A． B． C． D． 题型三 空间向量模长问题 17．（多选）已知空间向量，则（ ） A． B．向量不是共面向量 C． D． 18．已知空间直角坐标系中的满足，，则（   ） A． B．3 C． D．5 19．已知空间向量，，向量在向量上的投影向量坐标为__________． 20．在棱长为的正方体中，空间动点满足，则的取值范围是______. 21．已知向量，，若，则（     ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 22．已知空间中三点，，，设，． (1)若且，求实数； (2)求向量与向量的夹角的余弦值． 23．在长方体中，，，，向量，则（   ） A． B． C． D． 24．（多选）已知空间中三点，则（    ） A． B．方向上的单位向量是 C．是平面的一个法向量 D．在上的投影向量的模为 题型四 空间向量平行问题 25．已知向量，，且，则__________． 26．已知空间向量，，且，则（   ） A．2 B． C．1 D． 27．已知空间向量，，，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 28．已知，若，则______. 29．（多选）已知空间向量，则下列选项中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 30．已知空间向量，，若，则________． 31．设，，若，则k的值是（   ） A． B． C．3 D． 32．（多选）已知空间向量，，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若在上的投影向量为，则 D．若与夹角为钝角，则 题型五 空间向量垂直问题 33．在正方体中，分别过作直线的垂线，垂足分别为M，N，则（   ） A． B． C． D． 34．（多选）在空间直角坐标系中，已知点，则下列结论正确的是（    ） A． B．三点共线 C． D． 35．已知，，，则实数的值为（   ） A． B．2 C． D． 36．设x，，向量，，，且，，则 （    ） A． B．3 C． D．4 37．已知向量，若，则（    ） A． B． C．0 D．1 38．已知空间向量，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 39．（多选）已知向量，，，则（   ） A． B． C．向量，的夹角为 D．向量在向量上的投影向量为 40．已知向量. (1)求向量的坐标； (2)求与夹角的正弦值. 题型六 空间向量夹角余弦问题 41．已知向量，，且向量与夹角的余弦值为，则的值为（   ） A．-5 B． C． D．或 42．已知向量，求______． 43．下列关于空间向量的命题中，正确的是（    ） A．若空间向量，，则在上的投影向量为 B．若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 C．若空间中任意一点，有，则P，A，B，C四点共面 D．已知向量，，若，则与的夹角为锐角 44．（多选）已知向量，，，则下列结论正确的是（ ） A．向量与向量的夹角为 B． C．向量在向量上的投影向量为 D．向量、、不能构成空间的一组基底 45．已知，，，，． (1)求； (2)若与互相垂直，求实数k的值． 46．设向量，，若，则正实数的值为（   ） A． B． C． D． 47．已知空间内三点，则以，为邻边的平行四边形的面积为（    ） A． B． C．7 D． 48．（多选）已知，，则下列正确的有（   ） A． B． C． D． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $