暑假作业06 三角形常考类型题（巩固培优，9大题型巩固+能力培优+创新拓展）七年级数学新教材北师大版

**基本信息** 聚焦三角形核心概念与性质，通过7类知识点+9类题型系统覆盖中考常考类型，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |重要线段判断|5题|概念辨析+折叠操作|中线/高/角平分线定义→性质应用| |高与线段计算|6题|动态几何+最值问题|高的性质→面积公式→线段转化| |高与角度计算|6题|分类讨论+综合证明|内角和定理→高与角平分线关系| |三边关系应用|5题|取值范围+等腰三角形|三边关系定理→整数解与不等式| |外角性质应用|6题|实际情境+多角转化|外角定理→平行线性质综合| |中线求面积|5题|等分点+重心性质|中线分面积→重心分线段比| |折叠内角计算|7题|动态折叠+角度转化|折叠全等→内角和与外角定理| |角平分线内角问题|12题|多角平分线+平行模型|角平分线定义→内角和与外角关系| |综合应用|12题|跨知识点+实际建模|三角形性质→方程思想与几何综合|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业06 三角形常考类型题 【知识点1 三角形的分类】 【知识点2 三角形的三边关系】 三边关系：三角形任何两边的和大于第三边，任何两边的差小于第三边； 【知识点3 三角形的内角和】 三角形三个内角的和为180° 【知识点4 三角形的外角和】 三角形的外角和是360°； 任意一个外角等于与它不相邻的两个内角之和 任意一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 【知识点5 三角形的中线】 AD是中线 BD＝DC＝BC S△ABD＝S△ACD＝S△ABC； 三角形三条中线的交点为三角形的重心； 重心到三角形顶点的距离等于它到该顶点对边中点距离的2倍 【知识点6 三角形的高】 AD是高线 AD⊥BC，即∠ADB＝∠ADC＝90° 三角形的三条高线所在的直线的交点为三角形的垂心 【知识点7 三角形的角平分线】 AD是角平分线线 ∠BAD＝∠CAD＝∠BAC 三角形三条内角平分线的交点为三角形的内心； 内心到三角形三边距离相等 【题型1 三角形重要线段的判断】 1．（23-24八年级上·安徽·单元测试）如图，在中，，G为的中点，延长交于点E，F为上的一点，于点H．下列判断错误的有（　　） A．是的角平分线 B．为边上的高 C．是边上的中线 D．为的高线 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的角平分线、三角形的高线、以及三角形的中线，根据三角形的角平分线、三角形的高线、以及三角形的中线的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．∵，是的角平分线，正确； B．∵，为边上的高，正确； C．∵G为的中点，是边上的中线，故原说法不正确； D．∵，为的高线，正确； 故选C． 2．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图所示是两位同学的折纸示意图，则依次是的（    ） A．中线、角平分线 B．高线、中线 C．角平分线、高线 D．角平分线、中线 【答案】C 【分析】本题考查了折叠问题，三角形的角平分线、高线，理解三角形的角平分线、高线的定义是解题的关键．根据翻折的性质和三角形的角平分线、高线的定义，逐个图形分析即可得出答案． 【详解】解：由图①得，， ∴是的角平分线； 由图②得，， ∵，即， ∴， ∴是的高线； ∴综上所述，依次是的角平分线、高线． 故选：C． 3．（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，用一个支点顶住一个三角形匀质薄板，慢慢调整薄板，使其能够在支点上保持平衡，此时，薄板与支点接触的点就是三角形匀质薄板的（    ） A．重心，即三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高所在直线的交点 D．内部任意一点 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的重心的概念和性质，熟练掌握数学知识在实际生活中的应用是解题的关键．支点应是三角形的重心，三条中线的交点就是三角形的重心，据此即可作答． 【详解】解：能使三角形保持平衡的支点是重心，而三角形的重心是三边中线的交点． 故选：A． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）下图是甲、乙、丙三位同学的折纸示意图（折叠后点C落到点处）． (1)折出的是边上的中线的是______； (2)折出的是边上的高的是______； (3)折出的是的平分线的是______． 【答案】(1)丙 (2)甲 (3)乙 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的高，中线和角平分线的定义，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据三角形中线的定义求解即可； （2）根据三角形高的定义求解即可； （3）根据三角形角平分线的定义求解即可． 【详解】（1）解：根据折叠得，甲和乙中，丙中， ∴折出的是边上的中线的是丙； （2）解：根据折叠得，甲中，乙和丙中， ∴折出的是边上的高的是甲； （3）解：根据折叠得，乙中，甲和丙中， ∴折出的是边上的平分线的是乙． 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）下图中，的边上的高画得对吗？边上的高呢？若不对，请改正． 【答案】解：的边上的高画得对，边上的高不对，正确的画法如图所示： ． 【详解】略 【题型2 三角形的高与线段的计算】 6．（24-25七年级下·山东青岛·期中）如图，在中，，，为边上的高，，为上一动点，则的最小值为________． 【答案】/ 【分析】过点作于点，利用等积法求出长．根据垂线段最短，得出当时，即点与点重合时，最小． 【详解】解：如图，过点作于点， 在中，，，为边上的高，， ， ， ， 解得：， 垂线段最短， 当点与点重合时，最小， 即最小值为． 7．（25-26九年级下·辽宁铁岭·阶段检测）如图，在中，点，分别是和上的点，，，，则_______． 【答案】36 【分析】先根据，得出，设边上的高为h ，根据三角形面积计算公式得出，最后求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴， 设边上的高为h ， ∴， ∴， ∴． 8．（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，在中，是的中点，分别是上的动点，则的最小值是__________． 【答案】 【分析】过点A作于点E，连接，根据题意，得，当三点共线时，取得最小值，且为，根据垂线段最短，当时，才取得最小值，求解即可． 【详解】解：过点A作于点E， 连接，根据题意，得， 当三点共线时，取得最小值，且为，根据垂线段最短，当时，才取得最小值， 故当点P与点E重合时，最小， 在中，， ， ， ∴的最小值是． 9．（25-26七年级下·河南平顶山·期中）已知是的高，，．若的面积为6，则的长为______． 【答案】2或3 【分析】分两种情况：当点D在线段上时，或当点D在线段的延长线上时，分别求出结论即可． 【详解】解：如图所示，当点D在线段上时， ∵，， ∴， ∵是的高，且的面积为6， ∴， 即， 解得：； 如图所示，当点D在线段的延长线上时， ∵，， ∴， ∵是的高，且的面积为6， ∴， 即， ∴； 综上，的长为2或3． 10．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在等腰中，，过点作，交的延长线于点，且，点是边上一点，过点作于点，于点，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题可通过连接，利用三角形面积的和差关系，结合等腰三角形的性质，推导出与的等量关系，进而求出的值． 【详解】解：连接， ，，， ，，， ， ， ， ， ， ， ． 11．（25-26八年级上·河南省直辖县级单位·阶段检测）如图，中，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是 __________． 【答案】 【分析】当时，线段的长度最小，此时为斜边上的高，利用等积法即可求解. 【详解】解：，，，， 根据垂线段最短可知，当时，线段的长度最小， ∴， ， 解得：， 线段的最小值是. 【题型3 三角形的高与角度的计算】 12．（25-26七年级下·四川成都·期中）已知是的高，，，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分两种情况讨论，即高在内部和外部，分别计算的度数． 【详解】解：情况一：当高在内部时， ∵，， ∴． 情况二：当高在外部时， ∵，， ∴． 综上，的度数为或. 13．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）中，，是边上的高，是的角平分线，若，则为__________度． 【答案】或/15或65 【分析】本题考查了三角形高、角平分线，正确的画出图形，是解题的关键，注意分类讨论，不要漏解． 先由角平分线得到，再分两种情况讨论，画出图形，根据角的和差计算求解． 【详解】解：当点在延长线上时，如图： ∵是的角平分线，， ∴， ∴； 当点在延长线上时，如图： ∵是的角平分线，， ∴， ∴， ∴或， 故答案为：或． 14．（25-26七年级下·广东深圳·期中）已知一个等腰三角形两腰上的高所在直线的夹角是，那么这个等腰三角形的顶角的度数是___________． 【答案】或 【分析】本题需分两种情况讨论，分别为等腰三角形的顶角是锐角和顶角是钝角，结合四边形内角和性质计算顶角的度数． 【详解】解：①当这个等腰三角形的顶角是钝角时，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②当这个等腰三角形的顶角是锐角时，如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 综上所述，这个等腰三角形的顶角为或． 15．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，于点D，平分，交于点F，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，与高有关的计算题，对顶角相等，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据角平分线的定义，得，结合，，故，最后根据对顶角相等，则． 【详解】证明：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 16．（26-27八年级·全国·暑假作业）中，是边上的高， 是的角平分线，若，则为 _______度． 【答案】或 【分析】根据题意分两种情况进行讨论，画出图形，利用角平分线的定义求出，然后利用角的和差求解． 【详解】解：①如图所示，点在之间时， ∵，平分． ∴， ∵， ∴； ②如图所示，点在之间时， ∵，平分． ∴， ∵， ∴； 综上，的度数为或． 17．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，，分别是的角平分线和高． (1)已知，求的度数．你还能求出哪些角的度数？ (2)与有怎样的关系？为什么？ 【答案】(1) ， 还可以求，，． (2)解：与的关系为． ∵在中，， ∵是角平分线， ∴， ∵是边上的高， ∴，即， 在中，， 又∵， 代入得：， ∴与的关系为：． 【分析】（1）根据三角形的内角和定理以及角平分线的性质可求解的度数，再由直角三角形可求解的度数，由此可求的度数，再根据三角形内角和定理还可以求解，，的度数． （2）先由三角形内角和得到，以及，再根据，代入表示即可． 【详解】（1）解：在中，， ∵是的角平分线， ∴， ∵是边上的高， ∴，即， 在中，， ∴， 还可以求解，，的度数， 在中，， ∴， 在中，． （2）略 【题型4 三角形三边关系的应用】 18．（25-26七年级下·河南商丘·阶段检测）下列各组数中，不可能成为一个三角形的三边长的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合三角形的三边关系：两边之和大于第三边，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，能构成三角形，故该选项不符合题意； B、，能构成三角形，故该选项不符合题意； C、，不能构成三角形，故该选项符合题意； D、，能构成三角形，故该选项不符合题意． 19．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）以下列各数为边长，能构成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】判定三条线段能否构成三角形，只需验证两条较短边长的和是否大于最长边长，若满足则可以构成三角形，反之则不能． 【详解】选项A：，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形； 选项B：，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形； 选项C：，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形； 选项D：，满足两边之和大于第三边，能构成三角形． 20．（24-25七年级下·河北张家口·期中）两根木棒的长度分别为，，取第三根木棒，使它们首尾顺次相接组成一个三角形，则第三根木棒的长度可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设第三根木棒的长度是，由三角形三边关系得到，即可得到答案． 【详解】解：设第三根木棒的长度是， ∵两根木棒的长度分别为，， ∴，即 ∴第三根木棒的长度可以是． 21．（2026·河北唐山·二模）已知三角形的三边长分别是5，7，x，且x为整数，请写出一个满足条件的x的值：______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据三角形三边关系求出的取值范围，再选取范围内的整数即可． 【详解】解：根据三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，可得 化简得． 因为为整数， 所以在内的整数均满足条件， 此处取． 故答案为（答案不唯一）． 22．（25-26七年级下·河南商丘·阶段检测）若、、为三角形的三边，且、满足，则第三边的取值范围是______． 【答案】 【分析】先根据得，再结合三角形三边关系：两边之和大于第三边，得，即可作答． 【详解】解：， ，， 解得：， 为三角形的三边， ． 【题型5 三角形外角性质的应用】 23．（2026·福建厦门·模拟预测）如图，在中，点在上，交于点，点在上，与交于点．下列角中，与相等的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接根据两直线平行、同位角相等以及三角形外角的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴，即A选项符合题意； ∵与不平行， ∴，即选项B不符合题意； 由，即选项C错误； 与没有直接关系，即选项D错误． 24．（2026·江苏扬州·中考真题）图1是一张打开的折叠椅，其侧面示意图如图2所示，，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平行线的性质求得，再利用三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 25．（2026·广东惠州·三模）折叠电动车是一种超轻便的电动车，其体积小、节能环保、可伸缩折叠、精巧的设计，可快速拆装，制作材料采用镁合金等特殊轻材质制成，分量极轻．图为折叠电动车实物图，图为示意图，、为支架，、为车轮，点、、共线．已知，，，，则的度数是________． 【答案】 /95度 【分析】利用三角形外角的性质可得，运用平行线的性质可得，最后根据邻补角互补求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 26．（25-26七年级下·全国·期末）如图是可调躺椅的示意图，与的交点为，，，．为了舒适，需调整大小，使，且、、保持不变，则图中应调整为________度． 【答案】30 【分析】延长交于．根据三角形内角和公式求出，可得，根据三角形外角的性质得，然后代入数据求解即可． 【详解】解：延长交于． ，， ， ． ，， ． ． 27．（25-26八年级上·安徽淮北·期末）如图，在中，，平分，为线段上的任意一点，交直线于点． (1)若，，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明：∵平分， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ． 【分析】（1）先利用三角形内角和与角平分线求出，再用外角性质求，最后在直角三角形中计算； （2）先利用外角和角平分线，把用、表示，再结合直角三角形内角和，化简得到与、的关系． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）略 28．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知：如图，点D在的内部．求证： (1)； (2)． (3)如果点D在线段的另一侧，又会有怎样的结论？ 【答案】(1)证明：延长交于点E，如图， ， ， ， ， ； (2)证明：延长交于点E，如图， ，， ． (3) ，证明如下： 连接，如图， ，， ， ． 【分析】（1）运用三角形外角的性质可得，，由此可证明． （2）运用三角形外角的性质来进行推理即可． （3）运用三角形内角和的性质来进行推理即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【题型6利用三角形的中线求面积】 29．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在中，是边上的一点（不与点，重合），点，是线段的三等分点，记的面积为，的面积为，若，则的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】点，是线段的三等分点，根据同高三角形面积之比等于对应底边之比，可得出，，最后便可以求出的面积． 【详解】解：∵点，是线段的三等分点， ∴， ∴ 同理， ∴ ， ∵， ∴． 30．（25-26七年级下·河南周口·期中）如图，是的中线．若，则_____． 【答案】 【分析】根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴． 31．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，在中，点、、分别是、、的中点，若的面积为，则的面积为________． 【答案】8 【详解】解：点、、分别是、、的中点， 、、， 是的中线， ， ， ． 32．（25-26七年级下·重庆·阶段检测）如图，在中，点在边上，，连接，点为上一点，点、分别为、的中点，连接，．若△的面积为9，则阴影部分的面积为 _____ ． 【答案】3 【分析】根据三角形面积公式，利用 得到 ，利用点 、 分别为 、 的中点得到 ，，所以阴影部分的面积 ． 【详解】解：， ， ， 点 、 分别为 、 的中点， ，， ， 即阴影部分的面积 ． 33．（25-26七年级下·福建漳州·期中）如图，在中，是的重心，连接并延长交于点，若，则_________． 【答案】 【分析】根据三角形重心的性质，重心是三条中线的交点，因此点是边的中点，再利用中点的定义即可求出的长度． 【详解】解：∵是的重心， ∴是的中线， ∴是的中点， ∵， ∴． 【题型7 折叠背景下的三角形内角和计算】 34．（25-26七年级下·辽宁·期中）如图，在中，，，是边上一点，连接，将沿折叠，点落在点处，若，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用折叠和平行线的性质推导出 ，进而求出 的度数，再根据角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可得：， ∵， ∴，， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴. 35．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在中，，，是边，上两点，将沿翻折，使点落在点处，交于点．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质，折叠的性质，三角形的内角和定理，进行求解即可. 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 36．（25-26七年级下·江苏南京·阶段检测）如图，三角形纸片中，，将纸片的角折叠，使点C落在内，，则的度数是_____ ． 【答案】 【分析】根据折叠的性质，三角形的内角和定理，进行求解即可. 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵折叠， ∴，，， ∴， ∴. 37．（22-23七年级下·江西抚州·期中）如图，在中，，，D是线段上一个动点，连接，把沿折叠，点C落在同一平面内的点处，当平行于的边时，的大小为__________． 【答案】或 【分析】分两种情况，和，分别画出图形，再利用平行线的性质求解即可. 【详解】解：由折叠的性质得：， 设， 由题意，分以下两种情况： ①如图，当时， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 即； ②如图，当时， ∴ ∵， ∴， 解得：， 即 综上，的大小为或． 38．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，，，点D、E分别在的边上，连接，将沿折叠，交边于点F，且点与点C在直线的异侧．当的某条边与垂直时，________． 【答案】24或45 【分析】分三种情况：或或分别求解即可． 【详解】解：在中，，， ∴． ①如图，当时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ； ∴①， 由折叠知， ∵， ∴ ，② ∴得：； ∴， 由折叠知， ∴ ； ②如图，当时， 则； ③如图，当时，不合题意； 综上可知，的度数为或． 39．（25-26八年级上·山东德州·期末）如图，中，，沿将此三角形折叠，点落在点处，又沿再一次折叠，点落在上的处，此时，则原三角形的的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理和折叠的性质，由折叠的性质得，，设，在中，根据三角形内角和定理得出①，在中，根据三角形内角和定理得出②，从而求出的度数． 【详解】解：由折叠的性质得，，， ∴， 设， ∴， 在中，， ∵， ∴， 即， 由折叠的性质得，， 在中，， ∴， 即， 得，， 故答案为：． 40．（25-26七年级下·吉林长春·期中）【教材呈现】以下是华师版数学七下第92页的部分内容． 如图，在中，．，平分，平分，求的度数． 解：平分（已知）， ， 同理可得___________． （___________）， （等式的性质）___________． (1)对于上述问题，请你在解答过程的空白处填上适当的内容（填数学理由或数学式）． (2)【拓展延伸】如图1，在中，的平分线交于点，将沿折叠，使得点与点重合，若，求的度数； (3)如图2，在中，角平分线交于点，，交边于点，点在的延长线上，作的平分线交的延长线于点．若，则_______． 【答案】(1)；三角形内角和定理； (2) (3) 【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； （2）先由折叠的性质和平角的定义得到，进而求出，同（1）即可得到答案； （3）根据角平分线得到，，进而可知，即可求出，根据得到，根据三角形内角和即可得解． 【详解】（1）解：∵平分（已知）， ∴． 同理可得． ∵（三角形内角和定理）， ∴（等式的性质） ． （2）由折叠的性质可得，， ，，， ， ， ， ， ， 平分，平分， ，， ， 即， ； （3）∵是角平分线，是角平分线 ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型8 与角平分线有关的内角和问题】 41．（25-26七年级下·四川绵阳·阶段检测）将一个直角三角尺EGF与两边平行的纸条按如图所示的方式放置，其中，点F，E分别落在边，上，与交于点H，若，则的度数为（   ） A．40° B．35° C．30° D．20° 【答案】D 【分析】根据直角三角尺的性质得出，利用平角定义求出的度数，进而求出的度数，最后根据平行线的性质即可得出的度数． 【详解】解：直角三角尺中，，， ， ，点、、在同一直线上， ， ， ， ． 42．（25-26九年级下·湖南长沙·期中）如图，直线，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质得到，根据三角形内角和计算即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴． 43．（25-26七年级上·山东泰安·期中）如图，直线，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理. 先求出，再根据三角形内角和求出结论即可． 【详解】解：如下图： ，， ， ， ， ， 故选：D． 44．（20-21七年级上·广西桂林·阶段检测）如图是一架婴儿车的示意图，其中，，，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，平角的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．根据，，易求，由可求，则利用三角形内角和定理可求． 【详解】解：如图， ，， ， ， ． 故选：D． 45．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）一块木块静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角大小是________． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的内角和，对顶角相等，直角三角形两锐角互余的应用； 根据，得，再，即可求解； 【详解】解：∵，如图； ∴ ∵， ∴ ∴ 故答案为： . 46．（25-26七年级下·山东潍坊·阶段检测）在中，，是边上的高，是的平分线． (1)如图①，若，，求的度数； (2)如图②，若是的延长线上一点，于点，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由如下： ∵是边上的高， ∴， ， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即． 【分析】（1）由可得，利用三角形内角和定理可得，从而得到，由角平分线的定义可得，最后使用三角形的内角和定理计算出； （2）仿照（1）的解法可得出，容易判断，则，因此． 【详解】（1）解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． （2）略 【题型9 与角平分线有关的内角和问题】 47．（2026·浙江台州·二模）如图，过点作中的角平分线，交的平行线于点，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据三角形内角和即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 48．（25-26七年级下·北京·阶段检测）如图所示，的角平分线相交于点F，，，且于，下列结论：①；②；③；④平分．其中正确的结论是（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①④ D．①③ 【答案】D 【分析】根据直角三角形两锐角互余判定①；根据平行线的性质和角平分线的定义判定③；根据三角形内角和定理及角平分线的性质求出的度数，结合③的结论判定②；根据平行线的性质和垂直的定义求出的度数，判定④ 【详解】解：∵， ∴ 在中，， 故①正确； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故③正确； ∵， ∴， ∵、分别平分、， ∴， ∴， ∴， 而，不一定等于， ∴不一定等于， 故②错误； ∵，， ∴，即， 若平分，则， 题目未给出， 故④错误； 综上所述，正确的结论是①③． 49．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，点D、E分别为、边上的点，平分，平分，、相交于点O，若，则______． 【答案】/125度 【分析】首先由三角形内角和定理求出，然后结合角平分线求出，然后证明，即可得到． 【详解】解：∵ ∴ ∵平分，平分 ∴， ∴ ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 50．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，的平分线交于点D，的平分线交于点F，过点D作 交于点E．已知，，求的度数． 【答案】 【分析】由题意可求出，因为，所以，因为的平分线交于点D，的平分线交于点F，可求，则的度数可求． 【详解】解：∵，， ∴， ， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴． 51．（25-26七年级下·北京·阶段检测）如图1、2、3所示，在中，与的平分线相交于点． (1)如图1 所示，若，，则的度数为 ． (2)如图1 所示，如果，求的度数； (3)如图2 所示，作外角， 的平分线交于点 ，试探索， 之间的数量关系； (4)如图3所示，延长线段，交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的 3 倍，请写出的度数． 【答案】(1) (2) (3) (4)或或或 【分析】（1）根据已知条件和角平分线的性质，求出和，再利用三角形内角和定理进行计算； （2）根据已知条件和角平分线的性质，把和用和表示出来，再利用表示出来，最后利用三角形内角和定理进行代换即可； （3）根据已知条件和角平分线的性质，求出和，再利用三角形内角和定理进行计算； （4）根据已知条件求出的度数，然后由（3）求出的，利用三角形内角和求出，再分4种情况讨论，求出的度数． 【详解】（1）解：分别是和的角平分线，， ， ， ； （2）解：分别是和的角平分线， ， ， ； （3）解：分别是的角平分线， ，， ， ，， ， ， ， ； （4）解：是的角平分线，是的角平分线， ， ， ， ， 由（3）知， ， ， ∵在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，， 都是锐角， ∴分四种情况讨论： ①， ， ， ； ②， ， ； ③， ， ， ， ④， ， 解之得：， 综上可知：的度数为或或或． 52．（25-26七年级下·河北保定·期中）已知等腰三角形的两边长是5和12，则它的周长是（     ） A．22 B．29 C．22或29 D．以上答案均不对 【答案】B 【分析】分两种情况求出第三边，根据三角形三边关系判断是否能构成三角形，进而计算周长． 【详解】解：分两种情况进行讨论： ①当腰长为，底边长为时，三角形三边长为， ，不满足三角形两边之和大于第三边， 此情况不成立，舍去； ②当腰长为，底边长为时，三角形三边长为， ，满足三角形三边关系， 此情况成立，周长为． 因此该等腰三角形的周长为． 53．（2026·山西长治·三模）日常生活中，我们观察到的池塘水深比实际情况浅一些．如图，眼睛看到的点实际是在更深处的池底点处（点，在一条竖直直线上）．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用邻补角的性质求出的度数，再根据直角三角形两锐角互余求出，最后利用对顶角相等即可求解． 【详解】解：∵点在一条竖直直线上， ， ， ， ∵水面 水平，竖直直线垂直于水面， ， ∴， ∵人眼逆着折射光线看去，感觉光线是从发出的， ∴点在同一直线上， 又∵点在同一直线上， ∴ 和是对顶角， ． 54．（2026·广东深圳·三模）如图所示，光的反射是生活中常见的现象，左图①是光的反射示意图；右图②是小明将后视镜抽象成平面镜，画出了汽车与左侧后视镜的示意图，汽车用长方形表示，司机位于车内左前方，眼睛用点O表示，，左侧后视镜用线段表示，左后视镜打开后与形成的可在一定范围内调节，点H为入射点，为法线，图上各点均在同一平面内．当，，则反射角的大小（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设与交于点，先求出，再求出的度数，然后结合计算即可． 【详解】解：如图，设与交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵点为入射点，为法线， ∴， ∴， ∴． 55．（2026·河南周口·模拟预测）一个三角形的三边长分别为，，，则的取值范围是_____． 【答案】 【详解】解：由三角形的三边关系得到：， ∴， ∴． 56．（26-27八年级·上海·暑假作业）如图，在中，、分别平分和，过点O作，分别交边、于点D和点E，如果，那么______ ． 【答案】/度 【详解】先由角平分线的定义与三角形内角和定理求得，再根据平行线的性质得出，即可求解． 【分析】解：由条件可知 ， ， ， 平分， ∴ ， ∵， ∴， ． 57．（25-26七年级下·河南周口·期中）如图，在中，点在上，连接．根据图中标出的度数可知____． 【答案】 【分析】由三角形的外角和定理得，结合的内角和求出的值，从而求出的值． 【详解】解：， ， ， ， ． 58．（25-26七年级下·河南驻马店·阶段检测）如图，D、E、F分别为、、的中点，的面积是8，则图中阴影部分的面积等于___________． 【答案】2 【分析】根据中线平分三角形的面积，进行求解即可． 【详解】解：∵点D为边的中点， ∴， 同理可得：， ， ∴， ∵点F为边的中点， ∴， 即：阴影部分的面积为2． 59．（25-26七年级下·上海杨浦·期中）如图①为北斗七星的位置图，如图②将北斗七星分别标为A、B、G、C、D、E、F，将A、B、G、C、D、E、F顺次首尾连接．若B、G、C三点共线，恰好经过点G，且，，，则______ ． 【答案】/度 【分析】延长交于点M，根据平行线的性质和三角形外角的性质，得到，再根据已知条件得到，即可得解． 【详解】解：如图，延长交于点M， ，， ， ， ， ， ， ， ． 60．（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，在中，分别是的高、角平分线、中线． (1)若，，求与的周长之差； (2)当，时，求的度数． 【答案】(1)2cm (2)． 【分析】（1）结合是的中线，得到，根据三角形的周长公式求解即可； （2）先求出，再运用平分，得出，然后运用三角形内角和性质进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， ∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． 61．（25-26七年级下·四川成都·期中）已知的三边长为，且都是整数． (1)化简：； (2)若．且为等腰的边长，求的周长． 【答案】(1) (2)17 【分析】（1）根据三角形的三边关系可得，进而化简绝对值即可求解； （2）根据完全平方公式以及非负数的性质求得的值，根据等腰三角形的三边关系求得的值，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵的三边长为，，， ∴， ∴ ； （2） 即， ∴， ∴， 解得：， 设第三条边长为c， ∴， 即， ∵为等腰的边长， ∴， ∴的周长为． 62．（25-26七年级下·山西临汾·阶段检测）阅读理解 三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分． 问题：已知：如图1，在中，点是边上的中点，连结． 求证：． 证明：过点作于点， 点是边上的中点， ． ， ． 任务： (1)如图2，在中，点是边上的中点，若，_____； (2)如图3，在中，点是边上的点且，和存在怎样的数量关系？请模仿文本框中的过程写出证明过程； (3)如图4，分别是的高线和中线，已知，则的长为_____． 【答案】(1)15； (2)． 证明：如图，过点A作于点E， ∵， ∴， ∵，， ∴． (3)5 【分析】（1）根据点是边上的中点，可得，再代入已知数据求解即可； （2）过点A作于点E，根据推出，再通过面积公式求证即可； （3）根据是的中线，可得，再利用三角形面积公式，代入已知数据求解的长度． 【详解】（1）解：∵点是边上的中点， ∴． （2）略 （3）解：∵是的中线， ∴， ∵是的高线， ∴， 又∵， ∴． 63．（25-26七年级下·河南驻马店·阶段检测）如图，在《光的反射》实践课中，小明同学将支架平面镜放置在水平桌面MN上，镜面的调节角（）的调节范围为，激光笔发出的光线（入射光线）射到平面镜上，若激光笔与天花板（直线）的夹角，则反射光线与天花板所形成的角（）不可能取到的度数为（入射光线和反射光线与镜面的夹角相等，如）（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分和，分别利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：当时， 延长交于， ， ， ， ， ， ， 当时， ， 当时， ， ， 当时，如图2所示，过点C作， 同理可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，或． 不可能取到的度数为． 64．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂与操作台的夹角，支撑臂为的平分线，物体被吊起后，机械臂的位置不变，支撑臂绕点旋转一定的角度并缩短，此时，增大，则增加___________． 【答案】 【分析】起吊物体前，设，求出，增大，再求出此时，即可得到答案． 【详解】解：起吊物体前，设， ，支撑臂为的平分线， ， ， 物体被吊起后，机械臂的位置不变，支撑臂绕点旋转一定的角度并缩短，此时，， ， 增大， ， ， 故增加． 65．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，在中，于点，平分，交于点，为的延长线上一点，，交的延长线于点，与的延长线交于点，与的延长线交于点，连接．给出下列结论：；；；．其中正确的序号有______ 【答案】③ 【分析】根据三角形内角和定理即可判断①；求出，，得到，即可判断；根据三角形角平分线的性质即可判断③；求出，即可判断④． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴ ， 故错误； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故错误； ∵平分， ∴点到和的距离相等， ∴，故正确； ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，故错误， 综上可知：正确， 66．（25-26八年级下·辽宁本溪·期中）如图，在中，，，平分交于点D，点E是射线上的动点，连接，的平分线与交于点P，若，则的度数为________． 【答案】或 【分析】当在线段上时，由角平分线定义求出，由直角三角形的性质求出，得到，由角平分线定义求出，由三角形内角和定理即可求出的度数；当在的延长线上时，求出，由角平分线定义求出，由三角形内角和定理即可求出的度数，即可得到答案． 【详解】解：当在线段上时， ，平分， ， ， ， ， 平分， ， ； 当在的延长线上时， ，平分， ， ， ， ， 平分， ， ， 综上所述，或． 67．（25-26七年级下·河北衡水·期中）如图，的面积为1．第一次操作：分别延长至点，使，顺次连接，得到．第二次操作：分别延长，至点，使，顺次连接，得到，…按此规律，最少经过________次操作，得到的三角形面积超过2026． 【答案】4 【分析】首先分析第一次操作后新三角形与原三角形的面积关系，利用等底同高的三角形面积相等，计算每次延长后新增的3个小三角形的面积，结合原三角形面积得到第一次操作后的总面积．同样得到第二次操作后的总面积．因为每次操作的延长规则相同，所以相邻两次操作后的三角形面积是固定的倍数关系，据此推导n次操作后三角形面积的公式．令规律表达式的结果大于2026，解指数不等式得到最小的正整数n． 【详解】解：连接，过点C作于点D，过点作于点E， ∵，且， ∴， ∵，且， ∴， ∴． 同理可得，， ∴第一次操作后，​的面积． 连接，同理，， ∴， 同理， ∴第二次操作后，​的面积． 按操作规律，每次操作后新三角形面积都是上一次的倍， ∴次操作后三角形面积为． ∵，，，， ∴最少经过次操作． 68．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，在长方形中，连接，为线段上一动点，将沿所在直线翻折，得到．当的一条边与平行时，的度数为______． 【答案】或 【分析】的一条边与平行，需要依次看三边中的哪条边与平行，其中与相交，不可能平行；时，利用平行线的性质和三角形内角和定理求解即可；时，计算出后，需要讨论这种情况是否存在． 【详解】解：如图，当时， ∵四边形是长方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 由翻折知 ， ∵， ∴； 如图，当时， ∵四边形是长方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 由翻折知 ， 由长方形的对称性可知， ∴， ∵， ∴点在点C左侧，满足题意； 综上，的度数为或． 69．（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“梦想三角形”．例如，一个三角形三个内角的度数分别是，，，这个三角形就是一个“梦想三角形”．反之，若一个三角形是“梦想三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍． (1)如图1，已知，在射线上取一点，作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与点，重合）．若，则_____“梦想三角形”，_____“梦想三角形”（均填“是”或“不是”）； (2)如图2，点在的边上，连接，平分交于点，作交于点，．若是“梦想三角形”，求的度数； (3)如果一个“梦想三角形”有一个角为，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为_______． 【答案】(1)是，是 (2)的度数为或 (3)或 【分析】（1）根据三角形内角和为分别求解出与中每个角度，判断是否存在“某个内角的度数是另一个内角度数的3倍”即可； （2）先由平行线的性质以及角平分线的性质得到，再由平角的性质可得，根据三角形内角和为以及“梦想三角形”的定义列式求解即可； （3）先设出其余两个内角为，再由三角形内角和为以及“梦想三角形”的定义列式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴是“梦想三角形”； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是“梦想三角形”； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是“梦想三角形”， 当，即，解得， 此时中，，满足条件； 当，即，解得， 此时中，，满足条件； 综上，的度数为或； （3）解：如果一个“梦想三角形”有一个角为， 设该“梦想三角形”的另外两个内角为， 则有， 当时，解得， 此时，故最小内角的度数为； 当时，解得，不满足题意； 当时，则有，解得， 此时，故最小内角的度数为； 综上，这个“梦想三角形”的最小内角的度数为或． 70．（18-19七年级下·北京西城·期末）已知：三角形，点M是平面上一点，射线与直线交于点D，射线与直线交于点E，过点A作，与所在的直线交于点F． (1)如图1，当，时，证明； (2)若，． ①如图2，当点M在三角形内部时，探究与之间的数量关系； ②如图3，当点M在三角形外部时，依题意补全图形，并直接写出用等式表示的与之间的数量关系． 【答案】(1)证明：，， ∴， ，， ， 又， ， ． (2)①；②； 【分析】(1)根据同角的余角相等得到，再由平行线的性质得到，从而得出结论； (2)①先推导出，，得到，继而推导出，得到，即可解答； ②先推导出，，得到，推导出，得到，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：①，理由为： 是的外角 ， 是的外角， ， ∴， 即， ， ， ∴； ②补全图形见下图，，理由如下： 是的外角 ， 即， 是的外角， ， 即， ， 即 ， ， ． 71．（24-25七年级下·河南南阳·期末）直线与相互垂直，垂足为点，点在射线上运动，点在射线上运动，点、点均不与点重合． (1)如图1，平分，平分，若，求的度数； (2)如图2，平分，平分，的反向延长线交于点； ①若，则________度（直接写出结果，不需说理） ②点、在运动的过程中，若，试求的度数． (3)如图3，已知点在的延长线上，的角平分线、的角平分线与的角平分线所在的直线分别相交于点、，在中，如果某一个角是的4倍，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①45；② (3)或 【分析】（1）先求出，，再根据求解即可； （2）①根据，只要求出即可； ②由已知条件和角平分线的定义可得，，再根据计算即可； （3）首先证明，，再分，，，四种情形分别进行计算即可． 【详解】（1）解：， ． ， ． 平分，平分， ，， ，即的度数为． （2）解：①， 平分，平分， ，， ， ； ②， ． ， ． 平分，平分， ，， ， 点、在运动的过程中，． （3）解：由题意得，， ， ， 又， 则， ①当时，， ； ②当时． ，即， ； ③当时，即，， （不合题意舍弃）； ④当时，， （不合题意舍弃）， 综上所述，当或时，在中，有一个角的度数是的4倍． 72．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）按要求解答问题： (1)如图（1），在中，，点在线段上（点不与端点、重合），连接，作，交线段于点． ①当时，__________，__________； ②当点在线段上（点不与端点、重合）运动时，与相等吗，请说明理由； (2)如图（2），在中，，当点运动到的延长线上时，连接，作，交直线于点，设，．则与的数量关系为__________________________． (3)如图（3），在中，，当点运动到的延长线上时，连接，作，交直线于点，请直接写出此时与之间的数量关系． 【答案】(1)①30；30；②与相等，理由如下： ∵，且， ∴． (2)或 (3)或 【分析】（1）①根据邻补角及三角形内角和进行求解即可；②根据三角形外角的性质进行求解即可； （2）由题意可分当点E在的上方时，当点E在的下方时，然后画出图形进行求解即可； （3）由题意可分当点E在的上方时，当点E在的下方时，然后画出图形进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴； ②略 （2）解：由题意可分：当点E在的上方时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 当点E在的下方时，如图所示： ∵，，且， ∴， ∵，， ∴，即； （3）解：由题意可分：当点E在的下方时，如图所示： 设，， ∴在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点E在的上方时，如图所示： 设，， ∴在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 73．（25-26七年级下·广东湛江·期中）综合与探究 问题情境：如图1，根据光的反射定律，当一束光线照射到平面镜上发生反射现象时，始终有．潜望镜是从海面下伸出海面或从低洼坑道伸出地面，用以窥探海面或地面上活动的装置． (1)操作猜想：如图2，是一个潜望镜的示意图，、是两面互相平行的镜面，光线照射到镜面上，反射光线为；照射到镜面上，反射光线为．试判断光线和的位置关系，并说明理由． (2)类比探究：如图3，将两块平面镜、的一个端点重合于点，一束光线照射在镜面上，经过两次反射后得到光线．若，，求及的度数． (3)拓展探究：如图4，光线与光线交于点，设两面镜子的夹角，根据光的反射定律，求． 【答案】(1)，理由见解析 (2)； (3) 【分析】（1）利用光的反射定律，结合内错角相等得到反射角相关的角的关系，再依据平行线的判定定理判断和的位置关系； （2）利用平角的性质求出的度数，根据平行线的性质求出的度数，再利用三角形内角和定理求出的度数； （3）根据三角形内角和定理求出，再根据反射定律推出的度数，结合平角定义、三角形内角和定理计算的度数． 【详解】（1）解：，理由如下： 由题意得：、， ， ， ， 、， ， ； （2）解：由题意得：、， ， ， ， ， ； （3）解：由题意得：、， ， ， ， ． 74．（25-26七年级下·辽宁锦州·期中）发现与探究：三角形三条中线的交点叫三角形的重心．如图1，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．关于三角形的重心还有哪些性质呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案： (1)如图2，是的中线，与等底等高，可以得到它们面积的大小关系为：____________（填、或）； (2)如图3，点是的重心，则也是的中线，利用上述结论可得：，同理．猜想、之间的数量关系为？请说明理由； (3)如图3，点为的重心，被三条中线分成六个小三角形，则___________； (4)如图4，点、在的边、上，、交于，是的重心，，直接写出四边形的面积． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) (4) 【分析】（1）根据三角形面积等于底乘高的一半，即可得出结论； （2）根据三角形的中线等分三角形的面积求解即可； （3）设，，求出，得到，再由求解即可； （4）运用以上两题的方法，根据三角形的面积底高，先求出的面积进而求出四边形的面积即可． 【详解】（1）解：是的中线，与等底等高， ； （2）解：，理由如下： ∵是的中线 ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； （3）解：设，， ， ， ， ， ， ， ∴， ∵ ∴ ∴ （4）解：∵G是的重心， ∴由（3）可得， ∵，， ， ∵， ， 由（3）可得， ∵ ∴ ∴由（2）可得， ∴． 试卷第2页，共50页 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业06 三角形常考类型题 【知识点1 三角形的分类】 【知识点2 三角形的三边关系】 三边关系：三角形任何两边的和大于第三边，任何两边的差小于第三边； 【知识点3 三角形的内角和】 三角形三个内角的和为180° 【知识点4 三角形的外角和】 三角形的外角和是360°； 任意一个外角等于与它不相邻的两个内角之和 任意一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 【知识点5 三角形的中线】 AD是中线 BD＝DC＝BC S△ABD＝S△ACD＝S△ABC； 三角形三条中线的交点为三角形的重心； 重心到三角形顶点的距离等于它到该顶点对边中点距离的2倍 【知识点6 三角形的高】 AD是高线 AD⊥BC，即∠ADB＝∠ADC＝90° 三角形的三条高线所在的直线的交点为三角形的垂心 【知识点7 三角形的角平分线】 AD是角平分线线 ∠BAD＝∠CAD＝∠BAC 三角形三条内角平分线的交点为三角形的内心； 内心到三角形三边距离相等 【题型1 三角形重要线段的判断】 1．（23-24八年级上·安徽·单元测试）如图，在中，，G为的中点，延长交于点E，F为上的一点，于点H．下列判断错误的有（　　） A．是的角平分线 B．为边上的高 C．是边上的中线 D．为的高线 2．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图所示是两位同学的折纸示意图，则依次是的（    ） A．中线、角平分线 B．高线、中线 C．角平分线、高线 D．角平分线、中线 3．（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，用一个支点顶住一个三角形匀质薄板，慢慢调整薄板，使其能够在支点上保持平衡，此时，薄板与支点接触的点就是三角形匀质薄板的（    ） A．重心，即三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高所在直线的交点 D．内部任意一点 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）下图是甲、乙、丙三位同学的折纸示意图（折叠后点C落到点处）． (1)折出的是边上的中线的是______； (2)折出的是边上的高的是______； (3)折出的是的平分线的是______． 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）下图中，的边上的高画得对吗？边上的高呢？若不对，请改正． ． 【题型2 三角形的高与线段的计算】 6．（24-25七年级下·山东青岛·期中）如图，在中，，，为边上的高，，为上一动点，则的最小值为________． 7．（25-26九年级下·辽宁铁岭·阶段检测）如图，在中，点，分别是和上的点，，，，则_______． 8．（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，在中，是的中点，分别是上的动点，则的最小值是__________． 9．（25-26七年级下·河南平顶山·期中）已知是的高，，．若的面积为6，则的长为______． 10．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在等腰中，，过点作，交的延长线于点，且，点是边上一点，过点作于点，于点，则的值为（     ） A． B． C． D． 11．（25-26八年级上·河南省直辖县级单位·阶段检测）如图，中，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是 __________． 【题型3 三角形的高与角度的计算】 12．（25-26七年级下·四川成都·期中）已知是的高，，，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 13．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）中，，是边上的高，是的角平分线，若，则为__________度． 14．（25-26七年级下·广东深圳·期中）已知一个等腰三角形两腰上的高所在直线的夹角是，那么这个等腰三角形的顶角的度数是___________． 15．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，于点D，平分，交于点F，，求证：． 16．（26-27八年级·全国·暑假作业）中，是边上的高， 是的角平分线，若，则为 _______度． 17．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，，分别是的角平分线和高． (1)已知，求的度数．你还能求出哪些角的度数？ (2)与有怎样的关系？为什么？ 【题型4 三角形三边关系的应用】 18．（25-26七年级下·河南商丘·阶段检测）下列各组数中，不可能成为一个三角形的三边长的是（     ） A． B． C． D． 19．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）以下列各数为边长，能构成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 20．（24-25七年级下·河北张家口·期中）两根木棒的长度分别为，，取第三根木棒，使它们首尾顺次相接组成一个三角形，则第三根木棒的长度可以是（     ） A． B． C． D． 21．（2026·河北唐山·二模）已知三角形的三边长分别是5，7，x，且x为整数，请写出一个满足条件的x的值：______． 22．（25-26七年级下·河南商丘·阶段检测）若、、为三角形的三边，且、满足，则第三边的取值范围是______． 【题型5 三角形外角性质的应用】 23．（2026·福建厦门·模拟预测）如图，在中，点在上，交于点，点在上，与交于点．下列角中，与相等的是（     ）． A． B． C． D． 24．（2026·江苏扬州·中考真题）图1是一张打开的折叠椅，其侧面示意图如图2所示，，，，则（     ） A． B． C． D． 25．（2026·广东惠州·三模）折叠电动车是一种超轻便的电动车，其体积小、节能环保、可伸缩折叠、精巧的设计，可快速拆装，制作材料采用镁合金等特殊轻材质制成，分量极轻．图为折叠电动车实物图，图为示意图，、为支架，、为车轮，点、、共线．已知，，，，则的度数是________． 26．（25-26七年级下·全国·期末）如图是可调躺椅的示意图，与的交点为，，，．为了舒适，需调整大小，使，且、、保持不变，则图中应调整为________度． 27．（25-26八年级上·安徽淮北·期末）如图，在中，，平分，为线段上的任意一点，交直线于点． (1)若，，求的度数； (2)求证：． 28．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知：如图，点D在的内部．求证： (1)； (2)． (3)如果点D在线段的另一侧，又会有怎样的结论？ 【题型6利用三角形的中线求面积】 29．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在中，是边上的一点（不与点，重合），点，是线段的三等分点，记的面积为，的面积为，若，则的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 30．（25-26七年级下·河南周口·期中）如图，是的中线．若，则_____． 31．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，在中，点、、分别是、、的中点，若的面积为，则的面积为________． 32．（25-26七年级下·重庆·阶段检测）如图，在中，点在边上，，连接，点为上一点，点、分别为、的中点，连接，．若△的面积为9，则阴影部分的面积为 _____ ． 33．（25-26七年级下·福建漳州·期中）如图，在中，是的重心，连接并延长交于点，若，则_________． 【题型7 折叠背景下的三角形内角和计算】 34．（25-26七年级下·辽宁·期中）如图，在中，，，是边上一点，连接，将沿折叠，点落在点处，若，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 35．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在中，，，是边，上两点，将沿翻折，使点落在点处，交于点．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 36．（25-26七年级下·江苏南京·阶段检测）如图，三角形纸片中，，将纸片的角折叠，使点C落在内，，则的度数是_____ ． 37．（22-23七年级下·江西抚州·期中）如图，在中，，，D是线段上一个动点，连接，把沿折叠，点C落在同一平面内的点处，当平行于的边时，的大小为__________． 38．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，，，点D、E分别在的边上，连接，将沿折叠，交边于点F，且点与点C在直线的异侧．当的某条边与垂直时，________． 39．（25-26八年级上·山东德州·期末）如图，中，，沿将此三角形折叠，点落在点处，又沿再一次折叠，点落在上的处，此时，则原三角形的的度数为________． 40．（25-26七年级下·吉林长春·期中）【教材呈现】以下是华师版数学七下第92页的部分内容． 如图，在中，．，平分，平分，求的度数． 解：平分（已知）， ， 同理可得___________． （___________）， （等式的性质）___________． (1)对于上述问题，请你在解答过程的空白处填上适当的内容（填数学理由或数学式）． (2)【拓展延伸】如图1，在中，的平分线交于点，将沿折叠，使得点与点重合，若，求的度数； (3)如图2，在中，角平分线交于点，，交边于点，点在的延长线上，作的平分线交的延长线于点．若，则_______． 【题型8 与角平分线有关的内角和问题】 41．（25-26七年级下·四川绵阳·阶段检测）将一个直角三角尺EGF与两边平行的纸条按如图所示的方式放置，其中，点F，E分别落在边，上，与交于点H，若，则的度数为（   ） A．40° B．35° C．30° D．20° 42．（25-26九年级下·湖南长沙·期中）如图，直线，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 43．（25-26七年级上·山东泰安·期中）如图，直线，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 44．（20-21七年级上·广西桂林·阶段检测）如图是一架婴儿车的示意图，其中，，，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 45．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）一块木块静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角大小是________． 46．（25-26七年级下·山东潍坊·阶段检测）在中，，是边上的高，是的平分线． (1)如图①，若，，求的度数； (2)如图②，若是的延长线上一点，于点，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． 【题型9 与角平分线有关的内角和问题】 47．（2026·浙江台州·二模）如图，过点作中的角平分线，交的平行线于点，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 48．（25-26七年级下·北京·阶段检测）如图所示，的角平分线相交于点F，，，且于，下列结论：①；②；③；④平分．其中正确的结论是（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①④ D．①③ 49．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，点D、E分别为、边上的点，平分，平分，、相交于点O，若，则______． 50．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，的平分线交于点D，的平分线交于点F，过点D作 交于点E．已知，，求的度数． 51．（25-26七年级下·北京·阶段检测）如图1、2、3所示，在中，与的平分线相交于点． (1)如图1 所示，若，，则的度数为 ． (2)如图1 所示，如果，求的度数； (3)如图2 所示，作外角， 的平分线交于点 ，试探索， 之间的数量关系； (4)如图3所示，延长线段，交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的 3 倍，请写出的度数． 52．（25-26七年级下·河北保定·期中）已知等腰三角形的两边长是5和12，则它的周长是（     ） A．22 B．29 C．22或29 D．以上答案均不对 53．（2026·山西长治·三模）日常生活中，我们观察到的池塘水深比实际情况浅一些．如图，眼睛看到的点实际是在更深处的池底点处（点，在一条竖直直线上）．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 54．（2026·广东深圳·三模）如图所示，光的反射是生活中常见的现象，左图①是光的反射示意图；右图②是小明将后视镜抽象成平面镜，画出了汽车与左侧后视镜的示意图，汽车用长方形表示，司机位于车内左前方，眼睛用点O表示，，左侧后视镜用线段表示，左后视镜打开后与形成的可在一定范围内调节，点H为入射点，为法线，图上各点均在同一平面内．当，，则反射角的大小（     ） A． B． C． D． 55．（2026·河南周口·模拟预测）一个三角形的三边长分别为，，，则的取值范围是_____． 56．（26-27八年级·上海·暑假作业）如图，在中，、分别平分和，过点O作，分别交边、于点D和点E，如果，那么______ ． 57．（25-26七年级下·河南周口·期中）如图，在中，点在上，连接．根据图中标出的度数可知____． 58．（25-26七年级下·河南驻马店·阶段检测）如图，D、E、F分别为、、的中点，的面积是8，则图中阴影部分的面积等于___________． 59．（25-26七年级下·上海杨浦·期中）如图①为北斗七星的位置图，如图②将北斗七星分别标为A、B、G、C、D、E、F，将A、B、G、C、D、E、F顺次首尾连接．若B、G、C三点共线，恰好经过点G，且，，，则______ ． 60．（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，在中，分别是的高、角平分线、中线． (1)若，，求与的周长之差； (2)当，时，求的度数． 61．（25-26七年级下·四川成都·期中）已知的三边长为，且都是整数． (1)化简：； (2)若．且为等腰的边长，求的周长． 62．（25-26七年级下·山西临汾·阶段检测）阅读理解 三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分． 问题：已知：如图1，在中，点是边上的中点，连结． 求证：． 证明：过点作于点， 点是边上的中点， ． ， ． 任务： (1)如图2，在中，点是边上的中点，若，_____； (2)如图3，在中，点是边上的点且，和存在怎样的数量关系？请模仿文本框中的过程写出证明过程； (3)如图4，分别是的高线和中线，已知，则的长为_____． 63．（25-26七年级下·河南驻马店·阶段检测）如图，在《光的反射》实践课中，小明同学将支架平面镜放置在水平桌面MN上，镜面的调节角（）的调节范围为，激光笔发出的光线（入射光线）射到平面镜上，若激光笔与天花板（直线）的夹角，则反射光线与天花板所形成的角（）不可能取到的度数为（入射光线和反射光线与镜面的夹角相等，如）（     ） A． B． C． D． 64．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂与操作台的夹角，支撑臂为的平分线，物体被吊起后，机械臂的位置不变，支撑臂绕点旋转一定的角度并缩短，此时，增大，则增加___________． 65．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，在中，于点，平分，交于点，为的延长线上一点，，交的延长线于点，与的延长线交于点，与的延长线交于点，连接．给出下列结论：；；；．其中正确的序号有______ 66．（25-26八年级下·辽宁本溪·期中）如图，在中，，，平分交于点D，点E是射线上的动点，连接，的平分线与交于点P，若，则的度数为________． 67．（25-26七年级下·河北衡水·期中）如图，的面积为1．第一次操作：分别延长至点，使，顺次连接，得到．第二次操作：分别延长，至点，使，顺次连接，得到，…按此规律，最少经过________次操作，得到的三角形面积超过2026． 68．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，在长方形中，连接，为线段上一动点，将沿所在直线翻折，得到．当的一条边与平行时，的度数为______． 69．（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“梦想三角形”．例如，一个三角形三个内角的度数分别是，，，这个三角形就是一个“梦想三角形”．反之，若一个三角形是“梦想三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍． (1)如图1，已知，在射线上取一点，作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与点，重合）．若，则_____“梦想三角形”，_____“梦想三角形”（均填“是”或“不是”）； (2)如图2，点在的边上，连接，平分交于点，作交于点，．若是“梦想三角形”，求的度数； (3)如果一个“梦想三角形”有一个角为，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为_______． 70．（18-19七年级下·北京西城·期末）已知：三角形，点M是平面上一点，射线与直线交于点D，射线与直线交于点E，过点A作，与所在的直线交于点F． (1)如图1，当，时，证明； (2)若，． ①如图2，当点M在三角形内部时，探究与之间的数量关系； ②如图3，当点M在三角形外部时，依题意补全图形，并直接写出用等式表示的与之间的数量关系． 71．（24-25七年级下·河南南阳·期末）直线与相互垂直，垂足为点，点在射线上运动，点在射线上运动，点、点均不与点重合． (1)如图1，平分，平分，若，求的度数； (2)如图2，平分，平分，的反向延长线交于点； ①若，则________度（直接写出结果，不需说理） ②点、在运动的过程中，若，试求的度数． (3)如图3，已知点在的延长线上，的角平分线、的角平分线与的角平分线所在的直线分别相交于点、，在中，如果某一个角是的4倍，请直接写出的度数． 72．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）按要求解答问题： (1)如图（1），在中，，点在线段上（点不与端点、重合），连接，作，交线段于点． ①当时，__________，__________； ②当点在线段上（点不与端点、重合）运动时，与相等吗，请说明理由； (2)如图（2），在中，，当点运动到的延长线上时，连接，作，交直线于点，设，．则与的数量关系为__________________________． (3)如图（3），在中，，当点运动到的延长线上时，连接，作，交直线于点，请直接写出此时与之间的数量关系． 73．（25-26七年级下·广东湛江·期中）综合与探究 问题情境：如图1，根据光的反射定律，当一束光线照射到平面镜上发生反射现象时，始终有．潜望镜是从海面下伸出海面或从低洼坑道伸出地面，用以窥探海面或地面上活动的装置． (1)操作猜想：如图2，是一个潜望镜的示意图，、是两面互相平行的镜面，光线照射到镜面上，反射光线为；照射到镜面上，反射光线为．试判断光线和的位置关系，并说明理由． (2)类比探究：如图3，将两块平面镜、的一个端点重合于点，一束光线照射在镜面上，经过两次反射后得到光线．若，，求及的度数． (3)拓展探究：如图4，光线与光线交于点，设两面镜子的夹角，根据光的反射定律，求． 74．（25-26七年级下·辽宁锦州·期中）发现与探究：三角形三条中线的交点叫三角形的重心．如图1，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．关于三角形的重心还有哪些性质呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案： (1)如图2，是的中线，与等底等高，可以得到它们面积的大小关系为：____________（填、或）； (2)如图3，点是的重心，则也是的中线，利用上述结论可得：，同理．猜想、之间的数量关系为？请说明理由； (3)如图3，点为的重心，被三条中线分成六个小三角形，则___________； (4)如图4，点、在的边、上，、交于，是的重心，，直接写出四边形的面积． 试卷第2页，共50页 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $