1.3 空间向量及其运算的坐标表示（五大重点题型）专项训练-2026-2027学年高二上学期数学重点•题型讲义（人教A版选择性必修第一册）

**基本信息** 聚焦空间向量坐标运算核心模块，以题型为载体构建从基础运算到几何应用的知识逻辑链，培养空间观念与运算推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |空间向量的坐标运算|10题（含投影向量）|选择/填空结合，覆盖加减、数乘、数量积|从坐标表示到基本运算，为后续应用奠基| |模长的坐标表示|8题（含动态最值）|涉及参数求解与几何模型|基于模长公式，连接代数计算与空间度量| |夹角余弦的坐标表示|6题（含钝角范围）|结合面积计算与角度参数|数量积公式的几何应用，体现数形结合| |平行的坐标表示|9题（含多向量关系）|以参数求解为主，关联共线条件|坐标成比例性质的直接应用与拓展| |垂直的坐标表示|10题（含投影数量）|综合垂直条件与投影计算|数量积为零性质的深化，构建位置关系判断框架|

专题1.3 空间向量及其运算的坐标表示 目录●重难点题型分布 重难点题型1 空间向量的坐标运算 1．（25-26高二下·江苏扬州·期中）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.95 【知识点】空间向量的坐标运算 【详解】，，所以. 2．（25-26高二下·江苏泰州·阶段检测）已知，，则（   ） A．21 B．8 C．68 D．-3 【答案】B 【难度】0.88 【知识点】数量积的坐标表示、空间向量的坐标运算 【详解】根据题意，， 则. 3．（25-26高二上·浙江宁波·期末）已知，，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】空间向量的坐标运算、求空间向量的数量积 【分析】根据向量数量积的运算律和向量数量积的坐标表示计算即可. 【详解】因为，，， 所以. 所以. 故选：D. 4．（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）已知向量，则向量在向量上的投影向量（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】空间向量的坐标运算 【分析】利用投影向量公式：向量在向量上的投影向量求解. 【详解】，， ，， 向量在向量上的投影向量， . 故选：D. 5．（25-26高二上·广西来宾·期中）已知空间中三点，，，则（   ） A．7 B． C．9 D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】空间向量的坐标运算、求空间向量的数量积 【分析】由向量数量积的坐标表示即可求解. 【详解】因为，，， 所以，则. 故选：B 6．（25-26高二上·山东德州·期中）已知向量，，，则（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】空间向量的坐标运算、求空间向量的数量积 【分析】由数量积的坐标运算即可求解. 【详解】， 所以， 故选：C 7．（多选题）已知向量,，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】空间向量的坐标运算 【分析】由向量的坐标运算计算即可. 【详解】因为向量,， 所以，所以A正确； ，， 所以，故B正确； ，故C错误； ， ，故D正确； 故选：ABD 8．（25-26高二上·广东茂名·期中）已知向量，，则________ 【答案】24 【难度】0.85 【知识点】空间向量的坐标运算 【分析】代入向量数量积的坐标表示，即可求解. 【详解】， 所以. 故答案为： 9．（25-26高二上·天津·阶段检测）空间向量在上的投影向量为__________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】空间向量数量积的应用、空间向量的坐标运算、求投影向量 【分析】利用投影向量的公式及空间向量的数量积运算即可得到结果. 【详解】由向量，， 则， 向量在上的投影向量为. 故答案为：. 10．（24-25高二上·天津·阶段检测）已知空间向量，则 在 上的投影向量的坐标是_____ 【答案】 【难度】0.85 【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间向量的坐标运算、空间向量数量积的应用 【分析】根据投影向量的定义即可求解. 【详解】 在 上的投影向量为， 故答案为： 重难点题型2 空间向量模长的坐标表示 1．（25-26高二上·广东东莞·期末）已知向量，，若，则的取值为（    ） A．±1 B． C．1 D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】空间向量模长的坐标表示 【分析】根据模长公式即可求解. 【详解】因为向量，， 所以,又因为， 所以，故， 故选：B 2．（25-26高二上·北京丰台·期末）已知向量，，则为（   ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示 【分析】根据空间向量的坐标线性运算求出，再利用模长公式即可求解. 【详解】因为，， 所以， 所以. 故选：B. 3．（25-26高二上·安徽宿州·期末）设，向量，，且，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】空间向量平行的坐标表示、空间向量模长的坐标表示、向量垂直的坐标表示、数量积的坐标表示 【分析】由，求出，再求出，再用坐标求模即可. 【详解】因为，且， 所以，解得，即， 又因为，且， 所以，则，即， 故， 所以. 故选：A. 4．（25-26高二上·四川成都·期中）已知，，且，则（   ） A． B． C．6 D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】空间向量模长的坐标表示、数量积的坐标表示 【分析】根据向量垂直得到的值，进而求出. 【详解】因为，所以，所以， 所以，所以， 故选：A 5．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）在直三棱柱中，，O为BC的中点，M为棱上的动点，N为棱AM上的动点，且，则线段MN长度的取值范围为________． 【答案】 【难度】0.32 【知识点】空间向量模长的坐标表示、求空间中两点间的距离 【分析】建立空间直角坐标系，列出各点的坐标，求出，然后根据已知条件列出的表达式，用换元法进行化简，判断函数的单调性，即可得到范围． 【详解】由题意，以为原点，以所在直线建立空间直角坐标系，如图所示， 则，设，， 那么，， 所以. ， 因为，所以，令， 因为，所以，即， 所以，因为函数在上是增函数， 所以． 6．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知空间向量，，若，则______. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、空间向量模长的坐标表示、空间向量的坐标运算 【分析】根据向量垂直数量积为0，空间向量坐标运算得到，，由模长公式得到答案. 【详解】， 又，所以， 即， 解得， 故，. 故答案为： 7．（24-25高二下·上海·阶段检测）已知 ，设点 、 在 平面上的射影分别为 、 ，则 _____. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间向量的坐标运算、用空间向量求点的坐标 【分析】由题意可得，结合空间向量的几何意义计算即可求解. 【详解】因为点在平面上的射影分别为， 所以， 则，所以. 故答案为： 8．已知点，则在上的投影向量的模为______ 【答案】 【难度】0.85 【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间向量的坐标运算 【分析】根据投影向量的定义结合向量的坐标运算求解. 【详解】因为， 可得，， 所以在上的投影向量的模为. 故答案为：. 重难点题型3 空间向量夹角余弦的坐标表示 1．（25-26高二上·贵州遵义·期中）已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】利用空间向量数量积坐标运算即可求解. 【详解】由于， 故选：A. 2．（25-26高二上·吉林·期中）已知，，，与的夹角为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】首先求出向量，的坐标，及向量与的模，再利用空间向量的夹角余弦公式列方程求解即可． 【详解】因为，，， 所以，， 故， 所以，， ， 所以， 因为与的夹角为， 所以， 解得， 经检验，不合题意，舍去，所以． 故选：B． 3．（25-26高二上·陕西汉中·期末）设空间中两个单位向量与的夹角都等于，则__________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】空间向量夹角余弦的坐标表示、空间向量数量积的应用 【分析】利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】因为是单位向量，所以有， 因为与的夹角等于， 所以， 所以有， ， 故答案为： 4．（24-25高二上·广东东莞·阶段检测）已知空间三点，，，且的面积为，则______． 【答案】或， 【难度】0.65 【知识点】空间向量夹角余弦的坐标表示、空间向量模长的坐标表示、空间向量数量积的应用 【分析】根据坐标算出的、与，即可利用面积为，解方程即可． 【详解】，，， ,,，,,， 由此可得，， 设与的夹角为，则， 则 由于的面积， 故，解得或， 故答案为：或， 5．（24-25高二上·辽宁大连·阶段检测）已知，，且与的夹角为钝角，则的取值范围是____________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】空间向量平行的坐标表示、空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】由求解，再排除与共线时的值即可得答案. 【详解】与的夹角为钝角， ，解得， 由题意得与不共线，则，解得， 的取值范围是. 故答案为：. 6．已知向量，，，若向量与所成角为锐角，则实数的范围是____________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】空间向量平行的坐标表示、空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】根据题意，利用向量的夹角公式，求得，再由向量与所成角为锐角，得到，求得，当向量与共线时，求得，即可得到实数的范围. 【详解】由向量，，可得， 因为，可得，解得， 所以，所以与， 又因为向量与所成角为锐角， 所以，解得， 若向量与共线，则，解得， 所以实数的范围是. 故答案为：. 重难点题型4 空间向量平行的坐标表示 1．（24-25高二上·重庆·阶段检测）已知空间向量，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．向量在向量上的投影向量是 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】空间向量夹角余弦的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示、空间向量的坐标运算、空间向量数量积的应用 【分析】利用空间向量减法坐标运算、数量积的坐标运算求、夹角坐标运算及投影向量的定义和求法，判断各项正误. 【详解】A：由题设，错； B：，错； C：，错； D：向量在向量上的投影向量是，对. 故选：D 2．（24-25高二上·山东临沂·期中）空间三点，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为（    ） A． B． C．7 D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】空间向量夹角余弦的坐标表示、空间向量模长的坐标表示、空间向量的坐标运算 【分析】利用空间向量的数量积求出的值，然后利用三角形的面积公式可求得平行四边形的面积. 【详解】因为，，， 所以，， 所以， ，， 所以， 因为，所以， 所以，以，为邻边的平行四边形的面积为. 故选：D 3．（25-26高二上·河南·期中）已知空间向量，若，则（    ） A．-4 B．-2 C．2 D．4 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】空间向量平行的坐标表示、由空间向量共线求参数或值 【分析】根据空间向量平行得到方程组，求出的值 【详解】因为，所以存在实数，使得， 即，所以，所以. 故选：A. 4．（25-26高二上·北京西城·期中）设，向量，，，且，，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、空间向量平行的坐标表示 【分析】根据向量垂直和平行的坐标运算化简求值. 【详解】由题意得，，，得，， 则. 故选：A 5．（24-25高二下·江苏常州·阶段检测）向量，，，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、空间向量平行的坐标表示、空间向量模长的坐标表示、空间向量的坐标运算 【分析】由向量的关系列式求解，的值，再运用向量的数乘及加法的坐标表示公式，结合向量的模公式计算得出结果. 【详解】由，，则，解得， ，， ， . 故选：C. 6．（25-26高二上·云南昆明·期末）已知向量，,则___________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】空间向量平行的坐标表示、由空间向量共线求参数或值 【分析】由向量共线的坐标表示求解 【详解】因为，， 所以，， 因为，所以，解得. 故答案为：. 7．（24-25高二上·天津北辰·期中）设，向量，，且，，则___________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、空间向量平行的坐标表示 【分析】根据空间向量共线与空间向量垂直的坐标运算求解. 【详解】因为，所以，即，解得， 又因为∥，所以存在实数使得，即，解得， 所以， 所以， 故答案为： . 8．向量，且，则___________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间向量平行的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示 【分析】由题知，进而解方程并结合空间向量的坐标运算求解即可得答案. 【详解】解：因为，且， 所以，，解得， 所以，， 所以，， 故答案为： 9．向量，，，且，，则______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示、空间向量平行的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示 【分析】利用向量平行、垂直的坐标表示求出x，y，再利用坐标求出向量的模作答. 【详解】因，，而，则有，解得，即 又，且，则有，解得，即， 于是得，， 所以. 故答案为： 重难点题型5 空间向量垂直的坐标表示 1．（24-25高二上·云南玉溪·阶段检测）在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若为钝角，则 D．若在上的投影向量为，则 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求投影向量、空间向量垂直的坐标表示、空间向量平行的坐标表示、空间向量模长的坐标表示 【分析】利用空间向量共线的坐标表示可判断A选项；由题意得出，结合空间向量数量积的坐标运算可判断B选项；分析可得且，结合空间向量数量积的坐标运算可判断C选项；利用投影向量的定义以及空间向量数量积的坐标运算可判断D选项. 【详解】因为向量，， 对于A选项，若，则，解得，A错； 对于B选项，若，则，解得，B错； 对于C选项，若为钝角，则且， 解得且，C错； 对于D选项，若在上的投影向量为， 即，则，解得，D对. 故选：D. 2．（25-26高二上·上海·期末）设，向量，，且，则（    ） A．-4 B．-1 C．4 D．1 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】空间向量垂直的坐标表示 【分析】由得，计算即可. 【详解】， ， ，， ，解得：. 故选：D 3．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知空间向量，若，则（　　） A．-2 B．-3 C．2 D．3 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】空间向量垂直的坐标表示 【分析】由空间向量垂直的坐标表示，列出方程，求解可得. 【详解】由，有，则，解得． 故选：D． 4．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知向量，且，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、空间向量的坐标运算 【分析】先求出和的坐标，由两向量垂直得其数量积为零，从而求出的值. 【详解】由已知得. 因为， 所以，解得． 故选：C. 5．（25-26高二上·陕西渭南·期中）已知向量，当时，向量在向量上的投影数量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、空间向量模长的坐标表示、空间向量的坐标运算、空间向量数量积的概念辨析 【分析】由，列出方程求得，得到，结合向量的数量积和投影的数量的计算公式，即可求解. 【详解】由向量， 因为，可得，解得，即， 则，且， 所以向量在上的投影数量为. 故选：B. 6．（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用向量垂直求参数、空间向量垂直的坐标表示、空间向量的坐标运算 【分析】根据向量垂直则向量的数量积为零，结合向量的坐标运算计算即可. 【详解】，因为，故， 得，解得. 故选：B. 7．向量，，且，若，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示 【分析】求出，根据空间向量的模长公式以及数量积的坐标表示，列式计算，即可求得答案. 【详解】由向量，， 可得， 结合，，即， 得，结合，解得，则. 故选：A 8．（25-26高二上·河南·阶段检测）设，若，则实数k的值为________． 【答案】6 【难度】0.65 【知识点】空间向量垂直的坐标表示 【分析】利用空间向量的数量积的坐标运算可求得实数k的值. 【详解】由题可知，. 因为，所以，所以，解得． 故答案为：. 9．（25-26高二上·天津·阶段检测）已知，，若，则的值为__________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、空间向量数量积的应用、空间向量的数乘运算、空间向量的加减运算 【分析】先根据向量的数乘和加减法运算求出和的坐标，再利用向量垂直的性质，列出方程，求解即可. 【详解】因为，， 则， ， 又，所以， 即，化简得，解得. 故答案为： 10．已知向量，且与互相垂直，则实数__________. 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示 【分析】求出，根据向量模长公式列出方程，求出.再分与两种情况，根据向量垂直列出方程，求出实数k的值. 【详解】， 所以，解得. 当时， ， ， 因为与互相垂直， 所以，解得. 当时，， 因为与互相垂直， 所以，解得， 综上：. 故答案为： 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3 空间向量及其运算的坐标表示 目录●重难点题型分布 重难点题型1 空间向量的坐标运算 1．（25-26高二下·江苏扬州·期中）已知，，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·江苏泰州·阶段检测）已知，，则（   ） A．21 B．8 C．68 D．-3 3．（25-26高二上·浙江宁波·期末）已知，，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）已知向量，则向量在向量上的投影向量（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·广西来宾·期中）已知空间中三点，，，则（   ） A．7 B． C．9 D． 6．（25-26高二上·山东德州·期中）已知向量，，，则（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 7．（多选题）已知向量,，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·广东茂名·期中）已知向量，，则________ 9．（25-26高二上·天津·阶段检测）空间向量在上的投影向量为__________. 10．（24-25高二上·天津·阶段检测）已知空间向量，则 在 上的投影向量的坐标是_____ 重难点题型2 空间向量模长的坐标表示 1．（25-26高二上·广东东莞·期末）已知向量，，若，则的取值为（    ） A．±1 B． C．1 D． 2．（25-26高二上·北京丰台·期末）已知向量，，则为（   ） A．1 B．3 C．6 D．9 3．（25-26高二上·安徽宿州·期末）设，向量，，且，，则（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·四川成都·期中）已知，，且，则（   ） A． B． C．6 D． 5．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）在直三棱柱中，，O为BC的中点，M为棱上的动点，N为棱AM上的动点，且，则线段MN长度的取值范围为________． 6．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知空间向量，，若，则______. 7．（24-25高二下·上海·阶段检测）已知 ，设点 、 在 平面上的射影分别为 、 ，则 _____. 8．已知点，则在上的投影向量的模为______ 重难点题型3 空间向量夹角余弦的坐标表示 1．（25-26高二上·贵州遵义·期中）已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·吉林·期中）已知，，，与的夹角为，则（　　） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·陕西汉中·期末）设空间中两个单位向量与的夹角都等于，则__________． 4．（24-25高二上·广东东莞·阶段检测）已知空间三点，，，且的面积为，则______． 5．（24-25高二上·辽宁大连·阶段检测）已知，，且与的夹角为钝角，则的取值范围是____________. 6．已知向量，，，若向量与所成角为锐角，则实数的范围是____________. 重难点题型4 空间向量平行的坐标表示 1．（24-25高二上·重庆·阶段检测）已知空间向量，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．向量在向量上的投影向量是 2．（24-25高二上·山东临沂·期中）空间三点，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为（    ） A． B． C．7 D． 3．（25-26高二上·河南·期中）已知空间向量，若，则（    ） A．-4 B．-2 C．2 D．4 4．（25-26高二上·北京西城·期中）设，向量，，，且，，则（    ） A． B． C．1 D．2 5．（24-25高二下·江苏常州·阶段检测）向量，，，且，，则（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·云南昆明·期末）已知向量，,则___________． 7．（24-25高二上·天津北辰·期中）设，向量，，且，，则___________. 8．向量，且，则___________． 9．向量，，，且，，则______. 重难点题型5 空间向量垂直的坐标表示 1．（24-25高二上·云南玉溪·阶段检测）在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若为钝角，则 D．若在上的投影向量为，则 2．（25-26高二上·上海·期末）设，向量，，且，则（    ） A．-4 B．-1 C．4 D．1 3．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知空间向量，若，则（　　） A．-2 B．-3 C．2 D．3 4．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知向量，且，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 5．（25-26高二上·陕西渭南·期中）已知向量，当时，向量在向量上的投影数量为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 7．向量，，且，若，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 8．（25-26高二上·河南·阶段检测）设，若，则实数k的值为________． 9．（25-26高二上·天津·阶段检测）已知，，若，则的值为__________. 10．已知向量，且与互相垂直，则实数__________. 1 学科网（北京）股份有限公司 $