2.2探索直线平行的条件预习讲义（4知识点+7题型+过关检测）2025-2026学年北师大版数学七年级下册

2.2探索直线平行的条件预习讲义 （4知识点+7题型+过关检测） 模块一 题型先知导航 【题型1 同位角、内错角、同旁内角】 1 【题型2 同位角相等两直线平行】 4 【题型3 用直尺、三角板画平行线】 6 【题型4 平行公理的应用】 8 【题型5 平行公理推论的应用】 10 【题型6 内错角相等两直线平行】 13 【题型7 同旁内角互补两直线平行】 14 模块二 预习目标导航 1. 理解 “三线八角” 的含义，能准确找出截线、被截线，会识别同位角、内错角、同旁内角，能说出三类角的位置特征。 2. 掌握平行线的 3 个基本判定方法（同位角相等 / 内错角相等 / 同旁内角互补，两直线平行），记住核心结论。 3. 了解平行线的传递性，能说出其文字表述。 4. 能结合简单图形，利用角的相等 / 互补关系，初步判断两条直线是否平行。 5. 知道用直尺和三角尺画平行线的基本步骤，能尝试独立画出平行线。 模块三 知识点梳理 【知识点1 平行线的定义和表示】 平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 平行线的表示: 我们通常用符号“//”表示平行。 任意两条直线，有两种位置关系，一种是相交，另一种是平行。 【知识点2 平行线的画法】 已知直线a和直线外的一个已知点P,经过点P画一条直线与已知直线a平行。P ● 一、帖(线） 二、靠(尺） a 三、移(点) 四、画(线） 【知识点3 平行公理】 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 平行公理推论： 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 ∵ b∥a ， b ∥ c ∴ a ∥c a b 平行线具有传递性。 c 【知识点4 平行线的判定】1 2 a b c 判定1： 两条直线被第三条直线所截，如果 同位角相等，那么这两条直线平行。 简单说成：同位角相等, 两直线平行 3 2 a b c 判定2：两条直线被第三条直线所截，如果 内错角相等，那么这两条直线平行. 简单说成：内错角相等，两直线平行. 3 4 a b c 判定3：两条直线被第三条直线所截， 如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 简单说成：同旁内角互补，两直线平行 一个重要结论：同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行。 模块四 题型汇总 【题型1 同位角、内错角、同旁内角】 【典例1】．如图所示，与相交于点A，与相交于点B，与相交于点C． (1)指出，被所截形成的同位角、内错角； (2)指出，被所截形成的内错角、同旁内角； (3)指出，被所截形成的内错角、同旁内角． 【答案】(1)同位角：和；内错角：和 (2)内错角：和，和；同旁内角：和，和； (3)内错角：和，和；同旁内角：和，和． 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义； （1）根据图，由同位角和内错角的定义，即可求解； （2）根据图，由内错角和同旁内角的定义，即可求解； （3）根据图，由内错角和同旁内角的定义，即可求解． 理解同位角、内错角、同旁内角的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得 ，被所截形成的同位角：和；内错角：和； （2）解：由题意得 ，被所截形成的内错角：和，和；同旁内角：和，和； （3）解：由题意得 ，被所截形成的内错角：和，和；同旁内角：和，和． 变式1-1．（1）如图①，两条平行的直线被一条倾斜的直线所截，同位角有______对，内错角有______对，同旁内角有______对； （2）如图②，三条平行的直线被一条倾斜的直线所截，同位角有______对，内错角有______对，同旁内角有______对； （3）根据以上结果，n（n为大于1的整数）条平行的直线被一条倾斜的直线所截，同位角、内错角、同旁内角分别有多少对（用含n的式子表示）？ 【答案】（1）4，2，2；（2）12，6，6；（3）同位角有对，内错角有对，同旁内角有对 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义． （1）根据同位角是两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角，内错角是两个角都在截线的两侧，又分别处在被截的两条直线中间的位置的角，根据同旁内角是两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线中间的位置的角，可得答案． （2）同理（1）中解答方法解答解答； （3）同理（1）中解答方法解答解答． 【详解】解：（1）如图1，两条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有4对，内错角有 2对，同旁内角有2对． 故答案为：4，2，2； （2）如图2，三条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有12对，内错角有6对，同旁内角有6对． 故答案为：12，6，6； （3）根据以上探究的结果，n（n为大于1的整数）条水平直线被一条竖直直线所截，同位角有对，内错角有对，同旁内角有对， 故答案为：，，． 变式1-2．如图，一个方块从某一个起始角开始，经过若干步跳动后，到达终点角，跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上，例如：从跳到终点位置的路径如下： 路径1：． 路径2：． …… (1)写出任意一条从起始位置→终点位置的路径； (2)从起始位置依次按内错角、同位角、同旁内角的顺序能否到达终点位置？并写出路径． 【答案】(1)．（答案不唯一） (2)能，路径如下： ．（答案不唯一） 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是解题的关键． （1）根据内错角，同位角，同旁内角直接逐个判断即可得到答案； （2）根据内错角、同位角、同旁内角反向推导即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得，．（答案不唯一） （2）解：能，路径如下： ．（答案不唯一） 【题型2 同位角相等两直线平行】 【典例2】．如图，在下列给出的条件中，能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 根据平行线的判定定理，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A．∵，∴，符合题意； B．，不能判定平行，不符合题意； C．∵，∴，不符合题意； D．，不能判定平行，不符合题意； 故选：A． 变式2-1．如图，，，若使，则可将直线b绕点A逆时针旋转 度． 【答案】42 【分析】先根据邻补角进行计算得到，根据平行线的判定当b与a的夹角为时，，由此得到直线b绕点A逆时针旋转． 【详解】解：如图：    ∵， ∴， ∵， ∴当时，， ∴直线b绕点A逆时针旋转． 故答案为：42． 【点睛】本题考查的是平行线的判定定理，熟知同位角相等，两直线平行是解答此题的关键． 变式2-2．如图，在△CEF中，点A在边EF上，D为直线CF上一点，过点A作直线AB使得的度数为．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据三角形的外角性质得到，结合得到，从而得到，即可得证． 【详解】证明： ∵是△CEF的一个外角， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行线的判定，运用三角形的外角性质，平角意义以及同角或等角的补角等相关知识，熟练运用这些知识得到同位角相等是解题的关键． 【题型3 用直尺、三角板画平行线】 【典例3】．如图，在平面内用直尺和三角板过点O画已知直线a的平行线b． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查过直线外一点作已知直线的平行线．先将三角板的一条直角边与已知直线重合，沿已知直线平移三角板，直到三角板的另一条直角边与O点重合，沿这条直角边过O点向已知直线作一条垂线，然后再将三角板这条直角边沿所作垂线向上平移，直到底下的直角边与O点重合，最后过O点沿三角板底下的直角边作一条直线，这就是已知直线的平行线． 【详解】解：如图所示，直线b即为所求． 变式3-1． 如图，为网格图中的三点，利用网格作图． (1)过点A画直线； (2)过点A画线段的垂线，垂足为H； (3)点A到直线的距离是线段 的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查作图应用与设计作图，平行线的判定和性质，垂线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）根据直线的定义画出图形即可； （2）根据垂线的定义，画出图形即可； （3）根据点到直线的距离的定义解决问题即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，直线即为所求； （3）解：点到直线的距离是线段的长； 故答案为：； 变式3-2．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为，每个小正方形的顶点都叫格点，请利用网格特征，解答下列问题． (1)过点画的平行线，并标出平行线所经过的格点； (2)过点画的垂线，垂足为点； (3)连接，，则的面积为______． (4)比较大小： ______填、或，理由：______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4)，直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 【分析】本题考查作图应用与设计作图、平行线的判定与性质、三角形的面积、垂线段最短，熟练掌握题意，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． （1）根据平行线的判定与性质画图即可； （2）根据垂线的定义画图即可； （3）利用割补法求三角形的面积即可； （4）根据垂线段最短可得答案． 【详解】（1）解：如图直线所示． （2）如图直线所示． （3）根据图像，可知的面积为． （4）， ，理由为，直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短． 【题型4 平行公理的应用】 【典例4】．如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，；时，，就可确定点N，P，M在同一条直线上，则正确的依据是（   ） A．两点之间，线段最短 B．两条直线相交只有一个交点 C．两点确定一条直线 D．过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定，平行公理，掌握经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行是解题关键． 根据平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行进行判断即可． 【详解】解：， ； ， ， 经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行， 点，，在同一条直线上． 故选：D． 变式4-1．下列命题是假命题的是（    ） A．对顶角相等 B．两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角相等 C．垂线段最短 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】D 【分析】此题考查了真假命题的判断，根据对顶角的性质、旋转的性质、垂线段的性质、平行公理分别进行判断即可. 【详解】解：A. 对顶角相等是真命题，不符合题意； B. 两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角相等是真命题，不符合题意； C. 垂线段最短是真命题，不符合题意； D. 在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故选项是假命题，符合题意； 故选：D 变式4-2．下列说法中正确的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．有一个公共顶点和一组公共边，并且和为的两个角互为邻补角 C．直线外一点到这条直线的垂线段的叫做点到直线的距离 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】D 【分析】分别根据对顶角，邻补角，点到直线的距离和平行公理进行判断即可． 【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，原说法错误，不符合题意； B、两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫作互为邻补角，原说法错误，不符合题意； C、直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫作点到直线的距离，故不符合题意； D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了对顶角和邻补角的定义，点到直线的距离，平行公理，熟知相关知识是解题的关键． 【题型5 平行公理推论的应用】 【典例5】．下列说法中，正确的是 （填序号）． ①过一点有无数条直线与已知直线平行； ②如果，，那么； ③相等的角是对顶角； ④如果两直线不相交，那么它们就平行． 【答案】② 【分析】本题主要考查了对顶角定义，平行公理应用，平行线的定义，解题的关键是熟练掌握平行线的定义、平行公理及推论，对顶角性质．根据对顶角性质，平行线的概念、平行公理及推论，逐项进行判断即可． 【详解】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故①错误； ②根据平行公理的推论可知：如果，，那么，故②正确； ③相等的角不一定是对顶角，故③错误； ④在同一平面内，如果两直线不相交，那么它们就平行，故④错误； 综上分析可知：正确的是②． 故答案为：②． 变式5-1．如图，点在的边上．按下列要求画图，并回答问题． (1)过点画直线的垂线，垂足为点；点到直线的距离是线段______的长，约等于_____（精确到）； (2)过点画直线，若，则的度数为_______（用含的代数式表示）． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意画出，垂足为点，根据点到直线的距离等于垂线段的长度即可得出结论，用带有刻度的直尺度量的长度即可； （2）根据题意，画出直线，根据平行线的性质以及垂线的定义即可得出的度数． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， 点到直线的距离是线段的长，约等于， 故答案为：，． （2）解：如图所示， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了画垂线，点到直线的距离，平行线的性质，垂线段的定义，掌握以上知识是解题的关键． 变式5-2．如图，E，F分别在，上，，．      (1)求证：． (2)若，直接写出与的周长之比． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明，，得到即可推出结论； （2）先证明，然后根据相似三角形的性质即可得出周长比． 【详解】（1）， ， ， ， ， ； （2）∵，， ∴． ∵， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了平行公理以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握平行公理和相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键． 【题型6 内错角相等两直线平行】 【典例6】．如图，已知，当 时，． 【答案】60 【分析】本题考查了内错角相等，两直线平行，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．根据 “内错角相等，两直线平行”进行求解即可． 【详解】解：∵只有当时，， 又∵， ∴当时，． 故答案为：． 变式6-1．将两把完全一样的三角尺按如图所示的方式放置，则边的依据是 ． 【答案】内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定知识点，解题的关键是找出图中相等的内错角来判定两直线平行． 通过观察两个一样的三角尺放置后的图形，找到与直线， 相关的内错角，根据平行线的判定定理得出结论． 【详解】如图，因为是两把完全一样的三角尺， 所以图中和是相等的（三角尺对应的角相等），而和是直线与被直线所截形成的内错角． 所以根据平行线的判定定理：内错角相等，两直线平行，可以得出． 故答案为：内错角相等，两直线平行 变式6-2．如图所示，下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握其判定方法是解题的关键． 根据平行线的判定方法分析即可． 【详解】解：A、，根据同位角相等，两直线平行，可得，不符合题意； B、，根据同旁内角互补，两直线平行，可得，不能判定，符合题意； C、，根据同旁内角互补，两直线平行，可得，不符合题意； D、，根据内错角相等，两直线平行，可得，不符合题意； 故选：B． 【题型7 同旁内角互补两直线平行】 【典例7】．如图，，要使直线，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据同旁内角互补，两直线平行可得要使直线，则，据此求解即可． 【详解】解：∵要使直线， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 变式7-1．如图，已知交于点，交于点，平分，交于点，．当 时，． 【答案】65 【分析】本题考查平行线的判定，对顶角的性质，分线的定义，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 先由对顶角的性质求得，再根据平行线的判定定理和角平分线的定义求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵当时，， ∴， ∵平分， ∴， 故答案为：65． 变式7-2．如图，平分，平分，． 求证：． 完成下面的解答过程，并填写理由或数学式： 证明：∵平分，（已知） ______，（理由：______） ∵平分， ______（理由：______） ，（等量代换） ，（已知） ______， ．（理由：______） 【答案】；角平分线的定义；；角平分线的定义；；；；同旁内角互补两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，角平分线定义，根据角平分线的定义以及同旁内角互补，两直线平行，进行作答即可． 【详解】证明：∵平分，（已知） ，（理由：角平分线的定义） ∵平分， （理由：角平分线的定义_） ，（等量代换） ，（已知） ， ．（理由：同旁内角互补两直线平行） 故答案为：；角平分线的定义；；角平分线的定义；；；；同旁内角互补两直线平行． 1．如图①，桔槔（jié gāo）是一种原始的取水工具，它是在竖立的架子上加上一根细长的杠杆，左端悬挂一个重物，当右端水桶中的水打满以后，可借助重物轻松地将水拉起．图②是桔槔的简易装置示意图，与构成内错角的是（    ）模块五 过关检测 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了内错角的定义，正确记忆相关知识点是解题关键． 两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角，根据定义判断即可． 【详解】解：由两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角可得： A、与构成内错角，符合题意； B、与构成同旁内角，不符合题意； C、与构成同位角，不符合题意； D、与构成同旁内角，不符合题意． 故选：A． 2．下列各图中，和是同位角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同位角的概念，熟练掌握同位角的概念是解题的关键； 根据同位角的概念分析是否为同位角即可． 【详解】解：已知同位角的定义：两条直线被第三条直线所截时，在截线同侧，且在被截两直线同一方向的位置上形成的两个角； A、两角不在截线同侧，不是同位角，不符合题意； B、图中所标两角不是两条直线被第三条直线所截得到的，不符合题意； C、符合同位角定义，符合题意； D、图中所标两角不是两条直线被第三条直线所截得到的，不符合题意； 故选：C ． 3．如图，与是一对（   ） A．同位角 B．同旁内角 C．内错角 D．对顶角 【答案】B 【分析】本题考查了同旁内角的定义．直接根据同旁内角的定义作答即可． 【详解】解：由图可知，与是一对同旁内角， 故选：B． 4．如图，下列说法正确的是（   ） A．与是对顶角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是同旁内角 【答案】D 【分析】本题考查了角的位置关系，熟悉掌握位置关系是解题的关键． 根据位置关系逐一判断即可． 【详解】解：A：与是同位角，故A错误； B：与是内错角，故B错误； C：与没有位置关系，故C错误； D：与是同旁内角，故D正确； 故选：D． 5．下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（   ） A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了同位角的定义，判断是否是同位角，必须符合三线八角中，在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角． 【详解】解：图①、②、④中，和在截线的同侧，并且在被截线的同一方，是同位角； 图③中，和的两条边都不在同一条直线上，不是同位角． 故选：C． 6．如图在同一平面内，有条直线与直线平行，也有条直线与直线平行，直线，不平行，当时共有多少对内错角？（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线的性质、同位角、内错角、同旁内角，解决本题的关键是知道内错角的概念以及通过找规律来计算内错角的数量． 内错角是指两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角．先分析前几个值时内错角数量的计算规律，再根据规律计算时内错角的数量． 【详解】解：当时，有对内错角， 当时，有对内错角， 当时，有对内错角， 当时，有对内错角． 故选：A． 7．如图所示，下列说法：与是同位角；与是同旁内角；与是内错角；与是内错角；与是同位角，其中正确的有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】此题主要考查了三线八角，在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成““形，内错角的边构成““形，同旁内角的边构成“”形． 根据同位角、内错角、同旁内角的定义进行解答即可． 【详解】解：与是同位角，此选项正确； 与是内错角，并不是同旁内角,此选项错误； 与是内错角，此选项正确； 与是内错角，此选项正确； 与是同位角，此选项正确； 故正确的有个． 故选：． 8．如图，直线与被直线所截得的内错角是 ；直线与被直线所截得的内错角是 ；图中的内错角是 ． 【答案】 和 和 和 【分析】本题考查了内错角的识别，掌握根据角的边确定截线和被截直线，再结合内错角的位置特征判断是解题的关键． 根据内错角的定义，先确定每组被截直线和截线，再找出对应的内错角；最后分析的两边，确定所有能与构成内错角的角． 【详解】解：①直线与 BC 被直线 所截，截线为，被截直线为； 内错角为和，即和． ②直线与被直线所截，截线为，被截直线为； 内错角为和，即和． ③分析的两边： 当截线为时，被截直线为，与是内错角； 当截线为时，被截直线为 ，与是内错角． 即：和． 故答案为：和；和；和． 9．如图，和是直线 ， 被直线 所截得的 角；和是直线 ， 被直线 所截得的 角；直线AC，BC被直线AB所截得的同旁内角是 ． 【答案】 AB CD BE 同位 AB CD AC 内错 和 【分析】此题主要考查了三线八角，解题的关键是掌握同位角的边构成““形，内错角的边构成““形，同旁内角的边构成“”形． 根据同位角、内错角：同旁内角的定义分别进行分析即可． 【详解】解：如图，和是直线，被直线所截得的同位角；和是直线，被直线所截得的内错角；直线，被直线所截得的同旁内角是和． 故答案为：①；②；③；④同位；⑤；⑥；⑦；⑧内错；⑨和． 10．如图所示，同位角有a对，内错角有b对，同旁内角有c对，其中同旁内角为 （写出每组具体名称），则的值是 ． 【答案】 与，与，与，与 14 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的识别，掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是解题的关键． 先根据同位角、内错角、同旁内角的定义，分别找出图中这三类角的具体组合并数出对数，再将三类角的对数相加得到结果． 【详解】解：同位角有与，与，与，与，与，与，所以； 内错角有与，与，与，与，所以； 同旁内角有与，与，与，与，所以， 所以． 故答案为：与，与，与，与；14． 11．如图所示，在条件：①；②；③；④中，能判定的条件是 （填序号）． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了平行线的判定定理，根据平行线的判定定理逐项分析即可得解，熟练掌握平行线的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴，故①符合题意； 不能推出，故②不符合题意； ∵， ∴，故③符合题意； ∵， ∴，故④符合题意； 综上所述，能判定的条件是①③④， 故答案为：①③④． 12．如图，直线a，b被直线c所截，请添加一个条件 ，使得．（只添一种情况即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握平行线的判定定理是解题的关键．根据平行线的判定定理即可解答． 【详解】解：①， （同位角相等，两直线平行）； ②， （内错角相等，两直线平行）； ③， （同旁内角互补，两直线平行）； 综上所述，添加条件或或，使得． 故答案为：（答案不唯一）． 13．（教材变式）图①②③是通过移动三角尺过已知直线外一点画它的平行线的方法，请你说出其中的数学原理： ． 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查作图一复杂作图，解题的关键是掌握平行线的判定定理． 根据同位角相等，两直线平行作答即可 【详解】解：利用移动三角尺的方法，过已知直线外一点画它的平行线其根据是同位角相等，两直线平行． 故答案为∶同位角相等，两直线平行． 14．如图，在方格纸中，点A、B、P都在格点上． (1)按要求在方格纸中画图：过点画出直线的平行线和垂线，垂足为点，连接，； (2)线段________的长度是点到直线的距离； (3)比较大小：________（填、或），理由：________． 【答案】(1)画图见解析 (2) (3)；直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 【分析】本题考查了画平行线，垂线，线段，点到直线的距离，垂线段最短等知识点． （1）根据题意即可画平行线，垂线，线段； （2）根据点到直线的距离的定义即可求解； （3）根据垂线段最短即可求解． 【详解】（1）解：如图，，，，即为所求； （2）解：线段的长度是点到直线的距离， 故答案为：； （3）解：，理由是：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短． 故答案为：；直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 15．如图①，对于两条直线，被第三条直线所截得到的同旁内角，满足，则称是的“关联角”． (1)已知是的“关联角”，当时，的度数为_____________． (2)如图②，已知是的“关联角”，那么是的“关联角”吗？为什么？ 【答案】(1) (2)是的“关联角”．理由见解析 【分析】（1）由之间的关系直接求解即可； （2）根据同旁内角的概念进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，， ∵ ∴ 故答案为：． （2）解：是的“关联角”．理由如下： ∵是的“关联角”， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴是的“关联角”． 【点睛】本题主要考查了同旁内角的相关概念，熟练掌握是解决本题的关键． 16．如图，直线被直线所截，交点分别为，那么图中的同位角、内错角、同旁内角各有多少对？请分别写出两对，填入下表． 名称 对数 举例 同位角 内错角 同旁内角 【答案】同位角4对，内错角2对，同旁内角2对； 名称 对数 举例 同位角 4 与 与 与 与 （4对选2对即可） 内错角 2 与 与 同旁内角 2 与 与 【分析】本题主要考查根据同位角、内错角、同旁内角的定义，找出直线、被直线所截形成的相应角的对数并举例即可． 【详解】确定同位角的对数并举例：同位角位于截线同侧，被截直线同一侧的角，故为与、与、与、与共4对； 确定内错角的对数并举例：同位角位于截线两旁，被截两条直线之间的角，故为与、与共2对； 确定同旁内角的对数并举例：同旁内角位于截线同旁，被截两条直线之间的角，故为与、与共2对； 17．问题：如图，与相交于点，平分，．请说明和的位置关系． 下面是小明同学的解答过程（部分空缺），请你帮他完成证明过程． 解：．理由如下： ∵平分， ∴__________（                ）． ∵与相交于点， ∴（              ）． ∴__________（等量代换）． ∵， ∴__________． ∴（              ）． 【答案】；角平分线的定义；对顶角相等；；；同位角相等，两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定，角平分线的定义和对顶角的性质，先由角平分线的定义和对顶角相等证明，则可证明，据此可证明结论． 【详解】解：．理由如下： ∵平分， ∴（角平分线的定义）． ∵与相交于点， ∴（对顶角相等）． ∴（等量代换）． ∵， ∴． ∴（同位角相等，两直线平行）． 18．两条直线被第三条直线所截时，如果有一对同位角相等，则有内错角相等，同旁内角互补．请补充说理过程． 解：，______，（平角定义） ______．（______） 又，（______） ．（______） 【答案】；；等角的补角相等；等量代换 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，根据平角的定义和等角的补角相等，结合已给推理过程求解即可． 【详解】解：，，（平角定义） ．（等角的补角相等） 又，（平角的定义） ．（等量代换） 故答案为：；；等角的补角相等；等量代换． 19．观察下面表格，并阅读相关文字： 示意图                     … 相交情况 1条直线与2条直线相交 1条直线与3条直线相交 1条直线与4条直线相交 … 同位角对数 （）对 （）对 （）对 … 内错角对数 （）对 （）对 （）对 … 同旁内角对数 （）对 （）对 （）对 … 则由上述规律可知： (1)1条直线与6条直线相交产生 ___________对同位角，___________对内错角； (2)1条直线与n条直线相交产生 ___________对同位角，___________对内错角； (3)利用（2）中的结论，解决下列问题：三条直线两两相交（不交于同一点），可构成同位角的对数是（　　） A．12对     B．8对      C．6对       D．4对 【答案】(1)； (2) (3)A． 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角问题中的规律问题，旨在考查学生的抽象概括能力． （1）根据表格数据即可求解； （2）根据表格数据即可确定一般规律； （3）当条直线两两相交时，产生对同位角，据此即可求解． 【详解】（1）解：从表中的规律可知1条直线与6条直线产生： 对同位角，对内错角； 故答案为：； （2）解： 1条直线与n条直线相交产生： 对同位角，对内错角； 故答案为： （3）解：根据第（2）问的结论可知， 当条直线两两相交时，产生对同位角， 故当时，即：，产生对同位角． 故选：A． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2探索直线平行的条件预习讲义 （4知识点+7题型+过关检测） 模块一 题型先知导航 【题型1 同位角、内错角、同旁内角】 2 【题型2 同位角相等两直线平行】 4 【题型3 用直尺、三角板画平行线】 4 【题型4 平行公理的应用】 5 【题型5 平行公理推论的应用】 6 【题型6 内错角相等两直线平行】 7 【题型7 同旁内角互补两直线平行】 7 模块二 预习目标导航 1. 理解 “三线八角” 的含义，能准确找出截线、被截线，会识别同位角、内错角、同旁内角，能说出三类角的位置特征。 2. 掌握平行线的 3 个基本判定方法（同位角相等 / 内错角相等 / 同旁内角互补，两直线平行），记住核心结论。 3. 了解平行线的传递性，能说出其文字表述。 4. 能结合简单图形，利用角的相等 / 互补关系，初步判断两条直线是否平行。 5. 知道用直尺和三角尺画平行线的基本步骤，能尝试独立画出平行线。 模块三 知识点梳理 【知识点1 平行线的定义和表示】 平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 平行线的表示: 我们通常用符号“//”表示平行。 任意两条直线，有两种位置关系，一种是相交，另一种是平行。 【知识点2 平行线的画法】 已知直线a和直线外的一个已知点P,经过点P画一条直线与已知直线a平行。P ● 一、帖(线） 二、靠(尺） a 三、移(点) 四、画(线） 【知识点3 平行公理】 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 平行公理推论： 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 ∵ b∥a ， b ∥ c ∴ a ∥c a b 平行线具有传递性。 c 【知识点4 平行线的判定】1 2 a b c 判定1： 两条直线被第三条直线所截，如果 同位角相等，那么这两条直线平行。 简单说成：同位角相等, 两直线平行 3 2 a b c 判定2：两条直线被第三条直线所截，如果 内错角相等，那么这两条直线平行. 简单说成：内错角相等，两直线平行. 3 4 a b c 判定3：两条直线被第三条直线所截， 如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 简单说成：同旁内角互补，两直线平行 一个重要结论：同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行。 模块四 题型汇总 【题型1 同位角、内错角、同旁内角】 【典例1】．如图所示，与相交于点A，与相交于点B，与相交于点C． (1)指出，被所截形成的同位角、内错角； (2)指出，被所截形成的内错角、同旁内角； (3)指出，被所截形成的内错角、同旁内角． 变式1-1．（1）如图①，两条平行的直线被一条倾斜的直线所截，同位角有______对，内错角有______对，同旁内角有______对； （2）如图②，三条平行的直线被一条倾斜的直线所截，同位角有______对，内错角有______对，同旁内角有______对； （3）根据以上结果，n（n为大于1的整数）条平行的直线被一条倾斜的直线所截，同位角、内错角、同旁内角分别有多少对（用含n的式子表示）？ 变式1-2．如图，一个方块从某一个起始角开始，经过若干步跳动后，到达终点角，跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上，例如：从跳到终点位置的路径如下： 路径1：． 路径2：． …… (1)写出任意一条从起始位置→终点位置的路径； (2)从起始位置依次按内错角、同位角、同旁内角的顺序能否到达终点位置？并写出路径． 【题型2 同位角相等两直线平行】 【典例2】．如图，在下列给出的条件中，能判定的是（    ） A． B． C． D． 变式2-1．如图，，，若使，则可将直线b绕点A逆时针旋转 度． 变式2-2．如图，在△CEF中，点A在边EF上，D为直线CF上一点，过点A作直线AB使得的度数为．求证：． 【题型3 用直尺、三角板画平行线】 【典例3】．如图，在平面内用直尺和三角板过点O画已知直线a的平行线b． 变式3-1． 如图，为网格图中的三点，利用网格作图． (1)过点A画直线； (2)过点A画线段的垂线，垂足为H； (3)点A到直线的距离是线段 的长． 变式3-2．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为，每个小正方形的顶点都叫格点，请利用网格特征，解答下列问题． (1)过点画的平行线，并标出平行线所经过的格点； (2)过点画的垂线，垂足为点； (3)连接，，则的面积为______． (4)比较大小： ______填、或，理由：______． 【题型4 平行公理的应用】 【典例4】．如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，；时，，就可确定点N，P，M在同一条直线上，则正确的依据是（   ） A．两点之间，线段最短 B．两条直线相交只有一个交点 C．两点确定一条直线 D．过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 变式4-1．下列命题是假命题的是（    ） A．对顶角相等 B．两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角相等 C．垂线段最短 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 变式4-2．下列说法中正确的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．有一个公共顶点和一组公共边，并且和为的两个角互为邻补角 C．直线外一点到这条直线的垂线段的叫做点到直线的距离 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【题型5 平行公理推论的应用】 【典例5】．下列说法中，正确的是 （填序号）． ①过一点有无数条直线与已知直线平行； ②如果，，那么； ③相等的角是对顶角； ④如果两直线不相交，那么它们就平行． 变式5-1．如图，点在的边上．按下列要求画图，并回答问题． (1)过点画直线的垂线，垂足为点；点到直线的距离是线段______的长，约等于_____（精确到）； (2)过点画直线，若，则的度数为_______（用含的代数式表示）． 变式5-2．如图，E，F分别在，上，，．      (1)求证：． (2)若，直接写出与的周长之比． 【题型6 内错角相等两直线平行】 【典例6】．如图，已知，当 时，． 变式6-1．将两把完全一样的三角尺按如图所示的方式放置，则边的依据是 ． 变式6-2．如图所示，下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【题型7 同旁内角互补两直线平行】 【典例7】．如图，，要使直线，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 变式7-1．如图，已知交于点，交于点，平分，交于点，．当 时，． 变式7-2．如图，平分，平分，． 求证：． 完成下面的解答过程，并填写理由或数学式： 证明：∵平分，（已知） ______，（理由：______） ∵平分， ______（理由：______） ，（等量代换） ，（已知） ______， ．（理由：______） 1．如图①，桔槔（jié gāo）是一种原始的取水工具，它是在竖立的架子上加上一根细长的杠杆，左端悬挂一个重物，当右端水桶中的水打满以后，可借助重物轻松地将水拉起．图②是桔槔的简易装置示意图，与构成内错角的是（    ）模块五 过关检测 A． B． C． D． 2．下列各图中，和是同位角的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，与是一对（   ） A．同位角 B．同旁内角 C．内错角 D．对顶角 4．如图，下列说法正确的是（   ） A．与是对顶角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是同旁内角 5．下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（   ） A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 6．如图在同一平面内，有条直线与直线平行，也有条直线与直线平行，直线，不平行，当时共有多少对内错角？（ ） A． B． C． D． 7．如图所示，下列说法：与是同位角；与是同旁内角；与是内错角；与是内错角；与是同位角，其中正确的有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 8．如图，直线与被直线所截得的内错角是 ；直线与被直线所截得的内错角是 ；图中的内错角是 ． 9．如图，和是直线 ， 被直线 所截得的 角；和是直线 ， 被直线 所截得的 角；直线AC，BC被直线AB所截得的同旁内角是 ． 10．如图所示，同位角有a对，内错角有b对，同旁内角有c对，其中同旁内角为 （写出每组具体名称），则的值是 ． 11．如图所示，在条件：①；②；③；④中，能判定的条件是 （填序号）． 12．如图，直线a，b被直线c所截，请添加一个条件 ，使得．（只添一种情况即可） 13．（教材变式）图①②③是通过移动三角尺过已知直线外一点画它的平行线的方法，请你说出其中的数学原理： ． 14．如图，在方格纸中，点A、B、P都在格点上． (1)按要求在方格纸中画图：过点画出直线的平行线和垂线，垂足为点，连接，； (2)线段________的长度是点到直线的距离； (3)比较大小：________（填、或），理由：________． 15．如图①，对于两条直线，被第三条直线所截得到的同旁内角，满足，则称是的“关联角”． (1)已知是的“关联角”，当时，的度数为_____________． (2)如图②，已知是的“关联角”，那么是的“关联角”吗？为什么？ 16．如图，直线被直线所截，交点分别为，那么图中的同位角、内错角、同旁内角各有多少对？请分别写出两对，填入下表． 名称 对数 举例 同位角 内错角 同旁内角 17．问题：如图，与相交于点，平分，．请说明和的位置关系． 下面是小明同学的解答过程（部分空缺），请你帮他完成证明过程． 解：．理由如下： ∵平分， ∴__________（                ）． ∵与相交于点， ∴（              ）． ∴__________（等量代换）． ∵， ∴__________． ∴（              ）． 18．两条直线被第三条直线所截时，如果有一对同位角相等，则有内错角相等，同旁内角互补．请补充说理过程． 解：，______，（平角定义） ______．（______） 又，（______） ．（______） 19．观察下面表格，并阅读相关文字： 示意图                     … 相交情况 1条直线与2条直线相交 1条直线与3条直线相交 1条直线与4条直线相交 … 同位角对数 （）对 （）对 （）对 … 内错角对数 （）对 （）对 （）对 … 同旁内角对数 （）对 （）对 （）对 … 则由上述规律可知： (1)1条直线与6条直线相交产生 ___________对同位角，___________对内错角； (2)1条直线与n条直线相交产生 ___________对同位角，___________对内错角； (3)利用（2）中的结论，解决下列问题：三条直线两两相交（不交于同一点），可构成同位角的对数是（　　） A．12对     B．8对      C．6对       D．4对 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $