1.4.1 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

本讲义聚焦空间中点、直线和平面的向量表示核心知识点，系统梳理点的位置向量、直线方向向量、平面法向量的定义及表示方法，搭建平面向量到空间几何问题解决的学习支架，为后续空间角与距离计算奠定基础。 该资料以情境导入激发探究兴趣，通过问题链引导数学抽象，结合正方体模型培养直观想象，例题与训练题强化数学运算。课中助力教师互动教学，课后规律方法总结与分层练习帮助学生查漏补缺，提升空间向量应用能力。

第一课时　空间中点、直线和平面的向量表示 课标要求 1.能用向量语言表述直线和平面（数学抽象）. 2.理解直线的方向向量与平面的法向量（直观想象）. 3.会求直线的方向向量与平面的法向量（数学运算）. 情境导入 　　我们知道，点、直线和平面是空间的基本图形，点、线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素.因此，为了用空间向量解决立体几何问题，首先要用向量表示空间中的点、直线和平面.本节我们就来研究如何用空间向量表示空间中的点、直线和平面. 知识点一｜空间中点、直线的向量表示 问题1　（1）在空间中，如何用向量表示空间中的一个点？ 提示：在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示，我们把向量称为点P的位置向量. （2）我们知道，在平面中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直线l.那么在空间中，若给定一个点A和一个方向能唯一确定一条直线l吗？如何用向量表示直线l？ 提示：能.如图1，a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，设P是直线l上的任意一点，由向量共线的条件可知，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得＝ta，即＝t. 如图2，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta，　① 将＝a代入①式，得＝＋t.　② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 【知识梳理】 1.点的位置向量 如图，在空间中，取一定点O作为　基点　，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示，向量称为点P的　位置向量　. 2.空间直线的向量表示 如图，a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta①，将＝a代入①式，得＝　＋t　②. ①式和②式都称为空间直线的向量表达式. 3.空间任意直线都可以由直线上一点及直线的　方向向量　唯一确定. 　　提醒：（1）空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合.（2）与直线l平行的任意非零向量a都是直线的方向向量，且直线l的方向向量有无数个. 【例1】（1）已知直线l的一个方向向量m＝（2，－1，3），且直线l过A（0，y，3）和B（－1，2，z）两点，则y＋z＝（　D　） A.0 B.1 C. D.3 解析：∵A（0，y，3），B（－1，2，z），∴＝（－1，2－y，z－3），∵直线l的一个方向向量为m＝（2，－1，3），故设＝km.∴－1＝2k，2－y＝－k，z－3＝3k.解得k＝－，y＝z＝.∴y＋z＝3. （2）〔多选〕如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则（　AC　） A.以A为基点，点C1的一个位置向量为（1，1，1） B.以B为基点，点D的一个位置向量为（0，1，0） C.直线BC1的一个方向向量为（0，1，1） D.直线B1D的一个方向向量为（1，1，1） 解析：当以A为基点时，点C1的位置向量为＝（1，1，1），∴A正确；当以B为基点时，点D的位置向量为＝（－1，1，0），∴B不正确；连接AD1，∵AD1∥BC1，＝（0，1，1），∴C正确；∵＝（－1，1，－1），∴直线B1D的一个方向向量为（－1，1，－1），又（－1，1，－1）与（1，1，1）不共线，∴D不正确. 【规律方法】 求直线的方向向量关键是找到直线上两点，用所给的基向量表示以两点为起点和终点的向量，其难点是向量的运算. 训练1　（1）〔多选〕若M（1，0，－1），N（2，1，2）在直线l上，则下列可作为直线l方向向量的是（　AB　） A.（2，2，6） B.（1，1，3） C.（3，1，1） D.（－3，0，1） 解析：∵＝（1，1，3），M，N在直线l上，∴向量（1，1，3），（2，2，6）都可作为直线l的方向向量. （2）已知点P是过点A（0，1，1）且方向向量为v＝（1，0，0）的直线上的一点，若｜｜＝3，则点P的坐标是（－3，1，1）或（3，1，1）. 解析：设P（x，y，z），则＝（x，y－1，z－1），因为∥v，所以＝λv，即解得x＝λ，y＝z＝1，所以P（λ，1，1）， ｜｜＝＝3，解得λ＝±3.所以点P的坐标是（－3，1，1）或（3，1，1）. 知识点二｜空间中平面的向量表示 问题2　（1）向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是什么？ 提示：存在唯一的有序实数对（x，y），使得p＝xa＋yb. （2）如果点P在平面ABC内，则，，之间有什么关系？如何用向量表示点P在平面ABC内的充要条件？ 提示：共面；存在有序实数对（x，y），使得＝x＋y. 【知识梳理】 1.空间平面的向量表示式 如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝　＋x＋y　. 2.平面的法向量 如图，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则a叫做平面α的　法向量　.过空间一点A，且以向量a为法向量的平面α，可以用集合表示为　{P｜a·＝0}　. 　　提醒：一个平面的法向量有无数个，且它们互相平行. 【例2】 （1）〔多选〕在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体，下列结论正确的是（　AC　） A.平面CDD1C1的一个法向量为（0，1，0） B.平面A1BC的一个法向量为（1，1，1） C.平面B1CD1的一个法向量为（1，1，1） D.平面ABC1D1的一个法向量为（0，1，1） 解析：对于A，由AD⊥平面CDD1C1，知＝（0，1，0）是平面CDD1C1的一个法向量，故A正确；对于B，由AB1⊥平面A1BC，知＝（1，0，1）是平面A1BC的一个法向量，故B错误；对于C，由AC1⊥平面B1CD1，知＝（1，1，1）是平面B1CD1的一个法向量，故C正确；对于D，由DA1⊥平面ABC1D1，知＝（0，－1，1）是平面ABC1D1的一个法向量，故D错误.故选A、C. （2）已知平面α经过点O（0，0，0），且e＝（1，2，－3）是α的一个法向量，M（x，y，z）是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是x＋2y－3z＝0. 解析：由题意得e⊥，则·e＝（x，y，z）·（1，2，－3）＝0，故x＋2y－3z＝0. 【规律方法】 1.如果n为平面α的一个法向量，A为平面α内的一个已知的点，则对于平面α上任意一点B，向量一定与向量n垂直，即·n＝0.从而可知平面α的位置可由n和A唯一确定. 2.一个平面的法向量不是唯一的，一个平面的所有法向量共线.在应用时，可以根据需要进行选取. 训练2　（1）若n＝（2，－3，1）是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是（　D　） A.（0，－3，1） B.（2，0，1） C.（－2，－3，1） D.（－2，3，－1） 解析：问题转化为求与n共线的一个向量.易知（2，－3，1）＝－（－2，3，－1）.故选D. （2）已知n＝（－3，1，2）是平面α的一个法向量，点A（0，－3，1），B（k，2k，4）在平面α内，则k＝9. 解析：由A（0，－3，1），B（k，2k，4），得＝（k，2k＋3，3），因为n＝（－3，1，2）是平面α的一个法向量，点A，B在平面α内，所以n⊥，所以n·＝（－3，1，2）·（k，2k＋3，3）＝－3k＋2k＋3＋6＝0，解得k＝9. 提能点｜求平面的法向量 【例3】（链接教材P28例1）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量. 解：因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形， 所以AB，AD，AP两两垂直. 如图，以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则A（0，0，0），E（0，，），C（1，，0）， 于是＝（0，，），＝（1，，0）. 设n＝（x，y，z）为平面ACE的法向量， 则即 所以 令y＝－1，则x＝z＝. 所以平面ACE的一个法向量为n＝（，－1，）. 【规律方法】 求平面法向量的步骤 训练3　在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1D1，A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求： （1）平面BDD1B1的一个法向量； 解：设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则D（0，0，0），B（2，2，0），D1（0，0，2），E（1，0，2）. 设平面BDD1B1的法向量为n＝（x1，y1，z1）， ∵＝（2，2，0），＝（0，0，2）， 则即 令x1＝1，则y1＝－1，z1＝0， ∴平面BDD1B1的一个法向量为n＝（1，－1，0）. （2）平面BDEF的一个法向量. 解：∵＝（2，2，0），＝（1，0，2）， 设平面BDEF的法向量为m＝（x2，y2，z2）. 则即令x2＝2，则y2＝－2，z2＝－1， ∴平面BDEF的一个法向量为m＝（2，－2，－1）. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）直线l的方向向量是唯一的.（　×　） （2）若点A，B是平面α上的任意两点，n是平面α的法向量，则·n＝0.（　√　） （3）空间中任意一个平面都可由它上面的一个定点及与它平行的两个不共线向量唯一确定.（　√　） 2.已知向量a＝（2，－1，3），b＝（－4，2x2，6x）都是直线l的方向向量，则x的值是（　　） A.－1 B.1或－1 C.－3 D.1 解析：A　由题意可得a∥b，所以b＝λa，则（－4，2x2，6x）＝λ（2，－1，3）＝（2λ，－λ，3λ），所以解得x＝－1.故选A. 3.〔多选〕已知A（－4，6，－1），B（4，3，2），则下列各向量中是平面AOB（O是坐标原点）的法向量的是（　　） A.（－，1，9） B.（，1，－9） C.（－15，4，36） D.（15，4，－36） 解析：BD　设平面AOB（O是坐标原点）的法向量是u＝（x，y，z），则即令y＝1，解得令y＝4，解得故u＝（，1，－9）或u＝（15，4，－36）.故选B、D. 4.已知直线l的一个方向向量为a＝（2，1，1），且过点M（1，0，－1）.若平面α过直线l与点N（1，2，3），则平面α的一个法向量是（1，－4，2）（答案不唯一）. 解析：依题意，＝（0，2，4），显然与a不共线，设平面α的一个法向量为n＝（x，y，z），则取z＝2，得y＝－4，x＝1，因此n＝（1，－4，2）是平面α的一个法向量. 课堂小结 1.理清单 （1）空间中点、直线、平面的向量表示； （2）直线的方向向量； （3）平面的法向量. 2.应体会 （1）利用空间向量表示点、直线、平面体现了数形结合思想； （2）求平面的法向量时一般应用待定系数法. 3.避易错 不理解直线的方向向量和平面法向量的作用和不唯一性. 1.若A（－1，0，1），B（1，4，7）在直线l上，则直线l的一个方向向量为（　　） A.（1，2，3） B.（1，3，2） C.（2，1，3） D.（3，2，1） 解析：A　因为＝（2，4，6），所以（1，2，3）是直线l的一个方向向量. 2.下列各式中，k为实数，可以判定点P在直线AB上的是（　　） A.＝＋k B.＝＋k C.＝＋k D.＝＋k 解析：B　由点P在直线上的充要条件可得，B符合题意. 3.已知平面α内有两点M（－2，3，1），N（2，4，1），若平面α的一个法向量为n＝（6，a，6），则a＝（　　） A.－ B. C.－24 D.24 解析：C　由题可得＝（4，1，0），因为平面α的一个法向量为n＝（6，a，6），所以n⊥，所以n·＝（6，a，6）·（4，1，0）＝6×4＋a×1＋6×0＝0，解得a＝－24. 4.已知平面α内有一个点A（2，－1，2），α的一个法向量为n＝（3，1，2），则下列点P中，在平面α内的是（　　） A.（1，－1，1） B.（1，3，） C.（1，－3，） D.（－1，3，－） 解析：B　对于选项A，＝（1，0，1），则·n＝（1，0，1）·（3，1，2）＝5≠0，故排除A；对于选项B，＝（1，－4，），则·n＝（1，－4，）·（3，1，2）＝0，故B正确；同理可排除C、D. 5.已知A（1，1，0），B（1，0，1），C（0，1，1），则平面ABC的一个单位法向量是（　　） A.（1，1，1） B.（，，） C.（，，） D.（，，－） 解析：B　设平面ABC的法向量为n＝（x，y，z）.又＝（0，－1，1），＝（－1，1，0），则∴x＝y＝z，又∵单位向量的模为1，故只有B正确. 6.〔多选〕若是平面ABCD的法向量，且四边形ABCD为菱形，则以下各式成立的是（　　） A.⊥ B.⊥ C.⊥ D.⊥ 解析：ABC　由题意知PA⊥平面ABCD，所以PA与平面内的线AB，CD都垂直，A、B正确；又因为菱形的对角线互相垂直，可推得对角线BD⊥平面PAC，故PC⊥BD，C选项正确. 7.〔多选〕已知空间中A（0，0，0），B（2，1，0），C（－1，2，1）三点，则下列说法正确的是（　　） A.与是共线向量 B.与同向的单位向量是（，，0） C.在方向上的投影向量是（－2，－1，0） D.平面ABC的一个法向量是（1，－2，5） 解析：BCD　＝（2，1，0），＝（－1，2，1），＝（－3，1，1），若与共线，设＝λ，则方程组无解，故与不共线，A错误；与同向的单位向量是＝＝（，，0），B正确；在方向上的投影向量是·＝·＝（－2，－1，0），C正确；设平面ABC的法向量是n＝（x，y，z），则令y＝－2，则n＝（1，－2，5），D正确. 8.在空间直角坐标系中，两平面α与β分别以n1＝（2，1，1）与n2＝（0，2，1）为其法向量，α∩β＝l，则直线l的一个方向向量为（，1，－2）（答案不唯一）.（写出一个方向向量的坐标） 解析：设直线l的方向向量为d＝（x，y，z），则所以令y＝1，则z＝－2，x＝，所以直线l的一个方向向量为d＝（，1，－2）. 9.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠ACB＝90°，平面A1B1C的一个法向量为n＝（－2，－2，1），则棱AA1的长为2. 解析：以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，设AA1＝h，由题意可知C（0，0，0），A1（1，0，h），所以＝（1，0，h），因为n＝（－2，－2，1），所以根据法向量的定义可得，n·＝（－2，－2，1）·（1，0，h）＝－2＋h＝0，解得h＝2，所以AA1＝2. 10.棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1在空间直角坐标系中的位置如图所示. （1）求直线DB1的一个方向向量； （2）点P是过D点且以为方向向量的直线上的一点，且｜｜＝1，求点P的坐标. 解：（1）由题意知D（0，0，0），B1（1，1，1），所以＝（1，1，1），即直线DB1的一个方向向量是（1，1，1）. （2）设P（x，y，z），则＝（x，y，z）， 因为点P在以为方向向量的直线上， 所以∥，设＝λ，即有（x，y，z）＝λ（1，1，1）， 所以x＝y＝z＝λ，又因为｜｜＝1， 所以＝1， 即＝1， 所以＝1，所以λ＝±， 所以点P的坐标是（，，）或（－，－，－）. 11.（2025·莆田质检）已知＝（－3，1，2），平面α的一个法向量为n＝（2，－2，4），点A不在平面α内，则直线AB与平面α的位置关系为（　　） A.AB⊥α B.AB⊂α C.AB与α相交但不垂直 D.AB∥α 解析：D　因为n·＝2×（－3）＋（－2）×1＋4×2＝0，所以n⊥.又点A不在平面α内，n为平面α的一个法向量，所以AB∥α，故选D. 12.已知直线l的一个方向向量为v＝（1，－2，0），写出一个以（2，1，1）为起点，且垂直于直线l的单位向量的终点坐标为（2，1，0）（答案不唯一）. 解析：设终点坐标为（x，y，z），因为l的一个方向向量为v＝（1，－2，0），以（2，1，1）为起点，且垂直于直线l的单位向量为（x－2，y－1，z－1），则满足即可取x＝2，y＝1，z＝0，故终点坐标为（2，1，0）. 13.在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A（－1，0，2），B（0，1，－1），点C，D分别在x轴、y轴上，AD⊥BC，那么｜｜的最小值是. 解析：设C（x，0，0），D（0，y，0）.∵A（－1，0，2），B（0，1，－1），∴＝（1，y，－2），＝（x，－1，1）.∵AD⊥BC，∴·＝x－y－2＝0，即x＝y＋2.∵＝（－x，y，0），∴｜｜＝＝＝＝≥（当y＝－1时取等号）.故｜｜的最小值为. 14.如图所示，已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，试建立适当的坐标系，求： （1）平面ABCD的一个法向量； （2）平面SAB的一个法向量； （3）平面SCD的一个法向量. 解：以点A为原点，AD，AB，AS所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A（0，0，0），B（0，1，0），C（1，1，0），D（，0，0），S（0，0，1）. （1）因为SA⊥平面ABCD， 所以＝（0，0，1）是平面ABCD的一个法向量. （2）因为AD⊥AB，AD⊥SA，AB∩SA＝A，AB，SA⊂平面SAB， 所以AD⊥平面SAB， 所以＝（，0，0）是平面SAB的一个法向量. （3）在平面SCD中，＝（，1，0），＝（1，1，－1）. 设平面SCD的法向量是n＝（x，y，z）， 则n⊥，n⊥， 所以 得方程组 所以令y＝－1，得x＝2，z＝1，所以n＝（2，－1，1）. 所以n＝（2，－1，1）是平面SCD的一个法向量. 15.已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果＝（2，－1，－4），＝（4，2，0），＝（－1，2，－1）. （1）求证：是平面ABCD的法向量； （2）求平行四边形ABCD的面积. 解：（1）证明：因为·＝（－1，2，－1）·（2，－1，－4）＝0，·＝（－1，2，－1）·（4，2，0）＝0， 所以AP⊥AB，AP⊥AD. 又AB∩AD＝A，AB，AD⊂平面ABCD，所以AP⊥平面ABCD. 所以是平面ABCD的法向量. （2）因为｜｜＝＝， ｜｜＝＝2， ·＝（2，－1，－4）·（4，2，0）＝6， 所以cos＜，＞＝＝， 故sin＜，＞＝， S▱ABCD＝｜｜·｜｜sin＜，＞＝8. 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $