5.2简单的轴对称图形寒假预习讲义（7知识点+11大题型+过关检测） 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

5.2简单的轴对称图形寒假预习讲义 （7知识点+11大题型+过关检测） 模块一 题型先知导航 【题型1 等边对等角】 5 【题型2 三线合一】 7 【题型3 线段垂直平分线的性质】 9 【题型4 线段垂直平分线的判定】 12 【题型5 作已知线段的垂直平分线】 15 【题型6 角平分线的性质定理】 18 【题型7 作角平分线（尺规作图）】 21 【题型8 最短路径问题】 24 【题型9 线段问题】 26 【题型10 面积问题】 30 【题型11 角度问题】 33 · 能准确识别轴对称图形与两个图形成轴对称，明确二者的区别与联系，能找出常见简单轴对称图形的对称轴，理解对称轴的定义与特征（直线，而非线段、射线）。 · 掌握轴对称的基本性质，知道成轴对称的两个图形中，对应点所连线段被对称轴垂直平分、对应线段相等、对应角相等，能结合简单图形理解性质的含义。 · 认识线段、角、等腰三角形这三种核心简单轴对称图形，牢记它们的轴对称特征及核心性质，能结合图形说出关键结论。 · 初步掌握尺规作图的基本方法，能尝试作出一条线段的垂直平分线、一个角的平分线，记住作图的基本步骤和注意事项。 模块三 知识点梳理 知识点一、等腰三角形的定义 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如图1所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 特别说明：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）. ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ . 知识点二、等腰三角形的性质 1. 等腰三角形的性质 性质1:等腰三角形的两底角相等(简称“等边对等角”) 性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）． 2.等腰三角形的性质的作用 性质1在同一个三角形中，把边的问题转化为角的问题，证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据． 性质2“三线合一”是解决角、线段相等的重要知识点，是用来证明线段相等、角相等、垂直关系重要依据。 3.等腰三角形是轴对称图形 等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．通过此内容可以更好理解对称轴是轴对称图形对应点连线的垂直平分线。 特殊情况：等边三角形（特殊的等腰三角形） （1）定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形； （2）轴对称性：等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴，每条对称轴都是顶角平分线（底边中线、底边高线）所在的直线； （3）性质：三个角都相等，每个角都是60°，满足“三线合一”（三条顶角平分线、三条底边中线、三条底边高线分别重合）。 知识点三、等腰三角形的判定 判定1、如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）. 判定2、如果一个三角形的一个顶角的外角等于另一个内角2倍，则这个三角形为等腰三角形。 图3 特别说明：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理. 知识点四、线段垂直平分线定理 线段的垂直平分线的性质定理:线段的垂直平分线上的到这条线段两个端点的距离相等。 ①如图，直线l垂直平分线段AB，P1、P2、P3是l上的点.试说明P1A= P1B. 证明：∵l⊥AB，∴∠P1CA=∠P1CB. 又CA=CB，P1C= P1C， ∴△P1CA≌△P1CB (SAS). ∴P1A= P1B. 几何语言叙述： ∵直线l垂直平分AB，P是直线l上任意一点; ∴PA=PB. 线段垂直平分线判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 如图，在△PAB中，如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上？请证明这个结论？ 点P在线段AB的垂直平分线上 证明：作PC⊥AB，垂足为C，则∠ACP=∠BCP=90°，在Rt△PAC和Rt△PBC中，PA=PB，PC=PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL).∴AC=BC.∴PC是AB的垂直平分线，即点P在线段AB的垂直平分线上. 线段垂直平分线性质的逆定理： 几何语言叙述： ∵PA=PB; ∴P点在AB的垂直平分线上. 知识点五、角的平分线的性质 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 特别说明 用符号语言表示角的平分线的性质定理： 若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF. 知识点六、角的平分线的判定 角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 特别说明 用符号语言表示角的平分线的判定： 若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB 知识点七、角的平分线的尺规作图 角平分线的尺规作图 （1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E. 　　（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C. 　　（3）画射线OC. 射线OC即为所求. 易错点汇总 1. 混淆“线段”与“直线”：对称轴是直线（如角的对称轴是角平分线所在直线，不是角平分线），线段的垂直平分线是直线，不是线段。 2. 等腰三角形“三线合一”的误区：只有“顶角平分线、底边中线、底边高线”才重合，腰上的中线和高线不重合；且前提是“等腰三角形”，普通三角形没有此性质。 3. 等边三角形的对称轴数量：3条，不是1条；等腰三角形（非等边）只有1条对称轴。 4. 线段的对称轴：2条（垂直平分线+自身所在直线），容易遗漏其中1条。 5. 性质的反向运用：角平分线、线段垂直平分线的性质，反过来也成立，可用于判断点的位置。 模块四 题型汇总 【题型1 等边对等角】 【典例1】．如图，在中，是的中线，点为AC上一点，且，连接，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】．如图，中，为内一点，过点的直线分别交、于点、．若点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】．如图，中，，，点在边上，的周长为13，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型2 三线合一】 【典例2】．等腰三角形的“三线合一”性质中的三线指顶角的平分线、底边上的高和 ； 【变式2-1】．在中，，为边上的中线，为边上的高，，相交于点．若，，则的面积是 ．    【变式2-2】．已知，如图，，，，．求证：． 【题型3 线段垂直平分线的性质】 【典例3】．如图，作边的垂直平分线，交于D点，交于E点，连接，若，，则的周长是（   ） A．10 B．11 C．14 D．22 【变式3-1】．如图，在中，边的垂直平分线分别交、于点、，，的周长为，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】．如图，在等腰直角三角形中，，D为的中点，，垂足为E，过点B作交的延长线于点G，连接，交于点F． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接，判断的形状，并说明理由． 【题型4 线段垂直平分线的判定】 【典例4】．如图，是的角平分线，，垂足分别是E，F，连接与相交于点G． (1)求证：是的垂直平分线； (2)若的面积为8，，求的长． 【变式4-1】．如图，为的角平分线，点、分别在、上，且，连接交于点．求证：垂直平分． 【变式4-2】．如图，是的角平分线，，，垂足分别是，，连接，与相交于点．求证：是的垂直平分线． 【题型5 作已知线段的垂直平分线】 【典例5】．如图，，，三点均为方格图中的格点．按下述要求画图并回答问题． (1)①过点画出线段的垂线，垂足为； ②画出线段的垂直平分线． (2)在（1）的条件下，点到直线的距离是线段________的长度，点到直线的距离是线段________的长度． 【变式5-1】．尺规作图，保留作图痕迹，不写作法． (1)在平面内求作一点，使得点到三个顶点、、的距离相等；    (2)作的平分线．    【变式5-2】．如图，某公园内有两条小路、，摩天轮、碰碰车分别位于、两处，现计划在公园内修建一个游客休息区，使得游客休息区到小路的距离与游客休息区到小路的距离相等，且，请运用尺规作图法在图中确定游客休息区的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 【题型6 角平分线的性质定理】 【典例6】．如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别与轴的正半轴和轴的负半轴交于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，则的值是（   ） A． B． C． D．4 【变式6-1】．如图，点是的平分线上一点，于点，点是线段上一点．已知，，点为上一点且满足，则的长度为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式6-2】．根据“角平分线上的点到这个角 ”来观察下图：已知是的平分线，P是上的一点，且垂足分别为E，F，那么 = ．这是根据“ ”可得而得到的． 【题型7 作角平分线（尺规作图）】 【典例7】．如图，在中，，，请用尺规作图法在内部求作一点，使得，．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式7-1】．在中，， (1)如图1，作的角平分线，在上确定点M，使得；（不写步骤，保留作图痕迹） (2)如图2，在（1）的条件上，若，，，求．（要求：用含有x，y的式子表示） 【变式7-2】．如图，已知和． (1)尺规作图：在的外部作（不写作法，保留作图痕迹）； (2)画图与计算：在（1）的基础上，画出的平分线，当，时，求和的度数． 【题型8 最短路径问题】 【典例8】．某区计划在公路旁修建一个核酸采集点，现有如下四种方案，则核酸采集点到两个小区之间的距离之和最短的是（ ） A． B． C． D． 【变式8-1】．如图，在正方形网格中，点，为格点，点为直线上的动点，则使的值为最小的点是（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，有一个以格点为顶点的． (1)作关于直线对称的图形． (2)的面积为______； (3)在上画出点Q，使得的值最小． 【题型9 线段问题】 【典例9】．如图为某工厂厂区示意图，办公大楼在工厂主干道上，车间，与办公大楼的距离皆为，且，．在主干道上选址仓库，从仓库到车间，修建厂区支路，，使得支路总长最短，测得仓库与办公大楼距离为．已修建的支路长为，还需修建的支路的长度用代数式可以表示为 ． 【变式9-1】．如图是某果树树苗基地的平面示意图，，分别是桃树苗、杏树苗，中间为笔直的小路，为工具室，为笔直的水渠，灌溉沟． (1)在水渠上找一点，使从杏树苗到水渠，然后从水渠到工具室行走的总路程最短，在图中找出点 ，并画出行走路线（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）； (2)现要在小路上修建一处诱虫处（点），要求诱虫处点到，的距离都相等，请确定点 的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）． 【变式9-2】．综合与实践 问题情境 如图1，在太空探索中，宇航员需要从空间站A出发，先到陨石带边缘收集样本，再到能源站补充燃料，最后返回空间站B．为了提高效率，宇航员需要设计一条最短路径． 问题解决 数学建模：如图2，若只需在能源站补充燃料，可作B关于能源站直线l的对称点，连接，与直线的交点即为最优燃料点，此时路径最短． 推理论证：如图3，在直线上另取任意一点，连接，，，只要说明即可． 证明：直线是点，的对称轴，点，在上， ， ， ． 在中，， ，即最小． (1)本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的A，B转化为在直线的两侧，从而利用“两点之间线段最短”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决．请补全上述推理论证； (2)请你根据以上材料内容，帮助宇航员在图1中画出最短路径； (3)如图4，在中，，．若点在上移动，点在上移动，如何确定的最小值？ 【题型10 面积问题】 【典例10】．如图，已知，点P在内部，点与点P关于对称，点与点P关于对称，连接，分别交，于点E，F，连接，．若，，则的面积为 ．(用含a，b的代数式表示) 【变式10-1】．如图，在下列正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，，，，四个点都在格点（小正方形的顶点）上，画出四边形关于直线对称的四边形，并求出四边形的面积． 【变式10-2】．如图，在中，，，点A关于的对称点为，点B关于的对称点为，点C关于的对称点为． (1)在图中画出； (2)若的面积为，则的面积是______． 【题型11 角度问题】 【典例11】．如图，点P为内一点，分别作出点P关于、的对称点、，连接交于M，交于N．若，则 ． 【变式11-1】．如图，在中，，为边上一动点，于点，于点，则关于与之间的大小关系的描述，正确的为（    ） A．恒成立 B．当时， C．恒成立 D．当时， 【变式11-2】．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在小正方形网格的格点上． (1)画出关于轴的对称图形（点、、的对应点分别为，，）； (2)画，点在第二象限内的格点上，且，画出所有符合条件的图形，并写出点的坐标． 模块五 过关检测 1．如图，中，以为圆心，任意长为半径作弧，分别交延长线，于点，，再分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．考古队员在清理遗址时，发现一块带有破损角的石碑．为了复原这个角的平分线，他们在角的两边上量出，再用带有刻度的工具，使工具两边相同的刻度分别对准两点（即，然后过工具顶点画出射线，这条射线就是的平分线．这种做法的依据是（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知，以点O 为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点 D，交于点 E；分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点 F；作射线．则射线为平分线的依据是（   ） A． B． C． D． 4．观察下列尺规作图的痕迹，能够说明的是（   ） A．②③ B．③④ C．①③ D．①④ 5．如图，点P，Q在直线l的同一侧，现需在l上找一点M，使得的和最小，下列做法正确的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，从地到地有四条路线，其中最短的路线是（ ） A． B． C． D． 7．如图，，，，点D是平面内一点，且满足，则的最小值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 8．为了促进A，B两小区居民的阅读交流，区政府准备在街道l上设立一个读书亭C，使其分别到A，B两小区的距离之和最小，则下列作法正确的是（   ） A． B． C． D． 9．如图，在坐标系中，，在轴上找一点，使为等腰三角形，则这样的点共有 个． 10．某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示的作图痕迹如下，其中，射线为的平分线的有 ． 11．如图，在中，，如果点分别为上的动点，那么的最小值是 ． 12．如图，、、是一条公路上的三个村庄，、间的路程为，、间的路程为、现要在之间建一个车站，若要使车站到三个村庄的路程之和最小，则车站应建在 ． 13．如图，已知的周长是24，分别平分和，于点D，且，则的面积是 ． 14．如图所示的尺规作图是：分别以线段的端点为圆心，以小于长为半径画弧，分别交射线和线段于点C、D、E，再以点E为圆心．以长为半径画弧．交前面的弧于点F、画射线，分别以点E，F为圆心，以大于 长为半径画弧，两弧交于点C．画射线．若则 的度数为 15．如图所示的是某公园的部分路线示意图，则路线①和路线②相比，路程更短的路线是 （填序号）． 16．如图，在平面直角坐标系中，的顶点． (1)在图中画出关于轴对称的； (2)直接写出的面积是___________； (3)在轴上找一点，连接使最小，请在图中标出点位置． 17．如图，．点为内部一点．平分平分． (1)当时．依题意补全图形．并求的度数； (2)当时，直接用含的代数式表示的度数． 18．如图，在由长度均为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点，，均在小正方形的顶点上（保留画图痕迹，不写画法）． (1)在图中画出与关于直线成轴对称的； (2)的面积为____________； (3)在直线上找一点，使得的值最小； (4)在直线上找一点，使得的值最大． 19．如图，与中，，、分别是的角平分线． (1)请你在原图中作出两个三角形的角平分线和(要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法与证明)； (2)若请你证明． 20．如图，，D为上一点，与的延长线交于点E，． (1)作图：作的平分线交于点F，连接（用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，求证． 21．如图1，在平面上取一点称为极点，从点引一条射线称为极轴．将绕点逆时针旋转得到，叫作射线的极角． (1)如图2，射线、的极角分别记为、，且，，．是（小于平角）的角平分线，射线的极角记为， ①若，，则________； ②若，，则________； ③请运用特殊到一般的数学思想和归纳法猜想、、的等量关系，并说明理由； (2)如图3，射线、、的极角分别为、、（、为常数），请用无刻度的直尺和圆规在图3中作出极角为的射线和的角平分线．（不写作法，保留作图痕迹） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.2简单的轴对称图形寒假预习讲义 （7知识点+11大题型+过关检测） 模块一 题型先知导航 【题型1 等边对等角】 5 【题型2 三线合一】 7 【题型3 线段垂直平分线的性质】 9 【题型4 线段垂直平分线的判定】 12 【题型5 作已知线段的垂直平分线】 15 【题型6 角平分线的性质定理】 18 【题型7 作角平分线（尺规作图）】 21 【题型8 最短路径问题】 24 【题型9 线段问题】 26 【题型10 面积问题】 30 【题型11 角度问题】 33 · 能准确识别轴对称图形与两个图形成轴对称，明确二者的区别与联系，能找出常见简单轴对称图形的对称轴，理解对称轴的定义与特征（直线，而非线段、射线）。 · 掌握轴对称的基本性质，知道成轴对称的两个图形中，对应点所连线段被对称轴垂直平分、对应线段相等、对应角相等，能结合简单图形理解性质的含义。 · 认识线段、角、等腰三角形这三种核心简单轴对称图形，牢记它们的轴对称特征及核心性质，能结合图形说出关键结论。 · 初步掌握尺规作图的基本方法，能尝试作出一条线段的垂直平分线、一个角的平分线，记住作图的基本步骤和注意事项。 模块三 知识点梳理 知识点一、等腰三角形的定义 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如图1所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 特别说明：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）. ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ . 知识点二、等腰三角形的性质 1. 等腰三角形的性质 性质1:等腰三角形的两底角相等(简称“等边对等角”) 性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）． 2.等腰三角形的性质的作用 性质1在同一个三角形中，把边的问题转化为角的问题，证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据． 性质2“三线合一”是解决角、线段相等的重要知识点，是用来证明线段相等、角相等、垂直关系重要依据。 3.等腰三角形是轴对称图形 等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．通过此内容可以更好理解对称轴是轴对称图形对应点连线的垂直平分线。 特殊情况：等边三角形（特殊的等腰三角形） （1）定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形； （2）轴对称性：等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴，每条对称轴都是顶角平分线（底边中线、底边高线）所在的直线； （3）性质：三个角都相等，每个角都是60°，满足“三线合一”（三条顶角平分线、三条底边中线、三条底边高线分别重合）。 知识点三、等腰三角形的判定 判定1、如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）. 判定2、如果一个三角形的一个顶角的外角等于另一个内角2倍，则这个三角形为等腰三角形。 图3 特别说明：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理. 知识点四、线段垂直平分线定理 线段的垂直平分线的性质定理:线段的垂直平分线上的到这条线段两个端点的距离相等。 ①如图，直线l垂直平分线段AB，P1、P2、P3是l上的点.试说明P1A= P1B. 证明：∵l⊥AB，∴∠P1CA=∠P1CB. 又CA=CB，P1C= P1C， ∴△P1CA≌△P1CB (SAS). ∴P1A= P1B. 几何语言叙述： ∵直线l垂直平分AB，P是直线l上任意一点; ∴PA=PB. 线段垂直平分线判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 如图，在△PAB中，如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上？请证明这个结论？ 点P在线段AB的垂直平分线上 证明：作PC⊥AB，垂足为C，则∠ACP=∠BCP=90°，在Rt△PAC和Rt△PBC中，PA=PB，PC=PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL).∴AC=BC.∴PC是AB的垂直平分线，即点P在线段AB的垂直平分线上. 线段垂直平分线性质的逆定理： 几何语言叙述： ∵PA=PB; ∴P点在AB的垂直平分线上. 知识点五、角的平分线的性质 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 特别说明 用符号语言表示角的平分线的性质定理： 若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF. 知识点六、角的平分线的判定 角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 特别说明 用符号语言表示角的平分线的判定： 若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB 知识点七、角的平分线的尺规作图 角平分线的尺规作图 （1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E. 　　（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C. 　　（3）画射线OC. 射线OC即为所求. 易错点汇总 1. 混淆“线段”与“直线”：对称轴是直线（如角的对称轴是角平分线所在直线，不是角平分线），线段的垂直平分线是直线，不是线段。 2. 等腰三角形“三线合一”的误区：只有“顶角平分线、底边中线、底边高线”才重合，腰上的中线和高线不重合；且前提是“等腰三角形”，普通三角形没有此性质。 3. 等边三角形的对称轴数量：3条，不是1条；等腰三角形（非等边）只有1条对称轴。 4. 线段的对称轴：2条（垂直平分线+自身所在直线），容易遗漏其中1条。 5. 性质的反向运用：角平分线、线段垂直平分线的性质，反过来也成立，可用于判断点的位置。 模块四 题型汇总 【题型1 等边对等角】 【典例1】．如图，在中，是的中线，点为AC上一点，且，连接，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理． 利用等腰三角形的三线合一性质可得：，，再利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得：． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ， ， ， ， ． 故选：B． 【变式1-1】．如图，中，为内一点，过点的直线分别交、于点、．若点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质和三角形内角和定理．利用数形结合的思想是解题关键；由线段垂直平分线的性质可知，再根据平角和三角形内角和定理计算即可得出答案． 【详解】解：∵点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C ． 【变式1-2】．如图，中，，，点在边上，的周长为13，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质．根据题意可得，从而得到，即可解答． 【详解】解：∵，，点在边上，的周长为13， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故C选项正确； 根据题干无法得到的大小关系，故A，B选项错误； 且题干中没有给出的大小，故D选项错误； 故选：C 【题型2 三线合一】 【典例2】．等腰三角形的“三线合一”性质中的三线指顶角的平分线、底边上的高和 ； 【答案】底边上的中线 【分析】本题主要考查的是等腰三角形的性质，根据等腰三角形的“三线合一”是指顶角平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合，据此进行分析即可得出结果． 【详解】解：等腰三角形的“三线合一”性质中的三线是指顶角平分线，底边上的高，底边上的中线， 故答案为：底边上的中线． 【变式2-1】．在中，，为边上的中线，为边上的高，，相交于点．若，，则的面积是 ．    【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形全等的性质和判定．证明，得，根据三角形面积公式可解答． 【详解】解：为边上的高， ， ， ，为边上的中线， ，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 的面积． 故答案为：． 【变式2-2】．已知，如图，，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定及性质，解题的关键是熟练掌握相关判定及性质．由已知证明，得到，又因为，即为的角平分线，利用等腰三角形的三线合一即可得证． 【详解】证明：在与中， ， ， ， 是等腰三角形， ，即为的角平分线， ． 【题型3 线段垂直平分线的性质】 【典例3】．如图，作边的垂直平分线，交于D点，交于E点，连接，若，，则的周长是（   ） A．10 B．11 C．14 D．22 【答案】C 【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得，进而可得的周长；本题考查了垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴的周长． 故选：C． 【变式3-1】．如图，在中，边的垂直平分线分别交、于点、，，的周长为，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键； 根据线段的垂直平分线的性质得到，再根据三角形的周长公式计算，即可得到答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ‘∴， ∵的周长为， ∴， 即， ∵ ∴的周长为， 故选：C． 【变式3-2】．如图，在等腰直角三角形中，，D为的中点，，垂足为E，过点B作交的延长线于点G，连接，交于点F． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)为等腰三角形，见解析 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握运用这些知识点是解题关键． （1）根据题意得出，再由全等三角形的判定得出即可； （2）根据，得出，证明，得出，根据，即可证明结论； （3）根据，得出，根据等腰三角形的性质得出， 即可证明结论． 【详解】（1）证：三角形为等腰直角三角形， ，， ， ， ∴， ， ∴， 在和中 ， ； （2）证明：， ， D为的中点， ， 在和中 ， ， ∴， ∴， ， ； （3）解：为等腰三角形，理由如下： ∵， ， ∵，， 垂直平分， ∴， 为等腰三角形． 【题型4 线段垂直平分线的判定】 【典例4】．如图，是的角平分线，，垂足分别是E，F，连接与相交于点G． (1)求证：是的垂直平分线； (2)若的面积为8，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)5 【分析】（1）由角平分线的性质得到，再证， 得，然后由等腰三角形的性质即可得出结论； （2）由列式计算即可． 本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线，， ∴， 在和中， ∴， ∴， 又∵是的角平分线， ∴是的垂直平分线； （2）∵， ∴， ∴ ∴， 解得：， 即的长为5． 【变式4-1】．如图，为的角平分线，点、分别在、上，且，连接交于点．求证：垂直平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质，由角平分线的定义可得，再证明得出，，即可得证，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】证明：是的角平分线， ． 在和中， ， ∴， ∴，， 点、都在的垂直平分线上， 垂直平分． 【变式4-2】．如图，是的角平分线，，，垂足分别是，，连接，与相交于点．求证：是的垂直平分线． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的判定．根据角平分线的性质可得，可证明，推出，据此即可证明是的垂直平分线． 【详解】证明：是的角平分线，，， ， 在和中，， ， ， ∵， ∴是的垂直平分线． 【题型5 作已知线段的垂直平分线】 【典例5】．如图，，，三点均为方格图中的格点．按下述要求画图并回答问题． (1)①过点画出线段的垂线，垂足为； ②画出线段的垂直平分线． (2)在（1）的条件下，点到直线的距离是线段________的长度，点到直线的距离是线段________的长度． 【答案】(1)①见解析；②见解析； (2)， 【分析】本题考查了点到直线的距离，线段垂直平分线的性质，画垂线，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①结合网格特征，过点作线段的垂线，即可作答． ②结合网格特征，过线段的中点，作线段的垂线，即可作答． （2）点到直线的距离即为该点到直线的垂线段长度，据此即可作答． 【详解】（1）解：如图所示： ①是线段的垂线，②是线段的垂直平分线； （2）解：点到直线的距离是线段的长度，点到直线的距离是线段的长度， 故答案为：，． 【变式5-1】．尺规作图，保留作图痕迹，不写作法． (1)在平面内求作一点，使得点到三个顶点、、的距离相等；    (2)作的平分线．    【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查作线段的垂直平分线，作角平分线，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线和角平分线的作法是解题的关键． （1）分别以点、为圆心，大于为半径作弧，交于点、，作直线；分别以点、为圆心，大于为半径作弧，交于点、，作直线，交于点，此时为线段的垂直平分线，为线段的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可得交点到三个顶点的距离相等； （2）以点为圆心，任意长为半径作弧，交于点，交于点，分别以点、为圆心，大于为半径作弧，交于点，作射线，交于点，即为所求． 【详解】（1）解：如图，点即为所求：    （2）解：如图，即为所求：    【变式5-2】．如图，某公园内有两条小路、，摩天轮、碰碰车分别位于、两处，现计划在公园内修建一个游客休息区，使得游客休息区到小路的距离与游客休息区到小路的距离相等，且，请运用尺规作图法在图中确定游客休息区的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，作角平分线，作垂线等知识．依题意，为的角平分线与线段垂直平分线的交点，进而作图即可． 【详解】解：如图，点即为所作： 【题型6 角平分线的性质定理】 【典例6】．如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别与轴的正半轴和轴的负半轴交于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，则的值是（   ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，角平分线作图，熟知第四象限平分线上点的坐标特征是解题的关键．根据题意，得出点在第四象限的平分线上，再结合第四象限平分线上点的坐标特征即可解决问题． 【详解】解：由题知， 点在第四象限的平分线上． 因为第四象限的平分线上点的横纵坐标互为相反数， 所以， 解得． 故选：． 【变式6-1】．如图，点是的平分线上一点，于点，点是线段上一点．已知，，点为上一点且满足，则的长度为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，过点作于，然后证明，则，再分当点在线段上时，当点在线段的延长线上时两种情况讨论可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 当点在线段上时，如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 当点在线段的延长线上时，如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 综上可得：的长为或， 故选：D． 【变式6-2】．根据“角平分线上的点到这个角 ”来观察下图：已知是的平分线，P是上的一点，且垂足分别为E，F，那么 = ．这是根据“ ”可得而得到的． 【答案】 两边的距离相等 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键．根据题意可得角平分线上的点到这个角两边的距离相等；先根据是的平分线得出,再由，得，又因为,证明，故． 【详解】解：根据题意可得角平分线上的点到这个角两边的距离相等； ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， 又∵, ∴， 故． 故答案为：两边的距离相等，，，． 【题型7 作角平分线（尺规作图）】 【典例7】．如图，在中，，，请用尺规作图法在内部求作一点，使得，．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】此题考查了角平分线和角的作图．作的角平分线，在上方作，所作的两条射线交点即为点． 【详解】解：如图，点即为所求， 【变式7-1】．在中，， (1)如图1，作的角平分线，在上确定点M，使得；（不写步骤，保留作图痕迹） (2)如图2，在（1）的条件上，若，，，求．（要求：用含有x，y的式子表示） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，矩形的判定，正方形的判定，全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）作平分，作线段的垂直平分线交于点M，点M即为所求； （2）如图，过点M作交的延长线于点P，于点Q，连接，．证明四边形是正方形，求出可得结论． 【详解】（1）解：如图1中，射线，点M即为所求； （2）解：如图，过点M作交的延长线于点P，于点Q，连接． ∵平分， ∴， ∵点M在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式7-2】．如图，已知和． (1)尺规作图：在的外部作（不写作法，保留作图痕迹）； (2)画图与计算：在（1）的基础上，画出的平分线，当，时，求和的度数． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查作图—复杂作图、角平分线的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据作一个角等于已知角的方法作图即可． （2）由题意得，由角平分线的定义得，进而可求出的度数． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，平分， 由（1）可知， 由图可知，， 平分，， ． 故答案为：，． 【题型8 最短路径问题】 【典例8】．某区计划在公路旁修建一个核酸采集点，现有如下四种方案，则核酸采集点到两个小区之间的距离之和最短的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最短路径的数学问题，熟练掌握两点之间，线段最短是解题的关键． 用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线转化为两点之间的距离． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于，根据两点之间线段最短，可知选项B中的核酸采集点到两个小区之间的距离之和最短， 故选：B． 【变式8-1】．如图，在正方形网格中，点，为格点，点为直线上的动点，则使的值为最小的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了作轴对称图形，轴对称最短线段问题，掌握轴对称图形的性质是解题的关键． 根据轴对称图形的性质作点A关于直线l的对称点；连接，与直线l相交于点，即为所求； 【详解】解：如图所示：作点A关于直线l的对称点；连接，与直线l相交于点，点即为所求； 故选：B． 【变式8-2】．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，有一个以格点为顶点的． (1)作关于直线对称的图形． (2)的面积为______； (3)在上画出点Q，使得的值最小． 【答案】(1)见解析 (2)6.5 (3)见解析 【分析】本题考查作图-轴对称变换，三角形的面积公式，最短路径问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）分别作出，，的对应点即可； （2）利用割补法求三角形面积即可； （3）连接交直线于点，连接，点即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：的面积为； 故答案为：6.5； （3）解：如图，点Q即为所求． 【题型9 线段问题】 【典例9】．如图为某工厂厂区示意图，办公大楼在工厂主干道上，车间，与办公大楼的距离皆为，且，．在主干道上选址仓库，从仓库到车间，修建厂区支路，，使得支路总长最短，测得仓库与办公大楼距离为．已修建的支路长为，还需修建的支路的长度用代数式可以表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称的性质与最短路径问题，解题关键是利用轴对称将线段和转化为两点之间线段，结合等边三角形判定求总长，再作差得长度． 作点关于的对称点，连接，则（最短路径），由角度计算得，结合，判定为等边三角形，得．由，得． 【详解】解：作点C关于直线的对称点连接，交于点D， 此时，，根据两点之间线段最短，即为所求的仓库位置． 由对称性，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵，且， ∴， 故答案为：． 【变式9-1】．如图是某果树树苗基地的平面示意图，，分别是桃树苗、杏树苗，中间为笔直的小路，为工具室，为笔直的水渠，灌溉沟． (1)在水渠上找一点，使从杏树苗到水渠，然后从水渠到工具室行走的总路程最短，在图中找出点 ，并画出行走路线（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）； (2)现要在小路上修建一处诱虫处（点），要求诱虫处点到，的距离都相等，请确定点 的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了轴对称的性质，作线段的垂直平分线，线段的垂直平分线的性质． （1）根据题意作关于的对称点，连接交于点，连接，则即为所求 （2）根据题意连接，作的垂直平分线，即可求解． 【详解】（1）解：如图点，即为所求； （2）解：如图，点即为所求． 【变式9-2】．综合与实践 问题情境 如图1，在太空探索中，宇航员需要从空间站A出发，先到陨石带边缘收集样本，再到能源站补充燃料，最后返回空间站B．为了提高效率，宇航员需要设计一条最短路径． 问题解决 数学建模：如图2，若只需在能源站补充燃料，可作B关于能源站直线l的对称点，连接，与直线的交点即为最优燃料点，此时路径最短． 推理论证：如图3，在直线上另取任意一点，连接，，，只要说明即可． 证明：直线是点，的对称轴，点，在上， ， ， ． 在中，， ，即最小． (1)本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的A，B转化为在直线的两侧，从而利用“两点之间线段最短”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决．请补全上述推理论证； (2)请你根据以上材料内容，帮助宇航员在图1中画出最短路径； (3)如图4，在中，，．若点在上移动，点在上移动，如何确定的最小值？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了轴对称的性质以及三角形三边关系．通过作对称点，将同侧点转化为异侧，利用两点之间线段最短和三角形三边关系是解题的关键． （1）利用轴对称性质，得到对称点到对称轴上点的距离相等，将转化为，再结合三角形三边关系，证明该线段长度为最小值； （2）通过作两点关于两直线的对称点，将折线转化为连接两对对称点的线段，利用“两点之间线段最短”确定最短路径即可； （3）过点作的垂线，垂足为点，交于点，此时的最小值为的长． 【详解】（1）证明：直线是点，的对称轴，点，在上， ，， ． 在中，， ，即最小． 故答案为：，，，； （2）解：如图，即为最短路径； （3）解：过点作的垂线，垂足为点，交于点，此时的最小值为的长． 【题型10 面积问题】 【典例10】．如图，已知，点P在内部，点与点P关于对称，点与点P关于对称，连接，分别交，于点E，F，连接，．若，，则的面积为 ．(用含a，b的代数式表示) 【答案】 【分析】本题考查了轴对称图象的性质，全等三角形的性质，解题的关键是证明出为直角三角形，利用轴对称的性质得到三角形全等，证明出为等腰直角三角形，进一步证明出为直角三角形即可求解． 【详解】解：连接， 根据轴对称的性质可知：， ，，， ， ， ， ， ， 为直角三角形， ， 故答案为：． 【变式10-1】．如图，在下列正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，，，，四个点都在格点（小正方形的顶点）上，画出四边形关于直线对称的四边形，并求出四边形的面积． 【答案】见解析，面积为 【分析】根据对称点与对称轴是垂直等距关系，描点画图即可，利用分割法计算面积即可． 本题考查了轴对称图形的作图，分割法求面积，熟练掌握作图是解题的关键． 【详解】解：根据题意，作图如下： 则四边形即为所求． 根据题意，四边形的面积为：． 【变式10-2】．如图，在中，，，点A关于的对称点为，点B关于的对称点为，点C关于的对称点为． (1)在图中画出； (2)若的面积为，则的面积是______． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查作图轴对称变换、三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作点A关于的对称点为，即过点A向引垂线并倍长得到对称点，其他点同理作图即可． （2）设交于点，延长交于点，根据轴对称的性质可得，，，，则与关于点成中心对称，可得，，，，进而可得．根据三角形的面积公式可得，则可得的面积． 【详解】（1）解：如图，作点A关于的对称点为，即过点A向引垂线并倍长得到对称点，其他同理， 即为所求． （2）设交于点，延长交于点， 点关于的对称点为， ，． 点关于的对称点为， ， 点关于的对称点为， ， 与关于点成中心对称， ，， ，， ． 的面积为， ， 的面积是． 故答案为：． 【题型11 角度问题】 【典例11】．如图，点P为内一点，分别作出点P关于、的对称点、，连接交于M，交于N．若，则 ． 【答案】/60度 【分析】连接，，，根据对称的性质证明，，即可作答． 【详解】解：连接，，，如图， ∵点P关于的对称点， ∴，， ∴平分， ∴， 同理可证明：， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了对称的性质，掌握对称的性质是解答本题的关键． 【变式11-1】．如图，在中，，为边上一动点，于点，于点，则关于与之间的大小关系的描述，正确的为（    ） A．恒成立 B．当时， C．恒成立 D．当时， 【答案】B 【分析】此题考查了对称的性质，找点关于的对称点，连接，延长交于点，则有，，解题的关键是熟练掌握对称的性质及其应用． 【详解】如图，找点关于的对称点，连接，延长交于点， ∴，， 当在在内部时，即， ∴， 故选：． 【变式11-2】．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在小正方形网格的格点上． (1)画出关于轴的对称图形（点、、的对应点分别为，，）； (2)画，点在第二象限内的格点上，且，画出所有符合条件的图形，并写出点的坐标． 【答案】(1)作图见解析； (2)或． 【分析】（）根据题意，确定，，的位置，然后顺次连接即可； （）根据网格及等腰直角三角形的性质作图即可； 此题考查了轴对称图形的作法及等腰三角形的定义，理解题意，结合图形求解是解题的关键． 【详解】（1）根据题意，确定，，，的位置如图所示，然后顺次连接， ∴即为所求； （2）取，连接，， ∵为小正方形的对角线， ∴； 取，连接，， 由图得，， ∴， ∴点的坐标为或． 模块五 过关检测 1．如图，中，以为圆心，任意长为半径作弧，分别交延长线，于点，，再分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查尺规作一个角的平分线以及平行线的性质，根据题意可知平分，结合，即可求得答案． 【详解】根据题意可知平分． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 故选：D 2．考古队员在清理遗址时，发现一块带有破损角的石碑．为了复原这个角的平分线，他们在角的两边上量出，再用带有刻度的工具，使工具两边相同的刻度分别对准两点（即，然后过工具顶点画出射线，这条射线就是的平分线．这种做法的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理和性质定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键．根据全等三角形的判定定理推出全等即可． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， 即是的平分线． 故选：C． 3．如图，已知，以点O 为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点 D，交于点 E；分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点 F；作射线．则射线为平分线的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的尺规作图，由作图可得，，而，即可通过得到，即可求解，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：由作图可得，，而， ∴， ∴， ∴射线为平分线 故选：A． 4．观察下列尺规作图的痕迹，能够说明的是（   ） A．②③ B．③④ C．①③ D．①④ 【答案】C 【分析】本题考查了尺规作图，三角形三边关系． ①根据作图方法可知，进而结合三角形三边关系即可得到；②无法判断的关系；③根据作图可知；④无法判断的关系． 【详解】解：①如图： 由作图可知， 即，能够说明； ②无法判断的关系，不能够说明； ③如图， 由作图可知， 即，能够说明； ④无法判断的关系． 故选：C． 5．如图，点P，Q在直线l的同一侧，现需在l上找一点M，使得的和最小，下列做法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了对称的性质以及两点之间线段最短，理解两点之间线段最短是解题的关键． 作Q点关于l的对称点，连接与l的交点为M，此时最小． 【详解】解：∵点P，Q在直线l的同侧， ∴作Q点关于l的对称点，连接与l的交点为M， 由对称性可知， 此时，最小， 故选：D． 6．如图，从地到地有四条路线，其中最短的路线是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最短路线，掌握两点之间线段最短是解决问题的关键． 结合四个选项中的路线，由两点之间线段最短逐个验证即可得到答案． 【详解】解：A中从地到地路线长为； B中从地到地路线长为； C中从地到地路线长为； D中从地到地路线长为； 综上所述，四条路线中均含有线段，因此比较、、和长度即可确定最短的路线， ， ， 在中，由两点之间线段最短可知， ， 、、和中长度最短， 即从地到地有四条路线，最短， 故选：D． 7．如图，，，，点D是平面内一点，且满足，则的最小值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了线段之和最小值问题，将转化为求的最小值，当、、在同一直线上时，有最小值，最小值为，由此即可得出答案，解题的关键是学会灵活运用两点之间线段最短解决最小值问题． 【详解】解：， ， 当、、在同一直线上时，有最小值，最小值为， 的最小值为， 故答案为：． 8．为了促进A，B两小区居民的阅读交流，区政府准备在街道l上设立一个读书亭C，使其分别到A，B两小区的距离之和最小，则下列作法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最短路径问题（利用轴对称求线段和最小），解题的关键是掌握“两点之间，线段最短”及轴对称的性质． 根据最短路径问题的求解方法，利用轴对称将其中一点对称到直线另一侧，再连接两点与直线的交点即为所求，据此分析各选项． 【详解】要使读书亭到、两小区的距离之和最小，根据“轴对称＋两点之间线段最短”的原理： 选项D中，作出点关于直线的对称点，则， 此时． 因为、、三点共线，根据“两点之间，线段最短”， 此时最小，即最小． 而其他选项的作图方法均不符合最短路径的求解， 故选：D． 9．如图，在坐标系中，，在轴上找一点，使为等腰三角形，则这样的点共有 个． 【答案】4 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，作线段的垂直平分线等知识，分三种情况∶∶以A为圆心，为半径画弧，与x轴有2个交点(除B外的1个，加上可能的另一个)；：以B为圆心，为半径画弧与x轴有2个交点；3．：作的垂直平分线，与x轴有1个交点．这三种情况结合，这样的点C共有4个． 【详解】解：如下图：C点共有4个： 故答案为：4. 10．某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示的作图痕迹如下，其中，射线为的平分线的有 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查角平分线的性质和证明，选择适当条件证明三角形全等进而证明是解题关键． ①由图可知，，，，据此证明即可． ②由图可知，，垂直平分，据此证明即可． ③由图可知，，，，依次证明， ，即可． ④由图可知，，，据此证明即可． 【详解】解：①有图可知， ， ， ， 射线是的角平分线； ②由图可知， ，， ， ， ， 射线是的角平分线； ③由图可知， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 射线是的角平分线； ④由图可知， ， ， ， ， ， ， 射线是的角平分线． 故答案为：①②③④． 11．如图，在中，，如果点分别为上的动点，那么的最小值是 ． 【答案】//4.8 【分析】本题主要考查了轴对称-最短路径问题以及三角形面积公式的应用，熟练掌握利用轴对称转化线段是解题的关键． 通过作点关于的对称点，将转化为，则，当时，的长度即为的最小值，再利用三角形面积公式求解． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，过作于，交于．则此时值最小，最小值为的长， ∵点与关于对称， ∴，， ∴． ∵，，，， ∴， ∴． 故答案为：． 12．如图，、、是一条公路上的三个村庄，、间的路程为，、间的路程为、现要在之间建一个车站，若要使车站到三个村庄的路程之和最小，则车站应建在 ． 【答案】点处 【分析】本题主要考查了两点之间的距离， 设P，C间的路程为，再分类讨论，当点P在点C左侧时，当点P在点C右侧时，根据两点之间的距离解答即可. 【详解】解：设P，C间的路程为，当点P在点C左侧时， 车站到三个村庄的路程为； 当点P在点C右侧时， 车站到三个村庄的路程为； 当点P与点C重合时，车站到三个村庄的距离是， 所以当车站建在村庄C处时，车站到三个村庄的距离之和最小. 故答案为：点C处. 13．如图，已知的周长是24，分别平分和，于点D，且，则的面积是 ． 【答案】36 【分析】本题考查角平分线的性质，分割法求三角形的面积，连接，作，根据角平分线的性质推出，利用分割法求出的面积即可． 【详解】解：连接，作， ∵分别平分和，， ∴， ∴ ， ∵的周长是24， ∴， ∴； 故答案为：36． 14．如图所示的尺规作图是：分别以线段的端点为圆心，以小于长为半径画弧，分别交射线和线段于点C、D、E，再以点E为圆心．以长为半径画弧．交前面的弧于点F、画射线，分别以点E，F为圆心，以大于 长为半径画弧，两弧交于点C．画射线．若则 的度数为 【答案】/40度 【分析】本题考查尺规作图：作一个角等于已知角，作角的平分线．由作图过程可知，，进而即可求解． 【详解】解析：根据作图过程，可知，， ， ， 故答案为：． 15．如图所示的是某公园的部分路线示意图，则路线①和路线②相比，路程更短的路线是 （填序号）． 【答案】② 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，掌握三角形的任意两边之和大于第三边式解决问题的关键． 由三角形三边关系得到，根据图形即可得到答案． 【详解】解：∵在中，， ∴ 路线的长度为， 路线的长度为， 故答案为：②． 16．如图，在平面直角坐标系中，的顶点． (1)在图中画出关于轴对称的； (2)直接写出的面积是___________； (3)在轴上找一点，连接使最小，请在图中标出点位置． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了轴对称作图，求网格三角形的面积，最短路径问题，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质． （1）分别作出点关于轴对称的点，再顺次连接即可； （2）利用割补法求解即可； （3）连接与轴交点即为点，根据轴对称的性质可得，则由两点之间线段最短可得，故此时最小． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：的面积， 故答案为：； （3）解：点即为所求： 17．如图，．点为内部一点．平分平分． (1)当时．依题意补全图形．并求的度数； (2)当时，直接用含的代数式表示的度数． 【答案】(1)图形见解析， (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质，角平分线的作图，角度的计算，解决本题的关键是熟练掌握角平分线的性质． （1）根据角平分线的作图方法作图即可，由可得，再根据角平分线的性质即可得； （2）先表示出，再根据角平分线的性质表示出与，再由角度的计算求解即可． 【详解】（1）解：以点O为圆心，任意长度为半径画弧， 分别交，于点M，点N， 以点M为圆心，大于一半的长度为半径画弧， 再以点N为圆心，相同长度为半径画弧，两弧相交于点D， 连接，则为的角平分线， 同样方法即可作出的平分线，如图， ∵，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴． 18．如图，在由长度均为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点，，均在小正方形的顶点上（保留画图痕迹，不写画法）． (1)在图中画出与关于直线成轴对称的； (2)的面积为____________； (3)在直线上找一点，使得的值最小； (4)在直线上找一点，使得的值最大． 【答案】(1)见解析 (2)11 (3)见解析 (4)见解析 【分析】（1）直接利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）利用长方形的面积减去三个顶点上三角形的面积可得出结论； （3）连接，交直线于点，由此即可得解； （4）连接，并延长交直线于点，由此即可得解． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：．如图： ． （3）解：如图，点即为所求． （4）解：如图，点即为所求． 【点睛】本题考查的是作图，轴对称变换，熟知轴对称的性质，正确利用轴对称求最短路线是解答此题的关键． 19．如图，与中，，、分别是的角平分线． (1)请你在原图中作出两个三角形的角平分线和(要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法与证明)； (2)若请你证明． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查角平分线的尺规作图以及三角形全等的判定定理． （1）依据角平分线的尺规作图方法和步骤，通过两次画弧确定角平分线的位置； （2）先利用判定定理证明，推导出，再结合角平分线的定义得到，最后通过判定定理证明． 【详解】（1）解：如图所示，线段、即为所求． （2）解：，，， ， ， 、分别是、的角平分线， ，， ， 在和中，， ． 20．如图，，D为上一点，与的延长线交于点E，． (1)作图：作的平分线交于点F，连接（用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，求证． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查尺规作图、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，交于点，连接，与交于点F，连接； （2）根据题意易得，根据角平分线的性质得到，进而证得 ，根据全等三角形的性质得到． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：， ， ， 由（1）知平分 ， ， 在和中， ， ， ． 21．如图1，在平面上取一点称为极点，从点引一条射线称为极轴．将绕点逆时针旋转得到，叫作射线的极角． (1)如图2，射线、的极角分别记为、，且，，．是（小于平角）的角平分线，射线的极角记为， ①若，，则________； ②若，，则________； ③请运用特殊到一般的数学思想和归纳法猜想、、的等量关系，并说明理由； (2)如图3，射线、、的极角分别为、、（、为常数），请用无刻度的直尺和圆规在图3中作出极角为的射线和的角平分线．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)①；②；③当时，；当时，；理由见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了极角的定义，角的和与差计算，尺规作图． （1）利用极角的定义结合角的和与差计算即可求解； （2）作，则射线的极角为；再利用作角的尺规作图法即可作出的角平分线． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ③当时，， ∵平分， ∴， ∴； 当时，， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵射线、的极角分别为、， ∴， ∴作，则射线的极角为； 如图，射线、即为所求． ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $