专题1.2 空间向量基本定理（高效培优讲义）数学人教A版高二选择性必修第一册

本讲义聚焦空间向量基本定理这一核心知识点，系统阐述基底与基向量定义、空间向量正交分解等内容，通过类比平面向量基本定理构建从二维到三维的知识支架，衔接共面向量定理，夯实空间向量运算的理论基础。 该资料以“猜想—推导—验证—归纳”探究过程为主线，结合正四面体、正方体等实例培养逻辑推理与直观想象素养，题型分层设计。课中助力教师突破基底选取等重难点，课后通过综合练习帮助学生巩固向量分解技能，提升自主学习能力。

专题1.2 空间向量基本定理 教学目标 1.理解并掌握空间向量基本定理的具体内容，明确空间基底、基向量的定义，能够区分共面向量定理与空间向量基本定理的区别与联系。熟练掌握将任意空间向量用给定的不共面三个基向量进行唯一线性表示的方法，能独立完成空间向量的分解、表达式书写等基础运算，夯实空间向量运算的核心理论基础。 2. 通过类比平面向量基本定理，经历 “猜想 — 推导 — 验证 — 归纳” 的完整探究过程，培养类比推理、逻辑推导的数学思维能力。在向量分解、基底选取的探究练习中，提升空间几何直观感知能力、数形结合分析能力，学会用向量方法转化、解决空间几何问题，建立空间向量的运算思维体系。 3. 聚焦数学抽象、逻辑推理、直观想象三大核心素养。通过抽象出空间向量分解的通用规律，提升数学抽象素养；通过严谨推导定理成立的条件与唯一性，强化逻辑推理素养；借助空间几何体模型辅助向量分解分析，构建三维空间认知，提升空间直观想象素养，初步建立用向量刻画空间位置、空间关系的数学模型。 4. 感受平面向量到空间向量的知识延伸与数学知识的系统性、连贯性，体会数形结合、转化化归的数学思想魅力。在自主探究与解题实践中，增强对立体几何的学习信心，培养严谨的数学治学态度，提升主动探究、归纳总结的自主学习能力。 教学重难点 1.重点 空间向量基本定理的内容理解、基底的判定以及空间向量的线性分解 2.难点 定理中向量分解的唯一性的理解与推导 合适空间基底的选取及复杂空间向量的灵活分解 平面向量定理与空间向量定理的辨析与迁移应用 知识点01 空间向量基本定理 1、空间向量基本定理 如果向量三个向量不共面，那么对空间任意向量存在有序实数组使得 2、基底与基向量 如果向量三个向量不共面，那么所有空间向量组成集合就是这个集合可看作是由向量生成的，我们把叫做空间的一个_______都叫做基向量． 对基底正确理解，有以下三个方面： （1）空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底； （2）因为可视为与任意一个非零向量共线，与任意二个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是； （3）一个基底是由三个不共面的向量构成的，它是一个向量组；而一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是不同的概念． 【即学即练】 1．若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（   ） A． B． C． D． 2．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（   ） A． B． C． D． 3．是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，用基底表示向量，则________. 知识点02 空间向量的正交分解 1、单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做_______ ，常用表示． 2、正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量，均可以分解为三个向量，，使得. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行_______． 我们把称作向量在单位正交基底下的坐标．记作此时向量的坐标恰是点在空间直角坐标系中的坐标其中分别叫做点的横坐标、纵坐标、竖坐标． 3、特殊向量的坐标表示 （1）当向量平行于轴时，纵坐标、竖坐标都为，即 （2）当向量平行于轴时，纵坐标、横坐标都为，即 （3）当向量平行于轴时，横坐标坐标、纵坐标都为，即 （4）当向量平行于平面时，竖坐标为，即 （5）当向量平行于平面时，横坐标为，即 （6）当向量平行于平面时，纵坐标为，即 【即学即练】 1．在平行六面体中，为上一点，且，若，则的值分别为（    ） A． B． C． D． 2．在平行六面体中，与的交点为．设，则下列向量中，与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）如图，四棱柱中，为的中点，为上靠近点的五等分点，则（    ） A． B． C． D． 题型01 基底的判断 空间向量基底.不共面的三个向量构成空间向量的基底. 【典例1】已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式1】若为空间的一个基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）若是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是（    ） A． B． C． D． 题型02 基底的运用 1.空间中，任一向量都可以用一组基底表示，且只要基底确定，则表示形式是唯一的. 2.用基底表示空间向量时，一般要结合图形，运用向量加法、减法的平行四边形法则、三角形法则，以及数乘向量的运算法则，逐步向基向量过渡，直至全部用基向量表示. 3.在空间几何体中选择基底时，通常选取公共起点最集中的向量或关系最明确的向量作为基底，例如，在正方体、长方体、平行六面体、四面体中，一般选用从同一顶点出发的三条棱所对应的向量作为基底. 【典例1】在正四面体中，为中点，在上．且为中点，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图所示，已知斜三棱柱中，，，点M，N分别为线段和BC的中点，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则（   ） A．1 B．2 C． D． 题型03 正交分解 正交基底的三个向量共起点 【典例1】是空间的一个单位正交基底，向量，若向量用空间的另一个基底表示为，则______． 【变式1】已知向量是空间的一组单位正交基底，向量是空间的另一组基底，若向量在基底下的坐标为，在基底下的坐标为，则___________． 【变式2】已知是空间的一个单位正交基底，，则空间向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 题型04 用空间向量基本定理解决相关的几何问题 应用空间向量基本定理可以证明空间的线线垂直、线线平行,可求两条异面直线所成的角等. 首先根据几何体的特点,选择一个基底,把题目中涉及的两条直线所在的向量用基向量表示. (1)若证明线线垂直,只需证明两向量数量积为0; (2)若证明线线平行,只需证明两向量共线; (3)若要求异面直线所成的角,则转化为两向量的夹角(或其补角). 【典例1】如图所示，在正方体中，取． (1)用表示； (2)若分别为的中点，用表示． 【变式1】如图，在正六棱柱中，为的中点．设. (1)用表示向量； (2)若，求的值． 【变式2】如图，在平行六面体中，，，，点P为线段BC中点. (1)求； (2)求. 1．（多选）在四棱柱中，，，则（    ） A． B． C． D． 2．定义：设是空间的一组基，若向量，则称实数组为向量在基下的坐标．已知是空间向量的标准正交基，是空间向量的另一组基，若向量在基下的坐标为，则向量在基下的坐标是__________，向量的模是__________． 3．已知在标准正交基下，向量，，，求向量在，上的投影. 4．定义向量在基下的坐标如下：若，则叫作在基下的坐标．已知向量在基下的坐标为，则在基下的坐标为__________，在基下的坐标为__________． 5．已知正方体中，点E为的中点，若，（x，）则x，y的值分别为（    ） A．1，1 B．1， C．， D．，1 6．如图，在四面体OABC中，，，，若，且∥平面ABC，则实数（    ） A． B． C． D． 7．平行六面体中.则=（    ） A． B． C． D． 8．已知正方体的棱长为1，且满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 9．给出下列四个命题： ①若存在实数，使，则 与共面； ②若 与共面， 则存在实数， 使 ③若存在实数，使 ，则点共面； ④若点共面， 则存在实数， 使 其中（    ）是真命题． A．②④ B．①③ C．①② D．③④ 10．在正方体中，设，，，，分别是，的中点． (1)用向量，，表示，； (2)若，求实数，，的值． 1．在三棱柱中，为棱的中点．设，用基底表示向量，则（    ）    A． B． C． D． 2．（多选）如图，在三棱锥中，两两垂直，且.给出下列四个命题，其中正确的命题是（       ） A． B． C．与的夹角为 D．三棱锥的体积为 3．在四棱锥中，底面是平行四边形，是棱上一点，且，，则___________． 4．是空间的一个基底，向量，是空间的另一个基底，向量，则___． 5．如图，平行六面体各条棱长均为1，，，则线段的长度为_____________. 6．已知是空间的一个基底，，，若，则 （    ） A． B． C．6 D．5 7．在四面体ABCD中，点E满足，F为BE的中点，且，则实数______． 8．（多选）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是2，且它们彼此的夹角都是为与的交点，若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D．的长为 9．在中，各个顶点与对边中点连线，相交于一点，定义为三角形的重心，此时易得.类似在三棱锥中，各个顶点分别与对面三角形的重心的连线，相交于一点，定义为三棱锥的重心G.若设，，，则____________.（用、、表示） 10．已知是空间的一个基底，且，，，． (1)求证：A，B，C，D四点共面； (2)能否作为空间的一个基底？若能，试用这一基底表示；若不能，请说明理由． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2 空间向量基本定理 教学目标 1.理解并掌握空间向量基本定理的具体内容，明确空间基底、基向量的定义，能够区分共面向量定理与空间向量基本定理的区别与联系。熟练掌握将任意空间向量用给定的不共面三个基向量进行唯一线性表示的方法，能独立完成空间向量的分解、表达式书写等基础运算，夯实空间向量运算的核心理论基础。 2. 通过类比平面向量基本定理，经历 “猜想 — 推导 — 验证 — 归纳” 的完整探究过程，培养类比推理、逻辑推导的数学思维能力。在向量分解、基底选取的探究练习中，提升空间几何直观感知能力、数形结合分析能力，学会用向量方法转化、解决空间几何问题，建立空间向量的运算思维体系。 3. 聚焦数学抽象、逻辑推理、直观想象三大核心素养。通过抽象出空间向量分解的通用规律，提升数学抽象素养；通过严谨推导定理成立的条件与唯一性，强化逻辑推理素养；借助空间几何体模型辅助向量分解分析，构建三维空间认知，提升空间直观想象素养，初步建立用向量刻画空间位置、空间关系的数学模型。 4. 感受平面向量到空间向量的知识延伸与数学知识的系统性、连贯性，体会数形结合、转化化归的数学思想魅力。在自主探究与解题实践中，增强对立体几何的学习信心，培养严谨的数学治学态度，提升主动探究、归纳总结的自主学习能力。 教学重难点 1.重点 空间向量基本定理的内容理解、基底的判定以及空间向量的线性分解 2.难点 定理中向量分解的唯一性的理解与推导 合适空间基底的选取及复杂空间向量的灵活分解 平面向量定理与空间向量定理的辨析与迁移应用 知识点01 空间向量基本定理 1、空间向量基本定理 如果向量三个向量不共面，那么对空间任意向量存在有序实数组使得 2、基底与基向量 如果向量三个向量不共面，那么所有空间向量组成集合就是这个集合可看作是由向量生成的，我们把叫做空间的一个基底都叫做基向量． 对基底正确理解，有以下三个方面： （1）空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底； （2）因为可视为与任意一个非零向量共线，与任意二个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是； （3）一个基底是由三个不共面的向量构成的，它是一个向量组；而一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是不同的概念． 【即学即练】 1．若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量共面定理一一验证选项结合基底的概念判定选项即可. 【详解】对于A，若共面，则有， 即，则该方程无解，故不共面； 对于B，若共面，则有， 即，显然无解，故不共面； 对于C，若共面，则有，显然该等式不成立， 故不共面； 对于D，易知，即共面. 故选：D 2．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用共面向量定理及空间向量基底的意义，逐项判断即得. 【详解】对于A，，向量共面，A错误； 对于B，，故向量共面，故B错误， 对于C，假定向量共面，则存在实数对，使得，故， 而不共面，则，矛盾，故假设不成立，因此向量不共面，C正确； 对于D，，向量共面，D错误； 故选：C 3．是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，用基底表示向量，则________. 【答案】 【分析】设，列得相应方程组，求解可得. 【详解】设，则. 所以，解得. 所以. 故答案为：. 知识点02 空间向量的正交分解 1、单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用表示． 2、正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量，均可以分解为三个向量，，使得. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 我们把称作向量在单位正交基底下的坐标．记作此时向量的坐标恰是点在空间直角坐标系中的坐标其中分别叫做点的横坐标、纵坐标、竖坐标． 3、特殊向量的坐标表示 （1）当向量平行于轴时，纵坐标、竖坐标都为，即 （2）当向量平行于轴时，纵坐标、横坐标都为，即 （3）当向量平行于轴时，横坐标坐标、纵坐标都为，即 （4）当向量平行于平面时，竖坐标为，即 （5）当向量平行于平面时，横坐标为，即 （6）当向量平行于平面时，纵坐标为，即 【即学即练】 1．在平行六面体中，为上一点，且，若，则的值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得：，利用空间向量基本定理即可求解. 【详解】由题意得：， 所以 ， 所以， 故选：C. 2．在平行六面体中，与的交点为．设，则下列向量中，与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由空间向量的线性运算可得结果. 【详解】如图所示： . 故选：C. 3．（多选）如图，四棱柱中，为的中点，为上靠近点的五等分点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】运用空间向量的基底表示，结合平面向量的三角形法则和线性运算规则可解. 【详解】， 即，故A错误、B正确； ， 即，故C错误，D正确. 故选：BD. 题型01 基底的判断 空间向量基底.不共面的三个向量构成空间向量的基底. 【典例1】已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】利用空间向量的基底的定义，逐项判断作答. 【详解】假定向量，，共面，则存在不全为0的实数， 使得，显然不成立， 所以向量不共面，能构成空间的一个基底，故A正确； 由于，则，，共面，故B错误； 由于，则，，共面，故C错误； 由于，则，，共面，故D错误； 故选：A. 【变式1】若为空间的一个基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过证明ACD选项中的三个向量共面，判断它们错误，利用反证法证明B选项中的三个向量不共面，判断B正确. 【详解】对于A，因为，所以共面， 所以不能构成基底， 对于C，因为， 所以共面，所以不能构成基底，C错误； 对于D，， 所以共面，所以不能构成基底，D错误， 对于B，若共面， 则可设，故， 故共面，与条件矛盾， 所以不共面，即能构成基底，B正确； 故选：B. 【变式2】（多选）若是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据空间向量的基本定理，由不共面的向量可作为基底，以及空间向量共面定理依次判断即可得出结论. 【详解】解:对于A选项， ∵， ∴三向量共面,不能构成空间一个基底； 对于B选项，设 ， ∴，此时无解, 则三向量不共面,能构成空间一个基底； 对于C选项， 设， ∴,,,此时无解， ∴三向量不共面,能构成空间一个基底； 对于D选项， ∴三向量共面,不能构成空间一个基底, 故选：AD. 题型02 基底的运用 1.空间中，任一向量都可以用一组基底表示，且只要基底确定，则表示形式是唯一的. 2.用基底表示空间向量时，一般要结合图形，运用向量加法、减法的平行四边形法则、三角形法则，以及数乘向量的运算法则，逐步向基向量过渡，直至全部用基向量表示. 3.在空间几何体中选择基底时，通常选取公共起点最集中的向量或关系最明确的向量作为基底，例如，在正方体、长方体、平行六面体、四面体中，一般选用从同一顶点出发的三条棱所对应的向量作为基底. 【典例1】在正四面体中，为中点，在上．且为中点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量基本定理进行求解即可. 【详解】因为为中点， 所以 . 故选：A 【变式1】如图所示，已知斜三棱柱中，，，点M，N分别为线段和BC的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由图与题设结合空间向量线性运算可判断选项正误. 【详解】由图可得： . 故选：A. 【变式2】我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量基本定理将用，和表示出来，对照各项系数计算即得. 【详解】∵，∴， ∴ ， 则，，，故． 故选：A. 题型03 正交分解 正交基底的三个向量共起点 【典例1】是空间的一个单位正交基底，向量，若向量用空间的另一个基底表示为，则______． 【答案】 【分析】利用空间向量的基本定理可得出关于、、的方程组，解出这三个未知数的值，即可得解. 【详解】因为，且， 由于是空间的一个单位正交基底，所以，解得， 因此. 故答案为：. 【变式1】已知向量是空间的一组单位正交基底，向量是空间的另一组基底，若向量在基底下的坐标为，在基底下的坐标为，则___________． 【答案】4 【分析】利用空间向量基底的意义，结合相等向量列式求出即可. 【详解】由向量在基底下的坐标为，得， 由在基底下的坐标为， 得， 因此，所以. 故答案为：4 【变式2】已知是空间的一个单位正交基底，，则空间向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的投影向量公式计算即可. 【详解】因为是空间的一个单位正交基底， 所以，， 则， ， 所以空间向量在方向上的投影向量为， 故选：D 题型04 用空间向量基本定理解决相关的几何问题 应用空间向量基本定理可以证明空间的线线垂直、线线平行,可求两条异面直线所成的角等. 首先根据几何体的特点,选择一个基底,把题目中涉及的两条直线所在的向量用基向量表示. (1)若证明线线垂直,只需证明两向量数量积为0; (2)若证明线线平行,只需证明两向量共线; (3)若要求异面直线所成的角,则转化为两向量的夹角(或其补角). 【典例1】如图所示，在正方体中，取． (1)用表示； (2)若分别为的中点，用表示． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）. （2）． 【变式1】如图，在正六棱柱中，为的中点．设. (1)用表示向量； (2)若，求的值． 【答案】(1)，. (2)2 【分析】（1）根据三角形法则与平行四边形法则分别表示出向量即可； （2）结合（1）的结论利用向量数量积以及向量运算律计算即可. 【详解】（1）因为， 所以 ， . （2）由题意易知， 所以， ， 则 . 【变式2】如图，在平行六面体中，，，，点P为线段BC中点. (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)三个不共面的向量作为基底，再用基底表示,再用模长公式.         (2)用基底表示,用数量积计算得出结果就行. 【详解】（1）设，，，这三个向量不共面，构成空间的一个基底， 则，，， 因为， 所以 （2）由（1）可知， 同理可得， . 所以 . 1．（多选）在四棱柱中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】借助空间向量的线性运算可得答案． 【详解】 ，故A错误、B正确； ，故C错误、D正确． 故选：BD． 2．定义：设是空间的一组基，若向量，则称实数组为向量在基下的坐标．已知是空间向量的标准正交基，是空间向量的另一组基，若向量在基下的坐标为，则向量在基下的坐标是__________，向量的模是__________． 【答案】 【分析】由题意可得在另一组基底下的坐标，可得在所求的基底下的坐标，进而求出模长． 【详解】因为向量在基，下的坐标为， 所以， 所以向量在基下的坐标是， 又因为是空间向量的标准正交基， 所以，且， 所以 ， 故答案为：，． 3．已知在标准正交基下，向量，，，求向量在，上的投影. 【答案】向量在上的投影为7，在上的投影为2 【分析】根据题意求向量，结合投影的定义即可得结果. 【详解】因为，，， 则， 所以向量在上的投影为7，在上的投影为2． 4．定义向量在基下的坐标如下：若，则叫作在基下的坐标．已知向量在基下的坐标为，则在基下的坐标为__________，在基下的坐标为__________． 【答案】 【分析】利用空间向量的基本定理及向量相等建立等式求解即可得出． 【详解】由条件知． 设在基下的坐标为， 则， ，，不共面， ，， 即在基下的坐标为， 设在基下的坐标为，则， ，，不共面， ，解得， 即在基下的坐标为， 故答案为：；． 5．已知正方体中，点E为的中点，若，（x，）则x，y的值分别为（    ） A．1，1 B．1， C．， D．，1 【答案】C 【分析】根据空间向量的线性计算再根据平面向量基本定理得出参数. 【详解】, 所以. 故选：C. 6．如图，在四面体OABC中，，，，若，且∥平面ABC，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件可知，延长与交于，连接，则由题意可得∥，令，，则利用不同的方法将用表示，可求出，然后利用三角形相似可求得结果. 【详解】由条件可知，延长与交于，连接， 因为平面， 平面，平面平面， 所以∥， 令，， 则有， ， 根据向量基底表示法的唯一性， 得解得 ∥， ，， ． 故选：D． 7．平行六面体中.则=（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先表达出，两边平方后，利用空间向量数量积运算法则得到，从而求出模长. 【详解】由题意得， 故 ， 故. 故选：A 8．已知正方体的棱长为1，且满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由空间向量的共面定理可得点四点共面，从而将求的最小值转化为求点到平面的距离d，再根据等体积法计算d 【详解】因为， 由空间向量的共面定理可知，点四点共面， 即点E在平面上，所以的最小值为点到平面的距离d， 由正方体棱长为1，可得是边长为的等边三角形， 则，， 由等体积法得，，所以， 所以的最小值为. 故选：C 9．给出下列四个命题： ①若存在实数，使，则 与共面； ②若 与共面， 则存在实数， 使 ③若存在实数，使 ，则点共面； ④若点共面， 则存在实数， 使 其中（    ）是真命题． A．②④ B．①③ C．①② D．③④ 【答案】B 【分析】利用空间向量共面定理依次判断即可. 【详解】①：由共面向量定理知，故①正确； ②：共线，则不与共线， 则不存在实数x，y，使，故②错误； ③：共面向量定理知，故③正确； ④：共线，不与共线， 则不存在实数x，y，使，故④错误． 故选：B 10．在正方体中，设，，，，分别是，的中点． (1)用向量，，表示，； (2)若，求实数，，的值． 【答案】(1)， (2)，，． 【分析】（1）利用空间向量的线性运算求解即可； （2）用，，表示，再利用空间向量基本定理求解即可． 【详解】（1）连接，则交于点， ， ． （2）连接， ， 又，所以，，． 1．在三棱柱中，为棱的中点．设，用基底表示向量，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点，连接，，根据空间向量线性运算法则计算可得. 【详解】取的中点，连接，，    因为是的中点，， 所以. 故选：A 2．（多选）如图，在三棱锥中，两两垂直，且.给出下列四个命题，其中正确的命题是（       ） A． B． C．与的夹角为 D．三棱锥的体积为 【答案】AB 【分析】A选项，利用空间向量数量积公式得到A正确；B选项，变形得到；C选项，求出及，利用向量夹角余弦公式求出答案；D选项，推出三棱锥体积为，D错误. 【详解】A选项，因为两两垂直，所以， 故， A正确； B选项， ，B正确； C选项， ， ， 由勾股定理得， 所以与的夹角余弦为， 故与的夹角为，C错误； D选项，， 因为， 所以三棱锥的体积为， 由于，D错误. 故选：AB 3．在四棱锥中，底面是平行四边形，是棱上一点，且，，则___________． 【答案】 【分析】由已知选取为基底，根据空间向量的线性运算及空间向量基本定理即可求解. 【详解】连接， 则 ， 又，所以． 故答案是：. 4．是空间的一个基底，向量，是空间的另一个基底，向量，则___． 【答案】1 【分析】将转化成以为基底的向量，与联立，即可求出的值． 【详解】因为，且， ． 故答案为：1． 5．如图，平行六面体各条棱长均为1，，，则线段的长度为_____________. 【答案】 【分析】取，，为一个基底，表示，再应用数量积及模长公式计算即可求解． 【详解】取，，为一个基底，，，， ∴ ， 故答案为：. 6．已知是空间的一个基底，，，若，则 （    ） A． B． C．6 D．5 【答案】C 【分析】化简，结合，列出方程组，即可求解. 【详解】因为向量， 又因为，且， 可得，则，解得， 所以. 故选：C. 7．在四面体ABCD中，点E满足，F为BE的中点，且，则实数______． 【答案】 【分析】利用，将用表示，再利用，将用表示，对照系数可得答案. 【详解】由F为BE的中点， 得，又， 所以， 由，得， 即， 所以． 故答案为：. 8．（多选）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是2，且它们彼此的夹角都是为与的交点，若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D．的长为 【答案】AC 【分析】A、B选项考查的是空间向量基本定理的应用，以，，为基底表示，就可以得到结论；C选项考查利用空间向量数量积求向量夹角的余弦，先用基底表示和，再求它们的数量积和模，利用可判断C是否正确；对D选项，先用基底表示，再结合可求的长. 【详解】 ∵，故A正确. ∵.故B错误. 又∵，. ，； ， . . ∴.故C正确. ∵，∴.故D错误. 故选：AC. 9．在中，各个顶点与对边中点连线，相交于一点，定义为三角形的重心，此时易得.类似在三棱锥中，各个顶点分别与对面三角形的重心的连线，相交于一点，定义为三棱锥的重心G.若设，，，则____________.（用、、表示） 【答案】 【分析】确定，，根据代入数据计算得到答案. 【详解】设点D为的重心，点E为的重心， ， ， ，， ，即， 故，解得，故， 故答案为：. 10．已知是空间的一个基底，且，，，． (1)求证：A，B，C，D四点共面； (2)能否作为空间的一个基底？若能，试用这一基底表示；若不能，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)能，理由见解析 【分析】（1）确定，，，得到，得到证明. （2）计算得到，故不能作为基底，得到答案. 【详解】（1）； ； ； 设，即 故，解得，故， 故A，B，C，D四点共面. （2）假设，则， 故，无解； 故能作为基底. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $