第三章 概率初步（必备知识+7题型+分层检测）（复习讲义）数学新教材北师大版七年级下册

第三章 概率初步（复习讲义） 1. 了解确定事件（必然事件、不可能事件）与随机事件的意义，体会事件发生的可能性大小与概率取值范围之间的整体联系。 2. 能用概率的取值范围（0≤P(A)≤1）判断事件的类型，能通过大量重复试验的频率估计随机事件的概率，理解频率的稳定性。 3. 理解等可能试验的条件，能利用概率公式 \( P(A)=\frac{m}{n} \) 计算简单随机事件的概率，解决实际问题中的概率计算与判断。 知识点01 确定事件与随机事件 1、确定事件 （1）不可能事件 在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这样的事情是不可能事件． （2）必然事件 在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定会发生，这样的事情是必然事件．必然事件和不可能事件都是确定事件. 2.随机事件 在一定条件下，很多事情我们事先无法确定它会不会发生，这样的事情是随机事件. 知识点02 初步认识概率 随机事件发生的可能性有大有小.一个事件发生的可能性大小的数值，称为这个事件的概率(probability).如果用字母A表示一个事件，那么P(A)表示事件A发生的概率. 事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即0＜P(A) ＜1，其中P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(随机事件) ＜1. 所以有：P(不可能事件)＜P(随机事件)＜P(必然事件). 一个随机事件发生的概率是由这个随机事件自身决定的，并且是客观存在的.概率是随机事件自身的属性，它反映这个随机事件发生的可能性大小. 知识点03 用频率估计概率 通常，在多次重复实验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且随着试验次数增多，摆动的幅度会减小，这个性质称为频率的稳定性. 一般地，在一定条件下大量重复进行同一试验时，随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动.在实际生活中，人们常把试验次数很大时，事件发生的频率作为其概率的估计值. 知识点04 等可能事件的概率 一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记作P（A）。 一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P（A）=。由m与n的含义可知0≤m≤n，因此0≤≤1，因此0≤P（A）≤1、 当A为必然事件时，P（A）=1；当A为不可能事件时，P（A）=0. 知识点05 等可能性概率的计算方法 （1）理论计算又分为如下两种情况： 第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算． （2）实验估算又分为如下两种情况： 第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率． 第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验． 题型一、事件的分类 【例1】（25-26九年级上·江西上饶·期末）下列成语描述的事件为随机事件的是（   ） A．旭日东升 B．萍水相逢 C．瓮中捉鳖 D．天方夜谭 【答案】B 【分析】本题考查事件的分类． 根据随机事件、必然事件、不可能事件的定义，判断各选项描述的事件类型即可． 【详解】解：A．旭日东升是必然会发生的自然现象，属于必然事件，不符合题意； B．萍水相逢指偶然相遇，该事件可能发生也可能不发生，属于随机事件，符合题意； C．瓮中捉鳖是肯定能达成的事件，属于必然事件，不符合题意； D．天方夜谭指不可能发生的事情，属于不可能事件，不符合题意． 故选：B． 【变式1-1】（25-26九年级下·云南玉溪·开学考试）下列事件中，属于随机事件的是（   ） A．任意抛一枚均匀的硬币，正面朝上 B．多边形的外角和为 C．太阳从东边升起 D．在一个装满红球的袋中，摸出黑球 【答案】A 【分析】根据定义，必然事件是一定条件下一定发生的事件，不可能事件是一定条件下一定不发生的事件，随机事件是一定条件下可能发生也可能不发生的事件，逐一判断选项即可． 【详解】解：A．任意抛一枚均匀的硬币，可能正面朝上也可能反面朝上，该事件可能发生也可能不发生，是随机事件，符合题意； B．任意多边形的外角和为，是必然事件，不符合题意； C．太阳从东边升起是一定发生的，是必然事件，不符合题意； D．在装满红球的袋中摸出黑球是一定不会发生的，是不可能事件，不符合题意． 【变式1-2】（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）在一个不透明的袋子中，装有5个红球、2个黄球和3个蓝球，所有球除颜色外完全相同，从中随机摸出1个球，下列说法正确的是（  ） A．摸出红球是必然事件 B．摸出黄球是不可能事件 C．摸出蓝球是随机事件 D．摸出黑球是随机事件 【答案】C 【分析】根据三类事件的定义，结合袋子中球的颜色情况逐一判断选项．其中，必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件指在一定条件下一定不发生的事件；随机事件指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：袋子中装有个红球、个黄球和个蓝球，没有黑球， 对于选项A：摸出红球不是一定会发生的(还可能摸到黄球或蓝球)，因此摸出红球是随机事件，不是必然事件，A错误； 对于选项B：袋子中有个黄球，所以摸出黄球是有可能发生的，是随机事件，不是不可能事件，B错误； 对于选项C：袋子中有个蓝球，摸球时可能摸到蓝球，也可能摸到红球或黄球，因此摸出蓝球是随机事件，C正确； 对于选项D：袋子中没有黑球，所以摸出黑球是一定不会发生的，属于不可能事件，不是随机事件，D错误． 综上，正确答案是C． 【变式1-3】（25-26九年级上·江西赣州·期末）下列事件是必然事件的是（    ） A．车辆随机到达路口，遇到绿灯 B．校园排球比赛，九年级一班获得冠军 C．掷一枚硬币时，正面朝上 D．四边形内角和是 【答案】D 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】解：A、车辆随机到达路口，遇到绿灯，是随机事件，故此选项不符合题意； B、校园排球比赛，九年级一班获得冠军，是随机事件，故此选项不符合题意； C、掷一枚硬币时，正面朝上，是随机事件，故此选项不符合题意； D、四边形内角和是，是必然事件，故此选项符合题意； 故选：D． 题型二、根据列举法求概率 【例2】（25-26九年级上·广东揭阳·月考）用1、2、3三个数字组成一个三位数（每个数中三个数字都要出现），则组成的三位数是偶数的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列举法求概率，列举出所有可能发生的情况是解答本题的关键. 仔细审题,利用列举法得出所有可能的三位数组成情况；找出组成的数字是偶数的可能结果：132，312；根据概率计算公式P(A)=计算即可. 【详解】解：组成的数共有6个； 其中偶数有，一共2个； 因此组成的数是偶数的概率. 故选B 【变式2-1】（25-26九年级上·全国·期中）经过某个十字路口的汽车，可能直行，也可能左转或者右转，假设这 种可能性相同，现有两辆汽车经过这个十字路口，驶向相同方向的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列举法求概率，熟练列出所有可能结果是解题的关键． 计算两辆车所有可能的方向组合和驶向相同方向的组合，然后求概率即可． 【详解】解：每辆车有3种方向选择：直行、左转、右转，且选择独立， 则可能的情况组合为： （直行，直行）、（直行，左转）、（直行，右转）、（左转，直行）、（左转，左转）、（左转，右转）、（右转，直行）、（右转，左转）、（右转，右转）， 总可能结果数为9种，其中两辆车驶向相同方向的情况有3种：都直行、都左转、都右转， 因此驶向相同方向的概率是， 故选：A． 【变式2-2】（25-26九年级上·湖北武汉·月考）某商场开展购物抽奖促销活动，抽奖盒中装有三个小球，它们分别标有10元、20元、30元，一次性随机摸出两个小球，摸出的两球上金额的和不少于40元的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查概率计算，需先列出所有可能摸出两球的组合，再找出金额和不少于40元的组合数，最后计算概率，熟练掌握概率公式是解此题的关键． 【详解】解：∵抽奖盒中有三个小球，分别标有10元、20元、30元，一次性随机摸出两个小球，所有可能组合为：，和为30元；，和为40元；，和为50元； ∴总结果数为3，其中，和不少于40元的组合有和，共2种， ∴概率为， 故选：D． 【变式2-3】（25-26九年级上·山东烟台·期末）图①是一枚质地均匀的正四面体形状的骰子，每个面上分别标有数字，，，，图②是一个正六边形棋盘．现通过掷骰子的方式玩跳棋游戏，规则是：将这枚骰子掷出后，看骰子向上三个面（除底面外）的数字之和是几，就从图②中的点开始沿着顺时针方向连续跳动几个顶点，第二次会从第一次的终点处开始，按第一次的方法跳动．随机掷一次骰子，则棋子跳动到点处的概率是（   ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查列举法求概率，熟练掌握利用列举法求概率是解题的关键． 掷一次骰子，骰子向上三个面（除底面外）的数字之和可以是6、7、8、9，共有4种情况，其中当数字之和为8时，棋子跳动到点处，利用概率公式计算即可． 【详解】解：由于、、、， 则掷一次骰子，骰子向上三个面（除底面外）的数字之和可以是6、7、8、9， 共有4种情况， 当数字之和为6时，棋子跳动到点处， 当数字之和为7时，棋子跳动到点处， 当数字之和为8时，棋子跳动到点处， 当数字之和为9时，棋子跳动到点处， 因此，棋子跳动到点处的概率是， 故选：B． 题型三、几何概率 【例3】（2025·辽宁·模拟预测）如图是一个可以转动的转盘，转盘被分成六等份，转动转盘一次，转盘上的指针停在白色区域的概率是___________ 【答案】 【分析】本题考查了几何概率，用白色区域的份数除以总份数即可求解，掌握概率的计算方法是解题的关键． 【详解】解：白色区域在转盘中占份，即， ∴停在白色区域的概率是， 故答案为：． 【变式3-1】（25-26七年级上·北京·月考）如果飞镖随意地投向如图所示的木板且不脱靶，那么飞镖落在木板上阴影部分的可能性是______．（用分数表示） 【答案】 【分析】本题考查几何概率，阴影部分面积与木板面积的比即为所求． 【详解】解：设小正方形边长为1，则木板的面积为， 阴影部分的面积为， 飞镖落在木板上阴影部分的可能性是：， 故答案为：． 【变式3-2】（25-26九年级上·江苏苏州·月考）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，任意投掷飞镖次(假设每次飞镖均落在游戏板上)，击中飞镖游戏板空白部分的概率是________． 【答案】 【分析】本题考查了几何概率的求法．掌握几何概率的求法是解题的关键． 根据几何概率的求法：飞镖落在空白部分的概率就是空白部分的面积与总面积的比值，即可求解． 【详解】解：设小正方形的边长为，则总面积为， 其中阴影部分的面积为， 则空白部分的面积为， ∴击中飞镖游戏板空白部分的概率是； 故答案为：． 【变式3-3】（25-26八年级上·河南平顶山·开学考试）2024年6月2日清晨，嫦娥六号成功着陆在月球背面南极——艾特肯盆地预选着陆区，开启了人类探测器首次在月球背面的样品采集任务．小亮同学是航天知识爱好者，他利用边长为的正方形制作出七巧板如图1，并拼出火箭模型如图2．在对火箭模型进行创意宣讲时，激光笔射出的小红点落在该模型的任意位置，它停在阴影部分的概率为________． 【答案】 【分析】本题主要考查几何概率．用阴影部分的面积除以正方形的总面积，即可得解． 【详解】解：如图， 由题意得：，，， ∴图③的面积为， 图④的面积为， 正方形的面积为， ∴停在阴影部分的概率为， 故答案为： 题型四、根据概率求数量 【例4】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共40个，这些球除颜色外都相同．通过多次试验，发现摸出红球的频率稳定在左右，则可估计袋子里红球约有__________个． 【答案】8 【详解】解：根据频率估计概率的知识，摸出红球的频率稳定在0.2， 因此摸出红球的概率为0.2， 则袋子中红球的个数约为． 【变式4-1】（25-26九年级上·陕西汉中·期末）一个不透明的箱子中装有分别写着“杜”字和“仲”字的小球共个，这些小球除所写文字不同外其余均相同．将箱子中的小球混匀后，随机从中摸出一个小球，记录小球上的文字后放回．不断重复这一过程，共摸了次，其中有次摸到写着“仲”字的小球，估计箱子中写着“杜”字的小球的个数为___________个． 【答案】 【分析】先根据摸球试验的结果计算摸到“仲”字小球的频率，用频率估计概率，再结合总球数求出“仲”字小球的估计数量，最后用总球数减去“仲”字小球的数量得到“杜”字小球的估计个数． 【详解】解：共进行了次摸球试验，其中次摸到“仲”字小球， ∴摸到“仲”字小球的频率为， 根据大量重复试验的频率可近似代替概率， ∴估计从箱子中摸到“仲”字小球的概率为， ∴箱子中写着“仲”字的小球的估计个数为， ∴箱子中写着“杜”字的小球的估计个数为． 【变式4-2】（25-26九年级上·江西赣州·期末）现在二维码已经成为生活中不可或缺的一部分，如图，正方形二维码的面积为，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可估计黑色部分的面积约为___________． 【答案】 【分析】由题意可知点落入黑色部分的频率稳定在左右，然后乘以二维码的面积即可． 【详解】解：估计黑色部分的面积约为． 【变式4-3】（25-26九年级上·河南南阳·期末）一个不透明的盒子中有个除颜色外其他完全相同的小球，其中有个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复试验后发现，摸到黄球的频率稳定在，那么估计盒子中小球的个数为________． 【答案】 【分析】本题考查利用频率估计概率，关键在于理解当试验次数足够多时，频率会稳定在概率附近，进而结合概率公式建立等量关系求解． 【详解】解：∵通过大量重复试验后，摸到黄球的频率稳定在， ∴摸到黄球的概率约为， ∴，解得：， 经检验，是原方程的解， 故答案为：． 题型五、用频率估计概率的综合应用 【例5】（24-25七年级下·福建宁德·期中）2月份，某工厂共生产了26000件工艺品，为了检测该产品的合格率，工厂质检员对产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数（件） 50 100 200 300 500 1000 合格频数 48 99 194 m 490 980 合格频率 0.96 0.99 0.97 0.98 0.98 n (1)表格中m的值为______，n的值为______； (2)估计随机抽取一件该产品是不合格品的概率； (3)若该工厂每生产一件不合格产品将损失20元，求2月份该工厂因不合格产品所造成的损失为多少元？ 【答案】(1)294，0.98 (2)任抽一件该产品是不合格品的概率为0.02 (3)该工厂因不合格产品所造成的损失10400元 【分析】本题考查了用频率估计概率，掌握相关知识点是解题的关键． （）根据频数除以总数等于频率，列式计算即可求解； （）根据抽取件数为时，合格的频率趋近于，可得估计产品合格的概率为，进而即可求解； （）用乘以不合格品的概率再乘以20即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，，； （2）解：∵抽取件数为时，合格的频率趋近于， ∴估计衬衣合格的概率为， ∴估计任抽一件该产品是不合格品的概率为； （3）解：（元）， 答：该工厂因不合格产品所造成的损失10400元． 【变式5-1】（24-25七年级下·山东青岛·期中）篮球运动员为了评估自己的投篮命中率，通常会进行一系列的训练测试．下表是某篮球运动员在相同的训练条件下，得到的一组测试数据： 投篮的次数 10 50 x 200 300 400 500 命中的次数 7 40 81 164 237 328 z 命中的频率 0.70 0.80 0.81 0.82 y 0.82 0.83 (1)填空：________，________，________； (2)根据上表，该运动员任意投出一球，能投中的概率是________（精确到0.1）； (3)根据估计的概率，若该运动员投篮150次，则他命中的次数大约是________次； (4)如果该运动员重新投篮500次评估自己的投篮命中率，对比上表记录下数据，两表的结果会一样吗？为什么？ 【答案】(1)100，， (2)0.8 (3)120 (4)不会一样，理由见解析 【分析】本题考查利用频率估计概率，掌握概率是频率的稳定值，是解题的关键： （1）根据频数，总数和频率之间的关系，进行计算即可； （2）根据频率估算概率即可； （3）根据概率进行判断即可． （4）根据概率的意义进行判断即可． 【详解】（1）解：，，； （2）由表格可知，该运动员任意投出一球，能投中的概率是0.8； 故答案为：0.8； （3）解：由（）可知，该运动员投中的概率为， ∴（次）， 估计他命中的次数为次， 故答案为：． （4）不会一样，理由如下： 由（2）可知，该运动员投中的概率为0.8，故随着试验次数的增加，该运动员投球的频率在0.8左右波动， 故每次试验命中的球数会有所波动，结果不可能跟上一次完全相同． 【变式5-2】（24-25八年级下·江苏徐州·期中）某市林业局要移植一种树苗．对附近地区去年这种树苗移植成活的情况进行调查统计，并绘制了如下折线统计图： (1)这种树苗成活概率的估计值为______． (2)若移植这种树苗50000棵，估计可以成活______棵． (3)若计划成活90000棵这种树苗，则需移植这种树苗大约多少棵？ 【答案】(1) (2)可以成活45000棵 (3)需移植这种树苗大约100000棵 【分析】本题主要考查了折线统计图和利用频率估计概率，能够正确将公式变形以及准确计算是解决本题的关键． （1）根据成活率的折线统计图可知，数据在上下浮动，所以可以确定答案； （2）将总共移植的50000棵树苗乘以成活率就能估算成活的树苗； （3）根据公式成活率成活的树苗移植的树苗可得，移植的树苗成活的树苗成活率，代入数据即可得到答案． 【详解】（1）解：根据图像可得，折线统计图在上下波动，故成活率为． （2）解：∵（棵） ∴可以成活45000棵． （3）解：∵（棵） ∴需移植这种树苗大约100000棵． 【变式5-3】（24-25七年级下·江西景德镇·期中）某学校七年级在义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，规定：顾客购物元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数 落在“书画”区域的次数 落在“书画”区域的频率 (1)完成上述表格：_____；______； (2)请估计当次数很大时，频率将会接近______（精确到），假如你去转动该转盘一次，你获得“书画”奖品的概率约是_______（精确到）； (3)在该转盘中，标有“手工”区域的扇形的圆心角大约是多少度? 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查利用频率估计概率、扇形统计图、可能性大小，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答本题． （1）根据频率频数总数，求解即可； （2）根据表格中的数据可以估计频率是多少以及转动该转盘一次，获得“书画作品”的概率； （3）用乘以获得“手工”奖品的概率即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）当次数很大时，频率将会接近，获得“书画”奖品的概率约是， 故答案为：，； （3）标有“手工”区域的扇形的圆心角大约是． 题型六、根据概率判断游戏是否公平 【例6】（24-25七年级下·内蒙古包头·月考）如图，现有一个转盘被平均分成6等份，分别标有2、3、4、5、6、7这六个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字，求： (1)转动转盘，转出的数字大于3的概率； (2)小圆和小梦一起做游戏，现有两张分别写有3和4的卡片，要随机转动转盘，转盘停止后记下转出的数字，与两张卡片上的数字分别作为三条线段的长度．小圆说：“若这三条线段能构成等腰三角形，则我赢”小梦说：“若这三条线段构成的三角形的周长小于10，则我赢”，请问这个游戏规则对双方公平吗？试通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)这个游戏规则对双方不公平，理由见解析 【分析】本题主要考查了游戏公平性的判断、三角形的三边关系、等腰三角形的判定、概率公式等知识点，掌握判断游戏公平性的方法是解题的关键． （1）根据概率公式计算即可； （2）分别求出这三条线段能构成等腰三角形的概率和三条线段构成的三角形的周长小于10的概率，再进行比较即可解答． 【详解】（1）解：∵转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，大于3的结果有4种， ∴转出的数字大于3的概率为． （2）解：这个游戏规则对双方不公平；理由如下： ∵转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，能构成等腰三角形的结果有2种， ∴能构成等腰三角形的概率为； ∵构成的三角形的周长小于10的结果有1种， ∴构成的三角形的周长小于10的概率为； ∵， ∴小圆赢的概率小梦赢的概率， ∴这个游戏规则对双方不公平． 【变式6-1】（24-25七年级下·安徽宿州·月考）2025年3月1日是中国民间传统节日“龙抬头”，这一天寓意着万物复苏、生机勃发．在这个特殊的日子，“学好中国字 做好中国人”文化行动研讨会在吴东魁艺术馆隆重举行．如图，一个转盘被平均分成10等份，分别标有“学”“好”“中”“国”“字”“做”“好”“中”“国”“人”这10个汉字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的汉字即为转出的汉字． (1)转动转盘，当转盘停止时，指针指向“国”的概率是________，指针指向汉字的笔画数是奇数的概率是________； (2)小明和小华利用该转盘做游戏，当转出的汉字笔画多于6画时小明获胜，否则小华获胜．请你判断这个游戏是否公平？并说明理由． 【答案】(1)， (2)游戏不公平，理由见解析 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．实际考查概率的计算与游戏公平性的理解，用到的知识点为：概率为所求情况数与总情况数之比． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）分别计算出小明、小华获胜的概率，判断大小关系即可得出答案． 【详解】（1）解：转动转盘，当转盘停止时，指针指向“国”的概率是， 指针指向汉字的笔画数是偶数的有：“学”“好”“中”“国”“字”“好”“中”“国”“人”，有个，故指针指向汉字的笔画数是偶数的概率是， ∴指针指向汉字的笔画数是奇数的概率是； 故答案为：，； （2）解：游戏不公平，理由如下： 个汉字中笔画多于画的有：“学” ，“国” ，“国”， “做”， 个汉字中笔画不多于画的有： “好”“中” “字” “好”“中” “人”， 所以小明获胜的概率为，小华获胜的概率为，小明获胜的概率小华获胜的概率， 所以游戏不公平． 【变式6-2】（24-25七年级下·贵州毕节·期末）如图，现有一个转盘被等分成6个扇形，分别标有数字1，2，3，4，5，6．自由转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字． (1)转出的数字大于6是______事件．（填“随机”“必然”或“不可能”） (2)小明和小亮一起做游戏，若转出的数字是2的倍数，则小明获胜；若转出的数字是3的倍数，则小亮获胜．这个游戏对双方公平吗？请说明理由． 【答案】(1)不可能 (2)不公平，见解析 【分析】（1）根据事件的分类解答即可； （2）根据题意，分别求出转出的数字是2的倍数的概率和是3的倍数的概率，然后比较求解即可． 本题考查了事件的分类，简单的概率公式应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵转盘被等分成6个扇形，分别标有数字1，2，3，4，5，6 ∴转出的数字大于6是不可能事件， 故答案为：不可能 （2）解：根据题意，转出的数字是2的倍数的可能性有3种， ∴小明获胜的概率为， 转出的数字是3的倍数的可能性有2种， ∴小亮获胜的概率为． ∵， ∴游戏不公平． 【变式6-3】（24-25七年级下·河北保定·期末）小明和哥哥都很想去看足球比赛，爸爸只买到了一张门票，最后商定通过转盘游戏决定去观看比赛．游戏规则是：转动如图1所示的转盘，转盘停止后，若转盘指针指向红色小明去；若转盘指针指向蓝色或黄色，哥哥去；如果指针恰好指向白色或指向分割线，重新转动． (1)求小明去观看足球比赛的概率； (2)你认为这个游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计出一种公的游戏规则； (3)请你利用图2所示转盘，设计一个转盘游戏，使得小明去的概率为，并简要说明游戏规则． 【答案】(1) (2)游戏公平，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题考查几何概率模型求概率，读懂题意，搞懂相关事件所占的几何比例是解决问题的关键． （1）根据几何概率模型，由转盘中每一个扇形面积相同，共有9份，其中红色占4份；蓝色占3份；白色和黄色占1份；再结合如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动，从而由几何概率模型求概率的方法直接计算小明去观看足球比赛的概率即可得到答案； （2）根据几何概率模型，由转盘中每一个扇形面积相同，共有9份，其中红色占4份；蓝色占3份；白色和黄色占1份；再结合如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动，从而由几何概率模型求概率的方法直接计算小明或哥哥去观看成都蓉城足球比赛的概率，比较大小即可得到答案； （3）根据小明去的概率为，设计转盘即可． 【详解】（1）解：由题意可知，转盘中每一个扇形面积相同，共有9份，其中红色占4份；蓝色占3份；白色和黄色各占1份，再结合如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动， （小明去观看足球比赛）； （2）解：由题意可知，转盘中每一个扇形面积相同，共有9份，其中红色占4份；蓝色占3份；白色和黄色占1份，再结合如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动， （小明去观看足球比赛）； （哥哥去观看足球比赛）； （小明去观看足球比赛）（哥哥去观看足球比赛）， 游戏公平； （3）解：将转盘平均分为8个区域，其中红色占5份；白色占3份，如果指针转动转盘，转盘停止后，若转盘指针指向红色，小明去． 题型七、概率在转盘抽奖中的应用 【例7】（24-25七年级下·广东佛山·月考）某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘．并规定：顾客每购买100元的商品， 就能获得一次转转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色或绿色区域，那么顾客就可以分别获得100元、50元、20元购物券（转盘被等分成20个扇形），甲顾客购物120元，他获得购物券的概率是多少？ 【答案】 【分析】此题考查概率的计算公式，先确定情况数及总结果数，根据概率公式计算即可 【详解】 解：甲顾客购物120元，他有转转盘的机会， 整个圆周被分成了20份，共有20种等可能结果， 红色、黄色或绿色区域的份数之和为9份， 所以获得购物券的概率为：． 【变式7-1】（24-25七年级下·陕西西安·月考）某商场举办有奖促销活动，凡购买一定金额的商品，即可参与转盘抽奖．如图，转盘分为，，，四个区域，自由转动转盘，指针对准，，，区域时，分别对应“谢谢惠顾”“一等奖”“二等奖”“三等奖”，转到指针对准公共线位置时重转． (1)若某顾客转动一次转盘，求其获得“一等奖”的概率． (2)若某顾客转动一次转盘，求其中奖的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率．掌握几何概率的求法是解本题的关键． （1）求出字母所在的区域的圆心角度数，再根据概率公式即可求解． （2）求出中奖区域的圆心角度数，再根据概率公式即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得：区域对应“一等奖”， 设顾客转动一次转盘，其获得“一等奖”为事件， 由图知字母所在的区域的圆心角度数为， 则， 答：顾客转动一次转盘，其获得“一等奖”的概率为． （2）解：设顾客转动一次转盘，中奖为事件， 则， 答：顾客转动一次转盘，其中奖的概率为． 【变式7-2】（24-25七年级下·山东济南·期末）某商场为了吸引顾客，设立了一个如图可以自由转动的转盘，转盘被等分成20个扇形．商场规定：顾客每购买200元的商品就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、绿或黄色区域，顾客就可以分别获得100元、50元，20元的购物券，已知甲顾客购物220元，获得一次转动转盘的机会． (1)他能获得购物券的概率是______，甲顾客转动转盘转到蓝色是______（从“随机事件”、“必然事件”、“不可能事件”选一个填入）； (2)求他得到100元购物券的概率是多少？ (3)若要让获得50元购物券的概率变为，还需要将几个无色扇形涂成绿色？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查简单概率问题，涉及简单概率公式、事件分类等知识，读懂题意，熟练掌握一步概率问题的求法是解决问题的关键． （1）由题意，结合简单概率公式求解即可得到他能获得购物券的概率是，再由转盘上没有蓝色区域，即可得到甲顾客转动转盘转到蓝色是不可能事件； （2）如果转盘停止后，指针正好对准红色区域，顾客就可以获得100元的购物券，转盘上红色区域有2份，由简单概率公式求解即可得到答案； （3）如果转盘停止后，指针正好对准绿色区域，顾客就可以获得50元的购物券，转盘上绿色区域有4份，他得到50元购物券的概率是；若要让获得50元购物券的概率变为，还需要将4个无色扇形涂成绿色． 【详解】（1）解：由题意可知，转盘被等分成20个扇形，如果转盘停止后，指针正好对准红、绿或黄色区域，顾客就可以分别获得100元、50元，20元的购物券，则转盘上红、绿或黄色区域共有11份， 他能获得购物券的概率是； 转盘上没有蓝色区域， 甲顾客转动转盘转到蓝色是不可能事件； 故答案为：，不可能事件； （2）解：如果转盘停止后，指针正好对准红色区域，顾客就可以获得100元的购物券，转盘上红色区域有2份，则他得到100元购物券的概率是； （3）解：如果转盘停止后，指针正好对准绿色区域，顾客就可以获得50元的购物券，转盘上绿色区域有4份，则他得到50元购物券的概率是； 若要让获得50元购物券的概率变为，还需要将4个无色扇形涂成绿色． 【变式7-3】（24-25七年级下·广东深圳·期末）某学校班级为表彰一周量化考核评价为优秀的同学，设置如图1的电子刮刮卡抽奖活动，评为优秀的同学获得抽奖机会一次．其中张刮刮卡奖励内容分别为“①免作业券张；②与好朋友同桌一天；③薯片一包；④牛奶瓶”．抽完奖后系统自动更新出张上述内容的刮刮卡，并把顺序打乱． (1)小明同学在某周考核中评为优秀，他在刮刮卡抽奖活动中抽中“①”的概率是 ． (2)通过调查发现，该班同学对“①”最感兴趣，对“③”和“④”喜好程度一样．于是，老师将抽奖方式改为转盘，并设定：①的概率是，②的概率是，③的概率为．请在图2转盘中的扇形写上“①②③④”，使得自由转动这个转盘，当它停止时，指针分别落在“①②③④”上的概率满足上述设定．（备注：转盘中扇形的圆心角均相等） 【答案】(1) (2)作图见解析 【分析】本题考查概率公式，应用与设计作图， （1）直接根据概率公式求解即可； （2）用扇形的个数乘对应的概率求出扇形的个数，从而得出答案； 解题的关键是掌握概率公式∶（表示事件发生的概率，是事件发生的情况数，是总情况数 ）． 【详解】（1）解：∵共有张刮刮卡，且每张刮刮卡被抽取的可能性相同， ∴总情况数 ， 又∵ “①”是其中张刮刮卡，即抽中“①”的情况数， ∴抽中“①”的概率． 故答案为：； （2）∵转盘被等分为若干个圆心角相等的扇形（设总份数为份，取、、的最小公倍数)， 又∵①的概率是，则①对应的份数：份 ； ②的概率是，则②对应的份数：份； ③的概率是；则③对应的份数：份； ∴④的概率：， 则④对应的份数也是份（与③概率相同，份数相同 ）， 分配扇形内容如下： 按照计算出的份数，在转盘中标记：①占份，②占份，③占份，④占份， 如图： 基础巩固通关测 一、单选题 1．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期末）下列事件中（1）守株待兔；（2）拔苗助长；（3）海枯石烂；（4）日出东方；（5）心想事成；（6）水中捞月．是随机事件的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：（1）守株待兔，可能发生也可能不发生，是随机事件； （2）拔苗助长不可能发生，是不可能事件； （3）海枯石烂不可能发生，是不可能事件； （4）日出东方一定发生，是必然事件； （5）心想事成可能发生也可能不发生，是随机事件； （6）水中捞月一定不可能成功，是不可能事件； 综上，随机事件共有2个． 2．（25-26九年级上·陕西延安·期末）为更好地激发学生的爱国主义情怀，学校建议学生利用假期时间观看《731》，《志愿军：浴血和平》，《南京照相馆》三部电影，霖霖同学从这三部电影中随机选择一部观看，他恰好选择看《731》电影的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据概率公式，找出所有等可能结果数和符合要求的结果数，代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵霖霖从三部电影中随机选择一部，共有3种等可能的结果，其中恰好选中《731》的结果只有1种， ∴所求概率为． 3．（25-26九年级上·山东潍坊·期末）某路口南北方向红绿灯的设置时间为：红灯、绿灯、黄灯．小亮爸爸由南往北开车到达该路口，下面说法正确的是（    ）． A．小亮爸爸遇到红灯是必然事件 B．小亮爸爸遇到红灯的概率是 C．小亮爸爸遇到黄灯是不可能事件 D．小亮爸爸遇到绿灯的概率大于他遇到红灯的概率 【答案】D 【分析】本题主要考查了概率计算，事件分类，需先明确必然事件、不可能事件、随机事件的概念，再计算各灯亮的概率，逐一判断选项． 【详解】解：∵红绿灯一个周期的总时间为 ∴遇到红灯的概率为，遇到绿灯的概率为，遇到黄灯的概率为， ∵必然事件是一定会发生的事件，不可能事件是一定不会发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件， ∴A选项中遇到红灯是随机事件，不是必然事件，故A错误； B选项中遇到红灯的概率是≠，故B错误； C选项中遇到黄灯是随机事件，不是不可能事件，故C错误； D选项中>，即遇到绿灯的概率大于遇到红灯的概率，故D正确． 故选：D． 4．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）希希在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（    ） A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率 B．抛一枚硬币，出现正面的概率 C．任意写一个整数，它能被2整除的概率 D．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率 【答案】D 【分析】本题考查了利用频率估计概率及概率公式，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．先根据统计图得出频率稳定左右，即可得出该实验的概率为，分别求出各选项的概率，即可得答案． 【详解】解：由统计图可知，该实验的频率稳定左右， ∴该实验的概率为， A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为，故该选项不符合题意， B．抛一枚硬币，出现正面的概率为，故该选项不符合题意， C．任意写一个整数，它能被2整除的概率为，故该选项不符合题意， D．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率为，故该选项符合题意． 故选：D． 二、填空题 5．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）事件“外观相同的100件同种产品中有2件是不合格产品，现从中抽取一件恰为合格品”是___________事件．（填“必然”“不可能”或“随机”） 【答案】随机 【分析】本题主要考查了随机事件．根据随机事件的定义解答即可． 【详解】解：∵事件“外观相同的100件同种产品中有2件是不合格产品， ∴现从中抽取一件恰为合格品”是随机事件． 故答案为：随机． 6．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，一枚飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成．向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是________________． 【答案】 【分析】本题考查了简单概率的计算，根据概率计算公式求得所有可能的结果即所有正方形格子的面积，击中黑色区域的结果即黑色区域的面积，即可求解． 【详解】解：设一个小格子的面积为1，则所有格子的面积和为16，其中黑色区域的面积为5， 故击中黑色区域的概率是； 故答案为：． 7．（25-26九年级上·福建泉州·期末）某旅游纪念品店销售土楼造型的金、银两色纪念徽章．若将6枚金色徽章和若干枚银色徽章放在同一个不透明的展示盒中，从中随机摸出一枚纪念徽章，是金色徽章的概率为，则银色徽章的枚数为_____． 【答案】4 【分析】本题主要考查了概率计算公式，熟练掌握概率的计算是解题的关键． 根据概率定义，金色徽章的概率等于其数量与总数量之比，设银色徽章数量为枚，建立方程即可求解． 【详解】解：设银色徽章有枚．则总徽章数量为枚， ∴金色徽章的概率为， 解得， 经检验是方程的解， ∴银色徽章有4枚． 故答案为：4． 8．（25-26九年级上·湖北宜昌·期末）在如图所示的图形中随机撒豆子，把“豆子落在区域中”记作事件，若事件的概率，则区域的半径为_____． 【答案】2 【分析】本题考查几何概率，掌握概率公式是解题关键．分别求出区域和最大的圆的面积，再根据概率公式求解即可． 设区域的半径为，区域的面积为，即可得. 【详解】解：由图可知最大的圆的面积为， 设区域的半径为，区域的面积为， ∵把“豆子落在区域中”记作事件，若事件的概率， ∴ ，解得， 故答案为：2． 三、解答题 9．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据（结果保留两位小数）： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到黑球的次数m 23 31 60 130 203 251 摸到黑球的频率 0.23 0.21 0.30 0.26 0.25 (1)补全上表中的有关数据，根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是 ； (2)估算袋中白球的个数． 【答案】(1)0.25，0.25 (2)3个 【分析】本题考查了利用频率估计概率，在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近． （1）由频率等于摸到黑球次数÷摸球的次数即可得到答案；用大量重复试验中事件发生的频率稳定到某个常数来表示该事件发生的概率即可； （2）利用概率公式列出方程求解即可． 【详解】（1）解：； ∵大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到0.25附近， ∴估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是0.25； 故答案为：0.25，0.25； （2）解：设袋中白球为x个， ， 解得． 答：估计袋中有3个白球． 10．（25-26七年级下·全国·单元测试）如下图，在一个不规则的区域内，有一个面积为54的正方形，向区域内随机地撒4000粒黄豆，数得落在正方形内（含边界）的黄豆有1350粒．以此试验数据为依据，可以估计出该不规则区域的面积． (1)随机向不规则区域内掷1粒黄豆，求黄豆落在正方形内（含边界）的概率； (2)请你估计出该不规则区域的面积． 【答案】(1) (2)160 【分析】本题考查了几何概率，正方形的面积，正确的理解题意是解题的关键． （1）根据概率公式即可得到结论； （2）根据概率公式即可得到结论． 【详解】（1）解：记“黄豆落在正方形内（含边界）”为事件， ． 故黄豆落在正方形内（含边界）的概率为． （2）解：，正方形的面积为， ∴不规则区域的面积为． 答：该不规则区域的面积是． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（25-26九年级上·河南南阳·期末）下列说法正确的是（   ） A．“将油滴入水中，油会浮在水面上”是不可能事件 B．为检测某市正在销售的酸奶质量，应该采用普查 C．“打开电视，正在播放广告”是必然事件 D．抛掷一个正方体骰子，朝上的面的点数为偶数的概率是 【答案】D 【分析】本题考查事件的分类、调查方式的选择以及概率的计算，需逐一分析各选项的正确性． 【详解】解：A、∵油的密度小于水的密度，将油滴入水中油一定会浮在水面上，这是必然事件，∴A选项错误． B、∵检测某市正在销售的酸奶质量时，普查会造成大量酸奶被破坏且工作量过大，应采用抽样调查，∴B选项错误． C、∵打开电视可能播放广告也可能播放其他节目，这是随机事件，不是必然事件，∴C选项错误． D、∵正方体骰子的点数为1、2、3、4、5、6，其中偶数有2、4、6共3个，总共有6种等可能结果，∴朝上的面的点数为偶数的概率为，∴D选项正确． 故选：D． 2．（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有4个，黑球有x个，若随机从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出黑球的频率稳定在0.8附近，则x的值为（   ） A．15 B．16 C．18 D．20 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，根据频率估计概率，摸出黑球的概率为0.8，利用概率公式建立方程求解即可． 【详解】解：∵摸出黑球的频率稳定在0.8附近， ∴摸出黑球的概率为0.8， ， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 故选：B． 3．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，是可以自由转动的转盘，统计转动转盘的次数与落在灰色区域次数如表： 转动转盘的次数 100 200 360 500 800 1000 落在灰色区域次数 33 67 124 165 267 334 则与转盘中灰色区域的圆心角的度数近似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用频数估计概率，求扇形统计图的圆心角，掌握求概率的方法是解题的关键． 由题可得落在灰色区域的频率为，故落在灰色区域的概率约为，再根据周角为，计算即可求解． 【详解】解：根据转动转盘次，落在灰色区域次，则落在灰色区域的频率为，故落在灰色区域的概率约为， ． 故选：C． 4．（25-26九年级上·江西九江·期末）某小组做“用频率估计概率”的试验时，某一结果出现的频率折线图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（   ） A．抛一枚硬币，出现正面朝上 B．掷一个正六面体的骰子，出现5点朝上 C．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 D．从一个装有3个红球2个白球的袋子中任取一球，取到的是白球 【答案】D 【分析】本题考查利用频率估算概率，根据折线图，估算出概率，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图象可知，概率约为； A、抛一枚硬币，出现正面朝上的概率为，不符合题意； B、掷一个正六面体的骰子，出现5点朝上的概率为，不符合题意； C、一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为，不符合题意； D、从一个装有3个红球2个白球的袋子中任取一球，取到的是白球的概率为，符合题意； 故选D． 二、填空题 5．（25-26九年级上·湖北省直辖县级单位·期末）“篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中”是______事件（填“确定”或“不确定”）． 【答案】不确定 【分析】本题考查事件的分类，篮球队员投篮一次，未投中可能发生也可能不发生，属于不确定事件． 【详解】解：根据事件分类，确定事件包括必然事件和不可能事件，而不确定事件指随机事件． 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中这一事件的结果具有不确定性，可能发生也可能不发生，因此是不确定事件． 故答案为：不确定． 6．（25-26九年级上·湖北黄冈·期末）我国传统的二十四节气概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在冬季的概率为___________． 【答案】/ 【分析】本题考查了概率公式，正确理解题意，运用概率公式计算是关键．根据概率公式计算即可． 【详解】解：二十四个节气中选一个节气，抽到的节气在冬季的有六个，则抽到的节气在冬季的概率为． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·广西南宁·月考）如图是小华用计算机模拟随机投掷一枚图钉的实验结果，若再次抛掷一枚图钉，则可以估计“钉尖向上”的概率是______．（精确到0.001） 【答案】0.618 【分析】本题主要考查用频率估计概率，随着投掷次数的增加，“钉尖向上”的频率越来越稳定，当投掷次数超过4000次时，“钉尖向上”的频率稳定在0.618左右，于是可以估计“钉尖向上”的概率为0.618． 【详解】随着投掷次数的增加，“钉尖向上”的频率越来越稳定，当投掷次数超过4000次时，“钉尖向上”的频率稳定在0.618左右，于是可以估计“钉尖向上”的概率为0.618． 故答案为：0.618 8．（25-26九年级上·广东江门·期末）在一个不透明的口袋中装有红球和白球共30个，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中红球可能有______________个． 【答案】6 【分析】本题考查了根据频率估计概率，利用概率求数量．根据摸到红球的频率得到摸到红球的概率，用总球数乘以摸到红球的概率可得红球数量． 【详解】解：∵摸到红球的频率稳定在附近， ∴摸到红球的概率约为， ∴口袋中红球可能有（个）． 故答案为：6． 三、解答题 9．（25-26九年级上·山东·期末）一个不透明的袋子中装有红、黄、白三种颜色的球共24个，它们除颜色外完全相同，其中红球6个，黄球数量是白球数量的2倍． (1)求从袋中摸出一个球是黄球的概率； (2)向袋中放入若干个红球，使摸出红球的概率为，求放入红球的个数． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了概率公式：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率． （1）设白球个，则黄球个，根据三种颜色的球共个求得黄球的数量，进而利用概率公式计算即可； （2）设放入个红球，根据题意列出比例方程，即可求解． 【详解】（1）解：设白球个，则黄球个，依题意得， 解得：， 则黄球有个， ∴从袋中摸出一个球是黄球的概率p= （2）解：设放入个红球，则， 解得． 10．（25-26九年级上·江西赣州·月考）工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数（件） 50 100 200 300 500 1000 合格频数 49 94 192 285 950 合格频率 0.98 0.94 0.96 0.95 0.95 0.95 (1)表格中的值为________；估计合格产品的概率是________（精确到0.01） (2)估计任抽一件该产品是不合格品的概率； (3)某天甲员工被抽检了1500件该产品，估计其中不合格品有多少件？ 【答案】(1)，0.95 (2)0.05 (3)75件 【分析】本题主要考查了频率与频数的关系，由样本估计总体，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据频数频率总数即可得出的值，由表格可得合格频率越来越稳定在左右，即可得出结果； （2）用减去合格产品的概率即可得出结果； （3）用乘以不合格品的概率即可得出结果． 【详解】（1）解：由表格可得，， 合格频率越来越稳定在左右，即估计合格产品的概率是； （2）解：， 故任抽一件该产品是不合格品的概率为； （3）解：（件）， 故某天甲员工被抽检了1500件该产品，估计其中不合格品有件． 11．（24-25七年级下·河南郑州·期末）小明和小亮都想参加学校社团组织的暑期实践活动，但只剩下一个名额，小明提议用如下的办法决定谁去参加活动：将一个可以自由转动的转盘等分成个扇形，分别标有，，，，，，，，，这个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．小明转动转盘，小亮猜数，若所猜数字与转出的数字相符，则小亮参加活动，否则小明参加活动．猜数的方法从下面两种中选一种：①猜“是的倍数”或“不是的倍数”；②猜“是大于的数”或“不是大于的数”． (1)猜“是的倍数”的概率是_______； (2)如果你是小亮，那么为了尽可能参加活动，你将选择哪一种猜数方法？怎样猜？为什么？ (3)你认为这两种猜数方法对双方公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请设计一种对双方都公平的猜数方法． 【答案】(1) (2)选择方法①中“不是3的倍数”，见解析 (3)不公平，猜“是奇数”或“是偶数” 【分析】本题主要考查了应用概率解决游戏公平问题，掌握概率的计算公式是解题的关键． （1）利用简单概率公式进行求解即可； （2）求出每种方式的概率，然后进行比较即可； （3）根据概率相等设计方法即可． 【详解】（1）解：是的倍数的数有：3，6，9， ∴猜“是的倍数”的概率是， 故答案为：； （2）解：选择方法①中“不是3的倍数”，理由如下： 大于的数有：5，6，7，8，9，10， ∴猜“是大于的数”的概率为：； 不是大于4的数有：1，2，3，4， ∴猜“不是大于的数”的概率为：； 由①可得猜“不是的倍数”的概率是， ∵， ∴选择方法①中“不是3的倍数”； （3）解：不公平，因为两人抽到的概率不相等， 猜“是奇数”或“是偶数”比较公平． 12．（21-22八年级下·江苏南京·期中）某商场在促销活动中设立了一个可以自由转动的转盘，转盘等分为10份，如图所示．同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，下表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 指针落在“谢谢参与”区域的次数m 29 60 93 122 b 指针落在“谢谢参与”区域的频率 0.29 0.3 0.31 a 0.296 (1)完成上述表格：a＝　　　，b＝　　　　；　 (2)若继续不停转动转盘，当n很大时，指针落在“谢谢参与”区域的频率将会接近　　　，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率是　　　　；（ 结果都精确到0.1） (3)顾客转动转盘一次，得到奖品“盲盒”的概率记为，得到奖品“贴纸”的概率记为，得到“谢谢参与”的概率记为，求，，的大小关系．（ 用“”连接） 【答案】(1)、 (2)， (3) 【分析】本题考查的是利用频率估计概率，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比． （1）根据频率和频数的关系求得a和b的值即可； （2）利用大量重复试验中的频率稳定值估计概率即可； （3）利用概率公式分别求得、、的值后比较大小即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：、； （2）解：若继续不停转动转盘，当n很大时，指针落在“谢谢参与”区域的频率将会接近，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率约是； 故答案为：，； （3）解：，，， ． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 概率初步（复习讲义） 1. 了解确定事件（必然事件、不可能事件）与随机事件的意义，体会事件发生的可能性大小与概率取值范围之间的整体联系。 2. 能用概率的取值范围（0≤P(A)≤1）判断事件的类型，能通过大量重复试验的频率估计随机事件的概率，理解频率的稳定性。 3. 理解等可能试验的条件，能利用概率公式 \( P(A)=\frac{m}{n} \) 计算简单随机事件的概率，解决实际问题中的概率计算与判断。 知识点01 确定事件与随机事件 1、确定事件 （1）不可能事件 在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这样的事情是不可能事件． （2）必然事件 在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定会发生，这样的事情是必然事件．必然事件和不可能事件都是确定事件. 2.随机事件 在一定条件下，很多事情我们事先无法确定它会不会发生，这样的事情是随机事件. 知识点02 初步认识概率 随机事件发生的可能性有大有小.一个事件发生的可能性大小的数值，称为这个事件的概率(probability).如果用字母A表示一个事件，那么P(A)表示事件A发生的概率. 事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即0＜P(A) ＜1，其中P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(随机事件) ＜1. 所以有：P(不可能事件)＜P(随机事件)＜P(必然事件). 一个随机事件发生的概率是由这个随机事件自身决定的，并且是客观存在的.概率是随机事件自身的属性，它反映这个随机事件发生的可能性大小. 知识点03 用频率估计概率 通常，在多次重复实验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且随着试验次数增多，摆动的幅度会减小，这个性质称为频率的稳定性. 一般地，在一定条件下大量重复进行同一试验时，随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动.在实际生活中，人们常把试验次数很大时，事件发生的频率作为其概率的估计值. 知识点04 等可能事件的概率 一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记作P（A）。 一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P（A）=。由m与n的含义可知0≤m≤n，因此0≤≤1，因此0≤P（A）≤1、 当A为必然事件时，P（A）=1；当A为不可能事件时，P（A）=0. 知识点05 等可能性概率的计算方法 （1）理论计算又分为如下两种情况： 第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算． （2）实验估算又分为如下两种情况： 第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率． 第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验． 题型一、事件的分类 【例1】（25-26九年级上·江西上饶·期末）下列成语描述的事件为随机事件的是（   ） A．旭日东升 B．萍水相逢 C．瓮中捉鳖 D．天方夜谭 【变式1-1】（25-26九年级下·云南玉溪·开学考试）下列事件中，属于随机事件的是（   ） A．任意抛一枚均匀的硬币，正面朝上 B．多边形的外角和为 C．太阳从东边升起 D．在一个装满红球的袋中，摸出黑球 【变式1-2】（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）在一个不透明的袋子中，装有5个红球、2个黄球和3个蓝球，所有球除颜色外完全相同，从中随机摸出1个球，下列说法正确的是（  ） A．摸出红球是必然事件 B．摸出黄球是不可能事件 C．摸出蓝球是随机事件 D．摸出黑球是随机事件 【变式1-3】（25-26九年级上·江西赣州·期末）下列事件是必然事件的是（    ） A．车辆随机到达路口，遇到绿灯 B．校园排球比赛，九年级一班获得冠军 C．掷一枚硬币时，正面朝上 D．四边形内角和是 题型二、根据列举法求概率 【例2】（25-26九年级上·广东揭阳·月考）用1、2、3三个数字组成一个三位数（每个数中三个数字都要出现），则组成的三位数是偶数的概率是（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26九年级上·全国·期中）经过某个十字路口的汽车，可能直行，也可能左转或者右转，假设这 种可能性相同，现有两辆汽车经过这个十字路口，驶向相同方向的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26九年级上·湖北武汉·月考）某商场开展购物抽奖促销活动，抽奖盒中装有三个小球，它们分别标有10元、20元、30元，一次性随机摸出两个小球，摸出的两球上金额的和不少于40元的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26九年级上·山东烟台·期末）图①是一枚质地均匀的正四面体形状的骰子，每个面上分别标有数字，，，，图②是一个正六边形棋盘．现通过掷骰子的方式玩跳棋游戏，规则是：将这枚骰子掷出后，看骰子向上三个面（除底面外）的数字之和是几，就从图②中的点开始沿着顺时针方向连续跳动几个顶点，第二次会从第一次的终点处开始，按第一次的方法跳动．随机掷一次骰子，则棋子跳动到点处的概率是（   ） A． B． C． D．0 题型三、几何概率 【例3】（2025·辽宁·模拟预测）如图是一个可以转动的转盘，转盘被分成六等份，转动转盘一次，转盘上的指针停在白色区域的概率是___________ 【变式3-1】（25-26七年级上·北京·月考）如果飞镖随意地投向如图所示的木板且不脱靶，那么飞镖落在木板上阴影部分的可能性是______．（用分数表示） 【变式3-2】（25-26九年级上·江苏苏州·月考）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，任意投掷飞镖次(假设每次飞镖均落在游戏板上)，击中飞镖游戏板空白部分的概率是________． 【变式3-3】（25-26八年级上·河南平顶山·开学考试）2024年6月2日清晨，嫦娥六号成功着陆在月球背面南极——艾特肯盆地预选着陆区，开启了人类探测器首次在月球背面的样品采集任务．小亮同学是航天知识爱好者，他利用边长为的正方形制作出七巧板如图1，并拼出火箭模型如图2．在对火箭模型进行创意宣讲时，激光笔射出的小红点落在该模型的任意位置，它停在阴影部分的概率为________． 题型四、根据概率求数量 【例4】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共40个，这些球除颜色外都相同．通过多次试验，发现摸出红球的频率稳定在左右，则可估计袋子里红球约有__________个． 【变式4-1】（25-26九年级上·陕西汉中·期末）一个不透明的箱子中装有分别写着“杜”字和“仲”字的小球共个，这些小球除所写文字不同外其余均相同．将箱子中的小球混匀后，随机从中摸出一个小球，记录小球上的文字后放回．不断重复这一过程，共摸了次，其中有次摸到写着“仲”字的小球，估计箱子中写着“杜”字的小球的个数为___________个． 【变式4-2】（25-26九年级上·江西赣州·期末）现在二维码已经成为生活中不可或缺的一部分，如图，正方形二维码的面积为，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可估计黑色部分的面积约为___________． 【变式4-3】（25-26九年级上·河南南阳·期末）一个不透明的盒子中有个除颜色外其他完全相同的小球，其中有个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复试验后发现，摸到黄球的频率稳定在，那么估计盒子中小球的个数为________． 题型五、用频率估计概率的综合应用 【例5】（24-25七年级下·福建宁德·期中）2月份，某工厂共生产了26000件工艺品，为了检测该产品的合格率，工厂质检员对产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数（件） 50 100 200 300 500 1000 合格频数 48 99 194 m 490 980 合格频率 0.96 0.99 0.97 0.98 0.98 n (1)表格中m的值为______，n的值为______； (2)估计随机抽取一件该产品是不合格品的概率； (3)若该工厂每生产一件不合格产品将损失20元，求2月份该工厂因不合格产品所造成的损失为多少元？ 【变式5-1】（24-25七年级下·山东青岛·期中）篮球运动员为了评估自己的投篮命中率，通常会进行一系列的训练测试．下表是某篮球运动员在相同的训练条件下，得到的一组测试数据： 投篮的次数 10 50 x 200 300 400 500 命中的次数 7 40 81 164 237 328 z 命中的频率 0.70 0.80 0.81 0.82 y 0.82 0.83 (1)填空：________，________，________； (2)根据上表，该运动员任意投出一球，能投中的概率是________（精确到0.1）； (3)根据估计的概率，若该运动员投篮150次，则他命中的次数大约是________次； (4)如果该运动员重新投篮500次评估自己的投篮命中率，对比上表记录下数据，两表的结果会一样吗？为什么？ 【变式5-2】（24-25八年级下·江苏徐州·期中）某市林业局要移植一种树苗．对附近地区去年这种树苗移植成活的情况进行调查统计，并绘制了如下折线统计图： (1)这种树苗成活概率的估计值为______． (2)若移植这种树苗50000棵，估计可以成活______棵． (3)若计划成活90000棵这种树苗，则需移植这种树苗大约多少棵？ 【变式5-3】（24-25七年级下·江西景德镇·期中）某学校七年级在义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，规定：顾客购物元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数 落在“书画”区域的次数 落在“书画”区域的频率 (1)完成上述表格：_____；______； (2)请估计当次数很大时，频率将会接近______（精确到），假如你去转动该转盘一次，你获得“书画”奖品的概率约是_______（精确到）； (3)在该转盘中，标有“手工”区域的扇形的圆心角大约是多少度? 题型六、根据概率判断游戏是否公平 【例6】（24-25七年级下·内蒙古包头·月考）如图，现有一个转盘被平均分成6等份，分别标有2、3、4、5、6、7这六个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字，求： (1)转动转盘，转出的数字大于3的概率； (2)小圆和小梦一起做游戏，现有两张分别写有3和4的卡片，要随机转动转盘，转盘停止后记下转出的数字，与两张卡片上的数字分别作为三条线段的长度．小圆说：“若这三条线段能构成等腰三角形，则我赢”小梦说：“若这三条线段构成的三角形的周长小于10，则我赢”，请问这个游戏规则对双方公平吗？试通过计算说明理由． 【变式6-1】（24-25七年级下·安徽宿州·月考）2025年3月1日是中国民间传统节日“龙抬头”，这一天寓意着万物复苏、生机勃发．在这个特殊的日子，“学好中国字 做好中国人”文化行动研讨会在吴东魁艺术馆隆重举行．如图，一个转盘被平均分成10等份，分别标有“学”“好”“中”“国”“字”“做”“好”“中”“国”“人”这10个汉字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的汉字即为转出的汉字． (1)转动转盘，当转盘停止时，指针指向“国”的概率是________，指针指向汉字的笔画数是奇数的概率是________； (2)小明和小华利用该转盘做游戏，当转出的汉字笔画多于6画时小明获胜，否则小华获胜．请你判断这个游戏是否公平？并说明理由． 【变式6-2】（24-25七年级下·贵州毕节·期末）如图，现有一个转盘被等分成6个扇形，分别标有数字1，2，3，4，5，6．自由转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字． (1)转出的数字大于6是______事件．（填“随机”“必然”或“不可能”） (2)小明和小亮一起做游戏，若转出的数字是2的倍数，则小明获胜；若转出的数字是3的倍数，则小亮获胜．这个游戏对双方公平吗？请说明理由． 【变式6-3】（24-25七年级下·河北保定·期末）小明和哥哥都很想去看足球比赛，爸爸只买到了一张门票，最后商定通过转盘游戏决定去观看比赛．游戏规则是：转动如图1所示的转盘，转盘停止后，若转盘指针指向红色小明去；若转盘指针指向蓝色或黄色，哥哥去；如果指针恰好指向白色或指向分割线，重新转动． (1)求小明去观看足球比赛的概率； (2)你认为这个游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计出一种公的游戏规则； (3)请你利用图2所示转盘，设计一个转盘游戏，使得小明去的概率为，并简要说明游戏规则． 题型七、概率在转盘抽奖中的应用 【例7】（24-25七年级下·广东佛山·月考）某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘．并规定：顾客每购买100元的商品， 就能获得一次转转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色或绿色区域，那么顾客就可以分别获得100元、50元、20元购物券（转盘被等分成20个扇形），甲顾客购物120元，他获得购物券的概率是多少？ 【变式7-1】（24-25七年级下·陕西西安·月考）某商场举办有奖促销活动，凡购买一定金额的商品，即可参与转盘抽奖．如图，转盘分为，，，四个区域，自由转动转盘，指针对准，，，区域时，分别对应“谢谢惠顾”“一等奖”“二等奖”“三等奖”，转到指针对准公共线位置时重转． (1)若某顾客转动一次转盘，求其获得“一等奖”的概率． (2)若某顾客转动一次转盘，求其中奖的概率． 【变式7-2】（24-25七年级下·山东济南·期末）某商场为了吸引顾客，设立了一个如图可以自由转动的转盘，转盘被等分成20个扇形．商场规定：顾客每购买200元的商品就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、绿或黄色区域，顾客就可以分别获得100元、50元，20元的购物券，已知甲顾客购物220元，获得一次转动转盘的机会． (1)他能获得购物券的概率是______，甲顾客转动转盘转到蓝色是______（从“随机事件”、“必然事件”、“不可能事件”选一个填入）； (2)求他得到100元购物券的概率是多少？ (3)若要让获得50元购物券的概率变为，还需要将几个无色扇形涂成绿色？ 【变式7-3】（24-25七年级下·广东深圳·期末）某学校班级为表彰一周量化考核评价为优秀的同学，设置如图1的电子刮刮卡抽奖活动，评为优秀的同学获得抽奖机会一次．其中张刮刮卡奖励内容分别为“①免作业券张；②与好朋友同桌一天；③薯片一包；④牛奶瓶”．抽完奖后系统自动更新出张上述内容的刮刮卡，并把顺序打乱． (1)小明同学在某周考核中评为优秀，他在刮刮卡抽奖活动中抽中“①”的概率是 ． (2)通过调查发现，该班同学对“①”最感兴趣，对“③”和“④”喜好程度一样．于是，老师将抽奖方式改为转盘，并设定：①的概率是，②的概率是，③的概率为．请在图2转盘中的扇形写上“①②③④”，使得自由转动这个转盘，当它停止时，指针分别落在“①②③④”上的概率满足上述设定．（备注：转盘中扇形的圆心角均相等） 基础巩固通关测 一、单选题 1．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期末）下列事件中（1）守株待兔；（2）拔苗助长；（3）海枯石烂；（4）日出东方；（5）心想事成；（6）水中捞月．是随机事件的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26九年级上·陕西延安·期末）为更好地激发学生的爱国主义情怀，学校建议学生利用假期时间观看《731》，《志愿军：浴血和平》，《南京照相馆》三部电影，霖霖同学从这三部电影中随机选择一部观看，他恰好选择看《731》电影的概率为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·山东潍坊·期末）某路口南北方向红绿灯的设置时间为：红灯、绿灯、黄灯．小亮爸爸由南往北开车到达该路口，下面说法正确的是（    ）． A．小亮爸爸遇到红灯是必然事件 B．小亮爸爸遇到红灯的概率是 C．小亮爸爸遇到黄灯是不可能事件 D．小亮爸爸遇到绿灯的概率大于他遇到红灯的概率 4．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）希希在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（    ） A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率 B．抛一枚硬币，出现正面的概率 C．任意写一个整数，它能被2整除的概率 D．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率 二、填空题 5．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）事件“外观相同的100件同种产品中有2件是不合格产品，现从中抽取一件恰为合格品”是___________事件．（填“必然”“不可能”或“随机”） 6．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，一枚飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成．向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是________________． 7．（25-26九年级上·福建泉州·期末）某旅游纪念品店销售土楼造型的金、银两色纪念徽章．若将6枚金色徽章和若干枚银色徽章放在同一个不透明的展示盒中，从中随机摸出一枚纪念徽章，是金色徽章的概率为，则银色徽章的枚数为_____． 8．（25-26九年级上·湖北宜昌·期末）在如图所示的图形中随机撒豆子，把“豆子落在区域中”记作事件，若事件的概率，则区域的半径为_____． 三、解答题 9．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据（结果保留两位小数）： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到黑球的次数m 23 31 60 130 203 251 摸到黑球的频率 0.23 0.21 0.30 0.26 0.25 (1)补全上表中的有关数据，根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是 ； (2)估算袋中白球的个数． 10．（25-26七年级下·全国·单元测试）如下图，在一个不规则的区域内，有一个面积为54的正方形，向区域内随机地撒4000粒黄豆，数得落在正方形内（含边界）的黄豆有1350粒．以此试验数据为依据，可以估计出该不规则区域的面积． (1)随机向不规则区域内掷1粒黄豆，求黄豆落在正方形内（含边界）的概率； (2)请你估计出该不规则区域的面积． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（25-26九年级上·河南南阳·期末）下列说法正确的是（   ） A．“将油滴入水中，油会浮在水面上”是不可能事件 B．为检测某市正在销售的酸奶质量，应该采用普查 C．“打开电视，正在播放广告”是必然事件 D．抛掷一个正方体骰子，朝上的面的点数为偶数的概率是 2．（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有4个，黑球有x个，若随机从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出黑球的频率稳定在0.8附近，则x的值为（   ） A．15 B．16 C．18 D．20 3．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，是可以自由转动的转盘，统计转动转盘的次数与落在灰色区域次数如表： 转动转盘的次数 100 200 360 500 800 1000 落在灰色区域次数 33 67 124 165 267 334 则与转盘中灰色区域的圆心角的度数近似的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·江西九江·期末）某小组做“用频率估计概率”的试验时，某一结果出现的频率折线图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（   ） A．抛一枚硬币，出现正面朝上 B．掷一个正六面体的骰子，出现5点朝上 C．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 D．从一个装有3个红球2个白球的袋子中任取一球，取到的是白球 二、填空题 5．（25-26九年级上·湖北省直辖县级单位·期末）“篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中”是______事件（填“确定”或“不确定”）． 6．（25-26九年级上·湖北黄冈·期末）我国传统的二十四节气概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在冬季的概率为___________． 7．（25-26九年级上·广西南宁·月考）如图是小华用计算机模拟随机投掷一枚图钉的实验结果，若再次抛掷一枚图钉，则可以估计“钉尖向上”的概率是______．（精确到0.001） 8．（25-26九年级上·广东江门·期末）在一个不透明的口袋中装有红球和白球共30个，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中红球可能有______________个． 三、解答题 9．（25-26九年级上·山东·期末）一个不透明的袋子中装有红、黄、白三种颜色的球共24个，它们除颜色外完全相同，其中红球6个，黄球数量是白球数量的2倍． (1)求从袋中摸出一个球是黄球的概率； (2)向袋中放入若干个红球，使摸出红球的概率为，求放入红球的个数． 10．（25-26九年级上·江西赣州·月考）工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数（件） 50 100 200 300 500 1000 合格频数 49 94 192 285 950 合格频率 0.98 0.94 0.96 0.95 0.95 0.95 (1)表格中的值为________；估计合格产品的概率是________（精确到0.01） (2)估计任抽一件该产品是不合格品的概率； (3)某天甲员工被抽检了1500件该产品，估计其中不合格品有多少件？ 11．（24-25七年级下·河南郑州·期末）小明和小亮都想参加学校社团组织的暑期实践活动，但只剩下一个名额，小明提议用如下的办法决定谁去参加活动：将一个可以自由转动的转盘等分成个扇形，分别标有，，，，，，，，，这个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．小明转动转盘，小亮猜数，若所猜数字与转出的数字相符，则小亮参加活动，否则小明参加活动．猜数的方法从下面两种中选一种：①猜“是的倍数”或“不是的倍数”；②猜“是大于的数”或“不是大于的数”． (1)猜“是的倍数”的概率是_______； (2)如果你是小亮，那么为了尽可能参加活动，你将选择哪一种猜数方法？怎样猜？为什么？ (3)你认为这两种猜数方法对双方公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请设计一种对双方都公平的猜数方法． 12．（21-22八年级下·江苏南京·期中）某商场在促销活动中设立了一个可以自由转动的转盘，转盘等分为10份，如图所示．同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，下表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 指针落在“谢谢参与”区域的次数m 29 60 93 122 b 指针落在“谢谢参与”区域的频率 0.29 0.3 0.31 a 0.296 (1)完成上述表格：a＝　　　，b＝　　　　；　 (2)若继续不停转动转盘，当n很大时，指针落在“谢谢参与”区域的频率将会接近　　　，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率是　　　　；（ 结果都精确到0.1） (3)顾客转动转盘一次，得到奖品“盲盒”的概率记为，得到奖品“贴纸”的概率记为，得到“谢谢参与”的概率记为，求，，的大小关系．（ 用“”连接） 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $