4.1认识三角形寒假预习讲义（7知识点+14题型+过关检测） 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

4.1认识三角形寒假预习讲义 （7知识点+14题型+过关检测） 模块一 题型先知导航 【题型1 三角形概念】 1 【题型2 三角形的个数问题】 2 【题型3 三角形的分类】 4 【题型4 直角三角形两锐角互余】 5 【题型5 构成三角形的条件】 9 【题型6 确定第三边的取值范围】 10 【题型7 等腰三角形的定义】 11 【题型8 画三角形的高】 12 【题型9 三角形角平分线的定义】 14 【题型10 重心的概念】 15 【题型11 三角形三边关系的应用】 17 【题型12 与三角形的高有关的计算问题】 19 【题型13 利用网格求三角形面积】 21 【题型14 重心有关的性质】 24 · 理解三角形的定义，能准确识别三角形的顶点、边、角，并会用符号表示三角形。 · 掌握三角形的内角和定理（三角形内角和等于 180°），能进行简单角度计算。 · 知道三角形按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；按边分类：等腰三角形、等边三角形、一般三角形。 · 理解三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，能判断三条线段能否组成三角形。 · 认识三角形的三条重要线段：中线、角平分线、高，知道它们的定义与基本画法。 模块三 知识点梳理 【知识点一】 认识三角形 1、三角形的概念 由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。 【知识点二】 与三角形有关的线段和角 2、三角形中的主要线段 （1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。 （2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。 （3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。 3、三角形的稳定性 三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。 4、三角形的特性与表示 三角形有下面三个特性： （1）三角形有三条线段；（2）三条线段不在同一直线上；（3）首尾顺次相接。 三角形用符号“”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ABC”，读作“三角形ABC”。 【知识点三】三角形的分类 三角形按边的关系分类如下： 三角形按角的关系分类如下： 把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。 【知识点四】三角形的边角关系 （1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。 推论：三角形的两边之差小于第三边。 （2）三角形三边关系定理及推论的作用： ①判断三条已知线段能否组成三角形 ②当已知两边时，可确定第三边的范围。 ③证明线段不等关系。 三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。 推论： ①直角三角形的两个锐角互余。 ②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。 ③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。 三角形的面积=×底×高 【知识点五】 三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高． 三角形的高的数学语言： 如图一，AD是ΔABC的高，或AD是ΔABC的BC边上的高，或AD⊥BC于D，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°. 图一 图二 注意：AD是ΔABC的高∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC于D)； 特别说明：如图二 （1）三角形的高是线段；分别为AD、BE、CF。 （2）三角形有三条高，且相交于一点H，这一点H叫做三角形的垂心； （3）三角形的三条高： (ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部； (ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部； (ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角的顶点. 【知识点六】三角形的中线 三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线． 三角形的中线的数学语言： 如下图，AD是ΔABC的中线或AD是ΔABC的BC边上的中线或BD＝CD＝BC. 图三 图四 特别说明： （1）三角形的中线是线段； (2)三角形三条中线全在三角形内部； (3)三角形有三条中线而且三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心； (4)中线把三角形分成面积相等的两个三角形.如图四： 【知识点七】三角形的角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 三角形的角平分线的数学语言： 如下图，AD是ΔABC的角平分线，或∠BAD＝∠CAD且点D在BC上. 图五 图六 注意：AD是ΔABC的角平分线∠BAD＝∠DAC＝∠BAC (或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC) . 特别说明： （1）三角形的角平分线是线段； （2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部； （3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心； （4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线； 图七 模块四 题型汇总 【题型1 三角形概念】 【典例1】．我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出“割圆术”，探究圆的面积计算，其中涉及三角形的性质．下列关于三角形的说法，正确的是（    ） A．任意三角形的三条高都在三角形内部 B．三角形的内角和随边长增大而增大 C．等腰三角形的两底角相等 D．三角形任意两边之差等于第三边 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的基本性质． 通过三角形的基本性质判断各选项即可． 【详解】解：钝角三角形的两条高在外部，A错误，不符合题意； 三角形内角和恒为，与边长无关，B错误，不符合题意； 等腰三角形的两底角相等，C正确；，符合题意 三角形任意两边之差小于第三边，而非等于，D错误，不符合题意； 故选：C． 【变式1-1】．在中，边所对的角是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查“三角形的基本概念”，了解三角形中的相关概念是解题关键． 根据图形和三角形的边所对角的概念进行判断即可． 【详解】解：根据三角形的边所对角的概念， 在中，边所对的角是， 故选：B． 【变式1-2】．如图，下列说法错误的是（    ） A．DF是的边 B．是的内角 C．以为内角的三角形有3个 D．以BC为边的三角形有3个 【答案】D 【分析】此题考查三角形的识别与有关概念，关键是根据三角形的内角和边进行解答． 根据三角形的内角和边判断即可． 【详解】解：A、是的边，说法正确，不符合题意； B、是的内角，说法正确，不符合题意； C、以为内角的三角形有个，分别为、、，说法正确，不符合题意； D、以为边的三角形有个，分别是、、、，说法错误，符合题意； 故选：D． 【题型2 三角形的个数问题】 【典例2】．已知，如图，以为边的三角形的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的认识，不重不漏的写出所有的三角形是解题的关键． 根据三角形的概念、结合图形写出以为边的三角形． 【详解】解：由图可得，以为边的三角形有，，，，一共有4个． 故选：D． 【变式2-1】．如图，已知点A，B在直线a上，点C，D，E在直线b上．以点A，B，C，D，E中的任意三点作为三角形的顶点，可以组成的三角形共有（    ） A．3个 B．4个 C．6个 D．9个 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的定义，掌握不在同一直线上的三点才能组成三角形是解题的关键． 三角形的三个顶点不能共线，因此从直线a和直线b中交叉选取三点，分①从选个、选 个；②从选 个、选个两种情况，计算可组成的三角形数量． 【详解】解：可以组成的三角形有: ，，，，，，，，，共9个． 故选：D． 【变式2-2】．如图中三角形的个数是（　　） A．4 B．6 C．9 D．5 【答案】D 【分析】本题考查三角形的概念．三角形是由三条线段顺次首尾相连，组成的一个闭合的平面图形；观察所给图形，先数出单个的三角形，再数出组成的三角形，然后求和可得答案． 【详解】解：图中的单个三角形有，，，共3个， 由2个三角形组成的三角形有，共1个， 由3个三角形组成的三角形有，共1个， 所以共有（个）三角形． 故选：D． 【题型3 三角形的分类】 【典例3】．如图，某一个三角形被长方形纸板遮住一部分，只露出一个角，你能判断它是什么三角形吗？你的判断是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理的运用以及图形的识别能力和推理能力，三角形按角分类，可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形． 【详解】解：从图中，只能看到一个角是锐角，其它的两个角中，可以都是锐角或有一个钝角或有一个锐角． 故选：D． 【变式3-1】．在课堂上，老师在黑板上画出了如图所示的三个三角形，让同学们根据它们的边长进行分类．其中，分类错误的是（    ） A．①是不等边三角形 B．②是等腰三角形 C．③是等边三角形 D．②③是等边三角形 【答案】D 【分析】本题主要考查等腰三角形，等边三角形的定义，解题的关键是掌握相关概念． 根据等边三角形，等腰三角形的定义可逐项判定求解． 【详解】解：A、①，故①是不等边三角形，分类正确，不符合题意； B、②，故②是等腰三角形，分类正确，不符合题意； C、③，故③是等边三角形，分类正确，不符合题意； D、②是等腰三角形，③是等边三角形，分类错误，符合题意； 故选：D． 【变式3-2】．三角形可以按内角的大小如下分类：图中“？”处是 ． 【答案】直角三角形 【分析】本题考查的知识点是三角形的分类，解题关键是熟练掌握三角形的分类． 根据三角形的分类进行解答即可． 【详解】解：按三角形内角的大小把三角形分为三类：锐角三角形、钝角三角形和直角三角形， 则图中“？”处是：直角三角形． 故答案为：直角三角形． 【题型4 直角三角形两锐角互余】 【典例4】．如图，在中，，点E，F分别为上一点，将沿直线翻折至同一平面内，点A落在点处，，分别交边于点M，N．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了翻折变换，邻补角，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先根据平角定义可得，然后利用折叠的性质可得：，，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，最后利用平角定义进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式4-1】．如图，在中，，G为的中点，延长交于E．于H，交于F．下列说法中错误的是（　　） A．是的中线 B． C．线段是的角平分线 D．与的面积相等 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的面积、三角形的角平分线、中线和高，注意：三角形的角平分线、中线、高都是线段，且都是顶点和三角形的某条边相交的交点之间的线段．根据三角形的角平分线、中线和高的概念、三角形的面积公式判断即可． 【详解】解：A、∵G为的中点， ∴是的中线，故本选项说法正确，不符合题意； B、∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故本选项说法正确，不符合题意； C、∵， ∴线段是的角平分线，故本选项说法错误，符合题意； D、∵G为的中点， ∴与的面积相等，故本选项说法正确，不符合题意； 故选：C． 【变式4-2】．一副三角板按如图所示的位置放置，过点A 作直线，平分，、交于点F．已知，，，．则①；②平分；③；④．其中结论正确的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质及三角形的内角和定理是关键． 对于①，根据平行线的性质，可求得，即可判断； 对于②，根据角平分线的定义可求得，再证明，即可判断； 对于③，根据三角形内角和定理判断即可； 对于④，先求得，再证明即可． 【详解】解：对于①， ，， ， 即， 故①正确； 对于②， ，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 即平分， 故②正确； 对于③， ，， ， ， 故③正确； 对于④， ，， ， ，， ， ； 故④正确； 所以结论正确的有①②③④． 故选：D． 【题型5 构成三角形的条件】 【典例5】．木工师傅要作一个三角形支架，现有两根木条的长度分别为和，则可以作为第三根木条长度的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是构成三角形的条件，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出第三边的取值范围，再判断选项即可. 【详解】解：设第三边长为，两根木条的长度分别为和， ∴ c的取值范围为， ∴B，C，D不符合题意，A符合题意， 故答案为：A 【变式5-1】．两根木棒的长度分别为，，取第三根木棒，使它们首尾顺次相接组成一个三角形，则第三根木棒的长度可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟记关系式求出第三边的取值范围是解题的关键． 根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出第三边的取值范围，然后选择答案即可． 【详解】解：∵，， ∴第三边， 观察各选项，能组成三角形的第三根木棒的长度是． 故选：C． 【变式5-2】．以下列长度的三条线段为边，能组成一个三角形的是（    ） A．2，3，8 B．5，6，7 C．1，2，4 D．3，4，7 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边”进行判断． 【详解】解：A: ，故不能组成三角形； B: ，故能组成三角形； C: ，故不能组成三角形； D: ，故不能组成三角形． 故选：B． 【题型6 确定第三边的取值范围】 【典例6】．如图，由两根钢丝绳和臂架组成的塔吊可近似看成三角形，已知臂架的长为，其中一根钢丝绳的长为，则另一根钢丝绳的长可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形三边数量关系，根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，由此即可求解． 【详解】解：设另一根钢丝绳的长为， ∴，即， 根据选项，只有A选项符合题意， 故选：A ． 【变式6-1】．若一个三角形的三边长分别为2，5，x，则x的值可以是（    ） A．9 B．7 C．5 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 根据三角形三边关系列出不等式组求解即可． 【详解】解：∵三角形的三边长为2，5，x， ∴根据三角形三边关系，有：，即． ∴x的值必须大于3且小于7，即C选项符合题意． 故选C． 【变式6-2】．学校手工社团要制作三角形相框，已有两根长度和的木条，现需再选一根木条拼接，下列长度中可选用的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三角形三边关系，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 设第三边长为，根据题意得到，求出，进而求解即可． 【详解】解：∵已有两根长度和的木条， 设第三边长为， 根据题意得， ∴ ∴可选用的是． 故选：C． 【题型7 等腰三角形的定义】 【典例7】．已知一个等腰三角形两边分别为4和9，则第三边长是 ． 【答案】9 【分析】根据等腰三角形的定义，三角形存在性解答即可． 本题考查了等腰三角形的性质，三角形存在性问题，正确分类计算是解题的关键． 【详解】解：∵等腰三角形的两边分别为4和9， ∴等腰三角形的三边长为4，4，9或4，9，9， 当三边为4，4，9时，，三角形不存在； 当三边为4，9，9时，，三角形存在， 故第三边长为：9； 故答案为：9． 【变式7-1】．已知等腰三角形两边长分别为4和12，那么这个等腰三角形的第三边长为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形三边关系等知识点，掌握分类讨论思想和运用三角形三边关系判定是否构成三角形成为解题的关键． 分腰长为4、腰长为12两种情况，分别确定第三边，然后再判定是否组成三角形即可解答． 【详解】解：若4是腰，则三边为4、4、12，但，不满足两边之和大于第三边，故不成立； 若12是腰，则三边为4、12、12，且，满足三角形三边关系， 故第三边为12． 故答案为12 【变式7-2】．用一根长为的铁丝围成一个等腰三角形，若其中一边长为，则另外两边的长分别为 ． 【答案】和或和 【分析】本题考查等腰三角形的定义，分两种情况讨论：当为腰时，底边为；当为底边时，腰为，均满足三角形三边关系定理，即可． 【详解】解：当为腰时，则底边的长为；，满足题意； 当为底边时，则腰长为；，满足题意； 故答案为：和或和 【题型8 画三角形的高】 【典例8】．对于，用一把直角三角尺，作边上的高，下列作法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形高的定义，熟练掌握三角形高线的定义即过一个顶点作垂直于它对边所在直线的线段，叫三角形的高线是解答此题的关键． 根据三角形高的定义求解即可． 【详解】解：三角形高线即过一个顶点作垂直于它对边所在直线的线段， 则A、B、C均不是高线，D是高线． 故选：D． 【变式8-1】．如图，，点A在线段上，边上的高是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】B 【分析】本题考查了三角形高的定义，掌握三角形高的定义是解题的关键； 根据从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，即可解决． 【详解】解：∵，点A在线段上， ∴， ∴边上的高是线段， 故选：B． 【变式8-2】．在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．以下图形均在正方形网格中，且各点均在格点上，则线段是的边上的高的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的高，中线以及等腰三角形的性质，正确判断垂直关系即可． 【详解】解：A、，，所以线段不是的边上的高； B、，，则，所以线段是的边上的高； C、，，所以线段不是的边上的高； D、与不垂直，所以线段不是的边上的高； 故选：B． 【题型9 三角形角平分线的定义】 【典例9】．如图，在中，为的平分线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，把一个角分成两个相等的角的线叫做角平分线． 根据角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵为的平分线， ∴，故D选项符合题意． 故选D． 【变式9-1】．请你在图中画出的角平分线，并填空：． 【答案】见解析，2；2； 【分析】根据角平分线的定义画出图形，结合图形即可得出，，解答即可． 本题考查了角的平分线基本作图，角的平分线的定义，熟练掌握作图和定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，作图如下： ∵是的平分线， ∴，， 故答案为：2；2；． 【变式9-2】．下列说法正确的是（    ） A．任意三条线段都可以围成三角形 B．三角形的角平分线是射线 C．三角形的三条高一定相交于一点 D．三角形三条中线的交点叫做三角形的重心 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的基本性质与相关概念，解题的关键是准确掌握三角形三边关系、角平分线、高、中线及重心的定义． 逐一分析每个选项，结合三角形的相关定义和性质判断其正确性． 【详解】解：A、根据三角形三边关系，任意两条线段长度之和必须大于第三条线段，并非任意三条线段都能围成三角形，此选项不符合题意； B、三角形的角平分线是线段，而非射线，此选项不符合题意； C、三角形的三条高所在的直线相交于一点，但钝角三角形的高会交于三角形外部，并非高本身一定相交于一点，此选项不符合题意； D、三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，此选项符合题意． 故选：D． 【题型10 重心的概念】 【典例10】．如图，将一块透明的三角形匀质薄板（记作）放入正方形网格中，其三个顶点都在网格线的交点上，在点（都在网格线的交点上）中，该三角形薄板的重心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查重心的定义，根据三角形三条中线的交点叫做重心，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，点是该三角形薄板的重心； 故选:A． 【变式10-1】．如图，O是的重心，，，的延长线分别交，，于点D，E，F，则下列结论一定成立的是（   ） A．平分 B． C．平分 D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形重心的概念，由题意可得、、均为的中线，由此逐项分析即可得出结果，熟练掌握三角形重心的概念是解此题的关键． 【详解】解：∵O是的重心，，，的延长线分别交，，于点D，E，F， ∴、、均为的中线， ∴平分，故A选项结论成立，符合题意； 故不一定垂直，不一定平分，不一定等于，故B、C、D选项结论不成立，不符合题意； 故选：A． 【变式10-2】．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形的顶点上．三角形匀质薄板放在如图所示的位置，则三角形匀质薄板的重心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形重心的判断，掌握三角形的重心的定义是解题的关键．根据三角形重心是三角形三条中线的交点，结合网格可得出结论． 【详解】解：如图，由各特征可得， ∴为的两条中线， ∴点为的重心， 故选：D． 【题型11 三角形三边关系的应用】 【典例11】．王老师在非遗竹编体验课上，带领学生开展竹编基础三角形纹样的拼接实践．现有、规格的竹条各一根，第三根竹条需从、、、四种备选规格中选取，则第三根竹条不可能选取的规格是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形三边关系，任意两边之和必须大于第三边． 根据三角形三边关系求出第三边取值范围，进而判断即可． 【详解】解：设第三根竹条长度为， 则， 即， 只有不在范围内． 故选：D． 【变式11-1】．下列各组长度的线段能构成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了构成三角形的条件，三角形三边关系的应用等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 只需最长线段与其他两条线段的和比较大小即可判断能否构成三角形，以此对四组线段分别分析，再作出判断． 【详解】解：，不满足两边之和大于第三边， ∴该组线段不能构成三角形， 故A不符合题意． ，不满足两边之和大于第三边， ∴该组线段不能构成三角形， 故B不符合题意． ，满足三角形三边关系， ∴该组线段能构成三角形， 故C符合题意． ，不满足两边之和大于第三边， ∴该组线段不能构成三角形， 故D不符合题意． 故选：C． 【变式11-2】．求代数式的最小值时，我们通常运用“”这个公式对代数式进行配方来解决．比如， ，，的最小值是． 试利用“配方法”解决下列问题： (1)填空：的最小值是___________； (2)求的最小值： (3)已知的三边长、、，满足，求当时，的周长． 【答案】(1) (2)3 (3) 【分析】本题主要考查了完全平方公式的运用，配方法求最值，利用偶数次方的非负性求值，解题的关键是掌握配方法． （1）利用配方法求出最小值即可； （2）利用配方法求出最小值即可； （3）根据配方法及偶数次方的非负性求出a、b的值，再求三角形的周长即可． 【详解】（1）解： 的最小值是； （2）解： ， 的最小值为3； （3）解： ，， ，，且 边长为1，3.5，4的三条线段能构成三角形， 的周长为． 【题型12 与三角形的高有关的计算问题】 【典例12】．如图，在中，，，，点D是边上一动点(不与点A，C重合)，过点D作，分别交于点E，F．则的值为（   ） A．2.4 B．4.8 C．6 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的面积等知识．根据，，，列出等式，由此即可解决问题． 【详解】解：连接， ，，， ，则， 则， 故选：B． 【变式12-1】．如图所示，一个大长方形被两条线段、分成四个小长方形．如果其中图形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积分别为7、4、6，那么阴影部分的面积和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形面积，掌握等长的长方形面积比等于宽的比是解题的关键． 设长方形面积为S，则阴影部分面积为，由Ⅱ、Ⅲ的面积分别为4、6，可得 ，根据Ⅰ的面积为7，知 ，然后求解即可． 【详解】解：如图： 设长方形面积为S，则阴影部分面积为， ∵Ⅱ、Ⅲ的面积分别为4、6， ∴ ， ∵Ⅰ的面积为7， ∴，解得：， ∴，即阴影部分面积为． 故答案为． 【变式12-2】．如图，，是的高，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的高； 利用等面积法列式求解即可． 【详解】解：∵，且， ∴，即， ∴， 故选：C． 【题型13 利用网格求三角形面积】 【典例13】．如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小方格的顶点叫格点． (1)过作的平行线，为格点； (2)画出的边上的高，垂足为； (3)求出的面积为 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)8 【分析】本题主要考查了求三角形面积，画平行线，画三角形的高，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据平行线的定义以及网格图的特征作图即可； （2）根据三角形高的定义以及网格图的特征作图即可； （3）用所在的长方形面积减去周围3个三角形面积再减去一个小长方形面积即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，平行线即为所求； （2）解：如图，高即为所求； （3）解：． 故答案为：8 【变式13-1】．如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都在格点上，每个小方格的边长为1． (1)仅借助网格和无刻度直尺画出边上的中线，并标出的位置； (2)仅借助网格和无刻度直尺画出边上的高线，并标出的位置； (3)填空：的面积是 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形的中线和高、全等三角形的性质和判定、无刻度直尺作图、网格中三角形面积的求法，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据三角形的中线的定义解题即可； （2）通过构造全等三角形解题； （3）通过割补法求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，由网格知点是线段的中点， ∴线段即为所求； （2）解：如图所示，连接交于点， 在和中， ∴≌， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴线段即为所求； （3）解：． 【变式13-2】．图①、图②、图③均是的网格，其中每个小方格都是边长为1的正方形，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的三个网格中确定三个不同的格点C，作，使的面积均为3． 【答案】作图见详解 【分析】本题考查了格点作图，网格中求三角形面积．利用网格图的特征及三角形面积公式的应用画出对应的即可，其顶点均在格点上． 【详解】解：如图所示为所求， 图①中，， 图②中，， 图③中，． 【题型14 重心有关的性质】 【典例14】．如图，用一个支点顶住一个三角形匀质薄板，慢慢调整薄板，使其能够在支点上保持平衡，此时，薄板与支点接触的点就是三角形匀质薄板的（    ） A．重心，即三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高所在直线的交点 D．内部任意一点 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的重心的概念和性质，熟练掌握数学知识在实际生活中的应用是解题的关键．支点应是三角形的重心，三条中线的交点就是三角形的重心，据此即可作答． 【详解】解：能使三角形保持平衡的支点是重心，而三角形的重心是三边中线的交点． 故选：A． 【变式14-1】．如图，已知：G是的重心，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形重心的性质，三角形的中线的性质，根据G是的重心，得出是的中线，可得，根据重心的性质可得，即可得出． 【详解】解：∵G是的重心， ∴是的中线，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式14-2】．如图，点D，E分别是，中点，与交于点G．若，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了三角形重心的性质. 根据题意得到G点为的重心，再结合计算即可． 【详解】解：∵点D，E分别是，中点，与交于点G， ∴G点为的重心， ∴. 故答案为：3． 模块五 过关检测 1．现有5cm和9cm长的两根木棒，再从下列长度的四根木棒中选取一根，可以围成一个三角形的是（    ） A．2cm B．3cm C．6cm D．14cm 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是关键．根据三角形的三边关系定理，第三边必须大于两边之差且小于两边之和，据此即可解答． 【详解】解：已知两边分别为5cm和9cm， 第三边需满足：， 即， 可以围成三角形的只有C选项6cm． 故选：C． 2．已知等腰三角形的两边分别是3，6，则该三角形的周长为（    ） A．12 B．13 C．15 D．16 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分两种情况：腰长为6和腰长为3，根据等腰三角形的定义得到该三角形的三边长，再根据构成三角形的条件验证是否能构成三角形，最后根据三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：当腰长为6时，则该三角形的三边长分别为3，6，6， ∵， ∴此时能构成三角形， ∴该三角形的周长为； 当腰长为3时，则该三角形的三边长分别为3，3，6， ∵， ∴此时不能构成三角形，不符合题意； 综上所述，该三角形的周长为15． 故选：C． 3．如图，三角形的面积为，，点为边上一点，过点分别作于，于，若，则长为（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的面积计算，将的面积看作是两个小三角形的面积之和是解答本题的关键． 连接，根据三角形的面积公式列出方程，即可求解． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 4．把一根8厘米长的小棒剪成三段，首尾相接围成一个三角形，第一剪不符合要求的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的三边关系，三角形三边之间的关系：三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边；据此解答． 【详解】解：B选项中，左边部分等于右边部分，不管是右边部分分成2段，还是左边部分分成2段，都等于另一部分，不符合三角形三边关系，不能围成三角形； A，C，D选项符合要求， 故选：B． 5．在一次飞行器的展览中需要将一块三角形匀质的机翼薄板顶在一个圆锥形的塔尖上（如图），使其能够在塔尖上保持平衡，这个塔尖应该放在三角形薄板的（   ）的交点处 A．三条角平分线 B．三条中线 C．三条高 D．三条边的垂直平分线 【答案】B 【分析】本题考查了三角形重心的定义．根据重心的定义，找到三角形三条中线的交点，即可求解． 【详解】解：依题意，这个塔尖应该放在三角形薄板的三条中线的交点处 故选：B． 6．用一个支点顶住一个三角形匀质薄板，慢慢调整薄板，使其能够在支点上保持平衡，则这个支点一定是三角形的（   ） A．三条中线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条高的交点 D．三条角平分线的交点 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的重心的概念和性质，掌握数学知识在实际生活中的应用是解题的关键．支点应是三角形的重心，三条中线的交点就是三角形的重心，据此即可作答． 【详解】解：能使三角形保持平衡的支点是重心，而三角形的重心是三条中线的交点， 故选：A． 7．如图，用一根细绳将一块质地均匀的三角形薄板悬挂在支架上，发现三角形薄板正好保持水平，则三角形上的悬挂点应是（    ） A．三角形三条中线的交点 B．三角形三条内角平分线的交点 C．三角形三条高线的交点 D．三角形三边垂直平分线的交点 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的重心，悬挂点应是三角形的重心，三条中线的交点就是三角形的重心，据此即可作答，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：用一根细绳将一块质地均匀的三角形薄板悬挂在支架上，发现三角形薄板正好保持水平，则三角形上的悬挂点应是三角形的重心，即三角形三条中线的交点， 故选：． 8．如图，用三角板作的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形高线的定义及三角板作高的操作，关键是理解“三角形的高是从顶点向对边作的垂线”，即边上的高需过点且垂直于，三角板的一条直角边应与重合，另一条直角边经过点B． 【详解】解：边上的高垂直于，且过点，由图形可得，选项A、C、D三角板的摆放位置不正确，选项B三角板的摆放位置正确． 故选：B． 9．在中，三边长分别为，，，且，分别为大于的整数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形三边关系的应用与完全平方公式的结合，关键知识为三角形任意两边之和大于第三边，通过三边关系列出不等式，结合整数条件确定与的等量关系，进而计算的值． 【详解】解：∵的三边为、、(且为整数)， ∴根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边， 即，整理得， ∵为大于1的整数，∴； 并且，整理得， ∵为大于1的整数，∴； ∵是整数，且，∴， ∴． 故选：D． 10．已知一个等腰三角形的两条边长分别是2和4，则它的周长是 ． 【答案】10 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握和运用等腰三角形的性质是解决本题的关键．分两种情况分别计算，即可求得． 【详解】解：当此等腰三角形的腰长为2，底边长为4时，，不能构成三角形，舍去； 当此等腰三角形的腰长为4，底边长为2时，，能构成三角形； 则它的周长为：． 故答案为：10． 11．已知a、b、c为的三边长，b、c满足，且a为方程的解，则的形状为 三角形． 【答案】等边 【分析】本题考查绝对值，平方的非负性和等边三角形的判定，三角形的三边关系，熟练掌握绝对值与平方的非负性和三角形的三边关系是解题的关键，根据绝对值和平方的非负性求出b和c的值，再解方程求出a的可能值，结合三角形三边关系确定a的值，从而判断三角形的形状． 【详解】解：∵， ∴和， 解得：，， ∵ ∴或， 解得：或， ∴或， 当，，时，，不能构成三角形， 当，，时，，为等边三角形， 故答案为：等边． 12．如图所示，在中．沿着过点的直线折叠这个三角形，使顶点落在边上的点处，折痕为，并连接．如果，且满足，边 ．(用含的代数式表示结果） 【答案】/ 【分析】本题考查三角形中的高线以及面积的计算，关键是利用折叠得到面积关系，再结合“同高三角形面积比等于底边比”推导线段长度． 【详解】解：设，由，得． ∵沿着折叠得到， ∴， 则，解得， ∴． ∵与同高(从点到的高)， ∴面积比等于底边比，即， 即， ∴． 故答案为：． 13．如图，线段，分别是中边，上的高．若，，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的高线的定义，根据三角形的面积求解是解题的关键；根据题意，利用等面积法即可求解． 【详解】解：线段，分别是的边，上的高，，，， 故答案为：． 14．如图，一个长方形被分成四个部分的面积分别为．若，则长方形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积，长方形的面积将两个三角形的面积和转化为长方形面积的一半，从而求出了长方形的面积． 【详解】解：如图，设长方形的宽为：, ， ∵， ∴， ∴， ∴由图可得：． 故答案为：20． 15．在综合实践活动中，数学兴趣小组对各边长度都是整数、最大边长为的三角形的个数进行了探究，发现：当时，只有一种情况，即；当时，有和两种情况，即；当时，有，，和四种情况，即；…，若，则的值为 ；若，则的值为 ． 【答案】 12 100 【分析】本题主要考查了三角形三边的关系，熟知三角形三边的关系，能通过计算发现与之间的关系是解题的关键． 依次求出，2，3，…，时的值，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，有如下情况： ，，，，，， 所以． 以此类推，当时，； 当时，； …， 因为， ， ， ， ， ， …， 所以当时， ． 故答案为：12，100． 16．已知a，b，c是的三边的长，且c为偶数并满足，求的周长． 【答案】7或9 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，偶次方非负数的性质，三角形的三边关系，求出a、b的值是解题的关键．先根据完全平方公式配方，然后根据非负数的性质列式求出a、b的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出c的取值范围，再根据c是偶数求出c的值，即可解答． 【详解】解：∵ ∴ ∵， ∴，， ∴，， ∵a，b，c是的三边的长， ∴， 解得， ∵c为偶数， ∴或4， ∴当时，的周长为， 当时，的周长为． ∴的周长为7或9． 17．已知的三边长为， (1)若，求边长的取值范围； (2)化简． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查三角形的三边关系、化简绝对值、整式的加减运算等知识点，熟练掌握三角形三边关系和绝对值的化简是解题的关键． （1）直接根据三角形的三边关系求解即可； （2）由三角形三边关系定理得到：，再化简绝对值，然后运用整式的加减运算法则化简即可． 【详解】（1）解：， ，即； （2）解：的三边长为， ， 原式 ． 18．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． (1)在图（1）中画的角平分线，标出点D； (2)在图（2）中，作的边上的高． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了画三角形的高，角平分线的判定定理，熟知角平分线的判定定理和三角形的高的定义是解题的关键． （1）取格点T，连接交于点D，则线段即为所求；根据网格的特点可得点T到直线的距离与点T到直线的距离相等，即点T在的角平分线上； （2）取格点D，连接，则即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求； （2）解：如图所示，线段即为所求． 19．如图，在中,是射线上一点，过点P作，垂足分别为，过点B作，垂足为F，连接． (1)如图1，点P在边上，写出线段之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，点P在的延长线上．当时，求线段的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)6 【分析】本题考查了三角形的高及三角形面积公式的应用，解题的关键是通过分割（或拆分）三角形面积，结合三角形的高推导线段间的数量关系． （1）由题意得出，则有，再结合即可得出结论； （2）由题意得出，则有，再结合，得出，由三角形的面积求出的长，最后即可得出答案． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴，即， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴，即， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵， 所以， 整理得：， 解得， ∴， 所以线段的长为6． 20．数学经验：三角形的中线、角平分线、高是三角形中的重要线段，同时，我们知道，三角形的三条高所在直线交于同一点． 请根据数学经验，完成下列问题： (1)如图①，在中，，则的三条高所在直线交于点_____________； (2)如图②，在中，，已知两条高，，请你仅用一把无刻度的直尺画出的第三条高；（不写画法，保留画图痕迹） (3)如图②，若，，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形的高，三角形的面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据直角三角形三条高的交点为直角顶点的性质进行解答即可； （2）根据三角形三条高所在直线交于一点的性质，作出第三条高即可； （3）根据三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：如图①，在中，，则的三条高所在直线交于点； （2）解：延长、交于点，连接，延长交于点，则线段为的第三条高， （3）解：∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 21．如图，在中，，D为BC边上任意一点，连接AD．已知DE，DF分别是，的高． 作图：（1）请在图①上作出中AC边上的高BG． 探究：（2）通过观察、测量，发现DE，DF，BG之间的数量关系为________________________． 填空：（3）为了说明DE，DF，BG之间的数量关系，小明是这样做的： 因为， 所以． 因为， 所以________________________． 拓展：（4）当点D在图②的位置时，试判断（2）中DE，DF，BG之间的数量关系是否仍然成立，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）  ，；（4）不成立．理由见解析 【分析】（1）过点作交于点，即可作答； （2）通过观察、测量，即可得到，，之间的数量关系； （3）将分成和，根据三角形的面积公式结合即可得到，，之间的数量关系； （4）将分成和，根据三角形的面积公式结合即可得到，，之间的数量关系． 【详解】解：（1）如图①，即为所求． （2） （3）因为， 所以． 因为， 所以． 故答案为：， ，． （4）不成立．理由如下： 如图②，过点作于点． ， ． ， ， ． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了中线平分三角形的面积，割补法求三角形的面积，解答本题的关键是熟练运用数形结合思想． 22．【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①，在和中，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则， ∵， ∴． 【性质应用】 (1)如图②，D是的边上的一点．若，则_______；（直接写出答案） (2)如图③，在中，D，E分别是和边上的点．若，，，则＝________，＝_______；（直接写出答案） (3)如图③，在中，D，E分别是和边上的点，若，，，请用含的式子表示的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了新定义 “等高三角形” 的概念及其性质（面积比等于对应底边的比），解题的关键是利用等高三角形面积与对应底边成比例的性质，逐步推导不同三角形的面积关系． （1）根据等高三角形的性质：两个三角形面积的比等于底边的比，即可求解； （2）利用等高三角形的性质：两个三角形面积的比等于底边的比，即可求解； （3）由，利用等高三角形的性质求得的面积；由及等高三角形的性质求得的面积． 【详解】（1）解：∵是等高三角形， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1认识三角形寒假预习讲义 （7知识点+14题型+过关检测） 模块一 题型先知导航 【题型1 三角形概念】 5 【题型2 三角形的个数问题】 5 【题型3 三角形的分类】 6 【题型4 直角三角形两锐角互余】 6 【题型5 构成三角形的条件】 7 【题型6 确定第三边的取值范围】 8 【题型7 等腰三角形的定义】 8 【题型8 画三角形的高】 8 【题型9 三角形角平分线的定义】 9 【题型10 重心的概念】 10 【题型11 三角形三边关系的应用】 11 【题型12 与三角形的高有关的计算问题】 11 【题型13 利用网格求三角形面积】 12 【题型14 重心有关的性质】 13 · 理解三角形的定义，能准确识别三角形的顶点、边、角，并会用符号表示三角形。 · 掌握三角形的内角和定理（三角形内角和等于 180°），能进行简单角度计算。 · 知道三角形按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；按边分类：等腰三角形、等边三角形、一般三角形。 · 理解三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，能判断三条线段能否组成三角形。 · 认识三角形的三条重要线段：中线、角平分线、高，知道它们的定义与基本画法。 模块三 知识点梳理 【知识点一】 认识三角形 1、三角形的概念 由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。 【知识点二】 与三角形有关的线段和角 2、三角形中的主要线段 （1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。 （2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。 （3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。 3、三角形的稳定性 三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。 4、三角形的特性与表示 三角形有下面三个特性： （1）三角形有三条线段；（2）三条线段不在同一直线上；（3）首尾顺次相接。 三角形用符号“”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ABC”，读作“三角形ABC”。 【知识点三】三角形的分类 三角形按边的关系分类如下： 三角形按角的关系分类如下： 把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。 【知识点四】三角形的边角关系 （1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。 推论：三角形的两边之差小于第三边。 （2）三角形三边关系定理及推论的作用： ①判断三条已知线段能否组成三角形 ②当已知两边时，可确定第三边的范围。 ③证明线段不等关系。 三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。 推论： ①直角三角形的两个锐角互余。 ②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。 ③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。 三角形的面积=×底×高 【知识点五】 三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高． 三角形的高的数学语言： 如图一，AD是ΔABC的高，或AD是ΔABC的BC边上的高，或AD⊥BC于D，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°. 图一 图二 注意：AD是ΔABC的高∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC于D)； 特别说明：如图二 （1）三角形的高是线段；分别为AD、BE、CF。 （2）三角形有三条高，且相交于一点H，这一点H叫做三角形的垂心； （3）三角形的三条高： (ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部； (ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部； (ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角的顶点. 【知识点六】三角形的中线 三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线． 三角形的中线的数学语言： 如下图，AD是ΔABC的中线或AD是ΔABC的BC边上的中线或BD＝CD＝BC. 图三 图四 特别说明： （1）三角形的中线是线段； (2)三角形三条中线全在三角形内部； (3)三角形有三条中线而且三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心； (4)中线把三角形分成面积相等的两个三角形.如图四： 【知识点七】三角形的角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 三角形的角平分线的数学语言： 如下图，AD是ΔABC的角平分线，或∠BAD＝∠CAD且点D在BC上. 图五 图六 注意：AD是ΔABC的角平分线∠BAD＝∠DAC＝∠BAC (或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC) . 特别说明： （1）三角形的角平分线是线段； （2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部； （3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心； （4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线； 图七 模块四 题型汇总 【题型1 三角形概念】 【典例1】．我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出“割圆术”，探究圆的面积计算，其中涉及三角形的性质．下列关于三角形的说法，正确的是（    ） A．任意三角形的三条高都在三角形内部 B．三角形的内角和随边长增大而增大 C．等腰三角形的两底角相等 D．三角形任意两边之差等于第三边 【变式1-1】．在中，边所对的角是（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】．如图，下列说法错误的是（    ） A．DF是的边 B．是的内角 C．以为内角的三角形有3个 D．以BC为边的三角形有3个 故选：D． 【题型2 三角形的个数问题】 【典例2】．已知，如图，以为边的三角形的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2-1】．如图，已知点A，B在直线a上，点C，D，E在直线b上．以点A，B，C，D，E中的任意三点作为三角形的顶点，可以组成的三角形共有（    ） A．3个 B．4个 C．6个 D．9个 【变式2-2】．如图中三角形的个数是（　　） A．4 B．6 C．9 D．5 【题型3 三角形的分类】 【典例3】．如图，某一个三角形被长方形纸板遮住一部分，只露出一个角，你能判断它是什么三角形吗？你的判断是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 【变式3-1】．在课堂上，老师在黑板上画出了如图所示的三个三角形，让同学们根据它们的边长进行分类．其中，分类错误的是（    ） A．①是不等边三角形 B．②是等腰三角形 C．③是等边三角形 D．②③是等边三角形 【变式3-2】．三角形可以按内角的大小如下分类：图中“？”处是 ． 【题型4 直角三角形两锐角互余】 【典例4】．如图，在中，，点E，F分别为上一点，将沿直线翻折至同一平面内，点A落在点处，，分别交边于点M，N．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】．如图，在中，，G为的中点，延长交于E．于H，交于F．下列说法中错误的是（　　） A．是的中线 B． C．线段是的角平分线 D．与的面积相等 【变式4-2】．一副三角板按如图所示的位置放置，过点A 作直线，平分，、交于点F．已知，，，．则①；②平分；③；④．其中结论正确的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【题型5 构成三角形的条件】 【典例5】．木工师傅要作一个三角形支架，现有两根木条的长度分别为和，则可以作为第三根木条长度的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】．两根木棒的长度分别为，，取第三根木棒，使它们首尾顺次相接组成一个三角形，则第三根木棒的长度可以是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】．以下列长度的三条线段为边，能组成一个三角形的是（    ） A．2，3，8 B．5，6，7 C．1，2，4 D．3，4，7 【题型6 确定第三边的取值范围】 【典例6】．如图，由两根钢丝绳和臂架组成的塔吊可近似看成三角形，已知臂架的长为，其中一根钢丝绳的长为，则另一根钢丝绳的长可能是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】．若一个三角形的三边长分别为2，5，x，则x的值可以是（    ） A．9 B．7 C．5 D．3 【变式6-2】．学校手工社团要制作三角形相框，已有两根长度和的木条，现需再选一根木条拼接，下列长度中可选用的是（    ） A． B． C． D． 【题型7 等腰三角形的定义】 【典例7】．已知一个等腰三角形两边分别为4和9，则第三边长是 ． 【变式7-1】．已知等腰三角形两边长分别为4和12，那么这个等腰三角形的第三边长为 ． 【变式7-2】．用一根长为的铁丝围成一个等腰三角形，若其中一边长为，则另外两边的长分别为 ． 【题型8 画三角形的高】 【典例8】．对于，用一把直角三角尺，作边上的高，下列作法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】．如图，，点A在线段上，边上的高是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【变式8-2】．在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．以下图形均在正方形网格中，且各点均在格点上，则线段是的边上的高的是（    ） A． B． C． D． 【题型9 三角形角平分线的定义】 【典例9】．如图，在中，为的平分线，则（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】．请你在图中画出的角平分线，并填空：． 【变式9-2】．下列说法正确的是（    ） A．任意三条线段都可以围成三角形 B．三角形的角平分线是射线 C．三角形的三条高一定相交于一点 D．三角形三条中线的交点叫做三角形的重心 【题型10 重心的概念】 【典例10】．如图，将一块透明的三角形匀质薄板（记作）放入正方形网格中，其三个顶点都在网格线的交点上，在点（都在网格线的交点上）中，该三角形薄板的重心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式10-1】．如图，O是的重心，，，的延长线分别交，，于点D，E，F，则下列结论一定成立的是（   ） A．平分 B． C．平分 D． 【变式10-2】．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形的顶点上．三角形匀质薄板放在如图所示的位置，则三角形匀质薄板的重心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【题型11 三角形三边关系的应用】 【典例11】．王老师在非遗竹编体验课上，带领学生开展竹编基础三角形纹样的拼接实践．现有、规格的竹条各一根，第三根竹条需从、、、四种备选规格中选取，则第三根竹条不可能选取的规格是（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】．下列各组长度的线段能构成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式11-2】．求代数式的最小值时，我们通常运用“”这个公式对代数式进行配方来解决．比如， ，，的最小值是． 试利用“配方法”解决下列问题： (1)填空：的最小值是___________； (2)求的最小值： (3)已知的三边长、、，满足，求当时，的周长． 【题型12 与三角形的高有关的计算问题】 【典例12】．如图，在中，，，，点D是边上一动点(不与点A，C重合)，过点D作，分别交于点E，F．则的值为（   ） A．2.4 B．4.8 C．6 D．无法确定 【变式12-1】．如图所示，一个大长方形被两条线段、分成四个小长方形．如果其中图形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积分别为7、4、6，那么阴影部分的面积和为 ． 【变式12-2】．如图，，是的高，，则（   ） A． B． C． D． 【题型13 利用网格求三角形面积】 【典例13】．如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小方格的顶点叫格点． (1)过作的平行线，为格点； (2)画出的边上的高，垂足为； (3)求出的面积为 ． 【变式13-1】．如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都在格点上，每个小方格的边长为1． (1)仅借助网格和无刻度直尺画出边上的中线，并标出的位置； (2)仅借助网格和无刻度直尺画出边上的高线，并标出的位置； (3)填空：的面积是 ． 【变式13-2】．图①、图②、图③均是的网格，其中每个小方格都是边长为1的正方形，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的三个网格中确定三个不同的格点C，作，使的面积均为3． 【题型14 重心有关的性质】 【典例14】．如图，用一个支点顶住一个三角形匀质薄板，慢慢调整薄板，使其能够在支点上保持平衡，此时，薄板与支点接触的点就是三角形匀质薄板的（    ） A．重心，即三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高所在直线的交点 D．内部任意一点 【变式14-1】．如图，已知：G是的重心，，那么 ． 【变式14-2】．如图，点D，E分别是，中点，与交于点G．若，则 ． 模块五 过关检测 1．现有5cm和9cm长的两根木棒，再从下列长度的四根木棒中选取一根，可以围成一个三角形的是（    ） A．2cm B．3cm C．6cm D．14cm 2．已知等腰三角形的两边分别是3，6，则该三角形的周长为（    ） A．12 B．13 C．15 D．16 3．如图，三角形的面积为，，点为边上一点，过点分别作于，于，若，则长为（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 4．把一根8厘米长的小棒剪成三段，首尾相接围成一个三角形，第一剪不符合要求的是（　　） A． B． C． D． 5．在一次飞行器的展览中需要将一块三角形匀质的机翼薄板顶在一个圆锥形的塔尖上（如图），使其能够在塔尖上保持平衡，这个塔尖应该放在三角形薄板的（   ）的交点处 A．三条角平分线 B．三条中线 C．三条高 D．三条边的垂直平分线 6．用一个支点顶住一个三角形匀质薄板，慢慢调整薄板，使其能够在支点上保持平衡，则这个支点一定是三角形的（   ） A．三条中线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条高的交点 D．三条角平分线的交点 7．如图，用一根细绳将一块质地均匀的三角形薄板悬挂在支架上，发现三角形薄板正好保持水平，则三角形上的悬挂点应是（    ） A．三角形三条中线的交点 B．三角形三条内角平分线的交点 C．三角形三条高线的交点 D．三角形三边垂直平分线的交点 8．如图，用三角板作的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（    ） A． B． C． D． 9．在中，三边长分别为，，，且，分别为大于的整数，则（ ） A． B． C． D． 10．已知一个等腰三角形的两条边长分别是2和4，则它的周长是 ． 11．已知a、b、c为的三边长，b、c满足，且a为方程的解，则的形状为 三角形． 12．如图所示，在中．沿着过点的直线折叠这个三角形，使顶点落在边上的点处，折痕为，并连接．如果，且满足，边 ．(用含的代数式表示结果） 13．如图，线段，分别是中边，上的高．若，，，则的长是 ． 14．如图，一个长方形被分成四个部分的面积分别为．若，则长方形的面积为 ． 15．在综合实践活动中，数学兴趣小组对各边长度都是整数、最大边长为的三角形的个数进行了探究，发现：当时，只有一种情况，即；当时，有和两种情况，即；当时，有，，和四种情况，即；…，若，则的值为 ；若，则的值为 ． 16．已知a，b，c是的三边的长，且c为偶数并满足，求的周长． 17．已知的三边长为， (1)若，求边长的取值范围； (2)化简． 18．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． (1)在图（1）中画的角平分线，标出点D； (2)在图（2）中，作的边上的高． 19．如图，在中,是射线上一点，过点P作，垂足分别为，过点B作，垂足为F，连接． (1)如图1，点P在边上，写出线段之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，点P在的延长线上．当时，求线段的长． 20．数学经验：三角形的中线、角平分线、高是三角形中的重要线段，同时，我们知道，三角形的三条高所在直线交于同一点． 请根据数学经验，完成下列问题： (1)如图①，在中，，则的三条高所在直线交于点_____________； (2)如图②，在中，，已知两条高，，请你仅用一把无刻度的直尺画出的第三条高；（不写画法，保留画图痕迹） (3)如图②，若，，求的值． 21．如图，在中，，D为BC边上任意一点，连接AD．已知DE，DF分别是，的高． 作图：（1）请在图①上作出中AC边上的高BG． 探究：（2）通过观察、测量，发现DE，DF，BG之间的数量关系为________________________． 填空：（3）为了说明DE，DF，BG之间的数量关系，小明是这样做的： 因为， 所以． 因为， 所以________________________． 拓展：（4）当点D在图②的位置时，试判断（2）中DE，DF，BG之间的数量关系是否仍然成立，并说明理由． 22．【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①，在和中，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则， ∵， ∴． 【性质应用】 (1)如图②，D是的边上的一点．若，则_______；（直接写出答案） (2)如图③，在中，D，E分别是和边上的点．若，，，则＝________，＝_______；（直接写出答案） (3)如图③，在中，D，E分别是和边上的点，若，，，请用含的式子表示的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $