专题01 空间向量线性运算·共线定理·共面定理·数量积运算八大典型问题（高效培优专项训练）数学人教A版高二选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间向量四大核心内容，通过八大题型系统覆盖线性运算、共线/共面定理及数量积的应用，题型分类清晰，知识逻辑递进，培养空间观念与运算推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |空间加减运算及几何表示|8题|结合平行六面体、三棱柱等几何体考查向量线性运算的几何表示|从向量线性运算基础入手，构建空间图形与向量表示的关联| |共线定理应用|8题|含参数计算、三点共线证明及推论应用|以共线定理为核心，延伸至空间点线位置关系的向量判断| |共面定理应用|8题|四点共面参数求解、共面条件判断|承接共线定理，拓展至空间平面内点的位置关系向量表达| |数量积运算及应用|16题|数量积计算、模长与夹角求解、位置关系证明|综合线性运算与定理，实现空间度量与位置关系的量化表达|

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01空间向量线性运算共线定理·共面定理·数量积运算八大典型 问题 题型归纳 题型一空间加减运算及几何表示 题型二根据空间向量共线求参数或值 题型三空间共线定理的推论及应用 题型四根据空间向量共面求参数或值 题型五空间共面定理的推论及应用 题型六空间向量数乘运算的几何表示 题型七求空间向量的数量积 题型八空间向量数量积的应用 题型专练 题型一空间加减运算及几何表示 1.A 2.A 3.A 4.D 5.A 6.B 7.C 8.D 题型二根据空间向量共线求参数或值 9.C 10.B 11.B 1/4 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12.B 13.-8 14.A 15.D 16.C 题型三空间共线定理的推论及应用 17.10 18.BCD 19.B 20.B 21.A 22.C 23.C 24.D 题型四根据空间向量共面求参数或值 25.D 26.A 27.A 28.BCD 29.A 30.B 31.C 32.A 题型五空间共面定理的推论及应用 33.C 35.C 36 ABD 214 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 37.B 38.AC 39.B 40.C 题型六空间向量数乘运算的几何表示 41.A 42.A 43.C 44.A 45.A 46.C 47.C 48.B 题型七求空间向量的数量积 49.B 50.√2 51.ABD 52.D 53.AD 54.C 55.D 56.【答案】四a+6-cg 62 3 【详解】)m-不--瓜+N-(西+C到-瓜+号西-}西-}c -44+14B-14C=a+6-1c 6 2 62 (2)依题意，aH5d=2,a6=6c=ac=2×2xcos60°=2. 网-a+--++6-a- 、2 36 4 3 6 314 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 +名2-×2 2×2= 31 3 6 3 题型八空间向量数量积的应用 57.BCD 58.B 59.A 61.B 62.BD 63.√6 64.B 4/4 专题01 空间向量线性运算·共线定理·共面定理·数量积运算八大典型问题 题型一 空间加减运算及几何表示 题型二 根据空间向量共线求参数或值 题型三 空间共线定理的推论及应用 题型四 根据空间向量共面求参数或值 题型五 空间共面定理的推论及应用 题型六 空间向量数乘运算的几何表示 题型七 求空间向量的数量积 题型八 空间向量数量积的应用 题型一 空间加减运算及几何表示 1．在平行六面体中，（    ） A． B． C． D． 2．如图，在三棱柱中，设，，，是的中点，则可表示为（    ） A． B． C． D． 3．如图所示，在三棱柱中，M为的中点，若，则可表示为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在空间四边形中，，连接，则（    ）    A． B． C． D． 5．如图，分别是四面体的棱的中点，且，记，则（    ） A． B． C． D． 6．如图，在平行六面体中，与的交点为点，设，，，下列向量中与相等的向量是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在圆锥SO中，AB是底面圆的直径，是底面圆的圆心，，为SC的中点，则（    ）    A． B． C． D． 8．如图，在三棱锥中，设，，，若，，则（   ） A． B． C． D． 题型二 根据空间向量共线求参数或值 9．已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 10．若向量，，且，则的值是（     ） A． B．5 C．3 D． 11．设m是实数，已知，，若，则m的值为（   ） A． B． C．3 D．6 12．已知正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1．O为底面内一点，且，，则（   ） A．0 B． C． D． 13．设是不共线的向量，已知，若A，B，D三点共线，则实数k为______． 14．已知向量，，若A，B，C三点共线，则（   ） A． B．2 C． D． 15．已知三点共线，为空间任一点，则①；②存在三个不为的实数，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．，0 16．在空间直角坐标系中，已知点，且A，B，C三点共线，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D．4 题型三 空间共线定理的推论及应用 17．已知四面体，点在内，满足的面积之比，在线段上，直线交平面于点，且，则四面体与的体积之比为__________. 18．（多选）（多选）在以下命题中，不正确的命题是（   ） A．已知A，B，C，D是空间任意四点，则 B．是共线的充要条件 C．若与共线，则表示与的有向线段所在直线平行 D．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若（其中），则P，A，B，C四点共面 19．在正四面体中，为棱的中点，，，则（   ） A． B． C． D． 20．如图，在正四棱锥中，点是棱的中点，点在线段上，点在线段上，点在平面内，且，则的值为（    ）    A． B． C．2 D． 21．如图，在四面体中，为棱的中点，点，分别满足，，则（   ） A． B． C． D． 22．对于下列命题： （1）若为空间不重合的四点(无三点共线)，且有，则是三点共线的充要条件. （2）对于空间的任意三个向量，它们一定是共面向量. （3）已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有，则的值为. 正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 23．在四面体中，E为的中点，G为平面的重心．若与平面交于点F，则（    ） A． B． C． D． 24．在如图所示的正四面体OABC中，E，F，G，H分别是OA，AB，BC，OC的中点．设，，，则下列说法不正确的是（    ）． A． B． C． D． 题型四 根据空间向量共面求参数或值 25．已知是同一平面内的四点，且任意三点不共线，为平面外一点，若，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 26．已知为空间中四点，任意三点不共线，O为平面ABC外一点，且，若四点共面，则的最小值为（    ） A． B． C．9 D．4 27．已知四棱柱是平行六面体，空间中一点平面，实数满足，则实数（    ） A． B． C． D． 28．（多选）已知，，是空间中不共线的三点，点为空间内的任意一点，若点在平面内，且，则下列关于和的值满足条件的是（    ） A．， B．， C．， D．， 29．已知四点共面，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 30．已知动点Q在所在平面内运动，若对于空间中任意一点P，都有，则实数m的值为（    ） A．0 B． C． D．2 31．已知，，，四点共面于，且其中任意三点均不共线.设为空间中任意一点且，若，则（   ） A．0 B．1 C． D． 32．已知空间中，，，四点共面，则（    ） A． B． C．1 D．2 题型五 空间共面定理的推论及应用 33．已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 34．空间向量四点共面定理：已知，，为空间中的一组基底，空间中任一向量（，，），若，，，四点共面，则.如图所示，正方体的棱长为2，点，分别为，的中点，则三棱锥的体积为______. 35．已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 36．（多选）以下能确定空间中四点 共面的条件是（   ） A． B． C． D． 37．已知在所在平面内，为空间中任一点，若，则（    ） A． B． C． D． 38．（多选）已知O，A，B，C，D是空间中互不重合的点，空间向量，，不共面，下列命题正确的是（   ） A．若，，，则向量，，共面 B．若，，则 C．若，则A，B，C，D共面 D．若，则A，B，C，D共面 39．已知正四面体外接球的球心为，，过点，的平面与棱，分别相交，记在平面两侧的几何体的体积分别为，，其中，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 40．已知三棱锥的体积为5，是边长为4的正三角形，点为的中点，点满足，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 题型六 空间向量数乘运算的几何表示 41．在四面体中，设，，，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 42．如图，在三棱台中，，，，，，分别为，的中点，则（   ） A． B． C． D． 43．在斜三棱柱中，M为的中点，N为靠近的三等分点，设 则用 表示 为（    ） A． B． C． D． 44．如图，在斜棱柱中，与的交点为点，，，，则（    ）    A． B． C． D． 45．在四面体中，，设，，，则（    ） A． B． C． D． 46．在三棱柱中，设，，，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 47．如图，三棱锥中，，，，且，，则（    ）    A． B． C． D． 48．在四面体中，，，，点满足，为的中点，且，则（   ） A． B． C． D． 题型七 求空间向量的数量积 49．在棱长为的正四面体中，点在上，且，为中点，则为（   ） A． B． C． D． 50．如图，平行六面体中，，，则__________． 51．（多选）如图，在三棱柱中，与相交于点，，，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．与所成角的余弦值为 D． 52．已知向量，，则等于（    ） A．0 B．－1 C．1 D．2 53．（多选）若、是两条互相垂直的异面直线，、、、是四个不同的点，满足、，、，且，，，则（   ） A．直线与是异面直线 B． C．若，则 D．若为的中点，则 54．已知正方体的棱长为，若，，，则（    ） A．0 B．2 C．1 D．4 55．已知正四面体，棱长，为空间中一点，，求的最大值是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 56．如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于为的中点，为线段上靠近的三等分点. (1)设，试用向量表示； (2)求线段的长度. 题型八 空间向量数量积的应用 57．（多选）如图，在平行六面体中，，，，设，，，则（    ） A． B． C．点在底面的射影在线段上 D．三棱锥的外接球的表面积为 58．已知是空间两两垂直的单位向量，空间向量，则向量的模为（     ） A． B． C． D． 59．如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角的余弦值是（　　） A． B． C． D． 60．在正四棱柱中，底面边长为3，侧棱长为，为平面内一动点，且满足，则所有满足条件的点所围成平面区域的面积是__________． 61．在平行六面体中，底面ABCD是菱形，，，设，，，的重心分别为O，P，Q，R，则四面体OPQR的体积为（   ） A． B． C． D． 62．（多选）在平行六面体中，，，，分别为棱，的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．直线与所成角的余弦值为 63．已知空间中的三个单位向量，，满足两两夹角是，则__________． 64．已知，是异面直线，且，，分别为直线，的单位方向向量，且，，，则实数的值为（   ） A． B．6 C．3 D． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 空间向量线性运算·共线定理·共面定理·数量积运算八大典型问题 题型一 空间加减运算及几何表示 题型二 根据空间向量共线求参数或值 题型三 空间共线定理的推论及应用 题型四 根据空间向量共面求参数或值 题型五 空间共面定理的推论及应用 题型六 空间向量数乘运算的几何表示 题型七 求空间向量的数量积 题型八 空间向量数量积的应用 题型一 空间加减运算及几何表示 1．在平行六面体中，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得， 所以. 2．如图，在三棱柱中，设，，，是的中点，则可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】是的中点，则 ． 3．如图所示，在三棱柱中，M为的中点，若，则可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】取AC的中点N，连接BN，MN，如图所示， ∵M为的中点，，， ， ． 4．如图，在空间四边形中，，连接，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在空间四边形中，， 则. 5．如图，分别是四面体的棱的中点，且，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为 又因为分别是棱的中点，所以. 6．如图，在平行六面体中，与的交点为点，设，，，下列向量中与相等的向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的线性运算求解. 【详解】， 故选：B. 7．如图，在圆锥SO中，AB是底面圆的直径，是底面圆的圆心，，为SC的中点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据空间向量的线性运算即可得结果. 【详解】因为，为SC的中点， 所以， 故选：C. 8．如图，在三棱锥中，设，，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】连接，由向量的加减和数乘运算规则可知 . 故选：D. 题型二 根据空间向量共线求参数或值 9．已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，且， 根据向量平行的充要条件，存在实数，使得， 所以，解得. 10．若向量，，且，则的值是（     ） A． B．5 C．3 D． 【答案】B 【分析】由条件结合空间向量共线定理可得，列方程求，由此可得结论. 【详解】因为，所以存在实数，使得， 又，， 所以，，， 解得，，， 因此. 11．设m是实数，已知，，若，则m的值为（   ） A． B． C．3 D．6 【答案】B 【分析】利用空间向量平行的坐标运算求解答案． 【详解】由，设，即． 12．已知正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1．O为底面内一点，且，，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量共面的推论求出，再根据数量积的定义及运算律计算可得. 【详解】根据空间向量共面定理：若点在平面内，且， 则系数和满足，解得： , 已知正三棱锥侧棱长，底面边长, 在中，，故，得, 同理在中，，故，得, 展开： 因此结果为. 13．设是不共线的向量，已知，若A，B，D三点共线，则实数k为______． 【答案】 【详解】因为，又A，B，D三点共线， 由向量共线的充要条件得，所以． 14．已知向量，，若A，B，C三点共线，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量共线的坐标表示计算即可. 【详解】由题意可知，即，解得. 15．已知三点共线，为空间任一点，则①；②存在三个不为的实数，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．，0 【答案】D 【分析】根据三点共线得，进而结合①得，再结合②得，最后求和即可得答案. 【详解】因为三点共线，所以存在实数，满足， 因为为空间任一点，所以，即， 因为，所以，解得， 因为存在三个不为的实数，使， 所以，所以，即， 所以. 综上，， 16．在空间直角坐标系中，已知点，且A，B，C三点共线，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】利用空间向量的基本定理计算可得. 【详解】由题意可得， 因为A，B，C三点共线，所以存在实数，使得， 即，解得， 所以. 故选：C 题型三 空间共线定理的推论及应用 17．已知四面体，点在内，满足的面积之比，在线段上，直线交平面于点，且，则四面体与的体积之比为__________. 【答案】10 【分析】设，由题意结合向量共线定理可得，进而可得，于是，进而可求四面体与的体积之比. 【详解】如图，设，且表示到的距离，表示到的距离， 由的面积之比，所以， 设表示到的距离，表示到的距离， 同理，即，    则，即， 所以， 因为B，，F三点共线，则，解得， 由，可得，则，且， 于是，即， 若分别表示到平面的距离， 所以. 18．（多选）（多选）在以下命题中，不正确的命题是（   ） A．已知A，B，C，D是空间任意四点，则 B．是共线的充要条件 C．若与共线，则表示与的有向线段所在直线平行 D．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若（其中），则P，A，B，C四点共面 【答案】BCD 【分析】根据空间向量线性运算、模、平行、共面等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】，故A正确； 若，同向共线，则，故B不正确； 若与共线，则表示与的有向线段所在直线重合或平行，故C不正确； D选项中，只有时，才有P，A，B，C四点共面，故D不正确． 19．在正四面体中，为棱的中点，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】连接，设正四面体的棱长为4，则，， ，则为正三角形，所以， 由余弦定理得， ， 故. 20．如图，在正四棱锥中，点是棱的中点，点在线段上，点在线段上，点在平面内，且，则的值为（    ）    A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】应用空间向量加法和数乘运算，再结合四点共面列式计算求解参数. 【详解】以为空间向量的一组基底， 则 ， 因为，则， 因为四点共面，所以，故． 故选：B. 21．如图，在四面体中，为棱的中点，点，分别满足，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在四面体中，是的中点，则， 因为，所以，所以， 又，所以，所以， 所以. 故选：A. 22．对于下列命题： （1）若为空间不重合的四点(无三点共线)，且有，则是三点共线的充要条件. （2）对于空间的任意三个向量，它们一定是共面向量. （3）已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有，则的值为. 正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据线性运算法则，结合三点共线的性质，即可判断（1）的正误；根据线性运算法则，结合向量共面的性质，可判断（2）、（3）的正误，即可得答案. 【详解】对于（1）：若，则 ， 所以，即， 说明A在直线BC上，故三点共线，充分性成立； 若三点共线，则存在，使得， 所以，整理得， 此时，必要性成立， 所以是三点共线的充要条件，故（1）正确. 对于（2）：因为， 所以是共面向量，故（2）正确； 对于（3）：由题意 ， 因为点M在平面ABC内， 所以，解得，故（3）错误. 故选：C 23．在四面体中，E为的中点，G为平面的重心．若与平面交于点F，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图：连接交于H，则H为中点，连接, 因为平面，平面，设，则， 又平面，所以平面，故K为与平面的交点， 又因为与平面交于点F，所以F与K重合， 又E为的中点，G为平面的重心， 因为点A，F，G三点共线，则 又因为点E，F，H三点共线，则， , 所以，解得，即，故. 故选：C. 24．在如图所示的正四面体OABC中，E，F，G，H分别是OA，AB，BC，OC的中点．设，，，则下列说法不正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量加法、减法的几何意义，结合三角形中位线的性质、平行四边形的性质进行逐一判断即可. 【详解】因为E，F分别是OA，AB的中点，所以，故A正确； 因为F，G分别是AB，BC的中点，所以，故B正确； 因为四边形EFGH为平行四边形，所以，故C正确； 因为，所以D不正确． 故选：D 题型四 根据空间向量共面求参数或值 25．已知是同一平面内的四点，且任意三点不共线，为平面外一点，若，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用共面向量定理的推论，四点共面时向量线性表示的系数和为1，列方程求解λ. 【详解】因为是同一平面内的四点，任意三点不共线， 为平面外一点，当时， 根据共面向量定理的推论，有，解得. 26．已知为空间中四点，任意三点不共线，O为平面ABC外一点，且，若四点共面，则的最小值为（    ） A． B． C．9 D．4 【答案】A 【详解】因为四点共面，则有， 由共面条件可得，，即， 所以， 当且仅当，即，即时，等号成立. 故选A. 27．已知四棱柱是平行六面体，空间中一点平面，实数满足，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为四点共面， 所以，解得. 28．（多选）已知，，是空间中不共线的三点，点为空间内的任意一点，若点在平面内，且，则下列关于和的值满足条件的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BCD 【分析】根据空间向量共面定理求出和的关系，即可得出结论. 【详解】由题意， ，，是空间中不共线的三点，点为空间内的任意一点， 点在平面内，且， ∴，即， A项，，故A错误； B项，，故B正确； C项，，故C正确； D项，，故D正确. 29．已知四点共面，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】利用四点共面可得，由此解得，再利用基本不等式即可求解． 【详解】由题可知，存在实数，使得， 又，，，所以， 解得，，所以， 当且仅当时取等号． 30．已知动点Q在所在平面内运动，若对于空间中任意一点P，都有，则实数m的值为（    ） A．0 B． C． D．2 【答案】B 【分析】利用空间中四点共面的推论可求的值. 【详解】由条件可知，四点共面， 又因为， 所以，解得， 故选：B. 31．已知，，，四点共面于，且其中任意三点均不共线.设为空间中任意一点且，若，则（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】利用共面定理和空间向量的线性运算可求答案. 【详解】因为，，，四点共面，所以，其中， 所以， 即； 因为，所以， 而不共面，则，即. 故选：C 32．已知空间中，，，四点共面，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】由空间向量共面的基本定理即可求解. 【详解】设原点，，即， 则，，因为四点共面，所以，所以，． 故选：A. 题型五 空间共面定理的推论及应用 33．已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和，再逐个验证选项. 【详解】若在平面内，则存在实数，使得,即， 整理得：，令，则， 即点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和； 对于 A：系数和，不满足共面条件， 对于B：系数和，不满足共面条件， 对于 C：系数和，满足共面条件， 对于 D：系数和，不满足共面条件. 34．空间向量四点共面定理：已知，，为空间中的一组基底，空间中任一向量（，，），若，，，四点共面，则.如图所示，正方体的棱长为2，点，分别为，的中点，则三棱锥的体积为______. 【答案】/ 【分析】连接交平面于点，利用给定结论及空间向量基本定理可得，再利用三棱锥的体积求解即可. 【详解】 连接，与平面交于点， 设，则有， 由于，，三点共线，设， 另一方面，易得， 显然，， 可得，即， 所以. 故答案为： 35．已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】因为四点共面，且， 所以由共面定理可得，，即. 36．（多选）以下能确定空间中四点 共面的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用共面向量定理及推论判断AB；利用两条直线共面的条件判断CD. 【详解】对于A，由，得向量共面，而它们有公共起点，因此四点共面，A是； 对于B，在中，，因此四点共面，B是； 对于C，存在互相垂直的两条异面直线，它们的方向向量垂直，由不能确定四点共面，C不是； 对于D，由，得直线与平行或重合，因此四点共面，D是. 故选：ABD 37．已知在所在平面内，为空间中任一点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】变形给定向量移动式，再利用共面向量定理的推论列式计算得解. 【详解】由，得， 则，由在所在平面内，得， 所以. 故选：B 38．（多选）已知O，A，B，C，D是空间中互不重合的点，空间向量，，不共面，下列命题正确的是（   ） A．若，，，则向量，，共面 B．若，，则 C．若，则A，B，C，D共面 D．若，则A，B，C，D共面 【答案】AC 【分析】根据共面向量的定义、共线向量的定义，结合共面定理逐一判断即可. 【详解】A：因为，，， 所以， 即，所以由共面向量定理可以判断向量，，共面， 因此该选项命题正确； B：假设，所以存在，使得成立， 即， 因为空间向量，，不共面， 所以，显然不成立，假设不成立，因此本选项的命题不正确； C：因为O，A，B，C，D是空间中互不重合的点， 而且， 所以由空间共面性质可知A，B，C，D共面，所以本选项命题正确； D：， 因为O，A，B，C，D是空间中互不重合的点， 而且， 所以由空间共面性质可知A，B，C，D不共面，所以本选项命题不正确. 故选：AC 39．已知正四面体外接球的球心为，，过点，的平面与棱，分别相交，记在平面两侧的几何体的体积分别为，，其中，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】以空间向量为工具，将几何中的共面问题转化为向量系数关系，再将体积比问题转化为函数最值问题，通过代数方法求解即可. 【详解】设平面与棱分别交于点，设，其中， 直线与平面交于点， 由点为外接球的球心，有， 又由，得到， 因为四点共面，所以，即. 易知：，其中为棱之间的夹角， 下面求的取值范围， 由，又，可得，其中， 令，则，因此， 又因为，，所以. 故的最大值为， 故选：B. 40．已知三棱锥的体积为5，是边长为4的正三角形，点为的中点，点满足，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的加法及线性运算及四点共面结论得出点在平面内，再应用三棱锥体积公式计算求解. 【详解】如图，由点为的中点，可得， 所以. 因为，所以点在平面内， 的最小值就是三棱锥的高， 由， 得，得. 故选：C. 题型六 空间向量数乘运算的几何表示 41．在四面体中，设，，，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解 . 【详解】由已知， . 故选：A 42．如图，在三棱台中，，，，，，分别为，的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量基本定理结合图形求解即可. 【详解】. 因为，，，， 所以 . 故选：A. 43．在斜三棱柱中，M为的中点，N为靠近的三等分点，设 则用 表示 为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三棱柱的特征及空间向量线性运算的几何意义计算即可. 【详解】易知. 故选：C 44．如图，在斜棱柱中，与的交点为点，，，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算法则求解即可. 【详解】. 故选：A. 45．在四面体中，，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先作出符合题意的图形，再利用空间向量的加法、减法和数乘运算法则求解即可. 【详解】如图，作出符合题意的图形， 因为，所以， 由空间向量的加法、减法和数乘运算法则得 ，故A正确. 故选：A 46．在三棱柱中，设，，，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由空间向量的线性运算法则即可求解． 【详解】连接，如图， 因为为的中点， 所以． 故选：C． 47．如图，三棱锥中，，，，且，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量的运算法则求解即可. 【详解】如图所示： . 故选：C. 48．在四面体中，，，，点满足，为的中点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的线性运算计算即可. 【详解】由题意 ， 所以，解得， 故选：B 题型七 求空间向量的数量积 49．在棱长为的正四面体中，点在上，且，为中点，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设， 由题意得，， ，， 因为为中点，所以， ， ， 所以.    50．如图，平行六面体中，，，则__________． 【答案】 【分析】先得到，两边平方，从而得到模长 【详解】， ， 所以. 51．（多选）如图，在三棱柱中，与相交于点，，，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．与所成角的余弦值为 D． 【答案】ABD 【分析】对于A，根据空间向量的线性运算可得，，进而验证即可判断；对于BCD，根据空间向量的数量积的定义及运算律求解判断即可. 【详解】对于A，由题意，四边形为平行四边形，则为的中点， 因， ， 则 ， 则，即，故A正确； 对于B，由A知，， 则 ，即得，故B正确； 对于C，由A知，，， 则 ， 则， 即与所成角的余弦值为，故C错误； 对于D，由A项知，，， 则 ，故D正确. 52．已知向量，，则等于（    ） A．0 B．－1 C．1 D．2 【答案】D 【详解】，故选项D正确. 53．（多选）若、是两条互相垂直的异面直线，、、、是四个不同的点，满足、，、，且，，，则（   ） A．直线与是异面直线 B． C．若，则 D．若为的中点，则 【答案】AD 【详解】如下图所示： 对于A选项，若、共面，则、、、四点共面，即直线、共线， 即直线、共面，这与题设条件矛盾，故直线与是异面直线，A对； 对于B选项，由题意可知，，， 所以 ，B错； 对于C选项，， 所以 ，故，C错； 对于D选项，由题意可知，， 又因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为为的中点，所以，同理可证，故，D对. 54．已知正方体的棱长为，若，，，则（    ） A．0 B．2 C．1 D．4 【答案】C 【分析】利用正方体中棱向量两两垂直、模长为的性质，先展开点积，再根据垂直向量点积为，向量自身点积为模长平方，代入计算即可快速得到结果． 【详解】    由题意，正方体棱长为1，所以两两垂直且， 所以， 因为、、，所以，，， 又，代入得． 55．已知正四面体，棱长，为空间中一点，，求的最大值是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【详解】记的中点为，因为正四面体，棱长， 所以，所以， 又因为，所以是以为球心，为半径的球面上的点，所以 所以， 所以， 所以的最大值是. 56．如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于为的中点，为线段上靠近的三等分点. (1)设，试用向量表示； (2)求线段的长度. 【答案】(1)(2) 【详解】（1） . （2）依题意，， 则 . 题型八 空间向量数量积的应用 57．（多选）如图，在平行六面体中，，，，设，，，则（    ） A． B． C．点在底面的射影在线段上 D．三棱锥的外接球的表面积为 【答案】BCD 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，由A知，， 而，，， 则 ，故B正确； 对于C，连接，设，连接， 由题意，四边形为正方形，则，， 而，，则为全等的等边三角形， 所以，而为的中点，则， 即，则，即， 因为平面，所以平面， 则点在底面的射影为点， 所以点在底面的射影在线段上，故C正确； 对于D，由C知， 则三棱锥的外接球的球心为点，半径为， 所以三棱锥的外接球的表面积为，故D正确. 58．已知是空间两两垂直的单位向量，空间向量，则向量的模为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为是空间两两垂直的单位向量， 所以， 故. 59．如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角的余弦值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在直三棱柱中，平面，平面，平面， 则，由，，得，则， 由，得E为的中点，则， 由，得，则， 因此＝， 所以向量与的夹角的余弦值是. 60．在正四棱柱中，底面边长为3，侧棱长为，为平面内一动点，且满足，则所有满足条件的点所围成平面区域的面积是__________． 【答案】 【详解】已知，所以，进而点在以为直径的球面上. 因为在平面内，因此满足条件的点围成的区域是该球面被平面截得的圆形区域， 面积即为截面圆的面积. 正四棱柱底面是边长为的正方形，因此底面对角线， 球的半径，球心为的中点. 在正四棱柱中，，因此四点共面，即平面， 故到平面的距离. 因为平面，且平面，故平面平面，交线为. 在中，， 到的距离就是到平面的距离. 是中点，直线上中点到平面的距离为两端点距离的平均值，. 所以，因此区域面积为. 61．在平行六面体中，底面ABCD是菱形，，，设，，，的重心分别为O，P，Q，R，则四面体OPQR的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知，，，，分别是四面体四个面的重心，如图． 在任意四面体中，连接四个面的重心得到的小四面体与原四面体对应边平行，且相似比为，所以体积比为 因此 下面求．设平行六面体的体积为． 底面是边长为，夹角为的菱形，所以 设到底面的距离为．由于与，的夹角都为，所以在底面上的射影在的角平分线上． 设该射影为，则与，的夹角均为． 由，可得 解得 所以 故平行六面体的体积为 四面体由平行六面体的四个交错顶点组成，其体积为平行六面体体积的，故 于是 62．（多选）在平行六面体中，，，，分别为棱，的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．直线与所成角的余弦值为 【答案】BD 【详解】对于A：平行六面体中，， 又为棱的中点，所以与相交，故与为异面直线，A错误.    对于B：连接、，交于点，连接、， 因为，则四边形为菱形，故，点为中点. 又，，所以，故. 又点为中点，所以， 又，，平面，故平面，故B正确. 对于C：由，， 得、、均为等边三角形，故. 在等腰中，， 在等腰中，， 在中，， 在中，，则，C错误. 对于D：连接，，因为，分别为棱，的中点，所以， 又，则直线与所成角即为直线与所成角，即为. ， ，， 在中，，D正确. 63．已知空间中的三个单位向量，，满足两两夹角是，则__________． 【答案】 【详解】由题意得单位向量，，且两两之间夹角为， 所以， ， 所以. 64．已知，是异面直线，且，，分别为直线，的单位方向向量，且，，，则实数的值为（   ） A． B．6 C．3 D． 【答案】B 【详解】由于，所以， 即， 所以， 解得. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $