第三章概率初步寒假预习讲义（5知识点+18题型+过关检测） 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

第三章概率初步寒假预习讲义 （5知识点+18题型+过关检测）模块一 题型先知导航 【题型1 事件的分类】 1 【题型2 判断事件发生的可能性的大小】 2 【题型3 求某事件的概率】 4 【题型4 概率的意义理解】 6 【题型5 关于频率与概率关系说法的正误】 7 【题型6 由频率估计概率】 9 【题型7 用频率估计概率的综合应用】 10 【题型8 列举随机实验的所有可能结果】 13 【题型9 判断实验所得结果是否是等可能的】 16 【题型10 列举法求概率】 18 【题型11 根据概率公式计算概率】 19 【题型12 根据概率做判断】 21 【题型13 已知概率求数量】 24 【题型14 游戏的公平性】 25 【题型15 几何概率】 28 【题型16 概率在转盘抽奖中的应用】 30 【题型17 概率在比赛中的应用】 32 【题型18 概率的其他应用】 35 · 能准确区分必然事件、不可能事件、随机事件，并结合生活实例进行判断。 · 理解概率的定义，知道概率是刻画随机事件发生可能性大小的数值，明确概率取值范围（0≤P (A)≤1）。 · 初步感知 “频率稳定性”，知道大量重复试验中，可用事件发生的频率估计概率。 · 认识等可能事件，掌握简单等可能事件的概率计算公式 P(A)=m/n（n 为所有等可能结果数，m 为事件 A 包含的结果数）。 模块三 知识点梳理 【知识点一、随机事件】 （1）确定事件 事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的． （2）随机事件 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件． （3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中， ①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）＝1； ②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）＝0； ③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1． 【知识点二、可能性的大小】 随机事件发生的可能性（概率）的计算方法： （1）理论计算又分为如下两种情况： 第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算． （2）实验估算又分为如下两种情况： 第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率． 第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验． 【知识点三、概率的意义】 （1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）＝p． （2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现． （3）概率取值范围：0≤p≤1． （4）必然发生的事件的概率P（A）＝1；不可能发生事件的概率P（A）＝0． （4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0． （5）通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题． 【知识点四、概率公式】 （1）随机事件A的概率P（A）＝． （2）P（必然事件）＝1． （3）P（不可能事件）＝0． 【知识点五、几何概率】 所谓几何概型的概率问题，是指具有下列特征的一些随机现象的概率问题：设在空间上有一区域G，又区域g包含在区域G内（如图），而区域G与g都是可以度量的（可求面积），现随机地向G内投掷一点M，假设点M必落在G中，且点M落在区域G的任何部分区域g内的概率只与g的度量（长度、面积、体积等）成正比，而与g的位置和形状无关．具有这种性质的随机试验（掷点），称为几何概型．关于几何概型的随机事件“向区域G中任意投掷一个点M，点M落在G内的部分区域g”的概率P定义为：g的度量与G的度量之比，即 P＝g的测度G的测度 简单来说：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等． 模块四 题型汇总 【题型1 事件的分类】 【典例1】．下列事件中，必然事件是（　　） A．实数的绝对值是非负数 B．两直线被第三条直线所截，同位角相等 C．抛一枚硬币，落地后正面朝上 D．抛掷1枚质地均匀的骰子，向上的点数为6 【答案】A 【分析】本题考查了事件的分类．必然事件是指一定发生的事件；A选项实数的绝对值总是非负数，故为必然事件；B、C、D选项均为随机事件，不一定发生． 【详解】解：∵ 任何实数的绝对值都满足，即非负数，∴ A是必然事件； ∵ 只有当两直线平行时同位角才相等，∴ B不是必然事件； ∵ 抛硬币落地后正面朝上可能发生也可能不发生，∴ C不是必然事件； ∵ 抛掷骰子向上的点数可能为1至6中的任意一个，∴ D不是必然事件． 故选：A． 【变式1-1】．下列成语描述的事件是不可能事件的是（   ） A．水中捞月 B．守株待兔 C．一箭双雕 D．旭日东升 【答案】A 【分析】本题考查了事件的分类，根据不可能事件的定义（一定不会发生的事件），分析各成语的含义，即可作答． 【详解】解：A、水中捞月：月亮在水中仅为倒影，无法实际捞取，一定不会发生，为不可能事件； B、守株待兔：兔子可能偶然撞树桩，不是不可能事件； C、一箭双雕：可能发生，不是不可能事件； D、旭日东升：太阳从东方升起是必然事件，不是不可能事件； 故选：A． 【变式1-2】．黄庄月饼是河北特色月饼之一，嘉嘉从一个装有1个板栗月饼，2个枣泥月饼，3个五仁月饼和4个豆沙月饼的黄庄月饼礼盒中，随机拿出一个月饼（月饼的外观都一样），则拿出的月饼可能性最大的是（    ） A．板栗月饼 B．枣泥月饼 C．五仁月饼 D．豆沙月饼 【答案】D 【分析】本题主要考查可能性的大小．根据各种月饼数量的多少，直接判断可能性的大小，哪种月饼的数量越多，拿出的可能性就越大． 【详解】解：由题意得，所有事件可能的结果数是， ∵豆沙月饼有4个，数量最多， ∴拿出的可能性最大的是豆沙月饼， 故选：D． 【题型2 判断事件发生的可能性的大小】 【典例2】．若宇宙中飞来一块陨石砸到地球上，则事件“陨石没有砸中人”是（    ） A．必然事件 B．不可能事件 C．极大概率事件 D．极小概率事件 【答案】C 【分析】本题考查了事件的判断，理解题意是解决本题的关键． 根据地球表面人类居住面积占比极小的事实，陨石砸中人的概率极低，则“陨石没有砸中人”的概率极高，属于极大概率事件． 【详解】解：∵地球表面无人居住区域占绝大多数， ∴陨石砸中人的概率极小， ∴事件“陨石没有砸中人”是极大概率事件． 故选C． 【变式2-1】．某路口南北方向红绿灯的设置时间为：红灯、绿灯、黄灯．小明爸爸随机地由南往北开车到达该路口，下面说法正确的是（   ） A．小明爸爸遇到红灯是必然事件 B．小明爸爸遇到黄灯是不可能事件 C．小明爸爸遇到黄灯的概率最小 D．小明爸爸遇到红灯的概率大于他遇到绿灯的概率 【答案】C 【分析】本题考查了随机事件和概率公式，分别根据随机事件的定义和概率公式逐一判断即可．正确运用概率公式计算是解题的关键． 【详解】解：A、小明爸爸遇到红灯是随机事件，故不符合题意； B、小明爸爸遇到黄灯是随机事件，故不符合题意； C、小明爸爸遇到黄灯的概率最小，故符合题意； D、小明爸爸遇到红灯的概率小于他遇到绿灯的概率，故不符合题意； 故选：C． 【变式2-2】．某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是（   ） A．掷一枚一元硬币，落地后正面朝上 B．在红灯30秒、绿灯60秒、黄灯10秒的十字路口，一辆车经过时，遇到的恰好是红灯 C．掷一个正六面体骰子，向上一面的点数是3的倍数 D．一个不透明的袋子中装有1个红球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从中任取1个球，取出的球是黄球 【答案】C 【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为者即为正确答案． 【详解】解：折线图显示概率约， 选项A：掷一枚一元硬币，落地后正面朝上的概率为，不符合题意； 选项B：在红灯30秒、绿灯60秒、黄灯10秒的十字路口，一辆车经过时，遇到的恰好是红灯，不符合题意； 选项C：掷一个正六面体骰子，向上一面的点数是3的倍数，其概率为，符合题意； 选项D：一个不透明的袋子中装有1个红球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从中任取1个球，取出的球是黄球的概率为，不符合题意； 故选C． 【题型3 求某事件的概率】 【典例3】．为了看图钉落地后钉尖着地的频率有多大，小明做了大量重复试验，发现钉尖着地的次数是试验总次数的，下列说法错误的是（　　） A．钉尖着地的频率是0.4 B．随着试验次数的增加，钉尖着地的频率逐渐稳定在某一个常数附近 C．前10次试验结束后，钉尖着地的次数一定是4 D．前20次试验结束后，钉尖着地的次数不一定是8 【答案】C 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．频率所求情况数与总情况数之比．利用已知数据先求出频率，再估算概率分别判断即可． 【详解】解：A、钉尖着地的频率是：，故此选项正确，不符合题意； B、随着试验次数的增加，钉尖着地的频率逐渐稳定在某一个常数附近，故此选项正确，不符合题意； C、前10次试验结束后，钉尖着地的次数是4次左右，并不一定是4次，故此选项错误，符合题意； D、前20次试验结束后，钉尖着地的次数是8次左右，不一定是8次，故此选项正确，不符合题意． 故选：C． 【变式3-1】．为推动农业现代化进程，某农科所在相同条件下开展农作物种子发芽率的试验，试验数据如表： 种子颗数 100 400 600 700 900 1000 发芽种子颗数 94 378 571 664 951 发芽种子频率 (1)填空：上表中的值为___________，的值为___________； (2)估计这种农作物种子在此条件下发芽的概率．（精确到） 【答案】(1)，855 (2)估计这种农作物种子在此条件下发芽的概率为 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，求频率，概率是大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率． （1）用发芽种子颗数种子总数求出a的值，用总种子数发芽种子频率求出b的值即可； （2）随着种子数增多，发芽种子频率稳定在左右，得出这种农作物种子在此条件下发芽的概率即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：∵观察表格，发现大量重复试验发芽的种子频率逐渐稳定在左右， ∴估计这种农作物种子在此条件下发芽的概率约为． 【变式3-2】．一个事件的概率为0.8，则下列说法正确的是（   ） A．这个事件一定会发生 B．这个事件一定不会发生 C．这个事件发生的可能性较大 D．这个事件发生的可能性较小 【答案】C 【分析】本题考查概率的意义，概率表示事件发生的可能性大小，概率为0.8大于0.5，表示事件发生的可能性较大． 【详解】解：∵一个事件的概率为0.8，且0.8＞0.5， ∴事件发生的可能性较大． 故选C． 【题型4 概率的意义理解】 【典例4】．天气预报显示，明天某地的降水概率如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．明天一定会下雨 B．明天一定不会下雨 C．明天下雨的可能性比较大 D．明天下雨的可能性比较小 【答案】C 【分析】本题考查的是对概率意义的理解，核心是区分“可能性大小”与“必然事件、不可能事件”．根据概率的定义，降水概率反映的是事件发生的可能性程度，属于较高概率，因此可判断出明天下雨的可能性较大． 【详解】解：降水概率表示明天下雨的可能性比较大，但不是“一定会下雨”，也不是“一定不会下雨”． 故选：． 【变式4-1】．刮刮乐是中国福利彩票发行中心发行的网点即开型福利彩票，返奖率达．某彩票点12月份总计销售这种刮刮乐彩票2万元，该彩票店12月份刮刮乐开出奖金的期望值为 ． 【答案】 【分析】该题考查了概率，根据返奖率的定义，奖金等于销售额乘以返奖率求解即可． 【详解】解：销售额为2万元，返奖率为， 则奖金为（万元）． 故答案为：． 【变式4-2】．在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为，该事件的概率为．下列说法正确的是（   ） A．试验次数越多，越大 B．试验次数越多，越大 C．与都可能发生变化 D．试验次数大量增加时，在附近摆动，并趋于稳定 【答案】D 【分析】概率P是固定值，频率f随试验次数增加在P附近波动并趋于稳定. 本题考查频率与概率的关系，熟练掌握二者的关系是解题的关键. 【详解】解：∵ 概率P是常数，不随试验次数改变； 频率f随试验次数增加而逐渐稳定于P附近. ∴ 选项D正确. 故选：D. 【题型5 关于频率与概率关系说法的正误】 【典例5】．关于用频率估计概率，下列说法正确的是（   ） A．实验次数越少，频率越接近概率 B．频率一定等于概率 C．多次重复实验后，频率会逐渐稳定在概率附近 D．抛一枚均匀骰子，实验10次有2次点数为6，则点数为6的概率估计为 【答案】C 【分析】本题考查频率与概率的关系． 概率是理论值，频率是实验值，当实验次数较多时，频率会稳定在概率附近． 根据频率与概率的关系逐一判断即可． 【详解】解：概率是事件发生的理论值，频率是实验值，通过大量重复实验，频率逐渐稳定于概率； 选项A错误，实验次数越多频率越接近概率； 选项B错误，频率不一定等于概率； 选项C正确，符合频率的稳定性； 选项D错误，对于均匀骰子，点数为6的概率为，实验10次次数较少，频率可能偏离概率，估计不准确． 故选：C． 【变式5-1】．如图是用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．下面是根据实验结果所作出的四个推断，其中合理的是（） A．当投掷次数是时，“钉尖向上”的次数是 B．当投掷第次时，“钉尖向上”的概率是 C．随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率趋近于，故可以估计其概率是 D．若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为时，“钉尖向上”的频率一定是 【答案】AC 【分析】本题考查利用频率估计概率，根据图形和各个选项的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：当投掷次数是时，此次计算机记录“钉尖向上”的频率是，故此次次数约是，选项A符合题意； 当投掷次数是时，此时“钉尖向上”的频率是，但“钉尖向上”的概率不一定是，选项B不合题意； 随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是．选项C符合题意； 若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为时，“钉尖向上”的频率可能是，但不一定是，选项D不符合题意． 故选：AC． 【变式5-2】．某工厂为检验一批产品的合格情况，随机抽取部分产品进行测试，测试结果如下： 抽取的数量n 20 100 200 500 1000 2000 合格的数量m 18 91 183 455 908 1824 合格的频率 0.900 0.910 0.915 0.910 0.908 0.912 根据表格中的数据，随机从这批产品中选择1个，估计该产品合格的概率（保留两位小数）为（    ） A．0.90 B．0.91 C．0.92 D．0.93 【答案】B 【分析】本题考查了用频率估计概率．根据表格中的数据，随着抽取数量的增加，频率逐渐稳定在左右由此即可估计概率． 【详解】解：根据表格中的数据，随着抽取数量的增加，频率逐渐稳定在左右， 估计抽到合格的概率是， 故选：B． 【题型6 由频率估计概率】 【典例6】．某林业部门将一种树苗移植成活的情况绘制成如下统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率为（   ） A．0.80 B．0.85 C．0.90 D．0.95 【答案】C 【分析】本题考查利用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定的位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据频率的稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是事件的概率；由图可知，成活频率在0.90上下波动，故可估计这种树苗成活的频率稳定在0.90，成活的概率估计值为0.90． 【详解】解：∵由图可知，成活频率在0.90上下波动， ∴可估计这种树苗成活的频率稳定在0.90，成活的概率估计值为0.90． 故选：C． 【变式6-1】．下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果 投篮次数n 20 40 60 80 120 150 200 投中次数m 15 33 47 65 95 120 160 投中频率 根据频率的稳定性，估计这名球员投篮一次时投中的概率是 ．（结果保留小数点后两位） 【答案】 【分析】本题主要考查了频率估计概率．试验的次数越多频率稳定在概率附近，据此解答即可． 【详解】解：由频数分布表可知，随着投篮次数越来越大时，频率稳定在常数附近， 所以一次投中的概率是． 故答案为：． 【变式6-2】．已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有4个，黑球有x个，若随机从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出黑球的频率稳定在0.8附近，则x的值为（   ） A．15 B．16 C．18 D．20 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，根据频率估计概率，摸出黑球的概率为0.8，利用概率公式建立方程求解即可． 【详解】解：∵摸出黑球的频率稳定在0.8附近， ∴摸出黑球的概率为0.8， ， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 故选：B． 【题型7 用频率估计概率的综合应用】 【典例7】．小明与同学做“抛掷图钉试验”，获得数据如下： 抛掷次数n 100 300 500 700 800 900 1000 钉尖着地的频数m 36 111 190 266 312 351 390 钉尖着地的频率 0.36 0.37 0.38 0.38 0.39 0.39 0.39 根据以上数据，当抛掷图钉1500次时，估计“钉尖着地”的次数为（   ） A．540 B．555 C．570 D．585 【答案】D 【分析】本题考查了用频率估计概率；大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：观察表格发现：随着试验次数的增多，钉尖着地的频率逐渐稳定到附近， ∴估计“钉尖着地”的概率为， ∴抛掷1500次时，估计次数为． 故选：D． 【变式7-1】．在“世界读书日”来临之际，某学校开展了“我因阅读而成长”的赠书活动，如图，设置了一个可以自由转动的转盘，并规定每位学生可获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得一本相应的书籍，下表是活动中的一组统计数据． 转动转盘的次数 落在《红星照耀中国》区域的次数 落在《红星照耀中国》区域的频率 (1)上述表格中 ， ． (2)画出获得《红星照耀中国》频率的折线统计图． (3)假如你去转动该转盘一次，你获得《红星照耀中国》的概率约是 （结果保留到小数点后两位）． (4)在转盘中，表示《海底两万里》区域的扇形圆心角是，则表示《西游记》区域的扇形圆心角约是多少度？ 【答案】(1)0.44；450 (2)见解析 (3) (4) 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，还考查了求圆心角的度数． （1）根据表中数据，结合频率、频数的关系求解即可； （2）根据表格数据画折线统计图即可； （3）从表中频率的变化，可得到估计当n很大时，频率将会接近，然后根据利用频率估计概率可得答案； （4）先求得表示《红星照耀中国》区域的扇形圆心角的度数，进而可求解． 【详解】（1）解：由题意，，， 故答案为：0.44；450； （2）解：如图： （3）解：从表中频率的变化，可估计当n很大时，频率将会接近， 故获得《红星照耀中国》的概率约为， 故答案为：； （4）解：表示《红星照耀中国》区域的扇形圆心角的度数约为， 则表示《西游记》区域的扇形圆心角约是． 【变式7-2】．现有五个乒乓球和五个盒子，它们分别标号、、、、，小明同学打算将所有的小球都放入到盒子中，但要求：（1）每个盒子只能放一个小球；（2）小球号码与盒子号码均不相同．根据上述信息，小明同学一共有 种不同的放法． 【答案】44 【分析】本题考查排列、组合的应用，考查学生分析转化问题的能力，每个小球都不放入相同号码的盒子中，对于5个元素，错位排列即可． 【详解】解：∵每个盒子只能放一个小球；小球号码与盒子号码均不相同， ∴第一个盒子放2的放法有21453；21534；23154；23451；23514；24153；24513；24531；25134；25413；25431，共11种； 第一个盒子放3的放法有31254；31452；31524；34152；34251；34512；34521；35124；35214；35421；35412，共11种； 第一个盒子放4的放法有41253；41532；41523；43152；43251；43512；43521；45123；45132；45213；45231，共11种； 第一个盒子放5的放法有51234；51423；51432；53124；53214；53412；53421；54123；54132；54213；54231，共11种； ∴一共有种 故答案为：44． 【题型8 列举随机实验的所有可能结果】 【典例8】．一个袋中装有偶数个球，其中黑球、白球各占一半，甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，先随机将其中一个球放入甲盒．如果先放入甲盒的球是黑球，则另一个球放入乙盒；如果先放入甲盒的球是白球，则另一个球放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有的球都被放入盒中． （1）某次从袋中任意取出两个球，若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的球的颜色是 ． （2）若乙盒中最终有6个黑球，则袋中原来最少有 个球． 【答案】 黑 【分析】本题主要考查了推理与论证，训练了学生的逻辑思维能力，有一定难度．根据题意得出取两个球共有四种情况，进而分析得到结论是解题的关键． （1）由题意可知若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的是黑球，由此可得答案； （2）根据题意列出所有取两个球往盒子中放入的情况，然后对每种情况分析即可． 【详解】解：（1）依题意得，若先放入甲盒的球是白球，则另一个球放入丙盒．但取出的球都没有放入丙盒，因此先放入甲盒的球不能是白球，只能是黑球． 故答案为黑． （2）由题意得，可知取两个球共有四种情况： ①黑+黑，则乙盒中黑球数加1， ②白+白，则丙盒中白球数加1， ③黑+白（黑球放入甲盒），则乙盒中白球数加1， ④白+黑（白球放入甲盒），则丙盒中黑球数加1． 分析可知，只有当从袋中取出的两个球都是黑球时，乙盒中才会增加一个黑球． 因此，乙盒中最终有6个黑球，说明取出两个黑球的操作发生了6次． 该操作共用去黑球(个)． 因为袋中黑球、白球各占一半， 所以袋中原来最少有个黑球和个白球． 故袋中原来最少有(个)球． 故答案为：． 【变式8-1】．下面是两堆共五张印有数字的卡片，背面则是相同的白色背景．第一堆有2张，第二堆有三张，如下图所示．将卡片翻过去，背面朝上，在每堆中分别随机取出一张，请列表表示出所有可能性，并回答： (1)这两张上面的数字中有奇数的结果有多少种？ (2)这两张上面的数字的和是偶数的结果有多少种？ (3)这两张上面的数字的乘积大于10的结果有多少种？ 【答案】(1)4种 (2)3种 (3)3种 【分析】本题主要考查了通过列表来列出所有可能的结果，并根据不同的事件找到符合要求的结果的种数．在列表时注意，首行首列必须标清楚第一堆和第二堆所有的数字，再在表格中用表示出每个结果． （1）根据表中的结果判断即可； （2）根据表中的结果判断即可； （3）根据表中的结果判断即可． 【详解】（1）解：所有可能的结果列表如下：(用表示第一堆的数为x，第二堆的数为y） 1 4 6 2 5 共6种等可能性结果． 有奇数的结果共有4种，分别是、、、． （2）和是偶数的结果有3种，分别是、、． （3）数字的乘积大于10的结果有3种，分别是、、． 【变式8-2】．将一枚图钉抛起，落地后会出现“钉尖朝上”和“钉帽朝上”两种情况．有人认为这两种情况是等可能的，因此“钉尖朝上”的概率是．请判断该观点是否正确，并说明理由． 【答案】不正确，理由见解析 【分析】本题主要考查概率的意义，判断实验所得结果是不是等可能的，熟练掌握以上知识点是做题的关键．根据概率的意义及判断“钉尖朝上”和“钉帽朝上”所得结果不是等可能的进行解答即可． 【详解】解：该观点不正确，理由如下： 因为图钉的构造不是对称的，其重心偏向一侧，所以落地时“钉尖朝上”和“钉帽朝上”两种结果发生的可能性不相等，因此“钉尖朝上”的概率不是，故该观点不正确． 【题型9 判断实验所得结果是否是等可能的】 【典例9】．下列随机事件属于“等可能性事件”的是（   ） A．交通信号灯出现红色、绿色、黄色 B．掷一枚图钉，落地后钉尖“朝上”或“朝下” C．小明用随机抽签的方式选择、、三种答案，分别选中、、 D．小亮在沿着“直角三角形”的小路散步，他出现在各边上 【答案】C 【分析】本题主要考查了等可能性事件， 等可能性事件需每个结果概率相等，再逐项判断即可． 【详解】解：∵交通信号灯红、绿、黄灯时间通常不相等， ∴概率不相等，A不是等可能性事件； ∵图钉结构不对称，钉尖朝上和朝下概率不相等， ∴B不是等可能性事件； ∵随机抽签方式选择A、B、C，每个被选中的概率均为， ∴C是等可能性事件； ∵直角三角形三边长度可能不相等，出现在各边上的概率不相等， ∴D不是等可能性事件． 故选：C． 【变式9-1】．在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下），他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：7；乙：12；丙：17；丁：3；戊：16根据以上信息，下列判断正确的是（    ） A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7 B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和8 C．乙同学手里拿的两张卡片上的数字是4和8 D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和5 【答案】B 【分析】正确的推理判断即可求解． 【详解】解：因为丁同学手里拿的两张卡片上的数字之和是3，所以丁拿的卡片只能是1和2，则甲同学手里拿的就只能是3和4． 如果戊同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7， 则乙同学拿的就是6和6，因为不能重复，所以A是错误的； 如果丙同学拿的是9和8，则乙同学拿的是5和7，戊同学拿的就是10和6，符合数学的演绎推理，是正确的． 根据数学选择题的四选一原则，就选B． 故选：B． 【点睛】本题考查数学演绎推理，结合数学知识，进行正确的演绎推理是解决本题的关键， 【变式9-2】．从这九个自然数中任取两个不同的数，则它们的最大公约数为1的概率为 ． 【答案】/0.75 【分析】本题考查了概率的计算，熟练掌握列举法求概率的方法是解题的关键． 计算从中任取两个不同数的所有等可能性的结果数，再计算最大公约数不为1所有等可能性的结果数，即最大公约数为2、3、4的所有等可能性的结果数，然后作差求最大公约数为1的所有等可能性的结果数，最后利用概率公式求出最大公约数为1的概率即可． 【详解】解：从中任取两个不同的数，所有等可能性的结果数共有：（种）， 最大公约数为2的结果有：、、、、，共5种， 最大公约数为3的结果有：、、，共3种， 最大公约数为4的结果有：，共1种， ∴最大公约数不为1的结果数有：（种）， ∴最大公约数为1的结果数有：（种）， ∴从这九个自然数中任取两个不同的数，则它们的最大公约数为1的概率为； 故答案为：． 【题型10 列举法求概率】 【典例10】．一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为2，3，4．随机摸出一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，则两次取出的小球标号的和等于6的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了列举法求概率，通过列举法求出所有可能的结果数及两次取出的小球标号的和等于6的结果数，由概率公式即可求得结果． 【详解】解：所有可能的结果有9种：， ， ， ， ， ， ， ， ．其中两次标号的和等于6的结果有， ， 共3种，因此概率为． 故答案为． 【变式10-1】．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，落地后两枚硬币朝上一面可能的情况分别是：①全是正面；②一正一反；③全是反面．这三个事件中，发生的可能性最大的是 （填“①”，“②”或“③”） 【答案】② 【分析】本题考查了列举法求概率．首先利用列举法，可得抛掷两枚质地均匀的硬币，可能的结果为：正正，正反，反正，反反，然后利用概率公式求得各概率，再比较判断，即可解题． 【详解】解：抛掷两枚质地均匀的硬币，所有可能的结果为：正正，正反，反正，反反，共4种等可能情况． 事件①（全是正面）包含1种情况，概率为； 事件②（一正一反）包含2种情况，概率为； 事件③（全是反面）包含1种情况，概率为． ， 事件②的概率最大． 故答案为：②． 【变式10-2】．任意掷一枚质地均匀的骰子，下列情况出现的可能性最小的是（    ） A．面朝上的点数是3的倍数 B．面朝上的点数小于2 C．面朝上的点数大于3 D．面朝上的点数是奇数 【答案】B 【分析】本题考查了求概率，根据概率比较可能性的大小． 计算每个事件发生的概率，比较大小即可． 【详解】解：骰子有6个面，每个面朝上的概率均为， 对于A：点数是3的倍数有2个结果．3和6，概率为； 对于B：点数小于2有1个结果，即1，概率为； 对于C：点数大于3，有3个结果，4、5、6，概率为； 对于D：点数是奇数，有3个结果，1、3、5，概率为； ∴概率最小的是B， 即出现的可能性最小的是B． 故选：B． 【题型11 根据概率公式计算概率】 【典例11】．有9张卡片，上面分别写有1，2，3，4，5，6，7，8，9．抽取一张，该卡片上的数是3的倍数的可能性大小为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了简单事件的概率计算，熟练掌握概率公式符合条件的结果数总结果数是解题的关键． 先确定总结果数和符合条件（是3的倍数）的结果数，再根据概率公式计算可能性大小． 【详解】解：∵共有9张卡片， ∴总结果数为9， ∵卡片上的数是3的倍数的有3，6，9， ∴符合条件的结果数为3， ∴该卡片上的数是3的倍数的可能性大小为， 故答案为：． 【变式11-1】．中国四大名楼是黄鹤楼（湖北武汉）、岳阳楼（湖南岳阳）、滕王阁（江西南昌）和鹳雀楼（山西永济）．从中随机选取一个名楼，刚好抽到“鹳雀楼”的概率是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了概率．直接根据概率公式解答即可． 【详解】解：∵总共有4个名楼，鹳雀楼是1个， ∴从中随机选取一个名楼，刚好抽到“鹳雀楼”的概率是． 故选：D 【变式11-2】．用12个球设计一个摸球游戏，下面设计的四种方案中，不恰当的设计是（   ） A．摸到红球、白球、黄球的概率均为 B．摸到红球的概率，摸到白球的概率是，摸到黄球的概率是 C．摸到红球的概率是，摸到白球、黄球的概率都是 D．摸到红球的概率是，摸到黄球的概率也是 【答案】C 【分析】本题考查的是随机事件的概率的含义，根据概率之和必须为1及各颜色球的数量必须为整数且总和为12，逐一验证各选项的合理性即可． 【详解】解：选项A：红、白、黄球的概率均为．总概率为，符合要求．对应球数为个（每种颜色），总和为，设计合理． 选项B：红球概率，白球，黄球．总概率为，符合要求．对应球数为红球个，白球个，黄球个，总和为，设计合理． 选项C：红球概率，白球和黄球概率均为．总概率为，超过1，不符合概率的基本性质，设计不恰当． 选项D：红球和黄球概率均为．总概率为，符合要求．对应球数为红球个，黄球6个，总和为12，设计合理． 综上，选项C的设计不恰当． 故选：C 【题型12 根据概率做判断】 【典例12】．某商家“幸运抽奖”活动规则：参与者可从数字1-9中任选一个翻牌，有机会赢取礼品．牌的正、反面（部分）内容如图所示，其中为石湾公仔，为佛山剪纸，为盲公饼，为木版年画，为谢谢参与． (1)事件“随机翻一个牌，赢取礼品是木版年画”是什么事件？ (2)若“②奖牌反面”中出现的次数是的2倍，则（抽到）________； (3)请在“③奖牌反面”中重新设计奖牌反面的内容，须同时满足以下条件： *包含“”； *（抽到）（抽到）（抽到）（抽到）． 【答案】(1)随机事件； (2)； (3)详见解答． 【分析】本题考查概率公式，随机事件． （1）根据随机事件的定义进行判断即可； （2）根据题意得到“A出现2次，B出现1次”，再根据概率的定义进行计算即可； （3）根据“格子的总数”，包含“A、B、C、E”，且（抽到）（抽到）（抽到）（抽到）调查答案即可． 【详解】（1）解：事件“随机翻一个牌，赢取礼品是木版年画”是随机事件； （2）若“②奖牌反面”中A出现的次数是B的2倍，根据图②奖牌反面的分布情况可知，A出现2次，B出现1次， 所以P（抽到A） ， 故答案为：； （3）由于一共是9个格，包含“A、B、C、E”，且（抽到）（抽到）（抽到）（抽到）． 所以C和E各占一格，还剩7格，B占4格，A占3格即可．（答案不唯一） 【变式12-1】．振华超市想通过促销来吸引顾客，设立了一个如图的翻奖牌（图1中的奖牌对应的奖品如图2所示，翻到“谢谢惠顾”不得奖，翻到金额数则获得相应的购物券），并规定：顾客一次购买不少于元的商品，就能获得一次翻奖牌的机会． (1)某顾客购物消费了元，获得一次翻奖牌的机会．则该顾客获得元购物券的概率是 ；获得元购物券的概率是 ；不获奖的概率是 ； (2)求顾客平均每次翻奖牌获奖金额（精确到）； (3)请根据本题题意写出一个事件，使这个事件发生的概率是． 【答案】(1)、、 (2)顾客平均每次翻奖牌获奖金额约为元 (3)顾客翻奖牌一次，获得了购物券，但不是元（答案不唯一） 【分析】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握概率公式． （1）根据图2中各购物券和“谢谢惠顾”的数量，直接根据概率公式求解即可； （2）用奖金分别乘以对应概率，再求和即可； （3）答案不唯一． 【详解】（1）解：该顾客获得元购物券的概率是； 获得元购物券的概率是； 不获奖的概率是， 故答案为：、、； （2）解：∵顾客获得元购物券的概率是，顾客获得元购物券的概率是， ∴顾客平均每次翻奖牌获奖金额为 （元）， 所以顾客平均每次翻奖牌获奖金额约为元． （3）解：顾客翻奖牌一次，获得了购物券，但不是元（答案不唯一）． 【变式12-2】．一个不透明的口袋里装有20个不同颜色的小球（除颜色外其余均相同），其中有5个蓝球，个红球，还有个黄球．每次摸出一个球记录下颜色后再放回，统计每次实验红球出现的频率如图，则的值最可能是（   ） A．12 B．3 C．10 D．5 【答案】A 【分析】由图形知，红球出现的频率逐渐稳定于数值，再乘以球的总个数即可得出答案． 本题主要考查利用频率估计概率，根据概率求数量，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：由图形知，红球出现的频率逐渐稳定于数值， 所以估计袋中红球的个数为：（个）， 故选：A． 【题型13 已知概率求数量】 【典例13】．在一次摸球游戏中共有12个白球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，不断重复该过程，并绘制了如图所示的统计图，那么估计游戏中黑球的个数为 ． 【答案】 【分析】本题考查利用频率估计概率的实际应用．根据频率统计图确定白球的稳定频率，将其作为白球的概率，设黑球的个数为，列出方程进而求出黑球个数． 【详解】解：由频率统计图可知，摸到白球的频率稳定在左右， 根据频率估计概率的思想，可得白球的概率约为． 设黑球的个数为，则总球数为， 由概率公式得，解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意； 故答案为：． 【变式13-1】．现有正面分别写有“最”“美”“银”“川”的卡片共20张，这些卡片的背面完全相同，已知写有“最”字的卡片有8张，写有“银”字的卡片有4张，写有“川”字的卡片有3张，混匀后，将卡片背面朝上放置在桌面上． (1)事件“随机抽取3张，全是写有‘兴’字的卡片”为_______事件；（选填“随机”、“必然”或“不可能”） (2)随机抽取一张，求抽到写有“美”字卡片的概率； (3)从这些卡片中取出张写有“最”字的卡片，再放入张写有“银”字的卡片，混匀后，随机抽取一张卡片，抽到写有“银”字卡片的概率为，求的值． 【答案】(1)不可能 (2) (3)4 【分析】本题考查事件的分类，根据概率公式求概率，掌握相关知识是解题的关键． （1）必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．据此进行判断即可． （2）求出写有“美”字的卡片的数量，再根据概率公式求解即可； （3）根据概率公式构造方程求解即可． 【详解】（1）解：事件“随机抽取3张，全是写有‘兴’字的卡片”为不可能事件． （2）解：由题意可知，写有“美”字的卡片有（张）， 所以随机抽取一张，抽到写有“美”字卡片的概率为． （3）解：由题意可知：， 解得：， 答：m的值为4． 【变式13-2】．小明和小华玩一个游戏，规则是：同时抛掷两枚均匀的硬币，若两枚都正面朝上，则小明赢；若两枚都反面朝上，则小华赢；若一正一反，则为平局．这个游戏对双方（   ） A．公平，因为小明和小华赢的概率相等 B．不公平，小明赢的概率大 C．不公平，小华赢的概率大 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查了游戏的公平性，列举法求概率．通过列举两枚硬币抛掷的所有可能结果，计算小明和小华赢的概率并比较，即可作答． 【详解】解：依题意，两枚均匀硬币抛掷的所有可能结果有4种：正正、正反、反正、反反，且每种结果等可能， 其中，小明赢（正正）的概率为，小华赢（反反）的概率为，平局为， ∴小明和小华赢的概率相等，游戏公平， 故选：A． 【题型14 游戏的公平性】 【典例14】．在一个不透明的袋子中装有1个红球与3个黄球，四个球除颜色外，其它均相同．规则是：小丁同学摸一个球，不放回；小王同学再摸一个球，不放回；小林同学再摸一个球，不放回；小陈同学最后摸走剩余的球．摸到红球的人，可获得电影票一张． 小陈说：我最后一个摸球，获得电影票的概率最小，应该4人同时摸球才公平． 小林说：如果前面3人都没摸到红球，小陈肯定获得电影票，因此小陈获得电影票的概率最大． 小王说：不论同时摸球还是按顺序摸球，每人获得电影票的概率都是． 小丁说：先摸与后摸，获得红球的概率都是，因此这个规则是公平的． 以上4位同学的说法，正确的是（   ） A．小陈与小林 B．小林与小丁 C．小林与小王 D．小王与小丁 【答案】D 【分析】本题考查概率的应用，熟练掌握概率公式是解题的关键． 计算四人依次不放回摸球时每人摸到红球的概率，据此解答即可． 【详解】解：总球数4个，红球1个， 则小丁摸到红球的概率为， 小王摸到红球的概率为， 小林摸到红球的概率为 小陈摸到红球的概率为 因此，每人摸到红球概率均为，小王与小丁的说法正确， 故选：D． 【变式14-1】．某商场进行促销活动，设计了如下两种摇奖方式： 方式一：有一枚均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”．将这个骰子掷出后，“6”朝上则获奖； 方式二：一个均匀的转盘被等分成份，分别标有1至这个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字为6的倍数则获奖． (1)若采用方式一，骰子掷出后，“4”朝上的概率为 (2)选择哪种摇奖方式获奖机会更大？请说明理由． 【答案】(1) (2)选择摇奖方式一获奖机会更大，理由见解析 【分析】本题考查等可能事件的概率计算，关键是确定每种事件包含的基本事件数，再利用概率公式计算． （1）直接根据标有“4”的面数与总面数的比值计算概率； （2）分别计算两种摇奖方式的获奖概率，再比较大小． 【详解】（1）解：∵正二十面体骰子总共有个面，其中标有“4”的面有4个， ∴骰子掷出后，“4”朝上的概率为； 故答案为：； （2）解：先计算方式一的获奖概率： 骰子总面数为，标有“6”的面数为， ∴选择方式一获奖的概率为． 再计算方式二的获奖概率： 转盘被等分成份，6的倍数为6、，共2个， ∴选择方式二获奖的概率为． ∵， ∴方式一的获奖机会更大； 答：选择方式一获奖机会更大． 【变式14-2】．教室地面的瓷砖如图所示，一把钥匙被藏在某种颜色的一块瓷砖下面，则下列判断中，正确的是（   ） A．被藏在白色瓷砖下的概率大 B．被藏在灰色瓷砖下的概率大 C．被藏在两种瓷砖下的概率一样大 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了几何概率，解答此题的关键是分别计算出灰白瓷砖的块数，用到的知识点为：概率相应的面积与总面积之比． 先求出教室地面的瓷砖的总块数，再分别求出灰、白瓷砖的块数，根据概率公式解答即可． 【详解】解：教室地面的瓷砖共有（块）， 其中白色瓷砖有块，概率为， 灰色瓷砖有块，概率为， 故被藏在白色瓷砖下的概率大． 故选：A． 【题型15 几何概率】 【典例15】．二维码在日常生活中被广泛应用．如图，兴趣小组将二维码打印在面积为的正方形纸片上，利用计算机软件进行随机掷点模拟实验，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，可以用频率的集中趋势来估计概率．根据频率估计概率的原理，黑色阴影的面积等于正方形面积乘以点落在黑色阴影的频率． 【详解】解：二维码打印在面积为的正方形纸片上，点落在黑色阴影的频率稳定在左右， 二维码中黑色阴影的面积． 故选：A． 【变式15-1】．按要求完成题目： (1)如图①．在正方形内，有一个内切圆．利用电脑设计程序：在正方形内随机产生一些点，当点数很多时，电脑自动统计正方形内的点数为，圆内的点数为（在正方形边上和圆上的点不统计）．根据用频率估计概率的思想，推得的大小（用含，的式子表示）； (2)如图②所示的是一个可以自由转动的质地均匀的转盘，任意转动转盘，当转盘停止时，计算指针落在蓝色区域的概率； (3)有一个小球在如图③所示的地板上自由滚动，地板上的每个小格子都是边长为1的正方形．求小球最终停留在阴影区域的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查几何概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． （1）根据圆的面积与正方形的面积的比等于落在相应位置的点数的比列式求解即可； （2）用蓝色区域的圆心角度数除以度即可； （3）分别求出地板面积和阴影区域的面积，然后用阴影区域的面积除以地板面积即可求出小球最终停留在阴影区域的概率． 【详解】（1）解：设圆的半径为，则正方形的边长为． 根据题意，得， 所以． （2）解：如题图②，指针落在蓝色区域的概率为． 答：指针落在蓝色区域的概率为． （3）解：如题图③，地板面积为， 阴影区域的面积为， 则小球最终停留在阴影区域的概率为． 答：小球最终停留在阴影区域的概率为． 【变式15-2】．某超市的抽奖活动转盘，一等奖、二等奖、三等奖区域的面积比为，则一名顾客转动一次转盘，获奖可能性最大的奖项是 ． 【答案】三等奖 【分析】本题考查概率在转盘抽奖中的应用，由奖项比例计算各奖项概率，比较大小即可． 【详解】一等奖、二等奖、三等奖的比为，总比例为， 获一等奖的概率为，获二等奖的概率为，获三等奖的概率为， 由于，则获奖可能性最大的奖项是三等奖． 故答案为三等奖． 【题型16 概率在转盘抽奖中的应用】 【典例16】．某商场举办有奖促销活动，凡购买一定金额的商品，即可参与转盘抽奖．如图，转盘分为，，，四个区域，自由转动转盘，指针对准，，，区域时，分别对应“谢谢惠顾”“一等奖”“二等奖”“三等奖”，转到指针对准公共线位置时重转． (1)若某顾客转动一次转盘，求其获得“一等奖”的概率． (2)若某顾客转动一次转盘，求其中奖的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率．掌握几何概率的求法是解本题的关键． （1）求出字母所在的区域的圆心角度数，再根据概率公式即可求解． （2）求出中奖区域的圆心角度数，再根据概率公式即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得：区域对应“一等奖”， 设顾客转动一次转盘，其获得“一等奖”为事件， 由图知字母所在的区域的圆心角度数为， 则， 答：顾客转动一次转盘，其获得“一等奖”的概率为． （2）解：设顾客转动一次转盘，中奖为事件， 则， 答：顾客转动一次转盘，其中奖的概率为． 【变式16-1】．某商场在促销活动中设立了一个可以自由转动的转盘，转盘等分为10份，如图所示．同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，下表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 指针落在“谢谢参与”区域的次数m 29 60 93 122 b 指针落在“谢谢参与”区域的频率 0.29 0.3 0.31 a 0.296 (1)完成上述表格：a＝　　　，b＝　　　　；　 (2)若继续不停转动转盘，当n很大时，指针落在“谢谢参与”区域的频率将会接近　　　，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率是　　　　；（ 结果都精确到0.1） (3)顾客转动转盘一次，得到奖品“盲盒”的概率记为，得到奖品“贴纸”的概率记为，得到“谢谢参与”的概率记为，求，，的大小关系．（ 用“”连接） 【答案】(1)、 (2)， (3) 【分析】本题考查的是利用频率估计概率，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比． （1）根据频率和频数的关系求得a和b的值即可； （2）利用大量重复试验中的频率稳定值估计概率即可； （3）利用概率公式分别求得、、的值后比较大小即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：、； （2）解：若继续不停转动转盘，当n很大时，指针落在“谢谢参与”区域的频率将会接近，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率约是； 故答案为：，； （3）解：，，， ． 【变式16-2】．足球比赛前，裁判通常要掷一枚硬币来决定比赛双方的场地与首发球者，其主要原因是（   ） A．让比赛更富有情趣 B．让比赛更具有神秘色彩 C．体现比赛的公平性 D．不知道什么原因 【答案】C 【分析】本题考查的简单随机事件的概率，掷硬币是一种随机事件，正面和反面出现的概率相等，均为，从而确保双方机会均等，体现公平性． 【详解】∵抛掷一枚硬币，正面朝上与反面朝上的可能性相同，概率均为， ∴这种方法使比赛双方在场地和发球权的选择上具有同等机会，因此主要原因是体现比赛的公平性． 故选：C． 【题型17 概率在比赛中的应用】 【典例17】．体育场内，所在的队伍与其他十六支队伍进行足球比赛，比赛采用晋级赛的形式（即共分为四轮比赛，每一轮比赛中，随机抽取一支队伍轮空直接晋级下一轮，非轮空的队伍之间两两进行比赛，胜者晋级下一轮．最后一轮结束时，由轮空队伍与该轮获胜队伍进行总决赛，总决赛胜者为冠军）假定每支队伍实力均等（即每场比赛双方的胜率均为），那么所在的队伍每一轮都被抽为轮空且最终在决赛赢得冠军的概率为（    ）．（已知：独立事件的联合概率等于各独立事件概率的乘积） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了概率的计算，根据题意，计算出每一轮比赛队伍的支数，然后求出每一轮抽到轮空概率，结合赢得总决赛的概率，算得答案即可． 【详解】解：∵所在的队伍与其他十六支队伍进行足球比赛，比赛采用晋级赛的形式， ∴第一轮共有17支队伍，第二轮共有9支队伍，第三轮共有5支队伍，第四轮共有3支队伍， ∴第一轮抽中轮空概率为，第二轮抽中轮空概率为，第三轮抽中轮空概率为，第四轮抽中轮空概率为， ∵赢得总决赛概率为， ∴那么所在的队伍每一轮都被抽为轮空且最终在决赛赢得冠军的概率为：． 故选：B． 【变式17-1】．小明和小亮利用质地均匀的骰子做游戏，规则如下： ●两人同时做游戏，各自掷一枚骰子，每人可以只掷一次骰子，也可以连续地掷几次骰子． ●当一人掷出的点数和不超过10时，如果决定停止掷，那么此人的得分就是他所掷出的点数之和；当一人掷出的点数和超过10时，必须停止掷，并且得分为0． ●比较两人的得分，谁的得分高谁就获胜． 根据下面这个表格中的数据记录回答： 游戏次序 游戏者 第1次点数 第2次点数 第3次点数 得分 第一次 小明 2 3 2 小亮 3 4 6 第二次 小明 4 1 小亮 3 5 (1)在第一次游戏中，小明的最终得分是________分，小亮的最终得分是________分，所以获胜的是________（填小明或小亮）； (2)在第二次游戏中，如果小明继续掷第三次，试计算他最终得分为0的概率； (3)在第二次游戏中，如果你是小亮，在不知道小明最终得分的情况下，你会继续掷第三次吗？请说明你的理由． 【答案】(1)7，0，小明 (2) (3)不会，理由见解析 【分析】本题考查概率的实际应用，熟练掌握概率公式，是解题的关键： （1）根据规则，进行求和计算即可； （2）先求出小明第三次投掷的点数与前两次的点数之和超过10的结果，再利用概率公式进行计算即可； （3）求出小亮第三次投掷和不超过10和超过10的概率，进行判断即可． 【详解】（1）解：小明得分：（分）； 小亮投掷的点数之和为：， ∴小亮得分为0分； ∴小明赢； 故答案为：7，0，小明； （2）小明前两次投掷的点数和为：， ∴当小明第三次投掷的点数为时，最终得分为0分， ∴； （3）不会，理由如下： 小亮前两次投掷的点数和为：， ∴当小亮第三次投掷的点数，即为：3，4，5，6时，小亮的得分为0分，概率为：，小亮第三次投掷的点数为1，2时，小亮得分不为0，概率为， ∵， ∴不会投掷第三次． 【变式17-2】．2025年是农历乙巳年，中国邮政《乙巳年》特种邮票“蛇呈丰稔”全国首发．为了测得如图邮票上蛇形图案的面积，李华同学利用电脑模拟投针试验（在电脑上反复向邮票内随机投掷一个点，假设这个点落在邮票内的每一点都是等可能的），经过反复大量的重复试验，发现这个点落在蛇形图案上的频率稳定在0.6左右，若一张邮票的面积是6cm2，则邮票上蛇形图案的面积约为 cm2． 【答案】3.6/ 【分析】本题考查了由频率估计概率，求出这个点落在蛇形图案上的概率是解决本题的关键． 先求解这个点落在蛇形图案上的概率，再由概率乘面积求解即可． 【详解】解：由频率估计概率的知识可得：这个点落在蛇形图案上的概率约为， 所以邮票上蛇形图案的面积约为． 故答案为：3.6． 【题型18 概率的其他应用】 【典例18】．某超市为吸引顾客设置如下的翻奖牌，奖品有纸巾、牙刷、太阳伞，进店消费可翻一次牌．翻奖牌的正面、背面如图所示．已知翻奖牌正面除数字外其他完全相同．请解决下面的问题： (1)翻一次牌翻到“纸巾”的概率是__________； (2)翻一次牌获得奖品的概率是_________； (3)请你设计翻奖牌背面的内容，使得最后翻到“纸巾”的概率是，翻到“谢谢参与”的概率是，要求奖牌内容包含“纸巾、牙刷、太阳伞、谢谢参与”． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键； （1）用“纸巾”对应牌的数量除以牌的总数量即可； （2）用“纸巾”、“牙刷”“太阳伞”对应牌的总数量除以牌的总数量即可； （3）根据题意，可知本题答案不唯一，只要九张牌中有4张写着纸巾，2个谢谢参与，其他为牙刷、太阳伞即可． 【详解】（1）解：由图可得，一共有9个方格，“纸巾”奖品占3个， 抽到“纸巾”奖品的可能性是：； 故答案为：； （2）解：由图可得，一共有9个方格，“纸巾”奖品占3个，“牙刷”奖品占2个，“太阳伞”奖品占1个，“谢谢参与”奖品占3个， 小深中奖的概率是 故答案为：； （3）解：设计九张牌中九张牌中有4张写着纸巾，2个谢谢参与，其他为牙刷、太阳伞，如图所示： 【变式18-1】．下表记录了某纺织厂对一批衬衣进行抽检统计的结果 抽取件数n 50 100 150 200 500 800 1000 合格数m 48 93 143 189 478 759 952 合格率 a (1)______； (2)估计从这批衬衣中任抽一件是合格品的概率为______；（精确到） (3)若从这批衬衣中抽检1200件，估计其中的次品有多少件？ 【答案】(1) (2) (3)60件 【分析】本题考查用频率估计算概率，频率计算公式，求出合格品的频率是解题的关键． （1）根据合格率，计算即可； （2）求出合格品的频率 ，由此估计出合格品的概率； （3）根据次品数，计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：抽查总体件数：， 合格品数：， ∴抽合格品的频率为：， ∴估计从这批衬衣中任抽一件是合格品的概率约为， 故答案为：． （3）解：（件）， 答：从这批衬衣中抽检1200件，估计其中的次品有60件． 【变式18-2】.某学校九年级在义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，规定：购物20元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数 落在书画区域的次数 落在书画区域的频率 (1)完成上述表格：__________；__________；假如你去转动该转盘一次，估计你获得书画奖品的概率约是__________（精确到）； (2)甲乙两人购物后各获得一次转动转盘的机会，他们认为两人恰好都获得书画奖品的概率和两人恰好都获得手工奖品的概率一样大，请判断这句话的正误；__________（填写正确或错误） (3)若本次义卖活动共有800人各获得一次转动转盘的机会，请估计本次义卖活动共送出多少张书画奖品？ 【答案】(1)295，0.6，0.6， (2)错误 (3)480张 【分析】本题主要考查了用频率估计概率、概率的乘法计算、频数与频率的关系，熟练掌握频率与概率的关系，以及利用概率进行简单计算是解题的关键． （1）先利用频率公式计算总数，再根据总数和频率求出对应频数与频率；最后用频率估计概率． （2）先判断书画和手工的概率大小，再分别计算两人都得书画奖品、两人都得手工奖品的概率，比较大小后判断正误． （3）用总人数乘以书画奖品的概率，得到送出书画奖品的估计数量． 【详解】（1）解：， 当次数很大时，频率将会接近0.6，获得书画奖品的概率约是0.6， 故答案为：295，0.6，0.6； （2）解：（书画），（手工）， （两人都书画）， （两人都手工）， ， 该说法错误， 故答案为：错误； （3）解：张 答：估计本次义卖活动共送出480张书画奖品． 模块五 过关检测 1．下列事件是随机事件的是（   ） A．抛出的篮球会下落 B．明天会下雨 C．任意三角形，其内角和是 D．太阳从东方升起 【答案】B 【分析】本题考查了事件的分类，随机事件是指可能发生也可能不发生的事件，具有不确定性． 根据随机事件的定义作答即可． 【详解】解：A选项抛出的篮球会下落是必然事件； B选项明天会下雨是随机事件； C选项任意三角形内角和是是不可能事件； D选项太阳从东方升起是必然事件； 故选：B． 2．一个不透明的袋子中装有2个红球、若干个白球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出1个球记下颜色后放回摇匀，再从中随机摸出1个球．不断重复这一过程，小亮通过多次实验发现，摸到红球的频率稳定在左右，则袋子里白球的个数估计是（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，则可求出摸到红球的概率，再根据概率计算公式求出球的总数，进而可求出白球的个数． 【详解】解：∵小亮通过多次实验发现，摸到红球的频率稳定在左右， ∴摸到红球的概率为， ∴球的总数为个， ∴白球的个数为， 即袋子里白球的个数估计是8， 故选：A． 3．某质地均匀的骰子的个面上分别刻有到的点数，掷该骰子一次，观察向上一面的点数，则下列事件中，发生概率最小的是（   ）． A．向上一面的点数是偶数 B．向上一面的点数大于 C．向上一面的点数是质数 D．向上一面的点数是 【答案】D 【分析】本题考查了可能性大小的判断，概率公式等，熟练掌握概率公式是解题的关键． 分别根据概率公式求出概率，即可判断出答案． 【详解】解：选项A中，向上一面的点数是偶数的情况有种，即，所以概率为； 选项B中，向上一面的点数大于有种，即，所以概率为； 选项C中，向上一面的点数是质数有种，即，所以概率为； 选项D中，向上一面的点数是有种，所以概率为． ∵， ∴发生概率最小的是向上一面的点数是． 故选：D． 4．下列描述的事件为必然事件的是（    ） A．打开电视机，正在播放新闻联播 B．任意买一张电影票，座位号是偶数 C．掷一枚质地均匀的骰子，朝上一面的点数小于7 D．汽车经过一个红绿灯路口，正好是红灯 【答案】C 【分析】本题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下一定发生的事件，不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据定义逐项判断即可． 【详解】解：A．“打开电视机，正在播放新闻联播” 可能发生也可能不发生，是随机事件； B．“任意买一张电影票，座位号是偶数” 可能发生也可能不发生，是随机事件； C．“掷一枚质地均匀的骰子，朝上一面的点数小于7” 一定发生，是必然事件； D．“汽车经过一个红绿灯路口，正好是红灯” 可能发生也可能不发生，是随机事件； 故选：C． 5．一个不透明袋子中装有除颜色外完全相同的红白两种小球共个，搅拌均匀后，每次从袋中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，不断重复这一过程，共摸球次，有次摸到红球，则袋中红球的个数大约有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了利用频率估计概率，已知概率求数量． 利用频率估计概率，摸到红球的频率为，以此估计概率，再乘以总球数可得红球个数． 【详解】解：∵摸球1000次，摸到红球401次， ∴摸到红球的频率为． 即摸到红球的概率约为． ∵总球数为40个， ∴红球个数约为个， ∴袋中红球的个数大约有16个． 故选：C． 6．丹东市是中国最大的边境城市，拥有众多举世闻名的旅游景点．小明一家准备周末去丹东游玩，他们想在“凤凰山”，“虎山长城”，“鸭绿江断桥”，“大孤山”这四个景点中随机选择一个游玩，则选到“虎山长城”的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查概率公式．根据概率公式可直接得出答案． 【详解】解：∵在“凤凰山”，“虎山长城”，“鸭绿江断桥”，“大孤山”这四个景点中任意选择一个游玩， ∴选到“虎山长城”的概率是， 故选：C． 7．石岩沙梨以果大、汁多、味甜而著称．现跟踪调查石岩沙梨树苗的移植成活率，调查数据记录如下： 移植数量 40 100 200 500 1000 成活数量 34 93 176 451 900 成活率 根据调查结果，估计石岩沙梨树苗移植成活的概率（精确到）为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了概率，解题的关键是掌握概率与频率的关系：当试验(移植树苗)次数足够多时，事件发生的频率会稳定在概率附近． 【详解】解：观察表格数据：随着移植数量从40增加到1000，成活率依次为，逐渐稳定在左右， 故选：D． 8．“立春、雨水、惊蛰、…、大寒”等24个节气中依次有6个节气分别属于春、夏、秋、冬四个季节，则从24个节气中随机选一个节气，这个节气恰好与今日同属于一个季节的概率是 ． 【答案】/0.25 【分析】本题考查了概率的求解，理解题意是解决本题的关键． 总共有24个节气，每个季节有6个节气，今日属于其中一个季节，则随机选一个节气与今日同季节的概率为． 【详解】解：24个节气分为春、夏、秋、冬四个季节，每个季节有6个节气． 设今日属于某个季节，则与该季节相同的节气有6个．总节气数为24， ∴概率． 故答案为：． 9．一个袋中装有若干个红球、黄球和蓝球，每个球除颜色外都相同，某兴趣小组开展摸球试验，每次摸出一个球记录下颜色后放回摇匀，重复试验，并统计了蓝球出现的频率．如图所示，若再摸一次，估计摸到蓝球的概率为 ．（结果精确到0.01） 【答案】0.60 【分析】根据频率估计概率即可得到答案．本题主要考查了利用频率估计概率，正确理解题意是解题的关键． 【详解】解：由题意可知频率稳定在0.60附近，则可估计摸到蓝球的概率为0.60． 故答案为：0.60． 10．如图是小华用计算机模拟随机投掷一枚图钉的实验结果，若再次抛掷一枚图钉，则可以估计“钉尖向上”的概率是 ．（精确到0.001） 【答案】0.618 【分析】本题主要考查用频率估计概率，随着投掷次数的增加，“钉尖向上”的频率越来越稳定，当投掷次数超过4000次时，“钉尖向上”的频率稳定在0.618左右，于是可以估计“钉尖向上”的概率为0.618． 【详解】随着投掷次数的增加，“钉尖向上”的频率越来越稳定，当投掷次数超过4000次时，“钉尖向上”的频率稳定在0.618左右，于是可以估计“钉尖向上”的概率为0.618． 故答案为：0.618 11．不透明袋子中装有个球，其中有个红球，个黄球，个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出个球，则它是绿球的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了概率公式，熟记概率公式是解题的关键，如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率．根据概率公式求解即可． 【详解】解：总球数为个，绿球有个， 随机取出个球是绿球的概率为． 故答案为：． 12．用一张正方形纸板依据图1进行折叠、剪切，可以制作出图2所示的七巧板，在该七巧板上随机钉一枚图钉，则图钉的钉尖恰好落在区域①这块三角板的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了几何概率，掌握几何概率即面积比是解题的关键． 观察图形，得到区域①的面积与正方形面积的比，即可得出答案． 【详解】解：由图可知，区域①的面积为正方形面积的， ∴图钉的钉尖恰好落在区域①这块三角板的概率是． 故答案为：． 13．某数学兴趣小组做“抛瓶盖试验”，统计的数据如下表所示： 抛掷次数 400 600 800 1000 盖口向上的频数 252 370 498 621 盖口向上的频率（结果保留小数点后三位） 0.630 0.617 0.623 0.621 通过试验结果估计抛出瓶盖后盖口向上的概率约为 （结果精确到0.1）． 【答案】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．利用频率估计概率，并精确到0.1即可． 【详解】解：∵抛掷次数为1000次时，盖口向上的频率为0.621， ∴估计抛出瓶盖后盖口向上的概率为． 故答案为：． 14．设置一个转盘，其盘面被分为若干个全等的扇形区域．用力转动转盘，转盘停止后，指针指向每个区域的可能性都相等（当指针指向两个区域的分界线时，规定为它指向的是其右边相邻区域） (1)如图1，如果转盘面被分成6个全等的扇形区域，其中3个区域涂成灰色．用力转动转盘，当转盘停止后，求指针指向灰色区域的可能性大小； (2)请你在图2中画一个转盘，用力转动转盘，当转盘停止后，使得指针指向阴影区域的可能性大小是． 【答案】(1) (2)图见解析 【分析】本题考查了几何概率，以及概率公式，理解题意是解题的关键． （1）直接利用概率公式计算即可； （2）结合几何概率定义，以及指针指向阴影区域的可能性大小是，将转盘面分成8个全等的扇形区域，其中3个区域涂成灰色，即可解题． 【详解】（1）解：根据题意，共有6块全等的扇形区域，其中3块是灰色，则指针指向灰色区域的可能性大小是； （2）解：如图，所画转盘即为所求： 将转盘面分成8个全等的扇形区域，其中3个区域涂成灰色，此时指针指向阴影区域的可能性大小是． 15．（1）一个盒子中装有33个分别涂有红、黑、白三种颜色的质地相同的小球．若红球的个数比黑球的2倍多5，从盒子中任取1个球是白球的概率是，求从盒子中任取1个球是黑球的概率； （2）一只小鸟自由自在地在空中飞行，然后随意落在如下图所示的某个方格中（每个方格除颜色外完全一样）．计算小鸟停在深色方格中的概率． 【答案】（1）  （2） 【分析】本题考查了几何概率，概率公式，掌握①如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率，②某事件的概率等于相应事件的面积与总面积之比是解题的关键． （1）先根据概率公式求出白球的个数为，再根据红球个数是黑球个数的倍多个，可设黑球有个，则红球有个，根据总个数为个列方程即可求出黑球的个数，根据概率公式可求从盒子中任取个球是黑球的概率； （2）用深色方格的面积除以总面积即可． 【详解】解：（1）∵从盒子中任取个球是白球的概率是， ∴白球有（个）． 设黑球有个，则红球有个． 根据题意，得， 解得， ∴黑球有个， ∴从盒子中任取个球是黑球的概率为． 答：从盒子中任取个球是黑球的概率是． （2）小鸟停在深色方格中的概率为． 答：小鸟停在深色方格中的概率是． 16．某校七年级通过开展以“我最喜欢的书籍”为主题的调查活动来了解学生的阅读情况，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：政史类，B：科技类，C：文学类，D：艺术类，E：其他类）．根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．请你根据图中信息，解答下列问题： (1)在这项调查中，共调查了 名学生； (2)将条形统计图补充完整，其中扇形统计图中“B”所在扇形圆心角的度数为 ； (3)在选择“E”的学生中有1名女生，3名男生，现从这四名学生中随机选出一名学生做读书分享，请求出刚好选到女生的概率． 【答案】(1)80 (2)见解析， (3) 【分析】本题主要考查了概率公式、条形统计图和扇形统计图等知识点，理解概率公式是解题的关键． （1）根据A的人数及所占百分比求出调查学生的总人数； （2）总人数减去A，B，C，E的人数，可求D人数，再补全统计图即可；360度乘以B所占百分比，即可求出扇形统计图中“B”所在扇形圆心角的度数； （3）利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：在这项调查中，共调查学生（名）． 故答案为：80． （2）解：D类的人数为（人）． 补全条形统计图如图所示． 扇形统计图中“B”所在扇形圆心角的度数为． 故答案为：． （3）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中刚好选到女生的结果有1种， ∴刚好选到女生的概率为． 17．某校学生会计划开展一场活动，为了解本校学生对参加该活动的意愿，从该校随机调查了100位学生对该活动的参加意愿，统计结果如下表（单位：人）： 参加意愿 初中生 高中生 愿意 40 20 不愿意 20 20 (1)若从该校全体初中生中随机抽取1名学生，估计该学生愿意参加该活动的概率； (2)若该校共有初中生2400人，高中生1800人，现从该校全体学生中随机抽取1名学生，估计该学生愿意参加该活动的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了频率估计概率，概率公式． （1）利用概率公式求解即可； （2）分别求得该校初中生和高中生中愿意参加该活动的人数，再利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：由表格数据可知，随机调查的初中生共有人， 其中，愿意参加该活动的有40人， 若从该校全体初中生中随机抽取1位， 由频率估计概率可得，这位初中生愿意参加该活动的概率约为； （2）解：由样本估计总体得， 该校初中生中愿意参加该活动的有人， 该校高中生中愿意参加该活动的有人． 若从该中学的全体学生中随机抽取1位学生， 由频率估计概率可得， 这位学生愿意参加该活动的概率约为． 18．如图是一个可以自由转动的转盘，它被分成了分别涂有黄色、绿色的2个扇形区域．数学小组的同学做转盘试验；转动转盘，当转盘停止转动时，记录下指针所指区域的颜色，不断重复这个过程．若指针指向分界线，不计次数，则重新转动转盘，直至指针指向某一区域为止．获得数据如下： 转动转盘的次数 200 300 400 1000 1600 2000 转到黄色区域的频数 72 93 130 334 532 667 转到黄色区域的频率 0.36 m 0.325 n 0.3325 0.3335 (1)下列说法中错误的有_______（填写序号）． ①转动转盘8次，指针都指向绿色区域，所以第9次转动时指针一定指向绿色区域； ②转动转盘15次，指针指向绿色区域的次数不一定大于指向黄色区域的次数； ③转动转盘200次，指针指向绿色区域的次数一定为128． (2)求表中m，n的值，并估计随机转动转盘“指针指向黄色区域”的概率（精确到0.1）． 【答案】(1)①③ (2) 【分析】本题考查的是可能性的大小．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）根据可能性的大小分别对每一项进行分析，即可得出答案； （2）根据频率可得的值，再利用频率来估计概率即可． 【详解】（1）解：①转动转盘8次，指针都指向绿色区域，但第9次转动时指针不一定指向绿色区域，故本选项说法错误； ②转动15次，指针指向绿色区域的次数不一定大于指向黄色区域的次数，故本选项说法正确； ③转动转盘200次，指针指向绿色区域的次数不一定为128，故本选项说法错误； 故答案为：①③； （2）解：，， 根据表格信息可知，随着转动次数的增加，转到黄色区域的频率稳定在， 故． 19．民间有种折纸玩具“东南西北”，每每想起它，都能唤起我们对美好童年的回忆．此玩具的制作方法：通过折叠把一个正方形的纸片分成八个面积相等的部分，在每个部分分别写上相应的惩罚或奖励，叠合成“东南西北”，通过转动随机挑选出八个区域中的一个作为游戏的结果．图①是小浩制作的一个“东南西北”玩具，展开后如图②所示． (1)随机挑选出的一面写有“文具”是____________事件（填“必然”“随机”或“不可能”）． (2)小浩重新设计了一个“东南西北”玩具，在八个面上分别写上“钢笔”“笔记本”“圆规”三种奖品．经过多次试验后得到数据如下： 试验次数 8 24 40 80 160 获得“钢笔”的次数 2 10 16 28 60 根据表格估算，八面中写有奖品“钢笔”的面数为____________． 【答案】(1)随机 (2)3 【分析】本题考查了随机事件的概念、用频率估计概率的方法，掌握随机事件的定义，以及用频率估计概率的步骤是解题的关键． （1）根据必然、随机、不可能事件的定义，结合图中面的内容，判断抽到写有文具的面是否具有不确定性； （2）先计算获得钢笔的频率，用频率估计概率，再结合总面数计算写有钢笔的面数． 【详解】（1）解：∵图②中既有写文具的面，也有写零食、图书的面，随机挑选时，可能抽到文具，也可能抽到其他内容， ∴这是随机事件． （2）解：先计算获得钢笔的频率：试验次数越多，频率越接近概率，取160次试验的数据，频率为． ∵总面数为8，用频率估计概率， ∴写有钢笔的面数为． 20．某中学抽取了部分学生参加了“每周课外阅读时间”的调查活动，并由调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图． 组别 时间/小时 频数/人数 A组 2 B组 m C组 10 D组 12 E组 7 F组 4 请根据图表中的信息解答下列问题： (1)求参与调查的学生人数； (2)在扇形统计图中，求组所对应扇形圆心角的度数； (3)已知组的学生中，只有1名男生，其余都是女生，用列举法求以下事件的概率：从组中随机选取2名学生，恰好都是女生． 【答案】(1)40人 (2) (3) 【分析】本题考查统计图表，从统计图表中有效的获取信息是解题的关键： （1）运用组的频数除以占比，求出参与调查的学生人数为人 （2）用抽取的40人减去其他5个组的人数即可得出的值，再用乘以组人数所占的比例即可； （3）列举出所有的可能性，利用概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：依题意，（人）， ∴参与调查的学生人数为人； （2）解：； ∴组的圆心角， 故答案为：； （3）解：由题意，选择的两人可能为（男，女1），（男，女2），（男，女3），（女1，女2），（女1，女3），（女2，女3） 恰好都是女生的概率为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章概率初步寒假预习讲义 （5知识点+18题型+过关检测）模块一 题型先知导航 【题型1 事件的分类】 3 【题型2 判断事件发生的可能性的大小】 3 【题型3 求某事件的概率】 4 【题型4 概率的意义理解】 5 【题型5 关于频率与概率关系说法的正误】 5 【题型6 由频率估计概率】 6 【题型7 用频率估计概率的综合应用】 7 【题型8 列举随机实验的所有可能结果】 8 【题型9 判断实验所得结果是否是等可能的】 9 【题型10 列举法求概率】 9 【题型11 根据概率公式计算概率】 10 【题型12 根据概率做判断】 10 【题型13 已知概率求数量】 11 【题型14 游戏的公平性】 12 【题型15 几何概率】 13 【题型16 概率在转盘抽奖中的应用】 14 【题型17 概率在比赛中的应用】 16 【题型18 概率的其他应用】 17 · 能准确区分必然事件、不可能事件、随机事件，并结合生活实例进行判断。 · 理解概率的定义，知道概率是刻画随机事件发生可能性大小的数值，明确概率取值范围（0≤P (A)≤1）。 · 初步感知 “频率稳定性”，知道大量重复试验中，可用事件发生的频率估计概率。 · 认识等可能事件，掌握简单等可能事件的概率计算公式 P(A)=m/n（n 为所有等可能结果数，m 为事件 A 包含的结果数）。 模块三 知识点梳理 【知识点一、随机事件】 （1）确定事件 事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的． （2）随机事件 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件． （3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中， ①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）＝1； ②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）＝0； ③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1． 【知识点二、可能性的大小】 随机事件发生的可能性（概率）的计算方法： （1）理论计算又分为如下两种情况： 第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算． （2）实验估算又分为如下两种情况： 第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率． 第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验． 【知识点三、概率的意义】 （1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）＝p． （2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现． （3）概率取值范围：0≤p≤1． （4）必然发生的事件的概率P（A）＝1；不可能发生事件的概率P（A）＝0． （4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0． （5）通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题． 【知识点四、概率公式】 （1）随机事件A的概率P（A）＝． （2）P（必然事件）＝1． （3）P（不可能事件）＝0． 【知识点五、几何概率】 所谓几何概型的概率问题，是指具有下列特征的一些随机现象的概率问题：设在空间上有一区域G，又区域g包含在区域G内（如图），而区域G与g都是可以度量的（可求面积），现随机地向G内投掷一点M，假设点M必落在G中，且点M落在区域G的任何部分区域g内的概率只与g的度量（长度、面积、体积等）成正比，而与g的位置和形状无关．具有这种性质的随机试验（掷点），称为几何概型．关于几何概型的随机事件“向区域G中任意投掷一个点M，点M落在G内的部分区域g”的概率P定义为：g的度量与G的度量之比，即 P＝g的测度G的测度 简单来说：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等． 模块四 题型汇总 【题型1 事件的分类】 【典例1】．下列事件中，必然事件是（　　） A．实数的绝对值是非负数 B．两直线被第三条直线所截，同位角相等 C．抛一枚硬币，落地后正面朝上 D．抛掷1枚质地均匀的骰子，向上的点数为6 【变式1-1】．下列成语描述的事件是不可能事件的是（   ） A．水中捞月 B．守株待兔 C．一箭双雕 D．旭日东升 【变式1-2】．黄庄月饼是河北特色月饼之一，嘉嘉从一个装有1个板栗月饼，2个枣泥月饼，3个五仁月饼和4个豆沙月饼的黄庄月饼礼盒中，随机拿出一个月饼（月饼的外观都一样），则拿出的月饼可能性最大的是（    ） A．板栗月饼 B．枣泥月饼 C．五仁月饼 D．豆沙月饼 【题型2 判断事件发生的可能性的大小】 【典例2】．若宇宙中飞来一块陨石砸到地球上，则事件“陨石没有砸中人”是（    ） A．必然事件 B．不可能事件 C．极大概率事件 D．极小概率事件 【变式2-1】．某路口南北方向红绿灯的设置时间为：红灯、绿灯、黄灯．小明爸爸随机地由南往北开车到达该路口，下面说法正确的是（   ） A．小明爸爸遇到红灯是必然事件 B．小明爸爸遇到黄灯是不可能事件 C．小明爸爸遇到黄灯的概率最小 D．小明爸爸遇到红灯的概率大于他遇到绿灯的概率 【变式2-2】．某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是（   ） A．掷一枚一元硬币，落地后正面朝上 B．在红灯30秒、绿灯60秒、黄灯10秒的十字路口，一辆车经过时，遇到的恰好是红灯 C．掷一个正六面体骰子，向上一面的点数是3的倍数 D．一个不透明的袋子中装有1个红球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从中任取1个球，取出的球是黄球 【题型3 求某事件的概率】 【典例3】．为了看图钉落地后钉尖着地的频率有多大，小明做了大量重复试验，发现钉尖着地的次数是试验总次数的，下列说法错误的是（　　） A．钉尖着地的频率是0.4 B．随着试验次数的增加，钉尖着地的频率逐渐稳定在某一个常数附近 C．前10次试验结束后，钉尖着地的次数一定是4 D．前20次试验结束后，钉尖着地的次数不一定是8 【变式3-1】．为推动农业现代化进程，某农科所在相同条件下开展农作物种子发芽率的试验，试验数据如表： 种子颗数 100 400 600 700 900 1000 发芽种子颗数 94 378 571 664 951 发芽种子频率 (1)填空：上表中的值为___________，的值为___________； (2)估计这种农作物种子在此条件下发芽的概率．（精确到） 【变式3-2】．一个事件的概率为0.8，则下列说法正确的是（   ） A．这个事件一定会发生 B．这个事件一定不会发生 C．这个事件发生的可能性较大 D．这个事件发生的可能性较小 【题型4 概率的意义理解】 【典例4】．天气预报显示，明天某地的降水概率如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．明天一定会下雨 B．明天一定不会下雨 C．明天下雨的可能性比较大 D．明天下雨的可能性比较小 【变式4-1】．刮刮乐是中国福利彩票发行中心发行的网点即开型福利彩票，返奖率达．某彩票点12月份总计销售这种刮刮乐彩票2万元，该彩票店12月份刮刮乐开出奖金的期望值为 ． 【变式4-2】．在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为，该事件的概率为．下列说法正确的是（   ） A．试验次数越多，越大 B．试验次数越多，越大 C．与都可能发生变化 D．试验次数大量增加时，在附近摆动，并趋于稳定 【题型5 关于频率与概率关系说法的正误】 【典例5】．关于用频率估计概率，下列说法正确的是（   ） A．实验次数越少，频率越接近概率 B．频率一定等于概率 C．多次重复实验后，频率会逐渐稳定在概率附近 D．抛一枚均匀骰子，实验10次有2次点数为6，则点数为6的概率估计为 【变式5-1】．如图是用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．下面是根据实验结果所作出的四个推断，其中合理的是（） A．当投掷次数是时，“钉尖向上”的次数是 B．当投掷第次时，“钉尖向上”的概率是 C．随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率趋近于，故可以估计其概率是 D．若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为时，“钉尖向上”的频率一定是 【变式5-2】．某工厂为检验一批产品的合格情况，随机抽取部分产品进行测试，测试结果如下： 抽取的数量n 20 100 200 500 1000 2000 合格的数量m 18 91 183 455 908 1824 合格的频率 0.900 0.910 0.915 0.910 0.908 0.912 根据表格中的数据，随机从这批产品中选择1个，估计该产品合格的概率（保留两位小数）为（    ） A．0.90 B．0.91 C．0.92 D．0.93 【题型6 由频率估计概率】 【典例6】．某林业部门将一种树苗移植成活的情况绘制成如下统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率为（   ） A．0.80 B．0.85 C．0.90 D．0.95 【变式6-1】．下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果 投篮次数n 20 40 60 80 120 150 200 投中次数m 15 33 47 65 95 120 160 投中频率 根据频率的稳定性，估计这名球员投篮一次时投中的概率是 ．（结果保留小数点后两位） 【变式6-2】．已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有4个，黑球有x个，若随机从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出黑球的频率稳定在0.8附近，则x的值为（   ） A．15 B．16 C．18 D．20 【题型7 用频率估计概率的综合应用】 【典例7】．小明与同学做“抛掷图钉试验”，获得数据如下： 抛掷次数n 100 300 500 700 800 900 1000 钉尖着地的频数m 36 111 190 266 312 351 390 钉尖着地的频率 0.36 0.37 0.38 0.38 0.39 0.39 0.39 根据以上数据，当抛掷图钉1500次时，估计“钉尖着地”的次数为（   ） A．540 B．555 C．570 D．585 【变式7-1】．在“世界读书日”来临之际，某学校开展了“我因阅读而成长”的赠书活动，如图，设置了一个可以自由转动的转盘，并规定每位学生可获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得一本相应的书籍，下表是活动中的一组统计数据． 转动转盘的次数 落在《红星照耀中国》区域的次数 落在《红星照耀中国》区域的频率 (1)上述表格中 ， ． (2)画出获得《红星照耀中国》频率的折线统计图． (3)假如你去转动该转盘一次，你获得《红星照耀中国》的概率约是 （结果保留到小数点后两位）． (4)在转盘中，表示《海底两万里》区域的扇形圆心角是，则表示《西游记》区域的扇形圆心角约是多少度？ 【变式7-2】．现有五个乒乓球和五个盒子，它们分别标号、、、、，小明同学打算将所有的小球都放入到盒子中，但要求：（1）每个盒子只能放一个小球；（2）小球号码与盒子号码均不相同．根据上述信息，小明同学一共有 种不同的放法． 【题型8 列举随机实验的所有可能结果】 【典例8】．一个袋中装有偶数个球，其中黑球、白球各占一半，甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，先随机将其中一个球放入甲盒．如果先放入甲盒的球是黑球，则另一个球放入乙盒；如果先放入甲盒的球是白球，则另一个球放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有的球都被放入盒中． （1）某次从袋中任意取出两个球，若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的球的颜色是 ． （2）若乙盒中最终有6个黑球，则袋中原来最少有 个球． 【变式8-1】．下面是两堆共五张印有数字的卡片，背面则是相同的白色背景．第一堆有2张，第二堆有三张，如下图所示．将卡片翻过去，背面朝上，在每堆中分别随机取出一张，请列表表示出所有可能性，并回答： (1)这两张上面的数字中有奇数的结果有多少种？ (2)这两张上面的数字的和是偶数的结果有多少种？ (3)这两张上面的数字的乘积大于10的结果有多少种？ 【变式8-2】．将一枚图钉抛起，落地后会出现“钉尖朝上”和“钉帽朝上”两种情况．有人认为这两种情况是等可能的，因此“钉尖朝上”的概率是．请判断该观点是否正确，并说明理由． 【题型9 判断实验所得结果是否是等可能的】 【典例9】．下列随机事件属于“等可能性事件”的是（   ） A．交通信号灯出现红色、绿色、黄色 B．掷一枚图钉，落地后钉尖“朝上”或“朝下” C．小明用随机抽签的方式选择、、三种答案，分别选中、、 D．小亮在沿着“直角三角形”的小路散步，他出现在各边上 【变式9-1】．在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下），他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：7；乙：12；丙：17；丁：3；戊：16根据以上信息，下列判断正确的是（    ） A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7 B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和8 C．乙同学手里拿的两张卡片上的数字是4和8 D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和5 【变式9-2】．从这九个自然数中任取两个不同的数，则它们的最大公约数为1的概率为 ． 【题型10 列举法求概率】 【典例10】．一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为2，3，4．随机摸出一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，则两次取出的小球标号的和等于6的概率是 ． 【变式10-1】．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，落地后两枚硬币朝上一面可能的情况分别是：①全是正面；②一正一反；③全是反面．这三个事件中，发生的可能性最大的是 （填“①”，“②”或“③”） 【变式10-2】．任意掷一枚质地均匀的骰子，下列情况出现的可能性最小的是（    ） A．面朝上的点数是3的倍数 B．面朝上的点数小于2 C．面朝上的点数大于3 D．面朝上的点数是奇数 【题型11 根据概率公式计算概率】 【典例11】．有9张卡片，上面分别写有1，2，3，4，5，6，7，8，9．抽取一张，该卡片上的数是3的倍数的可能性大小为 ． 【变式11-1】．中国四大名楼是黄鹤楼（湖北武汉）、岳阳楼（湖南岳阳）、滕王阁（江西南昌）和鹳雀楼（山西永济）．从中随机选取一个名楼，刚好抽到“鹳雀楼”的概率是（   ） A．1 B． C． D． 【变式11-2】．用12个球设计一个摸球游戏，下面设计的四种方案中，不恰当的设计是（   ） A．摸到红球、白球、黄球的概率均为 B．摸到红球的概率，摸到白球的概率是，摸到黄球的概率是 C．摸到红球的概率是，摸到白球、黄球的概率都是 D．摸到红球的概率是，摸到黄球的概率也是 【题型12 根据概率做判断】 【典例12】．某商家“幸运抽奖”活动规则：参与者可从数字1-9中任选一个翻牌，有机会赢取礼品．牌的正、反面（部分）内容如图所示，其中为石湾公仔，为佛山剪纸，为盲公饼，为木版年画，为谢谢参与． (1)事件“随机翻一个牌，赢取礼品是木版年画”是什么事件？ (2)若“②奖牌反面”中出现的次数是的2倍，则（抽到）________； (3)请在“③奖牌反面”中重新设计奖牌反面的内容，须同时满足以下条件： *包含“”； *（抽到）（抽到）（抽到）（抽到）． 【变式12-1】．振华超市想通过促销来吸引顾客，设立了一个如图的翻奖牌（图1中的奖牌对应的奖品如图2所示，翻到“谢谢惠顾”不得奖，翻到金额数则获得相应的购物券），并规定：顾客一次购买不少于元的商品，就能获得一次翻奖牌的机会． (1)某顾客购物消费了元，获得一次翻奖牌的机会．则该顾客获得元购物券的概率是 ；获得元购物券的概率是 ；不获奖的概率是 ； (2)求顾客平均每次翻奖牌获奖金额（精确到）； (3)请根据本题题意写出一个事件，使这个事件发生的概率是． 【变式12-2】．一个不透明的口袋里装有20个不同颜色的小球（除颜色外其余均相同），其中有5个蓝球，个红球，还有个黄球．每次摸出一个球记录下颜色后再放回，统计每次实验红球出现的频率如图，则的值最可能是（   ） A．12 B．3 C．10 D．5 【题型13 已知概率求数量】 【典例13】．在一次摸球游戏中共有12个白球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，不断重复该过程，并绘制了如图所示的统计图，那么估计游戏中黑球的个数为 ． 【变式13-1】．现有正面分别写有“最”“美”“银”“川”的卡片共20张，这些卡片的背面完全相同，已知写有“最”字的卡片有8张，写有“银”字的卡片有4张，写有“川”字的卡片有3张，混匀后，将卡片背面朝上放置在桌面上． (1)事件“随机抽取3张，全是写有‘兴’字的卡片”为_______事件；（选填“随机”、“必然”或“不可能”） (2)随机抽取一张，求抽到写有“美”字卡片的概率； (3)从这些卡片中取出张写有“最”字的卡片，再放入张写有“银”字的卡片，混匀后，随机抽取一张卡片，抽到写有“银”字卡片的概率为，求的值． 【变式13-2】．小明和小华玩一个游戏，规则是：同时抛掷两枚均匀的硬币，若两枚都正面朝上，则小明赢；若两枚都反面朝上，则小华赢；若一正一反，则为平局．这个游戏对双方（   ） A．公平，因为小明和小华赢的概率相等 B．不公平，小明赢的概率大 C．不公平，小华赢的概率大 D．无法判断 【题型14 游戏的公平性】 【典例14】．在一个不透明的袋子中装有1个红球与3个黄球，四个球除颜色外，其它均相同．规则是：小丁同学摸一个球，不放回；小王同学再摸一个球，不放回；小林同学再摸一个球，不放回；小陈同学最后摸走剩余的球．摸到红球的人，可获得电影票一张． 小陈说：我最后一个摸球，获得电影票的概率最小，应该4人同时摸球才公平． 小林说：如果前面3人都没摸到红球，小陈肯定获得电影票，因此小陈获得电影票的概率最大． 小王说：不论同时摸球还是按顺序摸球，每人获得电影票的概率都是． 小丁说：先摸与后摸，获得红球的概率都是，因此这个规则是公平的． 以上4位同学的说法，正确的是（   ） A．小陈与小林 B．小林与小丁 C．小林与小王 D．小王与小丁 【变式14-1】．某商场进行促销活动，设计了如下两种摇奖方式： 方式一：有一枚均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”．将这个骰子掷出后，“6”朝上则获奖； 方式二：一个均匀的转盘被等分成份，分别标有1至这个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字为6的倍数则获奖． (1)若采用方式一，骰子掷出后，“4”朝上的概率为 (2)选择哪种摇奖方式获奖机会更大？请说明理由． 【变式14-2】．教室地面的瓷砖如图所示，一把钥匙被藏在某种颜色的一块瓷砖下面，则下列判断中，正确的是（   ） A．被藏在白色瓷砖下的概率大 B．被藏在灰色瓷砖下的概率大 C．被藏在两种瓷砖下的概率一样大 D．无法确定 【题型15 几何概率】 【典例15】．二维码在日常生活中被广泛应用．如图，兴趣小组将二维码打印在面积为的正方形纸片上，利用计算机软件进行随机掷点模拟实验，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式15-1】．按要求完成题目： (1)如图①．在正方形内，有一个内切圆．利用电脑设计程序：在正方形内随机产生一些点，当点数很多时，电脑自动统计正方形内的点数为，圆内的点数为（在正方形边上和圆上的点不统计）．根据用频率估计概率的思想，推得的大小（用含，的式子表示）； (2)如图②所示的是一个可以自由转动的质地均匀的转盘，任意转动转盘，当转盘停止时，计算指针落在蓝色区域的概率； (3)有一个小球在如图③所示的地板上自由滚动，地板上的每个小格子都是边长为1的正方形．求小球最终停留在阴影区域的概率． 【变式15-2】．某超市的抽奖活动转盘，一等奖、二等奖、三等奖区域的面积比为，则一名顾客转动一次转盘，获奖可能性最大的奖项是 ． 【答案】三等奖 【分析】本题考查概率在转盘抽奖中的应用，由奖项比例计算各奖项概率，比较大小即可． 【详解】一等奖、二等奖、三等奖的比为，总比例为， 获一等奖的概率为，获二等奖的概率为，获三等奖的概率为， 由于，则获奖可能性最大的奖项是三等奖． 故答案为三等奖． 【题型16 概率在转盘抽奖中的应用】 【典例16】．某商场举办有奖促销活动，凡购买一定金额的商品，即可参与转盘抽奖．如图，转盘分为，，，四个区域，自由转动转盘，指针对准，，，区域时，分别对应“谢谢惠顾”“一等奖”“二等奖”“三等奖”，转到指针对准公共线位置时重转． (1)若某顾客转动一次转盘，求其获得“一等奖”的概率． (2)若某顾客转动一次转盘，求其中奖的概率． 【变式16-1】．某商场在促销活动中设立了一个可以自由转动的转盘，转盘等分为10份，如图所示．同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，下表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 指针落在“谢谢参与”区域的次数m 29 60 93 122 b 指针落在“谢谢参与”区域的频率 0.29 0.3 0.31 a 0.296 (1)完成上述表格：a＝　　　，b＝　　　　；　 (2)若继续不停转动转盘，当n很大时，指针落在“谢谢参与”区域的频率将会接近　　　，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率是　　　　；（ 结果都精确到0.1） (3)顾客转动转盘一次，得到奖品“盲盒”的概率记为，得到奖品“贴纸”的概率记为，得到“谢谢参与”的概率记为，求，，的大小关系．（ 用“”连接） 【变式16-2】．足球比赛前，裁判通常要掷一枚硬币来决定比赛双方的场地与首发球者，其主要原因是（   ） A．让比赛更富有情趣 B．让比赛更具有神秘色彩 C．体现比赛的公平性 D．不知道什么原因 【答案】C 【分析】本题考查的简单随机事件的概率，掷硬币是一种随机事件，正面和反面出现的概率相等，均为，从而确保双方机会均等，体现公平性． 【详解】∵抛掷一枚硬币，正面朝上与反面朝上的可能性相同，概率均为， ∴这种方法使比赛双方在场地和发球权的选择上具有同等机会，因此主要原因是体现比赛的公平性． 故选：C． 【题型17 概率在比赛中的应用】 【典例17】．体育场内，所在的队伍与其他十六支队伍进行足球比赛，比赛采用晋级赛的形式（即共分为四轮比赛，每一轮比赛中，随机抽取一支队伍轮空直接晋级下一轮，非轮空的队伍之间两两进行比赛，胜者晋级下一轮．最后一轮结束时，由轮空队伍与该轮获胜队伍进行总决赛，总决赛胜者为冠军）假定每支队伍实力均等（即每场比赛双方的胜率均为），那么所在的队伍每一轮都被抽为轮空且最终在决赛赢得冠军的概率为（    ）．（已知：独立事件的联合概率等于各独立事件概率的乘积） A． B． C． D． 【变式17-1】．小明和小亮利用质地均匀的骰子做游戏，规则如下： ●两人同时做游戏，各自掷一枚骰子，每人可以只掷一次骰子，也可以连续地掷几次骰子． ●当一人掷出的点数和不超过10时，如果决定停止掷，那么此人的得分就是他所掷出的点数之和；当一人掷出的点数和超过10时，必须停止掷，并且得分为0． ●比较两人的得分，谁的得分高谁就获胜． 根据下面这个表格中的数据记录回答： 游戏次序 游戏者 第1次点数 第2次点数 第3次点数 得分 第一次 小明 2 3 2 小亮 3 4 6 第二次 小明 4 1 小亮 3 5 (1)在第一次游戏中，小明的最终得分是________分，小亮的最终得分是________分，所以获胜的是________（填小明或小亮）； (2)在第二次游戏中，如果小明继续掷第三次，试计算他最终得分为0的概率； (3)在第二次游戏中，如果你是小亮，在不知道小明最终得分的情况下，你会继续掷第三次吗？请说明你的理由． 【变式17-2】．2025年是农历乙巳年，中国邮政《乙巳年》特种邮票“蛇呈丰稔”全国首发．为了测得如图邮票上蛇形图案的面积，李华同学利用电脑模拟投针试验（在电脑上反复向邮票内随机投掷一个点，假设这个点落在邮票内的每一点都是等可能的），经过反复大量的重复试验，发现这个点落在蛇形图案上的频率稳定在0.6左右，若一张邮票的面积是6cm2，则邮票上蛇形图案的面积约为 cm2． 【题型18 概率的其他应用】 【典例18】．某超市为吸引顾客设置如下的翻奖牌，奖品有纸巾、牙刷、太阳伞，进店消费可翻一次牌．翻奖牌的正面、背面如图所示．已知翻奖牌正面除数字外其他完全相同．请解决下面的问题： (1)翻一次牌翻到“纸巾”的概率是__________； (2)翻一次牌获得奖品的概率是_________； (3)请你设计翻奖牌背面的内容，使得最后翻到“纸巾”的概率是，翻到“谢谢参与”的概率是，要求奖牌内容包含“纸巾、牙刷、太阳伞、谢谢参与”． 【变式18-1】．下表记录了某纺织厂对一批衬衣进行抽检统计的结果 抽取件数n 50 100 150 200 500 800 1000 合格数m 48 93 143 189 478 759 952 合格率 a (1)______； (2)估计从这批衬衣中任抽一件是合格品的概率为______；（精确到） (3)若从这批衬衣中抽检1200件，估计其中的次品有多少件？ 【变式18-2】.某学校九年级在义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，规定：购物20元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数 落在书画区域的次数 落在书画区域的频率 (1)完成上述表格：__________；__________；假如你去转动该转盘一次，估计你获得书画奖品的概率约是__________（精确到）； (2)甲乙两人购物后各获得一次转动转盘的机会，他们认为两人恰好都获得书画奖品的概率和两人恰好都获得手工奖品的概率一样大，请判断这句话的正误；__________（填写正确或错误） (3)若本次义卖活动共有800人各获得一次转动转盘的机会，请估计本次义卖活动共送出多少张书画奖品？ 模块五 过关检测 1．下列事件是随机事件的是（   ） A．抛出的篮球会下落 B．明天会下雨 C．任意三角形，其内角和是 D．太阳从东方升起 2．一个不透明的袋子中装有2个红球、若干个白球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出1个球记下颜色后放回摇匀，再从中随机摸出1个球．不断重复这一过程，小亮通过多次实验发现，摸到红球的频率稳定在左右，则袋子里白球的个数估计是（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 3．某质地均匀的骰子的个面上分别刻有到的点数，掷该骰子一次，观察向上一面的点数，则下列事件中，发生概率最小的是（   ）． A．向上一面的点数是偶数 B．向上一面的点数大于 C．向上一面的点数是质数 D．向上一面的点数是 4．下列描述的事件为必然事件的是（    ） A．打开电视机，正在播放新闻联播 B．任意买一张电影票，座位号是偶数 C．掷一枚质地均匀的骰子，朝上一面的点数小于7 D．汽车经过一个红绿灯路口，正好是红灯 5．一个不透明袋子中装有除颜色外完全相同的红白两种小球共个，搅拌均匀后，每次从袋中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，不断重复这一过程，共摸球次，有次摸到红球，则袋中红球的个数大约有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 6．丹东市是中国最大的边境城市，拥有众多举世闻名的旅游景点．小明一家准备周末去丹东游玩，他们想在“凤凰山”，“虎山长城”，“鸭绿江断桥”，“大孤山”这四个景点中随机选择一个游玩，则选到“虎山长城”的概率是（    ） A． B． C． D． 7．石岩沙梨以果大、汁多、味甜而著称．现跟踪调查石岩沙梨树苗的移植成活率，调查数据记录如下： 移植数量 40 100 200 500 1000 成活数量 34 93 176 451 900 成活率 根据调查结果，估计石岩沙梨树苗移植成活的概率（精确到）为（   ） A． B． C． D． 8．“立春、雨水、惊蛰、…、大寒”等24个节气中依次有6个节气分别属于春、夏、秋、冬四个季节，则从24个节气中随机选一个节气，这个节气恰好与今日同属于一个季节的概率是 ． 【答案】/0.25 9．一个袋中装有若干个红球、黄球和蓝球，每个球除颜色外都相同，某兴趣小组开展摸球试验，每次摸出一个球记录下颜色后放回摇匀，重复试验，并统计了蓝球出现的频率．如图所示，若再摸一次，估计摸到蓝球的概率为 ．（结果精确到0.01） 10．如图是小华用计算机模拟随机投掷一枚图钉的实验结果，若再次抛掷一枚图钉，则可以估计“钉尖向上”的概率是 ．（精确到0.001） 11．不透明袋子中装有个球，其中有个红球，个黄球，个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出个球，则它是绿球的概率为 ． 12．用一张正方形纸板依据图1进行折叠、剪切，可以制作出图2所示的七巧板，在该七巧板上随机钉一枚图钉，则图钉的钉尖恰好落在区域①这块三角板的概率是 ． 13．某数学兴趣小组做“抛瓶盖试验”，统计的数据如下表所示： 抛掷次数 400 600 800 1000 盖口向上的频数 252 370 498 621 盖口向上的频率（结果保留小数点后三位） 0.630 0.617 0.623 0.621 通过试验结果估计抛出瓶盖后盖口向上的概率约为 （结果精确到0.1）． 14．设置一个转盘，其盘面被分为若干个全等的扇形区域．用力转动转盘，转盘停止后，指针指向每个区域的可能性都相等（当指针指向两个区域的分界线时，规定为它指向的是其右边相邻区域） (1)如图1，如果转盘面被分成6个全等的扇形区域，其中3个区域涂成灰色．用力转动转盘，当转盘停止后，求指针指向灰色区域的可能性大小； (2)请你在图2中画一个转盘，用力转动转盘，当转盘停止后，使得指针指向阴影区域的可能性大小是． 15．（1）一个盒子中装有33个分别涂有红、黑、白三种颜色的质地相同的小球．若红球的个数比黑球的2倍多5，从盒子中任取1个球是白球的概率是，求从盒子中任取1个球是黑球的概率； （2）一只小鸟自由自在地在空中飞行，然后随意落在如下图所示的某个方格中（每个方格除颜色外完全一样）．计算小鸟停在深色方格中的概率． 16．某校七年级通过开展以“我最喜欢的书籍”为主题的调查活动来了解学生的阅读情况，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：政史类，B：科技类，C：文学类，D：艺术类，E：其他类）．根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．请你根据图中信息，解答下列问题： (1)在这项调查中，共调查了 名学生； (2)将条形统计图补充完整，其中扇形统计图中“B”所在扇形圆心角的度数为 ； (3)在选择“E”的学生中有1名女生，3名男生，现从这四名学生中随机选出一名学生做读书分享，请求出刚好选到女生的概率． 17．某校学生会计划开展一场活动，为了解本校学生对参加该活动的意愿，从该校随机调查了100位学生对该活动的参加意愿，统计结果如下表（单位：人）： 参加意愿 初中生 高中生 愿意 40 20 不愿意 20 20 (1)若从该校全体初中生中随机抽取1名学生，估计该学生愿意参加该活动的概率； (2)若该校共有初中生2400人，高中生1800人，现从该校全体学生中随机抽取1名学生，估计该学生愿意参加该活动的概率． 18．如图是一个可以自由转动的转盘，它被分成了分别涂有黄色、绿色的2个扇形区域．数学小组的同学做转盘试验；转动转盘，当转盘停止转动时，记录下指针所指区域的颜色，不断重复这个过程．若指针指向分界线，不计次数，则重新转动转盘，直至指针指向某一区域为止．获得数据如下： 转动转盘的次数 200 300 400 1000 1600 2000 转到黄色区域的频数 72 93 130 334 532 667 转到黄色区域的频率 0.36 m 0.325 n 0.3325 0.3335 (1)下列说法中错误的有_______（填写序号）． ①转动转盘8次，指针都指向绿色区域，所以第9次转动时指针一定指向绿色区域； ②转动转盘15次，指针指向绿色区域的次数不一定大于指向黄色区域的次数； ③转动转盘200次，指针指向绿色区域的次数一定为128． (2)求表中m，n的值，并估计随机转动转盘“指针指向黄色区域”的概率（精确到0.1）． 19．民间有种折纸玩具“东南西北”，每每想起它，都能唤起我们对美好童年的回忆．此玩具的制作方法：通过折叠把一个正方形的纸片分成八个面积相等的部分，在每个部分分别写上相应的惩罚或奖励，叠合成“东南西北”，通过转动随机挑选出八个区域中的一个作为游戏的结果．图①是小浩制作的一个“东南西北”玩具，展开后如图②所示． (1)随机挑选出的一面写有“文具”是____________事件（填“必然”“随机”或“不可能”）． (2)小浩重新设计了一个“东南西北”玩具，在八个面上分别写上“钢笔”“笔记本”“圆规”三种奖品．经过多次试验后得到数据如下： 试验次数 8 24 40 80 160 获得“钢笔”的次数 2 10 16 28 60 根据表格估算，八面中写有奖品“钢笔”的面数为____________． 20．某中学抽取了部分学生参加了“每周课外阅读时间”的调查活动，并由调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图． 组别 时间/小时 频数/人数 A组 2 B组 m C组 10 D组 12 E组 7 F组 4 请根据图表中的信息解答下列问题： (1)求参与调查的学生人数； (2)在扇形统计图中，求组所对应扇形圆心角的度数； (3)已知组的学生中，只有1名男生，其余都是女生，用列举法求以下事件的概率：从组中随机选取2名学生，恰好都是女生． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $