1.2 空间向量基本定理【题型讲义】-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦空间向量基本定理这一核心知识点，系统梳理基底与基向量的概念、空间向量的正交分解原理，以及用已知向量表示其他向量的关键方法，构建从定理到应用的学习支架。 资料通过多样化题型（如基底判断、几何应用）和具体几何实例（空间四边形、正方体等），培养学生的空间观念与推理能力，助力教师课中教学，学生课后可通过练习查漏补缺，提升用数学语言表达空间关系的能力。

专题1.2 空间向量基本定理 【知识点一、空间向量基本定理】 空间向量基本定理： 如果空间中的三个向量，，不共面，那么对空间中的任意一个向量，存在唯一的有序实数组，使得.其中，空间中不共面的三个向量，，组成的集合{，，}，常称为空间向量的一组基底.此时，，，都称为基向量；如果，则称为在基底{，，}下的分解式. 【知识点二、空间向量的正交分解】 单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示. 正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解. 【知识点三、用空间向量基本定理解决相关的几何问题】 用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量． (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立 重难点题型1 基底的判断 1．（2026高二·全国·专题练习）若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间的另一个基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】判定空间向量共面、空间向量基底概念及辨析 【详解】对于A，因为，所以共面， 不能作为空间一个基底，故A错误； 对于B，因为，所以共面， 不能作为空间一个基底，故B错误； 对于C，假设共面， 则存在实数使得， 又因为构成空间的一个基底，则，方程组无解， 所以不共面，可以作为空间一个基底，故C正确； 对于D，因为，所以共面， 不能作为空间一个基底，故D错误. 2．（2026高二·全国·专题练习）若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（   ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】空间向量基底概念及辨析 【分析】利用空间向量基底的概念逐项判断即可. 【详解】因为是空间的一个基底， 对于A选项，因为，则、、共面，A不符合要求； 对于B选项，因为，则、、共面，B不符合要求； 对于C选项，设， 因为是空间的一个基底，所以，解得，， 即，即、、共面，C不符合要求； 对于D选项，设， 因为是空间的一个基底，所以，该方程组无解， 故、、不共面，所以、、能作为空间向量的一个基底，D符合要求. 故选：D. 3．（25-26高二上·浙江温州·期末）已知为空间中的一组基底，则下列几组向量中也可以作为基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】判定空间向量共面、空间向量基底概念及辨析 【分析】根据空间向量基本定理判断各选项中的每组向量是否共面可得结论. 【详解】对于A，因为，所以是共面向量， 故不能作为空间中的一组基底，故A不符合题意； 对于B，因为，所以是共面向量， 故不能作为空间中的一组基底，故B不符合题意； 对于C，若共面， 则存在实数，使得， 因为为空间中的一组基底，所以，无解， 所以不共面， 所以能作为空间中的一组基底，故C符合题意； 对于D，因为， 所以是共面向量， 所以不能作为空间中的一组基底，故D不符合题意. 故选：C. 4．（25-26高二上·广东深圳·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的为 （    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】判定空间向量共面、空间向量基底概念及辨析 【分析】空间向量共面的充要条件：若三个向量共面，则存在实数，使得（或其中一个向量可由另外两个线性表示），已知不共面，逐一分析选项. 【详解】选项A：，存在线性组合，共面； 选项B：，存在线性组合，共面； 选项C：假设，则， 由不共面得：，无解，故不存在线性组合，不共面； 选项D：，存在线性组合，共面. 故选：C 5．（2026高二·全国·专题练习）（多选题）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【难度】0.7 【知识点】判定空间向量共面、空间向量基底概念及辨析、空间向量的加减运算 【分析】由空间向量共面的判断定理判断即可. 【详解】对于A：，可以由和线性表示，所以共面. 对于B：假设，可得，此方程组无解， 所以不能用和线性表示，故不共面. 对于C：，可以由和线性表示，所以共面. 对于D：假设， 可得，此方程组无解，所以不能用和线性表示，故不共面. 6．（24-25高二上·贵州毕节·期末）（多选题）若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【难度】0.65 【知识点】空间向量基底概念及辨析 【分析】通过假设向量线性组合为零向量求解系数，或观察向量间的线性表示关系，判断各组向量是否线性无关，进而确定是否为基底. 【详解】选项A： 设，由线性无关， 得，故该组向量线性无关，是基底. 选项B： 设， 整理为. 由线性无关，得， 解得，故该组向量线性无关，是基底. 选项C： 设， 整理为. 取，满足上式且系数不全为零，故该组向量线性相关，不是基底. 选项D： 因，即该向量可由组内另外两个向量线性表示， 故该组向量线性相关，不是基底. 故选：AB 7．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）（多选题）若是空间向量的一组基底，则下列各组中能构成空间向量的一组基底的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】空间向量基底概念及辨析、判定空间向量共面 【分析】根据空间向量基本定理，以及空间向量基底的性质，逐一判断各选项正误，判断结果. 【详解】对于A，因为是空间向量的一组基底，所以不共面，所以也不共面， 所以能构成空间向量的一组基底，故A正确； 对于B，假设存在实数，使得， 则，所以，此方程无解， 所以向量不共面，所以能构成空间向量的一组基底，故B正确； 对于C，显然不存在实数，使得， 所以不共面，所以能构成空间向量的一组基底，故C正确； 对于D，因为， 所以共面，所以不能构成空间向量的一组基底，故D错误. 故选：ABC. 8．（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）（多选题）已知是空间的一个单位正交基底，则下列向量可以做基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】空间向量基底概念及辨析 【分析】根据基底的概念，以及空间向量的共面定理，可得答案. 【详解】因为，所以共面，故A不符合题意； 因为方程，化简可得， 由题意易知方程无解，所以不共面，故B符合题意； 因为，所以共面，故C不符合题意； 因为方程，化简可得， 由题意可得，易知该方程组无解，所以不共面，故D符合题意. 故选：BD. 重难点题型2 基底的应用-线性运算 1．（25-26高二下·江苏泰州·期中）如图，在空间四边形中，，，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.72 【知识点】用空间基底表示向量、空间向量基本定理及其应用 【详解】在空间四边形中，，， 则，又， 且不共面，因此， 所以. 2．（2026·河南南阳·三模）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点、分别为、的中点，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】空间向量基本定理及其应用 【分析】由空间向量的线性运算以及空间向量的基本定理可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出的值. 【详解】因为，所以，可得， 因为四边形为平行四边形，所以， 所以， 因为点、分别为、的中点，所以，， 所以， 因为、、不共面，所以，所以，故. 3．（25-26高二上·河南濮阳·阶段检测）如图，在平行六面体中，与交于点．设，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】空间向量加减运算的几何表示、空间向量的加减运算、空间向量基本定理及其应用、用空间基底表示向量 【分析】根据空间向量线性运算即可求得结果. 【详解】在平行六面体中，， 由为平行四边形，与交于点， 所以为与的中点， 所以 ， 故选：D. 4．（25-26高二上·广东广州·期中）如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为的中点，设，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】空间向量基本定理及其应用 【分析】利用空间向量的基本定理将用、、表示出来，可得出、、的值，即可得解. 【详解】连接，如下图所示：    因为为的中点，所以， 因为点在上，且，则， 所以， 易知、、不共面，故，，所以. 故选：A. 5．（25-26高二上·广东东莞·期末）如图，空间四边形OABC中，点M、N分别是OA、BC的中点，若以｛，，｝为基底，则__________ 【答案】 【难度】0.65 【知识点】空间向量的加减运算、用空间基底表示向量、空间向量基本定理及其应用 【详解】本题考查空间向量的线性运算，空间向量基本定理．根据空间向量的线性运算即可得答案． 【解答】如图所示，连接， 则，， 所以. 故答案为：. 6．（25-26高二上·湖南长沙·期末）如图，在三棱柱中，、分别是、的中点，若，则__________. 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】空间向量基本定理及其应用 【分析】将用、、表示，结合空间向量的基本定理可得出、、的值，即可得出的值. 【详解】在三棱柱中，、分别是、的中点， 则， 又因为，且、、不共面， 所以，，故. 故答案为：. 7．（25-26高三·全国·一轮复习）如图，在四棱柱中，底面是平行四边形，点为的中点，若，则__________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】用空间基底表示向量、空间向量基本定理及其应用 【分析】根据向量的运算法则利用表示，由条件结合空间向量基本定理列方程求可得结论. 【详解】在四棱柱中，底面是平行四边形，点为的中点， 所以 又 所以 即. 故答案为：. 8．（24-25高二上·四川资阳·阶段检测）已知是平行六面体．设是底面的中心，是侧面的对角线上的点，且，设，________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】空间向量基本定理及其应用、用空间基底表示向量 【分析】由空间向量基本定理得到，从而求出，，，从而得到答案. 【详解】∵，， ∴ ， 又， ∴，，，故. 故答案为：. 重难点题型3 空间向量的正交分解 1、（多选题）如图，已知正方体的棱长2，以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则以下坐标表示的点在平面中的是（       ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】 【分析】 建立空间坐标系，标出点坐标，可得，，若点，在平面中，则由共面向量定理得，存在唯一的有序实数对，使，依次验证即可 【详解】 在正方体中，以为原点，，，为坐标向量建立如图所示空间直角坐标系 则，，， 则，， 若点，在平面中， 则由共面向量定理得，存在唯一的有序实数对，使， 所以，即， 在A中，代入点坐标，可解出，故A正确； 在B中，代入点坐标，无解，故B错误； 在C中，代入点坐标，无解，故C错误； 在D中，代入点坐标，可解出，故D正确 故选：AD. 2、已知向量是空间的一基底，向量是空间的另一基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 设，根据空间向量基本定理即可建立关于，，的方程，解方程即得，，． 【详解】 解：设； ，解得， 在基底下的坐标为． 故选：B． 3．（2026高三·全国·专题练习）笛卡尔是世界著名的数学家，他因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父.据说在他生病卧床时，突然看见屋顶角上有一只蜘蛛正在拉丝织网，受其启发建立了笛卡尔坐标系的雏形.在如图所示的空间直角坐标系中，几何体为长方体，且，，，是轴上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求空间中两点间的距离 【分析】作点关于轴的对称点，由对称性得，当、、三点共线时，取最小值，结合空间中两点间的距离公式求解即可. 【详解】作点关于轴的对称点，易知点， 由对称性知， 所以. 当且仅当为线段与线段的交点时，等号成立， 故的最小值为. 故选：D. 4、设是空间向量的一个单位正交基底，，则，的坐标分别为_________． 【答案】 【解析】 【详解】 由题可知： 故答案为： 5．（25-26高二上·广东·阶段检测）如图，在正三棱锥中，以BC的中点E为原点，直线EC，ED分别为x，y轴，过点E与平面BCD垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系．若，则二面角的正切值为______，三棱锥的体积为______．    【答案】 3 【难度】0.65 【知识点】锥体体积的有关计算、求二面角、空间中点的位置及坐标特征 【分析】根据给定条件，利用正三棱锥的性质，结合二面角及锥体体积求解. 【详解】在正三棱锥中，连接，过点作平面的垂线，垂足为， 则在上，且，则，，，，， 二面角大小等于二面角的平面角， ，由，得， 所以三棱锥的体积为. 故答案为：3；    6．（24-25高二下·广东广州·阶段检测）如图，平面平面，正方形的边长为4，四边形为矩形，，点在上，若三棱锥的四个顶点都在半径为的球的球面上，则__________. 【答案】1或3 【难度】0.65 【知识点】求空间中两点间的距离 【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，设，，由题意可得，利用两点间距离公式，解得的值，即可求得. 【详解】 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 设，，，，， 因为三棱锥的四个顶点都在半径为的球的球面上， 所以， 根据两点距离公式可得： ，，, 解得：，所以， 因为，解得：或， 所以或. 故答案为：1或3. 重难点题型4 利用空间向量的基本定理，解决相关的几何问题 1．（2026·内蒙古赤峰·模拟预测）已知正四面体的棱长为，若点满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】已知数量积求模、用空间基底表示向量 【分析】根据题意可知，利用向量模的计算公式即可求解. 【详解】 如图所示，已知正四面体的棱长为， 则且， 所以，同理， ， 则，故C正确. 2．（25-26高二下·全国·期末）如图，在三棱柱中，，，，点为棱的中点，点为棱的中点，点在棱上．若，则线段的长度为（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【难度】0.6 【知识点】空间向量数量积的应用、用空间基底表示向量 【分析】设，利用空间向量加减、数乘的几何意义，结合三棱柱中各线段的位置关系用表示出，由可知，即可求出，进而得出线段的长度. 【详解】由题意，因为点为棱的中点， 所以， 又因为点为棱的中点，点在棱上， 设， 所以， 因为，，， 所以，，， 因为， 所以， 所以， 所以，解得， 因为，所以. 3．（2026·山东泰安·二模）已知三棱柱所有棱长均为为的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】用空间基底表示向量、求空间向量的数量积 【分析】由题设可得，然后以作为基底表示，最后由向量模长公式可得答案. 【详解】因三棱柱所有棱长均为1，， 则， ， 则 ， 又，， 则. 4．（25-26高二下·河北邢台·开学考试）在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，，，平面AEF与棱CD交于点G，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】空间向量共面求参数、用空间基底表示向量 【分析】利用空间向量基本定理，结合四点共面的性质进行求解即可. 【详解】因为，， 所以， 设， ， ， 显然不是共线向量. 因为平面AEF与棱CD交于点G，所以四点共面， 因此有 ， 因为彼此两两不互相共线， 所以有， 所以. 5．（25-26高二下·江苏泰州·期末）在平行六面体中，底面是矩形，，，，，，则_______． 【答案】 【难度】0.62 【知识点】空间向量数量积的应用、用空间基底表示向量 【分析】用基底表示出，再根据向量数量积运算律计算. 【详解】如图所示，记，以为基底. 由题意，. . . . 6．（24-25高二上·福建莆田·期末）已知A，B，C三点不共线，O是平面外任意一点，若，则A，B，C，M四点共面的充要条件是_______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】空间向量共面求参数 【分析】利用空间四点共面的向量充要条件，结合已知条件构造方程求解． 【详解】若A，B，C，M四点共面，且A，B，C三点不共线，O是平面外任意一点， 则向量表达式必须满足系数之和为1，即， 解得． 故答案为：． 7．（2026高二·全国·专题练习）如图，已知四棱柱的底面ABCD是矩形，，，，E为棱的中点，在上的投影向量的模是_______.    【答案】 【难度】0.4 【知识点】求空间向量的数量积、用空间基底表示向量、求投影向量 【分析】将用基底表示出来，求出数量积，进而可求出在上的投影向量的模. 【详解】由题图可知， 又底面ABCD是矩形，，，， 所以， 所以在上的投影向量是， 所以在上的投影向量的模等于． 故答案为：. 8．（25-26高二下·江苏·期末）已知四棱柱的底面是矩形，，为棱的中点，则___________． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】空间向量数量积的应用、用空间基底表示向量 【分析】利用数量积和向量的基本定理求解. 【详解】由题意可得， ， ， . 故答案为： 重难点题型5 综合应用 1．（2026·北京顺义·三模）如图，在正方体中，，点满足，为的中点，给出下列四个结论： ①点的轨迹在矩形边界及内部； ②若，则点的轨迹为线段且长度为； ③若，则点的轨迹的长度为； ④若，则的最小值为； 其中正确结论的序号是（    ）    A．①③ B．②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】空间位置关系的向量证明、立体几何中的轨迹问题 【分析】对①：由题意可得在矩形边界及其内部；对②：由正方体性质可得平面，结合中点在平面内，可得点的轨迹为矩形边界及其内部与平面交线，即为线段，计算即可得；对③：由正方体性质可得平面，则点的轨迹为矩形边界及其内部与平面交线，即为线段，其中为的中点，解出即可得；对④：利用椭圆的定义可得点的轨迹为椭圆与矩形边界及内部相交部分，计算即可得解. 【详解】   对于①，由于点满足，则点的轨迹在矩形边界及内部，故①正确； 对于②，由，，，平面， 可得平面，又因为的中点在平面内，则平面内任意一点到点和到点的距离相等， 又因为点的轨迹在矩形边界及内部， 则当时，点的轨迹是矩形边界及内部与平面的交线，即为线段， 又因为，故点的轨迹长度为，故②错误； 对于③，由，，，平面， 可得平面，又因为平面，故， 由②知平面，又因为平面，故， 又因为，平面，故平面， 若，则点的轨迹是矩形边界及内部与平面的交线，即为线段，其中为的中点， 由于，所以点的轨迹的长度为，故③正确； 对于④，若，因,则点的轨迹是以为焦点的椭圆的一部分， 以为原点建立如图平面直角坐标系，如图所示：    则该椭圆方程为，点的轨迹为该椭圆与矩形边界及内部相交部分， 设，则，则，即的最小值为，故④正确； 综上所述，序号①③④正确. 2．如图，在三棱锥中，为的中点，为的中点，过点作平面，与射线、、的交点分别为，，．若，，，则的最小值为（    ）    A．2 B．4 C．6 D．9 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、用空间基底表示向量 【分析】利用空间向量共面的充要条件及基本不等式即可求解. 【详解】， 又，，，则， 因为点共面，所以，且. 则， 又当且仅当时取等号； ，当且仅当时取等号； ，当且仅当时取等号. 所以，当且仅当时取等号. 故的最小值为. 故选：B 【点睛】. 3．（25-26高二上·广东汕头·期末）如图，在正四棱柱中，，点为棱的中点，若侧面（包含边界）内的动点满足（，），则点的轨迹的长度是________. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】立体几何中的轨迹问题、平面向量基本定理的应用 【分析】取的中点，连接，证明，得到四点共面，结合题设条件和平面平面，可得点的轨迹为线段，求其长度即可. 【详解】如图，分别取的中点，连接. 易得，则四边形为平行四边形，. 又，可得，则，故， 即四点共面. 又平面平面， 侧面（包含边界）内的动点满足（，）， 由共面向量基本定理可知点既在平面内，又在平面内， 故点的轨迹即线段，其长度为. 故答案为：. （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．（2026·广东广州·三模）已知是空间的一组基底，则能与构成另一组基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】判定空间向量共面、空间向量基底概念及辨析 【分析】根据空间向量的基底向量的定义，及共面向量的定义逐项分析判断即可． 【详解】对于选项A，假设存在实数，，使得， 则，方程无解，即不存在实数，使得上式成立， 所以，，不共面，能构成一组基底，故A正确； 对于选项B，假设存在实数，，使得， 则，解得，即存在实数，使得上式成立， 所以，，共面，不能构成一组基底，故B错误； 对于选项C，假设存在实数，，使得， 则，解得，即存在实数，使得上式成立， 所以，，共面，不能构成一组基底，故C错误； 对于选项D，假设存在实数，，使得， 则，解得，即存在实数，使得上式成立， 所以，，共面，不能构成一组基底，故D错误． 2．（25-26高二下·江苏南京·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为线段上的点，若，且，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【难度】0.55 【知识点】用空间基底表示向量、空间向量基本定理及其应用 【分析】根据空间向量的线性运算及空间向量基本定理即可求解. 【详解】由题意可得，，设，， 且， ， 因为， 所以 所以. 3．（25-26高二下·湖南·期末）如图，在平行六面体中，，，则的长为（   ） A． B．2 C． D．6 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】空间向量数量积的应用、用空间基底表示向量、求空间向量的数量积 【分析】先应用空间向量的加法，再结合空间向量的数量积公式及运算律计算求解模长. 【详解】依题意，由， 又因为， 得， 所以． 故选：A. 二、多选题 4．（25-26高二下·江苏徐州·期末）在正四面体中，可以与构成空间的一个基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量基底概念及辨析、判定空间向量共面 【分析】以为原点，设，，，则，，即为不共面的基底，将所有向量用，，表示后，判断三个目标向量的线性相关性即可. 【详解】选项A：，. 设，整理得， 因，，不共面，则系数全为0，所以， 故三个向量线性无关，可构成基底，A正确. 选项B：，， 三个向量都仅含，分量，都在平面内，故共面，不能构成基底，B错误. 选项C：，. 设，整理得， 解得，线性无关，故可构成基底，C正确. 选项D：，. 设，整理得， 解得，线性无关，故可构成基底，D正确. 5．（25-26高二下·江苏南京·期中）已知平行六面体的所有棱长均为，点在线段上，如图所示，则（    ） A． B．平面 C．四边形为正方形 D．的最小值为 【答案】BCD 【难度】0.45 【知识点】空间向量基本定理及其应用、空间向量数量积的应用 【分析】根据空间向量基本定理及空间向量的运算法则即可判断各选项． 【详解】对于A，因为， 所以 ， 所以，故A错误； 对于B，由题可知，， 因为， ， 所以， 又平面，， 所以平面，故B正确； 对于C，由题可知，四边形为平行四边形， 又因为， 所以， 所以平行四边形为菱形， 又， 所以，则菱形为正方形，故C正确； 对于D，设， 则， 所以 ， 所以的最小值为，故D正确． 6．（25-26高二下·全国·课后作业）（多选）在棱长为1的平行六面体中，，点满足，其中.则（ ） A．当时， B．当时，在平面内 C．当时，的轨迹的面积为 D．当时，点在平行四边形内部及其边上 【答案】BCD 【难度】0.45 【知识点】判定空间向量共面、空间向量基本定理及其应用、空间向量数量积的应用 【分析】利用向量模的运算即可判断A，利用向量线性运算结合共面定理可判断BCD. 【详解】当时，， 因为在棱长为1的平行六面体中，，且， 所以 ， 故A错误； 当时，则 可得， 向量共面，即在平面内，故B正确； 当时，， 因为，所以表示以为起点，终点在平行四边形的内部及其边上， 则，表示终点的轨迹为平行六面体中的截面，其面积等于平行四边形的面积， 即，故C正确； 当时，， 可得， 当时，可知点在平行四边形内部及其边上， 故D正确. 三、填空题 7．（25-26高二下·全国·期末）如图所示，在三棱锥中，点在棱上，且，为中点，则时，则___________ 【答案】/ 【难度】0.72 【知识点】空间向量基本定理及其应用、用空间基底表示向量 【详解】由，为中点，可得， 所以 ， 所以，因此. 8．（25-26高二上·四川成都·阶段检测）正四面体中棱长为2，为的中点，则________． 【答案】1 【难度】0.65 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量基本定理及其应用、用空间基底表示向量 【分析】利用空间向量基本定理得到和，根据数量积运算法则进行求解， 【详解】为的中点，故， 又， 所以 . 故答案为：1. 9．（25-26高二上·河南信阳·期末）如图，在三棱锥中，点G为的重心，点M在上，且，过点M任意作一个平面分别交线段，，于点D，E，F，若，，，则的值为__________． 【答案】4 【难度】0.4 【知识点】空间向量共面求参数、用空间基底表示向量 【分析】以为空间一组基底，结合四点共面，用两种方法表示出，由空间向量的基本定理求得的值. 【详解】连接并延长，交于点，以为空间一组基底， 由于是的重心，点M在上，且， 所以 ①， 连接，因为四点共面，所以存在实数，使得， 即，②， 由①②以及空间向量的基本定理可知：，，所以. 故答案为：4. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2 空间向量基本定理 【知识点一、空间向量基本定理】 空间向量基本定理： 如果空间中的三个向量，，不共面，那么对空间中的任意一个向量，存在唯一的有序实数组，使得.其中，空间中不共面的三个向量，，组成的集合{，，}，常称为空间向量的一组基底.此时，，，都称为基向量；如果，则称为在基底{，，}下的分解式. 【知识点二、空间向量的正交分解】 单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示. 正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解. 【知识点三、用空间向量基本定理解决相关的几何问题】 用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量． (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立 重难点题型1 基底的判断 1．（2026高二·全国·专题练习）若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间的另一个基底的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026高二·全国·专题练习）若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（   ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 3．（25-26高二上·浙江温州·期末）已知为空间中的一组基底，则下列几组向量中也可以作为基底的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·广东深圳·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的为 （    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．（2026高二·全国·专题练习）（多选题）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·贵州毕节·期末）（多选题）若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）（多选题）若是空间向量的一组基底，则下列各组中能构成空间向量的一组基底的有（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）（多选题）已知是空间的一个单位正交基底，则下列向量可以做基底的是（    ） A． B． C． D． 重难点题型2 基底的应用-线性运算 1．（25-26高二下·江苏泰州·期中）如图，在空间四边形中，，，若，则（    ）    A． B． C． D． 2．（2026·河南南阳·三模）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点、分别为、的中点，若，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·河南濮阳·阶段检测）如图，在平行六面体中，与交于点．设，则等于（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·广东广州·期中）如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为的中点，设，则（   ）    A． B． C． D． 5．（25-26高二上·广东东莞·期末）如图，空间四边形OABC中，点M、N分别是OA、BC的中点，若以｛，，｝为基底，则__________ 6．（25-26高二上·湖南长沙·期末）如图，在三棱柱中，、分别是、的中点，若，则__________. 7．（25-26高三·全国·一轮复习）如图，在四棱柱中，底面是平行四边形，点为的中点，若，则__________. 8．（24-25高二上·四川资阳·阶段检测）已知是平行六面体．设是底面的中心，是侧面的对角线上的点，且，设，________． 重难点题型3 空间向量的正交分解 1、（多选题）如图，已知正方体的棱长2，以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则以下坐标表示的点在平面中的是（       ） A． B． C． D． 2、已知向量是空间的一基底，向量是空间的另一基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（       ） A． B． C． D． 3．（2026高三·全国·专题练习）笛卡尔是世界著名的数学家，他因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父.据说在他生病卧床时，突然看见屋顶角上有一只蜘蛛正在拉丝织网，受其启发建立了笛卡尔坐标系的雏形.在如图所示的空间直角坐标系中，几何体为长方体，且，，，是轴上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4、设是空间向量的一个单位正交基底，，则，的坐标分别为_________． 5．（25-26高二上·广东·阶段检测）如图，在正三棱锥中，以BC的中点E为原点，直线EC，ED分别为x，y轴，过点E与平面BCD垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系．若，则二面角的正切值为______，三棱锥的体积为______．    6．（24-25高二下·广东广州·阶段检测）如图，平面平面，正方形的边长为4，四边形为矩形，，点在上，若三棱锥的四个顶点都在半径为的球的球面上，则__________. 重难点题型4 利用空间向量的基本定理，解决相关的几何问题 1．（2026·内蒙古赤峰·模拟预测）已知正四面体的棱长为，若点满足，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·全国·期末）如图，在三棱柱中，，，，点为棱的中点，点为棱的中点，点在棱上．若，则线段的长度为（     ） A． B．1 C． D．2 3．（2026·山东泰安·二模）已知三棱柱所有棱长均为为的中点，，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·河北邢台·开学考试）在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，，，平面AEF与棱CD交于点G，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·江苏泰州·期末）在平行六面体中，底面是矩形，，，，，，则_______． 6．（24-25高二上·福建莆田·期末）已知A，B，C三点不共线，O是平面外任意一点，若，则A，B，C，M四点共面的充要条件是_______． 7．（2026高二·全国·专题练习）如图，已知四棱柱的底面ABCD是矩形，，，，E为棱的中点，在上的投影向量的模是_______.    8．（25-26高二下·江苏·期末）已知四棱柱的底面是矩形，，为棱的中点，则___________． 重难点题型5 综合应用 1．（2026·北京顺义·三模）如图，在正方体中，，点满足，为的中点，给出下列四个结论： ①点的轨迹在矩形边界及内部； ②若，则点的轨迹为线段且长度为； ③若，则点的轨迹的长度为； ④若，则的最小值为； 其中正确结论的序号是（    ）    A．①③ B．②③ C．①②④ D．①③④ 2．如图，在三棱锥中，为的中点，为的中点，过点作平面，与射线、、的交点分别为，，．若，，，则的最小值为（    ）    A．2 B．4 C．6 D．9 3．（25-26高二上·广东汕头·期末）如图，在正四棱柱中，，点为棱的中点，若侧面（包含边界）内的动点满足（，），则点的轨迹的长度是________. （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．（2026·广东广州·三模）已知是空间的一组基底，则能与构成另一组基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（25-26高二下·江苏南京·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为线段上的点，若，且，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 3．（25-26高二下·湖南·期末）如图，在平行六面体中，，，则的长为（   ） A． B．2 C． D．6 二、多选题 4．（25-26高二下·江苏徐州·期末）在正四面体中，可以与构成空间的一个基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 5．（25-26高二下·江苏南京·期中）已知平行六面体的所有棱长均为，点在线段上，如图所示，则（    ） A． B．平面 C．四边形为正方形 D．的最小值为 6．（25-26高二下·全国·课后作业）（多选）在棱长为1的平行六面体中，，点满足，其中.则（ ） A．当时， B．当时，在平面内 C．当时，的轨迹的面积为 D．当时，点在平行四边形内部及其边上 三、填空题 7．（25-26高二下·全国·期末）如图所示，在三棱锥中，点在棱上，且，为中点，则时，则___________ 8．（25-26高二上·四川成都·阶段检测）正四面体中棱长为2，为的中点，则________． 9．（25-26高二上·河南信阳·期末）如图，在三棱锥中，点G为的重心，点M在上，且，过点M任意作一个平面分别交线段，，于点D，E，F，若，，，则的值为__________． 1 学科网（北京）股份有限公司 $