专题01 空间向量及其运算（专项训练）数学人教B版高二选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间向量从概念到应用的全链条训练，以11类题型系统覆盖核心知识点，通过分层例题构建从基础到综合的能力提升路径。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考题型·精准突破|11类题型，每类3-7题|覆盖概念辨析、加减运算、共线共面定理等基础题型，突出数量积、坐标运算等高频考点，包含模、夹角、投影等性质应用及最值难点|从空间向量概念生成，到线性运算、数量积等基本运算，再到共线共面判定、坐标表示等性质应用，形成“概念-运算-性质-应用”的逻辑链条| |综合攻坚·知能拔高|8道综合题|结合平行六面体、正四面体等复杂几何体，考查多知识点综合应用，涉及动态问题及外接球等拓展内容|在基础题型上提升复杂度，强化空间向量在立体几何中的工具性，培养空间观念与运算推理能力|

专题01 空间向量及其运算 常考题型·精准突破 题型01 空间向量的有关概念 题型02 空间向量的加减运算 题型03 空间向量共线、共面定理（重） 题型04 求空间向量数量积（高频） 题型05 空间向量基本定理 题型06 空间向量坐标运算 题型07 空间向量的模（重） 题型08 空间向量平行与垂直的坐标表示 题型09 空间向量的夹角（重） 题型10 空间向量的投影向量 题型11 空间向量运算中的最值问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 题型01 空间向量的有关概念 1．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．零向量与任意向量不平行 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．任意两个空间向量都共面 D．将空间向量中所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆 2．（25-26高二上·广东江门·阶段检测）空间向量中，下列结论错误的是（   ） A． B． C．单位向量的长度为1 D．零向量的方向任意 3．（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）下列说法错误的是（    ） A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B．是向量的必要不充分条件 C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等 4．（25-26高二上·重庆·期中）关于空间向量，下列四个结论正确的是（    ） A．共线的单位向量都相等 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．相反向量指方向相反的两个向量 D．任意两个空间向量一定共面 5．（25-26高二上·全国·期末）下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ） A．将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆 B．若空间向量，满足，则或； C．若空间向量满足，则； D．若空间向量满足，，则． 题型02 空间向量的加减运算 1．（2026高二·全国·专题练习）如图，已知空间四边形ABCD的对角线为AC，BD，设G是CD的中点，则等于（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·江苏·期中）如图，在空间四边形中，，连接，则（    ）    A． B． C． D． 3．（25-26高二下·江苏南京·期中）在四面体中， 点在上，且，点是中点，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·江苏常州·期中）在四面体中，设，，，点M为AB的中点，，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·江苏徐州·阶段检测）在四面体中，为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）如图，在平行六面体中，（   ） A． B． C． D． 题型03 空间向量共线、共面定理 1．设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知P、A、B、C为空间中的四点且P,B,C三点不共线，且，则“”是“A、B、C三点共线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高一下·黑龙江大庆·阶段检测）已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·重庆沙坪坝·期中）已知四棱柱是平行六面体，空间中一点平面，实数满足，则实数（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·江苏徐州·阶段检测）已知，，，且不共面，共面，则（    ） A． B． C．0 D．1 6．（25-26高二上·山东淄博·阶段检测）向量且共面，则实数的值为（   ） A． B． C．7 D． 题型04 求空间向量数量积 1．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）在正三棱柱中，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 2．（25-26高二上·安徽芜湖·期末）如图，已知正四面体的棱长为3，点满足，为的中点，则（   ）    A． B． C． D． 3．（25-26高二上·安徽亳州·期末）在三棱锥中，，且，且，若二面角的大小为，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．（25-26高二上·河北唐山·期末）三棱锥的所有棱长都为分别是的中点，则（　　） A．-1 B．1 C．-2 D．2 5．（25-26高二上·湖南衡阳·期末）如图，正四面体的棱长为4，平面，为垂足，，延长交于点，则（   ） A．12 B． C．16 D． 题型05 空间向量基本定理 1．（25-26高二下·河南许昌·期末）已知是四面体的棱的中点，点在线段上，且，为线段的中点，若，则（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·江苏南京·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为线段上的点，若，且，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 3．（25-26高二上·山东济宁·期末）在平行六面体中，与的交点为．设，则下列向量中，与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·浙江·期末）已知空间向量为一组基底，则以下空间向量不能构成基底的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·贵州毕节·期末）已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标是（    ） A． B． C． D． 题型06 空间向量坐标运算 1．（25-26高二下·甘肃酒泉·期末）已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·福建漳州·期中）在空间直角坐标系中，点，，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）已知向量，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 4．（25-26高二下·江苏泰州·阶段检测）已知，，则（   ） A．21 B．8 C．68 D．-3 5．（25-26高二上·安徽安庆·期末）已知向量，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．不能构成空间向量一个基底 题型07 空间向量的模 1．（25-26高二下·河南平顶山·期末）已知空间直角坐标系中的满足，，则（   ） A． B．3 C． D．5 2．（25-26高二下·安徽·期中）在长方体中，，，，向量，则（   ） A． B． C． D． 3．（2026·山东泰安·二模）已知三棱柱所有棱长均为为的中点，，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·湖南怀化·期末）如图，在平行六面体中，，，则的长为（   ） A． B．2 C． D．6 5．在边长为 2 的正方体中，分别为的中点， 分别为线段 上的动点 (不包括端点) 满足 ，则线段的长度最小值为（    ） A． B．2 C． D． 题型08 空间向量平行与垂直的坐标表示 1．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）已知空间向量，，，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）设，，若，则k的值是（   ） A． B． C．3 D． 3．（25-26高一下·浙江宁波·期末）已知向量，，若，则（     ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 4．（25-26高二下·广西河池·期末）在空间直角坐标系中，，，，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 5．（2026高三·全国·专题练习）如图，在长方体中，，，，为的中点，为的中点．则与的位置关系为（   ） A．平行 B．异面 C．垂直 D．以上都不对 题型09 空间向量的夹角 1．（25-26高二下·江苏连云港·期中）已知向量，向量，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·湖南岳阳·期中）如图，在正方体中，点P满足，则向量与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·广东湛江·期末）已知向量，，且向量与夹角的余弦值为，则的值为（   ） A．-5 B． C． D．或 4．（25-26高二上·天津西青·期末）如图，在正方体中，是的中点，则与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 5．已知空间向量，，若与的夹角是锐角，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·贵州黔南·期末）在正方体中，分别是的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）已知在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面为PC上一动点，，若为钝角，则实数的值可能为（   ） A． B． C．1 D．2 题型10 空间向量的投影向量 1．（25-26高二下·江苏宿迁·期末）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·广东中山·阶段检测）已知，在的投影向量为，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·四川·阶段检测）在正方体中，向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·重庆九龙坡·期中）如图，在四棱锥中，平面，，若点为棱上靠近点的三等分点，则在上的投影向量为（    ）    A． B． C． D． 5．（25-26高二下·江苏南京·期中）已知空间向量，，若在上的投影向量是，则的值为__________． 题型11 空间向量运算中的最值问题 1．（2026·陕西西安·模拟预测）已知四点共面，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 2．（25-26高一下·浙江宁波·期末）在空间直角坐标系中，，，点满足，则点到轴距离的最大值为（     ） A． B．4 C． D． 3．（25-26高二上·湖北十堰·期末）如图，在棱长为的正方体中，为的中点，点在底面上（含边界）移动，且满足，则线段长度的最大值等于（    ）    A． B． C． D． 4．（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知正四面体，棱长，为空间中一点，，求的最大值是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 5．（25-26高二上·辽宁·阶段检测）如图，正八面体棱长为4，空间动点满足，则的最大值为________.      综合攻坚·知能拔高 1．（25-26高二下·湖南长沙·期末）如图，在平行六面体中，M为与的交点，若，则下面向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·福建漳州·期中）在平行六面体中，，，，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·福建龙岩·期末）在长方体中，，，，，，．过M，N，P三点的平面与直线相交于点Q，则等于（   ） A． B． C． D． 4．（多选）（25-26高二下·江苏常州·期中）如图，在棱长均为的平行六面体中，底面是正方形，且，设，，，下列选项正确的是（    ）    A． B．长为 C．异面直线与所成角的余弦值为 D．三棱锥的外接球被平面截得的截面面积为 5．（多选）（25-26高二下·广东潮州·期末）如图，在直三棱柱中，，，则（     ） A．向量在向量上的投影向量为 B．向量在向量上的投影向量为 C． D．与的夹角为锐角 6．（多选）（25-26高二下·云南曲靖·期末）在空间直角坐标系中，，，，则（    ） A． B．点到平面的距离为 C． D．直线与平面所成角的正弦值为 7．（25-26高二下·内蒙古赤峰·期末）如图，在棱长为9的正四面体中，是的重心，是棱的中点，点在线段上，且有，则线段的长度为_______________. 8．（25-26高二下·河南信阳·期末）在边长为4的菱形中，，沿对角线将折起得到三棱锥，若，则三棱锥外接球的表面积为_________． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 空间向量及其运算 常考题型·精准突破 题型01 空间向量的有关概念 题型02 空间向量的加减运算 题型03 空间向量共线、共面定理（重） 题型04 求空间向量数量积（高频） 题型05 空间向量基本定理 题型06 空间向量坐标运算 题型07 空间向量的模（重） 题型08 空间向量平行与垂直的坐标表示 题型09 空间向量的夹角（重） 题型10 空间向量的投影向量 题型11 空间向量运算中的最值问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 题型01 空间向量的有关概念 1．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．零向量与任意向量不平行 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．任意两个空间向量都共面 D．将空间向量中所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆 【答案】C 【分析】根据零向量定义及向量平行可判断A选项；利用任意一个非零向量与其相反向量可判断B选项；利用向量平移及相交直线可确定一个平面可判断C选项；利用单位向量的概念可判断D选项. 【详解】对于A选项，零向量与任意向量平行，A错； 对于B选项，任意一个非零向量与其相反向量不相等，但它们的模相等，B错； 对于C选项，任意两个空间向量，通过平移可以将起点重合，这两个向量所在直线能确定一个平面，因此任意两个空间向量都共面，C对； 对于D选项，将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个单位球面，D错. 2．（25-26高二上·广东江门·阶段检测）空间向量中，下列结论错误的是（   ） A． B． C．单位向量的长度为1 D．零向量的方向任意 【答案】A 【分析】根据向量运算、单位向量、零向量等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，，向量和为零向量，A选项错误. B选项，，B选项正确. C选项，单位向量的长度为1，C选项正确. D选项，零向量的方向任意，D选项正确. 故选：A 3．（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）下列说法错误的是（    ） A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B．是向量的必要不充分条件 C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等 【答案】D 【分析】根据向量的定义（大小、方向）、零向量性质、共线向量的方向特征，逐一判断各选项的正确性. 【详解】选项A：向量是兼具大小与方向的量，本身无法比较大小，仅模可以比较，此说法正确. 选项B：需满足模相等且方向相同，故是的必要不充分条件，此说法正确. 选项C：零向量的定义为模等于0的向量，不存在其他模为0的向量，此说法正确. 选项D：共线的单位向量方向可能相同或相反，方向相反时向量不相等，此说法错误. 故选：D. 4．（25-26高二上·重庆·期中）关于空间向量，下列四个结论正确的是（    ） A．共线的单位向量都相等 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．相反向量指方向相反的两个向量 D．任意两个空间向量一定共面 【答案】D 【分析】根据空间向量的相关定义即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，共线的单位向量方向可能相同也可能相反，即共线的单位向量可能是相等的向量也可能是相反向量，故A不正确； 对于B，不相等的两个空间向量的模可能相等，比如相反向量，故B错误； 对于C，相反向量指方向相反，模相等的两个向量，故C错误； 对于D，任意两个空间向量一定共面，故D正确. 故选：D 5．（25-26高二上·全国·期末）下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ） A．将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆 B．若空间向量，满足，则或； C．若空间向量满足，则； D．若空间向量满足，，则． 【答案】C 【分析】根据单位向量的性质可判断A的正误，根据相等向量的定义可判断BC的正误，根据零向量的性质可判断D的正误. 【详解】对于A，根据空间向量的定义，空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点， 则它们的终点构成一个球面，所以A错误； 对于B，若空间向量，满足， 但由于它们的方向不一定相同或相反，故不一定相等或相反，所以B错误； 对于C，根据向量相等的定义可得，所以C正确； 对于D，向量的平行不具有传递性，比如当为零向量时，零向量与任何向量都平行， 则不一定平行，所以D错误. 故选：C. 题型02 空间向量的加减运算 1．（2026高二·全国·专题练习）如图，已知空间四边形ABCD的对角线为AC，BD，设G是CD的中点，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】G是的中点，所以. 2．（25-26高二下·江苏·期中）如图，在空间四边形中，，连接，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在空间四边形中，， 则. 3．（25-26高二下·江苏南京·期中）在四面体中， 点在上，且，点是中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，由得， ， 代入得． 4．（25-26高二下·江苏常州·期中）在四面体中，设，，，点M为AB的中点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，又点M为AB的中点，所以. 所以 . 5．（25-26高二下·江苏徐州·阶段检测）在四面体中，为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解. 【详解】在四面体中，为棱的中点， 则， 则. 6．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）如图，在平行六面体中，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 题型03 空间向量共线、共面定理 1．设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据题意，得到，根据三点共线得到，再利用向量相等的条件求解参数即可. 【详解】因为，，， 所以， 因为三点共线，所以存在唯一的实数使得， 所以，解得， 所以. 故选：C. 2．已知P、A、B、C为空间中的四点且P,B,C三点不共线，且，则“”是“A、B、C三点共线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据两者之间的推出关系可得条件关系. 【详解】若，则，故， 所以，而共起点，故三点共线， 若三点共线，则存在实数，使得， 故，故， 因为不共线，则不共线，故， 故， 故“”是“A、B、C三点共线”的充分必要条件， 故选：C. 3．（25-26高一下·黑龙江大庆·阶段检测）已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和，再逐个验证选项. 【详解】若在平面内，则存在实数，使得,即， 整理得：，令，则， 即点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和； 对于 A：系数和，不满足共面条件， 对于B：系数和，不满足共面条件， 对于 C：系数和，满足共面条件， 对于 D：系数和，不满足共面条件. 4．（25-26高一下·重庆沙坪坝·期中）已知四棱柱是平行六面体，空间中一点平面，实数满足，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为四点共面， 所以，解得. 5．（25-26高二下·江苏徐州·阶段检测）已知，，，且不共面，共面，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】根据空间向量基本定理的推论求解. 【详解】由共面，且不共面， 存在实数使得， 即， 则，解得. 6．（25-26高二上·山东淄博·阶段检测）向量且共面，则实数的值为（   ） A． B． C．7 D． 【答案】C 【分析】根据向量共面得到，代入数据得到方程组，求解即可. 【详解】因为共面，所以存在唯一，使得， 又， 所以， 所以，解得，所以实数的值为7. 故选：C. 题型04 求空间向量数量积 1．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）在正三棱柱中，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】借助空间向量线性运算与数量积公式，结合正三棱柱性质计算即可得. 【详解】 . 2．（25-26高二上·安徽芜湖·期末）如图，已知正四面体的棱长为3，点满足，为的中点，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，，根据空间向量的线性运算求得和，结合数量积运算求解即可. 【详解】设，，． 由，得，由为的中点， 得， 所以 ， 故选：B. 3．（25-26高二上·安徽亳州·期末）在三棱锥中，，且，且，若二面角的大小为，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据几何体特征以及二面角定义，利用向量数量积的运算律计算可得结果. 【详解】设的中点为，连接，如下图所示： 因为且，所以， 又因为，二面角的大小为，所以； 因此 . 故选：B 4．（25-26高二上·河北唐山·期末）三棱锥的所有棱长都为分别是的中点，则（　　） A．-1 B．1 C．-2 D．2 【答案】A 【分析】三棱锥中，由题意可得任意两条棱的夹角为60°，又分别是的中点，再根据数量积的定义求解． 【详解】 分别是的中点，且，即， 又三棱锥的所有棱长都为，任意两条棱的夹角为60°， ， 故选：A. 5．（25-26高二上·湖南衡阳·期末）如图，正四面体的棱长为4，平面，为垂足，，延长交于点，则（   ） A．12 B． C．16 D． 【答案】B 【分析】由平面可得，再结合空间向量的线性运算、数量积的定义及运算律求解即可. 【详解】由平面，平面，得， 由题可知， . 故选：B 题型05 空间向量基本定理 1．（25-26高二下·河南许昌·期末）已知是四面体的棱的中点，点在线段上，且，为线段的中点，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，， 又，则，所以. 2．（25-26高二下·江苏南京·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为线段上的点，若，且，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的线性运算及空间向量基本定理即可求解. 【详解】由题意可得，，设，， 且， ， 因为， 所以 所以. 3．（25-26高二上·山东济宁·期末）在平行六面体中，与的交点为．设，则下列向量中，与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由空间向量的线性运算可得结果. 【详解】如图所示： . 故选：C. 4．（25-26高二上·浙江·期末）已知空间向量为一组基底，则以下空间向量不能构成基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用空间向量的共面定理，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，设存在实数，使得，可得， 所以，方程组无解，所以不共面，可以作为空间基底，所以A不符合题意； 对于B，设存在实数，使得，可得， 所以，解得，所以共面，不能作为空间基底，所以B符合题意； 对于C，向量，不存在实数使得， 所以不共面，可以作为空间基底，所以C不符合题意； 对于D，设存在实数，使得，可得， 所以，方程组无解，所以不共面，可以作为空间基底，所以D不符合题意. 故选：B. 5．（25-26高二上·贵州毕节·期末）已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得，而以为基底，则设，然后根据空间向量基本定理列出关于的方程组，可求得答案. 【详解】因为向量以为基底时的坐标为， 所以， 设， 由空间向量基本定理得，解得， 所以以为基底时的坐标为. 故选：B 题型06 空间向量坐标运算 1．（25-26高二下·甘肃酒泉·期末）已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设点的坐标为，再根据向量相等坐标计算求解. 【详解】平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，设顶点的坐标为， 因为，所以，所以， 所以的坐标为. 2．（25-26高二下·福建漳州·期中）在空间直角坐标系中，点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，， 所以. 3．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）已知向量，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据数量积公式，代入求解，即可得答案. 【详解】由题意，所以. 4．（25-26高二下·江苏泰州·阶段检测）已知，，则（   ） A．21 B．8 C．68 D．-3 【答案】B 【详解】根据题意，， 则. 5．（25-26高二上·安徽安庆·期末）已知向量，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．不能构成空间向量一个基底 【答案】B 【分析】用向量加法的坐标运算判断A，用向量模的坐标运算判断B，用向量数量积的坐标运算判断C，由，可判断D. 【详解】向量， 对于A：，故A正确； 对于B：，故B不正确； 对于C：，故C正确； 对于D：，故是共面向量， 不能构成空间向量的一组基底，故D正确． 故选：B． 题型07 空间向量的模 1．（25-26高二下·河南平顶山·期末）已知空间直角坐标系中的满足，，则（   ） A． B．3 C． D．5 【答案】C 【详解】由向量加法得， 所以. 2．（25-26高二下·安徽·期中）在长方体中，，，，向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，求出坐标应用线性运算得出坐标，再应用模长公式计算求解. 【详解】 以D为坐标原点，以直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 所以， 所以， 所以， 所以． 3．（2026·山东泰安·二模）已知三棱柱所有棱长均为为的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设可得，然后以作为基底表示，最后由向量模长公式可得答案. 【详解】因三棱柱所有棱长均为1，， 则， ， 则 ， 又，， 则. 4．（25-26高二上·湖南怀化·期末）如图，在平行六面体中，，，则的长为（   ） A． B．2 C． D．6 【答案】A 【分析】先应用空间向量的加法，再结合空间向量的数量积公式及运算律计算求解模长. 【详解】依题意，由， 又因为， 得， 所以． 故选：A. 5．在边长为 2 的正方体中，分别为的中点， 分别为线段 上的动点 (不包括端点) 满足 ，则线段的长度最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】利用坐标法表示垂直关系，再代入距离公式，即可求解. 【详解】如图建立空间直角坐标系，，，设，， ，， 因为，所以，即， 所以， 当时，线段的最小值为. 故选：A 题型08 空间向量平行与垂直的坐标表示 1．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）已知空间向量，，，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】利用空间向量的坐标运算一一判定即可. 【详解】由题意可知，，. 2．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）设，，若，则k的值是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】由空间向量平行坐标表示可得答案. 【详解】由题可得. 因，则.故选：B 3．（25-26高一下·浙江宁波·期末）已知向量，，若，则（     ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 【答案】C 【分析】利用向量垂直的性质得到其数量积为0，从而得解. 【详解】由 可得：， 展开得： ①， 已知 ， 则，，， 代入①可得： ，解得：. 4．（25-26高二下·广西河池·期末）在空间直角坐标系中，，，，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】表示出，，后，利用空间向量坐标运算及垂直性质计算即可得. 【详解】，， ，， 由题意可得，解得. 5．（2026高三·全国·专题练习）如图，在长方体中，，，，为的中点，为的中点．则与的位置关系为（   ） A．平行 B．异面 C．垂直 D．以上都不对 【答案】C 【详解】如图建立空间直角坐标系：以为原点，分别以为轴， 根据已知边长，，，写出各点坐标： ，是中点，得； 是中点，得, 求向量： , 计算向量的数量积可得：， 由数量积为0可判断两向量垂直，即与垂直. 题型09 空间向量的夹角 1．（25-26高二下·江苏连云港·期中）已知向量，向量，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，，得， 又均不为，所以与的夹角为． 2．（25-26高一下·湖南岳阳·期中）如图，在正方体中，点P满足，则向量与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，以D为原点，分别以，，所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为3，则，，，， 所以，， 故， 所以向量与夹角的余弦值为.   3．（25-26高二上·广东湛江·期末）已知向量，，且向量与夹角的余弦值为，则的值为（   ） A．-5 B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据模长坐标公式及空间向量数量积坐标公式计算夹角余弦值求解参数. 【详解】因为，， 所以，，， 又向量与夹角的余弦值为， 所以，显然，解得. 故选:B. 4．（25-26高二上·天津西青·期末）如图，在正方体中，是的中点，则与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，可求得与夹角的余弦值. 【详解】设正方体的棱长为1， 如图，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以，， 所以与所成角的余弦值是. 故选：C. 5．已知空间向量，，若与的夹角是锐角，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用夹角是锐角的向量关系计算即可. 【详解】因为空间向量，， 若与的夹角是锐角，则且不成立， 所以或. 故选：C. 6．（25-26高二上·贵州黔南·期末）在正方体中，分别是的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求异面直线所成角的余弦值. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系．    设正方体的棱长为1．由分别是的中点， 可得， 所以． 由向量夹角公式，得， 因此直线与所成角的余弦值为． 故选：B 7．（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）已知在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面为PC上一动点，，若为钝角，则实数的值可能为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】以为原点建系，根据得出即可判断. 【详解】以为原点，所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， 因为，所以，则， 则， 故， 因为为钝角，所以，即， 又一元二次函数，，所以恒成立， 故，得， 故只有B选项满足题意. 故选：B    题型10 空间向量的投影向量 1．（25-26高二下·江苏宿迁·期末）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据投影向量的计算方法求解即可. 【详解】由题意得，， 所以向量在向量上的投影向量是. 2．（25-26高二上·广东中山·阶段检测）已知，在的投影向量为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可得：，因为在的投影向量为， 所以，即：，且， 代入，，化简得：，解得：， 所以. 3．（25-26高二上·四川·阶段检测）在正方体中，向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得正三角形，过点作，垂足为，从而得到向量在上的投影向量为. 【详解】因为在正方体中，, 所以正三角形，过点作，垂足为. 则，所以向量在上的投影向量为. 故选：B 4．（25-26高二上·重庆九龙坡·期中）如图，在四棱锥中，平面，，若点为棱上靠近点的三等分点，则在上的投影向量为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出在上的投影向量，设，求出投影向量的长度，结合投影向量与的关系可得答案. 【详解】过点分别作垂直，垂足分别为， 因为平面，平面，所以， 所以在上的投影向量为，又，所以在上的投影向量为， 因为，所以， 设，则，所以， 又，点为棱上靠近点的三等分点，所以， 所以，所以. 故选：D    5．（25-26高二下·江苏南京·期中）已知空间向量，，若在上的投影向量是，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据向量投影向量的计算公式，结合已知条件列出关于的方程，求解的值. 【详解】，， ， ， 在上的投影向量为， 所以，. 题型11 空间向量运算中的最值问题 1．（2026·陕西西安·模拟预测）已知四点共面，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】利用四点共面可得，由此解得，再利用基本不等式即可求解． 【详解】由题可知，存在实数，使得， 又，，，所以， 解得，，所以， 当且仅当时取等号． 2．（25-26高一下·浙江宁波·期末）在空间直角坐标系中，，，点满足，则点到轴距离的最大值为（     ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】先分析点的轨迹，再求到轴距离的最大值. 【详解】设，则，， 由可得，， 整理得：. 所以点轨迹是以为球心，以为半径的球面. 因为点到轴的距离为， 所以点到轴距离的最大值为. 3．（25-26高二上·湖北十堰·期末）如图，在棱长为的正方体中，为的中点，点在底面上（含边界）移动，且满足，则线段长度的最大值等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，由已知条件得出，可得出，求出的取值范围，利用二次函数的基本性质可求出的最大值，即为所求. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    则、、，设点， ，， 因为，所以，所以， 由可得， ， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 且，，故线段长度的最大值为. 故选：A. 4．（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知正四面体，棱长，为空间中一点，，求的最大值是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【详解】记的中点为，因为正四面体，棱长， 所以，所以， 又因为，所以是以为球心，为半径的球面上的点，所以 所以， 所以， 所以的最大值是. 5．（25-26高二上·辽宁·阶段检测）如图，正八面体棱长为4，空间动点满足，则的最大值为________.      【答案】8 【分析】设的中点为，由题设可得，进而得到点落在以为球心，以1为半径的球上，再根据空间向量的数量积运算可得，进而求解即可. 【详解】设的中点为，由，则， 所以点落在以为球心，以1为半径的球上， 在正八面体中，， 则 ， 而，则， 所以的最大值为8. 故答案为：8.    综合攻坚·知能拔高 1．（25-26高二下·湖南长沙·期末）如图，在平行六面体中，M为与的交点，若，则下面向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由图可得，. 2．（25-26高二下·福建漳州·期中）在平行六面体中，，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的线性运算可知,，通过数量积求出，进而求出. 【详解】利用空间向量的线性运算可知， 所以， 即, 由于, 所以，， 所以，故 ，即， 故平行四边形为矩形， 3．（25-26高二下·福建龙岩·期末）在长方体中，，，，，，．过M，N，P三点的平面与直线相交于点Q，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设点坐标，利用可得点Q坐标，从而可以计算的值. 【详解】如图，以为原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. . 又因为，，， 所以 设，则，，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，所以. 因为点在平面上，所以， 即，解得. 所以. 4．（多选）（25-26高二下·江苏常州·期中）如图，在棱长均为的平行六面体中，底面是正方形，且，设，，，下列选项正确的是（    ）    A． B．长为 C．异面直线与所成角的余弦值为 D．三棱锥的外接球被平面截得的截面面积为 【答案】ACD 【分析】A，通过向量表示即可. B，在A的基础上利用数量积求模. C，利用数量积求夹角余弦值. D，通过距离确定球心位置和半径后，通过等体积法求出截面半径以及面积. 【详解】选项A，，所以，正确. 选项B，， 所以，错误. 选项C，，且， 所以，正确. 选项D，因为，，所以为等腰直角三角形.    取中点，因为，所以该外接球是以为球心，. 对于锥体的体积， 因为投影落在上，所以， 所以到面的距离. 因为， 所以，解得. 所以截面半径， 所以，正确. 5．（多选）（25-26高二下·广东潮州·期末）如图，在直三棱柱中，，，则（     ） A．向量在向量上的投影向量为 B．向量在向量上的投影向量为 C． D．与的夹角为锐角 【答案】BCD 【分析】由已知可得可作为一组基底，得到，再利用投影向量的计算公式，向量夹角的计算公式即可. 【详解】在直三棱柱中，，所以两两垂直，可作为一组基底. 因为，所以. 所以 . 对于选项A，向量在向量上的投影向量为，故A错误； 对于选项B，向量在向量上的投影向量为，故B正确； 对于选项C，，故C正确； 对于选项D，， 所以.又因为，所以，故D正确. 6．（多选）（25-26高二下·云南曲靖·期末）在空间直角坐标系中，，，，则（    ） A． B．点到平面的距离为 C． D．直线与平面所成角的正弦值为 【答案】ABD 【分析】根据空间向量的数量积、点到平面的距离公式、线面角、空间向量的模的公式逐一判断计算即可. 【详解】因为在空间直角坐标系中，，，， 所以. 所以，所以A正确； 因为，设平面的一个法向量坐标为. 所以，即，令，则. 所以，因为， 所以直线与平面所成角的正弦值为，D正确. 所以点到平面的距离为，所以B正确. 因为， 所以，所以，C错误. 7．（25-26高二下·内蒙古赤峰·期末）如图，在棱长为9的正四面体中，是的重心，是棱的中点，点在线段上，且有，则线段的长度为_______________. 【答案】 【分析】选取作为空间向量的一组基底，利用重心和线段比例关系将用基底表示，再通过数量积运算求模长. 【详解】设， 因为是棱长为的正四面体， 所以，且两两夹角为， 则，, 因为是的重心，所以， 因为是棱的中点，所以， 所以, 因为点在线段上，且，所以， 则， 所以 ， 所以，即线段的长度为. 8．（25-26高二下·河南信阳·期末）在边长为4的菱形中，，沿对角线将折起得到三棱锥，若，则三棱锥外接球的表面积为_________． 【答案】 【分析】证明是正四面体，然后把它补成一个正方体，利用正方体的外接球就是正四面体的外接球求解. 【详解】菱形中，，则都是等边三角形， 取中点，连接，则， 又，则，因为平面， 所以平面，而平面，所以， 所以，从而，所以是正四面体， 以正四面体的六条棱作为面对角线，把它补成一个正方体，如图， 设正方体的棱长为，则，，正方体的对角线长为， 易知正方体的外接球就是正四面体的外接球，球半径为， 所以表面积为. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 空间向量及其运算 常考题型·精准突破 题型01 空间向量的有关概念 1． 【答案】C 【分析】根据零向量定义及向量平行可判断A选项；利用任意一个非零向量与其相反向量可判断B选项；利用向量平移及相交直线可确定一个平面可判断C选项；利用单位向量的概念可判断D选项. 【详解】对于A选项，零向量与任意向量平行，A错； 对于B选项，任意一个非零向量与其相反向量不相等，但它们的模相等，B错； 对于C选项，任意两个空间向量，通过平移可以将起点重合，这两个向量所在直线能确定一个平面，因此任意两个空间向量都共面，C对； 对于D选项，将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个单位球面，D错. 2． 【答案】A 【分析】根据向量运算、单位向量、零向量等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，，向量和为零向量，A选项错误. B选项，，B选项正确. C选项，单位向量的长度为1，C选项正确. D选项，零向量的方向任意，D选项正确. 故选：A 3． 【答案】D 【分析】根据向量的定义（大小、方向）、零向量性质、共线向量的方向特征，逐一判断各选项的正确性. 【详解】选项A：向量是兼具大小与方向的量，本身无法比较大小，仅模可以比较，此说法正确. 选项B：需满足模相等且方向相同，故是的必要不充分条件，此说法正确. 选项C：零向量的定义为模等于0的向量，不存在其他模为0的向量，此说法正确. 选项D：共线的单位向量方向可能相同或相反，方向相反时向量不相等，此说法错误. 故选：D. 4． 【答案】D 【分析】根据空间向量的相关定义即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，共线的单位向量方向可能相同也可能相反，即共线的单位向量可能是相等的向量也可能是相反向量，故A不正确； 对于B，不相等的两个空间向量的模可能相等，比如相反向量，故B错误； 对于C，相反向量指方向相反，模相等的两个向量，故C错误； 对于D，任意两个空间向量一定共面，故D正确. 故选：D 5． 【答案】C 【分析】根据单位向量的性质可判断A的正误，根据相等向量的定义可判断BC的正误，根据零向量的性质可判断D的正误. 【详解】对于A，根据空间向量的定义，空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点， 则它们的终点构成一个球面，所以A错误； 对于B，若空间向量，满足， 但由于它们的方向不一定相同或相反，故不一定相等或相反，所以B错误； 对于C，根据向量相等的定义可得，所以C正确； 对于D，向量的平行不具有传递性，比如当为零向量时，零向量与任何向量都平行， 则不一定平行，所以D错误. 故选：C. 题型02 空间向量的加减运算 1． 【答案】A 【详解】G是的中点，所以. 2． 【答案】D 【详解】在空间四边形中，， 则. 3． 【答案】B 【详解】，由得， ， 代入得． 4． 【答案】A 【详解】因为，所以，又点M为AB的中点，所以. 所以 . 5． 【答案】D 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解. 【详解】在四面体中，为棱的中点， 则， 则. 6． 【答案】A 【详解】. 题型03 空间向量共线、共面定理 1． 【答案】C 【分析】根据题意，得到，根据三点共线得到，再利用向量相等的条件求解参数即可. 【详解】因为，，， 所以， 因为三点共线，所以存在唯一的实数使得， 所以，解得， 所以. 故选：C. 2． 【答案】C 【分析】根据两者之间的推出关系可得条件关系. 【详解】若，则，故， 所以，而共起点，故三点共线， 若三点共线，则存在实数，使得， 故，故， 因为不共线，则不共线，故， 故， 故“”是“A、B、C三点共线”的充分必要条件， 故选：C. 3． 【答案】C 【分析】点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和，再逐个验证选项. 【详解】若在平面内，则存在实数，使得,即， 整理得：，令，则， 即点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和； 对于 A：系数和，不满足共面条件， 对于B：系数和，不满足共面条件， 对于 C：系数和，满足共面条件， 对于 D：系数和，不满足共面条件. 4． 【答案】A 【详解】因为四点共面， 所以，解得. 5． 【答案】A 【分析】根据空间向量基本定理的推论求解. 【详解】由共面，且不共面， 存在实数使得， 即， 则，解得. 6． 【答案】C 【分析】根据向量共面得到，代入数据得到方程组，求解即可. 【详解】因为共面，所以存在唯一，使得， 又， 所以， 所以，解得，所以实数的值为7. 故选：C. 题型04 求空间向量数量积 1． 【答案】A 【分析】借助空间向量线性运算与数量积公式，结合正三棱柱性质计算即可得. 【详解】 . 2． 【答案】B 【分析】设，，，根据空间向量的线性运算求得和，结合数量积运算求解即可. 【详解】设，，． 由，得，由为的中点， 得， 所以 ， 故选：B. 3． 【答案】B 【分析】根据几何体特征以及二面角定义，利用向量数量积的运算律计算可得结果. 【详解】设的中点为，连接，如下图所示： 因为且，所以， 又因为，二面角的大小为，所以； 因此 . 故选：B 4． 【答案】A 【分析】三棱锥中，由题意可得任意两条棱的夹角为60°，又分别是的中点，再根据数量积的定义求解． 【详解】 分别是的中点，且，即， 又三棱锥的所有棱长都为，任意两条棱的夹角为60°， ， 故选：A. 5． 【答案】B 【分析】由平面可得，再结合空间向量的线性运算、数量积的定义及运算律求解即可. 【详解】由平面，平面，得， 由题可知， . 故选：B 题型05 空间向量基本定理 1． 【答案】C 【详解】如图，， 又，则，所以. 2． 【答案】C 【分析】根据空间向量的线性运算及空间向量基本定理即可求解. 【详解】由题意可得，，设，， 且， ， 因为， 所以 所以. 3． 【答案】C 【分析】由空间向量的线性运算可得结果. 【详解】如图所示： . 故选：C. 4． 【答案】B 【分析】根据题意，利用空间向量的共面定理，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，设存在实数，使得，可得， 所以，方程组无解，所以不共面，可以作为空间基底，所以A不符合题意； 对于B，设存在实数，使得，可得， 所以，解得，所以共面，不能作为空间基底，所以B符合题意； 对于C，向量，不存在实数使得， 所以不共面，可以作为空间基底，所以C不符合题意； 对于D，设存在实数，使得，可得， 所以，方程组无解，所以不共面，可以作为空间基底，所以D不符合题意. 故选：B. 5． 【答案】B 【分析】根据题意得，而以为基底，则设，然后根据空间向量基本定理列出关于的方程组，可求得答案. 【详解】因为向量以为基底时的坐标为， 所以， 设， 由空间向量基本定理得，解得， 所以以为基底时的坐标为. 故选：B 题型06 空间向量坐标运算 1． 【答案】D 【分析】先设点的坐标为，再根据向量相等坐标计算求解. 【详解】平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，设顶点的坐标为， 因为，所以，所以， 所以的坐标为. 2． 【答案】A 【详解】因为，， 所以. 3． 【答案】C 【分析】根据数量积公式，代入求解，即可得答案. 【详解】由题意，所以. 4． 【答案】B 【详解】根据题意，， 则. 5． 【答案】B 【分析】用向量加法的坐标运算判断A，用向量模的坐标运算判断B，用向量数量积的坐标运算判断C，由，可判断D. 【详解】向量， 对于A：，故A正确； 对于B：，故B不正确； 对于C：，故C正确； 对于D：，故是共面向量， 不能构成空间向量的一组基底，故D正确． 故选：B． 题型07 空间向量的模 1． 【答案】C 【详解】由向量加法得， 所以. 2． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，求出坐标应用线性运算得出坐标，再应用模长公式计算求解. 【详解】 以D为坐标原点，以直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 所以， 所以， 所以， 所以． 3． 【答案】A 【分析】由题设可得，然后以作为基底表示，最后由向量模长公式可得答案. 【详解】因三棱柱所有棱长均为1，， 则， ， 则 ， 又，， 则. 4． 【答案】A 【分析】先应用空间向量的加法，再结合空间向量的数量积公式及运算律计算求解模长. 【详解】依题意，由， 又因为， 得， 所以． 故选：A. 5． 【答案】A 【分析】利用坐标法表示垂直关系，再代入距离公式，即可求解. 【详解】如图建立空间直角坐标系，，，设，， ，， 因为，所以，即， 所以， 当时，线段的最小值为. 故选：A 题型08 空间向量平行与垂直的坐标表示 1． 【答案】A 【分析】利用空间向量的坐标运算一一判定即可. 【详解】由题意可知，，. 2． 【答案】B 【分析】由空间向量平行坐标表示可得答案. 【详解】由题可得. 因，则.故选：B 3． 【答案】C 【分析】利用向量垂直的性质得到其数量积为0，从而得解. 【详解】由 可得：， 展开得： ①， 已知 ， 则，，， 代入①可得： ，解得：. 4． 【答案】A 【分析】表示出，，后，利用空间向量坐标运算及垂直性质计算即可得. 【详解】，， ，， 由题意可得，解得. 5． 【答案】C 【详解】如图建立空间直角坐标系：以为原点，分别以为轴， 根据已知边长，，，写出各点坐标： ，是中点，得； 是中点，得, 求向量： , 计算向量的数量积可得：， 由数量积为0可判断两向量垂直，即与垂直. 题型09 空间向量的夹角 1． 【答案】B 【详解】由，，得， 又均不为，所以与的夹角为． 2． 【答案】A 【详解】如图，以D为原点，分别以，，所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为3，则，，，， 所以，， 故， 所以向量与夹角的余弦值为.   3． 【答案】B 【分析】根据模长坐标公式及空间向量数量积坐标公式计算夹角余弦值求解参数. 【详解】因为，， 所以，，， 又向量与夹角的余弦值为， 所以，显然，解得. 故选:B. 4． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，可求得与夹角的余弦值. 【详解】设正方体的棱长为1， 如图，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以，， 所以与所成角的余弦值是. 故选：C. 5． 【答案】C 【分析】应用夹角是锐角的向量关系计算即可. 【详解】因为空间向量，， 若与的夹角是锐角，则且不成立， 所以或. 故选：C. 6． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求异面直线所成角的余弦值. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系．    设正方体的棱长为1．由分别是的中点， 可得， 所以． 由向量夹角公式，得， 因此直线与所成角的余弦值为． 故选：B 7． 【答案】B 【分析】以为原点建系，根据得出即可判断. 【详解】以为原点，所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， 因为，所以，则， 则， 故， 因为为钝角，所以，即， 又一元二次函数，，所以恒成立， 故，得， 故只有B选项满足题意. 故选：B    题型10 空间向量的投影向量 1． 【答案】C 【分析】根据投影向量的计算方法求解即可. 【详解】由题意得，， 所以向量在向量上的投影向量是. 2． 【答案】A 【详解】由题可得：，因为在的投影向量为， 所以，即：，且， 代入，，化简得：，解得：， 所以. 3． 【答案】B 【分析】由题可得正三角形，过点作，垂足为，从而得到向量在上的投影向量为. 【详解】因为在正方体中，, 所以正三角形，过点作，垂足为. 则，所以向量在上的投影向量为. 故选：B 4． 【答案】D 【分析】作出在上的投影向量，设，求出投影向量的长度，结合投影向量与的关系可得答案. 【详解】过点分别作垂直，垂足分别为， 因为平面，平面，所以， 所以在上的投影向量为，又，所以在上的投影向量为， 因为，所以， 设，则，所以， 又，点为棱上靠近点的三等分点，所以， 所以，所以. 故选：D    5． 【答案】 【分析】根据向量投影向量的计算公式，结合已知条件列出关于的方程，求解的值. 【详解】，， ， ， 在上的投影向量为， 所以，. 题型11 空间向量运算中的最值问题 1． 【答案】A 【分析】利用四点共面可得，由此解得，再利用基本不等式即可求解． 【详解】由题可知，存在实数，使得， 又，，，所以， 解得，，所以， 当且仅当时取等号． 2． 【答案】D 【分析】先分析点的轨迹，再求到轴距离的最大值. 【详解】设，则，， 由可得，， 整理得：. 所以点轨迹是以为球心，以为半径的球面. 因为点到轴的距离为， 所以点到轴距离的最大值为. 3． 【答案】A 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，由已知条件得出，可得出，求出的取值范围，利用二次函数的基本性质可求出的最大值，即为所求. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    则、、，设点， ，， 因为，所以，所以， 由可得， ， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 且，，故线段长度的最大值为. 故选：A. 4． 【答案】D 【详解】记的中点为，因为正四面体，棱长， 所以，所以， 又因为，所以是以为球心，为半径的球面上的点，所以 所以， 所以， 所以的最大值是. 5． 【答案】8 【分析】设的中点为，由题设可得，进而得到点落在以为球心，以1为半径的球上，再根据空间向量的数量积运算可得，进而求解即可. 【详解】设的中点为，由，则， 所以点落在以为球心，以1为半径的球上， 在正八面体中，， 则 ， 而，则， 所以的最大值为8. 故答案为：8.    综合攻坚·知能拔高 1． 【答案】A 【详解】由图可得，. 2． 【答案】B 【分析】利用空间向量的线性运算可知,，通过数量积求出，进而求出. 【详解】利用空间向量的线性运算可知， 所以， 即, 由于, 所以，， 所以，故 ，即， 故平行四边形为矩形， 3． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设点坐标，利用可得点Q坐标，从而可以计算的值. 【详解】如图，以为原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. . 又因为，，， 所以 设，则，，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，所以. 因为点在平面上，所以， 即，解得. 所以. 4． 【答案】ACD 【分析】A，通过向量表示即可. B，在A的基础上利用数量积求模. C，利用数量积求夹角余弦值. D，通过距离确定球心位置和半径后，通过等体积法求出截面半径以及面积. 【详解】选项A，，所以，正确. 选项B，， 所以，错误. 选项C，，且， 所以，正确. 选项D，因为，，所以为等腰直角三角形.    取中点，因为，所以该外接球是以为球心，. 对于锥体的体积， 因为投影落在上，所以， 所以到面的距离. 因为， 所以，解得. 所以截面半径， 所以，正确. 5． 【答案】BCD 【分析】由已知可得可作为一组基底，得到，再利用投影向量的计算公式，向量夹角的计算公式即可. 【详解】在直三棱柱中，，所以两两垂直，可作为一组基底. 因为，所以. 所以 . 对于选项A，向量在向量上的投影向量为，故A错误； 对于选项B，向量在向量上的投影向量为，故B正确； 对于选项C，，故C正确； 对于选项D，， 所以.又因为，所以，故D正确. 6． 【答案】ABD 【分析】根据空间向量的数量积、点到平面的距离公式、线面角、空间向量的模的公式逐一判断计算即可. 【详解】因为在空间直角坐标系中，，，， 所以. 所以，所以A正确； 因为，设平面的一个法向量坐标为. 所以，即，令，则. 所以，因为， 所以直线与平面所成角的正弦值为，D正确. 所以点到平面的距离为，所以B正确. 因为， 所以，所以，C错误. 7． 【答案】 【分析】选取作为空间向量的一组基底，利用重心和线段比例关系将用基底表示，再通过数量积运算求模长. 【详解】设， 因为是棱长为的正四面体， 所以，且两两夹角为， 则，, 因为是的重心，所以， 因为是棱的中点，所以， 所以, 因为点在线段上，且，所以， 则， 所以 ， 所以，即线段的长度为. 8． 【答案】 【分析】证明是正四面体，然后把它补成一个正方体，利用正方体的外接球就是正四面体的外接球求解. 【详解】菱形中，，则都是等边三角形， 取中点，连接，则， 又，则，因为平面， 所以平面，而平面，所以， 所以，从而，所以是正四面体， 以正四面体的六条棱作为面对角线，把它补成一个正方体，如图， 设正方体的棱长为，则，，正方体的对角线长为， 易知正方体的外接球就是正四面体的外接球，球半径为， 所以表面积为. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $