专题1.3 空间向量及其运算的坐标表示（高效培优讲义）数学人教A版2019高二选择性必修第一册

专题1.3 空间向量及其运算的坐标表示 教学目标 理解和掌握空间向量的坐标表示及意义，会用向量的坐标表达空间向量的相关运算.会求空间向量的夹角、长度以及有关平行、垂直的证明. 教学重难点 1.重点 利用空间向量的坐标表示，将形与数有机结合. 2.难点 利用空间向量的坐标表示计算与证明是学习空间向量及运算的关键.也是解决空间几何的重要手段与工具 知识点01 空间直角坐标系 1.空间直角坐标系 从空间某一定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个__________，分别是平面、yOz平面、zOx平面. 2.右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系. 3.空间点的坐标 空间一点A的坐标可以用__________，有序数组(x，y，z)叫做点A的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标. 【即学即练】 1．关于空间向量，以下说法正确的是（   ） A．若构成空间的一个基底，则，，必共面 B．若空间中任意一点，有，则P，A，B，C四点共面 C．若空间向量、满足，则与夹角为钝角 D．点关于平面对称的点的坐标是 2．已知空间直角坐标系中，O为坐标原点，点，则向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 知识点02 空间直角坐标系中点的坐标 1.空间直角坐标系中点的坐标的求法 通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标.特殊点的坐标：原点；轴上的点的坐标分别为；坐标平面上的点的坐标分别为. 2.空间直角坐标系中对称点的坐标 在空间直角坐标系中，点，则有点关于__________的对称点是； 点关于__________的对称点是；点关于纵轴(y轴)的对称点是； 点关于竖轴(z轴)的对称点是；点关于坐标平面的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是；点关于__________的对称点是. 【即学即练】 1．在空间直角坐标系中，点，点关于轴对称的点为，点关于平面对称的点为，则向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．已知点，若向量，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 知识点03 空间向量的坐标运算 （1）空间两点的__________公式 若，则① 即:一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 ②，或. （2）空间线段__________坐标 空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为. （3）向量加减法、数乘的坐标运算 若，则①;②; ③; （4）向量__________的坐标运算 若，则即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和。 （5）空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式 若，则(1). (2). （6）空间向量平行和垂直的条件 若，则 ① ② 【即学即练】 1．若空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．已知向量，，，当时，向量在向量上的投影的数量为 题型01 空间向量的共线与共面 【典例1】已知空间直角坐标系中，、、，点是空间中任意一点，若，，，四点共面，则（   ） A． B． C． D． （1）在空间直角坐标系下，两向量的共线，可利用向量的共线定理，通过列方程组求解.要证三向量共面，即证存在，使得. （2）在空间直角坐标系下，两向量的共线，三向量的共面问题，均可灵活应用共线，共面的基本定理，利用向量坐标通过方程求解。 【变式1】已知单位向量两两的夹角均为，若空间向量满足，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系（为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作，则下列命题是真命题的为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则不论取何值，四点都共面 D．若，则点到平面的距离为 【变式2】下面四个结论中正确的是（    ） A．点关于平面对称的点的坐标是 B．若，则向量的夹角是钝角 C．若对空间中任一点O，有则四点共面 D．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 【变式3】已知向量． (1)若共面，求的值； (2)若，求的值． 题型02 空间向量模长坐标表示 【典例1】已知空间向量，若与垂直，则（    ） A． B． C． D．14 若，则. 【变式1】已知空间向量，，，则（    ） A． B． C． D．，，是共面向量 【变式2】在棱长为1的正方体中， 点 P 是底面内的动点， 则（     ） A．的最小值为2 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为3 【变式3】已知，，且，则 ． 题型03 空间向量平行坐标表示 【典例1】向量 且 ，则实数 . 若，则 　　　　 【变式1】设，向量，，，且，，则（   ） A．5 B．1 C． D． 【变式2】已知两平行直线的方向向量分别为，，则实数的值为 ． 【变式3】已知，，且，则（    ） A．， B．， C．， D．， 题型04 空间向量垂直坐标表示 【典例1】已知，，，若，则的值为 . 若，则 【变式1】已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则 . 【变式2】在空间直角坐标系中，若，且，则（    ） A． B． C．3 D． 【变式3】已知向量，，若向量同时满足下列三个条件： ①；②；③与垂直． (1)求向量的坐标； (2)若向量与向量共线，求向量与夹角的余弦值． 题型05 空间向量夹角坐标表示 【典例1】设空间两个单位向量与向量的夹角等于，则向量夹角的余弦值等于（   ） A． B． C． D． 若，则 (1). (2). 【变式1】已知向量，， (1)求的值； (2)求； 【变式2】已知在空间直角坐标系中，三点，则向量与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知空间中三点，，． (1)若向量与平行，且，求的坐标； (2)求向量AB在向量AC上的投影向量． 1.已知向量，且，则（   ） A．5 B．11 C．-5 D．-11 2．在空间直角坐标系中，定义点和点两点之间的“直角距离”．若A和B两点之间的距离是，则A和B两点之间的“直角距离”的最大值为 ． 3．已知向量，且，则 . 4．已知满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 5.在空间直角坐标系中，已知三点，，，且，则实数（   ） A． B．2 C． D． 6．已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．在上的投影向量为 D． 7．已知向量，，，若共面，则x等于（    ） A． B．1 C． D． 8．如图，在长方体中，，，，分别以有向直线为轴，轴，的正方向，以为单位长度，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（   ） A．点的坐标为 B．点关于点对称的点为 C．点关于直线对称的点为 D．点关于平面对称的点为 9．已知正三棱锥的三个侧面均为等腰直角三角形，过点作一平面，使得三点在平面的同一侧，且三点到该平面的距离分别为，则三棱锥的侧棱长为（    ） A． B．2.5 C． D．2.6 10．已知向量，，则 11．已知，，则向量在向量上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 12．在空间直角坐标系中，若，，，四点共面，则 ． 13．已知向量，若，则 ；若，则 ． 14．在空间直角坐标系中，为直线的一个方向向量，为平面的一个法向量，且，则 ． 15．在正四棱柱 中， 是正四棱柱内 (含表面)的动点，且 ，则点 在正四棱柱内运动所形成的图形的面积为 . 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.3 空间向量及其运算的坐标表示 教学目标 理解和掌握空间向量的坐标表示及意义，会用向量的坐标表达空间向量的相关运算.会求空间向量的夹角、长度以及有关平行、垂直的证明. 教学重难点 1.重点 利用空间向量的坐标表示，将形与数有机结合. 2.难点 利用空间向量的坐标表示计算与证明是学习空间向量及运算的关键.也是解决空间几何的重要手段与工具 知识点01 空间直角坐标系 1.空间直角坐标系 从空间某一定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是平面、yOz平面、zOx平面. 2.右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系. 3.空间点的坐标 空间一点A的坐标可以用有序数组(x，y，z)来表示，有序数组(x，y，z)叫做点A的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标. 【即学即练】 1．关于空间向量，以下说法正确的是（   ） A．若构成空间的一个基底，则，，必共面 B．若空间中任意一点，有，则P，A，B，C四点共面 C．若空间向量、满足，则与夹角为钝角 D．点关于平面对称的点的坐标是 【答案】ABD 【分析】根据空间向量共面定义判断A，由共面向量定理判断B，由向量夹角的范围判断C，由空间直角坐标系判断D． 【详解】A选项，构成空间的一个基底，则不共面， 因为，则，，必共面，故A正确； B选项，在中，所以四点共面，故B正确； 选项C，当时，则是钝角或，故C错误； 选项D，关于平面对称的点，纵坐标和竖坐标不变，横坐标变为相反数， 所以点关于平面对称的点的坐标是，故D正确． 故选：ABD． 2．已知空间直角坐标系中，O为坐标原点，点，则向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用向量的坐标表示得解. 【详解】依题意，. 故选：A 知识点02 空间直角坐标系中点的坐标 1.空间直角坐标系中点的坐标的求法 通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标.特殊点的坐标：原点；轴上的点的坐标分别为；坐标平面上的点的坐标分别为. 2.空间直角坐标系中对称点的坐标 在空间直角坐标系中，点，则有点关于原点的对称点是； 点关于横轴(x轴)的对称点是；点关于纵轴(y轴)的对称点是； 点关于竖轴(z轴)的对称点是；点关于坐标平面的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是；点关于坐标平面的对称点是. 【即学即练】 1．在空间直角坐标系中，点，点关于轴对称的点为，点关于平面对称的点为，则向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间直角坐标关于坐标轴、平面的对称性性质求出、的坐标，即可得解. 【详解】因为，则点关于轴对称的点为， 又，则点关于平面对称的点为. 所以. 故选：B. 2．已知点，若向量，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，设，再由向量的坐标，列出方程，即可得到结果. 【详解】设，因为，且， 则，所以，即. 故选：A 知识点03 空间向量的坐标运算 （1）空间两点的距离公式 若，则① 即:一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 ②，或. （2）空间线段中点坐标 空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为. （3）向量加减法、数乘的坐标运算 若，则①;②; ③; （4）向量数量积的坐标运算 若，则即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和。 （5）空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式 若，则(1). (2). （6）空间向量平行和垂直的条件 若，则 ① ② 【即学即练】 1．若空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】代入投影向量坐标公式，即可求解. 【详解】向量在向量上的投影向量的坐标是. 故选：D 2．已知向量，，，当时，向量在向量上的投影的数量为 【答案】 【分析】由向量数量积的几何意义即可求. 【详解】向量量，，， 所以，解得，所以，， 所以向量在向量上的投影的数量为. 故答案为：. 题型01 空间向量的共线与共面 【典例1】已知空间直角坐标系中，、、，点是空间中任意一点，若，，，四点共面，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据空间向量的坐标运算可得出关于、、、、的等式组，消去、可得结果. 【详解】在空间直角坐标系中，、、， 则，，， 因为、、、四点共面，设， 即， 可得，消去、可得，即， 故选：A. （1）在空间直角坐标系下，两向量的共线，可利用向量的共线定理，通过列方程组求解.要证三向量共面，即证存在，使得. （2）在空间直角坐标系下，两向量的共线，三向量的共面问题，均可灵活应用共线，共面的基本定理，利用向量坐标通过方程求解。 【变式1】已知单位向量两两的夹角均为，若空间向量满足，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系（为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作，则下列命题是真命题的为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则不论取何值，四点都共面 D．若，则点到平面的距离为 【答案】ACD 【分析】根据向量的垂直关系可判断A的正误，根据向量模的计算可判断B的正误，根据四点共面的判断方法可判断C的正误，取，则可得点到平面的距离即为，故可判断D的正误. 【详解】对于A，，因为，故， 所以， 因为单位向量两两的夹角为，所以， 所以，故，故A正确； 对于B，，因为单位向量两两的夹角为， 故即，故B错误； 对于C，， 所以，，， 故，故， 又共起点，故四点共面，故C正确； 对于D，， 取，则， 因为，故共面，而，， 因为单位向量两两的夹角为，所以， 则， 故，同理，故平面， 故到平面的距离为 故D正确； 故选：ACD. 【变式2】下面四个结论中正确的是（    ） A．点关于平面对称的点的坐标是 B．若，则向量的夹角是钝角 C．若对空间中任一点O，有则四点共面 D．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 【答案】AC 【分析】易求得对称点可判断A；当反向时可判断B；由，可得四点共面判断C；设，可得，进而可得共面，判断D. 【详解】对于A，点关于平面对称的点的坐标是，A正确； 对于B，当反向时，，此时向量的夹角为，不是钝角，B错误； 对于C，由于对空间中任一点，有，而，故四点共面，C正确； D选项，设，即，故， 解得，故共面，不能构成空间的一个基底，故D错误. 故选：AC. 【变式3】已知向量． (1)若共面，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）根据空间向量的基本定理计算即可求解； （2）根据空间向量数量积的坐标表示和垂直向量的坐标表示计算即可求解. 【详解】（1）与不平行， 共面， 存在实数，使得，即，解得， 故实数的值为8． （2），且， ， 即，解得． 题型02 空间向量模长坐标表示 【典例1】已知空间向量，若与垂直，则（    ） A． B． C． D．14 【答案】B 【分析】根据空间向量数量积的运算及空间向量的模求解. 【详解】因为与垂直， 所以，解得， 所以， 故. 故选：B 若，则. 【变式1】已知空间向量，，，则（    ） A． B． C． D．，，是共面向量 【答案】BCD 【分析】A利用求解；B数量积的坐标运算；C求模公式；D根据求解. 【详解】若，则存在使得，即，无解，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； 由A可知与可构成一组基底，故若，，是共面向量， 则存在使得， 即，解得，故，，是共面向量，D正确. 故选：BCD 【变式2】在棱长为1的正方体中， 点 P 是底面内的动点， 则（     ） A．的最小值为2 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为3 【答案】ACD 【分析】设关于平面的对称点分别为，底面和的中心分别为，作出图形，由当与重合时，可得AD；由对称性可得C正确，由当与重合时可得B错误. 【详解】 设关于平面的对称点分别为，底面和的中心分别为，如图所示： 对于A，易知为的中点，则，可得， 所以， 当与重合时，底面，此时取得最小值为1，即的最小值为2，故A正确； 对于D， ， 当与重合时，底面，此时取得最小值为1，则的最小值为3，故D正确； 对于B，当与重合时，，故B错误； 对于C，由对称性可知，，则， 当且仅当点为线段与平面的交点时，的最小值为，故C正确. 故选：ACD. 【变式3】已知，，且，则 ． 【答案】 【分析】直接利用向量垂直的充要条件可求出的值，进而可求出的坐标，结合空间向量的模长公式可求出的值. 【详解】因为，，且， 所以，解得. 故，所以，故． 故答案为：． 题型03 空间向量平行坐标表示 【典例1】向量 且 ，则实数 . 【答案】/ 【分析】利用向量的坐标运算，再结合向量平行列式计算，即可求解. 【详解】，， 因为，所以， 即， 有， 故实数 . 故答案为： 若，则 　　　　 【变式1】设，向量，，，且，，则（   ） A．5 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】由有存在，即可解得，又得解得，进而求解. 【详解】由有存在，所以， 由有，所以，所以， 故选：D. 【变式2】已知两平行直线的方向向量分别为，，则实数的值为 ． 【答案】或 【分析】根据空间向量共线，运用坐标公式将关于的等式表示出来，然后求出的值. 【详解】由题意知所在的直线平行， ，， 共线的充要条件是 显然，，符合题意. 当时，由，得 代入，得 综上，的值为1或. 故答案为：1或3. 【变式3】已知，，且，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】求得，，结合，得到，列出方程组，即可求解. 【详解】由向量，， 可得，， 因为，所以存在实数使得， 即，解得. 故选：B. 题型04 空间向量垂直坐标表示 【典例1】已知，，，若，则的值为 . 【答案】 【分析】先求出，再根据可得，利用空间向量垂直的坐标运算列式可求的值. 【详解】因为，，所以， 由得，又， 所以，解得. 故答案为： 若，则 【变式1】已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则 . 【答案】 【分析】根据题意，利用空间向量运算法则可求. 【详解】∵，∴， 即，解得. 故答案为：. 【变式2】在空间直角坐标系中，若，且，则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用向量垂直的坐标表示，求得，得到，结合向量模的计算公式，即可求解. 【详解】由向量， 因为，可得，解得，所以， 则，所以. 故选：D. 【变式3】已知向量，，若向量同时满足下列三个条件： ①；②；③与垂直． (1)求向量的坐标； (2)若向量与向量共线，求向量与夹角的余弦值． 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）首先设，再根据条件列出方程组，即可求解； （2）根据（1）的结果，确定向量，再代入向量夹角的余弦公式，即可求解. 【详解】（1）设，则由题可知， 解得或， 所以或． （2）因为向量与向量共线，所以． 又，，所以，， 所以，且，， 所以与夹角的余弦值为． 题型05 空间向量夹角坐标表示 【典例1】设空间两个单位向量与向量的夹角等于，则向量夹角的余弦值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由题意结合向量数量积定义和模长坐标计算公式得到和，再结合向量夹角余弦公式即可计算求解. 【详解】因为空间两个单位向量与向量的夹角等于， 所以， 所以，结合得 则向量夹角的余弦值为. 故选：D. 若，则 (1). (2). 【变式1】已知向量，， (1)求的值； (2)求； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由数量积的坐标表示即可求解； （2）由夹角公式即可求解. 【详解】（1）因为，， 所以，又因为， 所以． （2）因为，， 所以． 【变式2】已知在空间直角坐标系中，三点，则向量与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用空间向量夹角公式求解. 【详解】依题意，， 所以向量与夹角的余弦值为. 故选：A 【变式3】已知空间中三点，，． (1)若向量与平行，且，求的坐标； (2)求向量AB在向量AC上的投影向量． 【答案】(1)的坐标为或 (2)； 【分析】（1）由已知可设，利用向量的模长公式求出的值，即可求出向量的坐标； （2）先求向量，再根据投影定义求. 【详解】（1）因为，， 所以， 因为向量与平行， 所以可设，， 所以，因为， 所以， 所以， 所以或， 所以的坐标为或； （2）因为，，， 所以，， 所以，， 所以向量在向量上的投影向量， 所以. 1.已知向量，且，则（   ） A．5 B．11 C．-5 D．-11 【答案】C 【分析】根据两个向量垂直其数量积为及向量数量积的坐标运算即可得解. 【详解】因为，且， 所以，得. 故选：C. 2．在空间直角坐标系中，定义点和点两点之间的“直角距离”．若A和B两点之间的距离是，则A和B两点之间的“直角距离”的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据空间两点距离公式，结合三角代换法、辅助角公式、正弦型函数的最值性质进行求解即可. 【详解】因为， 所以设， 其中，因此 ， 因为，所以，因此， 设， 于是有 ， 因为，所以， 因此当且时，即当且时， 有最大值， 所以A和B两点之间的“直角距离”的最大值为是. 故答案为：. 3．已知向量，且，则 . 【答案】/2.5 【分析】根据空间向量数量积的坐标运算即可. 【详解】因， 则， 解得. 故答案为：. 4．已知满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知由空间向量的坐标运算求得 ，根据数量积的运算律结合，即可得的值． 【详解】由已知，， 所以， 又，所以. 故选：D. 5.在空间直角坐标系中，已知三点，，，且，则实数（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】先求出的坐标，再利用空间向量的模长公式解方程即得. 【详解】由，，可得， 由，可得，解得. 故选：A. 6．已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．在上的投影向量为 D． 【答案】AD 【分析】求出即可判断A，利用向量的数量积的坐标运算即可判断B，由在上的投影向量为计算即可判断C，计算夹角公式即可判断D. 【详解】，故A正确； ， 所以，所以与不垂直，故B错误； 在上的投影向量为，故C错误； ，故D正确. 故选：AD. 7．已知向量，，，若共面，则x等于（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用空间共面向量定理求解作答. 【详解】因为向量，，，且共面， 则存在实数，使得 ， 即， 所以，解得. 所以，即 故选：C 8．如图，在长方体中，，，，分别以有向直线为轴，轴，的正方向，以为单位长度，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（   ） A．点的坐标为 B．点关于点对称的点为 C．点关于直线对称的点为 D．点关于平面对称的点为 【答案】ACD 【分析】利用空间点的对称性即可逐项判断得出结论. 【详解】由图形及其已知可得，点的坐标为 点关于点对称的点为 因为，所以四边形为菱形， 所以点关于直线对称的点为 点关于平面对称的点为 故选：ACD 9．已知正三棱锥的三个侧面均为等腰直角三角形，过点作一平面，使得三点在平面的同一侧，且三点到该平面的距离分别为，则三棱锥的侧棱长为（    ） A． B．2.5 C． D．2.6 【答案】C 【分析】设三棱锥的侧棱长为，依题建系，设单位向量是平面的一个法向量，可得，由题设条件，得到，代入整理得，同理，利用向量坐标运算求得或，结合求出侧棱长. 【详解】设三棱锥的侧棱长为， 以为原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 设单位向量是平面的一个法向量，由空间向量基本定理知， 存在唯一的有序实数组，使得， 依题意，在上的投影向量的长度为2，则， 即，即，解得， 同理得，因， 又因三点在平面的同一侧，于是或， 由，解得. 故选：C. 10．已知向量，，则 【答案】 【分析】根据向量的减法运算，坐标表示、向量模的坐标表示运算即可得解. 【详解】，， ， . 故答案为：. 11．已知，，则向量在向量上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数量积和投影向量公式计算即可. 【详解】已知，，可得： 且，那么。 根据向量投影向量的计算公式，向量在向量上的投影向量为。 将，，代入可得：. 故选：C. 12．在空间直角坐标系中，若，，，四点共面，则 ． 【答案】-1 【分析】表达出，，，根据四点共面得到，列出方程，求出答案. 【详解】依题意，得，，． 若四点共面，则，即， 所以，所以． 故答案为：-1 13．已知向量，若，则 ；若，则 ． 【答案】 / 【分析】利用向量数量积的坐标运算即可求；利用向量坐标的加法和数乘运算计算的坐标，即可求得，再计算的坐标，最后利用求模公式即可. 【详解】若，则，解得； 因，则， 则，则，解得，则， 所以，于是． 故答案为：； 14．在空间直角坐标系中，为直线的一个方向向量，为平面的一个法向量，且，则 ． 【答案】-3 【分析】由，，则，运用向量数量积坐标运算求值即可. 【详解】， 与垂直， ， 解得：. 故答案为：. 15．在正四棱柱 中， 是正四棱柱内 (含表面)的动点，且 ，则点 在正四棱柱内运动所形成的图形的面积为 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，，写出点的坐标，根据 ，利用空间数量积求解，得到答案. 【详解】根据题意建立如图所示空间直角坐标系， ， 则 由，则，设，由题意可知， ， 则，， 由，则， 故的轨迹为矩形，且顶点为， 又，故. 故答案为: . 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$