专题05 用空间向量研究距离、夹角问题（专项训练）高二数学人教A版选择性必修第一册

专题05 用空间向量研究距离、夹角问题 常考题型·精准突破 题型1 点到直线的距离 题型2 点到平面的距离 题型3 直线、平面到平面的距离 题型4 两异面直线所成的角 题型5 直线与平面所成的角 题型6 两个平面的夹角 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 点到直线的距离 ( 解题贴士 ： 用向量法求点到直线的距离的一般步骤 （ 1 ） 建立空间直角坐标系 ； （ 2 ） 求直线的单位方向向量 u ； （ 3 ） 计算所求点与直线上某一点所构成的向量 a ； （ 4 ） 利用公式 d ＝ 计算点到直线的距离 . ) 【例1】（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）在空间直角坐标系中，直线经过点，且其方向向量，则点到直线的距离为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【解析】由题，所以点到直线的距离为. 【变式1】（25-26高二上·广东广州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，则点A到直线BC的距离为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】因为点，，， 所以，所以. 所以点到直线的距离为.故选：A. 【变式2】（25-26高二上·云南文山·阶段检测）如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，为的中点，则点到直线的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】建立如图空间直角坐标系，    则，，. 故点到直线的距离. 【变式3】（25-26高二上·湖北·期末）如图，三棱锥中，底面为直角三角形，为直角，面，且，为棱上一个动点，则到直线的距离的最小值为______． 【答案】/ 【解析】以为原点，以所在直线为轴，如图建系， 则，设，则， 在方向上投影向量长度为， 故到直线的距离， 当时，， ◆题型2 点到平面的距离 ( 解题贴士 ： 用向量法求点面距的步骤 （ 1 ） 建系 ： 建立恰当的空间直角坐标系 ； （ 2 ） 求点坐标 ： 写出 （ 求出 ） 相关点的坐标 ； （ 3 ） 求向量 ： 求出相关向量的坐标 （ ， 平面 α 的法向量 n ）； （ 4 ） 求距离 d ＝ . ) 【例2】（25-26高二下·江苏扬州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则点到平面的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】易得，， 设平面的法向量为，则，令，则， 则点到平面的距离为. 【变式1】（25-26高二下·甘肃兰州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，P，M，N分别为AB，，的中点，则点A到平面的距离为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【解析】以A为坐标原点，AB，AD，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，所以， 设平面的法向量为，所以， 令，则，可得.因为，所以点A到平面PMN的距离. 【变式2】（25-26高三下·江苏南通·开学考试）已知三棱柱的棱长均为2，在底面内的射影为的中心，则到平面的距离为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【解析】由三棱柱的所有棱长均为， 可得为边长为的等边三角形，侧棱. 设在底面内的投影为，则平面， 由的边长，可得高，  则到顶点的距离.   在中，. 如图所示，取的中点为原点，以直线为轴，直线为轴， 过点且垂直于底面的直线为轴建立空间直角坐标系， 可得，，，， 故，，. 设平面的法向量为， 则，令，得， 所以到平面的距离. 【变式3】（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）在正四棱柱中，底面边长为2，侧棱长为4，则到平面的距离为_______． 【答案】 【解析】如图，以D为原点，分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则∴，，． 设平面的法向量为，则即 取，则，所以，所以点C1到平面AD1C的距离为＝． ◆题型3 直线、平面到平面的距离 ( 解题贴士 ： 求直线、平面到它的平行平面的距离 ， 先在直线、平面上找到一点 ， 然后转化为求点到平面的距离 ， 且这个点要适当选取 ， 以求解最简便为准则 . ) 【例3】（25-26高二下·江苏苏州·期中）在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，以点为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系. 则，，，，， 可得，，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，可得， 因为，可知， 且平面，平面，所以平面， 因此直线到平面的距离等于点到平面的距离， 则点到平面的距离为， 所以直线到平面的距离为. 【变式1】（25-26高二上·广东广州·期末）在棱长为2的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点，则直线到平面的距离为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 由，取，得， 则，即，又平面，则平面， 所以直线到平面的距离等于到平面的距离， 则到平面的距离为，所以直线到平面的距离为.故选：D 【变式2】（25-26高三·全国·一轮复习）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面与平面的距离为________．    【答案】 【解析】正方体中，，故四边形为平行四边形， 所以 ，平面，平面， 所以平面，同理平面，且 所以平面平面. 以D为原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，    则 ， 所以，，， 设平面 的法向量为， 则 ，所以 ， 令，则，则为平面的一个法向量， 所以点 到平面的距离d， 则平面 与平面 的距离等于点到平面 的距离， 所以平面与平面间的距离为． 【变式3】（25-26高二下·湖南株洲·阶段检测）已知正方体的棱长为分别为正方体的棱的中点． (1)求证：平面； (2)求线段到平面的距离． 【解】（1）取的中点，连接，， 因为点是的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 由于，分别为正方体的棱，的中点， 所以，，所以四边形为平行四边形，即， 因为平面，平面，所以平面， 由于，平面，平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面. （2）如图建立空间直角坐标系， 则、、，， 所以，，， 设平面的法向量为，所以， 所以，令，则，所以， 设点到平面的距离为，则， 由（1）知，∥平面， 则线段到平面的距离即为点到平面的距离， 故线段到平面的距离为． ◆题型4 两异面直线所成的角 ( 解题贴士 ： 求异面直线所成的角的方法 （ 1 ） 基底法 ： 在一些不适合建立坐标系的题目中 ， 经常采用取定基底的方法 ， 在两异面直线 a 与 b 上分别取点 A ， B 和 C ， D ， 则 与 可分别作为 a ， b 的方向向量 ， 则 cos θ ＝ ， 根据条件可以把 与 用基底表示 ， 再进行计算 ； （ 2 ） 坐标法 ： 根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系 ， 写出各相关点的坐标 ， 进而利用公式求解 . 利用坐标法求线线角 ， 避免了传统找角或作角的步骤 ， 使过程变得更简单 . ) 【例4】（25-26高一下·天津红桥·期末）如图，直三棱柱，，点，分别是，的中点，若，则与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 设，则，，，， ，，则与所成角的余弦值为：. 【变式1】（25-26高一下·江苏连云港·期末）在正方体中，为的中点，则与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 设正方体棱长为，如图，以为原点，为轴，为轴，为轴建立坐标系， ，，，，，， 所以， 所以与夹角的余弦值为． 【变式2】（25-26高一下·河南郑州·期末）如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，求直线与直线所成角的余弦值（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在中，， 因为，所以. 因为三棱柱为直三棱柱，所以平面， 又平面平面，所以. 如图，以为原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系. 则. 因为是的中点，所以. 所以. 设直线与直线所成角为， 则 . 所以直线与直线所成角的余弦值为. 【变式3】（2026高二下·浙江·学业考试）如图，在直三棱柱中，，，分别是，的中点．若，则直线与所成角的余弦值为____________． 【答案】/0.8 【解析】由题意知在直三棱柱中，， 故以B为坐标原点，以为轴建立空间直角坐标系， 设，则，则， 故，设直线与所成角为， 则. ◆题型5 直线与平面所成的角 ( 解题贴士 ： 向量法求直线与平面所成角的步骤 （ 1 ） 建立空间直角坐标系 ； （ 2 ） 求直线的方向向量 ； （ 3 ） 求平面的法向量 n ； （ 4 ） 设线面角为 θ ， 则 sin θ ＝ . ) 【例5】（2026高三·全国·专题练习）如图，在长方体中，，，则与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 因为，，所以，，所以， 因为，所以,， 设平面的法向量为， 所以，所以，取，所以平面的一个法向量为， 设与平面所成角为，所以. 【变式1】（25-26高二上·广东东莞·期末）如图，在正方体中，点是棱的中点，则与平面所成角的正弦值_____. 【答案】/ 【解析】以为坐标原点建立空间直角坐标系如下图所示： 设正方体边长为2，可得 所以， 设平面的一个法向量为， 可得， 令，可得，即， 所以与平面所成角的正弦值为， 【变式2】（25-26高二下·贵州贵阳·期末）如图，已知三棱锥与都是边长为2的等边三角形，是中点. (1)证明:平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【解】（1）由题意，是边长为2的等边三角形， 过点作于点，连接， 则，又，则，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）由（1）知，两两互相垂直， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，得， 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为，则. 【变式3】（25-26高二下·四川自贡·期末）如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为2的正方形，为中点，且． (1)求证：平面； (2)已知为线段中点，求直线与平面所成角的余弦值． 【解】（1）在三棱柱中，，， ，则. 又四边形是正方形，则，，所以. 又，平面，因此平面. 又平面，所以. 在等边中，为中点，则， 又，平面，所以平面. （2） 取中点为，中点为，则，. 由（1）知，平面，平面，则. 又，故，，平面， 则平面，即两两垂直. 以为坐标原点，，，的方向为轴､轴､轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 因为为线段中点，所以. ，，. 设平面的法向量为， 则，即，故可取. 设直线与平面所成角为， 则， 所以， 所以直线与平面所成角的余弦值为. ◆题型6 两个平面的夹角 ( 解题贴士 ： 向量法求两平面夹角的步骤 （ 1 ） 建立适当的坐标系 ， 写出相应点的坐标 ； （ 2 ） 求出两个平面的法向量 n 1 ， n 2 ； （ 3 ） 设两平面的夹角为 θ ， 则 cos θ ＝｜ cos ＜ n 1 ， n 2 ＞｜. ) 【例6】（25-26高二下·江苏泰州·期中）设正方形与正方形的边长都是1，若对角线与所成角的余弦值为，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设二面角的大小为，由， 得，， 则， 而，由对角线与所成角的余弦值为，得， 解得，又，解得， 所以二面角的大小为. 【变式1】（2026高三·全国·专题练习）已知直三棱柱中，，，，侧棱，侧面的两条对角线交于点，则平面与平面所成锐二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知两两垂直， 则以为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系． ∴，， 由， 设平面的法向量， 则，取，得， ， 设平面的法向量， 则，取，得， 设平面与平面所成锐二面角为， 则， ∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为． 【变式2】（25-26高二上·上海·期末）如图所示，四棱锥的底面是边长为3的正方形，平面且，Q是棱上一点.若，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为_____.    【答案】 【解析】由题意，可构建如下空间直角坐标系，则， 所以，若平面的一个法向量为，    所以，取，则， 而是平面的一个法向量， 所以， 即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为. 【变式3】（25-26高二下·重庆渝中·期末）如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形， ,是的中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值. 【解】（1）证明：取中点，连接， 因为是中点，则，且，又，且， 所以，且，则四边形是平行四边形， 所以，又平面，平面，故平面. （2）因为平面，底面是直角梯形， 故可以点为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 由题意，可得， 所以， 设平面的一个法向量为， 由，故可取， 设平面的一个法向量为， 由，故可取， 则， 所以二面角的正弦值为. 综合攻坚·知能拔高 1．（25-26高二下·河南洛阳·期末）已知经过点的平面的法向量为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，，则，又平面的法向量为， 则点到平面的距离为. 2．（25-26高二下·江苏南京·期中）若向量是直线的方向向量，向量是平面的法向量，则直线与平面所成角的正弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设直线与平面所成角为，则. 3．（25-26高二下·江苏苏州·期中）直三棱柱，，分别是的中点，，则与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】以为坐标原点，的正方向为轴正方向，可建立如图空间直角坐标系， ，，，，，， ，即，与所成的角为. 4．（25-26高二下·辽宁·开学考试）如图，在直三棱柱中，，且为的中点，，则的长为（   ） A． B． C． D．5 【答案】B 【解析】以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则由题意可知， 又因为是的中点，所以的坐标为， 点满足，所以的坐标为， 从而． 5．（25-26高二上·河南郑州·期末）在空间直角坐标系中，已知，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 所以，， 所以，， 所以点到直线的距离为. 故选：A. 6．（25-26高二下·福建宁德·期末）在三棱台中，，，且，若平面，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，平面，， 因此以为原点，分别以、、方向为轴建立空间直角坐标系： 则，，，，， 直线​的方向向量， ， 点到直线的距离. 7．（2026·安徽蚌埠·二模）已知正方体中，是的中点，则平面与平面的夹角余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴, 建立如下图所示的空间直角坐标系， 设，则、、，则，， 设平面的一个法向量为， 所以，取，可得， 易知平面的一个法向量为，则， 故平面与平面的夹角余弦值是. 8．（25-26高二上·湖南岳阳·阶段检测）如图，在棱长为1的正方体中，分别为，的中点，为线段上的点，且，过的平面交于点，则直线到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】以点D为坐标原点，直线分别为x轴､y轴､z轴建 立空间直角坐标系，如图所示. 则， ， ，则. 又平面平面平面EFGH. 到平面EFGH的距离，即为点到平面EFGH的距离. 设平面的法向量为，则即 令，则， 又点到平面EFGH的距离， ∴直线到平面EFGH的距离为. 故选：A 9．（多选）（25-26高二上·山东青岛·阶段检测）下列说法中，正确的有（    ） A．若平面的法向量，则四点共面 B．若平面的法向量，则与平面所成的角为 C．若平面的法向量，则点到平面的距离是2 D．若，且是钝角，则实数的取值范围是 【答案】AB 【解析】对于A，，故，、、、四点共面，故A正确； 对于B，，故，平面ABC，PA与平面ABC所成角为，故B正确； 对于C，点到平面ABC的距离，故C错误； 对于D，因为是钝角，所以，解得，但时与反向共线，为平角，不满足钝角，故D错误． 故选：AB． 10．（多选）（25-26高二下·四川自贡·阶段检测）在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱BC的中点，则下列说法正确的是（   ） A． B．异面直线EF与所成角余弦值为 C．三棱锥的体积为 D．直线EF与平面ABCD所成角正弦值为 【答案】BC 【解析】如图建立以D为原点的空间直角坐标系. 对于A，，，，，从而，， ，则不与垂直，故A错误； 对于B，，EF与所成角余弦值为，故B正确； 对于C，，由题可得为，从而，故C正确； 对于D，平面的法向量可取，则EF与ABCD所成角正弦值为，故D错误. 11．（多选）（25-26高一下·广东珠海·阶段检测）已知长方体，，则（） A． B．直线与所成角的余弦值为 C．直线与平面所成角的余弦值为 D．直线与平面所成角的余弦值为 【答案】ABD 【解析】以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意得各点坐标：，，，，，，，. 选项A：，，所以，故，A正确. 选项B：，，异面直线所成角的余弦值为，B正确. 选项C：向量，， 设平面的法向量为，则，取，则. 设线面角为，则， ，C错误. 选项D：平面的一个法向量为，设线面角为，则， 故，，D正确. 12．（多选）（25-26高二下·河南·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则（    ） A．异面直线与所成角的余弦值为 B．直线与平面所成角的余弦值为 C．点到平面的距离为 D．平面与平面夹角的余弦值为 【答案】ACD 【解析】A选项， ，,正确； B选项，设平面的法向量为，则， 取，则为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为，那么， 所以B错误； C选项，点到平面的距离为，正确； D选项，设平面法向量，而， 故， 取，则为平面的一个法向量，设平面与平面夹角为， ，D选项正确. 13．（25-26高二下·甘肃酒泉·期中）已知平面，的法向量分别为，，则平面和所成角的余弦值为______． 【答案】 【解析】，则， 又因为，， 所以. 14．（25-26高一下·河北保定·期中）如图，在棱长为2的正方体中，E为中点，则点C到平面的距离为______ 【答案】/ 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的一个法向量为， , 则， 令，则， 设点到平面的距离为， 则，     即点到平面的距离为. 15．（25-26高二下·河北石家庄·开学考试）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面且，，点是线段上一点，当平面与平面的夹角为时，______，这时，点到平面的距离为______. 【答案】 【解析】因为底面是矩形，平面，所以， 故以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则， 因为点是线段上一点，设， 设平面的法向量为，则，， 令，则.平面的法向量为. 因为平面与平面的夹角为， 所以， 所以，解得（舍去），所以. 此时，， 所以点到平面的距离. 16．如图，在以顶点的五面体中，四边形是矩形，平面平面，． (1)证明：平面； (2)已知二面角是，，点到平面的距离为．求； 【解】（1）过点作的垂线，设垂足为，即有， 因为，平面， 平面平面，平面平面，所以平面， 又因为平面，所以，因为四边形是矩形，所以， 所以，因为，， ，平面，平面， 所以平面. （2）因为平面，平面， 所以，又因为， 所以是二面角的平面角，即， 所以可以以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 由已知得，，设，， 则，，且由得. 设平面的法向量为，而, 则有即有， 令，则，，所以，又， 所以点到平面的距离. 即，又因为， 所以可解得，因此. 17．（25-26高二下·甘肃白银·期末）如图，在四棱锥中，分别是的中点，底面是边长为的正方形． (1)证明：平面平面． (2)若，底面，求平面与平面之间的距离． 【解】（1）证明：，分别是，的中点， 平面，平面，平面 且，四边形是平行四边形，． 平面，平面，平面． 又，平面，平面， 平面平面． （2）因为底面，底面，所以. 又因为底面是正方形，所以. 故以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 设平面的法向量是， 则，， 取，得，，则． 所以点到平面的距离为. 故平面与平面之间的距离为． 18．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）在如图所示的五面体中，面是边长为2的正方形，面，，且为的中点，为中点. (1)求证：平面； (2)求平面NMF与平面DMF所成角的余弦值； 【解】（1）如图建立空间直角坐标系，则，， 所以，显然平面的法向量可以为， 所以，即，又平面，所以平面； （2）因为，设平面的法向量为， 则，令，则，所以， 因为平面，所以平面的法向量可以为， 则设两平面所成角为，则， 为锐角，所以两平面所成角的余弦值为. 19．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）如图，是以为直径的圆上异于，的点，平面平面，，，，分别是，的中点，记平面与平面的交线为直线. (1)证明：平面； (2)直线l上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【解】（1）连接并延长，交圆于点，连接， 则，， 所以四边形为矩形，所以， 因为，所以， 故平面与平面的交线为所在直线，即所在直线为直线， 因为为直径，所以， 因为平面平面，交线为，平面， 所以平面，即平面. （2）在上取点，连接，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，垂直，的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为，， 所以，，，， ，， 则， 设平面的法向量为， 则 解得，令，则， 故，又， 故， 解得，故，即直线上存在点， 使得直线与平面所成的角的正弦值为，且. 20.（25-26高二下·海南·期末）如图，在三棱柱中，侧面是正方形，平面．    (1)证明：平面平面； (2)若，，求直线与平面所成角的正弦值． 【解】（1）因为侧面是正方形，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面． （2）方法一：如图，以C为坐标原点，CA，，CB所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，    则，，，， 所以，，． 设平面的法向量为， 则，即，取，得． 设直线与平面所成的角为θ， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为． 方法二：设与的交点为O，连接OB，    因为平面平面，所以直线在平面内的射影即直线， 则即为直线与平面所成的角． 因为，四边形是正方形，所以，． 又， 所以，． 所以． 在中，由正弦定理可得， 即，解得， 即直线与平面所成角的正弦值为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 用空间向量研究距离、夹角问题 常考题型·精准突破 题型1 点到直线的距离 题型2 点到平面的距离 题型3 直线、平面到平面的距离 题型4 两异面直线所成的角 题型5 直线与平面所成的角 题型6 两个平面的夹角 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 点到直线的距离 ( 解题贴士 ： 用向量法求点到直线的距离的一般步骤 （ 1 ） 建立空间直角坐标系 ； （ 2 ） 求直线的单位方向向量 u ； （ 3 ） 计算所求点与直线上某一点所构成的向量 a ； （ 4 ） 利用公式 d ＝ 计算点到直线的距离 . ) 【例1】（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）在空间直角坐标系中，直线经过点，且其方向向量，则点到直线的距离为（    ） A． B． C．3 D． 【变式1】（25-26高二上·广东广州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，则点A到直线BC的距离为（   ） A． B． C． D．1 【变式2】（25-26高二上·云南文山·阶段检测）如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，为的中点，则点到直线的距离为（     ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·湖北·期末）如图，三棱锥中，底面为直角三角形，为直角，面，且，为棱上一个动点，则到直线的距离的最小值为______． ◆题型2 点到平面的距离 ( 解题贴士 ： 用向量法求点面距的步骤 （ 1 ） 建系 ： 建立恰当的空间直角坐标系 ； （ 2 ） 求点坐标 ： 写出 （ 求出 ） 相关点的坐标 ； （ 3 ） 求向量 ： 求出相关向量的坐标 （ ， 平面 α 的法向量 n ）； （ 4 ） 求距离 d ＝ . ) 【例2】（25-26高二下·江苏扬州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则点到平面的距离为（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二下·甘肃兰州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，P，M，N分别为AB，，的中点，则点A到平面的距离为（    ） A． B． C．1 D． 【变式2】（25-26高三下·江苏南通·开学考试）已知三棱柱的棱长均为2，在底面内的射影为的中心，则到平面的距离为（    ） A．1 B． C． D．2 【变式3】（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）在正四棱柱中，底面边长为2，侧棱长为4，则到平面的距离为_______． ◆题型3 直线、平面到平面的距离 ( 解题贴士 ： 求直线、平面到它的平行平面的距离 ， 先在直线、平面上找到一点 ， 然后转化为求点到平面的距离 ， 且这个点要适当选取 ， 以求解最简便为准则 . ) 【例3】（25-26高二下·江苏苏州·期中）在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·广东广州·期末）在棱长为2的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点，则直线到平面的距离为（    ） A．1 B． C． D． 【变式2】（25-26高三·全国·一轮复习）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面与平面的距离为________．    【变式3】（25-26高二下·湖南株洲·阶段检测）已知正方体的棱长为分别为正方体的棱的中点． (1)求证：平面； (2)求线段到平面的距离．． ◆题型4 两异面直线所成的角 ( 解题贴士 ： 求异面直线所成的角的方法 （ 1 ） 基底法 ： 在一些不适合建立坐标系的题目中 ， 经常采用取定基底的方法 ， 在两异面直线 a 与 b 上分别取点 A ， B 和 C ， D ， 则 与 可分别作为 a ， b 的方向向量 ， 则 cos θ ＝ ， 根据条件可以把 与 用基底表示 ， 再进行计算 ； （ 2 ） 坐标法 ： 根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系 ， 写出各相关点的坐标 ， 进而利用公式求解 . 利用坐标法求线线角 ， 避免了传统找角或作角的步骤 ， 使过程变得更简单 . ) 【例4】（25-26高一下·天津红桥·期末）如图，直三棱柱，，点，分别是，的中点，若，则与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一下·江苏连云港·期末）在正方体中，为的中点，则与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一下·河南郑州·期末）如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，求直线与直线所成角的余弦值（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2026高二下·浙江·学业考试）如图，在直三棱柱中，，，分别是，的中点．若，则直线与所成角的余弦值为____________． ◆题型5 直线与平面所成的角 ( 解题贴士 ： 向量法求直线与平面所成角的步骤 （ 1 ） 建立空间直角坐标系 ； （ 2 ） 求直线的方向向量 ； （ 3 ） 求平面的法向量 n ； （ 4 ） 设线面角为 θ ， 则 sin θ ＝ . ) 【例5】（2026高三·全国·专题练习）如图，在长方体中，，，则与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·广东东莞·期末）如图，在正方体中，点是棱的中点，则与平面所成角的正弦值_____. 【变式2】（25-26高二下·贵州贵阳·期末）如图，已知三棱锥与都是边长为2的等边三角形，是中点. (1)证明:平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【变式3】（25-26高二下·四川自贡·期末）如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为2的正方形，为中点，且． (1)求证：平面； (2)已知为线段中点，求直线与平面所成角的余弦值． ◆题型6 两个平面的夹角 ( 解题贴士 ： 向量法求两平面夹角的步骤 （ 1 ） 建立适当的坐标系 ， 写出相应点的坐标 ； （ 2 ） 求出两个平面的法向量 n 1 ， n 2 ； （ 3 ） 设两平面的夹角为 θ ， 则 cos θ ＝｜ cos ＜ n 1 ， n 2 ＞｜. ) 【例6】（25-26高二下·江苏泰州·期中）设正方形与正方形的边长都是1，若对角线与所成角的余弦值为，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2026高三·全国·专题练习）已知直三棱柱中，，，，侧棱，侧面的两条对角线交于点，则平面与平面所成锐二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·上海·期末）如图所示，四棱锥的底面是边长为3的正方形，平面且，Q是棱上一点.若，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为_____.    【变式3】（25-26高二下·重庆渝中·期末）如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形， ,是的中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值. 综合攻坚·知能拔高 1．（25-26高二下·河南洛阳·期末）已知经过点的平面的法向量为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·江苏南京·期中）若向量是直线的方向向量，向量是平面的法向量，则直线与平面所成角的正弦值为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·江苏苏州·期中）直三棱柱，，分别是的中点，，则与所成的角为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·辽宁·开学考试）如图，在直三棱柱中，，且为的中点，，则的长为（   ） A． B． C． D．5 5．（25-26高二上·河南郑州·期末）在空间直角坐标系中，已知，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·福建宁德·期末）在三棱台中，，，且，若平面，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·安徽蚌埠·二模）已知正方体中，是的中点，则平面与平面的夹角余弦值是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·湖南岳阳·阶段检测）如图，在棱长为1的正方体中，分别为，的中点，为线段上的点，且，过的平面交于点，则直线到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 9．（多选）（25-26高二上·山东青岛·阶段检测）下列说法中，正确的有（    ） A．若平面的法向量，则四点共面 B．若平面的法向量，则与平面所成的角为 C．若平面的法向量，则点到平面的距离是2 D．若，且是钝角，则实数的取值范围是 10．（多选）（25-26高二下·四川自贡·阶段检测）在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱BC的中点，则下列说法正确的是（   ） A． B．异面直线EF与所成角余弦值为 C．三棱锥的体积为 D．直线EF与平面ABCD所成角正弦值为 11．（多选）（25-26高一下·广东珠海·阶段检测）已知长方体，，则（） A． B．直线与所成角的余弦值为 C．直线与平面所成角的余弦值为 D．直线与平面所成角的余弦值为 12．（多选）（25-26高二下·河南·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则（    ） A．异面直线与所成角的余弦值为 B．直线与平面所成角的余弦值为 C．点到平面的距离为 D．平面与平面夹角的余弦值为 13．（25-26高二下·甘肃酒泉·期中）已知平面，的法向量分别为，，则平面和所成角的余弦值为______． 14．（25-26高一下·河北保定·期中）如图，在棱长为2的正方体中，E为中点，则点C到平面的距离为______ 15．（25-26高二下·河北石家庄·开学考试）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面且，，点是线段上一点，当平面与平面的夹角为时，______，这时，点到平面的距离为______. 16．如图，在以顶点的五面体中，四边形是矩形，平面平面，． (1)证明：平面； (2)已知二面角是，，点到平面的距离为．求； 17．（25-26高二下·甘肃白银·期末）如图，在四棱锥中，分别是的中点，底面是边长为的正方形． (1)证明：平面平面． (2)若，底面，求平面与平面之间的距离． 18．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）在如图所示的五面体中，面是边长为2的正方形，面，，且为的中点，为中点. (1)求证：平面； (2)求平面NMF与平面DMF所成角的余弦值； 19．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）如图，是以为直径的圆上异于，的点，平面平面，，，，分别是，的中点，记平面与平面的交线为直线. (1)证明：平面； (2)直线l上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 20.（25-26高二下·海南·期末）如图，在三棱柱中，侧面是正方形，平面．    (1)证明：平面平面； (2)若，，求直线与平面所成角的正弦值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $