专题1.3 空间向量及其运算的坐标表示（高效培优讲义）数学人教A版高二选择性必修第一册

本讲义聚焦空间向量的坐标表示与运算核心知识点，通过类比平面向量坐标运算，构建从二维到三维的认知支架，涵盖空间直角坐标系建立、向量坐标表示、线性运算与数量积的坐标公式、平行垂直判定及模长夹角距离计算。 该资料以“即学即练+题型分类”为特色，结合正方体中点坐标、向量平行垂直判定等实例，培养类比推理的数学思维与空间观念，课中助力分层教学，课后便于学生针对性巩固，提升运算求解与问题解决能力。

专题1.3 空间向量及其运算的坐标表示 教学目标 1.掌握空间直角坐标系的建立方法，熟记空间向量坐标运算公式，能熟练进行向量加减、数乘、数量积的坐标运算。 2.通过类比平面向量坐标运算，迁移推导空间向量运算规律，提升数形结合、类比推理与运算求解能力。 3.体会向量坐标化简化立体几何问题的优势，培养规范运算、严谨推导的数学学习素养。 教学重难点 1.重点 掌握空间向量线性运算、数量积运算的坐标计算公式。 熟练运用坐标公式求解向量模长、夹角、两点间空间距离。 掌握空间向量平行、垂直的坐标判定条件及基础应用。 2.难点 准确根据空间几何体顶点坐标，正确写出对应向量坐标。 灵活利用向量夹角、数量积公式解决立体几何角度问题。 结合空间图形综合运用坐标运算，解决含参数、位置关系的综合题型。 知识点01 空间向量的正交分解及其坐标表示 1、空间直角坐标系 空间直角坐标系及相关概念 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点和一个单位正交基底，以为原点，分别以 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：_________，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系. (2)相关概念：叫做原点，都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面、平面、平面，它们把空间分成八个部分． 2、空间向量的坐标表示 2.1空间一点的坐标：在空间直角坐标系中，为坐标向量，对空间任意一点，对应一个向量，且点的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.在单位正交基底下与向量 对应的有序实数组叫做点在此空间直角坐标系中的坐标，记作，其中叫做点的横坐标，叫做点的纵坐标，叫做点的竖坐标． 2.2空间向量的坐标：在空间直角坐标系中，给定向量，作.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.有序实数组_________叫做在空间直角坐标系中的坐标，上式可简记作. 【即学即练】 1．如图，在边长为4的正方体中，，，分别是，，的中点．以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．写出，，，，五点的坐标； 2．点关于平面对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．已知是空间直角坐标系中的一点，则点关于平面对称的点和点关于点的对称点分别是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 知识点02 空间向量运算的坐标表示 设，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 【即学即练】 1．（多选）已知空间向量，则（    ） A． B．向量是共面向量 C． D． 2．已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．不能构成空间向量一个基底 知识点03 空间向量平行与垂直的条件，几何计算的坐标表示 1、两个向量的平行与垂直 平行（） 垂直（） （均非零向量） 特别提醒：在中，应特别注意，只有在与三个坐标平面都不平行时，才能写成.例如，若与坐标平面平行，则，这样就没有意义了. 2、向量长度的坐标计算公式 若，则，即__________________ 空间向量长度公式表示的是向量的长度，其形式与平面向量长度公式一致，它的几何意义是表示长方体的体对角线的长度 3、两个向量夹角的坐标计算公式 设，则 4、两点间的距离公式 已知，则___________________________ 【即学即练】 1．已知，，求： (1)； (2)向量与夹角的余弦值. 2．（多选）已知空间向量，，则下列选项中正确的是（ ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 3．已知 ，且，则（    ） A．-5 B． C．4 D． 题型01 空间向量的坐标表示 解决这类给定直角坐标系，求相关点的空间坐标时，关键是确定这些点在坐标轴的三个不同方向上的分解向量的模．同一几何图形中，由于空间直角坐标系建立的不同，从而各点的坐标在不同的坐标系中也不一定相同，但其实质是一样的．建立空间直角坐标系的关键是根据几何图形的特征，尽量先找到三条互相垂直且交于一点的线段，如若找不到，就要想办法构造． 【典例1】在空间直角坐标系中，点到平面的距离为，到平面的距离为，到平面的距离为，则的坐标可能为（　　） A． B． C． D． 【变式1】已知轴上一点到点与点距离相等，则点的竖坐标为（   ） A． B． C．1 D．2 【变式2】（多选）如图，在长方体中，，，，分别以有向直线为轴，轴，的正方向，以为单位长度，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（   ） A．点的坐标为 B．点关于点对称的点为 C．点关于直线对称的点为 D．点关于平面对称的点为 题型02 空间向量的直角坐标运算 空间向量的加、减、数乘运算与平面向量的加、减、数乘运算方法类似，向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和。 【典例1】已知，则（    ） A．11 B． C．45 D．3 【变式1】若，则（   ） A．-29 B．-22 C．22 D．29 【变式2】已知点、，C为线段AB上一点，若，则点C的坐标为_________. 题型03 空间向量的共线与共面 （1）在空间直角坐标系下，两向量的共线，可利用向量的共线定理，通过列方程组求解.要证三向量共面，即证存在，使得. （2）在空间直角坐标系下，两向量的共线，三向量的共面问题，均可灵活应用共线，共面的基本定理，利用向量坐标通过方程求解。 【典例1】与＝(2,－1,2)共线且满足＝－18的向量＝________. 【变式1】已知，，若与共线，则实数（    ） A．-2 B． C． D．2 【变式2】已知空间向量，若共面，则____________． 题型04 空间向量模长坐标表示 若，则 . 【典例1】（多选）已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（    ） A．与方向相同的单位向量的坐标是 B．在上的投影向量的坐标是 C．与夹角的余弦值是 D．A、B两点间距离为 【变式1】已知向量，，若，则的值为（　　） A．1 B． C． D． 【变式2】向量，，，且，，则（   ） A． B． C． D． 题型05 空间向量平行坐标表示 若，则 【典例1】已知， (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 【变式1】已知，，． (1)求； (2)若，求实数，的值． 【变式2】（多选）已知空间向量，，则下列选项中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 题型06 空间向量垂直坐标表示 若，则 【典例1】已知，，若，则________． 【变式1】若向量，且，则实数的值是（    ） A．0 B．1 C． D． 【变式2】设、，向量，，且，，则（   ） A． B． C．4 D．3 题型07 空间向量夹角坐标表示 若，则 (1). (2). 【典例1】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（多选）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则（    ） A． B．与夹角的余弦值为 C．是等腰直角三角形 D．与平行的单位向量的坐标为或 【变式2】已知空间三点，，，则在中边上的中线长为______，以为邻边的平行四边形的面积为______． 1．设，向量，，且，，则（    ） A． B．3 C． D．4 2．设为空间中三个不同的向量，如果成立的等价条件为，则称线性无关，否则称它们线性相关．若，，线性相关，则（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 3．如图所示，在空间四边形中，，，，点是的中点，且平面平面．若以为原点建立空间直角坐标系，点的坐标是，则向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．已知，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5．已知向量，，，若、、共面，则等于（    ） A． B． C． D． 6．已知空间向量，若与垂直，则（    ） A． B． C． D．14 7．已知，，则向量在向量上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 8．空间直角坐标系中，点关于平面的对称点是（   ） A． B． C． D． 9．如图，在直三棱柱的底面三角形中，，，，为的中点，试建立恰当的空间直角坐标系． (1)写出，，，四点的坐标； (2)写出向量，，的坐标． 10．已知空间三点，设. (1)求和的夹角的余弦值; (2)若向量与互相垂直，求的值. 1．已知向量，，，平面的法向量为，则的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．在空间直角坐标系中，四点共面，则的值为（   ） A．4 B．1 C．6 D．－6 3．在空间直角坐标系中，，，点满足，则点到轴距离的最大值为（     ） A． B．4 C． D． 4．若向量，，共面，则（     ） A． B． C． D． 5．对于三维向量，，定义，，，则（    ） A． B． C． D．以上选项均不正确 6．已知向量，，，若向量，，共面，则的值为（    ） A． B． C． D．6 7．已知空间向量，平面的一个法向量为，则向量在平面上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 8．正方体的棱长为点为的中点，点为底面上的动点，满足的点的轨迹长度为（    ） A． B．2 C． D． 9．如图，在直三棱柱中，，，为AB的中点，点在线段上，点在线段上，求线段EF长的最小值． 10．已知空间中三点、、，设，． (1)若，且，求向量； (2)已知向量与互相垂直，求实数k的值； (3)求以，为一组邻边的平行四边形的面积S． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3 空间向量及其运算的坐标表示 教学目标 1.掌握空间直角坐标系的建立方法，熟记空间向量坐标运算公式，能熟练进行向量加减、数乘、数量积的坐标运算。 2.通过类比平面向量坐标运算，迁移推导空间向量运算规律，提升数形结合、类比推理与运算求解能力。 3.体会向量坐标化简化立体几何问题的优势，培养规范运算、严谨推导的数学学习素养。 教学重难点 1.重点 掌握空间向量线性运算、数量积运算的坐标计算公式。 熟练运用坐标公式求解向量模长、夹角、两点间空间距离。 掌握空间向量平行、垂直的坐标判定条件及基础应用。 2.难点 准确根据空间几何体顶点坐标，正确写出对应向量坐标。 灵活利用向量夹角、数量积公式解决立体几何角度问题。 结合空间图形综合运用坐标运算，解决含参数、位置关系的综合题型。 知识点01 空间向量的正交分解及其坐标表示 1、空间直角坐标系 空间直角坐标系及相关概念 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点和一个单位正交基底，以为原点，分别以 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系. (2)相关概念：叫做原点，都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面、平面、平面，它们把空间分成八个部分． 2、空间向量的坐标表示 2.1空间一点的坐标：在空间直角坐标系中，为坐标向量，对空间任意一点，对应一个向量，且点的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.在单位正交基底下与向量 对应的有序实数组叫做点在此空间直角坐标系中的坐标，记作，其中叫做点的横坐标，叫做点的纵坐标，叫做点的竖坐标． 2.2空间向量的坐标：在空间直角坐标系中，给定向量，作.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.有序实数组叫做在空间直角坐标系中的坐标，上式可简记作. 【即学即练】 1．如图，在边长为4的正方体中，，，分别是，，的中点．以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．写出，，，，五点的坐标； 【答案】，，，， 【详解】根据点的位置写出各点的坐标； 由题可知，，，，，. 2．点关于平面对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】点关于平面对称点的坐标为. 故选：A 3．已知是空间直角坐标系中的一点，则点关于平面对称的点和点关于点的对称点分别是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【详解】设点关于平面对称的点为，易知两个点的横坐标与竖坐标相同，纵坐标相反，故点； 设点关于点对称的点为，则点为线段的中点，故有：，解得，即. 故选：A. 知识点02 空间向量运算的坐标表示 设，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 【即学即练】 1．（多选）已知空间向量，则（    ） A． B．向量是共面向量 C． D． 【答案】ABC 【详解】，A正确； 设，即，解得， 即，所以共面，B正确； ，所以，C正确； ，D错误. 2．已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，且，则，解得， 所以，故，故， 故选：B. 3．已知向量，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．不能构成空间向量一个基底 【答案】B 【详解】向量， 对于A：，故A正确； 对于B：，故B不正确； 对于C：，故C正确； 对于D：，故是共面向量， 不能构成空间向量的一组基底，故D正确． 故选：B． 知识点03 空间向量平行与垂直的条件，几何计算的坐标表示 1、两个向量的平行与垂直 平行（） 垂直（） （均非零向量） 特别提醒：在中，应特别注意，只有在与三个坐标平面都不平行时，才能写成.例如，若与坐标平面平行，则，这样就没有意义了. 2、向量长度的坐标计算公式 若，则，即 空间向量长度公式表示的是向量的长度，其形式与平面向量长度公式一致，它的几何意义是表示长方体的体对角线的长度 3、两个向量夹角的坐标计算公式 设，则 4、两点间的距离公式 已知，则 【即学即练】 1．已知，，求： (1)； (2)向量与夹角的余弦值. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）因为，所以， 解得，则， 因为，所以，即， 解得，所以. （2）由（1）得， 所以向量与夹角的余弦值为 . 2．（多选）已知空间向量，，则下列选项中正确的是（ ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】BC 【详解】对于A，由，得，解得，A错误； 对于B，由得，存在实数，使得，则， 即，解得，，B正确； 对于C，当时，，，，C正确； 对于D，当时，，，D错误. 故选：BC 3．已知 ，且，则（    ） A．-5 B． C．4 D． 【答案】D 【详解】因为 ，且， 所以，解得. 故选：D. 题型01 空间向量的坐标表示 解决这类给定直角坐标系，求相关点的空间坐标时，关键是确定这些点在坐标轴的三个不同方向上的分解向量的模．同一几何图形中，由于空间直角坐标系建立的不同，从而各点的坐标在不同的坐标系中也不一定相同，但其实质是一样的．建立空间直角坐标系的关键是根据几何图形的特征，尽量先找到三条互相垂直且交于一点的线段，如若找不到，就要想办法构造． 【典例1】在空间直角坐标系中，点到平面的距离为，到平面的距离为，到平面的距离为，则的坐标可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设点，由题意可得，解得， 故点的坐标可能为， 故选：B. 【变式1】已知轴上一点到点与点距离相等，则点的竖坐标为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】设点的坐标，根据空间两点距离公式列方程求解. 【详解】由题：设，点到点与点的距离相等， 所以， ，， 解得：， 则点的竖坐标为 故选：A 【变式2】（多选）如图，在长方体中，，，，分别以有向直线为轴，轴，的正方向，以为单位长度，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（   ） A．点的坐标为 B．点关于点对称的点为 C．点关于直线对称的点为 D．点关于平面对称的点为 【答案】ACD 【详解】由图形及其已知可得，点的坐标为 点关于点对称的点为 因为，所以四边形为菱形， 所以点关于直线对称的点为 点关于平面对称的点为 故选：ACD 题型02 空间向量的直角坐标运算 空间向量的加、减、数乘运算与平面向量的加、减、数乘运算方法类似，向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和。 【典例1】已知，则（    ） A．11 B． C．45 D．3 【答案】A 【详解】因为， 所以， 所以. 故选： 【变式1】若，则（   ） A．-29 B．-22 C．22 D．29 【答案】A 【详解】由，得， 所以． 故选：A． 【变式2】已知点、，C为线段AB上一点，若，则点C的坐标为_________. 【答案】 【详解】∵，∴ ∴， ∴， 即点C的坐标为 故答案为：. 题型03 空间向量的共线与共面 （1）在空间直角坐标系下，两向量的共线，可利用向量的共线定理，通过列方程组求解.要证三向量共面，即证存在，使得. （2）在空间直角坐标系下，两向量的共线，三向量的共面问题，均可灵活应用共线，共面的基本定理，利用向量坐标通过方程求解。 【典例1】与＝(2,－1,2)共线且满足＝－18的向量＝________. 【答案】(－4,2,－4) 【详解】∵共线，设＝(2λ,－λ,2λ)． ∴＝4λ＋λ＋4λ＝－18，可得λ＝－2， ∴z＝(－4,2,－4)． 故答案为：(－4,2,－4) 【变式1】已知，，若与共线，则实数（    ） A．-2 B． C． D．2 【答案】B 【详解】∵，， ∴，. ∵与共线， ∴，即. 故选：B. 【变式2】已知空间向量，若共面，则____________． 【答案】6 【详解】若共面，则存在实数，使得， 即． 所以，解得．所以． 故答案为： 题型04 空间向量模长坐标表示 若，则 . 【典例1】（多选）已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（    ） A．与方向相同的单位向量的坐标是 B．在上的投影向量的坐标是 C．与夹角的余弦值是 D．A、B两点间距离为 【答案】ABD 【详解】由题可得， 由单位向量的定义可知与方向相同的单位向量的坐标是，故A正确， 在上的投影向量的坐标是，故B正确； 与夹角的余弦值是，故C错误； A、B两点间的距离即，故D正确. 故选：ABD. 【变式1】已知向量，，若，则的值为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】由已知得，， 且， 由得，， 即，解得 故选：D 【变式2】向量，，，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，，则，解得， ，， ， . 故选：C. 题型05 空间向量平行坐标表示 若，则 【典例1】已知， (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）因为，，所以， ， 因为，则，解得. （2）若，则，解得. 【变式1】已知，，． (1)求； (2)若，求实数，的值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）因为，， 则，，， 所以. （2）由题意可得：， 因为，且， 设，即， 则，解得. 【变式2】（多选）已知空间向量，，则下列选项中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】BD 【详解】A：，则，可得，错； B：，则，可得，对； C：，可得或，错； D：，则，故，则，对. 故选：BD 题型06 空间向量垂直坐标表示 若，则 【典例1】已知，，若，则________． 【答案】4 【详解】先计算，由题意可得： ， 所以. 故答案为：4 【变式1】若向量，且，则实数的值是（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【详解】，， ， 由，则，解得. 故选：C. 【变式2】设、，向量，，且，，则（   ） A． B． C．4 D．3 【答案】D 【详解】由，得，解得，即， 由，得，解得，即，因此， 所以. 故选：D 题型07 空间向量夹角坐标表示 若，则 (1). (2). 【典例1】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量夹角公式的坐标表示求解. 【详解】由已知两式相加，得即， 两式相减可得即， 所以. 故选：C 【变式1】（多选）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则（    ） A． B．与夹角的余弦值为 C．是等腰直角三角形 D．与平行的单位向量的坐标为或 【答案】ABD 【详解】A：，则，对； B：，， 则，，所以，对； D：与平行的单位向量为，即或，对； C：根据A、B的分析过程，知三条边长各不相等，所以不是等腰直角三角形，错. 故选：ABD 【变式2】已知空间三点，，，则在中边上的中线长为______，以为邻边的平行四边形的面积为______． 【答案】 【详解】由题设，边上的中点坐标是， 所以边上的中线长， 由题意得，， 所以，，， 所以， 因为，所以， 所以为邻边的平行四边形的面积为. 故答案为：， 1．设，向量，，且，，则（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【详解】向量，且， ∴，解得， ∴， ∴， 故选：B 2．设为空间中三个不同的向量，如果成立的等价条件为，则称线性无关，否则称它们线性相关．若，，线性相关，则（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】D 【详解】由，，线性相关， 则， 即，不同时为0，解得. 故选：D 3．如图所示，在空间四边形中，，，，点是的中点，且平面平面．若以为原点建立空间直角坐标系，点的坐标是，则向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，易知点在平面上， 已知点是坐标原点，由平面平面知平面为坐标平面， 平面为坐标平面，则点的横坐标为0． 在平面内，过点作的垂线即为轴，过点作交于点， 在中，因为，，，所以，． 在中，， 所以．所以点的坐标为， 所以． 故选：B 4．已知，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，，得，， 所以在上的投影向量为. 故选：C 5．已知向量，，，若、、共面，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为向量，，，且、、共面， 由题意可知，存在、，使得， 即，所以，故. 故选：D. 6．已知空间向量，若与垂直，则（    ） A． B． C． D．14 【答案】B 【分析】根据空间向量数量积的运算及空间向量的模求解. 【详解】因为与垂直， 所以，解得， 所以， 故. 故选：B 7．已知，，则向量在向量上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知，，可得： 且，那么。 根据向量投影向量的计算公式，向量在向量上的投影向量为。 将，，代入可得：. 故选：C. 8．空间直角坐标系中，点关于平面的对称点是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据对称点坐标规律，空间直角坐标系中点关于平面的对称点是. 故选：A. 9．如图，在直三棱柱的底面三角形中，，，，为的中点，试建立恰当的空间直角坐标系． (1)写出，，，四点的坐标； (2)写出向量，，的坐标． 【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析. 【详解】（1）由，知，结合直三棱柱的性质知侧棱，，即两两互相垂直， 以为原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示， 易知，点在轴上，点在轴上，且，， 则，，，； （2）， ， ． 10．已知空间三点，设. (1)求和的夹角的余弦值; (2)若向量与互相垂直，求的值. 【答案】(1)(2)2或 【详解】（1）由点，得， 所以，所以和夹角的余弦值为 （2）由（1）可得， 因为向量与互相垂直， 则， 整理可得，解得或， 所以的值为2或. 1．已知向量，，，平面的法向量为，则的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】平面的法向量与平面内所有向量垂直，故， 解得，故． 2．在空间直角坐标系中，四点共面，则的值为（   ） A．4 B．1 C．6 D．－6 【答案】C 【详解】由， 得. 因为四点共面，所以存在唯一实数对，使得， 所以，解得. 故的值为. 3．在空间直角坐标系中，，，点满足，则点到轴距离的最大值为（     ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【详解】设，则，， 由可得，， 整理得：. 所以点轨迹是以为球心，以为半径的球面. 因为点到轴的距离为， 所以点到轴距离的最大值为. 4．若向量，，共面，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间三个向量共面的充要条件，将共面关系转化为线性表示关系，列方程组求解参数． 【详解】空间中三个向量共面的充要条件为：若与不共线，则存在实数对，使得， 所以， 所以，即，，． 5．对于三维向量，，定义，，，则（    ） A． B． C． D．以上选项均不正确 【答案】A 【详解】已知，，根据题意，， 因此. 6．已知向量，，，若向量，，共面，则的值为（    ） A． B． C． D．6 【答案】C 【分析】根据向量共面的条件，，使得，再列方程组求解即可． 【详解】解：向量，，共面， ，使得， ，解得， ，． 7．已知空间向量，平面的一个法向量为，则向量在平面上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】向量在法向量上的投影向量为 ， 设向量在平面上的投影向量，由平行四边形法则可得， 故. 8．正方体的棱长为点为的中点，点为底面上的动点，满足的点的轨迹长度为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【详解】以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系， 所以，设点， 所以， 由， 所以，所以， 又，所以， 所以点的轨迹为平面上的线段：，即图中线段， 所以. 9．如图，在直三棱柱中，，，为AB的中点，点在线段上，点在线段上，求线段EF长的最小值． 【答案】 【详解】依题意，、、两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，则，， 设，，则， 设，，则． 若线段EF的长最小，则必满足，则，可得，即， 因此，， 当且仅当时等号成立，所以线段EF长的最小值为． 10．已知空间中三点、、，设，． (1)若，且，求向量； (2)已知向量与互相垂直，求实数k的值； (3)求以，为一组邻边的平行四边形的面积S． 【答案】(1)或(2)(3)3 【详解】（1）∵空间中三点，，，，， ∴． ∵，且，∴设，则， ∴，∴， ∴或． （2）由题意得， ∴， ∵向量与互相垂直，∴，解得． （3），，， ，， 故， ∴． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $