1.3乘法公式寒假预习讲义（2知识点+8大题型+过关检测）2025-2026学年北师大版数学七年级下册

1.3乘法公式寒假预习讲义 （2知识点+8大题型+过关检测） 模块一 题型先知导航 【题型1 运用平方差公式进行运算】 1 【题型3 运用完全平方公式进行运算】 5 【题型4 完全平方公式在几何图形中的应用】 6 【题型5 整式乘法混合运算】 8 【题型6 化简求值】 9 【题型7 通过对完全平方公式变形求值】 11 【题型8 求完全平方式中的字母系数】 13 模块二 预习目标导航 知识目标 1. 经历平方差、完全平方公式的推导过程，理解公式的代数意义与几何背景，建立数形结合认知。 2. 准确识记两个公式的文字表述、字母表达式，区分结构特征，避免混用、错用。 3. 能根据公式结构，直接套用进行简单整式乘法计算、化简与简便运算。 能力目标 1. 掌握 “观察结构→判断公式→代入计算” 的解题步骤，提升运算准确性与速度。 2. 识别公式中a、b 可代表数、单项式、多项式的整体代换思想，初步处理变式题型。 3. 能辨析易混易错点，规范书写，养成验算习惯。 素养目标 发展符号意识、几何直观、运算能力与模型观念，体会公式简化运算的价值。 模块三 知识点梳理 【知识点 1：平方差公式】 1. 公式内容字母式：(a+b)(a−b)= 文字：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 2. 结构特征 左边：两个二项式相乘，一项完全相同，一项互为相反数 右边：相同项的平方 − 相反项的平方 a、b 可为常数、单项式、多项式。 3. 几何意义：用大正方形减小正方形面积，直观验证 “和乘差 = 平方差”。 4. 易错警示 只有 “同项 + 反项” 的二项式相乘才可用，不可乱套用于任意两项相乘。 顺序固定：同项平方减反项平方，不可颠倒。 【知识点 2：完全平方公式】 1. 公式内容和的平方：差的平方： 文字：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的 2 倍。 2. 结构特征 左边：二项式的完全平方 右边：二次三项式，首、尾为两项平方，中间为两项积的 2 倍，符号与左边一致 口诀：首平方，尾平方，首尾两倍中间放，符号跟着左边走。 3. 几何意义：通过大正方形、小正方形与矩形面积拼接，直观推导公式成立。 4. 常用变形（预习必记） 5. 易错警示 严禁写成：(a±b)2=a2±b2（漏 “2 倍积” 项，高频错） 中间项系数是 2，符号由左边两项符号决定：同号为正，异号为负。 模块四 题型汇总 【题型1 运用平方差公式进行运算】 【典例1】．下列各式可以利用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平方差公式，平方差公式适用于形式为的表达式，即两项中一项相同，另一项互为相反数，据此特点逐一判断即可． 【详解】解：A、，无相同项和相反项，不可用平方差公式计算，不符合题意； B、，不符合题意平方差公式的特点，不可用平方差公式计算，不符合题意； C、，不符合题意平方差公式的特点，不可用平方差公式计算，不符合题意； D、，相同项为和，相反项为和，可用平方差公式计算，符合题意． 故选：D． 变式1-1．已知，，则的值为（    ） A．2 B．8 C．16 D．32 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式的变形应用是解题的关键． 利用平方差公式将已知条件转化为关于的方程，然后求解． 【详解】解：∵，且 ， ∴， ∴． 故选：B． 变式1-2．运用平方差公式计算： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3)2499 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提． （1）根据平方差公式直接进行计算即可； （2）将原式变为，再利用平方差公式进行计算即可； （3）将原式变为，再利用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【题型2 平方差公式与几何图形】 【典例2】．如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形，根据图形能验证的等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用几何方法验证平方差公式，解决问题的关键是根据拼接前后不同的几何图形的面积不变得到等量关系．边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后的面积为，新的图形面积等于，由于两图中阴影部分面积相等，即可得到结论． 【详解】解：左边阴影部分的面积为，右边阴影部分的面积为， ∵前后两个图形中阴影部分的面积相等， ∴验证的等式为， 故选∶C． 变式2-1．如图，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，把余下的部分组成一个长方形如图，根据两个图形中阴影部分的面积相等可以验证的等式是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． 用代数式分别表示图形中阴影部分的面积即可． 【详解】解：根据图可将阴影部分面积看成两个正方形的面积差，即， 根据图可将阴影部分面积看成一个长为，宽为的长方形面积，即． ∵两个图形中阴影部分的面积相等， ． 故选：B． 变式2-2．【探究】（1）如图1，一个边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，我们可以得到乘法公式：______________（用含a，b的等式表示）． 【应用】请应用这个公式完成下列各题： （2）已知，，则的值为_______． （3）计算：． 【拓展】（4）计算：． 【答案】（1）；（2）3；（3）；（4） 【分析】本题考查了平方差公式与几何图形，根据平方差公式进行计算，掌握平方差公式是解题的关键． （1）根据题意，两个图形的面积相等，得到乘法公式； （2）根据平方差公式进行计算即可求解； （3）根据平方差公式进行计算即可求解； （4）根据平方差公式进行计算，然后根据有理数的混合运算进行计算即可求解． 【详解】解：（1）； （2）∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3； （3） ； （4） ． 【题型3 运用完全平方公式进行运算】 【典例3】．已知，则代数式的值是 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查完全平方公式，代数式求值，掌握完全平方公式的运算法则是解题的关键，注意整体思想的运用．先将已知条件变形得到，再将代数式通过完全平方公式变形为，最后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选：B． 变式3-1．计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查完全平方公式的应用，通过观察表达式结构，将其转化为完全平方形式以简化计算． 【详解】解：原式 ． 故答案为：1. 变式3-2．已知．求 ． 【答案】 34 【分析】本题考查完全平方公式的应用，能够熟练运用完全平方公式是解题关键； 由已知方程变形得到 ，然后利用完全平方公式求值． 【详解】解：∵， ∴ ， 即 ． 则 ． 故答案为： 34． 【题型4 完全平方公式在几何图形中的应用】 【典例4】．如图是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，左边大正方形的边长为，面积为，由边长为的正方形，个长为宽为的长方形，边长为的正方形组成，根据面积相等即可得出答案．熟练掌握完全平方公式的几何背景的计算方法进行求解是解题的关键． 【详解】解：根据题意，大正方形的边长为，面积为， 又∵大正方形可看作由边长为的正方形，个长为宽为的长方形，边长为的正方形组成， ∴． 故选：A． 变式4-1．如图，长方形的周长是，分别以为边向外作正方形和正方形．当长方形的面积为时，正方形和正方形的面积之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了图形的面积与完全平方公式，熟练掌握矩形的面积，周长的计算公式，正方形的面积，两数和的完全平方公式是解题的关键．用矩形的长和宽分别表示矩形的周长和面积，正方形的面积和，从而运用完全平方公式的变形计算即可． 【详解】解：设，， ∵长方形的周长是，长方形的面积为 ∴，， ∴， 故选：A． 变式4-2．用四个完全一样的长方形（长、宽分别设为a、b，）拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积为81，中间空缺的小正方形的面积为9，那么下列关系式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．用代数式表示图形中各个部分的面积，再由图形中面积之间的和差关系逐项进行判断即可． 【详解】解：∵大正方形的面积为81，中间空缺的小正方形的面积为9， ∴，， 又∵， ∴，， 解得，， ∴，， 因此选项D符合题意， 故选：D． 【题型5 整式乘法混合运算】 【典例5】．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据单项式乘多项式运算法则进行计算，再合并同类项即可； （2）根据平方差公式和完全平方公式，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式5-1．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则以及运算顺序是解此题的关键． （1）先计算幂的乘方，再计算单项式乘以单项式即可得解； （2）先计算幂的乘方，再计算单项式乘以单项式，最后计算加减即可得解． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 变式5-2．计算：． 【答案】 【分析】此题考查了完全平方公式、平方差公式和单项式乘以多项式，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算完全平方公式、平方差公式和单项式乘以多项式，然后合并即可． 【详解】解： ． 【题型6 化简求值】 【典例6】．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】此题考查了整式的混合运算和化简求值，利用完全平方公式和单项式乘以多项式展开，再合并同类项得到化简结果，再把字母的值代入计算即可． 【详解】解： 当，时， 原式 变式6-1．先化简，再求值： (1)，其中，； (2)，其中． 【答案】(1)；64 (2)；-22 【分析】（1）先根据整式的混合运算法则化简，再把，代入化简后的结果中计算即可； （2）先根据整式的混合运算法则化简，再把代入化简后的结果中计算即可. 【详解】解：（1）原式． 当，时，原式． （2）原式 ． 当时，原式． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算、代数式求值等知识点，灵活运用整式的混合运算法则化简成为解题的关键. 变式6-2．先化简，再求值：，其中，． 【答案】 ， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据多项式乘以多项式和单项式乘以多项式的运算法则以及完全平方公式去括号，然后合并同类项化简，最后代入求值即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 【题型7 通过对完全平方公式变形求值】 【典例7】．已知，则（   ） A．21 B．25 C．19 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了完全平方公式．利用完全平方公式的变形，直接代入已知值计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴． 故选：A 变式7-1．若，且． (1)求的值； (2)求的值； 【答案】(1)3 (2)10 【分析】本题考查了完全平方公式的变形，多项式乘多项式，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据多项式乘多项式的运算法则得，又因为，故，即可作答． （2）把，代入，进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 则， ∵， ∴； （2）解：由（1）得， ∵ ∴ ． 变式7-2．完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：，， ，， 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，，则的值为_____________； (2)若，，求的值； 【答案】(1) 12 (2) 4 【分析】本题考查通过对完全平方公式变形求值，已知式子的值，求代数式的值． （1）将，代入完全平方公式，即可得的值； （2）由，，可得，结合完全平方公式，即可得的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：12． （2）解：∵， ∴， ∴, ∵， ∴ ∴， ∴ ， ∴的值为． 【题型8 求完全平方式中的字母系数】 【典例8】．如果多项式是完全平方式，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方式，根据完全平方式的定义，比较系数之间的关系求解． 【详解】解：， 是完全平方式， ， ， ． 故选：D． 变式8-1．已知关于的多项式是完全平方式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式相等的条件，完全平方公式，掌握多项式相等时对应项系数相等是解题的关键． 根据完全平方式的结构，通过比较系数求解． 【详解】解：设完全平方式为 = ，与给定多项式 对比得 ， 解得 ，则 ． 故答案为：． 变式8-2．配方法是将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法． (1)若能用配方法变形为一个完全平方式，则__________． (2)若一个关于的二次三项式，通过配方法变形后能写成，且，则称这个二次三项式为“配方法定形数”，其中为“特征点”．若是配方法定形数，且其“特征点”满足，求的值． 【答案】(1)7或 (2)或 【分析】本题主要考查配方法的应用，熟练掌握配方的意义是解答本题的关键． （1）利用完全平方公式的结构特征判断即可求出a的值； （2）根据“配方法定形数”和“特征点”的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵是完全平方式， ∴， 解得或； 故答案为：7或； （2）解：∵， 则， ． ， ， 则；     当时，即 （舍去）， 当时，即 （舍去），， 综上所述：或， 即或 模块五 过关检测 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了合并同类项，完全平方公式，同底数幂的除法运算，单项式乘以单项式运算，解题的关键是熟练掌握计算公式． 根据合并同类项法则，完全平方公式，同底数幂的除法运算法则，单项式乘以单项式运算法则分别判断即可． 【详解】解：A、和不是同类项，不能直接相减，故A错误； B、，故B错误； C、 ，故C错误； D、，符合运算法则，故D正确， 故选：D． 2．下列各式可以用平方差公式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式，根据判断各选项即可． 【详解】解：A．，为完全平方的相反数，不符合题意； B．，符合题意； C．，无相同项或互为相反数的项，不符合题意； D．，为完全平方的相反数，不符合题意； 故选 ：B． 3．如图，有A、B、C三种不同型号的卡片，每种各8张．A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻两边长分别为a，b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，从中取出若干张卡片（每种卡片至少一张），把取出的这些卡片拼成一个大正方形，则所有能够拼成符合要求的大正方形的个数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】考查完全平方公式的意义和应用，面积法表示完全平方公式是得出答案的前提．每一种卡片8张，并且每种卡片至少取1张，因此拼成的正方形的边长可以为：，，，四种情况． 【详解】解：∵每一种卡片8张，并且每种卡片至少取1张，拼成的正方形， ∴正方形的边长可以为：，，，四种情况； （注意每一种卡片至少用1张，至多用8张） 即：，需要A卡片1张，B卡片2张，C卡片1张； ，需要A卡片1张，B卡片4张，C卡片4张； ，需要A卡片1张，B卡片6张，C卡片9张，大于8张，不合题意；同理也不合题意； ，需要A卡片4张，B卡片4张，C卡片1张； ，需要A卡片4张，B卡片8张，C卡片4张； 故选：B． 4．已知，，，那么式子的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式及应用，熟记完全平方公式是解题的关键．利用恒等式将原式转化为平方和形式，结合的差值计算． 【详解】解： ，，， ， ， ， ∴原式=． 故选：C． 5．王老师让同学们从两个盒子中各抽取一张卡片，李华抽到的两张卡片上分别是，，要使这两个整式相等，则的值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了多项式相等的条件，完全平方公式，掌握多项式相等时对应项系数相等是解题的关键． 根据多项式相等的条件，对应项系数相等，列出方程求解． 【详解】解：∵ , ∴ , , 解得 , , ∴ 故选：B． 6．已知，则（    ） A．4 B．6 C．7 D．9 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式的应用．熟练掌握完全平方公式变形求值，是解题的关键．利用完全平方公式，将已知条件平方后展开，即可求解． 【详解】∵ ， ∴ ， 即 ， ∴ ． 故选：C． 7．如图是用个全等的长方形拼成的一个大正方形，利用不同的方法计算此正方形的面积，写出一个代数恒等式，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是完全平方公式在几何图形中的应用，解题关键是根据不同的面积计算方式表示出大正方形的面积． 根据不同的面积计算方式表示出大正方形的面积即可得解． 【详解】解：该正方形边长为， 则面积为， 大正方形由个全等的长为，宽为的长方形及一个边长为的正方形组成， 则面积为， 即． 故选：． 8．“以数解形”“以形助数”数形结合的思想方法在数学学习中非常重要．如图，将正方形叠放在正方形上，与相交于点E，与相交于点G，重叠部分是面积为8的长方形，延长线段分别于点Q，P．若四边形和四边形都是正方形，，，则正方形的边长为（   ） A．8 B．6 C．7 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，：设，则可得到，根据得到，根据长方形的面积公式得到，据此根据完全平方公式的变形求出的值即可得到答案． 【详解】解：设，则， 由正方形的性质可得， ∴， ∴， ∵重叠部分是面积为8的长方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴正方形的边长为6， 故选：B． 9．若x满足，则的值为 ． 【答案】80 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，通过换元法，设，，则可得到，，再由计算求解即可． 【详解】解：设，， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 故答案为：80． 10．如图，某街心公园有一块长为，宽为的长方形绿地，绿地的北侧是一个长为，宽为的长方形休闲区，绿地的东、西两侧各有一个边长为的正方形喷泉区．已知休闲区的宽与绿地的宽的和为，休闲区的面积与两个喷泉区的面积的和为，那么绿地的面积为 ． 【答案】72 【分析】本题考查完全平方公式的几何应用，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 列代数式表示休闲区的面积与两个喷泉区的面积，由题意得，再根据完全平方公式求出的值，即可求解绿地的面积． 【详解】解：由题意得， 休闲区的面积为， 两个喷泉区的面积为， ， ， ． ， ， ， 绿地的面积为． 故答案为72． 11．若，则 ． 【答案】16 【分析】本题考查完全平方公式的应用，掌握知识点是解题的关键． 将已知等式左边用完全平方公式展开，得到关于的表达式，再通过代数运算求解即可． 【详解】解：， ， ， ∴． 故答案为：16． 12．在数学活动中，研究了和为定值的两个数积的规律，利用此规律解决：用长的绳子围成一个长方形，长方形的最大面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，理解题意是解决本题的关键． 设长方形的长为，宽为，再根据完全平方公式求解即可． 【详解】解：设长方形的长为，宽为， ∴周长为 ， ∴面积 ， ∵， ∴当时，S最大为． 故答案为：． 13．对于任意实数，定义一种新运算◆，规定，若为实数，则的化简结果为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列代数式，完全平方公式，解题关键是理解新定义的含义． 根据已知条件和新定义的含义，列出式子即可． 【详解】解：根据题意可得 故答案为：． 14．数学活动课上，小明和小组同学一起用“Z”字型框架探究月历中的奥秘．图1是2026年1月份的月历，小明用图2所示的“Z”字型框架框住月历中的5个数（图1中的阴影部分），移动框架，发现位置在b，d上的两个数的积与位置在a，e上的两个数的积的差与位置在c上的数的大小无关．设“Z”字型框架中位置c上的数为x，用含x的等式可以表示这一规律为 ．      【答案】 【分析】本题考查平方差公式．设“Z”字型框架中位置c上的数为x，则a，b，d，e位置上的分别为，可得，，即可求解． 【详解】解：设“Z”字型框架中位置c上的数为x，则a，b，d，e位置上的数分别为， ∴，， ∴， ∴用含x的等式可以表示这一规律为． 故答案为： 15．计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握该公式是解题的关键． （1）（2）（3）直接利用完全平方公式计算即可得出答案． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 16．用简便方法计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用完全平方公式，将103表示为100与3的和进行计算； （2）先将5化为6-1，再连续应用平方差公式逐步化简式子． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【点睛】第（1）题：核心技巧是凑整 + 完全平方公式，将接近整百的数拆分，简化计算；第（2）题：核心技巧是构造平方差公式，通过将 5 转化为 6−1，连续使用平方差公式，实现 “连锁化简”． 17．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的运算，熟练掌握整式的相关运算法则是解题的关键； 先根据平方差公式和单项式乘多项式的法则展开化简，再代值计算即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 18．已知，，求下列各式的值： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． （1）原式利用完全平方公式变形可得，将已知等式代入计算即可解； （2）原式利用完全平方公式变形可得，将已知等式代入计算即可解； （3）根据，即可求解． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：，， ； （3）解：，， ． 19．【阅读材料】若满足，求的值． 解：设，．则，． ． 【类比探究】解决下列问题： （1）若满足，则的值为______． （2）若，求的值． 【拓展应用】 （3）已知正方形的边长为，、分别是、上的点，且，，长方形的面积是15，分别以，为边长作正方形和正方形．求阴影部分的面积． 【答案】（1）12；（2）；（3）16 【分析】本题主要考查了乘法公式与图形的综合，掌握乘法公式中完全平方公式的变形，整式的混合运算方法是解题的关键． （1）仿照例题，设，，利用完全平方公式进行求解即可； （2）仿照例题，设，，利用完全平方公式进行求解即可； （3）根据正方形的边长表示出相关线段的长度，设，，利用完全平方公式表示出，然后利用作差法求出阴影部分面积即可． 【详解】解：（1）设，， ， ， ， ， 故答案为：12； （2）设，， ， ， ， ， ， 的值为； （3）正方形的边长为，，， ，， 设，， ， 长方形的面积是， ， ， ， ， ， ，． 20．数学学习： 【阅读与思考】请阅读以下个位数字是5的正整数的平方的算式 …… 【感知与模仿】 （1）请仿照上面的算式直接写出结果： ①__________； ②__________． 【推理与证明】 （2）如果将形如15，25，105，125，……的数用表示． ①请你用含的式子表示“个位数字是5的正整数的平方”的结果； ②请你用所学知识证明你的结论． 【答案】(1) ① 5625 ② 13225 (2) ① ② 见解析 【分析】本题考查了规律型——数字的变化类：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的关键． （1）仿照[阅读与思考]的方式计算即可； （2）①左边平方数的个位数字是5，右边是去掉个位5后的数×（去掉个位5后的数+1），利用此规律解答即可； ②分别计算等式的左边和右边，判断左边=右边即可． 【详解】解：（1）①， 故答案为：5625； ②， 故答案为：13225； （2）①∵ …… ∴ ②解：∵左边，右边， ∴左边=右边， ∴． 21．综合与实践：归纳是数学中发现规律的常用方法，我们可以通过具体的例子来发现一般的规律，在某次综合与实践活动中，学校数学兴趣小组研究如下“点阵”表（其中表示行数，表示列数），每个位置（第行和第列）对应一个独立的“点阵”，我们把该“点阵”中点的总个数记为．例如，观察第2行第3列的“点阵”，其点的总个数． 【观察与思考】 （1）观察第1、2行的“点阵”规律，按要求填写： ①； 通过观察归纳得：； ②__________； ③归纳得__________（用含的式子表示）； 【猜想与应用】 （2）基于（1）中发现的规律，学生进一步发现： 据此归纳： 对任意正整数，有 设（且为正整数）， 若，求的值； 【拓展与归纳】 （3）兴趣小组继续探究，尝试归纳“点阵”的一般规律：__________（用含、的式子表示）． 【答案】（1）②25；③；（2）；（3）或 【分析】本题主要考查有理数的运算，数字类和图形类规律探索，整式的运算，掌握加法交换律是解题的关键． （1）①根据规律直接计算即可； ②根据规律直接计算即可；观察，得，根据规律及加法交换律得，两式相加可得，进而可得答案； （2）由可得，，再求差计算即可； （3）同（1）的计算方法计算，再根据规律求解． 【详解】解：（1）②； 观察，得， 则， ∴ ， ； 故答案为：25；． （2）由（1）知，，， 则，， ∴， 由得． （3）观察，得， ， ， ； 由，，， 根据规律可得． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3乘法公式寒假预习讲义 （2知识点+8大题型+过关检测） 模块一 题型先知导航 【题型1 运用平方差公式进行运算】 1 【题型3 运用完全平方公式进行运算】 3 【题型4 完全平方公式在几何图形中的应用】 4 【题型5 整式乘法混合运算】 4 【题型6 化简求值】 5 【题型7 通过对完全平方公式变形求值】 5 【题型8 求完全平方式中的字母系数】 6 模块二 预习目标导航 知识目标 1. 经历平方差、完全平方公式的推导过程，理解公式的代数意义与几何背景，建立数形结合认知。 2. 准确识记两个公式的文字表述、字母表达式，区分结构特征，避免混用、错用。 3. 能根据公式结构，直接套用进行简单整式乘法计算、化简与简便运算。 能力目标 1. 掌握 “观察结构→判断公式→代入计算” 的解题步骤，提升运算准确性与速度。 2. 识别公式中a、b 可代表数、单项式、多项式的整体代换思想，初步处理变式题型。 3. 能辨析易混易错点，规范书写，养成验算习惯。 素养目标 发展符号意识、几何直观、运算能力与模型观念，体会公式简化运算的价值。 模块三 知识点梳理 【知识点 1：平方差公式】 1. 公式内容字母式：(a+b)(a−b)= 文字：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 2. 结构特征 左边：两个二项式相乘，一项完全相同，一项互为相反数 右边：相同项的平方 − 相反项的平方 a、b 可为常数、单项式、多项式。 3. 几何意义：用大正方形减小正方形面积，直观验证 “和乘差 = 平方差”。 4. 易错警示 只有 “同项 + 反项” 的二项式相乘才可用，不可乱套用于任意两项相乘。 顺序固定：同项平方减反项平方，不可颠倒。 【知识点 2：完全平方公式】 1. 公式内容和的平方：差的平方： 文字：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的 2 倍。 2. 结构特征 左边：二项式的完全平方 右边：二次三项式，首、尾为两项平方，中间为两项积的 2 倍，符号与左边一致 口诀：首平方，尾平方，首尾两倍中间放，符号跟着左边走。 3. 几何意义：通过大正方形、小正方形与矩形面积拼接，直观推导公式成立。 4. 常用变形（预习必记） 5. 易错警示 严禁写成：(a±b)2=a2±b2（漏 “2 倍积” 项，高频错） 中间项系数是 2，符号由左边两项符号决定：同号为正，异号为负。 模块四 题型汇总 【题型1 运用平方差公式进行运算】 【典例1】．下列各式可以利用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 变式1-1．已知，，则的值为（    ） A．2 B．8 C．16 D．32 变式1-2．运用平方差公式计算： (1)； (2)； (3)； 【题型2 平方差公式与几何图形】 【典例2】．如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形，根据图形能验证的等式为（    ） A． B． C． D． 变式2-1．如图，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，把余下的部分组成一个长方形如图，根据两个图形中阴影部分的面积相等可以验证的等式是（    ）． A． B． C． D． 变式2-2．【探究】（1）如图1，一个边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，我们可以得到乘法公式：______________（用含a，b的等式表示）． 【应用】请应用这个公式完成下列各题： （2）已知，，则的值为_______． （3）计算：． 【拓展】（4）计算：． 【题型3 运用完全平方公式进行运算】 【典例3】．已知，则代数式的值是 （   ） A． B． C． D． 变式3-1．计算： ． 变式3-2．已知．求 ． 【题型4 完全平方公式在几何图形中的应用】 【典例4】．如图是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（   ） A． B． C． D． 变式4-1．如图，长方形的周长是，分别以为边向外作正方形和正方形．当长方形的面积为时，正方形和正方形的面积之和为（   ） A． B． C． D． 变式4-2．用四个完全一样的长方形（长、宽分别设为a、b，）拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积为81，中间空缺的小正方形的面积为9，那么下列关系式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型5 整式乘法混合运算】 【典例5】．计算： (1) (2) 变式5-1．计算： (1)． (2)． 变式5-2．计算：． 【题型6 化简求值】 【典例6】．先化简，再求值：，其中，． 变式6-1．先化简，再求值： (1)，其中，； (2)，其中． 变式6-2．先化简，再求值：，其中，． 【题型7 通过对完全平方公式变形求值】 【典例7】．已知，则（   ） A．21 B．25 C．19 D．5 变式7-1．若，且． (1)求的值； (2)求的值； 变式7-2．完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：，， ，， 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，，则的值为_____________； (2)若，，求的值； 【题型8 求完全平方式中的字母系数】 【典例8】．如果多项式是完全平方式，那么的值是（    ） A． B． C． D． 变式8-1．已知关于的多项式是完全平方式，则的值为 ． 变式8-2．配方法是将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法． (1)若能用配方法变形为一个完全平方式，则__________． (2)若一个关于的二次三项式，通过配方法变形后能写成，且，则称这个二次三项式为“配方法定形数”，其中为“特征点”．若是配方法定形数，且其“特征点”满足，求的值． 模块五 过关检测 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各式可以用平方差公式的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，有A、B、C三种不同型号的卡片，每种各8张．A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻两边长分别为a，b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，从中取出若干张卡片（每种卡片至少一张），把取出的这些卡片拼成一个大正方形，则所有能够拼成符合要求的大正方形的个数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 4．已知，，，那么式子的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．王老师让同学们从两个盒子中各抽取一张卡片，李华抽到的两张卡片上分别是，，要使这两个整式相等，则的值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 6．已知，则（    ） A．4 B．6 C．7 D．9 7．如图是用个全等的长方形拼成的一个大正方形，利用不同的方法计算此正方形的面积，写出一个代数恒等式，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 8．“以数解形”“以形助数”数形结合的思想方法在数学学习中非常重要．如图，将正方形叠放在正方形上，与相交于点E，与相交于点G，重叠部分是面积为8的长方形，延长线段分别于点Q，P．若四边形和四边形都是正方形，，，则正方形的边长为（   ） A．8 B．6 C．7 D．5 9．若x满足，则的值为 ． 10．如图，某街心公园有一块长为，宽为的长方形绿地，绿地的北侧是一个长为，宽为的长方形休闲区，绿地的东、西两侧各有一个边长为的正方形喷泉区．已知休闲区的宽与绿地的宽的和为，休闲区的面积与两个喷泉区的面积的和为，那么绿地的面积为 ． 11．若，则 ． 12．在数学活动中，研究了和为定值的两个数积的规律，利用此规律解决：用长的绳子围成一个长方形，长方形的最大面积为 ． 13．对于任意实数，定义一种新运算◆，规定，若为实数，则的化简结果为 ． 14．数学活动课上，小明和小组同学一起用“Z”字型框架探究月历中的奥秘．图1是2026年1月份的月历，小明用图2所示的“Z”字型框架框住月历中的5个数（图1中的阴影部分），移动框架，发现位置在b，d上的两个数的积与位置在a，e上的两个数的积的差与位置在c上的数的大小无关．设“Z”字型框架中位置c上的数为x，用含x的等式可以表示这一规律为 ．      15．计算： (1)． (2)． (3)． 16．用简便方法计算： (1)． (2)． 17．先化简，再求值：，其中． 18．已知，，求下列各式的值： (1) (2) (3) 19．【阅读材料】若满足，求的值． 解：设，．则，． ． 【类比探究】解决下列问题： （1）若满足，则的值为______． （2）若，求的值． 【拓展应用】 （3）已知正方形的边长为，、分别是、上的点，且，，长方形的面积是15，分别以，为边长作正方形和正方形．求阴影部分的面积． 20．数学学习： 【阅读与思考】请阅读以下个位数字是5的正整数的平方的算式 …… 【感知与模仿】 （1）请仿照上面的算式直接写出结果： ①__________； ②__________． 【推理与证明】 （2）如果将形如15，25，105，125，……的数用表示． ①请你用含的式子表示“个位数字是5的正整数的平方”的结果； ②请你用所学知识证明你的结论． 21．综合与实践：归纳是数学中发现规律的常用方法，我们可以通过具体的例子来发现一般的规律，在某次综合与实践活动中，学校数学兴趣小组研究如下“点阵”表（其中表示行数，表示列数），每个位置（第行和第列）对应一个独立的“点阵”，我们把该“点阵”中点的总个数记为．例如，观察第2行第3列的“点阵”，其点的总个数． 【观察与思考】 （1）观察第1、2行的“点阵”规律，按要求填写： ①； 通过观察归纳得：； ②__________； ③归纳得__________（用含的式子表示）； 【猜想与应用】 （2）基于（1）中发现的规律，学生进一步发现： 据此归纳： 对任意正整数，有 设（且为正整数）， 若，求的值； 【拓展与归纳】 （3）兴趣小组继续探究，尝试归纳“点阵”的一般规律：__________（用含、的式子表示）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $