第4章 1 第2课时 三角形的三边关系-【拔尖特训】2025-2026学年七年级下册数学（北师大版）

所以∠CBE=号∠ABC= 60°=30°. 因为∠EFB=180°-∠EFC=90°， 所以∠BEF=90°-∠CBE=60°. 综上所述，当△EFC为直角三角形 时，∠BEF的度数是20°或60°. E B FD C E B D C ② (第10题) 11.(1)30°；是 (2)因为∠ACB=80°， 所以∠ACO=180°-∠ACB=100°. 又因为∠MON=60°， 所以∠OAC=180°-∠ACO ∠MON=20°. 因为∠AOC=60°=3×20°= 3∠OAC, 所以△AOC是“和谐三角形”. (3)因为∠EFC+∠BDC=180°， ∠ADC+∠BDC=180°， 所以∠EFC=∠ADC. 所以EF∥AD. 所以∠DEF=∠ADE. 因为∠DEF=∠B, 所以∠ADE=∠B. 所以DEBC. 所以∠CDE=∠BCD. 因为DE平分∠ADC, 所以∠ADE=∠CDE. 所以∠B=∠BCD. 因为△BCD是“和谐三角形”， 所以∠BDC=3∠B或∠B= 3∠BDC. 因为∠BDC+∠BCD+∠B=180°， 所以∠B=36或∠B=(9), 第2课时三角形的三边关系 1.C2.C 3.C解析：任取三根，共有4cm, 8 cm,10 cm:4 cm,8 cm,12 cm;4 cm, 10cm,12cm:8cm,10cm,12cm四种 情况.其中，因为4+8=12(cm),所以 4cm,8cm,12cm不能组成三角形. 另外三种情况都符合三角形的三边关 系，因此能组成三角形的有三种情况 所以不同的取法有3种. 4.2等腰三角形5.22 6.(1)由题意，知9一2<x<9+2,即 7x11. (2)因为AB=9,BC=2,△ABC的 周长为偶数， 所以x取奇数， 因为7<x<11, 所以x的值是9. 所以△ABC的周长为9+2十9=20. 7.D 8.B解析：当a=3时，第三段长为 14-4-3=7cm,由3+4=7cm,得 3cm,4cm,7cm不能组成三角形，故 选项A错误；当a=6时，第三段长为 14-4-6=4cm,由4+4=8cm,8> 6,得4cm,4cm,6cm能组成三角形， 故选项B正确：当a=7时，第三段长 为14-4-7=3cm,由3+4=7，得 3cm,4cm,7cm不能组成三角形，故 选项C错误：当a一8时，第三段长为 14-4-8=2cm,由4+2=6cm,6< 8,得2cm,4cm,8cm不能组成三角 形，故选项D错误 9.C解析：当AC=CD=5时，AB AC,BC不满足三角形的三边关系， 不符合题意：当AC=AD=4时，AB, AC,BC满足三角形的三边关系，符 合题意 10.10解析：因为(a一2)2+|b 4=0,所以易得a一2=0，b一4=0， 解得a=2,b=4.由三角形的三边关 系，可得4-2<c<4十2，即2<c<6. 因为c为偶数，所以c=4.所以 △ABC的周长为2+4+4=10. 20 11.6解析：由题意，可知从五条线 段中任选三条的不同结果如下： ①2cm,3cm,6cm:②2cm,3cm, 7cm:③2cm,3cm,8cm:④2cm,6cm, 7cm:⑤2cm,6cm,8cm:⑥2cm, 7 cm,8 cm:7 3 cm,6 cm,7 cm:(8 3 cm, 6 cm,8 cm;9 3 cm,7 cm,8 cm:010 6 cm, 7cm,8cm.根据三角形的三边关系， 知可以构成三角形的有④⑥⑦⑧⑨ ⑩，共6个. 12.因为a,b,c为三角形的三条边长， 所以由三角形的三边关系，得a一b c<0,a-c+b>0,a+b+c>0. 所以|a一b-c+|a-c+b|+|a+ b+c=-(a-b一c)+(a-c十b)十 (a+b+c)=-a+6+c+a-c+6+ a+b+c=a+36+c. 13.(1)当腰长为6cm时，底边长为 16一6一6=4(cm),三边长分别为 6cm,6cm,4cm,能构成三角形 所以另外两边长为6cm,4cm. 当底边长为6cm时，腰长为(16一 6)÷2=5(cm),三边长分别为5cm, 5cm,6cm,能构成三角形. 所以另外两边长为5cm,5cm, 综上所述，另外两边长分别为6cm, 4cm或5cm,5cm. (2)设较短边的长为xcm,则较长边 的长为2xcm. 若以较短边为腰，则x十x十2x=16, 解得x=4. 所以2.x=8. 此时三角形的三条边的长分别为 4 cm,4 cm,8 cm. 因为4+4=8(cm), 所以不能构成三角形 若以较长边为腰，则2x十2x十x= 16,解得x=3.2. 所以2.x=6.4. 此时三角形的三条边的长分别为 3.2cm,6.4cm,6.4cm. 因为3.2+6.4=9.6(cm),9.6>6.4, 所以能构成等腰三角形. 综上所述，三条边的长分别为 3.2cm,6.4cm,6.4cm. 14.(1)因为(a-b)2+(b-c)2=0, 所以易得a-b=0,b一c=0. 所以a=b=c. 所以△ABC是等边三角形 (2)因为a=5,b=2,且c为整数， 所以5-2c<5+2,即3c<7. 所以c=4或5或6. 所以△ABC的周长为5+2+4=11 或5+2+5=12或5+2+6=13. 15.在△ABD中，AD+AB>BD, 在△BCD中，CD+BC>BD, 在△ACD中，AD+CD>AC 在△ABC中，AB+BC>AC, 所以2(AD+AB+CD+BC)> 2(AC+BD). 所以AD+AB+CD+BC>AC+BD, 即AC与BD的长之和小于四边形 ABCD的周长. 16.C解析：由题意，得1+d+1+ 1>5,且1+5+1+1>d,所以2< d<8.所以d的值可能是7. 17.设最长边的长为x. 因为各边长互不相等， 所以x>号 因为三角形任意两边之和大于第 三边， 所以<号，即<10， 所以9<<10. 3 又因为x是整数， 所以x的值为7或8或9. 当x=7时，无符合要求的三角形： 当x=8时，符合要求的三角形的三 边长为8,7,5； 当x=9时，符合要求的三角形的三 边长为9,8,3或9,7,4或9,6,5. 综上所述，周长为20，各边长互不相 等且都是整数的三角形共有4个， 第3课时三角形的高线、 中线与角平分线 1.D 2.B 易错警示 判断三角形高的注意事项 从三角形的一个顶点向它的 对边所在直线作垂线，顶，点和垂足 之间的线段叫作三角形的高线，简 称三角形的高，要判断三角形某边 上的高，需注意高经过此边所对的 顶点，并且和这条边所在的直线垂 直.另外三角形的高不一定都在三 角形的内部」 3.4解析：设S△Ax=a,因为AM, BN是△ABC的两条中线，所以 SAIN=号，SAx=受.因为△AB0 的面积为4，所以4十Sw=受.所 a 以S△0M=)一4.因为S四边形O十 Sa=，所以So=号 Sam=受-（号-4）=4 4.(1)1.解析：因为CD是中线，所 以BD=AD.因为BC=3,AC=2,所 以△BCD的周长=BC+BD+CD= 3+AD+CD,△ACD的周长=AC+ AD+CD=2+AD+CD.所以 △BCD的周长-△ACD的周长= 3+AD+CD-(2+AD+CD)=1. (2)因为CD是△ABC的高， 所以∠CDB=90° 因为∠ABC=62°， 所以∠DCB=28 因为BE是△ABC的角平分线， 所以∠CBE=2∠ABC=2 62°=31 所以∠BOC=180°-∠CBE ∠BCD=180°-31°-28=121. 5.B 6.32°解析：因为BE,CF是△ABC 的两条角平分线，所以AD是△ABC 的角平分线.因为∠BAC=64°，所以 ∠DAC=2∠BAC=32 7.1解析：因为AE是边BC上的中 21 线，所以BE=CE.因为S△A=6,所 以SaAE=方S△m=8因为AD 2BD,所以BD= 号AB.因为 S△Ax=6,所以S△CBD= 3S△A= 2.所以S1=3,S2=2.所以S1-S2= 3-2=1. 8.45°解析：延长CH交AB于点 F.因为AD⊥BC于点D,BE⊥AC 于点E,在△ABC中，三条高所在的 直线交于一点，所以CF⊥AB.因为 ∠BAC=75,所以∠ACF=90° 75°=15.因为∠ACB=60°，所以 ∠BCF=∠ACB-∠ACF=45°.因 为AD⊥BC,所以∠CHD=90°- ∠BCF=45°. 9.7或3解析：当△ABC为锐角三 角形时，如图①.因为BD=5,CD 2,所以BC=BD+CD=5+2=7.当 △ABC为钝角三角形时，如图②.因 为BD=5,CD=2,所以BC=BD一 CD=5一2=3.综上所述，边BC的长 为7或3. ① ② (第9题) 10.(1)因为DE∥BC, 所以∠EBC=∠DEB=30. 因为BE为△ABC的角平分线， 所以∠DBE=∠EBC=30. 所以∠ABC=60° 因为∠C=70°， 所以∠A=180°-∠C-∠ABC=50°. (2)如图所示. 因为CF是△BCE的中线， 所F=子E,拔尖特训·数学（北师版）七年级下 第2课时三角 自基础进阶 1.下列叙述中，正确的是 ( A.三角形可分为等腰三角形和等边三角形 B.等腰三角形是等边三角形 C.等边三角形是特殊的等腰三角形 D.三角形可分为三边都不相等的三角形和 三边都相等的三角形 2.三根底端对齐的小棒中有一根 10 被挡板完全遮住了，它们的长 度如图所示.若三根小棒可以 围成三角形，则第三根小棒的 T (第2题) 长度可以是 A.2 B.3 C.4或5D.6 3.(2024·青岛李沧期末)有长度分别为4cm, 8cm,10cm,12cm的四根木条，从中任取三 根组成三角形，不同的取法有 A.1种B.2种C.3种D.4种 4.一个三角形的三边都是整数，若两边的长分别 是1cm,2cm,则第三边的长是 cm, 这个三角形是 (按边分). 5.若一个等腰三角形的两边长分别为4cm和 9cm,则它的周长为 cm. 6.在△ABC中，AB=9,BC=2,AC=x. (1)求x的取值范围， (2)若△ABC的周长为偶数，求△ABC的 周长 60 照批改 形的三边关系 “答案与解析”见P20 幻素能攀升 7.新情境·现实生活为方便劳动技术小组实践 教学，需用篱笆围一块三角形空地，现已连接 好三段篱笆AB,BC,CD,这三段篱笆的长度 如图所示，其中篱笆AB,CD可分别绕轴BE 和CF转动.若要围成一块三角形的空地，则 在篱笆AB上接上新的篱笆的长度可以为 2m 3m B E (第7题)》 A.1m B.2m C.3m D.4m 8.(2025·宁德模拟)如图，将长为 14cm的铁丝折成三段，第一段长为 4cm,第二段长为acm.若这三段恰答案讲解 好能围成一个三角形，则a的值可以是() A.3 B.6 C.7 D.8 2 4cm acm 5 (第8题) (第9题) 9.四边形ABCD的边长如图所示，连接AC, AC的长度随四边形形状的改变而变化.当 △ACD为等腰三角形时，AC的长为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 10.已知△ABC的三边长a,b,c满足(a一 2)+b一4|=0，c为偶数，则△ABC的周 长为 11.有长度为2cm,3cm,6cm,7cm,8cm的五 条线段，若以其中的三条线段为边构成三角 形，则可以构成 个不同的三角形. 12.若a,b,c为三角形的三条边长，化简：|a一 b-c+a-c+6+la+b+cl. 13.已知等腰三角形的周长是16cm. (1)若其中一边长为6cm,求另外两边长. (2)若较长边的长是较短边的长的2倍，求 三条边的长 14.已知△ABC的三边长分别为a,b,c. (1)若a,b,c满足(a-b)2+(b-c)2=0, 试判断△ABC的形状. (2)若a=5,b=2,且c为整数，求△ABC 的周长、 第四章三角形 15.如图，在四边形ABCD中，O是AC与BD 的交点，试说明：AC与BD的长之和小于四 边形ABCD的周长. (第15题) 思维拓展 16.平面内，将长分别为1,5,1,1，d的线段顺次 首尾相接组成凸五边形（如图），则d的值可 能是 () 5 (第16题) A.1 B.2 C.7 D.8 17.周长为20，各边长互不相等且都是 整数的三角形共有多少个？ 答案讲解 61