3.3等可能事件的概率（第二课时）教学设计2025-2026学年北师大版数学七年级下册

3.3等可能事件的概率（第二课时） 一、内容与内容解析 （一）教学内容 本节课选自北师大版七年级下册第三章概率初步第三节第二课时，是第一课时简单等可能事件概率计算的延伸与拓展，核心内容包含不放回型摸球、抽卡片等稍复杂等可能事件的概率计算，掌握“有序列举”“分类列举”等精准确定结果数的方法，能运用等可能事件概率公式解决稍复杂的古典概型问题，进一步深化对古典概型“结果有限、可能性相等”核心特征的理解，区分“放回”与“不放回”试验的差异。 （二）教学内容解析 本节课承接第一课时“简单等可能事件的概率计算”，聚焦“稍复杂等可能事件”的概率求解，是古典概型知识的深化应用，为后续学习转盘游戏、分层抽样中的概率计算奠定方法基础，在概率初步知识体系中起到“巩固公式、提升能力、衔接复杂场景”的承上启下作用。 本节课的知识核心围绕“稍复杂等可能事件的概率计算”展开：首先明确“放回”与“不放回”两种试验方式的区别，理解不放回试验中“每次试验的结果总数会变化”的特点，但仍满足“结果有限、可能性相等”的古典概型特征，因此可继续套用等可能事件概率公式；其次重点掌握“有序列举”（如枚举、列表）、“分类列举”等方法，解决“摸两个球”“抽两张卡片”等场景中结果数易重复、易遗漏的问题，精准确定公式中“所有可能结果总数（n）”和“所求事件发生的结果数（m）”；最后通过典型例题和练习，强化公式应用，能结合具体场景判断试验类型（放回/不放回），并选择合适的列举方法计算概率。 本节课的学习注重方法提升与场景辨析，重点在于让学生能区分放回与不放回试验的差异，掌握精准列举稍复杂试验结果的方法，熟练运用公式解决实际问题，进一步完善随机观念，培养逻辑推理、分类讨论和数学计算能力。 基于以上分析，确定本节课的教学重点：掌握不放回型稍复杂等可能事件的概率计算方法，能运用有序列举、分类列举等方法精准确定结果数；熟练套用概率公式解决稍复杂的古典概型问题。 教学难点：区分放回与不放回试验的差异，准确判断稍复杂场景下试验的所有可能结果总数；运用有序列举、分类列举方法时，避免结果的重复或遗漏；能结合具体场景，灵活选择合适的列举方法求解概率。 二、目标与目标解析 （一）教学目标 1. 结合不放回摸球、抽卡片等实例，理解放回与不放回试验的区别，明确稍复杂等可能事件仍满足古典概型“结果有限、可能性相等”的特征，能准确判断稍复杂场景下的等可能事件。 2. 掌握有序列举、分类列举等方法，能精准确定稍复杂等可能事件的“所有可能结果总数（n）”和“所求事件发生的结果数（m）”，熟练运用公式计算概率。 3. 经历从“简单等可能事件”到“稍复杂等可能事件”的探究过程，提升分类讨论、逻辑推理和数据分析能力，进一步完善随机观念，体会分类思想在概率计算中的应用。 4. 感受概率知识在生活中的广泛应用，能运用概率知识解决摸球、抽卡片等实际问题，培养规范解题、严谨思考的数学习惯，激发对概率知识的探究兴趣。 （二）教学目标解析 1. 学生能准确区分放回与不放回试验：放回试验中，每次试验的结果总数不变，同一种结果可重复出现；不放回试验中，每次试验的结果总数依次减少，同一种结果不可重复出现；能结合实例，判断稍复杂场景（如摸两个球、抽两张卡片）是否为等可能事件，明确其仍满足“结果有限、可能性相等”的核心特征。 2. 学生能熟练运用有序列举（按顺序枚举、列表）、分类列举（按事件类型分类）等方法，列举出稍复杂试验的所有可能结果，精准确定n和m，避免重复或遗漏；能熟练套用概率公式进行计算，结果化为最简分数，规范书写解题步骤。 3. 学生能从第一课时“摸一个球、抽一张卡片”的简单场景，过渡到“摸两个球、抽两张卡片”的稍复杂场景，体会分类讨论思想在列举结果中的作用；能在分析问题、列举结果的过程中，提升逻辑推理和数据分析能力，进一步理解“等可能性”的本质，完善随机观念。 4. 学生能通过解决生活中的稍复杂概率问题（如抽奖、游戏公平性判断），感受概率知识的实用性；能在解题过程中，养成“先判断试验类型、再列举结果、最后计算概率”的严谨习惯；能体会数学方法的便捷性，激发对概率知识的进一步探究兴趣。 三、学生学情分析 （一）已有知识基础 七年级学生在第一课时中已掌握等可能事件的定义、古典概型的核心特征，熟练运用公式计算简单等可能事件（摸一个球、抽一张卡片、掷骰子）的概率；已具备基本的有序列举能力，能列举出简单试验的所有可能结果；已掌握分数化简、除法计算能力，能完成概率公式中的运算；对“放回”试验有初步认知（如第一课时的摸球试验均为放回试验），为本节课学习不放回试验和稍复杂事件的概率计算奠定了知识和方法基础。 （二）认知发展特点 七年级学生的思维正从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡，对稍复杂场景的结果列举，需要借助具体的实例和有序的方法，无法直接进行抽象推导；学生能快速套用概率公式，但在区分放回与不放回试验、列举稍复杂结果时，容易出现重复或遗漏的问题；学生好奇心强，对摸球、抽卡片等操作性场景具有较高的参与度，适合通过实例探究、小组讨论的方式学习；学生的分类讨论意识较弱，在列举“摸两个球”等结果时，缺乏有序思考的习惯，容易出现思路混乱的情况。 （三）潜在学习困难 1. 试验类型混淆：无法准确区分放回与不放回试验，导致错误确定“所有可能结果总数（n）”，如将不放回摸两个球的结果总数误算为“单次结果数×2”。 2. 结果列举失误：列举稍复杂试验结果时，缺乏有序性，导致结果重复（如摸球时将“红1、红2”与“红2、红1”视为两种不同结果）或遗漏（如抽两张卡片时遗漏部分组合）。 3. 公式应用偏差：确定m和n时出现错误，如将“摸出两个红球”的结果数误算，或混淆分子和分母，导致概率计算错误。 4. 分类意识薄弱：面对“摸出一红一白”等组合类事件时，无法进行合理分类，难以精准列举所有符合条件的结果。 5. 解题步骤不规范：未先判断试验类型、未有序列举结果，直接套用公式计算，缺乏严谨的解题过程。 四、教学策略分析 （一）教学方法 采用“实例探究法+分类讨论法+方法总结法”为主，结合“讲练结合法”“对比辨析法”“小组合作法”开展教学。通过放回与不放回摸球的对比实例，引导学生探究两种试验类型的差异；通过小组讨论、合作列举，让学生掌握有序列举、分类列举的方法，突破结果列举的难点；通过典型例题示范，总结稍复杂等可能事件概率计算的解题思路；通过讲练结合，强化公式应用和解题规范；通过对比辨析，区分放回与不放回试验的差异，强化试验类型的判断能力；通过实例探究，让学生感受分类思想在概率计算中的应用。 （二）学习方法指导 引导学生采用“对比探究法”“有序列举法”“分类讨论法”进行学习。通过“放回试验与不放回试验对比—分析差异—总结判断方法”的对比探究法，准确区分两种试验类型；采用“有序枚举—列表梳理—分类核对”的有序列举法，精准列举稍复杂试验的结果，避免重复或遗漏；采用“按事件类型分类—分别列举—汇总结果”的分类讨论法，解决组合类事件的结果列举问题；同时通过“判断试验类型—有序列举结果—找准m和n—套用公式—规范计算”的解题方法，掌握稍复杂等可能事件概率的计算步骤。 （三）教学手段 借助多媒体课件、实物教具（不透明布袋、除颜色外完全相同的红/白/黄球、标有数字/字母的卡片）、学习任务单（含试验对比表、列举方法练习、解题步骤模板）等辅助教学。利用实物教具开展放回与不放回摸球的现场试验，让学生直观感受两种试验类型的差异；利用课件展示有序列举、分类列举的过程，清晰呈现列举方法和思路；利用学习任务单设计对比练习和列举练习，引导学生规范开展学习；利用课件展示典型例题和解题步骤模板，规范学生的解题过程；利用小组合作任务单，引导学生合作列举结果，培养协作能力。 五、教学过程分析 （一）情境引入 1. 核心旧知回顾：以提问+口答+简单练习的形式梳理第一课时核心知识，为新知铺垫： 等可能事件的核心特征是什么？（结果有限、可能性相等） 等可能事件的概率计算公式是什么？ 简单练习：一个布袋中有2红1白共3个球（除颜色外完全相同），随机摸出一个球，求摸出红球的概率。 2. 情境驱动，提出问题：将练习升级，提问：“若从这个布袋中随机摸出两个球（不放回），求摸出两个都是红球的概率，该如何计算？”引导学生思考：“摸两个球与摸一个球有什么不同？结果数该如何确定？这种试验与之前的放回试验有什么区别？” 3. 揭示课题，明确目标：教师小结：“今天我们就来学习等可能事件的概率第二课时，探究不放回型等可能事件的概率计算方法，掌握稍复杂场景下结果数的列举技巧，运用公式解决更复杂的等可能事件概率问题。”明确本节课的学习目标：区分放回与不放回试验，掌握有序列举、分类列举方法，计算稍复杂等可能事件的概率。 设计意图：复习旧知既夯实了简单等可能事件的概率计算和古典概型特征，又通过练习升级引发学生思考，自然过渡到稍复杂场景；提出的问题直击本节课的核心难点，激发学生的探究兴趣；明确学习目标，让学生带着清晰的任务开展学习，提升学习针对性。 （二）主动参与、感悟新知 （1）一个袋中装有 2 个红球和 3 个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，摸到红球的概率是多少？ 你认为小明和小颖谁说的有道理？ （2）小明和小颖一起做游戏。在一个装有 2 个红球和 3 个白球（每个球除颜色外都相同）的袋中任意摸出一个球，摸到红球小明获胜，摸到白球小颖获胜，这个游戏对双方公平吗？在一个双人游戏中，你是怎样理解游戏对双方公平的？与同伴进行交流。 解：因为小明获胜的概率是，小颖获胜的概率是，≠，所以这个游戏对双方不公平。 [归纳总结] 游戏对双方公平是指双方获胜的可能性相同，即若游戏双方获胜的概率相同，则游戏对双方公平；否则，游戏对双方不公平。 尝试·思考 利用一个口袋和 4 个除颜色外完全相同的球设计摸球游戏。 （1） 使得摸到红球的概率为，摸到白球的概率也是。 解：口袋里红球和白球个数都为2。 （2） 使得摸到红球的概率为，摸到白球和黄球的概率都是。 解：口袋里放2个红球,1个白球,1个黄球。 思考·交流 （1）你能选取 8 个除颜色外完全相同的球分别设计满足上述条件的游戏吗？ （2）你能选取 7 个除颜色外完全相同的球分别设计满足上述条件的游戏吗？ 你是怎样设计的？与同伴进行交流。 例 在一个不透明的袋中有6个除颜色外其他都相同的小球，其中3个红球，2个黄球，1个白球。 （1）乐乐从中任意摸出一个小球，摸到白球的概率是多少？ （2）乐乐和亮亮商定一个游戏，规则如下：乐乐从中任意摸出一个小球，摸到红球则乐乐胜，否则亮亮胜，该游戏对双方公平吗？为什么？ 解：（1）因为袋中有3个红球，2个黄球，1个白球，所以P(摸到白球)＝ 。 （2）该游戏对双方是公平的。理由如下： 由题意可知，P(乐乐获胜)＝， P(亮亮获胜)＝， 所以他们获胜的概率相等，即游戏是公平的。 小结：（1）求简单随机事件（古典概型）的概率的步骤 ①审清题意，计算所有基本事件的总结果数n； ②计算事件A所包含的结果数m； ③代入公式：P（A）= 。 （2）求概率公式中的m的方法 m=P(A)× n。 （3）判断游戏是否公平的方法 判断游戏是否公平的实质是看两个事件或多个事件是否有等可能性，即获胜的可能性（概率）是否相等。若相等，则游戏公平，否则，游戏不公平。 （三）课堂总结 1. 知识梳理：师生共同以思维导图的形式梳理本节课的核心知识： 等可能事件的概率（第二课时）→试验类型：放回（结果总数不变）、不放回（结果总数递减）→核心方法：有序列举、分类列举（避免重复/遗漏）→解题步骤：判→列→找→算→答→公式应用。 2. 方法与思想总结：总结本节课的核心学习方法和数学思想： 学习方法：对比探究法（放回与不放回试验）、有序列举法、分类列举法、公式应用法； 数学思想：分类讨论思想（分类列举结果）、有序思考思想（有序列举避免遗漏）、化归思想（将稍复杂问题转化为简单结果列举）。 3. 认知升华：教师强调：本节课我们实现了等可能事件概率计算从“简单”到“稍复杂”的提升，核心是掌握“有序列举、分类列举”的方法，精准确定结果数，同时能区分放回与不放回试验的差异。无论试验场景如何复杂，只要满足“结果有限、可能性相等”，就可以套用概率公式计算，这是古典概型的核心本质。 4. 学习延伸：提问：“今天我们学习的是摸两个球、抽两张卡片的不放回试验，若试验场景更复杂，如摸三个球、抽三张卡片，或结合转盘游戏，该如何计算概率呢？”为后续学习更复杂的等可能事件概率做好铺垫。 设计意图：思维导图梳理知识，让学生形成完整的等可能事件概率认知体系，厘清试验类型、列举方法、解题步骤之间的内在联系；方法与思想总结让学生提炼本节课的核心学习方法和数学思想，提升自主学习能力和数学素养；认知升华帮助学生把握本节课的核心价值，深化对古典概型的理解；学习延伸激发学生的探究兴趣，为后续更复杂的概率计算学习做好铺垫。 （四）布置作业、巩固提高 1.一个箱子中放有红、黑、黄三个小球，每个球除颜色外其他都相同，三个人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出一个小球，摸出后放回，摸出黑色小球的人赢。这个游戏是（　A　） A．公平的 B．先摸者赢的可能性大 C．不公平的 D．后摸者赢的可能性大 2.两人玩“抢30”的游戏，如果将“抢30”游戏的规则中“可以说一个数，也可以连说两个数，谁先抢到30，谁就获胜”改为“每次最多可以连说三个数，最少说一个数，谁先抢到33，谁就获胜”，那么采取适当策略，其结果是（　A　） A．先说数者胜 B．后说数者胜 C．两者都能胜 D．无法判断 3.不透明的盒中有2枚黑棋和3枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别。从盒中随机取出一枚棋子，它是黑棋的概率是 。 4.在一个不透明的盒子里装有2个红球和n个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个球，摸出红球的概率是0.2，则n的值为 8 。 5.口袋里有8个球，除颜色外都相同，其中有a个红球，b个白球，没有其他颜色的球，从中随意摸出一个球： （1）如果摸到红球与摸到白球的可能性相等，分别求a和b的值。 （2）在（1）的条件下，从口袋中取走若干个白球，并放入相同数目的红球，搅拌均匀后，再从口袋中摸出一个球是红球的概率是，求取走多少个白球。 解：（1）因为摸到红球与摸到白球的可能性相等，且a+b＝8，所以a＝b＝4。 （2）设取走x个白球，则放入x个红球，根据题意得，，解得x＝3。 答：取走3个白球。 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $