第12讲 平行线的性质（1知识点+5大题型+过关测）（寒假预习讲义）七年级数学新教材北师大版

第12讲 平行线的性质 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：平行线的性质 (1)文字表达：①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补； ②简单说成：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补； (2)几何语言表述：已知，如图所示，若AB∥CD， 则①同位角：∠1=∠5(或∠2=∠6，∠4=∠8，∠3=∠7)； ②内错角：∠2=∠8(或∠3=∠5)； ③同旁内角：∠2+∠5=180°(或∠3+∠8=180°). 【题型1 利用平行线的性质求角度】 例1．（25-26八年级上·甘肃酒泉·月考）如图所示，直线，直线与直线，分别相交于点、点，，垂足为点，若，则 ． 【答案】/32度 【分析】本题主要考查了平行线的性质．在同一平面内，垂直于两条平行线中的一条直线，那么必定垂直于另一条直线．根据“在同一平面内，垂直于两条平行线中的一条直线，那么必定垂直于另一条直线”推知；然后由平角是、来求的度数即可． 【详解】解：直线，， ； ； ， ． 故答案是：． 例2．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，直线被直线所截，平分交于点，则等于 ． 【答案】60 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，先根据平行线的性质得到，，再根据角平分线得到即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：． 变式1．（25-26八年级上·全国·期末）一副直角三角尺如图放置，点C在的延长线上，，则的度数为 ． 【答案】/15度 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据题意得出的度数是解题关键．直接利用三角尺的特点，结合平行线的性质得出，进而得出答案． 【详解】解：由题意可得：，， ， ， ， 故答案为：． 变式2．（24-25九年级下·重庆沙坪坝·期末）两个直角三角板如图摆放，其中，，，若是上一点且，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 利用三角形内角和和平行线的性质计算即可． 【详解】解：，， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【题型2 利用平行线的性质求生活中的应用】 例3．（24-25七年级下·福建厦门·期末）当平行光线从水中射向空气时，折射后也是平行的．如图，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线的性质，关键是两直线平行，同位角相等．先根据得出的度数，再由得出的度数，根据即可得出结论． 【详解】解：如图所示： ，， ． ，， ． ． 故答案为：13． 例4．（24-25七年级下·山西阳泉·期末）如图，一束平行于主光轴的光线AB射向凹透镜，经过凹透镜的折射光线为，折射光线的反向延长线与主光轴交于点F．若，则的度数为 °． 【答案】 【分析】此题考查了平行线的性质和邻补角．先根据平行线的性质得到，再根据邻补角求出的度数即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， 故答案为：. 变式1．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）如图，随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉，已知，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】根据可得，进而求得，再根据两直线平行，同旁内角互补即可求得答案． 本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·浙江金华·月考）如图1，将支架平面镜放置在水平桌面上，激光笔与水平天花板的夹角（）为，激光笔发出的入射光线射到上后，反射光线与形成，由光的反射定律可知，，与的垂线所形成的夹角始终相等，即． （1）的度数为 ； （2）如图2，点B固定不动，调节支架平面镜，调节角为，若反射光线恰好与平行，则的度数为 ． 【答案】 【分析】（1）根据，，得出，根据得出，求出，根据，即可 （2）根据平行线的性质得出，根据反射的性质得出，根据，求出，根据平行线的性质得出． 【详解】解：（1），， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）如图，若反射光线恰好与平行， 则， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：． 【题型3 根据平行线的判定与性质求角度】 例5．（24-25七年级下·福建福州·月考）如图，已知，，． (1)请你判断与的位置关系，并证明你的结论； (2)若，平分，试求的度数． 【答案】(1)；见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． （1）依据平行线的判定与性质，即可得到与的数量关系； （2）利用平行线的性质以及角平分线的定义，即可得出的度数，再根据为直角，即可得出． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， 又∵， ∴； 例6．（24-25七年级下·浙江绍兴·月考）如图，点分别在的边上，点在线段上，且，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，求． 【答案】(1)，理由见解析； (2)． 【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线定义． （1）由平行线的性质得，从而得，从而； （2）由邻补角的性质得到，由角平分线定义求出，于是得到． 【详解】（1），理由如下： ，， ，， ∴； （2）， ， 平分， ， 由（1）知． 变式1．（24-25七年级下·广西崇左·月考）如图，，，，． (1)直线与有怎样的位置关系？并证明你的结论； (2)若，求的度数． 【答案】(1)直线与平行，见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质； （1）根据平行线的性质可得，求出，再根据平行线的判定定理得出结论； （2）先根据平行线的性质求出，再根据计算即可． 【详解】（1）解：直线与平行 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 变式2．（24-25七年级下·安徽宿州·月考）如图，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)与相等吗？为什么？ (3)若，，求的大小． 【答案】(1)，理由见解析 (2)， 理由见解析 (3) 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）由对顶角相等得到， 等量代换得到， 即可判定； （2）根据平行线的性质即可求解； （3）由平行线的性质得到， 再根据已知条件得出，最后根据平行线的性质即可得解． 【详解】（1）解：， 理由如下： ∵，， ∴， ∴； （2）解：， 理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【题型4 根据平行线的判定与性质证明】 例7．（25-26七年级上·全国·期末）如图，，，求证．完成下面的证明过程． 证明：∵，， ∴（ ）． ∴ （内错角相等，两直线平行）． ∴（ ）． 又∵（已知）， ∴ （等量代换）﹒ ∴（ ）． ∴（ ）． 【答案】同角的补角相等；；两直线平行，内错角相等；，同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟知平行线的判定方法与性质定理是解本题的关键．先证明，可得，可得，结合，可得，证明，可得． 【详解】证明：∵，， ∴（同角的补角相等）． ∴（内错角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，内错角相等）． 又∵（已知）， ∴（等量代换）﹒ ∴（同位角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，同位角相等）． 例8．（25-26七年级上·甘肃天水·期末）请填空，完成下面推理过程． 如图，平分平分．求证：． 证明： ，（已知）． ．___________ 又，（已知） ． ．___________ 平分平分（已知） ．（角平分线的定义．） ． ；（已知） ．___________ ， ．___________． 【答案】两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等；两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行． 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．根据平行线的性质与判定，角平分线的定义进行证明即可得到答案． 【详解】证明：∵，（已知） ∴，（两直线平行，同旁内角互补） 又∵，（已知） ∴． ∴，（同角的补角相等） ∵平分，平分（已知） ∴，，（角平分线的定义） ∴． ∵，（已知） ∴．（两直线平行，内错角相等） ∴，（等量代换） ∴.（同位角相等，两直线平行） 故答案为：两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等；两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行． 变式1．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，，，． (1)求证：； (2)若是的平分线，求证：是的平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，角平分线的判定和性质，熟练运用平行线的判定和性质是解题的关键； （1）先根据平行线的性质得到，再根据平行线的判定即可得到答案； （2）先根据角平分线的定义得到，再根据平行线的定义和等量代换得到，进而得到结果； 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）证明：∵是的平分线， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的平分线． 变式2．（24-25七年级下·河北石家庄·开学考试）如图，平分交于点D，点F在的延长线上，点E在线段上，与相交于点G，． (1)与平行吗？请说明理由； (2)若点H在的延长线上，且，则与相等吗，请说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)∠F=∠H，见解析 【分析】本题考查平行线的判定及性质，同角的补角相等，角平分线的定义，综合运用相关知识是解题的关键． （1）由，，得到，即可得证； （2）由平分得到，由得到，从而，又，，即可得到． 【详解】（1）解：．理由如下： ∵，， ∴， ∴． （2）解：，理由如下： ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，， ∴． 【题型5 根据平行线的判定与性质探究角的关系】 例9．（24-25七年级下·江西南昌·月考）如图，这是一款手推车的平面示意图，其中． (1)若，，求的度数． (2)写出，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（）过点作，可得，，进而得，再根据角的和差关系即可求解； （）由（）得，，再根据角的和差关系即可求解； 本题考查了平行线的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，过点作， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 例10．（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图，是小明同学用的一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图①是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，，两支架和的夹角． 如何求此时支架与底座的夹角的度数及灯头与水平线的夹角的度数呢？小明解决此问题的思路如下： (1)小明在解决问题时，过点作，则可以得到，其理由是_____________． (2)如图②，根据小明的思路求和的度数； (3)小明在解题中发现和的度数永远是相等的，与和的度数无关．小明的说法对吗？请结合图③说明理由． 【答案】(1)平行于同一条直线的两直线平行 (2)， (3)对，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，需熟练掌握平行线的三条性质，根据平行线的三条性质得到角度相等是求解本题的关键． （1）根据平行公理的推论，即“平行于同一条直线的两直线平行”即可求解； （2）根据平行线的性质，即“两直线平行，内错角相等”，可由求解；再根据“两直线平行，同旁内角互补”即可求解； （3）根据平行线的性质可得，再根据即可求解． 【详解】（1）解：平行于同一条直线的两直线平行； （或如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）； 故答案为：平行于同一条直线的两直线平行； （2）解：如图，过点C作， ， ， ， ， ， , ， ； ， ， ， ， ， ； （3）解：对，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， , ， ． 变式1．（24-25七年级下·吉林·月考）【课题学习】平行线的“等角转化”．如图①，已知点是外一点，连接、．求的度数． 解：过点作，______，______，又，______． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程； 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将、、“类”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图②，若，点在、下方，请探究、、之间的数量关系，并说明理由； （3）如图③，已知，、交于点，若，则______． 【答案】（），；；（），理由见解析；（）． 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理推论，掌握知识点的应用是解题的关键． （）过点作，则，，然后通过角度和差即可求解； （）过点作，则，所以，，然后通过角度和差即可求解； （）过点作，则，，，然后通过角度和差即可求解． 【详解】解：（）过点作， ∴，， 又∵， ∴， 故答案为：，；； （），理由， 如图，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； （）如图，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）如图，在四边形中，已知，，连接． 【问题提出】 （1）如图1，点E、F在线段上，连接，，平分，平分，若，求 的度数； 【问题初探】 （2）如图2，点E在线段上，连接，且，请探究与之间的数量关系，并说明理由； 【类比探究】 （3）如图3，点E在的延长线上，连接，且，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），见解析；（3），见解析 【分析】此题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质得，再根据角平分线的定义，可得，，从而可求得答案； （2）设，根据可得，，再根据平行线的性质，求得，，即可得到答案； （3）设，可求得，，再根据平行线的性质，求得，，即可得到答案． 【详解】解：（1）， ， 平分，平分∠DAE， ，， ； （2）与之间的数量关系是：；理由如下： 设， ， ， ， ， ，， ； （3）与之间的数量关系是：．理由如下： 设， ， ， ， ， ，， ． 一、单选题 1．（25-26九年级上·湖南长沙·月考）如图，已知平行线和被直线所截，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，熟知“两直线平行，同位角相等”是解本题的关键．根据两直线平行，同位角相等即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：A． 2．（25-26七年级上·全国·期末）如图，将一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质、三角板中角度的计算，先求出的值，再由平行线的性质即可得出答案． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，已知，，则下列各式中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定定理、平行线的性质定理以及角的和差关系．根据同位角相等两直线平行可得，以及两直线平行，内错角相等得，再结合两直线平行，同旁内角互补得，即可解题． 【详解】解：， ， ， 又， ， ．故选． 4．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，折射光线射到水底处，点在的延长线上，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质． 由平行线的性质求出的度数，由平角定义即可求出的度数． 【详解】解：， ， ， ， ，， ， 故选：C． 5．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，过点作，点是内一点，连接，过点作，交于点，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，角的和差的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据内错角相等可得，同旁内角互补可得，再根据角的和差可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题 6．（25-26九年级上·重庆潼南·月考）如图，，若，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查利用平行线的性质求角的度数，根据对顶角相等，结合两直线平行，同旁内角互补，进行求解即可． 【详解】解：由图可知：， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 7．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）如图，，直线，若，则 ． 【答案】140 【分析】本题主要考查了平行线的性质及垂线，熟知平行线的性质是解题的关键．根据平行线的性质进行计算即可． 【详解】解：如图所示， ， ． ， ． ， ， ． 故答案为：140． 8．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为 ． 【答案】55° 【分析】本题考查平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解题的关键． 过点作，故可得出，再由平行线的性质即可得出结论． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在两个景区之间建立一段观光索道，索道支撑架互相平行（），且索道AB，BC均是直的．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，掌握通过作辅助线构造平行线，利用内错角相等将未知角转化为已知角是解题的关键． 本题过点作平行于的平行线，利用平行线的传递性使该辅助线同时平行于，再借助内错角相等的性质，将拆分为与已知角相等的两个角，进而求出其度数． 【详解】解：如图，过点B作． ∵， ∴． ∵，， ∴，， ∴． 故答案为：． 10．（25-26七年级上·河南新乡·期末）如图所示，将两个直角三角板的一个顶点重合，其中，，．三角板固定不动，三角板可绕点C转动，当时，的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握性质并分情况讨论是解题的关键．分两种情况讨论，根据两直线平行内错角相等，再根据角的和差运算即可得到答案． 【详解】解：第一种情况，如图所示， ∵，，， ∴， ∴； 第二种情况，如图所示，延长到点， ∵，，， ∴，， ∴； 综上，的度数为或． 故答案为：或． 三、解答题 11．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）如图，是的角平分线，点E，F分别在，上，且，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质，以及角平分线平分角即可得证． 【详解】证明：因为，， 所以，． 又因为平分，所以， 所以．即． 12．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在三角形ABC中，CD平分，过点D作交CB于点E，过点E作交AB于点F．试说明：EF平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟记平行线的性质定理是解题的关键． 由，根据两直线平行，内错角相等可得，由，根据两直线平行，内错角相等可得，根据两直线平行，同位角相等可得；再根据等量代换得到；最后结合角平分线的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴，， ∴． ∵平分， ∴， ∴，即平分． 13．（25-26七年级上·黑龙江绥化·月考）如图，已知，，、分别是和的角平分线，试完成下列填空：说明． 解：因为（已知） 所以（____________） 因为（已知） 所以______（两直线平行，同旁内角互补） 所以（____________） 因为、分别是和的角平分线（已知） 所以，（____________） 所以______（等式性质） 因为（已知） 所以（____________） 所以（____________） 所以（____________） 【答案】两直线平行，同旁内角互补；；同角的补角相等；角平分线定义；；两直线平行，内错角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．根据平行线的判定与性质求解即可． 【详解】解：∵（已知）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∵（已知）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∴（同角的补角相等）， ∵、分别是和的角平分线（已知）， ∴，（角平分线定义）， ∴（等式性质）， ∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）， 故答案为：两直线平行，同旁内角互补；；同角的补角相等；角平分线定义；；两直线平行，内错角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行． 14．（24-25七年级下·全国·周测）如图，已知，直线EF分别交直线AB，CD于点E，F，，． (1)若，求的度数． (2)试说明：FH平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）先利用的内错角相等，得到，再结合的直角性质，用减去求出； （2）先通过平行线和已知条件推出，再利用等角的余角相等，证明，从而说明平分． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴，， ∴，即平分． 【点睛】本题考查平行线的性质与角平分线的判定，掌握两直线平行，内错角相等、等角的余角相等是解题的关键． 15．（25-26七年级上·江苏扬州·月考）如图，已知于点，于点，与互补． (1)若，求的度数； (2)判断与是否平行，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查平行线的判定与性质，补角的定义，掌握“平行关系与角的数量关系的互推”是解题关键． （1）由垂直得，利用平行线的同旁内角互补和，求； （2）由垂直得，利用平行线的同旁内角互补，再结合与互补，可证，得． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 答：． （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵与互补， ∴， ∴， ∴． 16．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）如图，点分别在的边上，点在线段上，且，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，求． 【答案】(1)；见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线定义． （1）由平行线的性质得，从而得，从而； （2）由邻补角的性质得到，由角平分线定义求出，于是得到． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， ， ∴； （2）解：， ， 平分， ， 由（1）知． 17．（2025七年级上·湖南衡阳·专题练习）如图，已知，，，点在线段上，，点在直线上，． (1)写出一个与图中相等的角______________； (2)若，求的度数； (3)在（2）的条件下，点（点不与，两点重合）从点出发，沿射线的方向运动，其他条件不变，求的度数． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) (3)或 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题关键． （1）根据同角的余角相等以及平行线的性质，即可得到与相等的角； （2）根据，，可得，再根据，即可得到； （3）分两种情况讨论：当点C在线段上；点C在延长线上，根据平行线的性质，即可得到的度数为或． 【详解】（1）解：， ， ，， ， ， ， ， ； 与相等的角为，，； 故答案为：（答案不唯一）； （2）解：，， ， ， ； （3）解：分两种情况进行讨论： ①如图1，当点C在线段上时，点F在的延长线上，此时， ， ； ②如图2，当点C在的延长线上时，点F在线段上． ，， ， 综上所述，的度数为或． 18．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）已知． (1)如图1，比的2倍少，求的度数； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，过E作的角平分线交的延长线于M，的角平分线交的反向延长线于N，若与互补，试探索直线与直线的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、平行公理推论、角平分线的定义等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． （1）先根据平行线的性质可得，则可得，再设，根据题意建立方程，解方程即可得； （2）延长交于点，先根据平行线的性质可得，则可得，再根据平行线的判定可得，然后根据平行线的性质即可得证； （3）过点作，过点作，先根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，，，再根据角平分线的定义、等量代换可得，然后根据可得，最后根据平行线的判定即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， 由对顶角相等得：， ∴， 设， ∵比的2倍少， ∴，即， ∴， ∴． （2）证明：如图，延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：，理由如下： 如图，过点作，过点作， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵与互补， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 平行线的性质 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：平行线的性质 (1)文字表达：①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补； ②简单说成：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补； (2)几何语言表述：已知，如图所示，若AB∥CD， 则①同位角：∠1=∠5(或∠2=∠6，∠4=∠8，∠3=∠7)； ②内错角：∠2=∠8(或∠3=∠5)； ③同旁内角：∠2+∠5=180°(或∠3+∠8=180°). 【题型1 利用平行线的性质求角度】 例1．（25-26八年级上·甘肃酒泉·月考）如图所示，直线，直线与直线，分别相交于点、点，，垂足为点，若，则 ． 例2．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，直线被直线所截，平分交于点，则等于 ． 变式1．（25-26八年级上·全国·期末）一副直角三角尺如图放置，点C在的延长线上，，则的度数为 ． 变式2．（24-25九年级下·重庆沙坪坝·期末）两个直角三角板如图摆放，其中，，，若是上一点且，则的度数为 ． 【题型2 利用平行线的性质求生活中的应用】 例3．（24-25七年级下·福建厦门·期末）当平行光线从水中射向空气时，折射后也是平行的．如图，，，则的度数为 ． 例4．（24-25七年级下·山西阳泉·期末）如图，一束平行于主光轴的光线AB射向凹透镜，经过凹透镜的折射光线为，折射光线的反向延长线与主光轴交于点F．若，则的度数为 °． 变式1．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）如图，随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉，已知，，则的度数为 ． 变式2．（24-25七年级下·浙江金华·月考）如图1，将支架平面镜放置在水平桌面上，激光笔与水平天花板的夹角（）为，激光笔发出的入射光线射到上后，反射光线与形成，由光的反射定律可知，，与的垂线所形成的夹角始终相等，即． （1）的度数为 ； （2）如图2，点B固定不动，调节支架平面镜，调节角为，若反射光线恰好与平行，则的度数为 ． 【题型3 根据平行线的判定与性质求角度】 例5．（24-25七年级下·福建福州·月考）如图，已知，，． (1)请你判断与的位置关系，并证明你的结论； (2)若，平分，试求的度数． 例6．（24-25七年级下·浙江绍兴·月考）如图，点分别在的边上，点在线段上，且，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，求． 变式1．（24-25七年级下·广西崇左·月考）如图，，，，． (1)直线与有怎样的位置关系？并证明你的结论； (2)若，求的度数． 变式2．（24-25七年级下·安徽宿州·月考）如图，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)与相等吗？为什么？ (3)若，，求的大小． 【题型4 根据平行线的判定与性质证明】 例7．（25-26七年级上·全国·期末）如图，，，求证．完成下面的证明过程． 证明：∵，， ∴（ ）． ∴ （内错角相等，两直线平行）． ∴（ ）． 又∵（已知）， ∴ （等量代换）﹒ ∴（ ）． ∴（ ）． 例8．（25-26七年级上·甘肃天水·期末）请填空，完成下面推理过程． 如图，平分平分．求证：． 证明： ，（已知）． ．___________ 又，（已知） ． ．___________ 平分平分（已知） ．（角平分线的定义．） ． ；（已知） ．___________ ， ．___________． 变式1．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，，，． (1)求证：； (2)若是的平分线，求证：是的平分线． 变式2．（24-25七年级下·河北石家庄·开学考试）如图，平分交于点D，点F在的延长线上，点E在线段上，与相交于点G，． (1)与平行吗？请说明理由； (2)若点H在的延长线上，且，则与相等吗，请说明理由． 【题型5 根据平行线的判定与性质探究角的关系】 例9．（24-25七年级下·江西南昌·月考）如图，这是一款手推车的平面示意图，其中． (1)若，，求的度数． (2)写出，，之间的数量关系，并说明理由． 例10．（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图，是小明同学用的一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图①是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，，两支架和的夹角． 如何求此时支架与底座的夹角的度数及灯头与水平线的夹角的度数呢？小明解决此问题的思路如下： (1)小明在解决问题时，过点作，则可以得到，其理由是_____________． (2)如图②，根据小明的思路求和的度数； (3)小明在解题中发现和的度数永远是相等的，与和的度数无关．小明的说法对吗？请结合图③说明理由． 变式1．（24-25七年级下·吉林·月考）【课题学习】平行线的“等角转化”．如图①，已知点是外一点，连接、．求的度数． 解：过点作，______，______，又，______． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程； 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将、、“类”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图②，若，点在、下方，请探究、、之间的数量关系，并说明理由； （3）如图③，已知，、交于点，若，则______． 变式2．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）如图，在四边形中，已知，，连接． 【问题提出】 （1）如图1，点E、F在线段上，连接，，平分，平分，若，求 的度数； 【问题初探】 （2）如图2，点E在线段上，连接，且，请探究与之间的数量关系，并说明理由； 【类比探究】 （3）如图3，点E在的延长线上，连接，且，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 一、单选题 1．（25-26九年级上·湖南长沙·月考）如图，已知平行线和被直线所截，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·全国·期末）如图，将一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，已知，，则下列各式中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，折射光线射到水底处，点在的延长线上，若，，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，过点作，点是内一点，连接，过点作，交于点，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（25-26九年级上·重庆潼南·月考）如图，，若，则的度数是 ． 7．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）如图，，直线，若，则 ． 8．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为 ． 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在两个景区之间建立一段观光索道，索道支撑架互相平行（），且索道AB，BC均是直的．若，，则 ． 10．（25-26七年级上·河南新乡·期末）如图所示，将两个直角三角板的一个顶点重合，其中，，．三角板固定不动，三角板可绕点C转动，当时，的度数为 ． 三、解答题 11．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）如图，是的角平分线，点E，F分别在，上，且，．求证：． 12．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在三角形ABC中，CD平分，过点D作交CB于点E，过点E作交AB于点F．试说明：EF平分． 13．（25-26七年级上·黑龙江绥化·月考）如图，已知，，、分别是和的角平分线，试完成下列填空：说明． 解：因为（已知） 所以（____________） 因为（已知） 所以______（两直线平行，同旁内角互补） 所以（____________） 因为、分别是和的角平分线（已知） 所以，（____________） 所以______（等式性质） 因为（已知） 所以（____________） 所以（____________） 所以（____________） 14．（24-25七年级下·全国·周测）如图，已知，直线EF分别交直线AB，CD于点E，F，，． (1)若，求的度数． (2)试说明：FH平分． 15．（25-26七年级上·江苏扬州·月考）如图，已知于点，于点，与互补． (1)若，求的度数； (2)判断与是否平行，并说明理由． 16．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）如图，点分别在的边上，点在线段上，且，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，求． 17．（2025七年级上·湖南衡阳·专题练习）如图，已知，，，点在线段上，，点在直线上，． (1)写出一个与图中相等的角______________； (2)若，求的度数； (3)在（2）的条件下，点（点不与，两点重合）从点出发，沿射线的方向运动，其他条件不变，求的度数． 18．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）已知． (1)如图1，比的2倍少，求的度数； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，过E作的角平分线交的延长线于M，的角平分线交的反向延长线于N，若与互补，试探索直线与直线的位置关系，并说明理由． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $