1.2 空间向量基本定理 讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册《知识解读•题型专练》

本讲义聚焦空间向量基本定理这一核心知识点，系统梳理基底概念、正交分解等基础内容，衔接用基底表示向量、求参数、证明平行共面及解决夹角垂直距离等应用题型，构建从原理理解到综合应用的学习支架。 资料以7类题型为框架，结合立体图形实例，通过基底表示与逻辑推理培养空间观念（数学眼光）和推理能力（数学思维），用向量语言精准描述空间关系（数学语言）。课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过例题变式查漏补缺，强化知识应用。

1.2 空间向量基本定理（知识解读） 【人教A版（2019）】 题型归纳 【题型1 空间向量基底概念及辨析】 2 【题型2 用空间基底表示向量】 2 【题型3 由空间向量基本定理求参数】 4 【题型4 利用空间向量基本定理证明平行﹑共线﹑共面问题】 5 【题型5 利用空间向量基本定理解决夹角问题】 6 【题型6 利用空间向量基本定理证明垂直问题】 8 【题型7 利用空间向量基本定理求距离(长度)问题】 10 知识点1 空间向量基本定理 1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 2．用基底表示向量的步骤 (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． (3)下结论：利用空间的一个基底{}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有，不能含有其他形式的向量． 知识点2 空间向量的正交分解 1．空间向量的正交分解 (1)单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}表示． (2)向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 【题型1 空间向量基底概念及辨析】 【例1】若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（   ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【变式1-1】若构成空间的一个基底，则下列选项中的向量也可以作为基底的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】已知，若三向量不能构成空间向量的一组基底，则实数的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【题型2 用空间基底表示向量】 【例2】如图，在直三棱柱中，E，F分别为棱的中点．设，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，空间四边形OABC中，，，，D是棱BC的中点，，则（   ）    A． B． C． D． 【变式2-2】如图，在三棱锥中，点E，F分别是SA，BC的中点，点G满足，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】如图，在正方体中，若点是侧面的中心，且，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【题型3 由空间向量基本定理求参数】 【例3】四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱PC的中点，若，则等于（    ） A． B．1 C． D．2 【变式3-1】已知四面体中，，，，，为中点，若，则（   ） A．3 B．2 C． D． 【变式3-2】如图，已知正方体中，点为上底面的中心，若，则（    ）    A． B．1 C． D．2 【变式3-3】已知为空间内三个不共面的向量，平面和平面的法向量分别为和，若，则（    ） A．5 B． C．3 D． 【题型4 利用空间向量基本定理证明平行﹑共线﹑共面问题】 【例4】已知M，A，B，C为空间中四点，任意三点不共线，若M，A，B，C四点共面，O不在该平面上，且 则 的最小值为____. 【变式4-1】已知，，，为空间中四点，为坐标原点，若且，，，四点共面，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知是空间一个基底，向量，，，若，则的值是（   ） A． B．2 C． D． 【变式4-3】已知是空间的一组基底，其中，，，若A，B，C，D四点共面，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 知识点3 空间向量基本定理的应用 1．证明平行、共线、共面问题 (1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 2．求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝. (2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. 3．求距离(长度)问题 ＝( ＝ )． 4．利用空间向量基本定理解决几何问题的思路： (1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题； (2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围； (3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用向量的数量积可以求得． 【注】用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键. (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量. (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立. 【题型5 利用空间向量基本定理解决夹角问题】 【例5】如图，在直三棱柱中，，，. (1)用表示； (2)求直线与直线所成角的余弦值. 【变式5-1】在平行六面体中，，，，，．求： (1)； (2)的长； (3)与所成角的余弦值． 【变式5-2】如图，已知棱长为1的正四面体，，分别是，的中点．    (1)用表示向量，并求的模长； (2)求与所成角的余弦值． 【变式5-3】在平行六面体中，，，设，，． (1) 若点，满足，，试用，，表示； (2) 求与夹角的余弦值． 【题型6 利用空间向量基本定理证明垂直问题】 【例6】如图，三棱柱各棱的棱长都是1，若，点，分别是的中点，记． (1)用向量表示向量，并求的模长； (2)用向量方法证明：． 【变式6-1】如图，在平行六面体中，，，，. (1)以，，为基底向量，表示向量、； (2)求证：； (3)求的长. 【变式6-2】如图，在平行六面体中，， (1)求证：； (2)求的长. 【变式6-3】如图，在平行六面体中，， (1)求证：； (2)求的长 【题型7 利用空间向量基本定理求距离(长度)问题】 【例7】如图，在正四面体中，，为棱的中点，为棱（靠近点）的三等分点，设． (1)用表示； (2)求； (3)求的长． 【变式7-1】如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点为端点的三条棱长都为，且两两夹角为，设，，． (1)用为基底表示向量； (2)求的长． 【变式7-2】三棱柱中，分别是上的点，且，设． (1)试用表示向量； (2)若，求的长． 【变式7-3】如下图所示，在平行六面体中，，，，    (1)求与的数量积； (2)求在上的投影向量； (3)求的长. 随堂检测 【随堂检测】 1．如图所示，在四面体中，点E是CD的中点，记，，，则（    ） A． B． C． D． 2．在平行六面体中，是的中点，若，则（   ） A． B． C． D． 3．如图，在平行六面体中，，，为与的交点，则的长为（   ）    A． B．2 C．3 D． 4．已知E，F分别为正方体的上底面和侧面的中心，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（多选）在正四面体中，可以与构成空间的一个基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 6．如图，平行六面体中，，，则___________.    7．在三棱锥中，为的中点，则等于______________． 8．如图，在平行六面体中，，，， . (1)以，，为基底向量，表示向量、； (2)求证：； (3)求的长. 9．如图，在空间四边形中，点、分别为、的中点，设，，．    (1)试用向量，，表示向量； (2)若，，，求的值． 10．如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形， .设．    (1)试用 表示向量，， (2)求； (3)求证： 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2 空间向量基本定理（知识解读） 【人教A版（2019）】 题型归纳 【题型1 空间向量基底概念及辨析】 2 【题型2 用空间基底表示向量】 4 【题型3 由空间向量基本定理求参数】 7 【题型4 利用空间向量基本定理证明平行、共线、共面问题】 12 【题型5 利用空间向量基本定理解决夹角问题】 16 【题型6 利用空间向量基本定理证明垂直问题】 20 【题型7 利用空间向量基本定理求距离(长度)问题】 24 知识点1 空间向量基本定理 1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 2．用基底表示向量的步骤 (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． (3)下结论：利用空间的一个基底{}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有，不能含有其他形式的向量． 知识点2 空间向量的正交分解 1．空间向量的正交分解 (1)单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}表示． (2)向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 【题型1 空间向量基底概念及辨析】 【例1】若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（   ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】D 【分析】利用空间向量基底的概念逐项判断即可. 【详解】因为是空间的一个基底， 对于A选项，因为，则、、共面，A不符合要求； 对于B选项，因为，则、、共面，B不符合要求； 对于C选项，设， 因为是空间的一个基底，所以，解得，， 即，即、、共面，C不符合要求； 对于D选项，设， 因为是空间的一个基底，所以，该方程组无解， 故、、不共面，所以、、能作为空间向量的一个基底，D符合要求. 故选：D. 【变式1-1】若构成空间的一个基底，则下列选项中的向量也可以作为基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量共面的判定定理，结合基底的性质（不共面），对每个选项逐一分析向量是否共面，即可得出结果. 【详解】选项A，若共面， 则存在实数使得，即， 因为不共面，所以，解得，所以为共面向量， 所以不能作为基底，故A错误； 选项B，若共面， 则存在实数使得， 因为不共面，所以，解得， 所以存在实数使得， 即共面，所以不能作为基底，故B错误； 选项C，若共面， 则存在实数使得，即， 因为不共面，所以，解得，所以共面， 所以不能作为基底，故C错误； 选项D，若共面， 则存在实数使得，即， 因为不共面，所以，方程组无解，所以不为共面向量， 所以能作为基底，故D正确. 故选：D. 【变式1-2】已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基底将向量进行表示，利用基底将向量进行表示，通过向量建立的方程组，求解这个方程组即可得到的值，从而得到所求. 【详解】由题意可知，设， 所以， 解得，则， 则以为基底时的坐标是． 故选：D． 【变式1-3】已知，若三向量不能构成空间向量的一组基底，则实数的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】根据空间向量共面求解即可. 【详解】若三向量不能构成空间向量的一组基底，则共面， 即存在唯一一组实数，使得， 可得，解得， 故选：A 【题型2 用空间基底表示向量】 【例2】如图，在直三棱柱中，E，F分别为棱的中点．设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量加减、数乘的几何意义，用表示出，即可得. 【详解】由 . 故选：D 【变式2-1】如图，空间四边形OABC中，，，，D是棱BC的中点，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算法则，计算化简，即可得答案. 【详解】 ． 故选：D 【变式2-2】如图，在三棱锥中，点E，F分别是SA，BC的中点，点G满足，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点E，F，G的位置，由空间向量的线性运算即可求解． 【详解】由题意得E，F分别是SA，BC的中点，点G满足， 可得 . 故选：B 【变式2-3】如图，在正方体中，若点是侧面的中心，且，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的几何体，利用空间向量的线性运算、结合空间向量基本定理计算得解. 【详解】在正方体中， ， 而， 因此，，， 所以. 故选：A. 【题型3 由空间向量基本定理求参数】 【例3】四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱PC的中点，若，则等于（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】结合图形，利用向量的线性运算，即可求解. 【详解】 在四棱锥P-ABCD中，有， 再由点E为棱PC的中点，，所以， ， 由底面ABCD是平行四边形，得， 所以， 又因为，所以，即， 故选：A. 【变式3-1】已知四面体中，，，，，为中点，若，则（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的运算法则，化简得到，结合题意，列出方程，即可求解. 【详解】因为，所以， 依题意可得 ， 因为，所以，解得. 故选：D. 【变式3-2】如图，已知正方体中，点为上底面的中心，若，则（    ）    A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据空间向量基本定理得到，求出，得到答案. 【详解】正方体中，点为上底面的中心， 所以， 故， 因为，所以，. 故选：B. 【变式3-3】已知为空间内三个不共面的向量，平面和平面的法向量分别为和，若，则（    ） A．5 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据已知，设，结合向量不共面及基本定理有，求出参数值，即可得. 【详解】因为，所以， 设，即， 由于为空间内三个不共面的向量， 所以，可得，则. 故选：B 【题型4 利用空间向量基本定理证明平行﹑共线﹑共面问题】 【例4】已知M，A，B，C为空间中四点，任意三点不共线，若M，A，B，C四点共面，O不在该平面上，且 则 的最小值为____. 【答案】 【分析】先利用四点共面的向量性质得到的约束条件，再通过1的代换变形目标式，结合基本不等式求出最小值. 【详解】根据共面向量定理的推论，因为四点共面，不在该平面上，满足， 所以，即， 所以， 因为 当且仅当，即时等号成立， 代入得， 故的最小值为. 【点睛】本题考查共面向量定理的推论和基本不等式求最值，核心是利用共面向量的系数和性质得到定值约束，再用"1的代换"技巧将目标式转化为可应用基本不等式的形式. 【变式4-1】已知，，，为空间中四点，为坐标原点，若且，，，四点共面，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量基本定理得到，进而得到，根据待定系数法求解即可. 【详解】由题意可知，若，，，四点共面，则，， 即， 所以， 又，所以，，， 可得，即，所以. 故选：A. 【变式4-2】已知是空间一个基底，向量，，，若，则的值是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】由向量平行得到，求解即可. 【详解】因为，所以， 即，， 所以. 故选：D. 【变式4-3】已知是空间的一组基底，其中，，，若A，B，C，D四点共面，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据四点共面得到，然后列出等式求得参数的值. 【详解】因A，B，C，D共面，故， 即， 解得，，即，. 故选：C. 知识点3 空间向量基本定理的应用 1．证明平行、共线、共面问题 (1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 2．求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝. (2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. 3．求距离(长度)问题 ＝( ＝ )． 4．利用空间向量基本定理解决几何问题的思路： (1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题； (2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围； (3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用向量的数量积可以求得． 【注】用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键. (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量. (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立. 【题型5 利用空间向量基本定理解决夹角问题】 【例5】如图，在直三棱柱中，，，. (1)用表示； (2)求直线与直线所成角的余弦值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）利用空间向量基本定理得到； （2）两边平方，求出，得到，并求出，，利用异面直线向量夹角余弦公式求出答案. 【详解】（1）， 故 ； （2）由（1）知，，两边平方得 因为三棱柱为直三棱柱，， 所以，故， ， 所以， 故. 因为，故， 设直线与直线所成角为， ， 所以， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 【变式5-1】在平行六面体中，，，，，．求： (1)； (2)的长； (3)与所成角的余弦值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量数量积的定义求解即可； （2）由题意可得，两边平方，结合向量的数量积可求的长； （3）利用向量的夹角公式可求与所成角的余弦值． 【详解】（1）； （2）因为， 所以， ， 所以； （3）又因为， 所以 ， 所以， 所以与所成角的余弦值为． 【变式5-2】如图，已知棱长为1的正四面体，，分别是，的中点．    (1)用表示向量，并求的模长； (2)求与所成角的余弦值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用向量的三角形法则即可表示出向量，两边同时平方即可求得结果. （2）利用空间向量夹角的计算公式即可求得结果. 【详解】（1）， ，所以 （2）设为异面直线与所成的角， ，所以异面直线与所成的角. 【变式5-3】在平行六面体中，，，设，，． (1)若点，满足，，试用，，表示； (2)求与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合已知条件，运用向量加减法运算规则计算求解； （2）运用向量夹角余弦公式计算求解． 【详解】（1），， ，， 又，， ． （2） ， ， ， ， ． 【题型6 利用空间向量基本定理证明垂直问题】 【例6】如图，三棱柱各棱的棱长都是1，若，点，分别是的中点，记． (1)用向量表示向量，并求的模长； (2)用向量方法证明：． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）根据向量的线性运算表示，然后根据数量积的运算求出，可得； （2）用表示，然后根据数量积的运算证明即可. 【详解】（1）由题意得； ， . （2）由（1）得， ， ，． 【变式6-1】如图，在平行六面体中，，，，. (1)以，，为基底向量，表示向量、； (2)求证：； (3)求的长. 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析； (3) 【分析】（1）由空间向量的线性运算求解； （2）利用空间向量的数量积证明； （3）利用数量积求长度. 【详解】（1）在中，根据空间向量的减法运算可得， ； （2）由（1） ， 所以，则； （3）由（1）， 所以 ， 所以，即的长为 【变式6-2】如图，在平行六面体中，， (1)求证：； (2)求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据两个非零空间向量的数量积为，证明这两个空间向量垂直. （2）根据，求得的长. 【详解】（1）证明：以为基底向量，则，. 所以所以 ， 所以，所以． （2）由（1）可得，. 所以， ， 所以，即的长为． 【变式6-3】如图，在平行六面体中，， (1)求证：； (2)求的长 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）以为基底向量，，又，计算向量的数量积可证结论； （2）利用向量的模的计算公式可求得的长. 【详解】（1）以为基底向量， 则，又， 所以 ， 所以，所以； （2）由（1）可得， 所以 ， 所以，所以的长为. 【题型7 利用空间向量基本定理求距离(长度)问题】 【例7】如图，在正四面体中，，为棱的中点，为棱（靠近点）的三等分点，设． (1)用表示； (2)求； (3)求的长． 【答案】(1) (2)-9 (3) 【分析】（1）根据空间向量加法的三角形法则，可将用基底表示； （2）借助第一问的结论，根据向量的数量积运算法则求得； （3）用基底表示，根据，并结合正四面体的性质，可以求得的长. 【详解】（1） . （2）因为，由（1）知， 所以 . （3） . 【变式7-1】如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点为端点的三条棱长都为，且两两夹角为，设，，． (1)用为基底表示向量； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的加减法运算法则以为基底表示向量即可. （2）根据，对等式两边平方，结合已知条件运算即可求解. 【详解】（1）根据已知条件有：. （2）根据已知条件有：，，， 则，， ， ， 即的长为； 【变式7-2】三棱柱中，分别是上的点，且，设． (1)试用表示向量； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量的线性运算法则，结合向量的加法与减法的运算，进行化简，即可求解； （2）由（1）知，结合，利用向量的数量积的运算公式，准确计算，即可求解. 【详解】（1）解：在三棱柱中，由且， 可得 . （2）解：因为， 由（1）知， 则 ， 所以. 【变式7-3】如下图所示，在平行六面体中，，，，    (1)求与的数量积； (2)求在上的投影向量； (3)求的长. 【答案】(1)0； (2)； (3). 【分析】（1）由题意，即可求数量积； （2）由，应用数量积的运算律及已知求，再由投影向量的定义求在上的投影向量； （3）由，应用向量数量积的运算律求模长即可得. 【详解】（1）由，即，则； （2）由，则， 而，则在上的投影向量； （3）由，则 ， 所以. 随堂检测 【随堂检测】 1．如图所示，在四面体中，点E是CD的中点，记，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】连接，如图所示， ∵E是CD的中点，，， ∴， 在中，， 又，∴． 2．在平行六面体中，是的中点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合平行六面体的特征，利用向量的线性运算即可求解. 【详解】    由题知， 又，所以. 故选：A. 3．如图，在平行六面体中，，，为与的交点，则的长为（   ）    A． B．2 C．3 D． 【答案】A 【分析】以为基底，把表示出来，平方即得答案. 【详解】， ， ， ， ， 所以. 故选：A 4．已知E，F分别为正方体的上底面和侧面的中心，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量的加法运算，结合相等向量，由空间向量的基本定理求解. 【详解】因为， ， 所以，即，， 所以.     故选：D. 5．（多选）在正四面体中，可以与构成空间的一个基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ACD 【分析】以为原点，设，，，则，，即为不共面的基底，将所有向量用，，表示后，判断三个目标向量的线性相关性即可. 【详解】选项A：，. 设，整理得， 因，，不共面，则系数全为0，所以， 故三个向量线性无关，可构成基底，A正确. 选项B：，， 三个向量都仅含，分量，都在平面内，故共面，不能构成基底，B错误. 选项C：，. 设，整理得， 解得，线性无关，故可构成基底，C正确. 选项D：，. 设，整理得， 解得，线性无关，故可构成基底，D正确. 6．如图，平行六面体中，，，则___________.    【答案】 【分析】用基底表示出，然后利用向量数量积的运算，求得. 【详解】因为， 所以 ， 所以. 故答案为：. 7．在三棱锥中，为的中点，则等于______________． 【答案】1 【分析】以为基底向量，由题意可得，结合空间向量数量积的运算律代入求解即可. 【详解】由题意可知：，， 因为，， 所以 . 故答案为：1. 8．如图，在平行六面体中，，，， . (1)以，，为基底向量，表示向量、； (2)求证：； (3)求的长. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）结合图形利用空间向量的线性运算求解； （2）利用空间向量的数量积证明； （3）利用空间向量的数量积的运算律计算即得. 【详解】（1）在中，根据空间向量的减法运算可得， ； （2）因，，，， 则，， 由（1）得 ， 所以，即； （3）由（1）知， 所以 ， 所以. 9．如图，在空间四边形中，点、分别为、的中点，设，，．    (1)试用向量，，表示向量； (2)若，，，求的值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由几何体结构结合向量运算法则直接进行运算即可； （2）先由题设以及用向量，，表示向量和，再由向量运算法则即可求解. 【详解】（1）由题可得向量； （2）由题， 由（1）得，又向量， 所以 . 10．如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形， .设．    (1)试用 表示向量，， (2)求； (3)求证： 【答案】(1)，； (2)； (3)证明见解析 【分析】（1）根据向量的加法、减法运算即可求解； （2）根据向量的数量积运算及模长公式即可求解； （3）根据向量的减法、数量积运算性质及垂直的向量表示即可证明. 【详解】（1）， . （2）因为， 所以， ， ， 所以. （3）因为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $