5.2简单的轴对称图形（第3课时 认识角的轴对称性）（教学课件）数学新教材北师大版七年级下册

该初中数学课件聚焦角的轴对称性，涵盖角的对称轴、角平分线性质及尺规作图。通过生活中三角尺、五角星等轴对称图形导入，回顾线段垂直平分线性质作支架，引导学生折纸操作探究角是轴对称图形，进而推导角平分线性质。 其亮点是以“动手操作-观察猜想-推理验证-规范应用”为主线，通过折纸培养几何直观，尺规作图与全等证明发展推理意识，规范几何语言表达。典例、拓展及真题分层设计，助力学生提升探究能力，教师可直接用于教学，提高效率。

5.2 简单的轴对称图形 第 3 课 时 认识角的轴对称性 第五章 图形的轴对称 北师大版（新教材）·七年级下册 学 习 目 标 1 2 3 理解角是轴对称图形，准确说出角的对称轴；掌握角平分线的性质定理，厘清定理的题设与结论；能规范书写几何语言，运用性质解决简单的线段相等、几何计算与说理问题；能通过折纸、作图操作，验证角的轴对称性与角平分线性质. 经历折纸观察、猜想归纳、推理验证的完整过程，积累几何图形性质的探究经验；体会轴对称在探究图形性质中的工具作用，感悟合情推理与演绎推理的结合；提升动手操作、观察分析、抽象概括与规范表达能力. 感受几何图形的对称美，激发几何学习兴趣；在自主探究、合作交流中获得成功体验，增强数学学习自信心；培养严谨求实的几何思维，养成规范书写、逻辑清晰的学习习惯. A B C          M N   什么是线段的垂直平分线 ③线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离相等的所有点的集合 点P在线段AB的垂直平分线上 PA = PB ①线段的垂直平分线是线段的对称轴 知识回顾 ②线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 导入新课 观察下列图片，他们是不是轴对称图形？ 是轴对称图形 轴对称图形：沿一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的图形是轴对称图形 导入新课 这些图形中都含有哪种基本几何图形？ 含基本图形：角 角不仅仅是数学书上的图形，它还藏在我们生活的每一个角落！ 一把扇子、一把尺子、一颗星星，甚至一张剪纸，都有它的身影 角是不是轴对称图形？ 如果是，它的对称轴在哪里？ 新知探究 探究点1 探究角的轴对称性 做一做 学习任务单 （1）请大家拿出准备好的白纸，在上面任意画一个角，我们把它记作 ∠AOB。 （2）对折∠AOB，使角的两边完全重合。 （3）展开纸张后，那条折痕是一条什么线？ 。 （4）折痕在角的什么位置？ 。 （5）你发现了什么？ 。 留下的那折痕所在的直线就是角的“对称轴” 折痕是∠AOB的角平分线 角是轴对称图形 新知探究 探究点1 探究角的轴对称性 议一议 在纸上任意画一个∠AOB，沿过顶点O的直线，对折∠AOB，使角的两边完全重合。 （1）折叠后，OA与OB能否完全重合？角是轴对称图形吗？ A B O 因为折叠后OA与OB能否完全重合，说明角是轴对称图形. （2）折痕是什么几何图形？ 折痕是∠AOB的角平分线. （3）角的对称轴是这条折痕吗？准确说法是什么？ 对称轴是角平分线所在的直线，而非角平分线这条射线. 角是轴对称图形， 角的对称轴是角平分线所在的直线. 结论 尝试•思考 探究点2 角平分线的性质 议一议 如图 ，OP是∠AOB的平分线，点C是 OP上的任意一点.点D是OA上的任意一点，在∠AOB中画出以OP所在直线为对称轴的D的对应点D′，连接CD和CD′. A B O P D D′ C （1）你认为线段CD和CD′之间有什么关系?说说你的理由. 理由如下： 在这个轴对称图形中， 点C的对应点是点C本身， 点D的对应点是点D′， 线段CD的对应线段是CD′，因此CD=CD′。 CD = CD' 尝试•思考 探究点2 角平分线的性质 议一议 如图 ，OP是∠AOB的平分线，点C是 OP上的任意一点.点D是OA上的任意一点，在∠AOB中画出以OP所在直线为对称轴的D的对应点D′，连接CD和CD′. A B O P D D′ C （1）你认为线段CD和CD′之间有什么关系?说说你的理由. ∵OP是∠AOB的平分线， ∴∠POA=∠POB。 在△COD和△COD‘中，∵ ∴△CED≌△CED'(SAS) ∴CD=CD'。 角平分线上的任意一点到角的两边上的一对对应点的距离相等. 用全等三角形证明 新知探究 探究点2 角平分线的性质 议一议 ①当CD⊥OA时(如图）,CD′与 OB有怎样的位置关系?为什么? A B O D C P D′ CD'⊥OB 理由如下: 在这个轴对称图形中， 点O的对应点是点O本身， 点C的对应点是点C本身， 点D的对应点是点D′， ∠CDO的对应角是∠CD′O， 因此∠CD′O=∠CDO=90°，即CD′⊥OB。 如图 ，OP是∠AOB的平分线，点C是 OP上的任意一点.点D是OA上的任意一点，在∠AOB中画出以OP所在直线为对称轴的D的对应点D′，连接CD和CD′. 几何语言： 新知探究 探究点2 角平分线的性质 议一议 ②此时，线段CD和CD′之间还有(1)中的关系吗?由此你能得到什么结论? A B O D C P D′ 线段CD和CD′之间的关系不变CD=CD' 改变点C的位置，线段CD和CD'还相等吗? 这实际上是问题(1)的特殊化 如图 ，OP是∠AOB的平分线，点C是 OP上的任意一点.点D是OA上的任意一点，在∠AOB中画出以OP所在直线为对称轴的D的对应点D′，连接CD和CD′. 因为 CD⊥OA， 由(1)可知： ∠OD'C=∠ODC=90°， CD=CD' 线段CD和CD′之间的关系不变CD=CD' 新知探究 探究点2 角平分线的性质 议一议 📝 文字语言定义 角平分线上的任意一点，到这个角的两条边的距离相等。 核心口诀： 点在平分线上， 两边距离就相等！ 角平分线的性质: 规范几何书写 ∵ OC 平分∠AOB， 且 PD⊥OA， PE⊥OB（已知） ∴ PD = PE （角平分线的性质定理） 几何位置关系 线段数量关系 转 化 新知探究 探究点2 角平分线的性质 议一议 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 角平分线的性质: 定理一个结论： ③ 两条垂线段长度相等（结论）. 定理二个条件： ① 点在角平分线上； ② 点到角两边的垂线段（条件）； 思考•交流 探究点3 作角的平分线 做一做 （1）作出已知角的平分线 如图，已知∠ AOB，请用尺规作 ∠ AOB 的平分线。 思路： ①利用性质确定角平分线上的一个点； ②连接这个点和顶点确定角平分线。 A B O 作图分析：假设∠AOB的平分线已作出，那么 (1) 这条射线有什么特征? (2) 如何确定这条射线上除端点之外的一个点? 这条射线在∠AOB内部，端点是О，在这条射线上任取一点(非点O)，这一点到边OA，OB的距离相等。 需要确定的点是角的对称轴上的点，因此应当从角两边进行“对称”的操作。 新知探究 探究点3 作角的平分线 做一做 1.以点O为圆心、任意长为半径作弧，与角的两边分别交于D、E两点，则OD = OE。 2.分别以点D和点E为圆心、相同长且大于 线段DE 二分之一的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C。 3.作射线 OC。 ∴射线OC就是∠AOB的平分线。 A B O C E D 如图，已知∠ AOB，请用尺规作 ∠ AOB 的平分线。 作法： 新知探究 探究点3 作角的平分线 做一做 如图，已知∠ AOB，请用尺规作 ∠ AOB 的平分线。 新知探究 探究点3 作角的平分线 议一议 （2）能说出本作法的道理吗？ A B O C E D 理由如下： 如图，已知∠ AOB，连接CD，CE， 由作法可得：OE=OD，EC=ED 在△OCD与△OCE中 △OCD≌△OCE (SSS) ∴∠COD= ∠COE. 新知探究 探究点3 作角的平分线 议一议 (3)过直线上一点作已知直线的垂线与作一个平角的平分线，这两种尺规作图方法有什么共同点?与同伴进行交流. A B O P 过直线l上一点P作直线的垂线，可以把直线和上的一点O看成以点 O为顶点的平角，过点O作直线的垂线其实就是作这个平角的平分线. 注意： 作一个平角的平分线的方法就是过直线上一点作已知直线的垂线的方法，不同的是平角的平分线最后是作射线，而直线的垂线最后是作直线。 新知探究 探究点4 回顾•反思 议一议 回顾研究等腰三角形、线段、角的过程，你运用了哪些方法?积累了哪些经验? 此外，在这一过程中还大量运用了推理。. 例如:通过寻找对应点、对应线段、对应角，发现对应图形的数量关系; 例如，依据概念判断图形的轴对称性，依据轴对称的性质说明有关相等关系，对图形性质由特殊到一般的归纳，对作图方法合理性的说明等 对等腰三角形、线段、角的研究，突显了轴对称的视角。 通过“对称”的操作，寻找作对称轴的方法。 典例分析 例1：如图，在中，，． (1)用尺规作图法，在上求作一点P，使点P到的距离相等； (2)若，求点P到的距离． （1）解：如图所示，点P即为所求；  （2）解：如图所示，过点P作于D，由题意得，平分， ∵， ∴， ∴， ∴，∴， 在中，， ∴， ∴，∴， ∵平分，，， ∴，∴点P到的距离为2． 新知巩固 理由：在 Rt△ABC 中，∠C =90°， ∴ DC⊥BC。 ∵ BD 是∠ABC 的平分线，DE⊥AB， ∴ DE = DC （角平分线上的点到这个角的两边的距离相等） 1.如图，BD是 Rt△ABC 的一条角平分线，DE⊥AB， 垂足为 E。你认为DE与DC 相等吗?为什么? 解：相等。 【课本P133 随堂练习 】 新知巩固 2.任意画一个角，用尺规将它四等分。 【课本P133 随堂练习 】 1.已知：中，、的平分线相交于点． ①如下图，过点作交、于、，求证：； 拓展提升 ①证明：∵， ∴，， ∵、的平分线相交于点， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 即； 1.已知：中，、的平分线相交于点．   ②如下图，过点作交于、交于，若，求的周长；  拓展提升 ②解：∵、的平分线相交于点， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴的周长： ， 即的周长为； 1.已知：中，、的平分线相交于点． ③若中，的平分线与三角形外角的平分线交于，过点作交于，交于．如下图，请写出这时与、间的关系（不需证明）． 拓展提升 ③解：．理由如下： ∵， ∴，， ∵，分别是与的角平分线， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 即． 真题感知 解：∵点D在BC上， ∴∠ADB+∠ADC＝180°， ∵∠ADB＝∠ADC，∴2∠ADC＝180°， ∴∠ADC＝90°， ∴AD⊥BC，故A不符合题意； ∵AB＝AC，∴∠B＝∠C， ∵∠B＝∠C与点D所在的位置没有关系， ∴由∠B＝∠C不能说明AD⊥BC， 故B符合题意； 1．（2025•扬州）在如图的房屋人字梁架中，AB＝AC，点D在BC上，下列条件不能说明AD⊥BC的是（　　） A．∠ADB＝∠ADC B．∠B＝∠C C．BD＝CD D．AD平分∠BAC ∵AB＝AC，BD＝CD， ∴AD⊥BC，故C不符合题意； ∵AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC， 故D不符合题意， B 真题感知 2.（2025•福建）如图，点E，F分别在AB，AD的延长线上，∠CBE＝∠CDF，∠ACB＝∠ACD．求证：AB＝AD． 证明：∵∠CBE＝∠CDF， ∴180°﹣∠CBE＝180°﹣∠CDF， ∵∠ABC＝180°﹣∠CBE， ∠ADC＝180°﹣∠CDF， ∴∠ABC＝∠ADC， 在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（AAS）， ∴AB＝AD． 知 识 总 结 （1）角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线. （2）角平分线性质： 角平分线上的点，到角两边的距离相等. （3）性质应用核心： 一找角平分线，二找垂线段，三证线段相等. 课堂小结 方 法 总 结 课堂小结 （1）探究几何图形性质的通用方法： 动手操作→观察猜想→验证归纳→规范应用. （2）几何学习核心思路： 轴对称，探究图形特征，推导图形性质. （3）解题技巧： 先定位定理条件，再得出结论，杜绝无依据推理. 易 错 提 醒 课堂小结 （1）对称轴是直线，不是角平分线这条射线. （2）性质中必须是点到角两边的垂线段，普通线段不可直接相等. （3）几何推理要步步有据，不可省略前提条件直接写结论. 课后练习 教材p133页 3.任意画一个三角形，用尺规作三角形三条边的垂直平分线，观察这三条垂直平分线的位置关系，你发现了什么?再换一个三角形试一试。 解:已知：△ABC。 求作:△ABC的三条边的垂直平分线。 A B C 作法:（1）分别以点B和点C为圆心， 以大于BC 的长为半径作弧，两弧相交于点E和F； (2)分别以点A和点B为圆心， 以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于点G和 H； (3)分别以点A和点C为圆心， 以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点 P和 Q； (4)作直线 EF，CH，PQ 。 直线 EF，GH，PQ 分别就是△ABC 三条边 BC，AB，AC 的垂直平分线（如图所示）。 发现:三角形的三条边的垂直平分线交于一点， 习题5.2 再换一个三角形得出的结论一样 课后练习 4.任意画一个三角形，用尺规作三角形三个内角的平分线。 解:已知：△ABC。 求作:△ABC的三个内角的平分线。 A B C 作法: (1)在BA 和BC 上分别截取BD，BE，使BD=BE (2)分别以点D和点E 为圆心，以大于DE 的长为半径作弧，两弧在∠ABC 内相交于点O； (3) 作射线BO 交AC 于点M， 同理可以作出点N，P， 线段AN，BM，CP 就是△ABC的三个内角的平分线 习题5.2 教材p133页 课后练习 解: 如图，过点M 作MN⊥AB 于点N。 ∵∠CAB=60°，∠BAM =30°， ∴∠CAM=∠CAB－∠BAM =60°－30° = 30°。 ∴AM 平分∠CAB ∵∠C= 90°， ∴CM=MN (角平分线上的点到这个角的两边的距离相等) 9.把两个同样大小的含30°角的三角尺按如图所示那样放置，其中M是AD与BC的交点，这时 MC 的长度就等于点M到AB的距离。你知道这是为什么吗? N 习题5.2 教材p133页 课后练习 10.校园一角的形状如图(1)所示，其中AB，BC，CD表示围墙。如图(2)所示，小亮通过作角平分线在图示的区域中找到了一点P，使得点P到三面墙的距离都相等。请解释他这样做的道理。 A B C D (1) (2) 解:如图所示： 过点P分别作PE⊥AB，PF⊥BC，PG⊥CD，垂足分别为E，F，G。 ∵ BP 平分∠ABC， ∴ PE=PF 。 ∵CP 平分∠BCD， ∴PF =PG。 ∴PE=PF=PG。 习题5.2 教材p133页 F ∟ E ∟ G ∟ 课后练习 ※11.请用等腰三角形“三线合一”的性质解释例3作法的道理。 A B O C E D 理由如下： 如图，已知∠ AOB，连结EC，ED 由作法可得：OE=OD，EC=ED ∴O在ED的中垂线上，C在ED的中垂线上 ∴OC是ED的中垂线， ∵OE=OD ∴OC平方∠AOB 如图，已知∠ AOB，请用尺规作 ∠ AOB 的平分线。 习题5.2 教材p133页 谢谢聆听 $