3.3等可能事件的概率（第一课时）教学设计2025-2026学年北师大版数学七年级下册

该初中数学教学设计聚焦等可能事件的概率，涵盖定义、古典概型特征及计算公式，通过回顾概率取值范围和频率估计方法，结合掷硬币、掷骰子等实例，搭建从试验估算到理论计算的过渡支架。 此资料以实例驱动和特征辨析为亮点，对比均匀与不均匀骰子等实例培养抽象能力，推导公式时结合频率稳定性引导逻辑推理，用枚举列表法规范解题培养模型意识，助力学生建立随机观念，为教师提供清晰教学路径和实用案例。

3.3等可能事件的概率（第一课时） 一、内容与内容解析 （一）教学内容 本节课选自北师大版七年级下册第三章概率初步第三节第一课时，是概率知识从 “试验估计” 到 “理论计算” 的关键过渡，核心内容包含等可能事件的定义、古典概型的特征，以及等可能事件概率的计算公式，并能运用公式解决简单的摸球、掷骰子、抽卡片等古典概型问题。具体为理解等可能事件的含义，掌握 “所有可能结果有限且每种结果发生的可能性相等” 的古典概型特征，推导并运用公式计算简单等可能事件的概率。 （二）教学内容解析 本节课承接前两节 “感受可能性” 的定性认知和 “用频率估计概率” 的试验估算方法，开启概率的理论计算体系，是古典概型的入门课，为后续学习稍复杂的等可能事件概率（如抽牌、转盘、摸球不放回）奠定核心公式和思维基础，在概率初步知识体系中起到 “从试验到理论、从估算到计算” 的承上启下作用。 本节课的知识核心围绕 “等可能事件的概率计算” 展开：首先通过掷均匀硬币、掷均匀骰子、摸除颜色外完全相同的球等实例，提炼出等可能事件的本质特征 ——① 试验的所有可能结果是有限个；② 每种结果发生的可能性相等，具备这两个特征的事件即为等可能事件，对应的概率模型为古典概型；其次基于频率的稳定性和等可能性的特征，推导得出等可能事件概率的计算公式，明确公式中分子、分母的含义；最后通过简单的古典概型问题，让学生掌握公式的直接应用，理解 “计算概率的关键是找准所有可能结果总数和所求事件发生的结果数”。 本节课的学习注重特征辨析与公式应用，无需复杂的试验操作，重点在于让学生能准确判断一个事件是否为等可能事件，掌握公式的推导逻辑，能规范运用公式计算简单等可能事件的概率，进一步完善随机观念，培养逻辑推理和数学计算能力。 基于以上分析，确定本节课的教学重点：理解等可能事件的定义和古典概型的特征，能准确判断等可能事件；掌握等可能事件概率的计算公式，并能运用公式解决简单问题。 教学难点：准确判断一个事件是否为等可能事件（尤其是区分 “结果是否有限”“可能性是否相等”）；找准所有可能发生的结果总数和所求事件发生的结果数，避免重复或遗漏。 二、目标与目标解析 （一）教学目标 （1）结合掷硬币、掷骰子、摸球等实例，理解等可能事件的定义，掌握古典概型 “结果有限、可能性相等” 的两个核心特征，能准确判断现实情境和数学试验中的等可能事件。 （2）经历等可能事件概率计算公式的推导过程，理解公式中各部分的含义，能运用公式准确计算简单等可能事件的概率。 （3）经历从 “试验估算” 到 “理论计算” 的认知过程，提升逻辑推理、数学计算和问题分析能力，进一步完善随机观念，培养数形结合和分类讨论的数学思想。 （4）感受等可能事件概率的实用性，体会数学理论与试验结果的一致性，激发对概率理论计算的兴趣，培养规范解题、严谨思考的数学习惯。 （二）教学目标解析 （1）学生能准确表述等可能事件的定义：在一次试验中，若所有可能发生的结果有限个，且每种结果发生的可能性大小相等，则称这类事件为等可能事件；能熟记古典概型的两个核心特征，能结合实例准确判断事件是否为等可能事件，如能区分 “掷均匀骰子”（等可能）与 “掷不均匀骰子”（非等可能）、“摸除颜色外相同的球”（等可能）与 “摸大小不同的球”（非等可能）。 （2）学生能结合频率的稳定性和等可能性特征，自主推导或理解等可能事件概率的计算公式；能明确公式中P(A)表示事件A发生的概率，分子为 “事件A发生的结果数”，分母为 “所有可能发生的结果总数”；能熟练运用公式进行计算，结果可表示为分数、小数（取值范围0≤P(A)≤1），能规范书写解题步骤。 （3）学生能从之前 “用大量试验频率估计概率” 的思路，过渡到 “直接用公式理论计算概率” 的思路，实现概率认知的升级；能在分析问题时，通过列举法（如列表、枚举）找准所有可能结果和所求事件结果，避免重复或遗漏，提升分析和推理能力；能理解理论计算的概率与试验估算的频率的一致性，进一步完善随机观念。 （4）学生能通过解决摸球、掷骰子、抽卡片等生活和数学中的简单问题，感受公式计算的便捷性和实用性；能在解题过程中，养成先判断是否为等可能事件、再找准结果数、最后计算的严谨习惯；能体会数学理论的科学性，激发对概率知识的进一步探究兴趣。 三、学生学情分析 （一）已有知识基础 七年级学生在前两节中已掌握必然事件、不可能事件、随机事件的概念，知道随机事件的可能性有大小之分；已理解频率的稳定性规律，掌握用频率估计概率的方法，知道概率的取值范围为0≤P≤1，为本节课公式的推导和理解奠定了认知基础；已具备基本的枚举、列表能力，能列举出简单试验的所有可能结果，为找准 “结果总数” 和 “事件结果数” 奠定了方法基础；已具备熟练的分数化简、除法计算能力，能完成公式中的分数运算，为概率计算奠定了数学基础。 （二）认知发展特点 七年级学生的思维正从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡，对公式的推导需要依托具体的等可能实例，无法脱离情境进行纯理论推导；学生能快速记忆和运用公式，但对 “等可能事件的特征判断” 容易忽视，常直接套用公式计算非等可能事件的概率；学生好奇心强，对掷骰子、摸球、抽卡片等操作性强的问题具有较高的参与度，适合通过实例驱动、问题引导的方式学习；学生在列举试验结果时，容易出现重复或遗漏的问题，尤其是当结果数稍多时，缺乏有序列举的意识。 （三）潜在学习困难 特征判断失误：无法准确判断事件是否为等可能事件，忽略 “可能性相等” 的核心特征，如直接套用公式计算掷不均匀骰子、摸大小不同的球的概率。 结果数找不准：列举试验结果时无序，导致重复或遗漏，如掷骰子时误将 “点数 1” 和 “点数 6” 重复计算，或摸两枚球时遗漏部分组合。 公式理解偏差：混淆公式中的分子和分母，将 “事件 A 发生的结果数” 作为分母，“所有可能结果总数” 作为分子。 取值范围忽视：计算概率后，未检验结果是否在0≤P(A)≤1范围内，出现概率大于 1 或小于 0 的错误。 解题步骤不规范：直接写出计算结果，未先判断等可能事件、未列举结果数，缺乏严谨的解题过程。 四、教学策略分析 （一）教学方法 采用“实例驱动法 + 特征归纳法 + 公式推导法”为主，结合 “讲练结合法”“对比辨析法”“列举法” 开展教学。通过掷硬币、掷骰子、摸球等学生熟悉的实例驱动学习，让学生在具体情境中感知等可能事件的特征；通过对实例的分析、对比，归纳概括等可能事件的定义和古典概型的特征，突破特征判断的难点；通过频率的稳定性和等可能性特征，引导学生自主推导概率计算公式，理解公式的逻辑依据；通过讲练结合，让学生掌握公式的规范应用；通过对比辨析等可能与非等可能事件，强化特征判断；通过枚举、列表等列举法，引导学生有序找准试验结果数，避免重复或遗漏。 （二）学习方法指导 引导学生采用“实例感知法”“特征辨析法”“有序列举法”进行学习。通过 “观察实例 — 分析特征 — 归纳定义” 的实例感知法，理解等可能事件的本质；采用 “对比等可能与非等可能实例 — 辨析特征差异 — 总结判断方法” 的特征辨析法，提升等可能事件的判断能力；采用 “有序枚举 — 列表梳理 — 核对结果” 的有序列举法，找准所有可能结果总数和所求事件结果数，突破结果数找不准的难点；同时通过 “判断特征 — 列举结果 — 套用公式 — 规范计算” 的解题方法，掌握等可能事件概率的计算步骤。 （三）教学手段 借助多媒体课件、实物教具（均匀硬币、均匀骰子、不透明布袋、除颜色外完全相同的红 / 白 / 黄球、标有数字 / 字母的卡片）、学习任务单（含实例辨析表、公式推导题、解题步骤模板）等辅助教学。利用实物教具开展现场试验，让学生直观感知等可能事件的 “可能性相等” 特征；利用课件展示等可能与非等可能事件的对比实例，强化特征辨析；利用课件展示公式推导的过程，清晰呈现逻辑依据；利用学习任务单设计有序列举的练习，引导学生规范列举结果；利用课件展示典型例题和解题步骤模板，规范学生的解题过程；利用实物教具让学生动手操作，加深对知识的理解。五、教学过程分析 （一）情境引入 核心旧知回顾：以提问 + 口答 + 简单练习的形式梳理前两节核心知识，为新知铺垫： 1 概率的取值范围是多少？必然事件、不可能事件的概率分别是多少？（0≤P≤1，必然事件P=1，不可能事件P=0）； 2 我们之前是如何估计概率的？（大量重复试验，用频率的稳定值估计）； ③ 简单练习：掷均匀硬币 1000 次，正面朝上的频率稳定在 0.5 附近，说明正面朝上的概率是 0.5，这个试验的结果有什么特点？（结果只有 2 个，正面、反面发生的可能性相等）。 情境驱动，提出问题：课件展示 3 个等可能实例： 1 掷均匀骰子，点数 1-6 出现的可能性相等； 2 摸除颜色外完全相同的 3 红 1 白共 4 个球，每个球被摸到的可能性相等； ③ 抽标有 1-10 的 10 张相同卡片，每张卡片被抽到的可能性相等。提问：“这些试验的结果都具有‘结果有限、可能性相等’的特点，对于这类事件，我们能否不用大量试验，直接通过理论计算得出概率？” 揭示课题，明确目标：教师小结：“对于这类‘结果有限、可能性相等’的等可能事件，我们可以通过公式直接计算概率，今天我们就来学习《等可能事件的概率》第一课时，探究等可能事件的特征和概率计算公式。” 明确本节课的学习目标：理解等可能事件的特征，掌握概率计算公式，能运用公式计算简单等可能事件的概率。 设计意图：复习旧知既夯实了概率的基本认知和试验估算方法，又通过练习让学生初步感知等可能事件的特征，为新知学习做好铺垫；生活和数学中的等可能实例，让学生直观感受研究对象，提出的问题引发学生思考，激发探究兴趣；明确学习目标，让学生带着清晰的任务开展学习，提升学习针对性。 （二）主动参与、感悟新知 前面我们用事件发生的频率来估计该事件发生的概率，这种方法虽然具有普遍性，但需要进行大量的重复试验，而且得到的往往只是概率的估计值。那么，还有没有其他求概率的方法呢？ 思考·交流 1.一个袋中装有5个球，分别标有1，2，3，4，5这五个号码，这些球除号码外都相同，混合均匀后任意摸出一个球。 （1）会出现哪些可能的结果？ （2）每种结果出现的可能性相同吗？猜一猜它们的概率分别是多少。 2.前面我们提到的掷硬币、掷骰子和摸球的游戏有什么共同的特点？与同伴进行交流。 设计意图：培养学生准确表达自己的思维结果的能力，培养学生分析事情发生的可能性，体会事件发生的等可能性，使本节课顺利的进入到下一个环节。 设一个试验的所有可能结果有n个，每次试验有且只有其中的一个结果现。如果每个结果出现的可能性相同，那么我们就称这个试验的结果是等可能的。 尝试·思考 在上面“思考·交流”中，你认为“摸出的球的号码不超过3”这个事件的概率是多少?你是怎样想的? 明确从袋子中任意摸出一个球，所有可能的结果有5种：摸出的球的号码分别是1，2，3，4，5。因为这些球除号码外都相同，所以每种结果出现的可能性相同。 “摸出的球的号码不超过3”这个事件包含其中的3种结果：摸出的球的号码分别是1，2，3。所以 P(摸出的球的号码不超过3)=。 一般的，可以得出以下结论： 如果一个试验有n种等可能的结果，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为 P(A)=。从而明确简单随机事件(古典概型)概率的计算方法。 例1： 任意掷一枚质地均匀的骰子。 （1）掷出的点数大于4的概率是多少？ （2）掷出的点数是偶数的概率是多少？ 解：任意掷一枚质地均匀的骰子，所有可能的结果有6种：掷出的点数分别是1，2，3，4，5，6。因为骰子是质地均匀的，所以每种结果出现的可能性相同。 掷出的点数大于4的结果只有2种：掷出的点数分别是5，6。所以 P(掷出的点数大于4)=。 掷出的点数是偶数的结果有3种：掷出的点数分别是2，4，6。所以 P(掷出的点数是偶数)=。 例2：为了培养学生的科技创新能力，某校开展了“科技创新展”活动。下表是某班级根据同学们上交的各类作品（每人只交一个作品）绘制的统计表。 请根据上表提供的信息，回答下列问题： 如果从这个班的所有作品中，随机选择一个作品进行点评，那么正好选中“小发明”的概率是多少？ （2）如果准备在“小发明”和“小制作”的作者中随机选择一名作为本班作品的“解说员”，求正好选中“小发明”的作者的概率是多少？ 解：（1）由表格可得，数量总个数为14+10+18+8=50。 因为“小发明”的数量有10个， 所以如果从这个班的所有作品中，随机选择一个作品进行点评，那么正好选中“小发明”的概率是。 （2）由题可得，“小发明”的数量有10个，“小制作”的数量有14个，这两种作品的作者一共有10+14=24（名)， 所以正好选中“小发明”的作者的概率为。 （三）课堂总结 （1）知识梳理：师生共同以思维导图的形式梳理本节课的核心知识：等可能事件的概率（第一课时）→等可能事件：定义（结果有限、可能性相等）、判断方法（先看结果数，再看可能性）→核心公式：P(A)=（m：事件 A 结果数，n：所有结果总数，适用前提：等可能事件）→取值范围：0≤P(A)≤1→解题步骤：判→列→找→算→答→关键方法：有序列举法（枚举、列表）。 （2）方法与思想总结：总结本节课的核心学习方法和数学思想： 学习方法：实例感知法（等可能事件定义）、特征辨析法（等可能与非等可能判断）、有序列举法（找n和m）、公式应用法（概率计算）； 数学思想：分类讨论思想（有序列举结果）、数形结合思想（列举结果时用列表 / 枚举）、化归思想（将概率计算转化为结果数的除法运算）、严谨推理思想（先判断再计算）。 （3）认知升级升华：教师强调：本节课我们实现了概率知识从“试验估算”到“理论计算”的重要认知升级，核心是掌握了等可能事件的概率计算公式，其本质是 “等可能性下，概率与结果数的比值成正比”。同时要注意，公式的应用前提是事件为等可能事件，解题的关键是有序找准结果数，这是我们后续学习更复杂等可能事件概率的基础。 （4）学习延伸：提问：“今天我们学习的是摸一个球、抽一张卡片的简单等可能事件，若我们摸两个球、抽两张卡片，该如何计算概率呢？” 为下一节课学习稍复杂的等可能事件概率（不放回、组合类）埋下伏笔。 设计意图：思维导图梳理知识，让学生形成完整的等可能事件概率认知体系，厘清定义、特征、公式、解题步骤之间的内在联系；方法与思想总结让学生提炼本节课的核心学习方法和数学思想，提升自主学习能力和数学素养；认知升级升华帮助学生把握本节课的核心价值，实现概率认知的进阶；学习延伸激发学生的探究兴趣，为后续更复杂的概率计算学习做好铺垫。 （四）布置作业、巩固提高 1.甲、乙、丙、丁四名选手参加100米决赛,赛场只设1,2,3,4四个跑道,选手以随机抽签的方式决定各自的跑道,若甲首先抽签,则甲抽到1号跑道的概率是 (　D　) A.1 B. C. D. 2.一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都随机选择一条路径，则它获得食物的概率是（　C　） A. B. C. D. 3.我市将面向全市中小学开展“经典诵读”比赛。某中学要从2名男生、2名女生共4名学生中选派2名学生参赛。 （1）请列举所有可能出现的选派结果； （2）求选派的2名学生中，恰好为1名男生、1名女生的概率。 解：（1）记两名男生为M1，M2，两名女生为F1，F2。 所有可能出现的选派结果有：M1，M2；M1，F1；M1，F2；M2，F1；M2，F2；F1，F2。 （2）P（选派的2名学生中，恰好为1名男生、1名女生）= = 。 4.“草莓音乐节”组委会设置了甲、乙、丙三类门票，七（2）班购买了甲票4张，乙票16张，丙票20张，这些票除票面内容不同外其他都相同，该班小尹同学从中随机抽取一张。 （1）小尹同学抽到甲票的概率是多少？ （2）小尹同学抽到甲票或乙票的概率是多少？ 解：（1）因为小尹同学从中随机抽取一张共有4+16+20=40（种）等可能的结果， 所以P(小尹同学抽到甲票的概率）=。 （2）因为小尹同学从中随机抽取一张共有4+16+20=40（种）等可能的结果，其中小尹同学抽到甲票或乙票的结果有4+16=20（种）， 所以P(小尹同学抽到甲票或乙票的概率）=。 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $