专题1.1 空间向量及其运算（高效培优讲义）数学人教A版高二选择性必修第一册

本讲义聚焦空间向量及其运算核心知识点，从平面向量拓展到空间向量，系统梳理基本概念、线性运算、数量积运算及共线共面向量定理，通过即学即练与题型分类构建学习支架，助力学生夯实基础并衔接后续坐标运算与立体几何应用。 资料以类比推理与数形结合思想为引领，设置辨析题、综合应用题培养直观想象与逻辑推理素养，如通过共线向量定理判断三点共线，利用数量积求异面直线夹角。课中辅助教师分层教学，课后帮助学生通过变式练习查漏补缺，提升用向量工具解决立体几何问题的能力。

专题1.1空间向量及其运算 教学目标 1.理解空间向量的定义、表示方法、零向量、单位向量、相等向量、相反向量等基本概念，清晰区分平面向量与空间向量的联系与区别，熟记空间向量线性运算、数量积运算的运算法则和运算律，夯实本节课核心基础知识。 2.熟练掌握空间向量的加法、减法、数乘线性运算以及空间向量数量积运算，能规范完成向量运算；会利用共线向量、共面向量定理判断空间向量共线、共面问题，初步具备用向量运算处理简单立体几何问题的能力。 3.经历由平面向量拓展到空间向量的推导过程，体会类比推理、数形结合的数学思想，建立三维空间思维模型，突破平面思维局限，提升空间直观想象与逻辑推理能力。 4.通过空间向量运算的探究与应用，培养数学运算、直观想象、逻辑推理的核心素养，学会用向量工具将立体几何的位置关系、度量问题代数化，建立立体几何向量解题的思维框架。 教学重难点 1.重点 空间向量的基本概念，空间向量线性运算、数量积的运算法则与运算律；共线向量定理、共面向量定理的理解与基础应用，是后续空间向量坐标运算、立体几何向量解法的核心基础。 2.难点 准确辨析空间向量共线、共面的条件，区分平面与空间向量运算的差异；灵活运用向量运算和共线、共面向量定理，转化求解空间点、线、面的位置关系问题，实现几何问题与向量代数运算的精准转化。 知识点01 空间向量的有关概念 1、空间向量的有关概念 （1）概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模；如空间中的位移速度、力等． （2）几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为 单位向量 模为1的向量称为_________ 相反向量 与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 2、空间向量的表示 表示方法：和平面向量一样，空间向量有两种表示方法： （1）几何表示法：用有向线段来表示，叫向量的起点，叫向量的终点； （2）字母表示法：用表示．向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或. 【即学即练】 1．下列说法错误的是（    ） A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B．是向量的必要不充分条件 C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等 2．（多选）下列关于空间向量的说法正确的是（    ） A．零向量与任意向量平行 B．相反向量就是方向相反的向量 C．零向量不能作为任意直线的方向向量 D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量 3．（多选）下列关于空间向量的说法中不正确的是（   ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 知识点02 空间向量的加法、减法运算 1、空间向量的位置：已知空间向量，可以把它们平移到同一平面内，以任意点为起点，作向量， 2、空间向量的加法运算（首尾相接首尾连）：作向量，则向量叫做向量的________．记作，即 3、空间向量的减法运算（共起点，连终点，指向被减向量）：向量叫做与________，记作，即 4、空间向量的加法运算律 （1）加法交换律： （2）加法结合律： 【即学即练】 1．已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：    (1)； (2)； (3). 2．设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．在长方体中，等于（    ） A． B． C． D． 知识点03 空间向量的数乘运算 1、定义：与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 2：数乘向量与向量的关系 的范围 的方向 的模 与向量的方向相同 ，其方向是任意的 与向量的方向相反 3、对数乘向量与向量的关系的进一步理解： （1）可以把向量模扩大（当时），也可缩小（当时）；可以不改变向量的方向（当时），也可以改变向量的方向（当时）． （2）实数与向量的积的特殊情况：当时，；当时，若，则． （3）实数与向量可以求积，但是________进行加减，例如，，没有意义，无法运算． 【即学即练】 1．在任意四边形中，E，F分别是，的中点，若，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 2．在空间四边形中，点分别是和的中点，则（ ） A． B． C． D． 3．在四面体 中，分别为的中点，则__________ 知识点04 共线向量与共面向量 1、共线（平行）向量的定义：若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做________或平行向量，若与是共线向量，则记为． 在正确理解共线向量的定义时，要注意以下两点： （1）零向量和空间任一向量是共线向量． （2）共线向量不具有传递性，如，那么不一定成立，因为当时，虽然，但不一定与共线（特别注意，与任何向量共线）． 2、共线向量定理：对空间任意两个向量，的________是存在实数，使． 共线向量定理推论：如果为经过点平行于已知非零向量的直线,那么对于空间任一点,点在直线上的充要条件是存在实数,使①，若在上取，则①可以化作： 拓展(高频考点）：对于直线外任意点，空间中三点共线的充要条件是，其中 3、共面向量定义：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 空间共面向量的表示 如图空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使． 或者等价于：对空间任意一点，空间一点位于平面内（四点共面）的充要条件是存在有序实数对，使，该式称为空间平面的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量________确定． 拓展 对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）． 【即学即练】 1．设，是空间两个不共线的向量，已知，，，且A，B，D三点共线，则________． 2．设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C． D．8 3．已知向量，，不共面，，，．求证：B，C，D三点共线． 知识点05 空间两个向量的夹角 1、定义：如图已知两个非零向量，在空间任取一点，作，，则么叫做向量的夹角，记.（特别注意向量找夹角口诀：共起点找夹角） 2、范围：． 特别地，（1）如果，那么向量互相垂直，记作． (2)由概念知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为，故(或)(为非零向量)． (3)零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定与任何向量都是共线的，即．两非零向量的夹角是唯一确定的． 3、拓展（异面直线所成角与向量夹角联系与区别） 若两个向量所在直线为异面直线，两异面直线所成的角为， (1)向量夹角的范围是0<<><，异面直线的夹角的范围是0<<， (2)当两向量的夹角为锐角时，；当两向量的夹角为时，两异面直线垂直；当两向量的夹角为钝角时，. 【即学即练】 1．如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角是（　　）    A．30° B．45° C．60° D．90° 2．已知在正三棱锥P－ABC中，点M，N分别是线段AB，PC的中点，记，，．    (1)分别用，，来表示向量，； (2)若，，两两垂直，求直线PM与BN所成角的余弦值． 3．如图，空间四边形的各边及对角线长都为2，是的中点，在上，且，则向量与向量所成角的余弦值为______________．    知识点06 空间向量的数量积 1、定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作；即．规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 特别提醒：两个空间向量的数量积是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零; 2、空间向量数量积的应用 (1)利用公式可以解决空间中有关________或________的问题; (2)利用公式可以解决两向量夹角,特别是两异面直线________的问题; 3、向量的投影 3.1．如图(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，向量称为向量在向量上的投影向量．类似地，可以将向量向直线投影(如图(2))． 3.2．如图(3)，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角． 4、空间向量数量积的几何意义：向量，的数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积或等于的长度与在方向上的投影的乘积. 5、数量积的运算： （1），. （2）(交换律)． （3）(分配律). 【即学即练】 1．在长方体中，，线段与交于点，点P 为空间中任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．已知，在方向上的投影为，则______． 3．已知，是相互垂直的单位向量，则＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 知识点07 空间向量数量积的性质 （1） （2）若与同向，则；若与反向，则．特别地，． （3）. 【即学即练】 1．①______；   ②______； ③；                   ④； ⑤______ (交换律)；    ⑥______(分配律)． 2．在正三棱柱中，为上一点，，当时，的长为（  ） A． B．2 C． D．1 3．如图，在平行六面体中，，，，，.求：    (1)； (2)的长（精确到0.1）. 题型01 空间向量的有关概念及线性运算 在用已知向量表示未知向量的时候，要注意寻求两者之间的关系，通常可将未知向量进行一系列的转化，将其转化到与已知向量在同一四边形（更多的是平行四边形）或三角形中，从而可以建立已知与未知之间的关系式．另外，在平行六面体中，要注意相等向量之间的代换． 【典例1】（多选）以下能确定空间中四点 共面的条件是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图所示，四面体所有棱长均为2，则（   ） A．6 B． C． D． 【变式2】（多选）在正方体中，下列各式运算结果为向量的是（   ） A． B． C． D． 题型02 共线向量定理的应用 利用共线向量定理可以判定两直线平行、证明三点共线．证平行时，先从直线上取有向线段来表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，此为证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题时，通常不用图形。直接利用向量的线性运算，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点． 【典例1】如图，在正四棱锥中，点是棱的中点，点在线段上，点在线段上，点在平面内，且，则的值为（    ）    A． B． C．2 D． 【变式1】如图，在四面体中，为棱的中点，点，分别满足，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】对于下列命题： （1）若为空间不重合的四点(无三点共线)，且有，则是三点共线的充要条件. （2）对于空间的任意三个向量，它们一定是共面向量. （3）已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有，则的值为. 正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型03 共面向量及应用 在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算． 【典例1】设m是实数，已知，，若，则m的值为（   ） A． B． C．3 D．6 【变式1】已知正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1．O为底面内一点，且，，则（   ） A．0 B． C． D． 【变式2】若向量，，且，则的值是（     ） A． B．5 C．3 D． 题型04 空间向量的数量积 向量的数量积运算除不满足乘法结合律外，其它都满足，所以其运算和实数的运算基本相同。求空间向量数量积的运算同平面向量一样，关键在于确定两个向量之间的夹角以及它们的模，利用公式：即可顺利计算． 【典例1】在三棱锥中，，且，且，若二面角的大小为，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式1】在正方体中，为中点，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 设正方体棱长为 ，且 为 中点，并以 为原点，分别以 为 轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以， ， 所以， ， 所以向量在向量上的投影向量为：. 故选：D. 【变式2】在棱长为1的正方体中，的值为（     ） A．1 B． C．2 D． 题型05 利用空间向量的数量积求两向量的夹角 用传统立体几何方法求异面直线BN和SM所成角，可以利用中位线平移或补形在正方体中计算，但是图形添加辅助线后不易观察，计算量也稍大。如用向量夹角公式求解，无须添加辅助线，便于观察图形，更能有效地解决问题。 【典例1】已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（多选）如图，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60°，则（   ）    A． B． C．四边形的面积为 D．平行六面体的体积为 【变式2】已知空间向量，的夹角为，且，，则与的夹角___________. 题型06 利用空间向量的数量积求线段的长度 空间向量求模的运算要注意公式的准确应用。向量的模就是表示向量的有向线段的长度，因此求线段长度的总是可用向量求解。 【典例1】如图所示，在棱长为2的正方体中，为与的交点，为的中点，则在上的投影向量的模为________；在平面内的投影向量的模为________． 【变式1】如图，在三棱柱中，与相交于点，，则线段的长度为__________． 【变式2】如图所示，四面体所有棱长均为4，则（   ） A． B． C． D． 题型07 利用空间向量的数量积证垂直 立体几何中有关判断线线垂直问题，通常可以转化为求向量的数量积为零. 【典例1】如图，在平行六面体中，，，点为的中点.    (1)求的长； (2)已知为上的动点，若，求的长. 【变式1】如图，已知在平行六面体中，，，，，，，分别是，的中点. (1)若对角线的长度为时，求的值； (2)求证：. 【变式2】如图，已知在平行六面体中，，分别是的中点.    (1)若对角线的长度为时，求的值. (2)求证：. 1．已知是空间两两垂直的单位向量，空间向量，则向量的模为（     ） A． B． C． D． 2．（多选）若构成空间的一个基底，则下列不能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 3．已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角的余弦值是（　　） A． B． C． D． 5．在空间四边形中，，，，若，，则_____（用向量，，表示）． 6．（多选）如图，用斜二测画法得到四边形的直观图是平行四边形，且，，则（    ） A． B． C． D．四边形是矩形 7．已知非零向量，满足，则向量在向量上的投影向量为（     ） A． B． C． D． 8．已知为空间中四点，任意三点不共线，O为平面ABC外一点，且，若四点共面，则的最小值为（    ） A． B． C．9 D．4 9．如图，二面角的大小为，点分别在半平面内，于点，于点．若，则（   ） A． B．7 C．8 D．9 10．（多选）下列命题中正确的有（   ） A．向量与向量方向相反 B．正方体的棱长为1，则 C．，，三点不共线，对空间任意一点，若，则，，，四点共面 D．若，向量，的夹角为，则向量在向量方向上的投影向量的模为2 1．已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）如图，在三棱柱中，与相交于点，，，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．与所成角的余弦值为 D． 3．如图，在三棱锥中，为的中点，，则（    ） A． B． C． D． 4．如图，在正八面体中，四边形为平行四边形，，分别为，的中点，设，，，则（   ） A． B． C． D． 5．如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于为的中点，为线段上靠近的三等分点. (1)设，试用向量表示； (2)求线段的长度. 6．线段在平面内，，且，则两点间的距离为（   ） A．5 B． C． D． 7．（多选）金刚石，俗称“金刚钻”，它是一种由碳元素组成的矿物，是自然界中天然存在的最坚硬的物质，如图1所示是组成金刚石的碳原子在空间中排列的结构示意图，组成金刚石的每个碳原子，都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接.从立体几何的角度来看，可以认为4个碳原子分布在一个正四面体的四个顶点处，而中间的那个碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置，如图2所示，，若正四面体的棱长为2，则（   ）    A．为四面体外接球的球心 B．正四面体外接球的表面积为 C．二面角的余弦值是 D． 8．已知四棱锥，底面是平行四边形，为的中点，经过直线的平面与侧棱分别交于点．设，．若，则______． 9．如图，已知为空间的9个点，且，，，，，，， 求证： (1)四点共面，四点共面； (2)； (3). 10．（多选）已知正四面体的棱长为2，点分别为的中点，则（   ） A． B．直线与所成角的余弦值为 C． D．该正四面体的内切球体积为 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1空间向量及其运算 教学目标 1.理解空间向量的定义、表示方法、零向量、单位向量、相等向量、相反向量等基本概念，清晰区分平面向量与空间向量的联系与区别，熟记空间向量线性运算、数量积运算的运算法则和运算律，夯实本节课核心基础知识。 2.熟练掌握空间向量的加法、减法、数乘线性运算以及空间向量数量积运算，能规范完成向量运算；会利用共线向量、共面向量定理判断空间向量共线、共面问题，初步具备用向量运算处理简单立体几何问题的能力。 3.经历由平面向量拓展到空间向量的推导过程，体会类比推理、数形结合的数学思想，建立三维空间思维模型，突破平面思维局限，提升空间直观想象与逻辑推理能力。 4.通过空间向量运算的探究与应用，培养数学运算、直观想象、逻辑推理的核心素养，学会用向量工具将立体几何的位置关系、度量问题代数化，建立立体几何向量解题的思维框架。 教学重难点 1.重点 空间向量的基本概念，空间向量线性运算、数量积的运算法则与运算律；共线向量定理、共面向量定理的理解与基础应用，是后续空间向量坐标运算、立体几何向量解法的核心基础。 2.难点 准确辨析空间向量共线、共面的条件，区分平面与空间向量运算的差异；灵活运用向量运算和共线、共面向量定理，转化求解空间点、线、面的位置关系问题，实现几何问题与向量代数运算的精准转化。 知识点01 空间向量的有关概念 1、空间向量的有关概念 （1）概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模；如空间中的位移速度、力等． （2）几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 2、空间向量的表示 表示方法：和平面向量一样，空间向量有两种表示方法： （1）几何表示法：用有向线段来表示，叫向量的起点，叫向量的终点； （2）字母表示法：用表示．向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或. 【即学即练】 1．下列说法错误的是（    ） A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B．是向量的必要不充分条件 C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等 【答案】D 【分析】根据向量的定义（大小、方向）、零向量性质、共线向量的方向特征，逐一判断各选项的正确性. 【详解】选项A：向量是兼具大小与方向的量，本身无法比较大小，仅模可以比较，此说法正确. 选项B：需满足模相等且方向相同，故是的必要不充分条件，此说法正确. 选项C：零向量的定义为模等于0的向量，不存在其他模为0的向量，此说法正确. 选项D：共线的单位向量方向可能相同或相反，方向相反时向量不相等，此说法错误. 故选：D. 2．（多选）下列关于空间向量的说法正确的是（    ） A．零向量与任意向量平行 B．相反向量就是方向相反的向量 C．零向量不能作为任意直线的方向向量 D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量 【答案】ACD 【分析】根据零向量概念可判断A；根据相反向量概念可判断B；根据直线方向向量与零向量可判断C；根据相等向量概念可判断D. 【详解】对于A，零向量方向是任意的，规定零向量与任意向量平行，故A正确； 对于B，相反向量是长度相等方向相反的一组向量，故B错误； 对于C，在直线上取非零向量，把与平行的非零向量称为直线的方向向量， 所以零向量不能作为任意直线的方向向量，故C正确； 对于D，方向相同且模相等的两个向量是相等向量，故D正确. 故选：ACD 3．（多选）下列关于空间向量的说法中不正确的是（   ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 【答案】ABC 【分析】根据空间向量的定义直接判断. 【详解】A选项：长度相等，方向相反的两个向量是相反向量，A选项错误； B选项：空间中任意两个单位向量的模长相等，但方向不一定一样，所以不一定相等，B选项错误； C选项：向量模长可比较大小，向量不能比较大小； D选项：两个向量相等，则方向相同，模长相等，D选项正确； 故选：ABC. 知识点02 空间向量的加法、减法运算 1、空间向量的位置：已知空间向量，可以把它们平移到同一平面内，以任意点为起点，作向量， 2、空间向量的加法运算（首尾相接首尾连）：作向量，则向量叫做向量的和．记作，即 3、空间向量的减法运算（共起点，连终点，指向被减向量）：向量叫做与差，记作，即 4、空间向量的加法运算律 （1）加法交换律： （2）加法结合律： 【即学即练】 1．已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：    (1)； (2)； (3). 【答案】(1)，作图见解析 (2)，作图见解析 (3)，作图见解析 【分析】（1）（2）（3）根据空间向量的线性运算即可得到答案. 【详解】（1）， 向量如图所示.    （2）； 向量如图所示.    （3）， 设是线段的中点， 则. 向量如图所示.    2．设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据题意，得到，根据三点共线得到，再利用向量相等的条件求解参数即可. 【详解】因为，，， 所以， 因为三点共线，所以存在唯一的实数使得， 所以，解得， 所以. 故选：C. 3．在长方体中，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由空间向量的加减结合相反向量的运算可得答案. 【详解】 故选：A 知识点03 空间向量的数乘运算 1、定义：与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 2：数乘向量与向量的关系 的范围 的方向 的模 与向量的方向相同 ，其方向是任意的 与向量的方向相反 3、对数乘向量与向量的关系的进一步理解： （1）可以把向量模扩大（当时），也可缩小（当时）；可以不改变向量的方向（当时），也可以改变向量的方向（当时）． （2）实数与向量的积的特殊情况：当时，；当时，若，则． （3）实数与向量可以求积，但是不能进行加减，例如，，没有意义，无法运算． 【即学即练】 1．在任意四边形中，E，F分别是，的中点，若，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据向量加法法则，将分别用表示，再结合题意即可得解. 【详解】如图，， ， ，. 故选：C. 2．在空间四边形中，点分别是和的中点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知可得，代入即可得出答案. 【详解】 因为点G是CD的中点， 所以， 所以. 故选:C. 3．在四面体 中，分别为的中点，则__________ 【答案】 【分析】根据空间向量的运算，将用来表示，即可求得答案. 【详解】由题意得 ， 故答案为： 知识点04 共线向量与共面向量 1、共线（平行）向量的定义：若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，若与是共线向量，则记为． 在正确理解共线向量的定义时，要注意以下两点： （1）零向量和空间任一向量是共线向量． （2）共线向量不具有传递性，如，那么不一定成立，因为当时，虽然，但不一定与共线（特别注意，与任何向量共线）． 2、共线向量定理：对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使． 共线向量定理推论：如果为经过点平行于已知非零向量的直线,那么对于空间任一点,点在直线上的充要条件是存在实数,使①，若在上取，则①可以化作： 拓展(高频考点）：对于直线外任意点，空间中三点共线的充要条件是，其中 3、共面向量定义：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 空间共面向量的表示 如图空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使． 或者等价于：对空间任意一点，空间一点位于平面内（四点共面）的充要条件是存在有序实数对，使，该式称为空间平面的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 拓展 对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）． 【即学即练】 1．设，是空间两个不共线的向量，已知，，，且A，B，D三点共线，则________． 【答案】 【分析】根据A，B，D三点共线可得，即可得到关于的方程组，即可解出． 【详解】因为，， 则， 又，而A，B，D三点共线， 所以存在，使得， 即，所以，解得． 故答案为：． 2．设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C． D．8 【答案】C 【分析】利用向量的线性运算表示，根据、、三点共线可得，建立等量关系可得的值. 【详解】∵，，， ∴， ∵、、三点共线， ∴，使得， 即， ∴，，解得． 故选：C． 3．已知向量，，不共面，，，．求证：B，C，D三点共线． 【答案】证明见解析 【分析】将三点共线问题转化为求证向量共线问题求证即可. 【详解】因为，，， 所以， ， 所以， 所以，又为公共点， 所以B，C，D三点共线． 知识点05 空间两个向量的夹角 1、定义：如图已知两个非零向量，在空间任取一点，作，，则么叫做向量的夹角，记.（特别注意向量找夹角口诀：共起点找夹角） 2、范围：． 特别地，（1）如果，那么向量互相垂直，记作． (2)由概念知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为，故(或)(为非零向量)． (3)零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定与任何向量都是共线的，即．两非零向量的夹角是唯一确定的． 3、拓展（异面直线所成角与向量夹角联系与区别） 若两个向量所在直线为异面直线，两异面直线所成的角为， (1)向量夹角的范围是0<<><，异面直线的夹角的范围是0<<， (2)当两向量的夹角为锐角时，；当两向量的夹角为时，两异面直线垂直；当两向量的夹角为钝角时，. 【即学即练】 1．如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角是（　　）    A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】C 【分析】由线面垂直推导出线线垂直，再利用向量运算及夹角公式运算求解. 【详解】∵平面，平面，平面， ∴. ∵，，∴， 又，∴E为的中点， ∴. ∵，∴. ∵ ∴＝, 又，∴. 故选：C. 2．已知在正三棱锥P－ABC中，点M，N分别是线段AB，PC的中点，记，，．    (1)分别用，，来表示向量，； (2)若，，两两垂直，求直线PM与BN所成角的余弦值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用空间向量的加法和数乘计算即可； （2）利用空间向量数量积的公式计算即可. 【详解】（1）， （2）    因为，，两两垂直，所以， 又因为，同理， 所以， 记直线PM与BN所成角为，则有， 所以直线PM与BN所成角的余弦值为. 3．如图，空间四边形的各边及对角线长都为2，是的中点，在上，且，则向量与向量所成角的余弦值为______________．    【答案】 【分析】由题设是棱长为2的正四面体，数形结合可得、，利用向量数量积的运算律及向量夹角公式求向量与向量所成角的余弦值. 【详解】由题意，是棱长为2的正四面体， 而， ， 所以 ， ， 又 ， 所以. 故答案为： 知识点06 空间向量的数量积 1、定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作；即．规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 特别提醒：两个空间向量的数量积是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零; 2、空间向量数量积的应用 (1)利用公式可以解决空间中有关距离或长度的问题; (2)利用公式可以解决两向量夹角,特别是两异面直线夹角的问题; 3、向量的投影 3.1．如图(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，向量称为向量在向量上的投影向量．类似地，可以将向量向直线投影(如图(2))． 3.2．如图(3)，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角． 4、空间向量数量积的几何意义：向量，的数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积或等于的长度与在方向上的投影的乘积. 5、数量积的运算： （1），. （2）(交换律)． （3）(分配律). 【即学即练】 1．在长方体中，，线段与交于点，点P 为空间中任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接AC与BD交于点O，连接记的中点为G，AD，BC的中点分别为E，F，连接EF，利用空间向量的运算可得，则可化为，进而可得答案. 【详解】如图，连接AC与BD交于点O，连接记的中点为G，AD，BC的中点分别为E，F，连接EF，则O 为EF的中点， 因为 所以， 所以 ， 所以当P与G重合时，取得最小值，为0，此时取得最小值，为． 故选：C.    2．已知，在方向上的投影为，则______． 【答案】/ 【分析】由投影向量的计算公式可得，再由数量积的定义即可得出答案. 【详解】在方向上的投影为， ， ． 故答案为：. 3．已知，是相互垂直的单位向量，则＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据空间向量数量积公式计算出答案. 【详解】是相互垂直的单位向量，故， 故. 故选：A 知识点07 空间向量数量积的性质 （1） （2）若与同向，则；若与反向，则．特别地，． （3）. 【即学即练】 1．①______；   ②______； ③；                   ④； ⑤______ (交换律)；    ⑥______(分配律)． 【答案】 【分析】略 【详解】略 2．在正三棱柱中，为上一点，，当时，的长为（  ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】由题意画出图形，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解． 【详解】如图，取的中点，的中点， 以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系， 设，则，，，， ，， 由，得， 解得：． 的长为． 故选：D． 3．如图，在平行六面体中，，，，，.求：    (1)； (2)的长（精确到0.1）. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由空间向量数量积的定义，代入计算，即可得到结果. （2）根据题意，由结合空间向量数量积的运算律，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）. （2） ，所以. 题型01 空间向量的有关概念及线性运算 在用已知向量表示未知向量的时候，要注意寻求两者之间的关系，通常可将未知向量进行一系列的转化，将其转化到与已知向量在同一四边形（更多的是平行四边形）或三角形中，从而可以建立已知与未知之间的关系式．另外，在平行六面体中，要注意相等向量之间的代换． 【典例1】（多选）以下能确定空间中四点 共面的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用共面向量定理及推论判断AB；利用两条直线共面的条件判断CD. 【详解】对于A，由，得向量共面，而它们有公共起点，因此四点共面，A是； 对于B，在中，，因此四点共面，B是； 对于C，存在互相垂直的两条异面直线，它们的方向向量垂直，由不能确定四点共面，C不是； 对于D，由，得直线与平行或重合，因此四点共面，D是. 故选：ABD 【变式1】如图所示，四面体所有棱长均为2，则（   ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的运算及几何意义可求答案. 【详解】取的中点,连接，因为四面体所有棱长均为2，所以， 所以. 故选：D 【变式2】（多选）在正方体中，下列各式运算结果为向量的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据向量的加法和减法运算逐一化简即可. 【详解】，A正确； ，B正确； ，C错误； ，D错误；    故选：AB 题型02 共线向量定理的应用 利用共线向量定理可以判定两直线平行、证明三点共线．证平行时，先从直线上取有向线段来表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，此为证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题时，通常不用图形。直接利用向量的线性运算，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点． 【典例1】如图，在正四棱锥中，点是棱的中点，点在线段上，点在线段上，点在平面内，且，则的值为（    ）    A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】应用空间向量加法和数乘运算，再结合四点共面列式计算求解参数. 【详解】以为空间向量的一组基底， 则 ， 因为，则， 因为四点共面，所以，故． 故选：B. 【变式1】如图，在四面体中，为棱的中点，点，分别满足，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的几何体，利用空间向量的基底表示，再利用向量线性运算求解作答. 【详解】在四面体中，是的中点，则， 因为，所以，所以， 又，所以，所以， 所以. 故选：A. 【变式2】对于下列命题： （1）若为空间不重合的四点(无三点共线)，且有，则是三点共线的充要条件. （2）对于空间的任意三个向量，它们一定是共面向量. （3）已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有，则的值为. 正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据线性运算法则，结合三点共线的性质，即可判断（1）的正误；根据线性运算法则，结合向量共面的性质，可判断（2）、（3）的正误，即可得答案. 【详解】对于（1）：若，则 ， 所以，即， 说明A在直线BC上，故三点共线，充分性成立； 若三点共线，则存在，使得， 所以，整理得， 此时，必要性成立， 所以是三点共线的充要条件，故（1）正确. 对于（2）：因为， 所以是共面向量，故（2）正确； 对于（3）：由题意 ， 因为点M在平面ABC内， 所以，解得，故（3）错误. 故选：C 题型03 共面向量及应用 在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算． 【典例1】设m是实数，已知，，若，则m的值为（   ） A． B． C．3 D．6 【答案】B 【分析】利用空间向量平行的坐标运算求解答案． 【详解】由，设，即． 【变式1】已知正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1．O为底面内一点，且，，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量共面的推论求出，再根据数量积的定义及运算律计算可得. 【详解】根据空间向量共面定理：若点在平面内，且， 则系数和满足，解得： , 已知正三棱锥侧棱长，底面边长, 在中，，故，得, 同理在中，，故，得, 展开： 因此结果为. 【变式2】若向量，，且，则的值是（     ） A． B．5 C．3 D． 【答案】B 【分析】由条件结合空间向量共线定理可得，列方程求，由此可得结论. 【详解】因为，所以存在实数，使得， 又，， 所以，，， 解得，，， 因此. 题型04 空间向量的数量积 向量的数量积运算除不满足乘法结合律外，其它都满足，所以其运算和实数的运算基本相同。求空间向量数量积的运算同平面向量一样，关键在于确定两个向量之间的夹角以及它们的模，利用公式：即可顺利计算． 【典例1】在三棱锥中，，且，且，若二面角的大小为，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据几何体特征以及二面角定义，利用向量数量积的运算律计算可得结果. 【详解】设的中点为，连接，如下图所示： 因为且，所以， 又因为，二面角的大小为，所以； 因此 . 故选：B 【变式1】在正方体中，为中点，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先建立空间直角坐标系，并用坐标表示向量 和 ，再求出空间向量的点积及模长，最后运用向量在另一向量上的投影向量公式求解即可. 【详解】 设正方体棱长为 ，且 为 中点，并以 为原点，分别以 为 轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以， ， 所以， ， 所以向量在向量上的投影向量为：. 故选：D. 【变式2】在棱长为1的正方体中，的值为（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，再利用空间向量求数量积即可． 【详解】如图，以为原点建立空间直角坐标系， ，，，， ， ． 故选：A． 题型05 利用空间向量的数量积求两向量的夹角 用传统立体几何方法求异面直线BN和SM所成角，可以利用中位线平移或补形在正方体中计算，但是图形添加辅助线后不易观察，计算量也稍大。如用向量夹角公式求解，无须添加辅助线，便于观察图形，更能有效地解决问题。 【典例1】已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的数量积求向量的夹角. 【详解】因为； 又，所以，， 设与的夹角为，则， 又，所以. 故选：B 【变式1】（多选）如图，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60°，则（   ）    A． B． C．四边形的面积为 D．平行六面体的体积为 【答案】BD 【分析】A、B选项通过空间向量的模长及数量积进行判断即可；C选项通过空间向量求出，进而求出面积即可；D选项作出平行六面体的高，求出相关边长，即可求出体积． 【详解】因为， 则 ，故，A错误； ，， ，故，B正确；    连接， 则， ， 即，同理，故四边形为矩形， 面积为，C错误；    过作面，在直线上，过作于，连接， 由平面，得平面，平面，得， 故，，， 故平行六面体的体积为，D正确． 故选：BD． 【变式2】已知空间向量，的夹角为，且，，则与的夹角___________. 【答案】 【分析】先由数量积的定义式结合运算律求出与的点积，再计算其模长，然后由夹角公式计算可得. 【详解】由，的夹角为，且，得， ， 设与的夹角为，则， 由于，故. 故答案为：. 题型06 利用空间向量的数量积求线段的长度 空间向量求模的运算要注意公式的准确应用。向量的模就是表示向量的有向线段的长度，因此求线段长度的总是可用向量求解。 【典例1】如图所示，在棱长为2的正方体中，为与的交点，为的中点，则在上的投影向量的模为________；在平面内的投影向量的模为________． 【答案】 【分析】根据投影向量的知识求得正确答案. 【详解】根据正方体的性质可知，平面， 而平面，所以， 所以在上的投影向量为，模为. 根据正方体的性质可知，平面， 而平面，所以， 所以在平面内的投影向量为，模为. 【变式1】如图，在三棱柱中，与相交于点，，则线段的长度为__________． 【答案】 【详解】是平行四边形，是对角线交点， 则， 已知， ， ． 【变式2】如图所示，四面体所有棱长均为4，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算及数量积求解即可. 【详解】由题意知，为等边三角形，所以. 所以 . 题型07 利用空间向量的数量积证垂直 立体几何中有关判断线线垂直问题，通常可以转化为求向量的数量积为零. 【典例1】如图，在平行六面体中，，，点为的中点.    (1)求的长； (2)已知为上的动点，若，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得，利用数量积求模长即可； （2）设，根据向量垂直结合数量积可得，即可得结果. 【详解】（1）由题意可知：，，， 因为， 则 ， 即，所以的长为. （2）设，则 可得 ， 若，则，解得， 所以，即的长为2. 【变式1】如图，已知在平行六面体中，，，，，，，分别是，的中点. (1)若对角线的长度为时，求的值； (2)求证：. 【答案】(1) (2) 由题意得，      则 ，故. 【分析】（1）由题意，结合模、数量积的计算公式列方程即可求解； （2），由数量积的运算律证明即可. 【详解】（1）设，三个向量不共线， 则构成空间的一个基底，且，        ，则，故. （2）略 【变式2】如图，已知在平行六面体中，，分别是的中点.    (1)若对角线的长度为时，求的值. (2)求证：. 【答案】(1) (2) ， 则 . 故. 【分析】（1）由题意，结合模、数量积的计算公式列方程即可求解； （2），由数量积的运算律证明即可. 【详解】（1）设，三个向量不共线，则构成空间的一个基底， 且， ， 则，故. （2）略 1．已知是空间两两垂直的单位向量，空间向量，则向量的模为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，结合向量数量积的运算即可求解. 【详解】因为是空间两两垂直的单位向量， 所以， 故. 2．（多选）若构成空间的一个基底，则下列不能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】空间基底判定：三个向量不共面才能构成空间基底； 若存在不全为 0 实数使，则三向量共面，不能作为基底， A：因为，系数不全为 0，所以三向量共面，不能构成基底； B：因为，系数全为 1 不全为 0，所以三向量共面，不能构成基底； C：设，整理：， 不共面，解得唯一解，所以三向量不共面，可以构成基底； D：设，整理：， 不共面，解得唯一解，所以三向量不共面，可以构成基底. 3．已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和，再逐个验证选项. 【详解】若在平面内，则存在实数，使得,即， 整理得：，令，则， 即点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和； 对于 A：系数和，不满足共面条件， 对于B：系数和，不满足共面条件， 对于 C：系数和，满足共面条件， 对于 D：系数和，不满足共面条件. 4．如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角的余弦值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用直棱柱的结构特征及空间向量数量积求解. 【详解】在直三棱柱中，平面，平面，平面， 则，由，，得，则， 由，得E为的中点，则， 由，得，则， 因此＝， 所以向量与的夹角的余弦值是. 5．在空间四边形中，，，，若，，则_____（用向量，，表示）． 【答案】 【分析】借助空间向量线性运算法则计算即可得. 【详解】由，则，即， 则. 6．（多选）如图，用斜二测画法得到四边形的直观图是平行四边形，且，，则（    ） A． B． C． D．四边形是矩形 【答案】BC 【详解】因为，，，所以，. 在平面直角坐标系上作出四边形，如图所示， 则，，得，B选项正确； 四边形显然不是矩形，A，D选项均错误，. 由，，，所以，， 得，C选项正确. 7．已知非零向量，满足，则向量在向量上的投影向量为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，因此， 向量在向量上的投影向量， 故B正确. 8．已知为空间中四点，任意三点不共线，O为平面ABC外一点，且，若四点共面，则的最小值为（    ） A． B． C．9 D．4 【答案】A 【详解】因为四点共面，则有， 由共面条件可得，，即， 所以， 当且仅当，即，即时，等号成立. 故选A. 9．如图，二面角的大小为，点分别在半平面内，于点，于点．若，则（   ） A． B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律求解. 【详解】依题意，，而， 所以. 10．（多选）下列命题中正确的有（   ） A．向量与向量方向相反 B．正方体的棱长为1，则 C．，，三点不共线，对空间任意一点，若，则，，，四点共面 D．若，向量，的夹角为，则向量在向量方向上的投影向量的模为2 【答案】ABD 【分析】根据相反向量的定义可判断A；根据数量积公式，求得的值，即可判断B；根据四点共面的判定，即可判断C；根据投影向量的公式计算即可判断D. 【详解】对于A，因为，，所以，所以向量与方向相反，故A正确； 对于B，因为在正方体中，两两夹角为， 所以， ， 所以，故B正确； 对于C，若，由于，所以，，，四点不共面，故C不正确； 对于D，因为，向量，的夹角为， 所以向量在向量方向上投影向量的模为，故D正确. 故选：ABD. 1．已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的数量积求向量的夹角. 【详解】因为，，即； 又，所以，， 设与的夹角为，则， 又，所以. 2．（多选）如图，在三棱柱中，与相交于点，，，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．与所成角的余弦值为 D． 【答案】ABD 【分析】对于A，根据空间向量的线性运算可得，，进而验证即可判断；对于BCD，根据空间向量的数量积的定义及运算律求解判断即可. 【详解】对于A，由题意，四边形为平行四边形，则为的中点， 因， ， 则 ， 则，即，故A正确； 对于B，由A知，， 则 ，即得，故B正确； 对于C，由A知，，， 则 ， 则， 即与所成角的余弦值为，故C错误； 对于D，由A项知，，， 则 ，故D正确. 3．如图，在三棱锥中，为的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的加减法及数乘运算计算求解. 【详解】因为为的中点，所以， 因为， 所以． 4．如图，在正八面体中，四边形为平行四边形，，分别为，的中点，设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】为正八面体，四边形为正方形； ； 是的中点，，则， 为的中点，四边形为平行四边形， ， . 5．如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于为的中点，为线段上靠近的三等分点. (1)设，试用向量表示； (2)求线段的长度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量的加减运算求解即可； （2）根据空间向量的数量积的运算律及数量积的定义运算求解， 【详解】（1） . （2）依题意，， 则 . 6．线段在平面内，，且，则两点间的距离为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】由得，，即得，又，再由，利用数量积的运算即可求解. 【详解】由，，，得，， 得到，又所以， ， ，∴. 7．（多选）金刚石，俗称“金刚钻”，它是一种由碳元素组成的矿物，是自然界中天然存在的最坚硬的物质，如图1所示是组成金刚石的碳原子在空间中排列的结构示意图，组成金刚石的每个碳原子，都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接.从立体几何的角度来看，可以认为4个碳原子分布在一个正四面体的四个顶点处，而中间的那个碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置，如图2所示，，若正四面体的棱长为2，则（   ）    A．为四面体外接球的球心 B．正四面体外接球的表面积为 C．二面角的余弦值是 D． 【答案】ACD 【分析】根据正四面体外接球的特征可判断A,B，求出二面角的平面角可判断C，利用数量积的运算公式可判断D. 【详解】对于A，因为，所以为四面体外接球的球心，A正确； 对于B，设底面正三角形的外接圆半径为，则，即， 正四面体的高为，设外接球的半径为，则， 解得，所以正四面体外接球的表面积为，B不正确； 对于C，取的中点 M，连接， 因为和都是正三角形，所以，就是二面角的平面角， 因为，所以，C正确； 对于D，在中，，，由余弦定理可得， 所以，D正确. 8．已知四棱锥，底面是平行四边形，为的中点，经过直线的平面与侧棱分别交于点．设，．若，则______． 【答案】/0.6 【分析】连接交于点，将转换成，结合共面，即可求解. 【详解】 连接交于点，因为底面ABCD是平行四边形， 所以为的中点， 由平行四边形法则可得：， 故， 又，， 得，， 又Q为PA的中点，， 所以， 由题意共面， 所以， 解得. 9．如图，已知为空间的9个点，且，，，，，，， 求证： (1)四点共面，四点共面； (2)； (3). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由得到，，共面，进而得到四点共面；同理可证四点共面. （2）根据空间向量的线性运算得到，进而得到向量平行. （3）根据空间向量的线性运算即可. 【详解】（1）因为，，所以，，共面， 所以四点共面． 因为，，所以，，共面， 所以四点共面． （2） ， 所以. （3）. 10．（多选）已知正四面体的棱长为2，点分别为的中点，则（   ） A． B．直线与所成角的余弦值为 C． D．该正四面体的内切球体积为 【答案】ABD 【分析】取的中点，利用线面垂直的判定性质判断A；利用定义法求出异面直线夹角余弦判断B；利用空间向量数量积运算律计算判断C；利用体积法求出内切球的半径，进而求出球的体积判断D. 【详解】对于A中，因为点分别为的中点，所以， 取的中点，分别连接， 因为，所以， 又因为且平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，所以，所以A正确； 对于B，取的中点，连接，因为为的中点，所以， 所以异面直线与所成角，即为直线与所成角所成的角， 因为正四面体的棱长为，可得， 在中，可得， 所以异面直线与所成角的余弦值为，所以B正确； 对于 C，设向量，则，且， 则， 因为，， 所以， 所以C错误； 对于D，设正四面体的底面正的中心为，连接， 在等边中，可得， 在直角中，可得， 即正四面体的高为， 所以正四面体的体积为， 又由正四面体的表面积为， 设正四面体的内切球的半径为， 根据等体积法，可得，即，解得， 所以内切球的体积为，所以D正确. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $