2.3平行线的性质寒假预习讲义（知识点+7大题型+过关检测） 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

2.3平行线的性质寒假预习讲义 （知识点+8大题型+过关检测） 模块一 题型先知导航 【题型1 两直线平行同位角相等】 2 【题型2 两直线平行内错角相等】 2 【题型3 两直线平行同旁内角互补】 3 【题型4 根据平行线的性质探究角的关系】 4 【题型5 根据平行线的性质求角的度数】 5 【题型6 平行线的性质在生活中的应用】 6 【题型7 根据平行线判定与性质求角度】 7 【题型8 根据平行线判定与性质证明】 8 模块二 预习目标导航 1. 能灵活运用平行线的三个性质，结合之前所学的同位角、内错角、同旁内角的识别方法，分析复杂一点的图形（如多条平行线、三角板组合、折叠图形）中的角的关系。 2. 初步掌握平行线性质与判定的区别，能简单区分“由角的关系判平行”（判定）和“由平行推角的关系”（性质），避免混淆使用。 3. 能结合生活中的实际场景（如光线折射、单车车架、公路拐弯等），运用平行线的性质分析角的度数，培养几何建模能力和应用意识。 模块三 知识点梳理 知识点1：平行线性质 性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等） 性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 简单说成：两直线平行，内错角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等） 性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。 几何语言：∵a∥b ∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补） 模块四 题型汇总 【题型1 两直线平行同位角相等】 【典例1】．如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】．如图，直线被直线所截，，则 ． 【变式1-2】．如图，已知：的两边与的两边分别平行，即，，与AC相交于点G．求证：． 【题型2 两直线平行内错角相等】 【典例2】．如图，，，垂足是D，，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【变式2-1】．如图，，交于点．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】．如图，已知，是延长线上一点，与交于点，，，求证：． 请你补全下面的证明过程，并在括号内填写相应的理由． 证明：，， ， （__________________）， ______． ， ， ______， （__________________）． 【题型3 两直线平行同旁内角互补】 【典例3】．如图，，那么（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】．下列说法中，是平行线性质的是（   ） ①两直线平行，同旁内角互补； ②同位角相等，两直线平行； ③内错角相等，两直线平行； ④在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行． A．① B．②③ C．④ D．①④ 【变式3-2】．如图，，，平分交于点E．    (1)求的度数； (2)若，判断与的位置关系，并说明理由． 【题型4 根据平行线的性质探究角的关系】 【典例4】．如图，已知，，与相等吗？试说明理由． 【变式4-1】．如图，、的两边分别平行． (1)在图1中，与的数量关系是 ； (2)在图2中，与的数量关系是 ； (3)用一句话归纳的结论为 ．请选择（1）（2）中的一种情况说明理由． (4)应用：若两个角的两边两两互相平行，其中一个角比另一个角的2倍少30°，求这两个角的度数． 【变式4-2】．综合与实践 【问题情境】 在数学综合与实践课上，老师让同学们借助“两条平行线，和一副直角三角尺”开展数学活动． 【操作发现】 （1）如图1，小明把三角尺角的顶点放在直线上，，若，则 ． （2）如图2，小颖把等腰直角三角尺的两个锐角的顶点，分别放在直线，上，请用等式表示与之间满足的数量关系 ．(不用证明) 【综合应用】 （3）在图2的基础上，小亮把三角尺角的顶点放在点处，即，如图3，平分交直线于点，平分交直线于点．将含角的三角尺绕着点转动，且使始终在的内部，请问的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，说明理由． 【学以致用】 （4）已知：直线，三角板中，．三角板如图4位置放置，在线段上取点，连接并延长交直线于点，在线段上取点，连接并延长交的角平分线于点，若，且．探究与之间的数量关系并说明理由． 【题型5 根据平行线的性质求角的度数】 【典例5】．如图，直线，直线分别交于点E、F，的平分线交于点G．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】．太阳灶、卫星信号接收器、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，以点O照射到抛物线上的光线，等反射以后沿着与平行的方向射出．如果，，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】．（1）如图1，点O在直线上，作射线，，平分 ①求的度数； ②射线从出发，绕点O以每秒的速度逆时针转动，当射线首次与重合时立即停止转动，设转动的时间为t秒，在整个转动过程中，当时，求t的值； （2）如图2，点O、D在直线上，，射线从出发，绕点O以每秒的速度逆时针转动；同时射线从射线出发，绕点D以每秒的速度逆时针转动，设转动时间为t秒，在射线转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得？若存在，求出所有满足条件t的值，若不存在，请说明理由． 【题型6 平行线的性质在生活中的应用】 【典例6】．如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点G，若，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【变式6-1】．光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面与水杯下沿平行，光线变成，点G在射线上，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】．台灯作为一种照明工具，适合于书桌、床头等需要局部照明的地方，对于保护眼睛健康具有重要意义．图1是一个可折叠台灯，图2是其平面示意图．底座位于水平位置，支架为固定支撑杆，可通过旋转支架调节灯光照射方向，已知灯体顶角的平分线始终与垂直．将分别绕点、旋转，若旋转后，请你求出此时与水平方向的夹角的度数． 【题型7 根据平行线判定与性质求角度】 【典例7】．如图，已知，则 °． 【变式7-1】．如图，已知，点E，F分别在上，点在的上方，连接．点在与之间，连接，连接并延长至点，满足，，设，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】．如图，若，，，，则的度数为 ． 【题型8 根据平行线判定与性质证明】 【典例8】．如图，点E在线段上，，．请判断与是否平行，并说明理由． 【变式8-1】．，、分别平分，．说明：． 【变式8-2】．（1）填写下面过程的理论依据． 如图1：已知于于与互补，试说明的理由． 解：（已知）， ，（___________）． （等量代换）， （___________）， 与互补（已知）， ， （___________）． （___________）． （2）如图2，潜望镜的两个镜片都是与水平面成角放置的，且反射光线与镜片的夹角与入射光线与镜片夹角相等，即，求证：． 模块五 过关检测 1．如图，已知直线，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，分别表示两个互相平行的镜面．一束光线照射到镜面上，反射光线经镜面反射后，形成光线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，将长方形沿折叠，点落在点处，点落在边上点处，若，则等于（    ） A． B． C． D． 4．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一条边上，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 5．当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如图所示），图中，则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．将一副三角尺按如图所示的方式放置，其中，，，，给出下列结论： ①若，则； ②若，则； ③； ④若，则． 其中正确的结论有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 7．如图，这是健身器材上肢牵引器，在自然状态下，两条拉绳自然下垂并保持平行．抽象成如图所示的几何图形，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．将一副直角三角尺按如图所示的位置摆放，已知，，，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D．当时， 9．一副三角板（其中，）按图所示的方式摆放，直线，则的度数是 ． 10．将一把直尺与一块含有角的直角三角板按如图方式放置，若，则 ． 11．如图是一种卫星接收天线的轴截面示意图，卫星波束与平行射入接收天线，经反射聚集到焦点处．若，，则的度数为 ． 12．如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与前支架平行，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，若，则的度数为 °． 13．如图，点，分别是，上的点，点在，之间，连接并延长至点．点是下方一点，连接，，若平分，平分，，则 ． 14．将两块不同的三角尺按如图1所示的方式摆放，边重合，，．保持三角尺不动（如图2），将三角尺绕着点顺时针转动后停止．在转动的过程中，当三角尺有一条边与三角尺的一条边恰好平行时，的度数为 ． 15.如图，，为上一点，，过点作于点，且平分，，则下列结论：①；②；③FD平分；④．其中正确的结论是 ． 16．如图，已知直线，，，． (1)求的度数． (2)试说明：直线． 17．如图：在①，②，分别平分和，③，，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决问题． 问题：已知，，________，与相等吗？为什么？ 18．如图，，，点P是射线上一动点（与点A不重合），分别平分和，分别与射线交于点C，D． (1)______． (2)点P运动的过程中，与的数量关系是否发生变化？若不变，请写出数量关系并说明理由；若变化，请写出变化规律． (3)若点P运动到某处时恰有，判断此时的形状，并说明理由． 19．如下图，直线与直线，分别交于点，．若于点，，求的度数． 20．如图，将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起，其中，，． 【观察猜想】（1）与的数量关系是___________；与的数量关系是________________． 【类比探究】（2）若保持三角板不动，绕直角顶点顺时针转动三角板DCE．当等于多少度时，？ 【拓展应用】（3）若，求的度数，并直接写出此时与的位置关系． 21．如图1，，，，求的度数． 小明的思路是：过作，通过平行线性质来求． （1）按小明的思路，求的度数； （问题迁移） （2）如图2，，点在射线上运动，记，，当点在两点之间运动时，问与之间有何数量关系？请说明理由； （问题应用） （3）在（2）的条件下，如果点在两点外侧运动时（点与点三点不重合），请直接写出与之间的数量关系（并画出相应的图形）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3平行线的性质寒假预习讲义 （知识点+8大题型+过关检测） 模块一 题型先知导航 【题型1 两直线平行同位角相等】 2 【题型2 两直线平行内错角相等】 3 【题型3 两直线平行同旁内角互补】 5 【题型4 根据平行线的性质探究角的关系】 7 【题型5 根据平行线的性质求角的度数】 13 【题型6 平行线的性质在生活中的应用】 18 【题型7 根据平行线判定与性质求角度】 20 【题型8 根据平行线判定与性质证明】 22 模块二 预习目标导航 1. 能灵活运用平行线的三个性质，结合之前所学的同位角、内错角、同旁内角的识别方法，分析复杂一点的图形（如多条平行线、三角板组合、折叠图形）中的角的关系。 2. 初步掌握平行线性质与判定的区别，能简单区分“由角的关系判平行”（判定）和“由平行推角的关系”（性质），避免混淆使用。 3. 能结合生活中的实际场景（如光线折射、单车车架、公路拐弯等），运用平行线的性质分析角的度数，培养几何建模能力和应用意识。 模块三 知识点梳理 知识点1：平行线性质 性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等） 性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 简单说成：两直线平行，内错角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等） 性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。 几何语言：∵a∥b ∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补） 模块四 题型汇总 【题型1 两直线平行同位角相等】 【典例1】．如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，角度的计算．熟练掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．依题意可得，然后根据平角的定义即可解答． 【详解】解：如图， 依题意得，，， ∴， ∴． 故选：B． 【变式1-1】．如图，直线被直线所截，，则 ． 【答案】110 【分析】本题考查了邻补角的性质，平行线的性质：两直线平行，同位角相等，熟记性质是解题的关键．先通过平行线性质得到，再通过邻补角性质求出即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴ 故答案为： ． 【变式1-2】．如图，已知：的两边与的两边分别平行，即，，与AC相交于点G．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键． 根据两直线平行，同位角相等得到，，再等量代换即可求证． 【详解】证明：∵，， ∴，， ∴． 【题型2 两直线平行内错角相等】 【典例2】．如图，，，垂足是D，，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线和余角的知识，解题的关键是熟练掌握平行线的性质；根据题意，得，根据余角的性质得，再根据两直线平行，内错角相等的性质分析，即可得到答案． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【变式2-1】．如图，，交于点．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，邻补角的定义，先求出，然后根据两直线平行，内错角相等即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选B． 【变式2-2】．如图，已知，是延长线上一点，与交于点，，，求证：． 请你补全下面的证明过程，并在括号内填写相应的理由． 证明：，， ， （__________________）， ______． ， ， ______， （__________________）． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了同位角相等两直线平行，两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 由垂线的性质可得，由同位角相等两直线平行可得，由两直线平行同位角相等可得，进而可得，由同位角相等两直线平行可得，由两直线平行内错角相等即可得出结论． 【详解】解：补全证明过程如下： ，， ， （同位角相等，两直线平行）， ， ， ， ， （两直线平行，内错角相等）． 【题型3 两直线平行同旁内角互补】 【典例3】．如图，，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据“两直线平行同旁内角互补”可得，，再根据，即可得解． 【详解】解：， ，． ， ． 故选：D． 【变式3-1】．下列说法中，是平行线性质的是（   ） ①两直线平行，同旁内角互补； ②同位角相等，两直线平行； ③内错角相等，两直线平行； ④在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行． A．① B．②③ C．④ D．①④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据平行线的性质与判定进行分析即可：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等；反之，也成立，可判断①，②，③，根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行可判断④． 【详解】解∶ ①两直线平行，同旁内角互补 ，是性质，符合题意； ②同位角相等，两直线平行，是判定定理，不符合题意； ③内错角相等，两直线平行，是判定定理，不符合题意； ④在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，是判定定理，不符合题意． 故选∶ A． 【变式3-2】．如图，，，平分交于点E．    (1)求的度数； (2)若，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质：两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补． （1）先由平行线的性质得，进而得∠ADC=110°，再根据角平分线的定义可得出答案； （2）先由平行线的性质得，再根据得，据此即可判定与的位置． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∵平分， ∴， （2）解：与的位置关系是：． 理由如下： 由（1）可知：， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【题型4 根据平行线的性质探究角的关系】 【典例4】．如图，已知，，与相等吗？试说明理由． 【答案】．理由见解析 【分析】利用平行线的性质来推导．已知两组对边分别平行，可以通过同旁内角互补的性质，建立与和其他角的关系，从而得出与的数量关系． 【详解】解：∵ ， ∴． ∵ ， ∴ ． ∴ ． 【点睛】本题考查了平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补）和补角的性质（同角的补角相等），解题关键是通过平行线的性质，找到与与公共角的互补关系，进而利用补角的传递性证明两角相等． 【变式4-1】．如图，、的两边分别平行． (1)在图1中，与的数量关系是 ； (2)在图2中，与的数量关系是 ； (3)用一句话归纳的结论为 ．请选择（1）（2）中的一种情况说明理由． (4)应用：若两个角的两边两两互相平行，其中一个角比另一个角的2倍少30°，求这两个角的度数． 【答案】(1) (2) (3)如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补 (4)这两个角的度数为，或，． 【分析】本题考查了平行线的性质以及角度关系的推理和计算，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质即可推导出两个角的数量关系； （2）根据平行线的性质即可推导出两个角的数量关系； （3）根据（1）（2）的数量关系即可得出结论； （4）根据（3）的结论，建立方程即可求解． 【详解】（1）解：如图， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：如图， ， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：用一句话归纳的结论为：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补， 故答案为：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补； （4）解：设另一个角为，则这个角为， 当这两个角相等时， ， 解得：， ∴这两个角的度数为，； 当这两个角互补时， 解得：， ∴这两个角的度数为，； 综上所述：这两个角的度数为，或，． 【变式4-2】．综合与实践 【问题情境】 在数学综合与实践课上，老师让同学们借助“两条平行线，和一副直角三角尺”开展数学活动． 【操作发现】 （1）如图1，小明把三角尺角的顶点放在直线上，，若，则 ． （2）如图2，小颖把等腰直角三角尺的两个锐角的顶点，分别放在直线，上，请用等式表示与之间满足的数量关系 ．(不用证明) 【综合应用】 （3）在图2的基础上，小亮把三角尺角的顶点放在点处，即，如图3，平分交直线于点，平分交直线于点．将含角的三角尺绕着点转动，且使始终在的内部，请问的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，说明理由． 【学以致用】 （4）已知：直线，三角板中，．三角板如图4位置放置，在线段上取点，连接并延长交直线于点，在线段上取点，连接并延长交的角平分线于点，若，且．探究与之间的数量关系并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）不变，，理由见解析 （4），证明见解析 【分析】本题综合考查平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识，利用平行线的性质导角是解题的关键． （1）考查平行线的“同位角相等”性质，结合已知和三角尺的角()，利用平角列等式计算角度； （2）考查平行线的“内错角相等”性质，通过作辅助线(过作平行线)，可证明角度和为； （3）考查平行线性质及角度等量代换，通过设未知数表示相关角度，推导的固定值，进而得出的固定值； （4）考查平行线的“同位角相等”、三角形内角和定理，通过设未知数表示，逐步推导与的表达式，最终确定数量关系． 【详解】解：（1）∵， ∴(两直线平行，同位角相等)， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为：； （2）如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：； （3）不变，，理由如下： ∵、分别平分、， ∴，， 设， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 同（2）可得， 即； （4）设，则，． ∵， ∴． ∵， ∴，,， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵平分， ∴x． ∵， ∴． ∴x． ∴． 【题型5 根据平行线的性质求角的度数】 【典例5】．如图，直线，直线分别交于点E、F，的平分线交于点G．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键． 先根据平行线的性质求出，再根据角平分线的定义求出，然后再由平行线的性质可得． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵的平分线交于点G， ∴． ∵， ∴． 故选D． 【变式5-1】．太阳灶、卫星信号接收器、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，以点O照射到抛物线上的光线，等反射以后沿着与平行的方向射出．如果，，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质是解题的关键． 根据两直线平行，内错角相等可得，两直线平行，同旁内角互补可得，然后计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【变式5-2】．（1）如图1，点O在直线上，作射线，，平分 ①求的度数； ②射线从出发，绕点O以每秒的速度逆时针转动，当射线首次与重合时立即停止转动，设转动的时间为t秒，在整个转动过程中，当时，求t的值； （2）如图2，点O、D在直线上，，射线从出发，绕点O以每秒的速度逆时针转动；同时射线从射线出发，绕点D以每秒的速度逆时针转动，设转动时间为t秒，在射线转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得？若存在，求出所有满足条件t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①，t值为秒或秒；（2）存在，t值为25秒，70秒 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的数量关系，以及平行线的性质，以及一元一次方程的应用，分类讨论是解答本题的关键． （1）①先求出，由角平分线的定义求出即可； ②分2种情况求解：当在内，当在内； （2）分4种情况根据平行线的性质列方程求解：当时，与均在上方；当时，在上方，在下方；当时，均在下方；当时，在下方． 【详解】解：（1）①如图1.1，∵ ∴ ∵平分 ∴ ②当在内，如图1.2，， ∵ ∴，即 ∴（秒） 当在内，如图1.3， ∵ ∴，即 ∴（秒）． 综上所述，t值为秒或秒． （2）存在某时刻，使，理由如下 ∵ ∴ 当与重合时，（秒） 当与重合时，（秒） 当与重合时，（秒） 当恰好转动一周时，（秒） 当时，与均在上方 如图2.1，， ∵， ∴， ∴ ∴（秒），符合题意； 当时，在上方，在下方， 如图2.2，， ∵， ∴， ∴， ∴（秒），不合题意舍去， 当时，均在下方， 如图2.3，， ∵， ∴ 即， ∴（秒），不合题意舍去； 当时，在下方，在上方， 如图2.4，，， ∵， ∴， ∴ 即， ∴（秒），符合题意 综上所述，满足条件的t值为25秒，70秒． 【题型6 平行线的性质在生活中的应用】 【典例6】．如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点G，若，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据物理学原理可知：，再根据平行线的性质求出和，从而求出，最后根据对顶角相等求出答案即可． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【变式6-1】．光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面与水杯下沿平行，光线变成，点G在射线上，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，属于基础题，熟练掌握平行线的性质是解决本类题的关键． 根据平行线的性质知，结合图形求得的度数． 【详解】解：， ． ， ． 故选：C． 【变式6-2】．台灯作为一种照明工具，适合于书桌、床头等需要局部照明的地方，对于保护眼睛健康具有重要意义．图1是一个可折叠台灯，图2是其平面示意图．底座位于水平位置，支架为固定支撑杆，可通过旋转支架调节灯光照射方向，已知灯体顶角的平分线始终与垂直．将分别绕点、旋转，若旋转后，请你求出此时与水平方向的夹角的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂线的定义，熟练掌握平行线性质是解题关键．分别过点、、作，，，根据角平分线的定义以及垂线的定义得出，进而根据平行线的性质，即可求解． 【详解】如图所示，分别过点、、作，， ，，， ， ， ， ， 的平分线始终与垂直． ， ， ． 【题型7 根据平行线判定与性质求角度】 【典例7】．如图，已知，则 °． 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定与性质，先根据平行线的判定证明，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：38． 【变式7-1】．如图，已知，点E，F分别在上，点在的上方，连接．点在与之间，连接，连接并延长至点，满足，，设，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定与性质，添加平行线是解答的关键． 设，，作，，则，利用平行线的性质，结合图形中的角的数量关系列方程求得，进而由求解即可． 【详解】解：设，， 则，， ∴，， 如图，作，， ∵， ∴， ∴，，，， ∵，， ∴，解得， ∴，即， 故选：C． 【变式7-2】．如图，若，，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】根据平行线的性质得出，，进而根据已知建立方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． ∵，， ∴，解得， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，解一元一次方程，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【题型8 根据平行线判定与性质证明】 【典例8】．如图，点E在线段上，，．请判断与是否平行，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质． 延长交于点，根据结合对顶角相等，可得，根据同旁内角互补，两直线平行可得，由平行线的性质可得，再根据等量代换得到，进而可得结论． 【详解】解：，理由如下： 如图，延长交于点． ，， ， ， ． ， ， ． 【变式8-1】．，、分别平分，．说明：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定定理和性质是解题的关键．根据两直线平行，同位角相等得出，再根据角平分线的定义得出，，即可得出，即可根据同位角相等，两直线平行得出结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∵、分别平分，， ∴，， ∴， ∴． 【变式8-2】．（1）填写下面过程的理论依据． 如图1：已知于于与互补，试说明的理由． 解：（已知）， ，（___________）． （等量代换）， （___________）， 与互补（已知）， ， （___________）． （___________）． （2）如图2，潜望镜的两个镜片都是与水平面成角放置的，且反射光线与镜片的夹角与入射光线与镜片夹角相等，即，求证：． 【答案】（1）垂直的定义；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两直线相互平行；（2）见解析． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角的计算，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据平行线的判定与性质，补齐各步骤的结论和推理依据即可； （2）根据题意，求得，证得结论． 【详解】（1）解： （已知）， ，（垂直的定义）． （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， 与互补（已知）， ， （同旁内角互补，两直线平行）． （平行于同一条直线的两直线相互平行）． 故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两直线相互平行； （2）证明：∵， ∴， ∴． 模块五 过关检测 1．如图，已知直线，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，关键掌握两直线平行，同位角相等．根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵， ∴， 故选：A 2．如图，分别表示两个互相平行的镜面．一束光线照射到镜面上，反射光线经镜面反射后，形成光线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质、反射角等于入射角以及平角的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．利用平行线的性质，得，由反射角等于入射角得，根据平角的定义即可求出的度数． 【详解】解：，， ， 由反射角等于入射角得，， ， 故选：D． 3．如图，将长方形沿折叠，点落在点处，点落在边上点处，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质、矩形的性质、折叠的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由折叠可得，再根据平行线的性质即可得到． 【详解】解：， ， 由折叠可得，， 由长方形可得， ， ， 故选：B． 4．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一条边上，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角板中角度的计算、平行线的性质，由平行线的性质可得的度数，再由平角的定义可得答案． 【详解】解：如图所示，∵直尺的对边平行， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 5．当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如图所示），图中，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，利用平行线的性质解答即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，∵， ∴， ∵， ∴， 故选：． 6．将一副三角尺按如图所示的方式放置，其中，，，，给出下列结论： ①若，则； ②若，则； ③； ④若，则． 其中正确的结论有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了平行线判定与性质、三角板中角度计算问题． 若，则，可推出，，即可判断①；若，则，即可判断②；由，得，即，即可判断③；若，由③得，由①得：，即可判断④． 【详解】解：若，则， ∴， ∵， ∴， ∴；故①正确； 若，则； ∴，故②错误； ∵， ∴， 即， ∴，故③正确； 若，由③得， 由①得：， ∴，故④正确； 即正确的结论有3个． 故选：C． 7．如图，这是健身器材上肢牵引器，在自然状态下，两条拉绳自然下垂并保持平行．抽象成如图所示的几何图形，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质与判定. 过点P作，则，根据平行线的性质可得，，据此先求出的度数，再求出的度数，即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 8．将一副直角三角尺按如图所示的位置摆放，已知，，，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查了几何图形的角度运算，三角板有关的计算，平行线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．因为，则，再过点作，运用平行线的性质进行分析列式，得，结合，，故，最后算出，再分析，即可作答． 【详解】解：依题意，得，， ∵， ∴， 故A选项不符合题意； 过点作，如图所示： ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， 故B选项不符合题意； ∵，， ∴ ∴， 故C选项不符合题意； ∵，且， ∴， ∵，， ∴， ∴ 故D选项符合题意； 故选：D． 9．一副三角板（其中，）按图所示的方式摆放，直线，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质，三角板中角度计算问题，掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键． 先通过直角三角形中两个锐角互余得到，然后通过两直线平行，同旁内角互补得到，代入数据后即可求出的度数． 【详解】解：在中，， ， ， ，即， ，， ， 故答案为：． 10．将一把直尺与一块含有角的直角三角板按如图方式放置，若，则 ． 【答案】/55度 【分析】本题考查三角板中的角度计算，平行线的性质，解题的关键是正确构造平行线，利用平行线的性质求解． 过点作，由，得到，再由得到，，据此即可求解． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 11．如图是一种卫星接收天线的轴截面示意图，卫星波束与平行射入接收天线，经反射聚集到焦点处．若，，则的度数为 ． 【答案】/83度 【分析】本题考查了平行线的性质，作，由两直线平行，内错角相等可得，再结合题意得出，从而得出，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与前支架平行，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，若，则的度数为 °． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，找准平行线与截线是解题关键． 利用题目中给出的两组平行线，通过两次“两直线平行，同旁内角互补”的性质推导，结合 求出． 【详解】解：由题可知，，， ， ， ． 故答案为：． 13．如图，点，分别是，上的点，点在，之间，连接并延长至点．点是下方一点，连接，，若平分，平分，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的性质，利用辅助线构造平行线是解题的关键． 过点G作交于点L，令交于点N，则，，，根据角平分线的性质和角平分线的定义，用和表示出和，结合已知条件即可解答． 【详解】解：如图，过点G作交于点L，令交于点N， 设，， ∵平分，平分， ∴，，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 整理得 ∴， 即． 故答案为：． 14．将两块不同的三角尺按如图1所示的方式摆放，边重合，，．保持三角尺不动（如图2），将三角尺绕着点顺时针转动后停止．在转动的过程中，当三角尺有一条边与三角尺的一条边恰好平行时，的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．分三种情况，根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：分三种情况：①当时，如图： ， ②当时，如图： ， ③当时，过C作，如图， ， 故答案为或或． 15.如图，，为上一点，，过点作于点，且平分，，则下列结论：①；②；③FD平分；④．其中正确的结论是 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了根据平行线的性质求角的度数，垂线定义理解，角平分线定义，三角形内角和定理应用，根据直接得出，判断①正确；根据，，得出；；根据，得到，得出，求出，即可判断②④正确；根据已知条件，无法推出的度数，即可判断③错误． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ∵，， ∴； ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴，故④正确； 根据已知条件，无法推出的度数， ∴无法推出平分，故③错误； 综上，正确的有①②④． 故答案为：①②④． 16．如图，已知直线，，，． (1)求的度数． (2)试说明：直线． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）通过对顶角相等确定的度数，再结合已知求出结果； （2）先通过推出，再结合，利用平行公理的推论即可证明． 【详解】（1）解：∵，且与是对顶角， ∴． ∵， ∴． （2）解：∵， ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题考查了知识点平行线的判定与性质、平行公理的推论，解题关键是熟练掌握平行线的判定定理和性质定理，并能结合已知条件进行角的转化与推导． 17．如图：在①，②，分别平分和，③，，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决问题． 问题：已知，，________，与相等吗？为什么？ 【答案】①；与相等，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与角的和差运算，同时也涉及角平分线的定义（选条件②时）和比例角的计算（选条件③时）． 解题的关键是利用平行线的性质得到角的关系，再结合所给条件（平行、角平分线或比例角），通过角的和差推导得出与相等． 由 ，根据“两直线平行，内错角相等”，得． 若选条件①，则，利用角的和差 ，即可推出 ． 若选条件②（角平分线），则，，结合，可得，，从而． 若选条件③（比例角），则，，结合 ，可得． 【详解】解：补充条件，如果添加条件① 与相等． 因为， 所以． 因为， 所以． 所以． 即． 补充条件，如果添加条件②，分别平分和， 与 相等 因为， 所以 因为平分 所以． 因为平分 所以． 由，可得 ， 即． 补充条件，如果添加条件③，， 与 相等 因为 所以 由得 ， 即． 同理，由得 ， 即 因为 所以 即． 18．如图，，，点P是射线上一动点（与点A不重合），分别平分和，分别与射线交于点C，D． (1)______． (2)点P运动的过程中，与的数量关系是否发生变化？若不变，请写出数量关系并说明理由；若变化，请写出变化规律． (3)若点P运动到某处时恰有，判断此时的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)数量关系不变，，理由见解析 (3)直角三角形；理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟知平行线的性质与角平分线的定义是解题的关键． （1）根据平行线的性质求出的度数，再由角平分线的定义得到，则可得到，据此可得答案； （2）根据平行线的性质可得，，则由角平分线的定义可得，据此可得结论； （3）由平行线的性质和已知条件可得，则可证明，则由角平分线的定义可得．求出，据此可得结论． 【详解】（1）解：， ． ， ． 又平分，平分， ． 又， ； 故答案为； （2）解：数量关系不变，，理由如下： ， ，， 平分， ， ； （3）解：是直角三角形，理由如下： ， ，． ， ∴ ，即． 分别平分和， ，． ． ，， ． ． ，故是直角三角形． 19．如下图，直线与直线，分别交于点，．若于点，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质、垂直的定义及比例设元法，解题关键是通过垂直关系得到直角，再结合平行线性质建立角度间的数量关系，利用比例设未知数求解． 首先利用垂直的定义确定直角，再结合角度的比例关系设未知数，通过角度和为建立方程，进而求解的度数． 【详解】解：∵， ∴． ， ∵， ∴． ∵ ∴设，代入上式： ． ∴． 20．如图，将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起，其中，，． 【观察猜想】（1）与的数量关系是___________；与的数量关系是________________． 【类比探究】（2）若保持三角板不动，绕直角顶点顺时针转动三角板DCE．当等于多少度时，？ 【拓展应用】（3）若，求的度数，并直接写出此时与的位置关系． 【答案】（1） （2）当等于或时，． （3），或． 【分析】（1）依据，，可得；依据，即可得到； （2）分两种情况讨论，画出图形，根据平行线的判定，即可得到当等于或时，； （3）根据，，即可求出的度数；根据平行线的判定以及垂直的定义得到此时与的位置关系． 【详解】解：（1）；． 【提示】，， ； ， ， ． （2）分两种情况： ①如图①，当时，， ； ②如图②，当时，， ． 综上所述，当等于或时，． （3）设，则． 由（1）可知，， ， ，即． ， 此时或． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握性质定理并且能够准确识图是解题的关键． 21．如图1，，，，求的度数． 小明的思路是：过作，通过平行线性质来求． （1）按小明的思路，求的度数； （问题迁移） （2）如图2，，点在射线上运动，记，，当点在两点之间运动时，问与之间有何数量关系？请说明理由； （问题应用） （3）在（2）的条件下，如果点在两点外侧运动时（点与点三点不重合），请直接写出与之间的数量关系（并画出相应的图形）． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）或者，画图见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，解题时注意分类思想的运用． （1）利用平行线的性质，同旁内角互补，求出，度数，利用，进行求解即可； （2）过点作，得，得到，，进而得到； （3）分点在的延长线上和在线段上两种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴； （2）， 理由如下：如图2，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （3）如图3所示，当在线段的延长线时，由（2）可知，， ， 如图4所示，当在线段上时，由（2）可知，， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $