2.1 直线的倾斜角与斜率-【新教材】人教A版高中数学选择性必修第一册同步讲义（学生版+教师版）

直线的倾斜角与斜率 要点一、直线的倾斜角 平面直角坐标系中，对于一条与 轴相交的直线，如果把 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为 ，则 叫做直线的倾斜角. 规定：当直线和 轴平行或重合时，直线倾斜角为 ，所以，倾斜角的范围是 ． 要点诠释： 1.要清楚定义中含有的三个条件 ①直线向上方向；② 轴正向；③小于 的角. 2.从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由 轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角. 3.倾斜角 的范围是 .当 时，直线与x轴平行或与x轴重合. 4.直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应. 5.已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线的位置. 要点二、直线的斜率 1．定义： 倾斜角不是 的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用 表示，即 ． 要点诠释： (1)当直线 与x轴平行或重合时，=0°，k=tan0°=0； (2)直线 与x轴垂直时，=90°，k不存在. 由此可知，一条直线 的倾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在. 2．直线的倾斜角 与斜率 之间的关系 由斜率的定义可知，当 在 范围内时，直线的斜率大于零；当 在 范围内时，直线的斜率小于零；当 时，直线的斜率为零；当 时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾斜角( 除外)为一一对应关系，且在 和 范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在 或 范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然． 要点三、斜率公式 已知点 、 ，且 与 轴不垂直， 过两点 、 的直线的斜率公式 . 要点诠释： 1.对于上面的斜率公式要注意下面五点： (1) 当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角=90°，直线与x轴垂直； (2)k与P1、P2顺序无关，即y1，y2和x1，x2在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换； (3)斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得； (4)当y1=y2时，斜率k=0，直线的倾斜角=0°，直线与x轴平行或重合； (5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到． 2.斜率公式的用途：由公式可解决下列类型的问题： (1)由 、 点的坐标求 的值； (2)已知 及 中的三个量可求第四个量； (3)已知 及 、 的横坐标(或纵坐标)可求 ； (4)证明三点共线. 要点四、两直线平行的条件 设两条不重合的直线 的斜率分别为 .若 ，则 与 的倾斜角 与 相等. 由 ，可得，即.因此，若 ，则 .反之，若 ，则 . 要点诠释： 1.公式 成立的前提条件是①两条直线的斜率存在分别为 ；② 不重合； 2.当两条直线的斜率都不存在且不重合时， 的倾斜角都是 ，则 . 要点五、两直线垂直的条件 设两条直线 的斜率分别为 .若 ，则 . 要点诠释： 1.公式 成立的前提条件是两条直线的斜率都存在； 2.当一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线也垂直. 【典型例题】 类型一：直线的倾斜角与斜率 例1．设直线 过原点，其倾斜角为 ，将直线 绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线 ，则直线 1的倾斜角为（ ） A． +45° B． －135° C．135°－ D．当0°≤ ＜135°时，为 +45°，当135°≤ ＜180°时，为 －135° 【答案】D【解析】倾斜角的范围是[0°，180°），因此，只有当 +45°∈[0°，180°），即当0°≤ ＜135°时， 的倾斜角才是 +45°，而当135°≤ ＜180°时， 的倾斜角为 －135°．故应选D． 举一反三： 【变式1】 下列说法中，正确的是（ ） A．直线的倾斜角为 ，则此直线的斜率为tan B．直线的斜率为tan ，则此直线的倾斜角为 C．若直线的倾斜角为 ，则sin ＞0 D．任一直线都有倾斜角，但它不一定有斜率 【答案】D【解析】本题主要考查直线的斜率与倾斜角的关系． 对于A，当 =90°时，直线的斜率不存在，∴A错；对于B，虽然直线的斜率为tan ，但只有当 ∈[0°，180°）时， 才是此直线的倾斜角，∴B错；对于C，当直线平行于x轴时， =0°，而sin0°=0，∴C错．∴应选D． 例2．如图所示，直线 的倾斜角 ，直线 与 垂直，求 ， 的斜率． 【解析】由图形可知， ，则k1，k2可求． 直线 的斜率 ． ∵直线 的倾斜角 =90°+30°=120°， ∴直线 的斜率k2=tan120°=tan(180°―60°)=―tan60°= ． 举一反三： 【变式1】直线 的倾斜角的范围是（ ） A． B． C．