2.1两条直线的位置关系寒假预习讲义（3知识点+13大题型+过关检测）2025-2026学年北师大版数学七年级下册

2.1两条直线的位置关系寒假预习讲义 （3知识点+13大题型+过关检测） 模块一 题型先知导航 【题型1 平面内两直线的位置关系】 3 【题型2 立体图形中平行的棱】 5 【题型3 相交线】 7 【题型4 对顶角的定义】 8 【题型5 对顶角相等】 10 【题型6 求一个角的余角】 11 【题型7 求一个角的补角】 12 【题型8 与余角、补角有关的计算】 13 【题型9 同（等）角的余（补）角相等的应用】 14 【题型10 垂线的定义理解】 16 【题型11 画垂线】 19 【题型12 垂线段最短】 21 【题型13 点到直线的距离】 23 模块二 预习目标导航 1. 明确同一平面内两条直线的位置关系只有相交和平行两种，能区分相交线（有唯一公共点）与平行线（无公共点）。 2. 理解对顶角（有公共顶点且两边互为反向延长线）、余角（和为 90°）、补角（和为 180°）的概念，能在图形中准确识别。 3. 掌握对顶角相等，同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等的性质，会用这些性质进行简单角度计算与推理。 4. 能结合生活实例抽象出相交线、平行线及相关角的模型，初步学会几何语言描述。 模块三 知识点梳理 【知识点1 相交线】 相交线：如果两条直线只有一个公共点,就说这两条直线相交，该公共点叫做两直线的交点。如直线AB、CD相交于点O。 A D C O B 对顶角：两条直线相交出现对顶角。顶点相同，角的两边互为反向延长线.，满足这种关系的角，互为对顶角，对顶角相等。对顶角是成对出现的。 邻补角：有一条公共边，角的另一边互为反向延长线.满足这种关系的两个角，互为领补角。 【知识点2 余角和补角】 一、余角 1. 定义：如果两个角的和等于90∘（直角），那么这两个角互为余角，简称 “互余”。核心：① 仅与角度和有关，与位置无关；② 成对出现（单独一个角无 “余角” 说法）。例：∠1=30∘，∠2=60∘，则∠1与∠2互余；∠3=45∘，则∠3的余角为45∘。 2. 几何语言：∵∠1+∠2=90∘，∴∠1与∠2互为余角（反之亦然）。 补角 1. 定义：如果两个角的和等于180∘（平角），那么这两个角互为补角，简称 “互补”。核心：① 仅与角度和有关，与位置无关；② 成对出现。例：∠1=50∘，∠2=130∘，则∠1与∠2互补；∠3=90∘，则∠3的补角为90∘。 2. 几何语言：∵∠1+∠2=180∘，∴∠1与∠2互为补角（反之亦然）。 二、余角和补角的性质（核心定理） 1. 同角的余角相等：若∠1+∠2=90∘，∠1+∠3=90∘，则∠2=∠3。 2. 等角的余角相等：若∠1+∠2=90∘，∠3+∠4=90∘，且∠1=∠3，则∠2=∠4。 3. 同角的补角相等：若∠1+∠2=180∘，∠1+∠3=180∘，则∠2=∠3。 4. 等角的补角相等：若∠1+∠2=180∘，∠3+∠4=180∘，且∠1=∠3，则∠2=∠4。 核心总结：同角 / 等角的余角、补角均相等，此性质是角度计算的重要依据。 三、常用推论与计算技巧 1. 一个角的补角比它的余角大90∘：推导：设这个角为x，则补角为180∘−x，余角为90∘−x，(180∘−x)−(90∘−x)=90∘。 2. 直角的补角是直角，锐角的余角是锐角，钝角无余角（余角要求两角和为90∘，钝角大于90∘）。 3. 对顶角的补角相等：由对顶角相等 + 等角的补角相等推导可得。 四、几何语言规范（初中几何基础） 1. 平行：a∥b，读作 “a平行于b”； 2. 垂直：a⊥b，读作 “a垂直于b”，垂足为O则记为 “a⊥b于O”； 3. 对顶角相等：∵AB、CD相交于O，∴∠AOC=∠BOD； 4. 互余：∵∠1+∠2=90∘，∴∠1与∠2互余； 5. 互补：∵∠1+∠2=180∘，∴∠1与∠2互补。 【知识点3 垂线】 垂直：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足。 从垂直的定义可知，判断两条直线互相垂直的关键：要找到两条直线相交时四个交角中一个角是直角。 垂直的表示：用“⊥”和直线字母表示垂直 垂直的书写形式： 如图，当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90°时，AB⊥CD，垂足为O。 书写形式： ∵∠AOD=90°（已知）D A O ∴AB⊥CD（垂直的定义） 反之，若直线AB与CD垂直，垂足为O，那么，∠AOD=90°。 书写形式：C ∵ AB⊥CD （已知） ∴ ∠AOD=90° （垂直的定义）B 应用垂直的定义：∠AOC=∠BOC=∠BOD=90° 垂线的画法： 如图，已知直线 l 和l上的一点A ,作l的垂线. 则所画直线AB是过点A的直线l的垂线. B A l 工具：直尺、三角板 1放:放直尺,直尺的一边要与已知直线重合; 2靠:靠三角板,把三角板的一直角边靠在直尺上; 3移:移动三角板到已知点; 4画线:沿着三角板的另一直角边画出垂线. 垂线的性质： 1、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 2、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短,或说成垂线段最短。直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 模块四 题型汇总 【题型1 平面内两直线的位置关系】 【典例1】．下列图形中，不平行于的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线和相交线，熟练掌握相关概念是解决此题的关键． 根据平行线和相交线的概念判断即可． 【详解】解：∵选项A、C是长方形，B是平移图形，D中与相交， ∴不平行于的是选项D． 故选：D． 变式1-1．如图，直线和直线的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．垂直 D．不平行也不相交 【答案】B 【分析】本题主要考查了同一平面内两条直线的位置关系，掌握在同一平面内两条直线的位置关系有平行或相交两种情形是解题的关键． 根据在同一平面内两条直线的位置关系有平行或相交两种进行判断即可． 【详解】解：如图中，直线c和直线d的位置关系是相交． 故选：B． 变式1-2．如图，在直线中，可能与直线平行的是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行的概念．根据图形进行判断即可． 【详解】解：直线都与直线相交，直线可能与直线平行， 故选：D． 【题型2 立体图形中平行的棱】 【典例2】．一个五棱柱中，互相平行的棱最多有（   ）对． A．10 B．15 C．20 D．23 【答案】D 【分析】本题考查立体图形中平行的棱． 根据五棱柱的性质，确定互相平行的棱最多的情形，即可求解． 【详解】解：五棱柱的侧棱互相平行，侧面均为平行四边形，当同一底面上有两对棱互相平行时，平行的棱的对数最多， 如图，在五棱柱中，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共有对， ∴ 一个五棱柱中，互相平行的棱最多有对． 故选：D． 变式2-1．一个四棱柱的棱中，平行的棱至少有（   ）对． A．2 B．4 C．6 D．10 【答案】D 【分析】本题考查立体图形中平行的棱． 根据四棱柱的性质，即可求解． 【详解】解：四棱柱的侧棱互相平行，各个侧面都是平行四边形，当底面的四条棱互不平行时，平行棱的对数最少， 如图，在四棱柱中，，，，，，，，，，，共有对， ∴一个四棱柱的棱中，平行的棱至少有对． 故选：D． 变式2-2．如图，这是一个正方体． (1)写出三对互相平行的棱，用符号表示并指出它们之间的距离． (2)在正方形中可以找出几对互相垂直的边？ 【答案】(1)，它们之间的距离是；，它们之间的距离是；，它们之间的距离是（答案不唯一） (2)4对 【分析】本题考查了认识立体图形，平行线，掌握正方体的特征是解题的关键． （1）根据正方体的特征求解即可； （2）根据正方形的特征求解即可． 【详解】（1）解：，它们之间的距离是； ，它们之间的距离是； ，它们之间的距离是； （2）解：在正方形中，互相垂直的边有，，，，共4对． 【题型3 相交线】 【典例3】．平面内三条直线的交点个数可能有（   ） A．1个或3个 B．2个或3个 C．1个或2个或3个 D．0个或1个或2个或3 【答案】D 【分析】本题考查了平行线与相交线，做到不重不漏是解题关键．根据相交线的定义，作出所有可能的图形即可得解． 【详解】解：当平面内三条直线平行时，交点个数为0个； 当平面内三条直线交于一点时，交点个数为1个； 当两条直线平行，另一条直线与之相交时，交点个数为2个； 当平面内三条直线两两相交时，交点个数为3个； 即平面内三条直线的交点个数可能有0个或1个或2个或3， 故选：D． 变式3-1．如图，直线交于点，若，则与的度数之和为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了对顶角相等，平角的定义，角的和差， 先标注，再根据对顶角相等得，然后根据平角定义得，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． 故选：A． 变式3-2．“直线与射线相交于点O”，画图正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相交线，熟练掌握直线、射线的定义以及相交线的定义是解题的关键．根据直线、射线相交的定义判断即可． 【详解】解：如图，直线与射线相交于点O， 故选：B． 【题型4 对顶角的定义】 【典例4】．下面四个图形中，与是对顶角的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了对顶角的定义，“具有共同的顶点且两边互为反向延长线的两个角互为对顶角”，据此逐项判断即可求解． 【详解】解：A．根据对顶角的定义，A中的与的两边不互为反向延长线，不是对顶角，故不符合题意； B．根据对顶角的定义，B中与的两边不互为反向延长线，不是对顶角，故不符合题意； C．根据对顶角的定义，C中与不具有共同的顶点，不是对顶角，故不符合题意； D．根据对顶角的定义，D中与具有共同的顶点且两边互为反向延长线，是对顶角，故符合题意． 故选：D． 变式4-1．下列图形中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对顶角的定义，熟悉对顶角定义是解题关键. 【详解】解：根据对顶角性质，两个角只有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线； 故选：A. 变式4-2．如图，直线、、相交于一点O，对顶角一共有 对． 【答案】6 【分析】本题考查了对顶角的定义，注意对顶角是两条直线相交而成的四个角中，没有公共边的两个角．根据对顶角的定义，对顶角的两边互为反向延长线，可以判断． 【详解】解：如下图： 图中对顶角有：与、与、与、与、与、与，共6对． 故答案为：6． 【题型5 对顶角相等】 【典例5】．如图，直线、相交于点，于，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求角度，涉及垂直定义、对顶角相等等知识，数形结合表示出相关角度是解决问题的关键． 由得到，从而得到，再由对顶角相等即可得到答案． 【详解】解：于， ， ， ， ， 故选：B． 变式5-1．如图，直线、相交于点，平分，，则 【答案】 【分析】本题考查角度换算，角平分线的定义，对顶角的性质．先根据角平分线的定义计算出，再根据对顶角相等即可求解． 【详解】解：因为平分，， 所以， 所以． 故答案为：． 变式5-2．如图，直线，相交于点，，，则的度数为 ． 【答案】20° 【分析】本题考查了对顶角的性质，角的和差，掌握对顶角的性质是解题的关键． 由对顶角的性质得，再根据角的和差关系即可求解． 【详解】解：直线，相交于点， ∵， ∴由对顶角的性质得， ∵， ∴， 故答案为：． 【题型6 求一个角的余角】 【典例6】．若，则它的余角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了余角的定义，掌握余角的概念以及度分秒的换算是解题的关键．度、分、秒是常用的角的度量单位．1度分，即，1分秒，即． 根据互为余角的两个角的和等于列式进行计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴∠A的余角． 故选：C． 变式6-1．已知一个角等于，则这个角的余角等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个角的余角，熟练掌握余角的定义，是解题的关键．根据余角的定义，一个角的余角等于减去这个角． 【详解】解：一个角等于，则这个角的余角为： ． 故答案为：． 变式6-2．如图，一副直角三角尺按如图所示的方式摆放，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求余角，根据题意可知，结合已知条件即可得出答案． 【详解】解：根据题意可知， ∵， ∴， 故选：A． 【题型7 求一个角的补角】 【典例7】．已知，则的补角等于 ． 【答案】 【分析】本题考查补角，解题关键是掌握补角的概念，掌握度分秒之间的换算． 根据的补角求解即可． 【详解】解：∵， ∴的补角． 故答案为：． 变式7-1．若，则的补角的度数为 ． 【答案】/112度 【分析】本题主要考查了求一个角的补角的度数，度数之和为180度的两个角互补，据此列式求解即可． 【详解】解：∵， ∴的补角的度数为， 故答案为：． 变式7-2．若的补角等于，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查补角的定义：“和为的两个角互为补角”，角度制．根据“和为的两个角互为补角”，用即可得． 【详解】解：∵的补角是， ∴． 故选：D． 【题型8 与余角、补角有关的计算】 【典例8】．一个角的余角是该角度数的2倍，则该角的补角为 度． 【答案】150 【分析】本题考查求一个角的补角，设该角的度数为度，根据余角定义和题意列出方程，求解得到，再根据补角的定义，进行求解即可． 【详解】解：设该角的度数为度，则其余角为度． 根据题意，得．解得． 则该角的补角为度． 故答案为：150． 变式8-1．已知一个角的补角比它的余角的3倍少，则这个角等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了互余和互补，一元一次方程的应用， 先设这个角为度，再根据补角和余角的定义列出方程，然后解方程求出的值． 【详解】解：设这个角为 度，根据题意得 ， 解得 ， 故答案为：． 变式8-2．若一个角的补角比这个角的余角的3倍小，求这个角． 【答案】 【分析】此题主要考查了余角和补角，一元一次方程的应用，关键是表示出这个角的余角和补角进行列式． 设这个角为，则它的余角为，补角为，根据题目所给等量关系列出方程，再解方程即可． 【详解】解：设这个角为，则它的余角为，补角为， 依题意得：， 解得． ∴这个角为． 【题型9 同（等）角的余（补）角相等的应用】 【典例9】．如图，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中与不相等的图形为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了余角和补角，根据三角尺摆放位置分析求出与的度数，再判断相等． 【详解】解：A、∵，， ∴，故A不符合题意， B、∵， ∴，故B不符合题意， C、∵，， ∴，故C不符合题意， D、∵，， ∴， ∴，故D符合题意． 故选：D． 变式9-1．如图，是平面镜，为入射光线，为反射光线，根据物理学原理，法线．小欣根据图中条件得到且，又因为反射角等于入射角即，所以推出．小欣推出“”这一步推理的依据是（   ） A．同角的余角相等 B．等角的余角相等 C．同角的补角相等 D．等角的补角相等 【答案】B 【分析】本题考查了垂直定义，等角的余角相等，由，所以，即，，又，根据等角的余角相等得，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即，， 又∵反射角等于入射角即， ∴， 所以这一步推理的依据是等角的余角相等， 故选：． 变式9-2．一副三角尺在下列摆放方式中，一定能确定与两角互余的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了余角的定义，同角的余角相等，三角板中角度的特点，度数之和为90度的两个角互余，据此根据同角的余角相等，平角的定义和三角板中角度的特点逐一判断即可． 【详解】解：A、根据同角的余角相等可得，但不一定有，故不能确定与两角互余，不符合题意； B、根据三角板中角度的特点可得，则，故与两角不互余，不符合题意； C、根据平角的定义和三角板中角度的特点可得，故可以确定与两角互余，符合题意； D、根据平角的定义可得，故与两角不互余，不符合题意； 故选：C． 【题型10 垂线的定义理解】 【典例10】．如图，已知，射线是图中一个角的平分线，则的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、角的和差等知识点，灵活运用分类思想解决问题是解题的关键． 分平分、平分、平分三种情况，分别根据角平分线的定义、角的和差求解即可． 【详解】解：①当平分时， ∵， ∴， ∵平分， ∴； ②当平分时， ∵， ∴； ③当平分时， ∵， ∴， ∴． 综上，的度数为或或． 故答案为：或或． 变式10-1．如图，直线，相交于点，于点，于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题可先根据垂直的定义得到直角，再结合已知角度求出相关角的度数，最后通过角的和差关系计算出的度数． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了知识点垂直的定义与角的和差计算，解题关键是利用垂直关系确定直角，再通过角的和差进行角度推导． 变式10-2．如图，直线相交于点O，，若，求的度数． 【答案】 【分析】此题考查了对顶角的性质、垂直的定义、角的和差等知识．由对顶角相等得，进而得，由垂直定义得，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【题型11 画垂线】 【典例11】．过点向线段所在直线作垂线段，作图正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了作图复杂作图，垂线，注意垂线和垂线段的区别是解题关键． 根据垂线的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、所作直线过点，但不与垂直，作图错误，不符合题意； B、所作直线与垂直，但不经过点，作图错误，不符合题意； C、所作直线过点，且与垂直，但作的是垂线，不是垂线段，作图错误，不符合题意； D、所作直线是过点，且与垂直的垂线段，作图正确，符合题意． 故选：D． 变式11-1．作图题（用无刻度的直尺作图） 如图，已知网格上三点，，，按要求完成下列问题 (1)画出直线，射线． (2)过点画直线的垂线，垂足为；同时过点作出的平行线． (3)比较和的大小：_____，理由是_____； 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)>，垂线段最短 【分析】本题考查了画直线，射线，网格作图，垂线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据直线，射线的定义进行作图即可； （2）结合网格的特征，以及两点确定一条直线，进行作图即可； （3）运用垂线段最短进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：直线，射线如图所示： （2）解：直线的垂线，的平行线，如图所示． （3）解：依题意，由（2）得， ∴，理由是垂线段最短． 变式11-2．如图，点，分别是的边，上的点． (1)过点画的垂线，交于点； (2)过点画的垂线，垂足为，连接； (3)线段的长度是点到______的距离，______的长度是点到直线的距离； (4)线段、的大小关系是______（用“<”号连接）．理由_____． 【答案】(1)图见详解 (2)图见详解 (3)射线，线段 (4)，点到直线的距离，垂线段最短 【分析】本题主要考查垂线的定义及点到直线的距离，熟练掌握垂线的定义及点到直线的距离是解题的关键； （1）根据格点特征及垂线的定义可进行作图； （2）根据格点特征及垂线的定义可进行作图； （3）根据点到直线的距离可进行求解； （4）根据点到直线的距离，垂线段最短可进行求解． 【详解】（1）解：所作图形如图所示： （2）解：所作图形如图所示； （3）解：线段的长度是点到射线的距离，线段的长度是点到直线的距离； 故答案为射线，线段； （4）解：由图可知：，理由是点到直线的距离，垂线段最短； 故答案为，点到直线的距离，垂线段最短． 【题型12 垂线段最短】 【典例12】．如图，中，，，点P是边上的动点，则长不可能是（   ） A． B． C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，理解到的距离为是解题的关键． 根据点到直线的距离，垂线段最短即可求解． 【详解】解：，，， 到的距离为， 点是边上的动点， 则的长不可能是． 故选A． 变式12-1．数学源于生活，又服务于生活，我们要会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界．如图是陈优同学在体育课上跳远后留下的脚印，测量线段的长度即为他的跳远成绩，这样测量的依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．垂线段最短 【答案】D 【分析】本题考查了垂线段的性质，从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段，垂线段最短．利用垂线段最短求解即可． 【详解】解：测量线段的长度即为他的跳远成绩，这样测量的依据是垂线段最短． 故选：D． 变式12-2．投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是 ． 【答案】垂线段最短 【分析】本题主要考查了垂线的性质．根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短求解即可． 【详解】解：若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是垂线段最短， 故答案为：垂线段最短． 【题型13 点到直线的距离】 【典例13】．如图，点在直线上，点，在直线上，，，，，，则下列说法正确的是（   ） A．点到直线的距离等于4 B．点到直线的距离等于4 C．点到的距离等于4 D．点到的距离等于3 【答案】B 【分析】本题考查了点到直线的距离的定义，熟练掌握相关内容是解题的关键； 逐一分析各选项所述是否符合点到直线距离的定义． 【详解】解：A、点C到直线的距离为过点C作的垂线段即AC的长度，则点C到直线的距离为5，错误，不符合题意； B、根据定义，点A到直线的距离为AB的长4，正确，符合题意； C、根据定义，点C到AB的距离为线段BC的长为3，错误，不符合题意； D、根据定义，点B到AC的距离为：，错误，不符合题意； 故选：B． 变式13-1．如图，点是直线l外一点，点、、、在直线l上，于点，在线段、、、中，最短的线段是 ，测量点P到直线l的距离是 （精确到）． 【答案】 【分析】本题考查了线段的性质，掌握垂线段最短是解题关键． 由题意可知，，则最短的线段是，点P到直线l的距离是的长，再测量出的具体数值即可． 【详解】解：由垂线段最短可知，在线段、、、中，最短的线段是， 点P到直线l的距离是的长，测量值为， 故答案为：，． 变式13-2．如图，已知直角三角形ABC中，，，，，点D从点A到点B沿AB方向运动．若，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】点在点时，值最大，当点运动到时，值最小，求出的值即可． 【详解】解：根据题意，当时，取得最小值， 此时； 当点与点重合时，取得最大值，最大值为4． 综上，的取值范围为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了点到直线的距离和直角三角形的性质，根据直角三角形的面积等于两条直角边的乘积的一半，也等于斜边与斜边上的高的积的一半，进行计算． 模块五 过关检测 1．下列图片中，不包含平行线的是（   ） A．双杠 B．电梯扶手 C．彩虹 D．拉直的电线 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线，解题关键是熟练掌握平行线的定义． 根据平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，观察各个选项中的图形，进行判断即可． 【详解】解：A、双杠的两根横杠在同一平面内且永不相交，是平行线，不符合题意； B、电梯扶手在同一平面内且永不相交，是平行线，不符合题意； C、彩虹是弧形的，并不是直线，不满足平行线是直线的条件，所以不包含平行线，符合题意； D、拉直的电线在同一平面内且永不相交，是平行线，不符合题意； 故选：C． 2．若的补角是余角的4倍，则是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了补角和余角的定义，一元一次方程，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据补角和余角的定义，列出方程并求解． 【详解】解：设，则补角为，余角为， ∵补角是余角的4倍， ∴， 展开得， 移项得， 即， ∴， 故， 故选：A． 3．下列说法正确的是（    ） A．将精确到为 B．已知，则的余角为 C．射线和射线是同一条射线 D．的系数是，次数是7 【答案】D 【分析】本题主要考查了近似数的精确度、余角的定义、射线的定义以及单项式的系数与次数，熟练掌握这些概念的定义是解题的关键． 根据近似数、余角、射线、单项式的相关定义，逐一判断每个选项的正误． 【详解】解：∵精确到，需看千分位数字，，应舍去， ∴结果为，不是，故项错误； ∵的余角为−，， ∴余角为−，不是，故项错误； ∵射线的端点是，射线的端点是， ∴二者端点不同，不是同一条射线，故项错误； ∵单项式的系数是数字因数，次数是所有字母指数和， ∴该选项描述正确，故项正确； 故选：． 4．已知点是直线上一点，射线在直线上方，平分平分，，则下列说法：①；②图中互补的角共有6对；③；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线、角的互补以及角的和差关系，通过角平分线计算角度，列举互补角对数，利用等式性质推导角相等以及角的和差关系逐项分析即可． 【详解】解：平分，平分， ，． ， 即． 故①正确． ，，，， ，， ， ． ∴图中互补的角共有9对． 故②错误． ，， ． ． 故③正确． ，， ， ． 故④正确． 故选：C． 5．一个角的补角比它大，则这个角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了补角的知识以及一元一次方程的应用，解决本题的关键是掌握互为补角的两角之和为． 设这个角为x，则其补角为，根据题意补角比它大，列方程求解即可． 【详解】解：设这个角为x， ∴其补角为， ∵补角比它大， ∴ 解得， ∴这个角的度数为． 故选C． 6．如图，，平分，与互余，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，余角的有关计算，根据角平分线的定义得出，再根据余角的定义得出． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∵与互余， ∴， 故选B． 7．将一副直角三角板按不同位置摆放，摆放方式中与互补的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查余角，补角及平角的定义．根据等角的补角相等，同角的余角相等，平角的定义和三角板的度数对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、根据同角的余角相等可得，故本选项不符合题意； B、根据等角的补角相等可得，故本选项不符合题意； C、，与互余，故本选项不符合题意； D、，与互补，故本选项符合题意； 故选：D． 8．如图所示，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，则、、三个角的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角的和差关系．利用正方形的角为直角这一性质，通过角之间的和差关系来推导、、三个角的数量关系即可． 【详解】解：如图： ， ， ， 又， ， ， 故选：C． 9．如图，与互补，是的平分线，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，一元一次方程的应用． 设的度数为，求得，根据，列方程，计算即可求解． 【详解】解：设的度数为， ∵与互补， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴ ，解得，即的度数为， 故答案为：． 10．已知一个角的补角比它的余角的倍大，那么这个角的度数是 度． 【答案】 【分析】本题考查了余角、补角的定义，一元一次方程等知识，设这个角的度数是，则它的补角是，它的余角是，所以，然后求出的值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设这个角的度数是，则它的补角是，它的余角是， 所以， 解得：， 故答案为：． 11．一副三角板按如图方式摆放，若，则的度数为 ． 【答案】/65度 【分析】本题考查角度计算，观察三角板的摆放方式，发现、与一个直角共同组成平角()，利用平角的定义和三角板的直角特征，从而建立角度和的等式求解． 【详解】解：∵两个三角板均为直角三角板， ∴它们的直角顶点重合时，，即． ∵， ∴． 故答案为：． 12．如图，射线、把平角三等分，平分，平分．则的补角有 个，的余角有 个． 【答案】 【分析】本题考查了余角和补角、角平分线定义等知识，熟练掌握余角的定义和角平分线定义是解题的关键．根据已知条件求出有关角的度数，再根据余角和补角的定义求解即可． 【详解】解：∵射线、把平角三等分， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ， ， ∵，，， ∴有个补角，即、、． ∵，，， ∴有个余角，即、、． 故答案为：，． 13．如图，为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，各学习小组经过讨论后得到以下结论：①与互余；②；③与互补；④．则在下列选项中，正确的是 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，互余的定义，互补的定义，角的和差；①由角平分线的定义得，，由角的和差得，由互余及互补的定义即可判断；②同理可得，即可判断；③由角的和差得，，即可判断；④由角的和差得，即可判断；理解角平分线的定义，互余的定义，互补的定义，能熟练用角的和差表示出所求的角是解题的关键． 【详解】解：①平分，平分， ， ， ， ， ， 与互余；故此项正确； ②平分，平分， ， ， 为直角， ， ；故此项正确； ③， ， ， ， ， ， ， 与互补； ， 与不互补，故此项错误； ④平分， 平分， ， ， ， ， ， 故此项正确； 故答案为：①②④． 14．如图，点O是直线上一点，是直角，是的平分线，是的平分线． (1)若，求的度数； (2)猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了角的计算，角平分线的定义． （1）求得，根据角平分线的定义，可求得，利用即可解答； （2）根据角平分线的定义和角的和差得到，，进而根据等角的余角相等，即可求解． 【详解】（1）解：点O是直线AB上一点，， ． 是的平分线， ． 是直角， ； （2）解：，理由如下： 是的平分线， ． ． 是的平分线， ． 是直角， ． ． 15．如图，平分，平分． (1)若，，求的度数； (2)若与互补，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线有关计算，补角的定义，角的和差，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握角平分线定义，补角定义． （1）根据角平分线的定义求出，即可求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，由即可求解； （2）设，根据角平分线的定义得出，进而求出，再根据与互补，列出方程求解得到的值，即可求解． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵， 设， 又∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵与互补， ∴，即， ∴， ∴． 16．如图，将两块直角三角尺的顶点叠放在一起． (1)若，求的度数； (2)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题主要考查余角的定义，三角板中角度的计算等知识，解决本题的关键是理解重叠的部分实质是两个角的重叠． （1）根据角的和差关系进行计算即可； （2）根据角的和差关系进行计算即可． 【详解】（1）解：，， ． 答：的度数为． （2）解：． 理由如下： 因为， 所以，． 所以． 17．阅读理解：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为补角，则称该射线为的“分补线”．如图，点在直线上，、在直线上方，且，则射线是的“分补线” (1)若，且在内部，则_____； (2)若平分，求的度数； (3)若是的平分线，是的平分线，与的数量关系：_____． 【答案】(1)；； (2)； (3)或． 【分析】（1）根据“分补线”的定义与补角定义可得，再由余角定义即可求解； （2）根据“分补线”可得，，根据角平分线的定义可得，由，可得，即得； （3）分两种情况：，或，进行解答即可． 【详解】（1）解：（1）如图，射线是 的“分补线”， ∵， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， （2）如图， ∵是的“分补线”， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）或； 理由：①在外部，即当时， 由于， ∴， ∵是 的平分线，是 的平分线， ∴， ， ∵， ∴； ②在内部，即当时， 由于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴此情况，重合， ∴， ∴． 综上，或． 18．校园数学实践课上，学生们开展角的旋转探究活动．如图，在的内部作射线，使与互补，将射线，同时绕点分别以每秒，每秒的速度按逆时针方向旋转，旋转后的射线，分别记为，，设旋转时间为秒()，且． (1)______°； (2)在旋转的过程中，当时，求的值． 【答案】(1)； (2)当时，的值为或． 【分析】本题考查了补角的定义，角度的和差，一元一次方程的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用互补的定义列式计算； （）分两种情况：当时，当时两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵与互补， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：当时，射线在内部，射线在内部， 由题意，得， ， 解得； 当时，射线在外部(含边界)，射线在内部(含边界)， 由题意，得， 解得， 综上，当时，的值为或． 19．以直线上一点为端点，在直线的上方作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在处，即，且直角三角板在直线的上方． (1)如图，若直角三角板的一边在射线上，则的度数为______； (2)如图，直角三角板的边在的内部，若恰好平分，求此时的度数； (3)在图中，请直接写出与之间的数量关系：______； (4)若，求此时的度数． 【答案】(1) (2) (3) (4)的度数为或． 【分析】本题考查角的基本概念，角的和差运算，角平分线的定义，掌握分类讨论思想是解题关键． （1）用已知的和，结合角的和差关系    直接计算即可； （2）先由平角定义求出，再利用角平分线的定义，得到，代入角度计算即可； （3）分别根据、，写出、与的和差关系，再消去，推导两者的数量关系； （4）先设，结合表示出，再根据的位置分类讨论，利用平角、直角的和差关系列方程，求解后得到的度数． 【详解】（1）解：， ， ， ． （2）解：， ， 平分， ． （3）解：，， ，， 两式相减得， ． （4）解：设，则， 分两种情况讨论： 当在内部，则， ， ，即， ； 当在外部，则， ， ，即， ． 综上，或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1两条直线的位置关系寒假预习讲义 （3知识点+13大题型+过关检测） 模块一 题型先知导航 【题型1 平面内两直线的位置关系】 3 【题型2 立体图形中平行的棱】 4 【题型3 相交线】 5 【题型4 对顶角的定义】 5 【题型5 对顶角相等】 6 【题型6 求一个角的余角】 6 【题型7 求一个角的补角】 7 【题型8 与余角、补角有关的计算】 7 【题型9 同（等）角的余（补）角相等的应用】 7 【题型10 垂线的定义理解】 8 【题型11 画垂线】 9 【题型12 垂线段最短】 10 【题型13 点到直线的距离】 11 模块二 预习目标导航 1. 明确同一平面内两条直线的位置关系只有相交和平行两种，能区分相交线（有唯一公共点）与平行线（无公共点）。 2. 理解对顶角（有公共顶点且两边互为反向延长线）、余角（和为 90°）、补角（和为 180°）的概念，能在图形中准确识别。 3. 掌握对顶角相等，同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等的性质，会用这些性质进行简单角度计算与推理。 4. 能结合生活实例抽象出相交线、平行线及相关角的模型，初步学会几何语言描述。 模块三 知识点梳理 【知识点1 相交线】 相交线：如果两条直线只有一个公共点,就说这两条直线相交，该公共点叫做两直线的交点。如直线AB、CD相交于点O。 A D C O B 对顶角：两条直线相交出现对顶角。顶点相同，角的两边互为反向延长线.，满足这种关系的角，互为对顶角，对顶角相等。对顶角是成对出现的。 邻补角：有一条公共边，角的另一边互为反向延长线.满足这种关系的两个角，互为领补角。 【知识点2 余角和补角】 一、余角 1. 定义：如果两个角的和等于90∘（直角），那么这两个角互为余角，简称 “互余”。核心：① 仅与角度和有关，与位置无关；② 成对出现（单独一个角无 “余角” 说法）。例：∠1=30∘，∠2=60∘，则∠1与∠2互余；∠3=45∘，则∠3的余角为45∘。 2. 几何语言：∵∠1+∠2=90∘，∴∠1与∠2互为余角（反之亦然）。 补角 1. 定义：如果两个角的和等于180∘（平角），那么这两个角互为补角，简称 “互补”。核心：① 仅与角度和有关，与位置无关；② 成对出现。例：∠1=50∘，∠2=130∘，则∠1与∠2互补；∠3=90∘，则∠3的补角为90∘。 2. 几何语言：∵∠1+∠2=180∘，∴∠1与∠2互为补角（反之亦然）。 二、余角和补角的性质（核心定理） 1. 同角的余角相等：若∠1+∠2=90∘，∠1+∠3=90∘，则∠2=∠3。 2. 等角的余角相等：若∠1+∠2=90∘，∠3+∠4=90∘，且∠1=∠3，则∠2=∠4。 3. 同角的补角相等：若∠1+∠2=180∘，∠1+∠3=180∘，则∠2=∠3。 4. 等角的补角相等：若∠1+∠2=180∘，∠3+∠4=180∘，且∠1=∠3，则∠2=∠4。 核心总结：同角 / 等角的余角、补角均相等，此性质是角度计算的重要依据。 三、常用推论与计算技巧 1. 一个角的补角比它的余角大90∘：推导：设这个角为x，则补角为180∘−x，余角为90∘−x，(180∘−x)−(90∘−x)=90∘。 2. 直角的补角是直角，锐角的余角是锐角，钝角无余角（余角要求两角和为90∘，钝角大于90∘）。 3. 对顶角的补角相等：由对顶角相等 + 等角的补角相等推导可得。 四、几何语言规范（初中几何基础） 1. 平行：a∥b，读作 “a平行于b”； 2. 垂直：a⊥b，读作 “a垂直于b”，垂足为O则记为 “a⊥b于O”； 3. 对顶角相等：∵AB、CD相交于O，∴∠AOC=∠BOD； 4. 互余：∵∠1+∠2=90∘，∴∠1与∠2互余； 5. 互补：∵∠1+∠2=180∘，∴∠1与∠2互补。 【知识点3 垂线】 垂直：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足。 从垂直的定义可知，判断两条直线互相垂直的关键：要找到两条直线相交时四个交角中一个角是直角。 垂直的表示：用“⊥”和直线字母表示垂直 垂直的书写形式： 如图，当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90°时，AB⊥CD，垂足为O。 书写形式： ∵∠AOD=90°（已知）D A O ∴AB⊥CD（垂直的定义） 反之，若直线AB与CD垂直，垂足为O，那么，∠AOD=90°。 书写形式：C ∵ AB⊥CD （已知） ∴ ∠AOD=90° （垂直的定义）B 应用垂直的定义：∠AOC=∠BOC=∠BOD=90° 垂线的画法： 如图，已知直线 l 和l上的一点A ,作l的垂线. 则所画直线AB是过点A的直线l的垂线. B A l 工具：直尺、三角板 1放:放直尺,直尺的一边要与已知直线重合; 2靠:靠三角板,把三角板的一直角边靠在直尺上; 3移:移动三角板到已知点; 4画线:沿着三角板的另一直角边画出垂线. 垂线的性质： 1、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 2、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短,或说成垂线段最短。直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 模块四 题型汇总 【题型1 平面内两直线的位置关系】 【典例1】．下列图形中，不平行于的是（    ） A． B． C． D． 变式1-1．如图，直线和直线的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．垂直 D．不平行也不相交 变式1-2．如图，在直线中，可能与直线平行的是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【题型2 立体图形中平行的棱】 【典例2】．一个五棱柱中，互相平行的棱最多有（   ）对． A．10 B．15 C．20 D．23 变式2-1．一个四棱柱的棱中，平行的棱至少有（   ）对． A．2 B．4 C．6 D．10 变式2-2．如图，这是一个正方体． (1)写出三对互相平行的棱，用符号表示并指出它们之间的距离． (2)在正方形中可以找出几对互相垂直的边？ 【题型3 相交线】 【典例3】．平面内三条直线的交点个数可能有（   ） A．1个或3个 B．2个或3个 C．1个或2个或3个 D．0个或1个或2个或3 变式3-1．如图，直线交于点，若，则与的度数之和为（　　） A． B． C． D． 变式3-2．“直线与射线相交于点O”，画图正确的是（　　） A． B． C． D． 【题型4 对顶角的定义】 【典例4】．下面四个图形中，与是对顶角的图形是（    ） A． B． C． D． 变式4-1．下列图形中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 变式4-2．如图，直线、、相交于一点O，对顶角一共有 对． 【题型5 对顶角相等】 【典例5】．如图，直线、相交于点，于，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 变式5-1．如图，直线、相交于点，平分，，则 变式5-2．如图，直线，相交于点，，，则的度数为 ． 【题型6 求一个角的余角】 【典例6】．若，则它的余角的大小为（   ） A． B． C． D． 变式6-1．已知一个角等于，则这个角的余角等于 ． 变式6-2．如图，一副直角三角尺按如图所示的方式摆放，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【题型7 求一个角的补角】 【典例7】．已知，则的补角等于 ． 变式7-1．若，则的补角的度数为 ． 变式7-2．若的补角等于，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【题型8 与余角、补角有关的计算】 【典例8】．一个角的余角是该角度数的2倍，则该角的补角为 度． 变式8-1．已知一个角的补角比它的余角的3倍少，则这个角等于 ． 变式8-2．若一个角的补角比这个角的余角的3倍小，求这个角． 【题型9 同（等）角的余（补）角相等的应用】 【典例9】．如图，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中与不相等的图形为（   ） A． B． C． D． 变式9-1．如图，是平面镜，为入射光线，为反射光线，根据物理学原理，法线．小欣根据图中条件得到且，又因为反射角等于入射角即，所以推出．小欣推出“”这一步推理的依据是（   ） A．同角的余角相等 B．等角的余角相等 C．同角的补角相等 D．等角的补角相等 变式9-2．一副三角尺在下列摆放方式中，一定能确定与两角互余的是（　　） A． B． C． D． 【题型10 垂线的定义理解】 【典例10】．如图，已知，射线是图中一个角的平分线，则的度数为 ． 变式10-1．如图，直线，相交于点，于点，于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 变式10-2．如图，直线相交于点O，，若，求的度数． 【题型11 画垂线】 【典例11】．过点向线段所在直线作垂线段，作图正确的是（   ） A． B． C． D． 变式11-1．作图题（用无刻度的直尺作图） 如图，已知网格上三点，，，按要求完成下列问题 (1)画出直线，射线． (2)过点画直线的垂线，垂足为；同时过点作出的平行线． (3)比较和的大小：_____，理由是_____； 变式11-2．如图，点，分别是的边，上的点． (1)过点画的垂线，交于点； (2)过点画的垂线，垂足为，连接； (3)线段的长度是点到______的距离，______的长度是点到直线的距离； (4)线段、的大小关系是______（用“<”号连接）．理由_____． 【题型12 垂线段最短】 【典例12】．如图，中，，，点P是边上的动点，则长不可能是（   ） A． B． C．6 D．8 变式12-1．数学源于生活，又服务于生活，我们要会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界．如图是陈优同学在体育课上跳远后留下的脚印，测量线段的长度即为他的跳远成绩，这样测量的依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．垂线段最短 变式12-2．投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是 ． 【题型13 点到直线的距离】 【典例13】．如图，点在直线上，点，在直线上，，，，，，则下列说法正确的是（   ） A．点到直线的距离等于4 B．点到直线的距离等于4 C．点到的距离等于4 D．点到的距离等于3 变式13-1．如图，点是直线l外一点，点、、、在直线l上，于点，在线段、、、中，最短的线段是 ，测量点P到直线l的距离是 （精确到）． 变式13-2．如图，已知直角三角形ABC中，，，，，点D从点A到点B沿AB方向运动．若，则x的取值范围是 ． 模块五 过关检测 1．下列图片中，不包含平行线的是（   ） A．双杠 B．电梯扶手 C．彩虹 D．拉直的电线 2．若的补角是余角的4倍，则是（    ） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（    ） A．将精确到为 B．已知，则的余角为 C．射线和射线是同一条射线 D．的系数是，次数是7 4．已知点是直线上一点，射线在直线上方，平分平分，，则下列说法：①；②图中互补的角共有6对；③；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．一个角的补角比它大，则这个角的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，，平分，与互余，则的度数为（　　） A． B． C． D． 7．将一副直角三角板按不同位置摆放，摆放方式中与互补的是（   ） A． B． C． D． 8．如图所示，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，则、、三个角的数量关系为（   ） A． B． C． D． 9．如图，与互补，是的平分线，，则的度数为 ． 10．已知一个角的补角比它的余角的倍大，那么这个角的度数是 度． 11．一副三角板按如图方式摆放，若，则的度数为 ． 12．如图，射线、把平角三等分，平分，平分．则的补角有 个，的余角有 个． 13．如图，为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，各学习小组经过讨论后得到以下结论：①与互余；②；③与互补；④．则在下列选项中，正确的是 ． 14．如图，点O是直线上一点，是直角，是的平分线，是的平分线． (1)若，求的度数； (2)猜想与之间的数量关系，并说明理由． 15．如图，平分，平分． (1)若，，求的度数； (2)若与互补，，求的度数． 16．如图，将两块直角三角尺的顶点叠放在一起． (1)若，求的度数； (2)比较与的大小，并说明理由． 17．阅读理解：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为补角，则称该射线为的“分补线”．如图，点在直线上，、在直线上方，且，则射线是的“分补线” (1)若，且在内部，则_____； (2)若平分，求的度数； (3)若是的平分线，是的平分线，与的数量关系：_____． 18．校园数学实践课上，学生们开展角的旋转探究活动．如图，在的内部作射线，使与互补，将射线，同时绕点分别以每秒，每秒的速度按逆时针方向旋转，旋转后的射线，分别记为，，设旋转时间为秒()，且． (1)______°； (2)在旋转的过程中，当时，求的值． 19．以直线上一点为端点，在直线的上方作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在处，即，且直角三角板在直线的上方． (1)如图，若直角三角板的一边在射线上，则的度数为______； (2)如图，直角三角板的边在的内部，若恰好平分，求此时的度数； (3)在图中，请直接写出与之间的数量关系：______； (4)若，求此时的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $