1.3.1 空间直角坐标系（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

本讲义聚焦空间直角坐标系核心知识点，从平面直角坐标系类比引入，系统梳理坐标系建立、点及向量坐标表示、点的对称问题。通过情境导入、问题引导、知识梳理和例题训练构建学习支架，帮助学生逐步掌握空间定位方法。 资料以飞机航线情境激发兴趣，体现用数学眼光观察现实世界。通过平面到空间的类比推理和问题链设计，培养数学思维，结合正四棱锥、直三棱柱等实例，规范坐标表示与对称问题求解，提升数学语言表达能力。课中辅助教师引导探究，课后练习题与小结助力学生查漏补缺。

1.3.1　空间直角坐标系 课标要求 1.在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置（数学抽象、直观想象）. 2.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示（直观想象、数学运算）. 情境导入 　　飞机的飞行速度非常快，有很多飞机时速都在1 000 km以上，而全世界飞机这么多，这些飞机在空中风驰电掣，速度是如此的快，岂不是很容易撞机吗？但事实上，飞机的失事率是极低的，比火车、汽车要低得多，原因是飞机都是沿着国际统一划定的航线飞行，而在划定某条航线时，不仅要指出航线在地面上的经度和纬度，还要指出航线距离地面的高度.只给飞机所在位置的经度和纬度，能确定飞机的位置吗？要确定飞机的位置，还需要知道什么？ 　　 知识点一｜空间直角坐标系及点的坐标 问题1　在平面中，我们可选定一点O和一个单位正交基底{i，j}来建立平面直角坐标系，类似地，你认为应如何建立空间直角坐标系？ 提示：在空间中选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}来建立空间直角坐标系. 【知识梳理】 1.空间直角坐标系及相关概念 （1）空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：　x轴、y轴、z轴　，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个　空间直角坐标系Oxyz　； （2）相关概念：　O　叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过　每两条坐标轴　的平面叫做坐标平面，分别称为　Oxy　平面，　Oyz　平面，　Ozx　平面，它们把空间分成八个部分. 　　提醒：画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°（或45°），∠yOz＝90°. 2.右手直角坐标系 如图，在空间直角坐标系中，让右手拇指指向　x轴　的正方向，食指指向　y轴　的正方向，如果中指指向　z轴　的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系. 3.空间点的坐标 在单位正交基底{i，j，k}下，＝xi＋yj＋zk，其对应的有序实数组　（x，y，z）　，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A（x，y，z），其中　x　叫做点A的横坐标，　y　叫做点A的纵坐标，z叫做点A的　竖　坐标. 【例1】（1）已知i，j，k分别是空间直角坐标系Oxyz中x轴、y轴、z轴的正方向上的单位向量，若＝8a＋6b＋4c，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A的坐标为（　　） A.（12，14，10） B.（10，12，14） C.（14，10，12） D.（4，2，3） 解析：A　＝8（i＋j）＋6（j＋k）＋4（k＋i）＝12i＋14j＋10k，故点A的坐标为（12，14，10）. （2）已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，建立空间直角坐标系如图所示，试写出各顶点的坐标. 解：因为正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，所以底面正方形的对角线长为4，正四棱锥的高为2. 所以正四棱锥各顶点的坐标分别为A（2，0，0），B（0，2，0），C（－2，0，0），D（0，－2，0），P（0，0，2）. 【规律方法】 求空间一点P的坐标的两种方法 （1）利用点在坐标轴上的投影求解； （2）利用单位正交基底表示向量，的坐标就是点P的坐标. 训练1　（链接教材P18例1（1））如图所示，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，O，O1分别为底面ABCD，底面A1B1C1D1的中心，AB＝6，AA1＝4，M为B1B的中点，点N在C1C上，且C1N∶NC＝1∶3. （1）以O为原点，分别以OA，OB，OO1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求图中各点的坐标； 解：在正方形ABCD中，AB＝6， ∴AC＝BD＝6，从而OA＝OC＝OB＝OD＝3. ∴各点坐标分别为A（3，0，0），B（0，3，0），C（－3，0，0），D（0，－3，0），O（0，0，0），O1（0，0，4），A1（3，0，4），B1（0，3，4），C1（－3，0，4），D1（0，－3，4），M（0，3，2），N（－3，0，3）. （2）以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求图中各点的坐标. 解：同理，A（6，0，0），B（6，6，0），C（0，6，0），D（0，0，0），A1（6，0，4），B1（6，6，4），C1（0，6，4），D1（0，0，4），O（3，3，0），O1（3，3，4），M（6，6，2），N（0，6，3）. 知识点二｜空间向量的坐标表示 问题2　在平面直角坐标系中，我们可以用坐标表示平面内的任意一个向量，类似地，在空间直角坐标系中，任意向量都可以用坐标表示吗？ 提示：可以. 【知识梳理】 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组　（x，y，z）　叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a＝　（x，y，z）　. 　　提醒：符号（x，y，z）具有双重意义，它既可以表示向量，也可以表示点，在表述时要注意区分. 【例2】如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N为A1A的中点，试建立恰当的坐标系求向量，，的坐标. 解：由题意知CC1⊥AC，CC1⊥BC，AC⊥BC，建立空间直角坐标系Cxyz，如图所示. 记x，y，z轴正方向上的单位向量分别为i，j，k，则＝i，＝j，＝2k， 则＝＋＝－＋＝i－j＋k＝（1，－1，1）. ＝＋＝－＋＝i－j＋2k＝（1，－1，2）. ＝＋＝－－＝－i＋j－2k＝（－1，1，－2）. 【规律方法】 用坐标表示空间向量的步骤 训练2　如图，PA垂直于正方形ABCD所在的平面.M，N分别是AB，PC的中点，并且PA＝AB＝1，试建立适当的空间直角坐标系，则向量，，的坐标分别为（0，1，0），（－1，0，0），（0，，）. 解析：因为PA＝AB＝AD＝1，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，以{，，}为单位正交基底，建立空间直角坐标系如图所示. 所以＝＝0i＋1j＋0k＝（0，1，0），＝－＝－i＋0j＋0k＝（－1，0，0），＝＋＋＝－＋＋＝－＋＋（＋）＝－＋＋（＋＋）＝＋＝0i＋j＋k＝（0，，）. 知识点三｜空间点的对称问题 问题3　（1）在平面直角坐标系中，设P（x，y），则P关于x轴、y轴、原点的对称点的坐标是什么？ 提示：分别为（x，－y），（－x，y），（－x，－y）. （2）类比在平面直角坐标系中P（x，y）关于x轴、y轴、原点的对称点的坐标的特点，你认为空间点P（x，y，z）关于x轴、y轴、原点的对称点的坐标是什么？ 提示：P（x，y，z）关于x轴、y轴、原点的对称点的坐标是分别为（x，－y，－z），（－x，y， －z），（－x，－y，－z）. 【例3】（链接教材P22习题2题）在空间直角坐标系中，已知点P（－2，1，4）. （1）求点P关于x轴对称的点的坐标； 解：由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P1（－2，－1，－4）. （2）求点P关于Oxy平面对称的点的坐标； 解：由于点P关于Oxy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P2（－2，1，－4）. （3）求点P关于点M（2，－1，－4）对称的点的坐标. 解：设对称点为P3（x，y，z），则点M为线段PP3的中点， 由中点坐标公式，可得x＝2×2－（－2）＝6， y＝2×（－1）－1＝－3，z＝2×（－4）－4＝－12， 所以P3的坐标为（6，－3，－12）. 【规律方法】 空间点的对称问题的解题策略 （1）空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解； （2）对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论. 训练3　已知点P（2，3，－1）关于坐标平面Oxy的对称点为P1，点P1关于坐标平面Oyz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为（2，－3，1）. 解析：点P（2，3，－1）关于坐标平面Oxy的对称点P1的坐标为（2，3，1），点P1关于坐标平面Oyz的对称点P2的坐标为（－2，3，1），点P2关于z轴的对称点P3的坐标是（2，－3，1）. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）在空间中，过x轴，y轴的平面叫做Oxy平面.（　√　） （2）空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是（0，b，c）的形式.（　×　） （3）空间直角坐标系中，在Ozx平面内的点的坐标一定是（a，0，c）的形式.（　√　） （4）向量a的坐标可表示为a（x，y，z）的形式.（　×　） 2.在空间直角坐标系中，点P（－1，－2，－3）到平面Oyz的距离是（　　） A.1 B.2 C.3 D. 解析：A　点P到平面Oyz的距离就是点P的横坐标的绝对值. 3.点P（1，1，1）关于Oxy平面的对称点P1的坐标为（1，1，－1）；点P关于z轴的对称点P2的坐标为（－1，－1，1）. 解析：点P（1，1，1）关于Oxy平面的对称点P1的坐标为（1，1，－1），点P关于z轴的对称点P2的坐标为（－1，－1，1）. 4.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中建立空间直角坐标系，P为C1D1的中点，若正方体的棱长为1，则点P的坐标为（，1，1），的坐标为（1，0，1）. 解析：由题意可知，点P的坐标为（，1，1），记x，y，z轴正方向上的单位向量分别为i，j，k，则＝i，＝j，＝k，又＝＋＝＋＝i＋0j＋k＝（1，0，1）. 课堂小结 1.理清单 （1）空间直角坐标系； （2）空间点及向量的坐标表示； （3）空间点的对称问题. 2.应体会 （1）空间直角坐标系的建立、空间点及向量的坐标表示及空间点的对称问题，运用了类比联想的思想； （2）求空间点及向量的坐标时运用了数形结合的思想. 3.避易错 混淆空间点的坐标和向量坐标的概念，只有起点在原点的向量的坐标才和终点的坐标相同. 1.（2025·南京月考）设{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，a＝4i－8j＋3k，b＝－2i－3j＋7k，则a＋b的坐标为（　　） A.（2，－11，10） B.（－2，11，－10） C.（－2，11，10） D.（2，11，－10） 解析：A　a＋b＝2i－11j＋10k，由于{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，所以a＋b＝（2，－11，10）. 2.在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法正确的是（　　） A.向量的坐标与点B的坐标相同 B.向量的坐标与点A的坐标相同 C.向量与向量的坐标相同 D.向量与向量－的坐标相同 解析：D　因为A点不一定为坐标原点，所以A不正确；同理，B、C都不正确；因为＝－，所以D正确，故选D. 3.已知点B的坐标是（－1，2，1），则｜｜＝（　　） A. B.6 C. D.5 解析：A　由B点坐标是（－1，2，1），得＝－i＋2j＋k，故｜｜2＝1＋4＋1＝6，故｜｜＝. 4.（2025·枣庄月考）如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，B1E＝A1B1，则＝（　　） A. B. C. D. 解析：C　记x，y，z轴正方向上的单位向量分别为i，j，k，则＝i，＝j，＝k，又＝＋，B1E＝A1B1，所以＝－＝0i－j＋k＝（0，－，1）. 5.（2025·济宁月考）在如图所示的空间直角坐标系中，已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为2，PA＝4，则PD的中点M的坐标为（　　） A.（，0，） B.（－，0，） C.（，，） D.（－，，） 解析：B　由题意知PO＝＝＝，点M在x轴、y轴、z轴上的射影分别为M1，O，M2，它们在坐标轴上的坐标分别为－，0，，所以点M的坐标为（－，0，）. 6.〔多选〕下列各命题正确的是（　　） A.点（1，－2，3）关于平面Oxz的对称点为（1，2，3） B.点关于y轴的对称点为 C.点（2，－1，3）到平面Oyz的距离为1 D.设{i，j，k}是空间向量单位正交基底，若m＝3i－2j＋4k，则m＝（3，－2，4） 解析：ABD　A项，关于平面Oxz的对称点，x，z不变，y变为相反数，则点（1，－2，3）关于平面Oxz的对称点为（1，2，3），正确；B项，关于y轴的对称点，y不变，x，z变为相反数，则点关于y轴的对称点为，正确；C项，空间点到平面Oyz的距离为该点x坐标值的绝对值，则（2，－1，3）到平面Oyz的距离为2，错误；D项，根据空间向量的正交分解中正交基系数的含义知m＝3i－2j＋4k表示m＝（3，－2，4），正确.故选A、B、D. 7.〔多选〕在空间直角坐标系Oxyz中，对于点（0，m2＋2，m），下列说法可能正确的是（　　） A.在y轴上 B.在Oxz坐标平面上 C.在Oyz坐标平面上 D.在x轴上 解析：AC　若m＝0，点（0，2，0）在y轴上； 若m≠0，点（0，m2＋2，m）的横坐标为0，纵坐标大于0，竖坐标不为0，点（0，m2＋2，m）在Oyz坐标平面上.故选A、C. 8.在空间直角坐标系中，已知点P（1，，），过点P作平面Oyz的垂线PQ，则垂足Q的坐标为（0，，）. 解析：由于垂足在平面Oyz上，所以纵坐标、竖坐标不变，横坐标为0. 9.设x为任意实数，则点P（x，1，－3）表示的图形为过（0，1，－3）且平行于x轴的一条直线. 解析：由空间直角坐标系中点的坐标特点可知，由于y轴上坐标与z轴上坐标已确定，所以点P表示的图形为过（0，1，－3）且平行于x轴的一条直线. 10.如图，已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D中，AA1＝2，底面ABCD是直角梯形，∠A为直角，AB∥CD，AB＝4，AD＝2，DC＝1，请建立适当的空间直角坐标系. （1）求四棱柱各顶点的坐标； （2）求向量，的坐标. 解：如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系. （1）D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，4，0），C（0，1，0），A1（2，0，2），B1（2，4，2），C1（0，1，2），D1（0，0，2）. （2）设i，j，k分别是x，y，z轴上的单位向量，＝＋＝－－＝－2i－4j＋0k＝（－2，－4，0）. 由题意知，＝＋＋＋＝－＋－－＝－2i＋j－4j－2k＝－2i－3j－2k＝（－2，－3，－2）. 11.若p＝xa＋yb＋zc，则称（x，y，z）为p在基底{a，b，c}下的坐标.若一向量p在基底{a，b，c}下的坐标为（1，2，3），则向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为（　　） A.（，，3） B.（，－，3） C.（3，－，） D.（－，，3） 解析：B　设p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为（x，y，z），则p＝a＋2b＋3c＝x（a＋b）＋y（a－b）＋zc＝（x＋y）a＋（x－y）b＋zc，所以解得故p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为（，－，3）. 12.〔多选〕如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝3，以直线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（　　） A.点B1的坐标为（4，5，3） B.点C1关于点B对称的点为（5，8，－3） C.点A关于直线BD1对称的点为（0，5，3） D.点C关于平面ABB1A1对称的点为（8，5，0） 解析：ACD　依据空间中点的坐标的定义可知，B1（4，5，3），C1（0，5，3），A（4，0，0），C（0，5，0），故A正确；设点C1关于点B（4，5，0）的对称点为（x1，y1，z1），由中点坐标公式得x1＝4×2－0＝8，y1＝5×2－5＝5，z1＝0×2－3＝－3，所以C1关于点B对称的点为（8，5，－3），故B错误；由AB＝5，AD＝4，AA1＝3，易知四边形ABC1D1是正方形，所以点A关于直线BD1对称的点为C1（0，5，3），故C正确；点C关于平面ABB1A1的对称点就是点C关于点B的对称点，坐标为（8，5，0），故D正确.故选A、C、D. 13.如图所示，正四面体ABCD的棱长为1，G是△BCD的中心，建立如图所示的空间直角坐标系，则的坐标为（0，0，－），的坐标为（0，－，－）. 解析：由题意可知，BG＝BE＝×＝，所以AG＝＝，所以＝0i＋0j－k＝（0，0，－），＝－＝0i－j－k＝（0，－，－）. 14.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，建立空间直角坐标系，如图所示. （1）写出正方体ABCD-A1B1C1D1各顶点的坐标； （2）求向量在向量上的投影向量的坐标. 解：（1）由题易知A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（0，0，0），A1（2，0，2），B1（2，2，2），C1（0，2，2），D1（0，0，2）. （2）易知向量在向量上的投影向量为，在单位正交基底{i，j，k}下，＝＋＝－＋＝－2i＋2j，故＝（－2，2，0）. 15.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知△ABC的边长为1，三棱柱的高为2，试建立适当的空间直角坐标系. （1）求点A1，B，C的坐标； （2）求向量，，的坐标. 解：分别取BC，B1C1的中点D，D1，连接DD1，DA，易知DC，DA，DD1两两垂直，以D为坐标原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示. （1）因为AD＝，BD＝DC＝，所以A1（0，，2），B（－，0，0），C（，0，0）. （2）设i，j，k分别是x，y，z轴正方向上的单位向量， 由已知，得＝＝2k， ＝－－＋＝－i－j＋2k， ＝－＋＝i－j＋2k， 所以＝（0，0，2），＝（－，－，2），＝（，－，2）. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $