5.2《简单的轴对称图形》课后巩固练习 2025-2026学年北师大版七年级数学下册

2026年春季北师大版七年级（下） 第五章图形的轴对称 5.2简单的轴对称图形 一、选择题 1.(25-26·江苏月考)等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为() A.16 B.18 C.20 D.16或20 【答案】 C 【解析】 由于题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析. 【解答】 ①当4为腰时，4+4=8，故此种情况不存在；②当8为腰时，8一4<8<8+4，符合题 意。 故此三角形的周长=8+8+4=20 故选C 2.(25-26·黑龙江月考)如图，在△ABC中，AB=AC.分别以点A和点B为圆心，大于 专AB的长为半径作弧，两弧交于M,N两点，作直线MN,与AC交于点D,连接BD,若 ∠A=42°，则∠CBD的度数为() A.21°B.27C.30°D.34.5 【答案】 y B 【解析】 本题主要考查了等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形两底角相 等以及线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键. 先根据等腰三角形的性质求出∠ABC和∠C的度数，再根据线段垂直平分线的性质得出 AD=BD,进而求出∠ABD的度数，最后通过∠ABC-∠ABD求出∠CBD的度数. 【解答】 解：：AB=AC∠A=42 ÷∠ABC=∠C=(180°-42)=69° 由作图可知，MN是线段AB的垂直平分线， :AD=BD :∠ABD=∠A=42 ·∠CBD=∠ABC-∠ABD=69°-42°=27 故选：B 3.(25-26·广西期中)如图，△ABC的角平分线BD、CD交于点D,且点D到BC的距离等于 2cm,△ABC的面积是40am2,则△ABC的周长为() B A.25cm B.30cm C.35cm D.40cm 【答案】 【解析】 本题考查的知识点是角平分线的性质，解题关键是利用角平分线的性质得出点D到三边距离 相等，再通过面积的分割法将大三角形面积转化为周长与高的乘积形式，从而快速求解周长。 解题时需熟练掌握角平分线性质和三角形面积公式的灵活应用， 作DE⊥AB,DF⊥AC,DG⊥BC,根据角平分线的性质得到DE=DF=DG,再根据三角 形的面积公式计算，即可得解， 【解答】 解：作DE⊥AB,DF⊥AC,DG⊥BC,连接AD, D G :点D是△ABC的内角平分线的交点，点D到边BC的距离是2cm, DF=DE=DG=2cm :△ABC面积为40qm2即SAABC=SAABD+SAACD+SACBD=40cm2 专AB·DE+专AC·DF+BC·DG=40, 专DG·(AB+AC+BC)=40, :克×2AB+AC+BC)=40即AB+AC+BC=40(qm), 即△ABC的周长为40cm. 故选：D 4.(25-26·黑龙江月考)如图，在△ABC中，∠BAC=90,AC=6,AB=8,过点A的直 线DE BC,∠ABC与∠ACB的平分线分别交DE于E、D,则DE的长为() A.14B.16C.18D.20 【答案】 A 【解析】 本题综合考查了行线的性质以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行线的性质是解题的 3 关键， 由平行线的性质、角平分线的性质推知∠E=∠ABE,则AB=AE，同理可得AD=AC, 所以线段DE的长度转化为线段ABAC的和即可得到答案. 【解答】 解： :DE II BC·∠E=∠EBC:BE平分∠ABC·∠ABE=∠EBC·∠E=ABE :AB=AE:同理可得：AD=AC:DE=AD+AE=AB+AC=14· 故选：A. 5.(25-26·山东期中)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60,以顶点B为圆心、适 当长为半径作弧，在边BC、BA上截取BE、BD:然后分别以点D、E为圆心、以大于号DE的 长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F;作射线BF交AC于点G.若BG=6,则点G到AB的 距离为() A.3B.2 C.1D.无法确定 【答案】 A 【解析】 本题主要考查了角平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质.作GP LAB于点P,由尺 规作图步骤可得BG平分∠ABC,从而得到CG=GP,∠ABG=∠CBG=30°，由含30角的 直角三角形的性质可得CG=BG=3,据此求解即可. 【解答】 解：作GP⊥AB于点P,由尺规作图步骤可得：BG平分∠ABC CG=GP, :∠ABC=60 ·ABG=∠CBG=30 :∠C=90 :CG=BG=克×6=3， ·点G到AB的距离为3， 故选：A. 6.(25-26·黑龙江月考)如图，点I是△ABC三条角平分线的交点，△ABI的面积记为S, △ACI的面积记为S,△BCI的面积记为S3,关于S1+S,与S3的大小关系，正确的是() S S2 S A.Sj+S2=S3 B.S1+S2<S3 C.S +S2>S3 D.无法确定 【答案】 C 【解析】 根据角平分线的性质、三角形三边关系和三角形的面积公式解答即可. 【解答】 解：：点I是△ABC三条角平分线的交点， :△ABI和△BIC和△AIC的高相等， :△ABI的面积记为S,△ACI的面积记为S2,△BCI的面积记为S S+S2=AB.h+AC.h=(AB+AC).h S3=BC.h 5 由△ABC的三边关系得：AB+AC>BC :.Sj+S2>S8 故选：C 7.(25-26·广西月考)如图，在△ABD中，AB=AD=12点E在AD上，点C在BD的垂直 平分线上，连接CB,CD,CE,且CE与BD交于点F.若CE IAB,CE=7,则CF的长是() A.4B.3.5C.3D.2 【答案】 D 【解析】 本题考查的是平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质与判定， 如图：连接AC交BD于点O,证明AC垂直平分BD∠ABD=∠ADB,∠ACE=∠EAC,可得 AE=CE=7,再证明∠EFD=∠EDP，进一步求解即可. 【解答】 解：如图：连接AC交BD于点O, :点C在BD的垂直平分线上， BC=DC, 6 :AB=AD=12, :AC垂直平分BD,ABD=∠ADB, ·∠BAC=∠DAC, CE IlAB, ·∠CAB=∠ACE∠EFD=∠ABD, ·∠ACE=∠EAC, :CE=7, AE=CE=7, :DE=AD-AE=12-7=5, :∠ABD=∠ADB,∠EFD=∠ABD, ·∠EFD=∠EDF, EF=ED=5, ÷CF=CE-EF=7-5=2 故选：D. 8.(25-26·四川月考)如图，在RtAABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画 弧，分别交AC,AB于点M,N,再分别以点M,N为圆心，大于专N的长为半径画弧，两弧 交于点P,作射线AP交边BC于点D,点E在AB上.若AC=8,AB=10,△ABC的面积是24. 当DE长度最小时，△BDE的面积是() A2B.C.号D.9 【答案】 C 【解析】 本题考查了垂线段最短，角平分线的尺规作图及性质，全等三角形性质与判定，勾股定理， 熟练掌握角平分线性质是解题的关键由垂线段最短可知，当DE⊥AB时，DE长度最小，由 7 作图过程可知AD平分∠BAC,结合角平分线性质得到CD=DE,证明Rt△ACD兰Rt △AED，利用全等三角形性质得到AE=AC-8,根据勾股定理求出BC=6,设CD-DE=x,则 BD6-x,在Rt△BDE中，根据勾股定理列方程求出x,最后利用三角形面积公式求解，即 可解题， 【解答】 解：由垂线段最短可知，当DE⊥AB时，DE长度最小，由作图过程可知AD平分∠BAC 解：由垂线段最短可知，当DE AB时，DE长度最小， 由作图过程可知AD平分∠BAC, :∠C=90, :CD=DE, AD=AD, :Rt△ACD≌Rt△AED(HL), ·AE=AC=8, :AB=10 ÷BC=VAB2-AC2=V10-82=6BE=AB-AE=10-8=2 设CD=DE=X,则BD=BC-CD=6-x, 在Rt△BDE中，根据勾股定理得：BE2+DE2=BD,即22+x2=(6-X, 解得： x=, DE=, “SADE=BE·DE=支X2×号= 故选：C 二、 填空题 9.(25-26·江苏月考)一个等腰三角形的两边长分别是4cm和6cm,则它的周长是 14或16 cm. 【答案】 14或16/16或14 【解析】 根据腰长为分4cm和6cm两种情况进行求解即可. 【解答】 解：当等腰三角形的腰长是4cm时，则三边长为4cm,4cm,6cm,此时周长是 4+4+6=14(am): 当等腰三角形的腰长是6cm时，则三边长为4cm,6cm,6cm,此时周长是 4+6+6=16(cm), :等腰三角形的周长是14cm或16cm, 故答案为：14或16 10.(22-23·广西月考)如图，∠BAC=108,若MP和NQ分别垂直平分AB和AC,则 ∠PAQ的度数是36° 【答案】 36 【解析】 根据线段的垂直平分线的性质得到PA=PB,QA=QC,根据三角形内角和定理，等腰三角 形的性质计算即可. 【解答】 MP和NQ分别垂直平分AB和AC, 9 PA=PB,QA=QC ∠B=∠PAB,∠C=∠QAC ∠BAC=105 ∠B+4C=72 2AB+∠∠AC=72 ∠PAQ=36 故答案为36 11.(25-26·吉林月考)如图，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D,过点D 作DE⊥AB,垂足为点E.若DE=7,AC=16,则AD的长度为 9 E B 【答案】 9 【解析】 利用角平分线的性质求解，即可得到答案。 【解答】 解：：BD平分∠ABC,DC⊥BC,DE⊥AB, :CD=DE, :DE=7,AC=16, AD=AC-CD=AC-DE=16-7=9, 故答案为：9 12.(25-26·重庆期中)如图，在△ABC中，AD,AE分别是△ABC的高线和角平分线，己知 ∠BAC=2∠B,∠B=5∠DAE,则∠C=30o. 10 DE 【答案】 30 【解析】 根据三角形高和角平分线的性质得到∠ADB=∠ADC=90°、∠BAE=∠CAE=5LDAE, 进而利用三角形内角和定理得到∠BAD=90°-5∠DAE，再得到∠BAD=4∠DAE，据此 求出∠DAE的度数，进而求出∠C的度数. 【解答】 解：：AD,AE分别是△ABC的高线和角平分线， ÷∠ADB=∠ADC=90°、∠BAE=∠CAE=∠BAC, :∠BAC=2∠B, ·∠BAE=∠CAE=∠B=5∠DAE, ·∠BAD=∠BAE-∠DAE=5∠DAE-∠DAE=4DAE, 在△ABD中，∠BAD=180°-∠ADB-∠B=180°-90°-5∠DAE=90°-5DAE ·90°-5∠DAE=4∠DAE, ·∠DAE=10°， :∠CAD=∠CAE+∠DAE=5∠DAE+∠DAE=6∠DAE=60°， .∠C=90°-∠CAD=90°-60°=30°. 13.(25-26·上海期末)已知等腰三角形一条腰上的高与另一条腰的夹角为25。，则该等腰 三角形的顶角为65或115°一· 【答案】 65或115° 【解析】 分为当等腰三角形为锐角三角形时和当等腰三角形为钝角三角形时两种情况，分别画图进行 讨论 11 【解答】解：如图，当等腰三角形为锐角三角形时， D B :BD LAC,∠DBA=25 :∠BAD=65 即∠BAC=65 如图，当等腰三角形为钝角三角形时， D B :BD LAC,∠DBA=25 ∠BAD=65 :∠BAC=180°-∠BAD=115 综上，该等腰三角形的顶角为65°或115° 14.(25-26·贵州月考)如图，在RtAABC中，∠C=90°，AB=4,BC=3,D为直线BC上 的动点.过点B作BE1射线AD于点E,若=，则BE的长为V14或V2一· D 【答案】 V14或V2 【解析】 3 根据勾股定理求出AC=V7，再分三种情况：①当点D在BC延长线上时，②当点D在 线段BC上时， ③当点D在CB延长线上时，分别求解即可. 【解答】 解： :∠C=90°AB-4,BC=3, :AC=AB2-BC2=V42-32=V7, ①如图，当点D在BC延长线上时， D :BE⊥AD, 船=， :BE是AD的垂直平分线， BD=AB=4,CD=BD-BC=4-3=1, AD=Ac2+CD-V(W)2+12=22, 4AE=AD=V2. ·BE=VAB2-AE=V42-(V2)2=V14: ②如图，当点D在线段BC上时， 此时，AE>AD,故此种情况不存在； ③如图，点D在CB延长线上时， 13 :BE⊥AD, 船=， :BE是AD的垂直平分线， .BD=AB=4,CD=BC+BD=3+4=7, AE=AD=V14, AD=VAc2+CD=N(5)+72=214 BE=VAB2-AE=2-(1)=2 综上所述：BE的长为√14或2 三、解答题 15.(24-25·江苏期中)如图，已知△ABC,用无刻度的直尺和圆规作图（保留作图痕 迹). (1)作∠A的平分线： (2)过点C作线段AB的垂线. 【答案】 作图见详解 作图见详解 【解析】 14 (1)根据尺规作角平分线即可： (2)根据尺规作垂线即可· 【解答】 (1)解：如图所示，AD即为∠BAC的角平分线， (2)解：如图所示，CE即为线段AB的垂线. 16.(24-25·甘肃期末)如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于E,交BC于D, △ABD的周长为20m,AE=5cm,求△ABC的周长. 【答案】 30cm 【解析】 本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键.根据垂直平分线的性 质可得AD=CD,AD=CD,根据△ABD的周长为20am,根据中点的性质以及AE=5cm, 可得AC的长，进而即可求得△ABC周长 【解答】 解：：DE是AC的垂直平分线， 15 :AD=CD, :△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=20m, 又：AE=5cm, ·AC=2AE=2×5=10m, :△ABC的周长=AB+BC+AC=20+10=30cm. 17.(21-22·山东期末)如图，在△ABC中，∠ABC=70°，AB=AC=8,D为BC中点，点 N在线段AD上，NM//AC交AB于点M,BN=3: M ⊙ (1)求∠CAD度数； (2)求△BMN的周长. 【答案】 20: 11 【解析】 (1)根据等腰三角形的性质可得∠BAC=40°，再由D为BC的中点，可得AD平分∠BAC,即 可求解； (2)根据NM//AC,可得∠ANM=∠CAD,从而得到∠ANM=∠BAD,进而得到AM=NM, 即可求解 【解答】 (1)解：：AB=AC,:△ABC是等腰三角形，又：∠ABC=70°， :∠BAC=180°-70°×2=40°，又：D为BC的中点，：AD平分∠BAC, 16 ·∠CAD=∠BAD=∠BAC=克×40°=20，故∠CAD度数为20°. (2)解：：NM//AC,÷∠ANM=∠CAD,又：∠CAD=∠BAD,∠ANM=∠BAD, ÷AM=NM,÷△BMN的周长=MB+BN+NM=AB+BN,:AB=8,BN=3, :△BMN的周长=8+3=11. 18.(17-18·山东期末)如图，在△4BC中，CD垂直AB,垂足为D,∠ABC的平分线BP 交CD于点P. (1)若∠BCD=20°，求∠PBC的度数： (2)若∠BCD=a,求∠BPD的度数. 【答案】 ∠PBC=35; ∠BPD=45+专C 【解析】 (I)由CD垂直AB,可得直角，由BP平分∠ABC,可得∠PBC=∠PBD,依据三角形内角和 定理可求∠ABC,进 而求出∠PBC (2)方法同(1)，只是角度用α表示，最后由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的 和，表示∠BPD即可. 【解答】 (1)..CDLAB ∠CDB=∠CDA=90° > ·∠BCD=20 ∠ABC=90°-20°=70° 又：BP平分∠ABC ∠PBC=∠PBD=LABC=35 答 (2):CD⊥AB ∠CDB=∠CDA=90 ·∠BCD= ∠ABC=90°- 又：BP平分∠ABC ∠PBC=∠PBC+∠ABC=(90°-)- 19.(25-26·河北期中)如图，在△ABC中，AB=AC,D是AB上的一点，过点D作DE⊥BC 于点E,延长ED和CA,交于点F. (1)求证：△ADF是等腰三角形： (2)若∠F=30,BD=4,EC=6,求AC的长. 【答案】 见解析 18 8 【解析】 (1)由AB=AC,，可知∠B=∠C,再由DE1BC,可知∠F+∠C=90°， ∠BDE+∠B=90，然后余角的性质可推出∠F=∠BDE,再根据对顶角相等进行等量代换 即可推出∠F=∠FDA，于是得到结论： (2)根据直角三角形30度所对的边是斜边的一半，得到BE,再由AB=AC可证明△ABC 是等边三角形，最后可得答案， 【解答】 (1)证明： AB=AC, ·∠B=∠C, :FE⊥BC ·∠F+∠C=90,∠BDE+∠B=90 ·∠F=∠BDE, 而∠BDE=∠FDA, ÷∠F=∠FDA1 :AF=AD :△ADF是等腰三角形： (2)解：：DE⊥BC, .∠DEB=90 :∠F=30,BD=4 BE=BD=2∠C=90°-∠F=60, AB=AC, ÷△ABC是等边三角形， ·AC=BC=BE+EC=8. 20.(25-26·山东期中)如图所示，已知△ABC和△ADE都是等腰三角形， ∠BAC=∠DAE=90°，连接BD,CE交于点F,连接AF 19 (1)线段BD和CE相等吗？BD与CE垂直吗？ (2)有以下两个结论：①AF平分∠BFE;②AF平分∠CAD;其中正确结论的序号是 ① ·（只填序号，不说明理由) 【答案】 BD=CE且BD⊥CE ① 【解析】 (1)证明△BAD兰△CAE,再利用全等的性质可判断BD=CE;由△BAD兰△CAE,可得 ∠ABF=∠ACF,再由∠ABF+∠AGB=90°，∠AGB=∠CGF,可得∠CFB=90°，即 可得到BD⊥CE (2)分别过点A作AM⊥BD,AN⊥CE,根据全等三角形面积相等和BD=CE,可得AF 平分∠BFE，无法证明AF平分∠CAD 【解答】 (1)解：BD=CE且BD L CE 因为∠BAC=∠DAE, 所以∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD, 即∠BAD=∠CAE, 在△BAD和△CAE中， 所以△BAD≥△CAE(ASA) 所以BD=CE: 因为△BAD兰△CAE. 20 所以∠ABF=∠ACFR. B E D 又因为∠ABF+∠AGB=90°∠AGB=LCGF, 所以∠ACF+∠CGF=90, 所以∠CFB=90°，即BF⊥CF, ·BD L CE, ⊥CF; (2)分别过点A作AM⊥BD,AN⊥CE,垂足分别为M,N, B 因为△BAD兰△CAE, 所以SABAD=SACAE 所以BD·AM=CE·AN, 所以AM=AN, 所以AF平分∠BFE，无法证明AF平分∠CAD. 故答案为：① 21 2026 年春季北师大版七年级(下) 第五章 图形的轴对称 5.2简单的轴对称图形 一、选择题   1.（25-26·江苏月考）等腰三角形两边长分别为和，则这个等腰三角形的周长为（       ） A. B. C. D.或 2.（25-26·黑龙江月考）如图，在中，．分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，与交于点D，连接，若，则的度数为（     ） A. B. C. D. 3.（25-26·广西期中）如图，的角平分线、交于点，且点到的距离等于2cm，的面积是，则的周长为（     ）     A. B. C. D. 4.（25-26·黑龙江月考）如图，在中，，，，过点A的直线，与的平分线分别交于E、D，则的长为（     ） A.14 B.16 C.18 D.20 5.（25-26·山东期中）如图，Rt ABC中，，，以顶点为圆心、适当长为半径作弧，在边、上截取、；然后分别以点、为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．若，则点到的距离为（       ） A.3 B.2 C.1 D.无法确定 6.（25-26·黑龙江月考）如图，点是三条角平分线的交点，的面积记为，的面积记为，的面积记为，关于与的大小关系，正确的是（       ） A. B. C. D.无法确定 7.（25-26·广西月考）如图，在中，，点在上，点在的垂直平分线上，连接，且与交于点．若，则的长是（       ） A.4 B.3.5 C.3 D.2 8.（25-26·四川月考）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，点在上．若，，的面积是24．当长度最小时，的面积是（       ） A. B. C. D. 二、 填空题   9.（25-26·江苏月考）一个等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长是__________． 10.（22-23·广西月考）如图，，若和分别垂直平分和，则的度数是_______． 11.（25-26·吉林月考）如图，在中，，平分交于点，过点作，垂足为点．若，，则的长度为____________． 12.（25-26·重庆期中）如图，在中，，分别是的高线和角平分线，已知，，则_______． 13.（25-26·上海期末）已知等腰三角形一条腰上的高与另一条腰的夹角为，则该等腰三角形的顶角为________． 14.（25-26·贵州月考）如图，在中，，，，为直线上的动点．过点作射线于点，若，则的长为________．   三、 解答题   15.（24-25·江苏期中）如图，已知，用无刻度的直尺和圆规作图（保留作图痕迹）． （1）作 的平分线； （2）过点作线段的垂线． 16.（24-25·甘肃期末）如图，在中，的垂直平分线交于，交于，的周长为，，求的周长． 17.（21-22·山东期末）如图，在中，，，为中点，点在线段上，交于点，． （1）求度数； （2）求的周长． 18.（17-18·山东期末）如图，在中，垂直，垂足为，的平分线交于点． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 19.（25-26·河北期中）如图，在中，是上的一点，过点D作于点E，延长和，交于点F． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求的长． 20.（25-26·山东期中）如图所示，已知和都是等腰三角形，，连接，交于点F，连接． （1）线段和相等吗？与垂直吗？ （2）有以下两个结论：①平分；②平分；其中正确结论的序号是____________．（只填序号，不说明理由） 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $