专题03概率初步 期末复习讲义（18大核心题型精讲+重点知识全归纳）-2025-2026学年北师大版数学七年级下学期.

专题03概率初步 期末复习讲义 期末复习◆重点 区分三类事件：能够准确辨别必然事件、不可能事件、随机事件，并掌握三类事件对应的概率取值范围。 判断等可能性：会判断随机试验的所有结果是否机会均等，只有满足等可能性，才能用古典概率公式计算。 掌握概率核心公式：熟练利用符合条件的结果数、总结果数，计算简单随机事件的概率。 理解概率大小意义：明确概率取值在0到1之间，能根据概率大小判断事件发生可能性的高低。 掌握基础概率题型：熟练解决摸球、转盘、掷骰子等常见等可能试验的概率计算问题。 核心题型◆归纳 题型1.事件分类辨析题 题型2.判断事件发生可能性大小 题型3.单组试验求某事件频率 题型4.概率含义辨析题 题型5.频率与概率关系正误判断 题型6.由频率估算概率 题型7.频率估计概率实际综合应用 题型8.列举随机试验全部等可能结果 题型9.判断试验结果等可能性 题型10.列举法求解概率题 题型11.套用概率公式直接计算概率 题型12.借助概率数值进行决策判断 题型13.已知概率反向求解对应数量 题型14.利用概率判定游戏公平性 题型15.几何概率计算题 题型16.转盘规则下抽奖概率应用题 题型17.球类赛事场景概率题 题型18.概率的其他应用 重点知识◆梳理 【知识点一、必然事件、不可能事件和随机事件】 ✅必然事件：在一定条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件，叫做必然事件． 概率定值：P=1 ✅不可能事件：在每次试验中都不会发生的事件叫做不可能事件． 概率定值：P=0 ✅随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件． 概率范围：0＜P＜1 ★补充概念：必然发生的事件和不可能发生的事件均为“确定事件”，随机事件又称为“不确定事件”，可依据概率取值判断事件类型。 ★一般地，必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小， 【知识点二频率与概率】 ✅频率：多次重复试验中，某一事件发生的次数（频数）与试验总次数的比值。公式：频率= 关键特征：频率是变化的，会随着试验次数的改变而波动。 例如：抛硬币10次和100次，正面朝上的频率可能不同。 ✅概率：事件本身固有的属性，是一个固定不变的数值，用于表示事件发生的可能性大小，取值范围为0≤P≤1。 例如：抛一枚均匀硬币，正面朝上的概率恒为。 关键特征：概率与试验次数无关，只由事件本身的性质决定。 二者核心关系:当进行大量重复试验时，事件发生的频率会逐渐稳定到某个常数，这个常数就可以作为该事件概率的估计值。 【重点提示】：频率是概率的“估计值”，概率是频率的“稳定值”；试验次数越多，频率越接近概率，但永远不会完全等于概率（除非是必然事件或不可能事件）。 【知识点三、求概率的常用方法】 ✅直接列举法：适用于试验结果较少、易全部列举的随机事件； ✅列表法：适用于两步试验（如两次摸球、掷两枚骰子），清晰地列出所有等可能结果； ✅树状图法：适用于两步及以上试验，逐层分析所有可能结果，不重不漏。 【知识点四、摸球类、抽卡类概率计算】 从装有若干不同颜色球的袋子中随机摸球，直接用符合条件的数量÷总数计算 例如：袋中有3红2白共5球，随机摸一个是红色的概率：P= 易错点提醒：未看清“有放回”还是“无放回”；第2次摸球时总数未减1. 【知识点五、几何概型（面积型概率）】 几何图形问题：P=， 核心是准确计算图形面积，再代入比值求解。 例如：转盘平均分成8份，红色占3份，则指针停在红色区域概率：P= 知识点（六）概率的综合应用 结合生活实际，用概率进行预测、决策、方案选择。 例如：某产品合格率为98%，则1000件中大约980件合格。 易错点提醒：把概率当成精确数量；实际问题中忽略限制条件，直接套公式。 知识点（七）游戏公平性判断 双方获胜概率相等，则游戏公平；否则不公平。 例如：两人投骰子，奇数甲赢，偶数乙赢，概率均为，游戏公平。 易错点提醒：只看结果多少，不计算概率是否相等；漏算某种情况导致判断错误。 题型解析◆精准备考 题型1.事件分类辨析题 1．下列事件中，属于必然事件的是（     ） A．抛掷一枚质地均匀的硬币，反面朝上 B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 C．抛掷骰子一次，正面朝上的点数是6 D．太阳从东方升起 【答案】D 【分析】必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解： 选项A抛掷硬币反面朝上，可能发生也可能不发生，是随机事件； 选项B经过有交通信号灯的路口遇到红灯，可能发生也可能不发生，是随机事件； 选项C抛掷骰子一次正面朝上点数为6，可能发生也可能不发生，是随机事件； 选项D太阳从东方升起，是一定发生的自然规律，是必然事件． 2．“七年级下册数学课本一共185页，一名学生随手翻开恰好翻到53页”，这个事件是________事件（填“必然”、“不可能”或“随机”）． 【答案】随机 【详解】解：在一定条件下，必然发生的事件叫做必然事件，一定不发生的事件叫做不可能事件，可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件， 随手翻开185页的课本，翻到53页这一结果可能发生，也可能不发生，是随机事件. 3．下列事件中，哪些是随机事件？哪些是必然事件？哪些是不可能事件？ (1)在一个标准大气压下，通常水加热到时沸腾； (2)篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中； (3)掷一次骰子，向上一面的点数是； (4)过直线外一点，作出两条不同的直线与这条直线平行； (5)太阳从西边落下． 【答案】(1)必然事件 (2)随机事件 (3)随机事件 (4)不可能事件 (5)必然事件 【详解】（1）解：“在一个标准大气压下，通常水加热到时沸腾”是必然事件； （2）解：“篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中”是随机事件； （3）解：“掷一次骰子，向上一面的点数是”是随机事件； （4）解：∵在同一平面内，过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行， ∴“过直线外一点，作出两条不同的直线与这条直线平行”是不可能事件； （5） 解：“太阳从西边落下”是必然事件． 题型2.判断事件发生可能性大小 1．在下列事件中，不可能事件是（     ） A．在共装有5只红球的袋子里，摸出一只白球 B．抛掷一枚硬币，落地后正面朝上 C．买一张体育彩票，中大奖 D．小海在练习篮球投篮时5投全中 【答案】A 【分析】根据不可能事件的定义判断，不可能事件是指一定不会发生的事件，逐一分析各选项的事件类型即可得到结果． 【详解】解： A、袋子中只有只红球，没有白球，一定不可能摸出白球，属于不可能事件，符合要求； B、 抛掷一枚硬币，落地后正面朝上可能发生也可能不发生，属于随机事件，不符合要求； C、 买一张体育彩票中大奖，可能发生也可能不发生，属于随机事件，不符合要求； D、 小海投篮投全中，可能发生也可能不发生，属于随机事件，不符合要求． 故选：A． 2．口袋里装有4个红球和1个黄球，从中任意摸出一个再放回去，摸到______球的可能性大些，摸到______球的可能性要小些． 【答案】 红 黄 【分析】先确定两种球的数量，分别计算摸到两种球的概率，比较概率大小即可得到结果． 【详解】解：口袋中总共有球 个， 摸到红球的概率 ， 摸到黄球的概率 ， ， ∴ 摸到红球的可能性大些，摸到黄球的可能性要小些． 3．一个不透明的袋子中装有1个白球，2个黄球和3个红球，这些球除颜色外其他都相同，将球摇匀，从袋子中随机取出1个球． (1)取出的球是红球是什么事件？取出的球是蓝球是什么事件？ (2)你认为摸到哪种颜色的球的概率最大？为什么？ 【答案】(1) 取出的球是红球是随机事件，取出的球是蓝球是不可能事件 (2) 摸到红球的概率最大，因为红球的数量最多 【分析】（1）由随机事件、必然事件以及不可能事件的定义即可得出结论； （2）根据哪种球的数量最多，摸到那种球的概率就大． 【详解】（1）解：袋子中装有1个白球，2个黄球和3个红球， ∴取出的球是红球是随机事件． ∵袋子中没有蓝色的球， ∴取出的球是蓝球是不可能事件． （2）解：∵袋子中红色的球最多， ∴摸到红球的概率最大． 题型3.单组试验求某事件频率 1．两个同学在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子，出现3点朝上的频率 B．小华去看电影，他买的电影票座位号是2的倍数的频率 C．从一道单项选择题的四个备选答案中，随机选一个答案，选中正确答案的频率 D．从分别标有、3、0、2、、的6张纸条中，随机抽出一张，抽到负数的频率 【答案】D 【分析】根据频数、频率的定义，确定各选项中，符合条件的对象的频率，即可作出判断． 【详解】解：根据统计图可知，试验结果在附近波动， A．掷一枚质地均匀的骰子，出现3点朝上的频率约为，不合题意； B．小华去看电影，他买的电影票座位号是2的倍数的频率约为，不合题意； C．从一道单项选择题的四个备选答案中，随机选一个答案，选中正确答案的频率约为，不合题意； D．从分别标有、3、0、2、、的6张纸条中，随机抽出一张，抽到负数的频率约为，符合题意． 2．一个口袋中有红球、白球共个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了次球，发现有次摸到红球，则可估计这个口袋中白球的个数是_____． 【答案】 【分析】本题考查频率的计算，用频率估算概率，掌握好相关知识是关键． 先计算出红球的频率，从而得到白球的频率，由频率的稳定性估算出概率，得到结果． 【详解】解：摸到红球的频率为， ∴摸到白球的频率为， ∴白球个数估计为． 故答案为：． 3．某工厂接到一批电池的订单量，在电池生产的过程中，质检员会在一段时间内先后对多个批次的电池进行抽检，目的是估计电池的合格率，及时调整生产的数量和进度，满足客户需求．下表是质检员对某一批电池抽检过程中的数据统计． 抽检电池的数量 1000 1500 2000 2500 3000 3500 合格电池的数量 982 1464 1956 2455 2940 3430 电池合格的频率 0.982 0.976 0.982 0.980 (1)__________，__________；（结果精确到0.001） (2)根据表格数据，估计该工厂生产电池合格的概率为多少？（结果精确到0.01） 【答案】(1)0.978，0.980 (2)0.98 【分析】（1）根据电池合格的频率为计算； （2）根据频率估计概率即可． 【详解】（1）解：由题意知，， （2）解：根据表格中的数据可知：电池合格的频率稳定在0.98左右， 估计该工厂生产电池合格的概率为0.98． 题型4.概率含义辨析题 1．下列说法正确的是(    ) A．天气预报说明天降水概率非常大，则明天会下雨是必然事件 B．某彩票中奖率为，小明买了4张这种彩票，前3张都没有中奖，则最后一张中奖的概率仍为 C．任意抛掷一枚图钉10次，针尖全都向上，则抛掷一枚图钉针尖向下为不可能事件 D．射击运动员射击一次只有2种可能的结果：中靶或脱靶，所以他中靶的概率为 【答案】B 【分析】本题考查事件的分类与概率的基本概念，根据相关定义逐项判断即可． 【详解】解：A． ∵降水概率大仅说明明天下雨的可能性较高，明天下雨属于随机事件，不是必然事件，∴A说法错误，不符合题意； B． ∵每张彩票的中奖概率相互独立，不受其他彩票结果影响，中奖率表示每张彩票的中奖概率均为，∴最后一张中奖的概率仍为，B说法正确，符合题意； C． ∵10次抛掷的结果不能改变事件的性质，抛掷图钉针尖向下仍是随机事件，不是不可能事件，∴C说法错误，不符合题意； D． ∵射击一次中靶和脱靶不是等可能事件，因此中靶的概率不等于，∴D说法错误，不符合题意； 故选：B． 2．在研究随机事件的概率中，有的是等可能事件，可以算出理论概率，有的理论概率计算复杂，还有的是非等可能事件，这两种事件的概率选择用实验的方法，通过增加实验的频次，用频率估计概率，下面是利用计算机模拟实验估计50个人中有两人生日相同的概率曲线图，通过图中数据可知40个人中两人生日相同的概率接近______．（精确到） 【答案】 【分析】本题考查了从图像获取信息． 根据概率曲线图作答即可． 【详解】解：由概率曲线图可知，40人时对应的概率为． 故答案为：． 3．（1）小徐抛一枚硬币20次，有11次正面朝上，当她抛第21次时，正面朝上的概率为______． （2）通常单项选择题有4个选项，其中只有1个选项是正确的．现有20道选择题，小明认为只要在每道题中任选1个选项，其中必有5题的选择结果是正确的，请你从频率与概率的角度分析小明的推断是否正确？ 【答案】（1）；（2）不正确，理由见详解 【分析】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求法是解题的关键； （1）根据概率公式可直接进行求解； （2）根据大量重复试验中事件发生的频率约等于事件发生的概率即可求解． 【详解】解：（1）由题意得：当她抛第21次时，正面朝上的概率为； 故答案为； （2） 小明的推断是不正确的，因为20题的题量较小，只有当题量很大时，在每道选择题中任选1个选项，其选择结果正确的频率才能在常数0.25附近摆动，由此才可以估计其选择的结果正确的概率为0.25． 题型5.频率与概率关系正误判断 1．关于频率与概率，有下列几种说法，其中正确的说法有（    ） ①“明天下雨的概率是”表示明天下雨的可能性很大； ②“抛一枚硬币，正面朝上的概率为”表示每抛两次就有一次正面朝上； ③“某种彩票中奖的概率是”表示买10张该种彩票不可能中奖； ④“抛一枚硬币，正面朝上的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛出正面朝上”这一事件发生的频率稳定在附近． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查概率的意义． 根据概率的意义判断各说法的正误． 【详解】∵概率表示事件发生的可能性大小， ∴说法①正确，因为的概率表示下雨可能性很大； ∵概率是长期频率的稳定值，不保证短期结果， ∴说法②错误，因为每抛两次不一定有一次正面朝上； ∵概率为表示中奖可能性小，但并非不可能， ∴说法③错误，因为买10张彩票可能中奖； ∵随着抛掷次数的增加，频率稳定在概率附近， ∴说法④正确； 故正确的说法是①和④． 故选：B． 2．下表显示了在同样条件下对某种小麦种子进行发芽实验的部分结果． 试验种子数n（粒） 1 5 50 100 200 500 1000 2000 3000 … 发芽频率m 0 4 45 92 188 476 951 1900 2850 … 发芽频率 0 0.8 0.9 0.92 0.94 0.952 0.951 0.95 0.95 … 则下列推断： ①随着试验次数的增加，此种小麦种子发芽的频率总在0.95附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计此种小麦种子发芽的概率是0.95； ②当试验种子数为500粒时，发芽频率是476，所以此小麦种子发芽的概率是0.952； ③若再次试验，则当试验种子数为1000时，此种小麦种子发芽的频率一定是0.951； 其中合理的是____________（填序号） 【答案】① 【分析】根据表中信息，当随着小麦种子粒数的增加，小麦的发芽率越来越稳定，可以用频率估计概率． 【详解】解：①随着试验次数的增加，从第500粒开始，此种小麦种子发芽的频率分别是0.952、0.951、0.95、0.95总在0.95附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计此种小麦种子发芽的概率是0.95，故正确； ②当试验种子数为500粒时，发芽频数是476，此时小麦种子发芽的频率是0.952，不能说明小麦种子发芽的概率就是0.952，此推断错误； ③若再次试验，则当试验种子数为1000时，此种小麦种子发芽的频率不一定是0.951，此推断错误； 故答案为：①． 【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比． 3．王强和李刚在学习概率时，做掷骰子（质地均匀的正方体形状）试验，他们共掷了60次，出现朝上点数的次数如下表： 朝上点数 1 2 3 4 5 6 出现次数 8 11 6 9 16 10 (1)计算出现朝上点数为3的频率及出现朝上点数为5的频率． (2)根据以上试验，王强说：“根据试验结果，一次试验中出现朝上点数为5的概率最大．”李刚说：“如果掷600次，那么出现朝上点数为6的次数正好是100次．”这两名学生的说法是否正确？为什么？ 【答案】(1)出现向上点数为3的频率是，出现向上点数为5的频率 (2)都不正确，理由见解析 【分析】本题考查了频率（频数）和概率． （1）求一个点数朝上的频率，就是用出现的次数除以抛的总次数即可； （2）根据概率的概念和概率公式，可知各类数出现的概率一样大，都为．由于频数的随机性，试验次数扩大10倍时，频数不一定正好扩大为原来频数的10倍，可得结论． 【详解】（1）解：出现向上点数为3的频率：， 出现向上点数为5的频率：， 即出现向上点数为3的频率是，出现向上点数为5的频率； （2）解：王强和李刚的说法都不正确，理由如下： 他们混淆了频率与概率的概念．概率是确定的常数，频率（频数）是不确定的、随机的．只有当试验次数足够大时，频率才稳定于概率这一数值．在该试验中，各类数出现的概率一样大，都为．由于频数的随机性，试验次数扩大10倍时，频数不一定正好扩大为原来频数的10倍 题型6.由频率估算概率 1．近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分，如图为槐荫区勾股数学公众号二维码，小莲将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，为了估计黑色阴影部分的面积，她在纸片内随机掷点，经过大量试验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.75左右，则据此估计此二维码白色部分的面积为（     ） A．15 B．5 C．0.75 D．0.25 【答案】B 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，用总面积乘以落入黑色部分的频率稳定值即可． 【详解】解：经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.75左右， 据此可以估计黑色部分的面积为, 此二维码白色部分的面积为． 2．某足球运动员在同一条件下进行射门，结果如下表所示： 射门次数n 20 50 100 200 500 800 踢进球门频数m 13 35 58 104 260 400 踢进球门频率 0.65 0.7 0.58 0.52 0.52 0.5 则该运动员射门一次，射进门的概率为__________．（保留一位小数） 【答案】0.5 【分析】在大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在某一常数附近，该常数可作为事件发生概率的估计值，结合题目要求保留一位小数即可求解． 【详解】解：观察表格可知，随着射门次数不断增大，踢进球门的频率逐渐稳定在附近，按要求保留一位小数， 因此估计该运动员射门一次，射进门的概率为． 3．某商场设立了一个可以自由转动的转盘（如图所示），并规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就可以获得相应的奖品（指针落在分界线上，重转）．下表是活动进行中的一组统计数据：    转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“洗手液”区域的次数m 65 108 136 345 552 690 落在“洗手液”区域的频率 0.65 0.72 0.68 0.69 a 0.69 (1)填空： ______； (2)根据上表，随机转动该转盘一次，获得“洗手液”的概率大约是多少？（结果保留两位小数） 【答案】(1)0.69 (2)0.69 【分析】（1）直接根据频率公式计算即可； （2）直接根据频率估计概率即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵随着转动转盘次数的增加，落在“洗手液”区域的频率稳定在0.69， ∴随机转动该转盘一次，获得“洗手液”的概率大约是0.69． 题型7.频率估计概率实际综合应用 1．某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么最符合这一结果的试验是（　　） A．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6 C．在一副扑克中随机抽取一张，抽到的牌是红桃 D．不透明袋中有红球、黄球、蓝球各1个，每个球除颜色外其余均相同，从中随机摸出一个球，是黄球 【答案】B 【分析】本题主要考查随机事件的概率以及用频率估计概率，理解折线图中横轴与纵轴的关系，掌握概率的计算方法是解题的关键．根据折线统计图可知，随着试验次数的增多频率稳定在以上，以下，通过计算各选项的概率，由此即可求解． 【详解】解：根据折线统计图可知，随着试验次数的增多概率稳定在以上，以下， ∴A、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率是，不符合题意； B、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的面点数是的概率是，符合题意； C、在一副扑克中随机抽取一张，抽到的牌是红桃的概率是，不符合题意； D、不透明袋中有红球、黄球、蓝球各1个，每个球除颜色外其余均相同，从中随机摸出一个球，是黄球的概率是，不符合题意； 故选：B． 2．某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数 400 800 1000 2000 4000 发芽的频数 304 644 796 1602 3200 发芽的频率 0.760 0.805 0.796 0.801 0.800 若学校劳动基地对该批次油菜籽200粒进行萌发，发芽的植株大约有_____株． 【答案】160 【分析】根据用频率估计概率的知识，在大量重复试验中，事件发生的频率会稳定在概率附近．观察大量重复试验后频率的稳定值，得到发芽概率的估计值，再计算200粒油菜籽的发芽植株数． 【详解】解：由表格数据可知，随着试验粒数增加，该油菜籽的发芽频率逐渐稳定在附近， 估计该油菜籽发芽的概率为， 粒该油菜籽发芽的植株大约为（株）． 3．工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数（件） 合格频数 m 合格频率 (1)估计任抽一件该产品是合格品的概率是________；表格中m的值为________； (2)某天甲员工被抽检了件该产品，估计其中不合格品有多少件？ 【答案】(1)； (2)估计其中不合格品有件 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）利用频率估计概率可得任抽一件该产品是合格品的概率，用总件数乘合格的频率即可得出m的值； （2）总件数乘以不合格的概率即可． 【详解】（1）解：估计任抽一件该产品是合格品的概率是， ， 故答案为：，； （2）解：抽取件数为时，合格的频率趋近于， 估计任抽一件该产品是不合格品的概率为； ∴（件）， 答：估计其中不合格品有件． 题型8.列举随机试验全部等可能结果 1．大连某高级中学某年级数学组在期末考试结束后采取抽签轮空批卷制度，试卷需要人工批阅的部分分为填空题（，由一人批阅）和、、、、五道大题，该年级数学组一共位老师参与抽签，抽中轮空票的老师可以不参与阅卷工作，其他老师按照自己抽中的题号批阅相应试题，下列说法正确的是（   ） A．张老师抽中轮空票的概率为 B．夏老师抽中批阅题的概率为 C．刚开始，王老师和常老师首先同时进行抽签，则在互不影响的前提下，王老师批阅题，常老师轮空的概率为 D．已知王老师第一个抽到了题，夏老师第二个抽到了题，则此时常老师和张老师同时抽票，则张老师抽到轮空票的概率为 【答案】C 【分析】先理清所有等可能的抽签结果，再结合具体情况具体分析事件概率即可． 【详解】解：依题得，共有七种抽签结果：填空题、题、题、题、题、题、轮空， 张老师抽中轮空票的概率为，选项错误； 夏老师抽中批阅题的概率为，选项错误； 刚开始，王老师和常老师首先同时进行抽签，则在互不影响的前提下，求王老师批阅题，常老师轮空的概率， 即在王老师批阅题的前提下，常老师轮空，概率应计算为，选项正确； 已知王老师第一个抽到了题，夏老师第二个抽到了题，还剩下五种抽签结果， 则此时常老师和张老师同时抽票，则张老师抽到轮空票的概率为，选项错误 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是列举随机实验的所有可能结果、根据概率公式计算概率，解题关键是理清所有等可能的抽签结果． 2．现有五个乒乓球和五个盒子，它们分别标号、、、、，小明同学打算将所有的小球都放入到盒子中，但要求：（1）每个盒子只能放一个小球；（2）小球号码与盒子号码均不相同．根据上述信息，小明同学一共有______种不同的放法． 【答案】44 【分析】本题考查排列、组合的应用，考查学生分析转化问题的能力，每个小球都不放入相同号码的盒子中，对于5个元素，错位排列即可． 【详解】解：∵每个盒子只能放一个小球；小球号码与盒子号码均不相同， ∴第一个盒子放2的放法有21453；21534；23154；23451；23514；24153；24513；24531；25134；25413；25431，共11种； 第一个盒子放3的放法有31254；31452；31524；34152；34251；34512；34521；35124；35214；35421；35412，共11种； 第一个盒子放4的放法有41253；41532；41523；43152；43251；43512；43521；45123；45132；45213；45231，共11种； 第一个盒子放5的放法有51234；51423；51432；53124；53214；53412；53421；54123；54132；54213；54231，共11种； ∴一共有种 故答案为：44． 3．在一个不透明的盒子里装有分别标有数字，，0，1的四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，先从盒子里随机摸出一个小球，记录数字后放回，再随机摸出一个小球，记录数字． (1)列出两次摸球的所有可能结果； (2)求两次摸出的小球上的数字之和为正数的概率． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了列举随机实验的所有可能结果，根据概率公式计算概率等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）根据题意，列出两次摸球的所有可能结果； （2）得出两次摸出的小球上的数字之和为正数的可能结果数，再利用概率公式求解． 【详解】（1）解：两次摸球的所有可能结果有： ，，，，，，，，，，，，，，，， 共16种； （2）解：数字之和为正数的结果有： ，，， 共3种， ∴P(数字之和为正数) ． 题型9.判断试验结果等可能性 1．下列说法正确的是（    ） A．天气预报说章丘区明天降水概率非常大，则明天章丘区会下雨是必然事件 B．某彩票中奖率为5%，小明买了4张这种彩票，前3张都没有中奖，则最后一张中奖的概率仍为5% C．任意抛掷一枚图钉10次，针尖全都向上，则抛掷一枚图钉针尖向上为必然事件 D．射击运动员射击一次只有2种可能的结果：中靶或脱靶，所以他中靶的概率为 【答案】B 【分析】根据概率和事件的分类进行逐项分析即可． 【详解】解：A、天气预报说章丘区明天降水概率非常大，则明天章丘区会下雨是随机事件，只是可能性较大，非必然事件，原说法错误，不符合题意； B、某彩票中奖率为5%，即为每张彩票的中奖率均为5%，则最后一张中奖的概率仍为5%，原说法正确，符合题意； C、任意抛掷一枚图钉10次，不能代表全部情况，则抛掷一枚图钉针尖向上不是必然事件，原说法错误，不符合题意； D、射击运动员射击一次只有2种可能的结果：中靶或脱靶，但是这两种情况不是等可能的情况，所以中靶的概率不为，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查概率的定义，等可能情况的理解，事件的分类等，理解基本定义是解题关键． 2．小梅随机选择在下周一至周五的某一天去打新冠疫苗，则她选择在周二去打疫苗的概率为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意中从下周一至周五的某一天去打新冠疫苗，共有5种情况，且每种情况的可能性相同，即可得出选择周二打疫苗的概率． 【详解】解：小梅选择周一到周五共有5种情况，且每种情况的可能性相同，均为， ∴选择周二打疫苗的概率为：， 故选：B． 【点睛】题目主要考查简单概率的计算，理解题意是解题关键． 3．一个不透明的袋中有个球，分别标有，，，，这五个号码，这些球除号码外都相同，搅匀后任意摸出一个球． (1)会出现哪些可能的结果？ (2)每个结果出现的可能性相同吗？猜猜它们的概率分别是多少？ 【答案】(1)摸到号球或号球或号球或号球或号球 (2)可能性相同，它们的概率分别是 【分析】本题主要考查了列举随机实验的所有可能结果，判断实验所得结果是否是等可能的，判断事件的概率等知识点，深刻理解随机事件的概念是解题的关键． （1）列举出所有可能的结果即可； （2）判断每个结果出现的可能性是否相同，并估计它们的概率分别是多少． 【详解】（1）解：搅匀后任意摸出一个球，可能的结果有种：摸到号球或号球或号球或号球或号球； 答：会出现的可能结果有：摸到号球或号球或号球或号球或号球； （2）解：∵这些球除号码外都相同，搅匀后任意摸出一个球， ∴每个结果出现的可能性相同，它们的概率分别是， 答：每个结果出现的可能性相同，它们的概率分别是． 题型10.列举法求解概率题 1．用2、3、4三个数字排成一个三位数，则排出的数是偶数的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题先列举出所有排成三位数的等可能结果，再找出其中偶数的结果数，根据概率公式计算即可得到答案． 【详解】解：∵用2、3、4三个数字排成一个三位数， 所有等可能的结果有：234，243，324，342，423，432，共6种． 其中排出的数是偶数的结果有：234，324，342，432，共4种． ∴排出的数是偶数的概率为． 2．在动物行为学中有小鼠Y字迷宫实验，锻炼小鼠短期记忆．如图，小鼠从入口进入，每遇到一个Y字路口会随机选择其中一条路走，只可以前进不许后退，则小鼠在第一次走迷宫就能获得食物的概率是___________． 【答案】 【分析】从图中找出一共有几条路径，用能获得食物的路径数量除以路径总数即为所求． 【详解】解：小鼠一共有八条路径可以选择，只有两条路能获得食物， ∴P（小鼠在第一次走迷宫就能获得食物）． 3．诺诺和妈妈计划在5月7日～13日去云南旅游，如图是她在某天气上查看到的这七天天气预报，求下列事件的概率： (1)随机选择一天去参观博物馆，恰好天气预报是雨； (2)随机选择连续的两天去大理自驾游，恰好天气预报都是晴． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据概率公式求解； （2）先列举所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：共有7天，其中天气预报是雨的只有1天， ∴随机选择一天去参观博物馆，恰好天气预报是雨的概率是； （2）解：选择连续的两天的情况数有周四和周五，周五和周六，周六和周日，周日和周一，周一和周二，周二和周三，共6种情况， 其中恰好天气预报都是晴的有2种， ∴概率为． 题型11.套用概率公式直接计算概率 1．小军在一次用频率估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验可能是（　　） A．一个不透明的袋中装有除颜色外其他完全相同的2个绿球和1个蓝球．任意摸出1个球，摸到蓝球的概率 B．掷一枚质地均匀的骰子，偶数点数朝上的概率 C．从一副去掉大、小王的扑克牌中，任意抽取一张，抽到红桃的概率 D．任意买一张高铁二等座票（一排五座），座位靠窗的概率 【答案】A 【分析】根据统计图由频率估计概率，再计算四个选项的概率，即可得解． 【详解】解：根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率， A．任意摸出1个球，摸到蓝球的概率为，与图形相符，符合题意； B．偶数点数朝上的概率为，与图形不符，不符合题意； C．任意抽取一张，抽到红桃的概率为，与图形不符，不符合题意； D．座位靠窗的概率为，与图形不符，不符合题意． 2．一只不透明的盒子里装有6个只有颜色不同的球，其中红球3个、白球1个、黑球2个．从盒子里任意摸出1个球，是黑球的概率为________． 【答案】 【分析】根据概率的计算公式，用黑球的个数除以球的总个数即可得到所求概率． 【详解】解：盒子中球的总数为，其中黑球有个， 根据概率公式可得，从盒子里任意摸出个球，是黑球的概率为． 3．某商场为了吸引顾客，设立了一个如图可以自由转动的转盘，转盘被等分成20个扇形．商场规定：顾客每购买200元的商品就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、绿或黄色区域，顾客就可以分别获得100元、50元，20元的购物券，已知甲顾客购物220元，获得一次转动转盘的机会． (1)求他得到100元购物券的概率是多少？ (2)若要让获得50元购物券的概率变为，还需要将几个无色扇形涂成绿色？ 【答案】(1) (2)还需要将个无色扇形涂成绿色 【分析】（1）根据概率公式计算即可得出结果； （2）设还需要将个无色扇形涂成绿色，根据目标概率建立方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵转盘被等分成20个扇形，红色区域一共有2个， ∴他得到100元购物券的概率是； （2）解：设还需要将个无色扇形涂成绿色， 由题意可得， 解得：， ∴还需要将个无色扇形涂成绿色． 题型12.借助概率数值进行决策判断 1．不透明袋子中有若干个白球（）和灰球（），这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，灰球出现的频率如图所示，则该不透明袋子不可能是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用频率估算概率，概率的计算公式，熟练掌握频率与概率的关系是关键． 当试验次数足够多时，频率会趋近于概率，由此判断选项． 【详解】解：由图可知，试验次数足够多时，频率在附近波动， ∴抽取一个球是灰球的概率为， ∴袋中白球与灰球的数量相等，只有选项C不符合． 故选：C． 2．某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验，结果如下表所示： 种子粒数 200 300 500 700 800 900 1000 发芽种子粒数 187 282 435 624 718 814 901 种子发芽率 0.935 0.940 0.870 0.891 0.898 0.904 0.901 下面有四个说法： ①种子粒数是700时，发芽种子的粒数是624，所以种子发芽的概率是0.91； ②随着试验的种子数量的增加，发芽种子的频率在0.9附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计种子发芽的概率约为0.9； ③试验的种子粒数最多的那次试验得到的种子发芽的频率一定是该作物种子发芽的概率； ④若用频率估计种子发芽的概率约为0.9，则可以估计种子中大约有的种子不能发芽． 其中合理的是____________（填序号）． 【答案】②④ 【分析】本题考查了用频率估计概率的知识点，掌握大量重复试验中频率稳定值可估计概率是解题的关键． 根据频率与概率的关系，大量重复试验中频率稳定值可估计概率，但单次试验频率不一定等于概率． 【详解】解：①错误，当种子粒数为700时，发芽的频率为；且用频率估计概率需要大量重复试验，单次试验的结果具有偶然性，不能代表一般情况，故该说法错误，不符合题意； ②正确，因为随着试验种子数量的增加，发芽频率在0.9附近摆动，显示出稳定性，可估计概率约为0.9，符合题意； ③错误，频率与概率不一定相等，不符合题意； ④正确，用概率0.9估计，不能发芽的概率约为0.1，1000kg种子中不能发芽的种子约为100kg，符合题意． 故答案为：②④． 3．某超市为感恩客户的支持与信赖，特推出了“感恩回馈季，幸运抽好礼”的抽奖活动，抽奖活动分为转转盘和翻奖牌两种方式，规则分别如下： 转转盘：如图1是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分为8个区域，每个区域上分别写有“10元”“20元”或“感谢参与”的字样．转动转盘，当转盘停止转动后，顾客可获得指针所指区域相应金额的代金券（若指针指向分界线，则重新转动）． 翻奖牌：如图2是9张背面完全相同的卡片，正面上分别写有“10元”“20元”“30元”或“感谢参与”的字样．将这9张卡片背面朝上洗匀后，顾客可从中随机抽取一张，并获得这张卡片正面相应金额的代金券． 顾客消费超过100元，可凭借购物小票在转转盘和翻奖牌两种方式中任选一种参与． 说明：两种方式中，“感谢参与”均无法获得代金券． (1)求转转盘方式中，顾客获得10元代金券的概率． (2)求翻奖牌方式中，顾客获得代金券的概率． (3)若你参与抽奖活动，你选择哪种方式？并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)选择转转盘方式或翻奖牌方式，理由见解析 【分析】（）本题考查古典概型，解题核心是数出转盘中 “10 元” 区域的数量，结合总区域数，用概率公式计算； （）本题考查古典概型，解题核心是数出翻奖牌中能获得代金券的卡片数量，结合总卡片数，用概率公式计算； （）本题考查概率的实际应用与决策，解题核心是分别计算两种方式的期望代金券金额，通过比较大小选择更有利的方式． 【详解】（1）解：转转盘方式中，所有等可能的结果有8种，其中顾客获得10元代金券的结果有4种，所以（顾客获得10元代金券）； （2）解：翻奖牌方式中，所有等可能的结果有9种，其中顾客获得代金券的结果有6种，所以（顾客获得代金券）； （3）解：答案不唯一．例如： 选择转转盘方式：因为转转盘方式获得代金券的概率为，大于翻奖牌方式获得代金券的概率． 选择翻奖牌方式：因为翻奖牌方式有的概率获得30元的代金券． 题型13.已知概率反向求解对应数量 1．一个不透明的布袋里装有3个红球，2个黑球，若干个白球，这些球除颜色外其余都相同．从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是，袋中白球共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】根据红球个数和摸出红球的概率求出布袋中球的总个数，再减去红球和黑球的个数，即可得到白球个数． 【详解】解：由题意得，布袋中球的总个数为 ． 又∵布袋中有3个红球，2个黑球 ∴白球的个数为． 2．在一个不透明的袋子里装有绿球、黄球和红球共10个，这些球除颜色不同外无其他差别．每次从袋子里摸出一个球记录下颜色后再放回，经过大量的重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.3，则袋中红球的个数是______． 【答案】3 【分析】根据大量重复试验中频率的稳定值为概率，结合概率公式即可计算得到袋中红球的个数． 【详解】解：由频率估计概率的知识可知，摸到红球的概率为， 已知袋中球的总个数为， 设袋中红球的个数为， 根据概率公式可得， 解得， 因此袋中红球的个数是． 3．为了统计初一年级同学每周的阅读时长，某数学兴趣小组随机抽取了部分学生进行问卷调查（数据共分为4组：A组：，B组：，C组：，D组，其中x表示每周阅读时长，单位为小时）已知在所调查的学生中随机选取一人，所选学生每周阅读时间不低于9小时的概率为 (1)参与此次调查的学生有______人，请补全条形统计图； (2)______，扇形统计图中C组对应的扇形的圆心角度数为______． (3)若初一年级学生共有750人，根据本次调查结果，估计初一年级学生中每周阅读时间不少于3小时的共有多少人？ 【答案】(1)400；见解析 (2)20； (3)600人 【分析】（1）利用概率公式可求出参与调查的人数，再求出B组的人数并补全统计图即可； （2）根据总人数和A组人数，然后求出m即可；用乘以C组的人数占比，求出圆心角度数即可； （3）用750乘以样本中初一年级学生中每周阅读时间不少于3小时的人数占比即可． 【详解】（1）解：人， ∴参与此次调查的学生有400人， ∴B组的人数为人， 补全统计图如下： （2）解：由（1）得， ∴； 扇形统计图中C组对应的扇形的圆心角度数为； （3）解：人 答：估计初一年级学生中每周阅读时间不少于3小时的共有600人． 题型14.利用概率判定游戏公平性 1．甲乙两人想利用摸球游戏来决定谁去看电影，他们在袋中装了个红球，个黄球、个白球，这个球除颜色外完全相同，任意摸出一个球，若摸到红球，甲去看电影；若摸到黄球，乙去看电影；若摸到白球，两人均不去看电影，这个游戏规则（   ） A．对甲有利 B．对乙有利 C．对双方公平 D．无法判断 【答案】C 【分析】分别计算甲、乙获得看电影机会的概率，比较概率大小即可求解． 【详解】解：∵袋中共有个除颜色外完全相同的球，其中红球个，黄球个， ∴甲去看电影的概率为 ，乙去看电影的概率为 ， ∵ ， ∴这个游戏规则对双方公平． 2．某转盘被分成个扇形，其中红色区域占份，黄色和蓝色各占份，且每份面积相等．规则：转动转盘，指针停在红色区域甲得分，停在黄色或蓝色区域乙得分，多次转动后，该游戏规则________．（填“公平”或“不公平”） 【答案】不公平 【分析】本题考查了概率，掌握用概率公式计算概率是解题的关键． 根据概率公式计算转动一次甲和乙的平均得分，比较平均得分是否相等，若相等则游戏规则公平，否则不公平． 【详解】解：由题意可知，转盘被分为4个面积相等的扇形，共有4种等可能的结果， 其中指针停在红色区域的结果有2种，停在黄色或蓝色区域的结果共2种， 根据概率公式得，，， 转动一次，甲的平均得分为分， 转动一次，乙的平均得分为分， ， 甲乙平均得分不相等，该游戏规则不公平． 3．一个不透明的盒子中装有3个白色乒乓球，2个黄色乒乓球，1个红色乒乓球，这些乒乓球除颜色外形状和大小完全一样，小颖同学从盒子中任意摸出一个乒乓球． (1)小颖同学摸出红球的概率是多少？ (2)小颖和小英同学一起做游戏，小颖从上述盒子中任意摸一个乒乓球，如果摸到黄色，小颖获胜，否则小英获胜．这个游戏对双方公平吗？为什么？（利用概率的知识进行说明） 【答案】(1) (2) 解：不公平，理由如下： 一共有6个球，黄球有2个，其它球有4个， 则小颖获胜的概率是，小英获胜的概率是， 因为， 所以小英获胜的可能性大，则游戏不公平． 【分析】（1）根据概率公式解答； （2）先分别求出两人获胜的概率，再比较可得答案． 【详解】（1）解：一共有个球，红球有1个， 所以小颖同学摸出红球的概率是； （3） 略 题型15.几何概率计算题 1．为增强班级凝聚力，王老师组织开展了一次主题班会．班会上，他设计了一个如图的飞镖靶盘，靶盘由两个同心圆构成，小圆半径为，大圆半径为，每个扇形的圆心角为度．如果用飞镖击中靶盘每一处是等可能的，那么小明同学任意投掷飞镖1次（击中边界或没有击中靶盘，则重投1次），投中“免一次作业”的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得，大圆面积为， 免一次作业对应区域的面积为， ∴投中“免一次作业”的概率是， 2．如图，由四个长为，宽为的长方形和一块小正方形构成一块大正方形的飞镖游戏板．向游戏板随机投掷一枚飞镖（每次飞镖均落在纸板上）．若，则飞镖击中小正方形空白区域的概率是_____． 【答案】 【分析】利用面积计算概率． 【详解】解：大正方形的面积为， 小正方形的面积为， ∴飞镖击中小正方形空白区域的概率是． 3．如图，图1和图2均是可以自由转动的转盘，图1被平均分成9等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字（当指针恰好指在分界线上时重转）；图2被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角是，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的颜色即为转出的颜色（当指针恰好指在分界线上时重转）．小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘． (1)求小明转出的数字大于3的概率； (2)小颖认为，小明转出的数字大于3的概率与小亮转出的颜色是红色的概率相同．她的看法正确吗？为什么？ 【答案】(1) (2)她的看法对，理由见解析 【分析】（1）共有9种结果，“转出的数字大于”的结果有6种，利用概率公式计算即可； （2）计算小亮转出的颜色是红色的概率，再与（1）算出的概率比较即可． 【详解】（1）解：图1被平均分成9等份，分别标有9个数字．即共有9种等可能的情况， 其中转出的数字大于3的情况有6种， 则小明转出的数字大于3的概率是； （2）解：她的看法对，理由如下： 图2绿色部分的扇形圆心角是， 则图2红色部分的扇形圆心角是， 所以转出的颜色是红色的概率是， 所以两者概率相同． 题型16.转盘规则下抽奖概率应用题 1．学校科技节设置转盘抽奖活动，转盘上有六个全等的区域，颜色分布如图(黄、蓝、蓝、红、蓝、红)．若指针固定不动，转动转盘，当转盘停止后，指针对准红色区域即可获奖，则获奖的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等可能事件的概率计算，关键是确定总等可能结果数与符合获奖条件的结果数，再根据概率公式计算概率． 【详解】解：∵转盘上有6个全等的区域，转动转盘后每个区域被指到的可能性相等，其中红色区域有2个， ∴获奖的概率为； 故选：B． 2．如图，一个转盘被分为了A，B，C三个区域，自由转动转盘一次，当转盘停止时，指针指向A区域的概率是______． 【答案】 【分析】根据概率的求法，找准两点： ①全部情况的总数； ②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．依此即可求解． 【详解】解：∵A区域扇形的圆心角为90°， ∴自由转动转盘一次，当转盘停止时，指针指向A区域的概率是， 故答案为：． 【点睛】此题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）． 3．如图，为喜迎五一劳动节，大润发超市特别推出感恩回馈活动．活动期间，顾客累计购物满200元，即可获得一次免费转动幸运转盘的机会，指针指向对应奖项区域，即可赢取相应好礼，多买多转，惊喜不停．如果转盘停止后，指针正好对准红、绿或黄色区域，顾客就可以分别获得50元、30元、20元的购物券（转盘被等分成20个扇形）．某顾客购物210元． (1)则他获得购物券的概率是________； (2)他获得哪种购物券的概率最大？并说明理由？ 【答案】(1) (2)他获得20元购物券的概率最大 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）由概率公式求出分别获得50元、30元、20元的购物券的概率，再比较即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意可知，他获得购物券的概率是； （2）解：他获得20元购物券的概率最大，理由如下： ∵指针正好对准红、绿或黄色区域，顾客就可以分别获得50元、30元、20元的购物券， ∴获得50元的概率，获得30元的概率，获得20元的概率， ∵， ∴他获得20元购物券的概率最大． 题型17.球类赛事场景概率题 1．足球比赛前，裁判通常要掷一枚硬币来决定比赛双方的场地与首发球者，其主要原因是（   ） A．让比赛更富有情趣 B．让比赛更具有神秘色彩 C．体现比赛的公平性 D．不知道什么原因 【答案】C 【分析】本题考查的简单随机事件的概率，掷硬币是一种随机事件，正面和反面出现的概率相等，均为，从而确保双方机会均等，体现公平性． 【详解】∵抛掷一枚硬币，正面朝上与反面朝上的可能性相同，概率均为， ∴这种方法使比赛双方在场地和发球权的选择上具有同等机会，因此主要原因是体现比赛的公平性． 故选：C． 2．甲、乙两位棋手棋艺相当，他们在一项奖金为10000元的比赛中相遇，比赛为七局四胜制（无平局）．已经进行了五局的比赛，结果为甲三胜二负．现在因故要停止比赛，问应该如何分配这10000元比赛奖金才算合理？ 答：甲得_______元；乙得_______元． 【答案】 【分析】本题考查了列举法求概率． 列出取胜情况，则可求得甲、乙胜的概率，继而求得答案． 【详解】解：第6局、第7局的取胜情况有（甲，甲），（甲，乙），（乙，乙），（乙，甲）4种情况， ∵甲三胜二负， ∴（甲，甲），（甲，乙），（乙，甲）均为甲胜，（乙，乙）为乙胜， ∴甲胜的概率为，乙胜的概率为， ∴甲得元、乙得元． 故答案为：， 3．某公园游乐场为了增加趣味性，精心设计了一款独具创意的转盘（转盘被等分成8个扇形）游戏，命名为“开心大转盘”，游戏规则如下：参与者可随心转动转盘，指针指向“A”区，参与者需支付2元费用；指针指向“B”区，参与者可获得3元奖励；指针指向“C”区，参与者可获得1元奖励．某天，参与游戏的人共转动转盘80次，你认为这一天针对该转盘游戏游乐场盈利了还是亏损了？为什么？ 【答案】盈利了，理由见解析 【分析】本题考查概率的应用，根据几何概率的定义，面积比即概率．图中A，B，C所占的面积与总面积之比即为A，B，C各自的概率，算出相应的可能性，乘以钱数，比较即可． 【详解】解：盈利了． 理由如下： 游乐场收入：（元）． 游乐场支出：（元）． 因为，所以盈利了． 题型18.概率的其他应用 1．一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从0到9的自然数．若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于，则密码的位数至少需要设（    ） A．五位 B．四位 C．三位 D．二位 【答案】B 【分析】分别求出取一位数、两位数、三位数、四位数时一次就拨对密码的概率，再根据所在的范围解答即可． 【详解】解：∵取一位数时一次就拨对密码的概率为； 取两位数时一次就拨对密码的概率为； 取三位数时一次就拨对密码的概率为； 取四位数时一次就拨对密码的概率为； ∵， ∴密码的位数至少需要四位，故选项B正确． 故选：B． 【点睛】本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率． 2．投掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1至6六个数字．如果连续掷3600次，“掷出上面是5点”的频数约为____次． 【答案】600 【分析】本题考查了概率的基本应用，用频率估计频数，熟练掌握基础定义是解题关键； 根据投掷一枚质地均匀的正方体骰子，掷出上面是5点的概率为，再与次数相乘即可． 【详解】解：∵投掷一枚质地均匀的正方体骰子，掷出上面是5点的概率为， ∴“掷出上面是5点”的频数约为：（次）， 故答案为：600． 3．在一个不透明的抽奖袋中装有红色、黄色、白色、黑色四种除颜色外都相同的小球，从袋子中摸出1个球，红色、黄色、白色分别代表一、二、三等奖，黑色表示谢谢参与． (1)若小明获得1次抽奖机会，小明中奖是__________事件（填“随机”、“必然”、“不可能”）； (2)若袋中共有24个球，其中红球3个，黄球6个，黑球9个，则1次抽奖机会中，抽中一等奖的概率为__________；抽中二等奖的概率为___________；中奖的概率为____________； (3)现有足够多的球，请你从中选15个球设计摸球游戏，使摸到红球的概率和摸到白球的概率相等，且都大于摸到黑球的概率． 【答案】(1)随机 (2)，， (3)见解析 【分析】（1）根据“随机事件”、“必然事件”、“不可能事件”的定义判断即可； （2）利用概率公式直接进行计算． （3）设计摸球游戏中的球总数为，红球和白球个数相同，且多于黑球的个数即可． 【详解】（1）解：小明可能中奖也可能不中奖 小明中奖是随机事件； 故答案为：随机； （2）解：袋中共有个球，其中红球个，黄球6个，黑球9个，且从袋子中摸出1个球，红色、黄色、白色分别代表一、二、三等奖，黑色表示谢谢参与， ， ， ． 故答案为：； （3）解：有足够多的球，从中选个球设计摸球游戏，使摸到红球的概率和摸到白球的概率相等，且都大于摸到黑球的概率， 只要球的总数为个，红球和白球个数相同，且多于黑球的个数， 可设计如下：选红色、黄色、白色、黑色四种除颜色外都相同的小球个，其中红球和白球都是个，黑球个，其他的球都是黄色球． 【点睛】本题考查随机事件，概率公式，游戏设计，掌握概率的意义是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03概率初步 期末复习讲义 期末复习◆重点 区分三类事件：能够准确辨别必然事件、不可能事件、随机事件，并掌握三类事件对应的概率取值范围。 判断等可能性：会判断随机试验的所有结果是否机会均等，只有满足等可能性，才能用古典概率公式计算。 掌握概率核心公式：熟练利用符合条件的结果数、总结果数，计算简单随机事件的概率。 理解概率大小意义：明确概率取值在0到1之间，能根据概率大小判断事件发生可能性的高低。 掌握基础概率题型：熟练解决摸球、转盘、掷骰子等常见等可能试验的概率计算问题。 核心题型◆归纳 题型1.事件分类辨析题 题型2.判断事件发生可能性大小 题型3.单组试验求某事件频率 题型4.概率含义辨析题 题型5.频率与概率关系正误判断 题型6.由频率估算概率 题型7.频率估计概率实际综合应用 题型8.列举随机试验全部等可能结果 题型9.判断试验结果等可能性 题型10.列举法求解概率题 题型11.套用概率公式直接计算概率 题型12.借助概率数值进行决策判断 题型13.已知概率反向求解对应数量 题型14.利用概率判定游戏公平性 题型15.几何概率计算题 题型16.转盘规则下抽奖概率应用题 题型17.球类赛事场景概率题 题型18.概率的其他应用 重点知识◆梳理 【知识点一、必然事件、不可能事件和随机事件】 ✅必然事件：在一定条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件，叫做必然事件． 概率定值：P=1 ✅不可能事件：在每次试验中都不会发生的事件叫做不可能事件． 概率定值：P=0 ✅随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件． 概率范围：0＜P＜1 ★补充概念：必然发生的事件和不可能发生的事件均为“确定事件”，随机事件又称为“不确定事件”，可依据概率取值判断事件类型。 ★一般地，必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小， 【知识点二频率与概率】 ✅频率：多次重复试验中，某一事件发生的次数（频数）与试验总次数的比值。公式：频率= 关键特征：频率是变化的，会随着试验次数的改变而波动。 例如：抛硬币10次和100次，正面朝上的频率可能不同。 ✅概率：事件本身固有的属性，是一个固定不变的数值，用于表示事件发生的可能性大小，取值范围为0≤P≤1。 例如：抛一枚均匀硬币，正面朝上的概率恒为。 关键特征：概率与试验次数无关，只由事件本身的性质决定。 二者核心关系:当进行大量重复试验时，事件发生的频率会逐渐稳定到某个常数，这个常数就可以作为该事件概率的估计值。 【重点提示】：频率是概率的“估计值”，概率是频率的“稳定值”；试验次数越多，频率越接近概率，但永远不会完全等于概率（除非是必然事件或不可能事件）。 【知识点三、求概率的常用方法】 ✅直接列举法：适用于试验结果较少、易全部列举的随机事件； ✅列表法：适用于两步试验（如两次摸球、掷两枚骰子），清晰地列出所有等可能结果； ✅树状图法：适用于两步及以上试验，逐层分析所有可能结果，不重不漏。 【知识点四、摸球类、抽卡类概率计算】 从装有若干不同颜色球的袋子中随机摸球，直接用符合条件的数量÷总数计算 例如：袋中有3红2白共5球，随机摸一个是红色的概率：P= 易错点提醒：未看清“有放回”还是“无放回”；第2次摸球时总数未减1. 【知识点五、几何概型（面积型概率）】 几何图形问题：P=， 核心是准确计算图形面积，再代入比值求解。 例如：转盘平均分成8份，红色占3份，则指针停在红色区域概率：P= 知识点（六）概率的综合应用 结合生活实际，用概率进行预测、决策、方案选择。 例如：某产品合格率为98%，则1000件中大约980件合格。 易错点提醒：把概率当成精确数量；实际问题中忽略限制条件，直接套公式。 知识点（七）游戏公平性判断 双方获胜概率相等，则游戏公平；否则不公平。 例如：两人投骰子，奇数甲赢，偶数乙赢，概率均为，游戏公平。 易错点提醒：只看结果多少，不计算概率是否相等；漏算某种情况导致判断错误。 题型解析◆精准备考 题型1.事件分类辨析题 1．下列事件中，属于必然事件的是（     ） A．抛掷一枚质地均匀的硬币，反面朝上 B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 C．抛掷骰子一次，正面朝上的点数是6 D．太阳从东方升起 2．“七年级下册数学课本一共185页，一名学生随手翻开恰好翻到53页”，这个事件是________事件（填“必然”、“不可能”或“随机”）． 3．下列事件中，哪些是随机事件？哪些是必然事件？哪些是不可能事件？ (1)在一个标准大气压下，通常水加热到时沸腾； (2)篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中； (3)掷一次骰子，向上一面的点数是； (4)过直线外一点，作出两条不同的直线与这条直线平行； (5)太阳从西边落下． 题型2.判断事件发生可能性大小 1．在下列事件中，不可能事件是（     ） A．在共装有5只红球的袋子里，摸出一只白球 B．抛掷一枚硬币，落地后正面朝上 C．买一张体育彩票，中大奖 D．小海在练习篮球投篮时5投全中 2．口袋里装有4个红球和1个黄球，从中任意摸出一个再放回去，摸到______球的可能性大些，摸到______球的可能性要小些． 3．一个不透明的袋子中装有1个白球，2个黄球和3个红球，这些球除颜色外其他都相同，将球摇匀，从袋子中随机取出1个球． (1)取出的球是红球是什么事件？取出的球是蓝球是什么事件？ (2)你认为摸到哪种颜色的球的概率最大？为什么？ 题型3.单组试验求某事件频率 1．两个同学在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子，出现3点朝上的频率 B．小华去看电影，他买的电影票座位号是2的倍数的频率 C．从一道单项选择题的四个备选答案中，随机选一个答案，选中正确答案的频率 D．从分别标有、3、0、2、、的6张纸条中，随机抽出一张，抽到负数的频率 2．一个口袋中有红球、白球共个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了次球，发现有次摸到红球，则可估计这个口袋中白球的个数是_____． 3．某工厂接到一批电池的订单量，在电池生产的过程中，质检员会在一段时间内先后对多个批次的电池进行抽检，目的是估计电池的合格率，及时调整生产的数量和进度，满足客户需求．下表是质检员对某一批电池抽检过程中的数据统计． 抽检电池的数量 1000 1500 2000 2500 3000 3500 合格电池的数量 982 1464 1956 2455 2940 3430 电池合格的频率 0.982 0.976 0.982 0.980 (1)__________，__________；（结果精确到0.001） (2)根据表格数据，估计该工厂生产电池合格的概率为多少？（结果精确到0.01） 题型4.概率含义辨析题 1．下列说法正确的是(    ) A．天气预报说明天降水概率非常大，则明天会下雨是必然事件 B．某彩票中奖率为，小明买了4张这种彩票，前3张都没有中奖，则最后一张中奖的概率仍为 C．任意抛掷一枚图钉10次，针尖全都向上，则抛掷一枚图钉针尖向下为不可能事件 D．射击运动员射击一次只有2种可能的结果：中靶或脱靶，所以他中靶的概率为 2．在研究随机事件的概率中，有的是等可能事件，可以算出理论概率，有的理论概率计算复杂，还有的是非等可能事件，这两种事件的概率选择用实验的方法，通过增加实验的频次，用频率估计概率，下面是利用计算机模拟实验估计50个人中有两人生日相同的概率曲线图，通过图中数据可知40个人中两人生日相同的概率接近______．（精确到） 3．（1）小徐抛一枚硬币20次，有11次正面朝上，当她抛第21次时，正面朝上的概率为______． （2）通常单项选择题有4个选项，其中只有1个选项是正确的．现有20道选择题，小明认为只要在每道题中任选1个选项，其中必有5题的选择结果是正确的，请你从频率与概率的角度分析小明的推断是否正确？ 题型5.频率与概率关系正误判断 1．关于频率与概率，有下列几种说法，其中正确的说法有（    ） ①“明天下雨的概率是”表示明天下雨的可能性很大； ②“抛一枚硬币，正面朝上的概率为”表示每抛两次就有一次正面朝上； ③“某种彩票中奖的概率是”表示买10张该种彩票不可能中奖； ④“抛一枚硬币，正面朝上的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛出正面朝上”这一事件发生的频率稳定在附近． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 2．下表显示了在同样条件下对某种小麦种子进行发芽实验的部分结果． 试验种子数n（粒） 1 5 50 100 200 500 1000 2000 3000 … 发芽频率m 0 4 45 92 188 476 951 1900 2850 … 发芽频率 0 0.8 0.9 0.92 0.94 0.952 0.951 0.95 0.95 … 则下列推断： ①随着试验次数的增加，此种小麦种子发芽的频率总在0.95附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计此种小麦种子发芽的概率是0.95； ②当试验种子数为500粒时，发芽频率是476，所以此小麦种子发芽的概率是0.952； ③若再次试验，则当试验种子数为1000时，此种小麦种子发芽的频率一定是0.951； 其中合理的是____________（填序号） 3．王强和李刚在学习概率时，做掷骰子（质地均匀的正方体形状）试验，他们共掷了60次，出现朝上点数的次数如下表： 朝上点数 1 2 3 4 5 6 出现次数 8 11 6 9 16 10 (1)计算出现朝上点数为3的频率及出现朝上点数为5的频率． (2)根据以上试验，王强说：“根据试验结果，一次试验中出现朝上点数为5的概率最大．”李刚说：“如果掷600次，那么出现朝上点数为6的次数正好是100次．”这两名学生的说法是否正确？为什么？ 题型6.由频率估算概率 1．近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分，如图为槐荫区勾股数学公众号二维码，小莲将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，为了估计黑色阴影部分的面积，她在纸片内随机掷点，经过大量试验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.75左右，则据此估计此二维码白色部分的面积为（     ） A．15 B．5 C．0.75 D．0.25 2．某足球运动员在同一条件下进行射门，结果如下表所示： 射门次数n 20 50 100 200 500 800 踢进球门频数m 13 35 58 104 260 400 踢进球门频率 0.65 0.7 0.58 0.52 0.52 0.5 则该运动员射门一次，射进门的概率为__________．（保留一位小数） 3．某商场设立了一个可以自由转动的转盘（如图所示），并规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就可以获得相应的奖品（指针落在分界线上，重转）．下表是活动进行中的一组统计数据：    转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“洗手液”区域的次数m 65 108 136 345 552 690 落在“洗手液”区域的频率 0.65 0.72 0.68 0.69 a 0.69 (1)填空： ______； (2)根据上表，随机转动该转盘一次，获得“洗手液”的概率大约是多少？（结果保留两位小数） 题型7.频率估计概率实际综合应用 1．某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么最符合这一结果的试验是（　　） A．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6 C．在一副扑克中随机抽取一张，抽到的牌是红桃 D．不透明袋中有红球、黄球、蓝球各1个，每个球除颜色外其余均相同，从中随机摸出一个球，是黄球 2．某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数 400 800 1000 2000 4000 发芽的频数 304 644 796 1602 3200 发芽的频率 0.760 0.805 0.796 0.801 0.800 若学校劳动基地对该批次油菜籽200粒进行萌发，发芽的植株大约有_____株． 3．工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数（件） 合格频数 m 合格频率 (1)估计任抽一件该产品是合格品的概率是________；表格中m的值为________； (2)某天甲员工被抽检了件该产品，估计其中不合格品有多少件？ 题型8.列举随机试验全部等可能结果 1．大连某高级中学某年级数学组在期末考试结束后采取抽签轮空批卷制度，试卷需要人工批阅的部分分为填空题（，由一人批阅）和、、、、五道大题，该年级数学组一共位老师参与抽签，抽中轮空票的老师可以不参与阅卷工作，其他老师按照自己抽中的题号批阅相应试题，下列说法正确的是（   ） A．张老师抽中轮空票的概率为 B．夏老师抽中批阅题的概率为 C．刚开始，王老师和常老师首先同时进行抽签，则在互不影响的前提下，王老师批阅题，常老师轮空的概率为 D．已知王老师第一个抽到了题，夏老师第二个抽到了题，则此时常老师和张老师同时抽票，则张老师抽到轮空票的概率为 2．现有五个乒乓球和五个盒子，它们分别标号、、、、，小明同学打算将所有的小球都放入到盒子中，但要求：（1）每个盒子只能放一个小球；（2）小球号码与盒子号码均不相同．根据上述信息，小明同学一共有______种不同的放法． 3．在一个不透明的盒子里装有分别标有数字，，0，1的四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，先从盒子里随机摸出一个小球，记录数字后放回，再随机摸出一个小球，记录数字． (1)列出两次摸球的所有可能结果； (2)求两次摸出的小球上的数字之和为正数的概率． 题型9.判断试验结果等可能性 1．下列说法正确的是（    ） A．天气预报说章丘区明天降水概率非常大，则明天章丘区会下雨是必然事件 B．某彩票中奖率为5%，小明买了4张这种彩票，前3张都没有中奖，则最后一张中奖的概率仍为5% C．任意抛掷一枚图钉10次，针尖全都向上，则抛掷一枚图钉针尖向上为必然事件 D．射击运动员射击一次只有2种可能的结果：中靶或脱靶，所以他中靶的概率为 2．小梅随机选择在下周一至周五的某一天去打新冠疫苗，则她选择在周二去打疫苗的概率为（    ） A．1 B． C． D． 3．一个不透明的袋中有个球，分别标有，，，，这五个号码，这些球除号码外都相同，搅匀后任意摸出一个球． (1)会出现哪些可能的结果？ (2)每个结果出现的可能性相同吗？猜猜它们的概率分别是多少？ 题型10.列举法求解概率题 1．用2、3、4三个数字排成一个三位数，则排出的数是偶数的概率为（     ） A． B． C． D． 2．在动物行为学中有小鼠Y字迷宫实验，锻炼小鼠短期记忆．如图，小鼠从入口进入，每遇到一个Y字路口会随机选择其中一条路走，只可以前进不许后退，则小鼠在第一次走迷宫就能获得食物的概率是___________． 3．诺诺和妈妈计划在5月7日～13日去云南旅游，如图是她在某天气上查看到的这七天天气预报，求下列事件的概率： (1)随机选择一天去参观博物馆，恰好天气预报是雨； (2)随机选择连续的两天去大理自驾游，恰好天气预报都是晴． 题型11.套用概率公式直接计算概率 1．小军在一次用频率估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验可能是（　　） A．一个不透明的袋中装有除颜色外其他完全相同的2个绿球和1个蓝球．任意摸出1个球，摸到蓝球的概率 B．掷一枚质地均匀的骰子，偶数点数朝上的概率 C．从一副去掉大、小王的扑克牌中，任意抽取一张，抽到红桃的概率 D．任意买一张高铁二等座票（一排五座），座位靠窗的概率 2．一只不透明的盒子里装有6个只有颜色不同的球，其中红球3个、白球1个、黑球2个．从盒子里任意摸出1个球，是黑球的概率为________． 3．某商场为了吸引顾客，设立了一个如图可以自由转动的转盘，转盘被等分成20个扇形．商场规定：顾客每购买200元的商品就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、绿或黄色区域，顾客就可以分别获得100元、50元，20元的购物券，已知甲顾客购物220元，获得一次转动转盘的机会． (1)求他得到100元购物券的概率是多少？ (2)若要让获得50元购物券的概率变为，还需要将几个无色扇形涂成绿色？ 题型12.借助概率数值进行决策判断 1．不透明袋子中有若干个白球（）和灰球（），这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，灰球出现的频率如图所示，则该不透明袋子不可能是（   ）． A． B． C． D． 2．某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验，结果如下表所示： 种子粒数 200 300 500 700 800 900 1000 发芽种子粒数 187 282 435 624 718 814 901 种子发芽率 0.935 0.940 0.870 0.891 0.898 0.904 0.901 下面有四个说法： ①种子粒数是700时，发芽种子的粒数是624，所以种子发芽的概率是0.91； ②随着试验的种子数量的增加，发芽种子的频率在0.9附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计种子发芽的概率约为0.9； ③试验的种子粒数最多的那次试验得到的种子发芽的频率一定是该作物种子发芽的概率； ④若用频率估计种子发芽的概率约为0.9，则可以估计种子中大约有的种子不能发芽． 其中合理的是____________（填序号）． 3．某超市为感恩客户的支持与信赖，特推出了“感恩回馈季，幸运抽好礼”的抽奖活动，抽奖活动分为转转盘和翻奖牌两种方式，规则分别如下： 转转盘：如图1是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分为8个区域，每个区域上分别写有“10元”“20元”或“感谢参与”的字样．转动转盘，当转盘停止转动后，顾客可获得指针所指区域相应金额的代金券（若指针指向分界线，则重新转动）． 翻奖牌：如图2是9张背面完全相同的卡片，正面上分别写有“10元”“20元”“30元”或“感谢参与”的字样．将这9张卡片背面朝上洗匀后，顾客可从中随机抽取一张，并获得这张卡片正面相应金额的代金券． 顾客消费超过100元，可凭借购物小票在转转盘和翻奖牌两种方式中任选一种参与． 说明：两种方式中，“感谢参与”均无法获得代金券． (1)求转转盘方式中，顾客获得10元代金券的概率． (2)求翻奖牌方式中，顾客获得代金券的概率． (3)若你参与抽奖活动，你选择哪种方式？并说明理由． 题型13.已知概率反向求解对应数量 1．一个不透明的布袋里装有3个红球，2个黑球，若干个白球，这些球除颜色外其余都相同．从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是，袋中白球共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．在一个不透明的袋子里装有绿球、黄球和红球共10个，这些球除颜色不同外无其他差别．每次从袋子里摸出一个球记录下颜色后再放回，经过大量的重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.3，则袋中红球的个数是______． 3．为了统计初一年级同学每周的阅读时长，某数学兴趣小组随机抽取了部分学生进行问卷调查（数据共分为4组：A组：，B组：，C组：，D组，其中x表示每周阅读时长，单位为小时）已知在所调查的学生中随机选取一人，所选学生每周阅读时间不低于9小时的概率为 (1)参与此次调查的学生有______人，请补全条形统计图； (2)______，扇形统计图中C组对应的扇形的圆心角度数为______． (3)若初一年级学生共有750人，根据本次调查结果，估计初一年级学生中每周阅读时间不少于3小时的共有多少人？ 题型14.利用概率判定游戏公平性 1．甲乙两人想利用摸球游戏来决定谁去看电影，他们在袋中装了个红球，个黄球、个白球，这个球除颜色外完全相同，任意摸出一个球，若摸到红球，甲去看电影；若摸到黄球，乙去看电影；若摸到白球，两人均不去看电影，这个游戏规则（   ） A．对甲有利 B．对乙有利 C．对双方公平 D．无法判断 2．某转盘被分成个扇形，其中红色区域占份，黄色和蓝色各占份，且每份面积相等．规则：转动转盘，指针停在红色区域甲得分，停在黄色或蓝色区域乙得分，多次转动后，该游戏规则________．（填“公平”或“不公平”） 3．一个不透明的盒子中装有3个白色乒乓球，2个黄色乒乓球，1个红色乒乓球，这些乒乓球除颜色外形状和大小完全一样，小颖同学从盒子中任意摸出一个乒乓球． (1)小颖同学摸出红球的概率是多少？ (2)小颖和小英同学一起做游戏，小颖从上述盒子中任意摸一个乒乓球，如果摸到黄色，小颖获胜，否则小英获胜．这个游戏对双方公平吗？为什么？（利用概率的知识进行说明） 题型15.几何概率计算题 1．为增强班级凝聚力，王老师组织开展了一次主题班会．班会上，他设计了一个如图的飞镖靶盘，靶盘由两个同心圆构成，小圆半径为，大圆半径为，每个扇形的圆心角为度．如果用飞镖击中靶盘每一处是等可能的，那么小明同学任意投掷飞镖1次（击中边界或没有击中靶盘，则重投1次），投中“免一次作业”的概率是（   ） A． B． C． D． 2．如图，由四个长为，宽为的长方形和一块小正方形构成一块大正方形的飞镖游戏板．向游戏板随机投掷一枚飞镖（每次飞镖均落在纸板上）．若，则飞镖击中小正方形空白区域的概率是_____． 3．如图，图1和图2均是可以自由转动的转盘，图1被平均分成9等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字（当指针恰好指在分界线上时重转）；图2被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角是，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的颜色即为转出的颜色（当指针恰好指在分界线上时重转）．小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘． (1)求小明转出的数字大于3的概率； (2)小颖认为，小明转出的数字大于3的概率与小亮转出的颜色是红色的概率相同．她的看法正确吗？为什么？ 题型16.转盘规则下抽奖概率应用题 1．学校科技节设置转盘抽奖活动，转盘上有六个全等的区域，颜色分布如图(黄、蓝、蓝、红、蓝、红)．若指针固定不动，转动转盘，当转盘停止后，指针对准红色区域即可获奖，则获奖的概率是（   ） A． B． C． D． 2．如图，一个转盘被分为了A，B，C三个区域，自由转动转盘一次，当转盘停止时，指针指向A区域的概率是______． 3．如图，为喜迎五一劳动节，大润发超市特别推出感恩回馈活动．活动期间，顾客累计购物满200元，即可获得一次免费转动幸运转盘的机会，指针指向对应奖项区域，即可赢取相应好礼，多买多转，惊喜不停．如果转盘停止后，指针正好对准红、绿或黄色区域，顾客就可以分别获得50元、30元、20元的购物券（转盘被等分成20个扇形）．某顾客购物210元． (1)则他获得购物券的概率是________； (2)他获得哪种购物券的概率最大？并说明理由？ 题型17.球类赛事场景概率题 1．足球比赛前，裁判通常要掷一枚硬币来决定比赛双方的场地与首发球者，其主要原因是（   ） A．让比赛更富有情趣 B．让比赛更具有神秘色彩 C．体现比赛的公平性 D．不知道什么原因 2．甲、乙两位棋手棋艺相当，他们在一项奖金为10000元的比赛中相遇，比赛为七局四胜制（无平局）．已经进行了五局的比赛，结果为甲三胜二负．现在因故要停止比赛，问应该如何分配这10000元比赛奖金才算合理？ 答：甲得_______元；乙得_______元． 3．某公园游乐场为了增加趣味性，精心设计了一款独具创意的转盘（转盘被等分成8个扇形）游戏，命名为“开心大转盘”，游戏规则如下：参与者可随心转动转盘，指针指向“A”区，参与者需支付2元费用；指针指向“B”区，参与者可获得3元奖励；指针指向“C”区，参与者可获得1元奖励．某天，参与游戏的人共转动转盘80次，你认为这一天针对该转盘游戏游乐场盈利了还是亏损了？为什么？ 题型18.概率的其他应用 1．一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从0到9的自然数．若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于，则密码的位数至少需要设（    ） A．五位 B．四位 C．三位 D．二位 2．投掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1至6六个数字．如果连续掷3600次，“掷出上面是5点”的频数约为____次． 3．在一个不透明的抽奖袋中装有红色、黄色、白色、黑色四种除颜色外都相同的小球，从袋子中摸出1个球，红色、黄色、白色分别代表一、二、三等奖，黑色表示谢谢参与． (1)若小明获得1次抽奖机会，小明中奖是__________事件（填“随机”、“必然”、“不可能”）； (2)若袋中共有24个球，其中红球3个，黄球6个，黑球9个，则1次抽奖机会中，抽中一等奖的概率为__________；抽中二等奖的概率为___________；中奖的概率为____________； (3)现有足够多的球，请你从中选15个球设计摸球游戏，使摸到红球的概率和摸到白球的概率相等，且都大于摸到黑球的概率． 学科网（北京）股份有限公司 $