2.1 两条直线的位置关系（第1课时 对顶角、补角、余角概念和性质）（教学课件）数学新教材北师大版七年级下册

2.1 两条直线的位置关系 第1课时 对顶角、补角和余角 第二章 相交线与平行线 北师大版（新教材）·七年级下册 学 习 目 标 1 2 3 （1）知道同一平面内两条直线的位置关系：相交、平行。理解对顶角、余角、补角的定义，能在图形中正确识别。掌握：对顶角相等；同角（等角）的余角相等；同角（等角）的补角相等。能利用概念和性质进行简单角度计算与说理。 （2） 经历观察—操作—猜想—验证—归纳的过程，体会几何研究的一般思路。初步学会用几何语言进行简单表达和推理。 （3）感受几何与生活的联系，培养严谨、规范的学习习惯。 章前引言 山川、道路、房屋、桥梁......在这些大自然的杰作和人类的创造物中，蕴含着大量的基本平面图形，如我们已经研究过的线段、射线、直线、角等。生活中哪些物体或图案给我们以直线的形象?这些直线又有怎样的关系? 本章将研究两条直线的位置关系，探索直线平行的条件，以及平行线的性质，并运用相交线与平行线的有关结论解决简单的实际问题。在这一过程中，你将经历对简单几何图形的观察与操作、想象与推理等过程，初步养成重论据的思维习惯，进一步增强合乎逻辑地表达与交流的意识，发展几何直观与推理能力等。 3 章前引言 你是借助什么来判断两条直线垂直、平行等位置关系的?为什么? 你认为可以从哪些方面研究平面图形以及它们之间的关系? 在本章学习过程中，你可以持续思考以下问题 4 导入新课 观察下列图片，你认为同一平面内两条直线有哪些位置关系？ 平 行 相 交 平 行 剪刀 新知探究 探究点1 认识两条直线的位置关系 议一议 观察下列图片，你能说说两条直线相交和平行的条件吗？ 乡村农田的道路 大桥拉索 铁轨枕木 同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有两种：相交和平行 平行 相交 在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线。 若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线。 注意：相交和平行都指在同一平面内的两直线位置 观察•交流 议一议 1.两条直线相交，形成了哪几个角？ A B C D O 1 2 3 4 • 探究点2 探究对顶角 形成四个角： ∠1，∠2，∠3，∠4. 2.图中∠1和∠2位置上有什么关系？ 学生活动： 画两条相交直线AB和CD，交于点O，标注交角 有公共顶点 两个角共享同一个顶点 （如图中的点 O） 两边互为反向延长线 一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线（如 OA 与 OB，OC 与 OD）。 对顶角 1 3 2 4 A B D O 对顶角特点： 归一归 观察•交流 探究点2 探究对顶角 3.说一说对顶角定义： 对顶角 有一个公共顶点，且两边分别互为反向延长线的两个角，互为对顶角 1、有公共顶点 2、没有公共边 3、两边互为反向延长线 A B C D O 1 2 3 4 • 4. 图中还有其它对顶角吗？ 有，∠3和∠4. 观察•思考 探究点2 探究对顶角 议一议 A B C D O 1 2 3 4 • 5.对顶角大小有什么关系？ 观察与猜想：对顶角相等。 6.怎样用几何语言表述对顶角性质？ ∵直线AB、CD相交于点O， ∴∠1=∠2，∠3=∠4。 7.你能说出对顶角相等的理由吗？ 解：∵直线AB与CD相交于O点, ∴∠1+∠2=180° ∠2+∠3=180°， ∴∠1=∠3. 同理可得：∠2=∠4. 新知探究 探究点3 余角与补角的概念和性质 议一议 1.∠1和∠3有怎样数量关系？∠2和∠3呢？ 1 3 2 4 A B C D ∠1 与∠3有一条公共边OC，它们的另一边互为反向延长线， O 所以 ∠1 +∠3=180° 补 角 如果两个角的和是180°（平角），那么称这两个角互为补角。简称互补 几何语言：若 ∠α + ∠β =180°，则互补 ∠1和∠3 ∠3和∠2 ∠2和∠4 ∠4和∠1 互为补角 观察•思考 探究点3 余角与补角的概念和性质 议一议 2.图中AB⊥CD，AB，CD，EF相交于点O，则∠1与∠2 有什么关系？ 由垂直定义可得： ∠1 ＋∠2＝90° E A 2 B C D F 1 O 余 角 如果两个角的和是90°（直角角），那么称这两个角互为余角。简称互余 几何语言：若 ∠α + ∠β =180°，则互补 思考•交流 探究点3 余角与补角的概念和性质 议一议 3.若∠1 + ∠3 = 180°，∠2 + ∠3 = 180°，则∠1与∠2有什么关系？试讨论后归纳出结论。 由等量代换可得： ∠1=∠2，即同角的补角相等 4.若∠1 + ∠3 = 90°，∠2 + ∠3 = 90°，则∠1与∠2有什么关系？试讨论后归纳出结论。 由等量代换可得： ∠1=∠2，即同角的余角相等 结论：同角的补角（余角）相等 思考•交流 探究点3 余角与补角的概念和性质 5.如图，打台球时，选择适当的方向用白球击打红球，反弹后的红球会直接入袋，此时，∠1=∠2。 如图，ON与DC相交所成的∠DON和∠CON都等于90°，且∠1=∠2。 议一议 (1)请在右图中找出互为补角和互为余角的角，并说说你的理由。 物理现象：台球撞击桌边反弹时，入射角 ∠1 = 反射角 ∠2 解：(1) 互为补角： ∠1 与∠AOC，∠2与∠BOD，∠DON 与∠CON； 互为余角：∠1 与 ∠3，∠2 与∠3，∠2 与∠4，∠1与∠4. 思考•交流 探究点3 余角与补角的概念和性质 5.如图，打台球时，选择适当的方向用白球击打红球，反弹后的红球会直接入袋，此时，∠1=∠2。 如图，ON与DC相交所成的∠DON和∠CON都等于90°，且∠1=∠2。 议一议 物理现象：台球撞击桌边反弹时，入射角 ∠1 = 反射角 ∠2 (2)∠3与∠4的大小有什么关系？∠AOC与∠BOD呢？你能说明理由吗？与同伴进行交流。 因为 ∠1+∠3=90°， ∠2+∠4=90° 又因为 ∠1=∠2 所以 ∠3=∠4 因为∠AOC=∠AOB+∠BOC 又因为∠BOC =∠AOD 所以 ∠AOC = ∠BOD ∠BOD=∠AOB+∠AOD 同角(或等角)的补角相等，同角(或等角)的余角相等。 典例分析 例1.在下图中，是对顶角的图形是（    ） A． B． C． D．    解:由对顶角的定义可知：只有选项C符合题意；故选C． 例2.如图，直线相交，，求的度数. 解:：由和互为邻角，得 . 由对顶角相等，得 ，. C 例3.如图，直线a，b，c两两相交，，．求的度数． 解：， 答：的度数为． 典例分析 新知巩固 1.如图所示，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数。请指出所量角的度数，并说明理由。 解：根据对顶角的性质可知所量角的度数是40°。 【教材P36 页】 40° 随堂练习 新知巩固 2.①因为∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°， 所以∠1=____，理由是______________________。 ② 因为∠1+∠2=180°，∠2+∠3=180°，所以∠1=____，理由是______________________。 ∠3 同角的余角相等 ∠3 同角的补角相等 随堂练习 新知巩固 3.如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOB，OB平分∠DOF，若∠DOE=50°，求∠DOF的度数。 解：因为AB为直线，OE平分∠AOB， 所以∠AOE=∠BOE=90°， 因为∠DOE=50°， 所以∠DOB=40°。 因为OB平分∠DOF， 所以∠DOB=∠FOB=40°， 所以∠DOF=80°。 50° 新知巩固 (1)图中∠AOC的对顶角是________，∠EOB的补角是________。 ∠BOD ∠AOE 4.如图，直线AB、CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分。 解：因为∠AOC=70°， 所以∠BOD=∠AOC=70°， 因为∠BOE∶∠EOD=2∶3， 所以∠BOE=28°， 所以∠AOE=180°－28°=152°。 （2）若∠AOC=70°，且∠BOE∶∠EOD=2∶3，求∠AOE的度数。 70° 拓展提升 1．如图，直线、相交于点，，平分，若，求及的度数． 解：，， . . . 平分， . 真题感知 1.（2025-2026淮南校考）下列说法正确的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．成对顶角的两个角不可能是直角 C．三条直线相交于同一点，共可构成6对对顶角 D．若，则与是对顶角 解： A，对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故该选项错误，不符合题意； B，对顶角可以是直角，故该选项错误，不符合题意； C，三条直线相交于同一点，每两条直线构成2对对顶角，共构成对对顶角； D，相等的角不一定是对顶角，故该选项错误，不符合题意； C 真题感知 2.（2025七年级上·福建福州·开学考试）下面四个图形中， 能判断的是（   ） A． B． C． D． 解.与是对顶角，故，故符合题意； .且，故不符合题意； .，故不符合题意； .是三角形的外角，所以，故不符合题意． 真题感知 3.(2025揭阳统考)如图，直线，，相交于点． (1)写出，的邻补角； (2)写出，的对顶角. （1）解：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，由图及题意可知： 的邻补角是，； 的邻补角是：，； （2）的对顶角是，的对顶角是. 真题感知 4.（2025济南校统测）如图，直线相交于点O，平分．若，求的度数． 解：∵平分， ∴， 又∵，， ∴． ∴． 课堂小结 （1）几何学习三步：识图→找关系→用性质。 （2）研究思路：观察→猜想→验证→归纳→应用。 知识总结： （1）同一平面内两直线位置关系：相交、平行。 （2）对顶角：有公共顶点，两边互为反向延长线； （3）对顶角相等。 （4）互余：两角和为90°；互补：两角和为180°。 （5）互余或互补性质：同角（等角）的余角相等；同角（等角）的补角相等。 方法总结： （1）互余、互补只看度数和，不看位置。 （2）对顶角一定由两条直线相交形成。 （3）不要把“补角”和“邻补角”当成同一个概念。 易错提醒： 互余 互补 两角间的数量关系 对应图形 性质 同角（或等角）的 余角相等 同角（或等角）的 补角相等 对顶角的性质： 两个角的和是90° 两个角的和是180° 对顶角相等. 课堂小结 课后练习 教材第39页. 1.如图，直线a，b相交，∠1=38°，求∠2，∠3，∠4的度数。 a b 1 2 4 3 解： 因为 ∠1=38°， 所以 ∠3=∠1=38°， 所以 ∠2=180°-∠1=142°， 所以 ∠4= ∠2 =142°。 习题2.1 课后练习 2.请举出一些日常生活中线段互相垂直的实例。 教材第39页 习题2.1 课后练习 4.互为补角的两个角可以都是锐角吗？为什么？可以都是直角吗？可以都是钝角吗？ 答：根据补角的定义知，互补的两个角度数和为180°， 所以互为补角的两个角不可以都是锐角； 可以都是直角； 不可以都是钝角。 教材第39页 习题2.1 谢谢聆听 $