第一章 空间向量与立体几何（高效培优讲义）数学人教A版高二选择性必修第一册

该高中数学讲义通过知识框架图系统梳理空间向量与立体几何知识体系，以表格呈现线性运算、数量积等核心内容，按“概念-运算-应用”逻辑串联基本定理、坐标表示及平行垂直判定，突出建系、角度转化等重难点。 讲义亮点在于“题型分类+变式训练”设计，如通过折叠问题探究二面角计算，结合坐标法与基底法培养逻辑推理和数学运算素养。典例涵盖基础应用与综合探究，基础生掌握运算规范，优秀生提升转化能力，助力教师实施精准复习。

第1章 空间向量与立体几何 教学目标 1.理解空间向量概念、运算及坐标表示，掌握空间向量基本定理，能借助向量证明空间位置关系、求解空间角与距离。 2.实现立体几何几何推理向代数运算转化，发展几何直观、运算求解与逻辑推理素养，建立向量法解决立体几何的通用思路。 3.感受向量工具的优势，体会数形结合思想，化解立体几何推理论证难点，培养严谨运算习惯，提升学习信心。 教学重难点 1. 重点 空间向量线性运算、数量积、坐标运算，空间向量基本定理。 运用空间向量判定线线、线面、面面平行与垂直关系。 利用向量求解异面直线角、线面角、二面角等空间角度问题。 2. 难点 灵活建立空间直角坐标系，非正交几何体下合理选用基底解题。 区分向量夹角与立体几何空间角，正确完成角度转化，判断二面角锐角、钝角。 复杂几何条件翻译成向量关系式，规范法向量计算，减少运算失误。 知识点1 空间向量的线性运算 1．空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 加法 a＋b＝ 减法 a－b＝ 数乘 当λ>0时，λa＝； 当λ<0时，λa＝； 当λ＝0时，λa＝0 运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 1.三点共线：在平面中A,B,C三点共线(其中x+y=1)，O为平面内________一点. 2.四点共面：在空间中P,A,B,C四点共面(其中x+y+z=1)，O为空间中任意一点. 知识点2 空间向量的夹角与数量积 1．空间向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． (2)范围：0≤〈a，b〉≤π.特别地，当〈a，b〉＝时，a⊥b. 2．空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 性质 ①a⊥b⇔a·b＝0 ②a·a＝a2＝|a|2 运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R. ②a·b＝b·a(交换律)． ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律). 3．空间向量夹角的计算 求两个向量的夹角：利用公式＝求，进而确定． 4．空间向量数量积的计算 求空间向量数量积的步骤： (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入求解． 5．空间向量数量积的应用 (1)利用公式和，可以解决空间中________________的问题； (2)利用公式＝可以解决两________，特别是两异面直线夹角的问题. 知识点3 向量的投影 1．向量的投影 (1)如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))． (2)如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． 知识点4 空间向量基本定理 1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 2．用基底表示向量的步骤 (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． (3)下结论：利用空间的一个基底{}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有，不能含有其他形式的向量． 3．单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}表示． 4．向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 知识点5 空间向量基本定理的应用 1．证明平行、共线、共面问题 (1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 2．求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝.(2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. 3．求距离(长度)问题 ． 4．利用空间向量基本定理解决几何问题的思路： (1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题； (2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围； (3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用向量的数量积可以求得． 知识点6 空间直角坐标系 1．空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系及相关概念 ①空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底，以O为原点，分别以i，j，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系O-xyz. ②相关概念：O叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分． (2)右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 2．空间一点的坐标 在空间直角坐标系O-xyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底 {i，j，k}下与向量对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 3．空间中点的对称点的坐标 设点P(x，y，z)为空间直角坐标系中的一点，则 (1)与点P关于原点对称的点是P1(-x，-y，-z)；(2)与点P关于x轴对称的点是P2(x，-y，-z)； (3)与点P关于y轴对称的点是P3(-x，y，-z)；(4)与点P关于z轴对称的点是P4(-x，-y，z)； (5)与点P关于Oxy平面对称的点是P5(x，y，-z)；(6)与点P关于Ozx平面对称的点是P6(x，-y，z)； (7)与点P关于Oyz平面对称的点是P5(-x，y，z). 知识点7 空间向量的坐标运算 1．空间向量的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)． 2．空间向量的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 知识点8 用空间向量的坐标运算解决几何问题 1．空间向量的平行、垂直 关系 (a1，a2，a3)，(b1，b2，b3) 平行（） 垂直（） （均为非零向量） 2．空间向量的模长的坐标计算公式 设(a1，a2，a3)，则，即. 3．空间向量夹角的坐标计算公式 设(a1，a2，a3)，(b1，b2，b3)，则________________________. 4．空间两点间的距离公式 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则________________________________. 知识点9 空间中点、直线和平面的向量表示 1．空间中点的位置向量 如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量． 2．空间中直线的向量表示式 直线l的方向向量为 ，且过点A.如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使①，把代入①式得②，①式和②式都称为空间直线的向量表示式． 3．平面的法向量定义 直线l⊥α，取直线l的方向向量 ，我们称向量为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合. 知识点10 用空间向量研究直线、平面的平行关系 1．空间中直线、平面的平行 (1)线线平行的向量表示：设分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔⇔∃λ∈R，使得. (2)线面平行的向量表示：设是直线 l 的方向向量，是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔⊥⇔·＝0. (3)面面平行的向量表示：设分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔⇔∃λ∈R，使得. 2．利用向量证明线线平行的思路： 证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可． 3．证明线面平行问题的方法： (1)证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内； (2)证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内； (3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内． 4．证明面面平行问题的方法： (1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行． (2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明． 知识点11 用空间向量研究直线、平面的垂直关系 1．空间中直线、平面的垂直 (1)线线垂直的向量表示：设 分别是直线 l1 , l2 的方向向量，则l1⊥l2⇔⇔. (2)线面垂直的向量表示：设是直线 l 的方向向量，是平面α的法向量， l⊄α，则l⊥α⇔∥⇔∃λ∈R，使得＝λ. (3)面面垂直的向量表示：设分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔⇔. 2．证明两直线垂直的基本步骤： 建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直． 3．用坐标法证明线面垂直的方法及步骤： (1)利用线线垂直：①将直线的方向向量用坐标表示；②找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；③判断直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直． (2)利用平面的法向量：①将直线的方向向量用坐标表示；②求出平面的法向量；③判断直线的方向向量与平面的法向量平行． 4．证明面面垂直的两种方法： (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直． 知识点12 用空间向量研究空间距离 1．距离问题 (1)点P到直线 l 的距离：已知直线l的单位方向向量为，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为＝，则点P到直线l的距离为(如图)． (2)点P到平面α的距离：设平面α的法向量为，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为(如图)． 2．向量法求点到直线距离的步骤： (1)根据图形求出直线的单位方向向量. (2)在直线上任取一点M(可选择特殊便于计算的点).计算点M与直线外的点N的方向向量. (3)垂线段长度________________________. 3．求点到平面的距离的常用方法 (1)直接法：过P点作平面α的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面α的距离. (2)转化法：若点P所在的直线l平行于平面α，则转化为直线l上某一个点到平面α的距离来求. (3)等体积法. (4)向量法：设平面α的一个法向量为，A是α内任意点，则点P到α的距离为. 知识点13 用空间向量研究空间角 1．夹角问题 (1)两个平面的夹角：平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90° 的二面角称为平面α与平面β的夹角． (2)空间角的向量法解法 角的分类 向量求法 范围 两条异面直线所成的角 设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为，，则cos θ＝|cos|＝ 直线与平面所成的角 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为，平面α的法向量为，则sin θ＝|cos|＝ 两个平面的夹角 设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为，则cos θ＝|cos|＝ 2．用向量法求异面直线所成角的一般步骤： (1)建立空间直角坐标系； (2)用坐标表示两异面直线的方向向量； (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值； (4)注意两异面直线所成角的范围是________________________，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值. 3．向量法求直线与平面所成角的主要方法: (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角. 4．向量法求二面角的解题思路: 用法向量求两平面的夹角：分别求出两个法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到两平面夹角的大小. 【典例1】已知空间向量，，两两夹角为，且，则______. 【变式1】在空间四边形中，，，则的值是（    ） A． B． C． D．0 【变式2】（多选）已知空间向量，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C． D．若向量同向共线，则 【变式3】在正方体中，向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 题型02 向量的投影 【典例1】如图，已知平面，，，则向量在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知向量满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上投影的模为__________． 【变式3】已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①；②存在三个不为0的实数，m，n，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．0，0 题型03 空间向量基本定理的应用 【典例1】如图，在中，点 分别是棱 的中点，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式1】在正四面体中，为中点，在上．且为中点，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】在平行六面体中，与的交点为．设，则下列向量中，与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（多选）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，为与的交点.若，，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 题型04 用空间向量的坐标运算解决几何问题 【典例1】如图，在平行六面体中，底面ABCD是边长为的正方形，侧棱的长为，且．求： (1)的长； (2)直线与AC所成角的余弦值． 【变式1】（多选）如图，在三棱柱中，分别是所在棱的中点，设，则（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图，在平行六面体中，点M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（    ）    A． B． C． D． 【变式3】在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，.则平面ABC的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 题型05 空间中点、直线和平面的向量表示 【典例1】已知动点在正方体的侧面内（包括边界）运动，记向量，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知，分别是平面，的法向量，其中，．若，则（   ） A． B． C．3 D． 【变式2】我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程为：，化简得.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知分别是直线的方向向量．若，则（ ） A． B． C． D． 题型06 用空间向量研究直线、平面的平行关系 【典例1】如图所示，已知是平行四边形，点是平面外一点，连接、、、．设点、、、分别为、、、的重心． (1)试用向量方法证明、、、四点共面； (2)试判断平面与平面的位置关系，并用向量方法证明你的判断． 【变式1】如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，平面，且，点是的中点，求证：直线平面； 【变式2】已知四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点、分别是、的中点，点为线段上一点．确定点的位置，使平面平面，并证明． 【变式3】如图，在平行六面体中，，，. (1)以，，为基底向量，表示向量，； (2)求证：； (3)求的长. 题型07 用空间向量研究直线、平面的垂直关系 【典例1】在长方体中，已知，，点在平面上的射影为． (1)设，求，的值； (2)已知，，其中．若平面，求的值． 【变式1】如图，三棱锥中，点在上，，，． (1)证明：； (2)若，，，．求直线与平面所成角的正弦值． 【变式2】如图所示，直三棱柱的底面中，，，棱，M、N分别是、的中点． (1)求的长； (2)求证：． 【变式3】如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面，，. (1)求点到平面的距离. (2)求直线与平面所成角的大小. 题型08 用空间向量研究空间距离 【典例1】如图，四棱锥中，平面，四边形是矩形，E、F分别是、的中点．若，． (1)求证：平面； (2)求点F到平面的距离； (3)求直线与平面所成角的大小． 【变式1】已知正方体的棱长为分别为正方体的棱的中点． (1)求证：平面； (2)求线段到平面的距离． 【变式2】如图，在正方体中，棱长为，为棱的中点，为侧面内的一点，已知，． (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离． 【变式3】如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，且点和分别为和的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)设为棱上的点，若直线和平面的夹角的正弦值为，求线段的长. 题型09 用空间向量研究空间角 【典例1】如图1，平行四边形ABCD中，，，E是CD的中点，将沿AE翻折至，如图2所示． (1)若平面平面ABCE，证明：平面； (2)若二面角为120°，求二面角的余弦值． 【变式1】如图，在三棱锥中，，底面．    (1)求证：； (2)若，且点为线段上的动点，求直线与平面所成角的正切值的取值范围． 【变式2】如图，已知正方体，其中点为线段上靠近的三等分点，点为直线，的交点． (1)若，求，，的值； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【变式3】如图，三棱锥中，，平面平面． (1)求异面直线AC与BD所成角的余弦值； (2)若点F是线段AD（不含端点）上的一点，且直线AD与平面所成角大小为，求线段DF的长度． 题型10 存在性问题 【典例1】如图，是以为直径的圆上异于，的点，平面平面，，，，分别是，的中点，记平面与平面的交线为直线. (1)证明：平面； (2)直线l上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【变式1】如图，在直三棱柱中，，，分别为的中点． (1)求证：平面； (2)设平面与平面的交线为，求二面角的余弦值； (3)在线段（不含端点）上是否存在点，使直线与平面所成角的正切值大小为？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由． 【变式2】如图，在三棱锥中，平面，，E是的中点，F是线段上的一点（不含端点）． (1)证明：平面； (2)若二面角的大小为，判断是否存在点使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【变式3】一束光线自点出发，被平面反射到达点被吸收，那么光线所经过的距离是（ ） A． B． C． D． 1．（多选）如图，平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（　　） A． B． C．向量与的夹角是 D．异面直线BD1与AC所成的角的余弦值为 2．（多选）如图，在正四棱柱中，，P是正四棱柱内一点（含表面），且，则下列结论正确的是（   ）    A．若，，，则点在平面内 B．若，，则平面 C．若，则平面 D．若，则点P到平面的距离为定值 3．如图所示，在四面体中，点E是CD的中点，记，，，则（    ） A． B． C． D． 4．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则（   ） A．1 B．2 C． D． 5．如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（    ） A． B． C． D． 6．已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（ ） A． B． C． D． 7．设，向量，，，且，，则（　　） A． B． C．3 D．4 8．如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，侧面底面．求证： (1)； (2)平面平面. 9．已知是平行六面体，、分别为棱和的中点． (1)化简，并在图中标出化简结果 (2)设是底面的中心，是侧面对角线上靠近的四等分点，设，试求的值． 10．如图甲，在梯形中，，，，是的中点，将沿折起，使点到达点的位置，如图乙，且.    (1)求证：平面平面； (2)求点到平面的距离； (3)设的中点为，在平面内取点，使得直线平面，问点是否在内？ 11．折纸是一种将纸张折成各种不同形状的艺术活动.“菱角”折纸教程：如图1，将一张长方形的纸条用虚线分成6个全等的等腰直角三角形，沿着虚线折叠便可得到一个如图2所示的“菱角”.      (1)证明：平面； (2)试判断该“菱角”所有的顶点是否在同一个球面上，并说明理由； (3)求二面角的余弦值. 12．如图，在中，为的中点，过点作交于点，将沿翻折至，得到四棱锥为棱上一动点（不包含端点）． (1)若为棱的中点，证明：平面； (2)若，直线与平面所成角的正弦值为． （ⅰ）求； （ⅱ）求点到平面的距离． 13．如图，在三棱锥中，是边长为2的正三角形，为的中点，为的中点，且平面底面.设.    (1)求证：底面； (2)设为的重心，.求证：是三棱锥外接球的球心； (3)若平面与平面所成夹角的正弦值的平方等于，求的值. 14．如图，在多面体ABCDE中，，，都是边长为2的等边三角形，平面平面，平面平面． (1)判断A，B，D，E四点是否共面，并说明理由； (2)在中，试在边BC的中线上确定一点Q，使得平面BCE，并求． 15．如图，在棱长为1的正方体中，点是侧面上的一个动点（包含边界）． (1)若，求的最小值； (2)若，求与夹角的最大值． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 空间向量与立体几何 教学目标 1.理解空间向量概念、运算及坐标表示，掌握空间向量基本定理，能借助向量证明空间位置关系、求解空间角与距离。 2.实现立体几何几何推理向代数运算转化，发展几何直观、运算求解与逻辑推理素养，建立向量法解决立体几何的通用思路。 3.感受向量工具的优势，体会数形结合思想，化解立体几何推理论证难点，培养严谨运算习惯，提升学习信心。 教学重难点 1. 重点 空间向量线性运算、数量积、坐标运算，空间向量基本定理。 运用空间向量判定线线、线面、面面平行与垂直关系。 利用向量求解异面直线角、线面角、二面角等空间角度问题。 2. 难点 灵活建立空间直角坐标系，非正交几何体下合理选用基底解题。 区分向量夹角与立体几何空间角，正确完成角度转化，判断二面角锐角、钝角。 复杂几何条件翻译成向量关系式，规范法向量计算，减少运算失误。 知识点1 空间向量的线性运算 1．空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 加法 a＋b＝ 减法 a－b＝ 数乘 当λ>0时，λa＝； 当λ<0时，λa＝； 当λ＝0时，λa＝0 运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 1.三点共线：在平面中A,B,C三点共线(其中x+y=1)，O为平面内任意一点. 2.四点共面：在空间中P,A,B,C四点共面(其中x+y+z=1)，O为空间中任意一点. 知识点2 空间向量的夹角与数量积 1．空间向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． (2)范围：0≤〈a，b〉≤π.特别地，当〈a，b〉＝时，a⊥b. 2．空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 性质 ①a⊥b⇔a·b＝0 ②a·a＝a2＝|a|2 运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R. ②a·b＝b·a(交换律)． ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律). 3．空间向量夹角的计算 求两个向量的夹角：利用公式＝求，进而确定． 4．空间向量数量积的计算 求空间向量数量积的步骤： (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入求解． 5．空间向量数量积的应用 (1)利用公式和，可以解决空间中有关距离或长度的问题； (2)利用公式＝可以解决两向量夹角，特别是两异面直线夹角的问题. 知识点3 向量的投影 1．向量的投影 (1)如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))． (2)如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． 知识点4 空间向量基本定理 1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 2．用基底表示向量的步骤 (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． (3)下结论：利用空间的一个基底{}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有，不能含有其他形式的向量． 3．单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}表示． 4．向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 知识点5 空间向量基本定理的应用 1．证明平行、共线、共面问题 (1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 2．求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝.(2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. 3．求距离(长度)问题 ． 4．利用空间向量基本定理解决几何问题的思路： (1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题； (2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围； (3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用向量的数量积可以求得． 知识点6 空间直角坐标系 1．空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系及相关概念 ①空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底，以O为原点，分别以i，j，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系O-xyz. ②相关概念：O叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分． (2)右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 2．空间一点的坐标 在空间直角坐标系O-xyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底 {i，j，k}下与向量对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 3．空间中点的对称点的坐标 设点P(x，y，z)为空间直角坐标系中的一点，则 (1)与点P关于原点对称的点是P1(-x，-y，-z)；(2)与点P关于x轴对称的点是P2(x，-y，-z)； (3)与点P关于y轴对称的点是P3(-x，y，-z)；(4)与点P关于z轴对称的点是P4(-x，-y，z)； (5)与点P关于Oxy平面对称的点是P5(x，y，-z)；(6)与点P关于Ozx平面对称的点是P6(x，-y，z)； (7)与点P关于Oyz平面对称的点是P5(-x，y，z). 知识点7 空间向量的坐标运算 1．空间向量的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)． 2．空间向量的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 知识点8 用空间向量的坐标运算解决几何问题 1．空间向量的平行、垂直 关系 (a1，a2，a3)，(b1，b2，b3) 平行（） 垂直（） （均为非零向量） 2．空间向量的模长的坐标计算公式 设(a1，a2，a3)，则，即. 3．空间向量夹角的坐标计算公式 设(a1，a2，a3)，(b1，b2，b3)，则. 4．空间两点间的距离公式 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则. 知识点9 空间中点、直线和平面的向量表示 1．空间中点的位置向量 如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量． 2．空间中直线的向量表示式 直线l的方向向量为 ，且过点A.如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使①，把代入①式得②，①式和②式都称为空间直线的向量表示式． 3．平面的法向量定义 直线l⊥α，取直线l的方向向量 ，我们称向量为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合. 知识点10 用空间向量研究直线、平面的平行关系 1．空间中直线、平面的平行 (1)线线平行的向量表示：设分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔⇔∃λ∈R，使得. (2)线面平行的向量表示：设是直线 l 的方向向量，是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔⊥⇔·＝0. (3)面面平行的向量表示：设分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔⇔∃λ∈R，使得. 2．利用向量证明线线平行的思路： 证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可． 3．证明线面平行问题的方法： (1)证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内； (2)证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内； (3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内． 4．证明面面平行问题的方法： (1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行． (2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明． 知识点11 用空间向量研究直线、平面的垂直关系 1．空间中直线、平面的垂直 (1)线线垂直的向量表示：设 分别是直线 l1 , l2 的方向向量，则l1⊥l2⇔⇔. (2)线面垂直的向量表示：设是直线 l 的方向向量，是平面α的法向量， l⊄α，则l⊥α⇔∥⇔∃λ∈R，使得＝λ. (3)面面垂直的向量表示：设分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔⇔. 2．证明两直线垂直的基本步骤： 建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直． 3．用坐标法证明线面垂直的方法及步骤： (1)利用线线垂直：①将直线的方向向量用坐标表示；②找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；③判断直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直． (2)利用平面的法向量：①将直线的方向向量用坐标表示；②求出平面的法向量；③判断直线的方向向量与平面的法向量平行． 4．证明面面垂直的两种方法： (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直． 知识点12 用空间向量研究空间距离 1．距离问题 (1)点P到直线 l 的距离：已知直线l的单位方向向量为，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为＝，则点P到直线l的距离为(如图)． (2)点P到平面α的距离：设平面α的法向量为，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为(如图)． 2．向量法求点到直线距离的步骤： (1)根据图形求出直线的单位方向向量. (2)在直线上任取一点M(可选择特殊便于计算的点).计算点M与直线外的点N的方向向量. (3)垂线段长度. 3．求点到平面的距离的常用方法 (1)直接法：过P点作平面α的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面α的距离. (2)转化法：若点P所在的直线l平行于平面α，则转化为直线l上某一个点到平面α的距离来求. (3)等体积法. (4)向量法：设平面α的一个法向量为，A是α内任意点，则点P到α的距离为. 知识点13 用空间向量研究空间角 1．夹角问题 (1)两个平面的夹角：平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90° 的二面角称为平面α与平面β的夹角． (2)空间角的向量法解法 角的分类 向量求法 范围 两条异面直线所成的角 设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为，，则cos θ＝|cos|＝ 直线与平面所成的角 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为，平面α的法向量为，则sin θ＝|cos|＝ 两个平面的夹角 设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为，则cos θ＝|cos|＝ 2．用向量法求异面直线所成角的一般步骤： (1)建立空间直角坐标系； (2)用坐标表示两异面直线的方向向量； (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值； (4)注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值. 3．向量法求直线与平面所成角的主要方法: (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角. 4．向量法求二面角的解题思路: 用法向量求两平面的夹角：分别求出两个法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到两平面夹角的大小. 【典例1】已知空间向量，，两两夹角为，且，则______. 【答案】 【详解】由于两两夹角均为 60°，且模长均为 2，有： ， ， ， ， 因此：. 故答案为： 【变式1】在空间四边形中，，，则的值是（    ） A． B． C． D．0 【答案】D 【详解】由题意 ， 又，即，得， 所以． 故选：D． 【变式2】（多选）已知空间向量，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C． D．若向量同向共线，则 【答案】AD 【详解】选项A，因为，所以A正确； 选项B，当时，，但无法得到，所以B错误； 选项C，，，而与未必共线且不一定同时为，所以C错误； 选项D，由于向量同向共线，所以，所以，所以D正确． 故选：AD． 【变式3】在正方体中，向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为在正方体中，, 所以正三角形，过点作，垂足为. 则，所以向量在上的投影向量为. 故选：B 题型02 向量的投影 【典例1】如图，已知平面，，，则向量在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】平面ABC，则，， 向量在上的投影向量为. 故选：D. 【变式1】已知向量满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，， ，， ，，. 故选：C. 【变式2】已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上投影的模为__________． 【答案】2 【详解】空间向量在向量方向上的投影为， 所以投影的模为． 故答案为：． 【变式3】已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①；②存在三个不为0的实数，m，n，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．0，0 【答案】B 【详解】，B，C三点共线，，，解得， 又由，得， 由A，B，C三点共线知，，则. 故选：B 题型03 空间向量基本定理的应用 【典例1】如图，在中，点 分别是棱 的中点，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示，连接，因为分别是棱的中点，所以. 故选：C. 【变式1】在正四面体中，为中点，在上．且为中点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为为中点， 所以 . 故选：A 【变式2】在平行六面体中，与的交点为．设，则下列向量中，与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示： . 故选：C. 【变式3】（多选）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，为与的交点.若，，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，， . 所以，故D正确. 故选：BCD. 题型04 用空间向量的坐标运算解决几何问题 【典例1】如图，在平行六面体中，底面ABCD是边长为的正方形，侧棱的长为，且．求： (1)的长； (2)直线与AC所成角的余弦值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）， 所以 ； （2）， 所以 ， ，， ， ， 由于异面直线所成角的范围为大于小于等于， 所以直线与AC所成角的余弦值为． 【变式1】（多选）如图，在三棱柱中，分别是所在棱的中点，设，则（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A： ，正确； 对于B： ，错误； 对于C： ，正确； 对于D：由选项AB知， ，正确. 故选：ACD 【变式2】如图，在平行六面体中，点M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量的运算和基本定理求解. 【详解】， ， ， 故选：A 【变式3】在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，.则平面ABC的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，， 所以， ， 设平面ABC的法向量， 则，令，则， 因为ABCD四个选项中，只有B中坐标与坐标成比例， 故平面ABC的一个法向量是. 故选：B 题型05 空间中点、直线和平面的向量表示 【典例1】已知动点在正方体的侧面内（包括边界）运动，记向量，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设正方体的边长为，以为原点，分别所在直线为轴建立空间直角坐标系， 设，则， 所以，， 因为，所以，当且仅当时， 此时取得最小值，所以的最小值是， 因为，所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值是，所以的最大值是, 所以的取值范围是， 故选：C. 【变式1】已知，分别是平面，的法向量，其中，．若，则（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【详解】，且，分别是平面，的法向量， ，则有，故，则． 故选：D． 【变式2】我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程为：，化简得.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意可得， 化简得， 故选：B 【变式3】已知分别是直线的方向向量．若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以， 可得， 所以， 故选：D 题型06 用空间向量研究直线、平面的平行关系 【典例1】如图所示，已知是平行四边形，点是平面外一点，连接、、、．设点、、、分别为、、、的重心． (1)试用向量方法证明、、、四点共面； (2)试判断平面与平面的位置关系，并用向量方法证明你的判断． 【答案】(1)证明见解析(2)平面平面，证明见解析 【详解】（1）分别连接、、、交对边于、、、点． 因为、、、分别是所在三角形的重心． 所以、、、为所在边的中点， 所以，且，，且，所以，， 故四边形为平行四边形， 且有，，，， 所以，同理可得， 因为四边形是平行四边形，所以，所以，则， 故、、、四点共面． （2）由（1）得，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为，、平面，所以平面平面. 【变式1】如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，平面，且，点是的中点，求证：直线平面； 【答案】证明:因为平面，平面， 所以，又， 故可以分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，因为， 所以， 又因为是的中点，所以， 所以， 设平面的一个法向量为， 则有，取，则， 所以，所以， 所以直线平面. 【变式2】已知四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点、分别是、的中点，点为线段上一点．确定点的位置，使平面平面，并证明． 【答案】证明见解析 【详解】已知底面是正方形，平面，故可以为坐标原点，建立如下图所示空间直角坐标系， 则由题可得， ， 令，则， 所以即， 当时，为的中点， 此时， ，所以即， 所以，又平面，在平面外， 平面，平面， 又，平面， 平面平面． 【变式3】如图，在平行六面体中，，，. (1)以，，为基底向量，表示向量，； (2)求证：； (3)求的长. 【答案】(1)， (2)证明：因为，，， 所以，. 由（1）得 ， 所以，即． (3) 【详解】（1）在中，由空间向量的减法运算，得.    ． （2）略． （3）由（1）知， 所以 ，         所以． 题型07 用空间向量研究直线、平面的垂直关系 【典例1】在长方体中，已知，，点在平面上的射影为． (1)设，求，的值； (2)已知，，其中．若平面，求的值． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ， 设，则， 点在平面上的射影为，所以⊥平面， 因为平面，所以⊥，⊥， ， 由得 ， 即， ， 由得， 故，则， 将其代入中，可得， 整理得，解得， （2）， 设，， 因为，，所以， 所以，， 所以，， 所以， 则， 设平面的法向量为， 则， 令，则，，其中． 故， 若平面，则，即， 故， 其中，故， 上式可化简得， 若，此时，故，即两点重合，不合要求，舍去， 故，解得 【变式1】如图，三棱锥中，点在上，，，． (1)证明：； (2)若，，，．求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明： 因为且，，且， 所以平面. 因为平面，所以. 又，，平面， 平面，平面， 所以平面， 故. (2) 【详解】（1）略 （2）如图所示，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 可得， ， ， . 因为 且 ，所以. 所以，，. 设平面 的法向量 ，则， 可得，令，则：，，即. 设与平面所成的角为： 所以 ， 所以与平面所成的角的正弦值为. 法二：在 中，， 在 中，， 由（1）知，则. 在 中，. 在 中，. ， 为直角三角形，则. 设点到平面的距离为，与平面所成角为， 由得： ，即， 解得：. 所以. 【变式2】如图所示，直三棱柱的底面中，，，棱，M、N分别是、的中点． (1)求的长； (2)求证：． 【答案】(1)(2)证明见解析 【详解】（1）因为，， 所以是等边三角形， 所以， 又因为N是的中点， 所以, 在中，. （2）由已知 ， 所以， 所以. 【变式3】如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面，，. (1)求点到平面的距离. (2)求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）因为平面，，，所以， 以为坐标原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系， 由题意可得 ，，，， 过点作于点，则四边形为矩形，所以，， 在中，，所以，因为，所以， 所以 。 则 ，， 设平面 的法向量为 ， 则 ， 取，得，所以 ， 又 ，所以点到平面的距离. （2）由（1）可知，平面的一个法向量 ， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的大小为 . 题型08 用空间向量研究空间距离 【典例1】如图，四棱锥中，平面，四边形是矩形，E、F分别是、的中点．若，． (1)求证：平面； (2)求点F到平面的距离； (3)求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)如图建立空间直角坐标系，，，，，，. 取的中点G，连结，则． ，， ．即． 又平面，平面， 平面． (2) (3)． 【详解】（1）略 （2）设平面的法向量为，，． ．即． 取，得． 又， 故点F到平面的距离为． （3）， ． ∴直线与平面所成角的大小为． 【变式1】已知正方体的棱长为分别为正方体的棱的中点． (1)求证：平面； (2)求线段到平面的距离． 【答案】(1)取的中点，连接，， 因为点是的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 由于，分别为正方体的棱，的中点， 所以，，所以四边形为平行四边形，即， 因为平面，平面，所以平面， 由于，平面，平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面. (2) 【详解】（1）略 （2）如图建立空间直角坐标系， 则、、，， 所以，，， 设平面的法向量为，所以， 所以，令，则，所以， 设点到平面的距离为，则， 由（1）知，∥平面， 则线段到平面的距离即为点到平面的距离， 故线段到平面的距离为． 【变式2】如图，在正方体中，棱长为，为棱的中点，为侧面内的一点，已知，． (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)解法一：以为原点，建立如图空间直角坐标系． 则，，，，，． 因为为棱的中点，所以， 因为为侧面内的一点，且，所以可设，． 因为，所以． 所以， 所以． 又因为，，，平面，且， 所以平面． 所以为平面的法向量 ， 因为，且平面， 所以平面． 解法二：因为，设的中点为，连接，则， 所以在正方形中，，且平面，平面， 所以平面． 又因为为棱的中点，为中点，连接，则， 且平面，平面，所以平面， 因为，，平面，所以平面平面， 平面，所以平面； (2) (3) 【详解】（1）略 （2）以为原点，建立如图空间直角坐标系． 则，，，，，． 因为为棱的中点，所以． 因为为侧面内的一点，且，所以可设，． 因为，所以． 所以，所以            在正方体中，平面， 所以是平面的一个法向量，          又因为，设与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为； （3）因为，． 设平面的法向量为， 则，令可得， 所以． 所以点到平面的距离为． 【变式3】如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，且点和分别为和的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)设为棱上的点，若直线和平面的夹角的正弦值为，求线段的长. 【答案】(1)证明：如图，以为原点建立空间直角坐标系， 依题意， 因为和分别为和的中点，得，则； 平面的法向量为，； 因为直线平面，所以平面.(2)(3) 【详解】（1）略 （2），，， 设为平面的法向量，则， 不妨设，可得； 设为平面的法向量，则， 不妨设，可得； 因此有， 平面与平面的夹角的余弦值为. （3）设，其中，则，从而， 又平面的法向量为， 设直线与平面夹角为，则： 整理得：，又，解得. 题型09 用空间向量研究空间角 【典例1】如图1，平行四边形ABCD中，，，E是CD的中点，将沿AE翻折至，如图2所示． (1)若平面平面ABCE，证明：平面； (2)若二面角为120°，求二面角的余弦值． 【答案】(1)在平行四边形中，因为是的中点， 所以． 又，则，， 所以，． 又，则，即． 又平面平面，平面平面， 所以平面． (2) 【详解】（1）略 （2）分别取，的中点，，连接，． 由（1）知，． 因为，分别为，的中点，所以，则． 因为，所以，， 所以为二面角的平面角，则. 由题意，以为坐标原点，分别以，所在直线为轴，以过点且垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 则， ，，． 设平面的法向量为，所以 令，则． 设平面的法向量为，所以 令，则． 所以， 所以二面角的余弦值为． 【变式1】如图，在三棱锥中，，底面．    (1)求证：； (2)若，且点为线段上的动点，求直线与平面所成角的正切值的取值范围． 【答案】(1)底面，且底面， 故， 又， 故， 平面，且， 则平面， 又平面， 故． (2) 【详解】（1）略 （2）以为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系，    则， 点在上，设， 故，则， 故， 设平面的法向量为，则 ，令，则， 设直线与平面所成角为，则 ， ， 令， ，故， 故，当时取最小值， 当时取最大值． 【变式2】如图，已知正方体，其中点为线段上靠近的三等分点，点为直线，的交点． (1)若，求，，的值； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)，，(2) 【详解】（1）不妨设正方体棱长为3. 如图所示，以为原点，，，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 是、交点，故， 是靠近的三等分点，则， 向量，，，， 因为， 则， 即，解得. 则. （2），，，设平面法向量， 则， 令，得， 设线面角为，满足， 因为， ，， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值为. 【变式3】如图，三棱锥中，，平面平面． (1)求异面直线AC与BD所成角的余弦值； (2)若点F是线段AD（不含端点）上的一点，且直线AD与平面所成角大小为，求线段DF的长度． 【答案】(1)(2)1． 【详解】（1）取BC中点，连接OA、OD，又， 又平面平面，平面平面，平面， 平面， 为BC中点，，      如图，以分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系， 则， ， 设异面直线AC与BD所成的角为， 则，       所以异面直线AC与BD所成角的余弦值为. （2）设， 由（1）知，， 则，得，故． 设平面的法向量， 则， 令，得，即，      由直线AD与平面所成角大小为， 得．            ， 所以线段DF的长度为1． 题型10 存在性问题 【典例1】如图，是以为直径的圆上异于，的点，平面平面，，，，分别是，的中点，记平面与平面的交线为直线. (1)证明：平面； (2)直线l上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)连接并延长，交圆于点，连接， 则，， 所以四边形为矩形，所以， 因为，所以， 故平面与平面的交线为所在直线，即所在直线为直线， 因为为直径，所以， 因为平面平面，交线为，平面， 所以平面，即平面. (2)存在，1 【详解】（1）略 （2）在上取点，连接，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，垂直，的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为，， 所以，，，， ，， 则， 设平面的法向量为， 则 解得，令，则， 故，又， 故， 解得，故，即直线上存在点， 使得直线与平面所成的角的正弦值为，且. 【变式1】如图，在直三棱柱中，，，分别为的中点． (1)求证：平面； (2)设平面与平面的交线为，求二面角的余弦值； (3)在线段（不含端点）上是否存在点，使直线与平面所成角的正切值大小为？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由． 【答案】(1)设，连接， 四边形为平行四边形，为中点，又为中点，， 平面，平面，平面. (2)(3)存在点， 【详解】（1）略. （2）方法一：平面，平面，平面平面，； ，，平面,平面； 设为中点，则，平面， 平面，； 过作，，平面，平面， 连接，则，为二面角的平面角． ∽，，即，， 在中，，，， ，即二面角的余弦值为. 方法二：以为坐标原点，正方向为轴正方向，可建立如图空间直角坐标系， 则，，，，，； 设平面的法向量，则， 令，解得：，，； 轴平面，平面的一个法向量， ， 又二面角为锐二面角，二面角的余弦值为. （3）方法一：线段上存在点，当，与平面所成角的正切值大小为，理由如下： 设在面上射影为，则为与平面所成角. ，， ，，， ， ，； ，， 若与平面所成角的正切值大小为，即， 则， 在中，由余弦定理知：， 解得：. 方法二： 假设存在点满足题意， 设， ， 设平面的一个法向量，则， 令，解得：，，， 记直线与平面所成角为，则，， 即， 整理可得：，解得：（舍）或，. 【变式2】如图，在三棱锥中，平面，，E是的中点，F是线段上的一点（不含端点）． (1)证明：平面； (2)若二面角的大小为，判断是否存在点使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)因为平面，平面，所以； 又，是的中点，所以； 因为，，平面，所以平面． (2)存在， 【详解】（1）略 （2）由平面，得，，故， 设，以为原点，为轴，为轴，过作的垂线为轴，建立坐标系， ，，，，， 设，，， 平面的法向量为， 设直线与平面所成角为，则： ， 解得，故存在点使得直线与平面所成角的正弦值为， 此时． 【变式3】一束光线自点出发，被平面反射到达点被吸收，那么光线所经过的距离是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，点关于平面的对称点为， 则. 故选：D. 1．（多选）如图，平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（　　） A． B． C．向量与的夹角是 D．异面直线BD1与AC所成的角的余弦值为 【答案】AB 【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算和数量积运算，对选项中的命题进行分析判断，能求出结果. 【详解】在平行六面体中， 其中以顶点为端点的三条棱长均为6 ，且彼此夹角都是， . 对于A， ， ， A正确； 对于B， ， ，B正确； 对于C，连接，由题意可知是等边三角形，则， ，且向量与的夹角是， 向量与夹角是，C错误； 对于D，， ， ， ， 故异面直线与所成的角的余弦值为，故D错误. 故选：AB 2．（多选）如图，在正四棱柱中，，P是正四棱柱内一点（含表面），且，则下列结论正确的是（   ）    A．若，，，则点在平面内 B．若，，则平面 C．若，则平面 D．若，则点P到平面的距离为定值 【答案】ABD 【分析】建系，对于A，确定点坐标，即可判断，对于B，确定点坐标，由，可判断，对于C，确定点坐标，求得平面法向量，由可判断，对于D，由点到面的距离公式可判断. 【详解】    如图建立空间直角坐标系， ， 由可得：， 对于A，，即为的中点，所以点P在平面内，正确， 对于B，，则，， 由， 可知：，又为平面两条相交直线， 所以平面，正确， 对于C，， 设为平面的法向量， 则， 令，则， 即 又， 所以与不垂直， 所以平面不成立，错误； 对于D，，平面的法向量为， 所以点P到平面的距离为， 因为，所以，定值，正确， 故选：ABD 3．如图所示，在四面体中，点E是CD的中点，记，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】连接，如图所示， ∵E是CD的中点，，， ∴， 在中，， 又，∴． 4．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量基本定理将用，和表示出来，对照各项系数计算即得. 【详解】∵，∴， ∴ ， 则，，，故． 故选：A. 5．如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用给定的基底，结合空间向量线性运算求出. 【详解】依题意有. 故选：B. 6．已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设向量在基底下坐标为，用该基底表示出向量，再由在基底下坐标为，表示出向量，建立等式求出即可. 【详解】设向量在基底下坐标为， 则. 已知在基底下坐标为， 即. 所以， 即， 则：， 所以向量在基底下的坐标是， 故选：B. 7．设，向量，，，且，，则（　　） A． B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据向量平行和垂直求的值，进而求和. 【详解】因为向量，，， 若，则，解得，所以； 且，则，解得，所以； 可得，所以. 故选：C. 8．如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，侧面底面．求证： (1)； (2)平面平面. 【答案】(1)取的中点为，连接， 因为， 所以， 因为侧面底面，侧面底面，平面， 所以底面， 又因为四棱锥的底面是直角梯形， 所以以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，， 所以，， 所以，即. (2)，，，， 设平面的法向量为， 则， 令，则，，可以求得面的一个法向量； 设平面的法向量为，则， 令，则，，可以求得面的一个法向量， 又因为，所以，平面平面. 9．已知是平行六面体，、分别为棱和的中点． (1)化简，并在图中标出化简结果 (2)设是底面的中心，是侧面对角线上靠近的四等分点，设，试求的值． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）由空间向量的运算，代入计算，即可得到结果； （2）由题意可得，，且，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1） 取的中点，则 . （2）因为是底面的中心，则， 因为是侧面对角线上靠近的四等分点， 所以， 则， 又，则， 所以. 10．如图甲，在梯形中，，，，是的中点，将沿折起，使点到达点的位置，如图乙，且.    (1)求证：平面平面； (2)求点到平面的距离； (3)设的中点为，在平面内取点，使得直线平面，问点是否在内？ 【答案】(1)证明：取的中点，连结，，因为，所以， 在中，，所以， 在中，， 在中， ，，，所以， 所以，又因为，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. (2). (3)点不在内 【分析】（1）取的中点，通过证明和，证得平面，可证平面平面； （2）以点为原点建立空间直角坐标系，向量法求点到平面的距离； （3）设，由在平面内可知，再由平面，求出点坐标，判断结论即可. 【详解】（1）略 （2）连结，，， ，所以， 且，由（1）可知平面， 又因为平面， 所以，，所以两两垂直， 如图，以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，    则， ， 设平面的法向量为，则，     取，得，则， 所以点到平面的距离. （3）设，由在平面内可知， 即， 所以，即，所以， 因为平面，所以是平面的一个法向量，所以， 即，解得，故， 而，可知点不在内. 11．折纸是一种将纸张折成各种不同形状的艺术活动.“菱角”折纸教程：如图1，将一张长方形的纸条用虚线分成6个全等的等腰直角三角形，沿着虚线折叠便可得到一个如图2所示的“菱角”.      (1)证明：平面； (2)试判断该“菱角”所有的顶点是否在同一个球面上，并说明理由； (3)求二面角的余弦值. 【答案】(1) 由题可知，，平面， 则平面，平面，所以，同理可得． 因为，平面，所以平面． (2)不是，理由如下： 由题可知，该＂菱角＂由两个正三棱锥组成，且． 根据对称性，可知，在平面内的投影为的中心． 若该＂菱角＂所有的顶点在同一个球面上，则为球心，连接． 不妨令，则，. 因为，所以该＂菱角＂所有的顶点不在同一个球面上． (3). 【分析】（1）首先利用线面垂直证明得平面，则，同理得，最后利用线面垂直的判定即可证明； （2）假设所有顶点在同意球面上，计算得即可得到矛盾点，则证明结论； （3）建立合适的空间直角坐标系，求出相关平面的法向量，最后利用面面角的空间向量求法即可得到答案. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由（2）知的中心为，过作的平行线，易得该直线与两两垂直． 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 令，得， 则. 设平面的法向量为， 由，可得，令，得， 设平面的法向量为， 由，可得， 令，得． ， 由图可知．二面角为锐角，故二面角的余弦值为.    12．如图，在中，为的中点，过点作交于点，将沿翻折至，得到四棱锥为棱上一动点（不包含端点）． (1)若为棱的中点，证明：平面； (2)若，直线与平面所成角的正弦值为． （ⅰ）求； （ⅱ）求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2)（ⅰ）；（ⅱ）. 【分析】（1）根据已知得是等边三角形，取的中点，连接，进而得，再由线面、面面平行的判定定理证明平面平面，再由线面平行的性质证明结论； （2）（i）根据已知构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，设，进而得，求直线与平面的方向向量和法向量，应用向量法求线面角及已知列方程求出参数值；（ii）应用点面距离的向量求法求点面距离. 【详解】（1）因为，所以， 因为为的中点，则，所以是等边三角形， 取的中点，连接，则， 又为棱的中点，且，即，则． 因为平面平面平面平面， 所以平面，平面， 又平面，所以平面平面， 又平面，所以平面． （2）（ⅰ）因为，所以． 所以，因为，所以， 又平面，所以平面， 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以， 则， 设，则， 设平面的法向量为，则，即， 令，得，则． 设直线与平面所成的角为，所以， 整理得，解得（舍），所以． （ⅱ）由（ⅰ）知， 设平面的法向量为，则，即， 令，得，则， 所以点到平面的距离为． 13．如图，在三棱锥中，是边长为2的正三角形，为的中点，为的中点，且平面底面.设.    (1)求证：底面； (2)设为的重心，.求证：是三棱锥外接球的球心； (3)若平面与平面所成夹角的正弦值的平方等于，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)或 【分析】（1）根据面面垂直的性质即可得证； （2）根据平面图形的性质结合勾股定理证得即可得证； （3）以为坐标原点，所在方向为轴，过且垂直于底面的方向为轴，建立空间直角坐标系.设，分别求出平面与平面的法向量、，由题意可得平面与平面所成夹角的余弦值为，再由求得，进而可求得的值. 【详解】（1）因为平面底面，平面底面，且平面， 所以底面. （2）因为为的中点，为的中点，且为的重心，由题意可得 ，从而. 又，如图1所示， ∴. 即， 故. 因此，是三棱锥外接球的球心.    （3）以为坐标原点，所在方向为轴，过且垂直于底面的方向为轴，建立如图2所示的空间直角坐标系.    则. 设，则. 于是. 设平面和平面的法向量分别为， 则. 令，得； 令，得. 设平面与平面所成的夹角为，则由题意可得 . 所以， . 整理得，即， 解得或. 当时，，得； 当时，，得. 综上，或. 14．如图，在多面体ABCDE中，，，都是边长为2的等边三角形，平面平面，平面平面． (1)判断A，B，D，E四点是否共面，并说明理由； (2)在中，试在边BC的中线上确定一点Q，使得平面BCE，并求． 【答案】(1)共面，理由见解析 (2)Q为OA中点， 【分析】（1）取BC的中点O，取CD的中点H，以为原点建系，求证即可； （2）设，根据，求出点坐标即可计算. 【详解】（1）A，B，D，E四点共面．理由如下： 如图，取BC的中点O，连接AO，DO，取CD的中点H，连接EH， 在多面体ABCDE中，，，都是边长为2的等边三角形， 则在等边三角形DCE中，， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 同理，得平面，平面， 所以OA，OB，OD两两垂直，且， 以O为坐标原点，OA，OB，OD所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Oxyz． 则，，，，， 设，由，即， 解得，，，所以，所以． 又，，所以，则共面， 因为B为公共点，所以A，B，D，E四点共面． （2）如图，设，故． 若平面，则，，即，解得， 所以Q为OA中点时，平面． 当时，，又，，， 所以，，则． 15．如图，在棱长为1的正方体中，点是侧面上的一个动点（包含边界）． (1)若，求的最小值； (2)若，求与夹角的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】以为原点，，，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，根据题设及向量模的求法，线线夹角的求法可得结果． 【详解】（1）以为原点，，，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设． ，， 由于，所以，即． 又，所以， 由于，所以当时取得最小值． （2），， 因为，所以，即． 又． 由于，所以（利用二次函数的性质求解）， 即当或1时，取得最小值，因此的最大值为， 即与夹角的最大值为． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $