暑假作业02 整式的乘除与乘法公式（巩固培优，6大题型巩固+能力培优+创新拓展）七年级数学新教材北师大版

**基本信息** 以“运算法则-公式应用-综合拓展”为主线，系统整合整式乘除与乘法公式，通过基础运算、公式变形、数形结合三级训练，培养抽象能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|13题|系数与同底数幂分步运算，多项式展开“不重不漏”|从单项式到多项式，构建整式运算基础体系| |乘法公式|8题|平方差公式结构识别，完全平方公式“三量关系”变形|公式推导→直接应用→逆向变形，强化符号意识| |综合应用|19题|参数确定（不含某项求系数）、图形面积代数化、实际问题建模|运算能力→推理意识→应用意识，衔接中考高频考点|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业02 整式的乘除与乘法公式 【知识点1 单项式的乘除运算】 把系数、同底数幂分别相乘(除)，作为积(商)的因式，单独出现的字母连同它的指数作为积(商)的因式； 【知识点2 多项式的乘除运算法则】 m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc； (a＋b＋c)÷m＝； (m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb 【知识点3 平方差公式】 (a＋b)(a－b)＝a2－b2 【知识点4 完全平方公式】 (a±b)2＝a2±2ab＋b2 常见的变形有 a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；(a－b)2＝(a＋b)2－4ab； (－a－b)2＝(a＋b)2；(－a＋b)2＝(a－b)2 【题型1 单项式有关的运算及应用】 1．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A：，A错误； 选项B：，B错误； 选项C：，C错误； 选项D：，D正确． 2．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：原式． 3．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按照运算顺序先计算积的乘方，再计算单项式乘法即可求解. 【详解】解： 4．有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个面积为的长方形．则需要（    ） A．A类卡片2张，B类卡片3张 B．A类卡片3张，C类卡片2张 C．A类卡片3张，B类卡片2张 D．B类卡片3张，C类卡片2张 【答案】B 【分析】首先根据长方形面积公式计算目标图形的面积，利用单项式乘多项式法则展开，再结合图中A、B、C三类卡片的面积特征，通过对比多项式中各项的系数确定所需卡片的数量； 【详解】解：， 由图可知： A类卡片是长为、宽为的长方形，面积为，B类卡片是边长为的正方形，面积为，C类卡片是边长为的正方形，面积为， ∵目标面积中包含个和个， ∴需要C类卡片张，A类卡片张． 5．2026年全国两会明确提出并重点部署乡村振兴工作，为更好地落实该精神，上级决定在一块长方形空坪上修建板房，作为扶贫办事务所，已知长方形空坪长为，宽为，则其面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用长方形面积公式列出算式，再根据单项式乘多项式法则计算即可得到结果． 【详解】解：∵长方形面积长宽，已知长为，宽为， ∴面积， 根据单项式乘多项式法则展开得： ． 6．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型2 多项式的乘法运算及应用】 7．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据合并同类项、积的乘方、同底数幂除法、多项式乘多项式的计算法则逐一判断选项即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，因此A错误； B、，因此B错误； C、，因此C错误； D、，故D正确． 8．小刚同学计算一道整式乘法：，由于他抄错了多项式中前面的符号，把“”写成“”，得到的结果为，则的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意得到抄错符号后的等式，展开后对比对应项系数求出和的值，进而计算即可． 解：由题意得，抄错后的算式为， ∵得到的结果为， ∴， 即， ∴，， 解得，， ∴． 9．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（为自然数）展开式的项数及各项系数的规律．例如：，系数为1；，系数分别为1，1；，系数分别为1，2，1；…则展开后的常数项是（     ） A．50 B．40 C．36 D．35 【答案】A 【分析】根据杨辉三角规律得出展开式的各项系数，确定展开式中含的项和常数项，分别与中的和相乘后求和即可． 【详解】解：由杨辉三角可知，展开式的系数依次为， 展开式的通项形式为， 即， 展开后出现常数项，分两种情况： 即展开式中与中的相乘，对应系数为，展开式中与中的相乘，对应系数为，该项乘积为， 展开后的常数项是． 10．如果多项式与的乘积化简后的系数为6，则m的值为_________． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘多项式的运算法则，先根据法则展开两个多项式的乘积，合并同类项后，根据项的系数为列出关于的一元一次方程，解方程即可得到的值． 【详解】解：展开并化简多项式乘积： ， ， ， 乘积化简后项的系数为， ，化简得，解得． 11．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 12．先化简，再求值：，其中，． 【答案】，0 【分析】先根据单项式乘多项式、多项式乘多项式法则展开，再去括号合并同类项，然后代值计算即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴原式 ． 13．小厉、小琪在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的福建土楼，也有被誉为中国民居建筑典范的山西大院，她们对于哪个建筑的占地面积（图中阴影）更大展开了讨论． ①小厉认为图1中回字形福建土楼的占地面积（记为）更大； ②小琪认为图2中山西大院的占地面积（记为）更大． 【数据采集】 为了证明自己的想法是正确的，她们二人分别对建筑物进行了数据测量，数据如图所示． 【数据应用】 (1)请分别计算这两个建筑物的占地面积； (2)若，则______（填“小厉”或“小琪”）的想法正确，并说明理由． 【答案】(1)，； (2)小厉，理由见解析 【分析】（1）根据阴影部分面积大长方形的面积小长方形的面积，分别表示出、，利用整式的混合运算法则化简即可； （2）计算并化简得出最简结果，根据即可求解． 【详解】（1）解： ； ． （2）解：小厉的想法正确，理由如下： ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴小厉的想法正确． 【题型3 利用乘法公式进行计算】 14．，分别表示两个边长为，的正方形的面积．若，，则（     ） A．12 B．14 C．16 D．22 【答案】C 【详解】解：根据题意可知，， ∴， 由，得， ∵， ∴， 故． 15．计算： _________． 【答案】 【分析】观察式子结构，可先对前三项利用完全平方公式化简，再进行计算． 【详解】解：． 16．如图所示图象表示的个位数字随m（m为正整数）变化的规律，则的个位数字是_________． 【答案】5 【分析】先在原式前乘，原式的值不变，再反复利用平方差公式化简原式，最后根据的正整数次幂的个位数字的循环规律求解． 【详解】解： ， ，个位为， ，个位为， ，个位为， ，个位为， ，个位为， ，个位为， ……， 以此类推，可知的正整数次幂的个位数字按每个一循环， ， 的个位数字与的个位数字相同，为， ∴的个位数字为，即的个位数字是． 17．先化简，再求值：，其中． 【答案】，4 【分析】先根据单项式乘以多项式，完全平方公式以及平方差公式展开，然后合并同类项，最后再代入数值计算即可得出答案. 【详解】解：     当时，原式. 18．先化简，再求值：，其中． 【答案】 【详解】解：原式， 当时， 原式． 19．理解与尝试 在计算时有两种算法， 方法1：请你直接计算； 方法2：用字母代替数，转化成整式计算来完成． 例如：设，原式 (1)请你完成以上计算； 应用： (2)计算 【答案】(1) (2) 【分析】（1）第一种直接按照有理数运算法则计算，第二种换元后利用整式乘法与平方差公式化简计算，两种方法均可得到结果； （2）观察算式中数字的关系，用换元法将数字替换为字母，提取公因式后结合完全平方公式化简，再代入数值计算即可简化运算，得到最终结果． 【详解】（1）解：方法1：； 方法2：设， 原式 ； （2）解：设，，可得， ∴ ． 20．如图，某居民小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一个雕塑，底座是边长为米的正方形． (1)绿化的面积是多少平方米？ (2)求出当，时的绿化面积． 【答案】(1)平方米 (2)63平方米 【分析】（1）绿化面积等于长方形的面积减去正方形的面积，据此列出式子，运用整式的乘法和加减法计算即可； （2）把a，b的值代入（1）中的式子，计算即可． 【详解】（1）解：绿化的面积为 （平方米）． （2）解：当，时，， 即绿化面积为63平方米． 21．已知，，，先化简，再计算当时，求该式子的值． 【答案】，当时，原式 【详解】解：∵，，， ∴ ， 当时，原式． 【题型4 整式乘法运算中的字母确定问题】 22．计算的结果为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简，结合题意可得，，然后求出，的值即可． 【详解】解： ， ∵的结果为， ∴，， ∴，， ∴， ∴的值是． 23．若关于的二次三项式是一个完全平方式，则常数的值是（     ） A．5或 B．5 C． D．或1 【答案】A 【分析】完全平方式满足，根据对应系数相等列方程即可求出的值． 【详解】解：∵二次三项式是完全平方式，且， 根据完全平方式的结构，可得一次项系数满足， 当时，化简得，解得； 当时，化简得，解得； ∴常数的值是或． 24．若m，n互为倒数，且满足，则n的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据倒数的性质得到，展开已知等式后代入求出的值，再根据倒数定义即可得到的值． 【详解】解：∵互为倒数， ∴， ∵， 展开等式得， 把代入得， ∴， 又∵互为倒数， ∴ ． 25．已知，，．若的值与m无关，则a的值为（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了单项式乘多项式，合并同类项，准确熟练地进行计算是解题的关键． 计算并合并同类项，由于表达式与无关，令的系数为零求解的值即可． 【详解】解：∵， ， ∴ ∴ ∵的值与无关 ∴ ∴ 故选：B． 26．，求的值_______． 【答案】3 【分析】首先根据单项式乘以单项式法则得到，然后比较指数得到，，求出，，然后代入求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴， ∴， ∴． 27．若的乘积中不含项，则a的值为____． 【答案】0 【分析】根据乘积中不含某一项，即该项的系数为，据此列出关于的方程，求解即可得到的值． 【详解】解：， 乘积中不含项， 项的系数为， 即， 解得． 28．已知的展开式中不含和项，则______，______． 【答案】 2 3 【分析】先根据多项式乘以多项式的运算法则去括号，再合并同类项即可化简，最后根据题意得出且，求解即可． 【详解】解： ， ∵的展开式中不含和项， ∴且， 解可得， 将代入可得， 解得． 【题型5 整式的化简求值】 29．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解：原式 ， 当时 原式． 30．先化简，再求值：求的值，其中． 【答案】，11 【详解】解： ∵， ∴， 原式． 31．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解： ， 当，时， 原式． 32．先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【分析】先根据完全平方公式、多项式乘多项式及单项式乘多项式的运算法则将原式展开，合并同类项后，再整体代入已知条件计算即可． 【详解】解：原式 ， ， ， 原式 ． 33．先化简，再求值：的值，其中． 【答案】； 【分析】先根据多项式乘以多项式的运算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 34．化简：，其中，． 【答案】， 【详解】解： ， 当，时，原式 ． 【题型6 整式的乘法与图形面积】 35．如图，在长方形中放入一个边长为8的大正方形和两个边长为6的小正方形（正方形和正方形），其中3个阴影部分的面积满足，则长方形的面积是______． 【答案】93 【分析】设长方形的长为，宽为，则由已知及图形可得，，的长、宽及面积，根据，可整体求得的值，即长方形的面积. 【详解】解：设长方形的长为，宽为，则由已知及图形可得： 的长为，宽为， ∴； 的长为，宽为， ∴； 的长为，宽为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴长方形的面积为. 36．【阅读理解】我们在学习整式乘法时，常常通过数形结合来理解掌握运算方法．如图1反映了单项式与多项式的乘法运算方法，即：． (1)【类比应用】任务一：观察图2，完成填空： ． (2)【综合应用】任务二： ①由图3，可以得到等式： ． ②若实数满足：，，求的值． 【答案】(1)或 (2)①；② 【分析】（1）数形结合求解即可； （2）①数形结合求解即可；②由①中得到的等式，代入计算即可． 【详解】（1）解：如图所示： 表示长方形面积，等于四部分面积和为， 则或； （2）解：①如图所示： ； ②∵，，， ∴， ∴． 37．综合与实践 活动主题：借助图形直观感受数与形之间的关系 初步应用 (1)如图，一个大长方形被分割为4个大小不同的小长方形，通过用两种不同方法计算大长方形的面积，可推导出整式乘法的运算规律，请用图中标注的字母写出对应的等式： ． 拓展创新 (2)仿照（1）中面积法的思路，画出图形，并计算． 迁移应用 (3)若式子无论x为多少时恒成立，求m的值． 【答案】(1) (2)图见解析， (3) 【分析】（1）根据大长方形面积的不同计算方法可得等式； （2）画一个长为，宽为的长方形，然后用两种不同的计算方法进行列式，即可得出答案； （3）先计算，再根据题意得出，，先求出p，然后可得m的值． 【详解】（1）解：把大长方形当成一个整体计算面积为：， 把大长方形分成四个小长方形计算面积为：， 可得对应的等式为：； （2）解：如图： 把大长方形当成一个整体计算面积为：， 把大长方形分成四个小长方形计算面积为：， 所以； （3）解：， ∵式子无论x为多少时恒成立， ∴，， ∴， ∴． 38．综合与实践: 【观察发现】： (1)观察图①，图形的面积能说明的乘法公式是_________________________； 观察图②，用等式表示图中阴影部分的面积是 ． 【问题解决】： (2)根据发现，若满足 ，求的值． 【拓展应用】： (3)如图③，某学校有一块梯形空地，且于点，，．该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草．经测量种草区域的面积和为，，求种花区域的面积和是多少？ 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（）根据图形解答即可求解； （）利用完全平方公式的变形运算解答即可； （）设，，可得 ，，再利用完全平方公式的变形运算得到 ，进而得到，即可求解； 本题考查了完全平方公式的几何背景，完全平方公式的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：图①的面积能说明的乘法公式是； 图②用等式表示图中阴影部分的面积是， 故答案为：；； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：设，， ∵于点，种草区域的面积和为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴种花区域的面积和是． 39．图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，对于一个图形，通过不同方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． (1)观察图1、图2，用等式表示图1和图2的面积运算为___________；（用含的式子表示） (2)嘉琪想用这三种纸片拼出一个面积为的大长方形，需要图2中的三种纸片各多少张？ (3)如图3，将两个正方形如图摆放，点与点重合，点分别在的延长线上，若它们边长之和为16，阴影部分面积为60，求这两个正方形的面积之差． 【答案】(1) (2)需要图2中的种纸片2张，种纸片2张，种纸片5张 (3)64 【分析】（1）根据等积法，列出等式即可； （2）将利用多项式乘以多项式的法则展开，即可得出结果； （3）设，根据题意易得，，再根据完全平方公式和平方差公式进行求解即可. 【详解】（1）解：由题意，大正方形的面积等于两个小正方形的面积加上两个长方形的面积， 故； （2）解：， 由图2可知，的面积为，的面积为，的面积为， 故需要图2中的种纸片2张，种纸片2张，种纸片5张； （3）解：设，不妨设，将图形补成边长为的大正方形，如图： 由题意，，， ∴， ∴， ∴， ∴两个正方形的面积之差为. 40．【探究发现】 从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是________（填字母序号） A． B． C． 【知识迁移】 (2)运用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，，则的值为________； ②计算：． 【拓展应用】 (3)如图，大正方形与小正方形的面积之差是40，则阴影部分的面积为________． 【答案】(1)B (2)① 3；② (3)20 【分析】（1）分别用代数式表示图1、图2阴影部分的面积即可； （2）①根据平方差公式将化为，再整体代入计算即可；②利用平方差公式将原式变形即可求解； （3）设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，则，阴影部分面积可以表示为，进而即可求解． 【详解】（1）解：图1阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即， 拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， 故上述操作能验证的等式是； （2）解：①， ， ， ； ② ； （3）解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， 大正方形与小正方形的面积之差是40， ， 阴影部分的面积为． 41．在“综合与实践”活动中，同学们通过图形剪拼操作探究乘法公式的几何意义，体会数形结合思想．如图1可以得到；如图2可以得到；现有长与宽分别为a，b的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图3的图形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)【探索发现】 ①观察图3，大正方形的面积可表示为______，小正方形的面积可表示为______； ②结合图3的拼接方式，直接写出与之间的关系：_______；（用含a，b的代数式表示出来） (2)【解决问题】 ①若，，则______； ②已知长方形的长和宽分别为m，n，，，求的值； (3)【拓展提升】 ①若t满足，求的值； ②如图4，在正方形中，E，F分别是边上的点，已知，，长方形的面积是48，分别以为边作正方形、正方形，求阴影部分的面积． 【答案】(1)，； (2)①；②； (3)①5；②阴影部分的面积为128． 【分析】（1）结合图形直接写出答案即可； （2）①利用完全平方公式计算即可；②利用完全平方公式计算即可； （3）①设，，则，，再利用完全平方公式计算即可；②设，，求得，，利用完全平方公式求得，再利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：①观察图3，大正方形的面积可表示为，小正方形的面积可表示为； ②与之间的关系：； （2）解：①∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴； ②∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴； （3）解：①设，，则，， ∵， ∴； ②设，， 由题意得，，， ∵正方形， ∴， ∵，即， ∵， ∵， ∴， ∵， ∴阴影部分的面积为128． 42．学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图 1：A型卡片是边长为的正方形， B 型卡片是边长为的正方形，C型卡片是长和宽分别为，的长方形． (1)选取 1 张 A型卡片，2 张C型卡片，1 张B型卡片，在纸上按照图 2 的方式拼成一个边长为的大正方形，通过不同方式表示大正方形的面积，可得到等式：_____ ； (2)请用上题得到的等式求解下面问题：已知，求的值； (3)如果用若干张A，B，C三种卡片拼成的一个长方形，边长分别为和 ，在虚线框中画出你的拼图，并在示意图上按照图2的方式标注好长方形的长与宽； (4)选取1张A型卡片，4张C型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形框架内，图中两阴影部分（长方形）为没有放置卡片的部分． 已知的长度固定不变，的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为． 若 ，当与满足什么关系，为定值，且定值为多少？ （用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2)26 (3)见解析 (4) 【分析】（1）从个体和从整体两个方面计算大正方形的面积即可解答； （2）设，则，，再利用其变形解答即可； （3）结合长方形面积公式画图即可； （4）设，结合图形，计算得到S的表达式，根据S为定值，与x的值无关，据此求解即可． 【详解】（1）解：方法1：大正方形的面积为：， 方法2：图2中四部分的面积和为：， ∴． （2）解：设，则，， ∴，即， ∴， 即； （3）解：根据题意，画出图形，如图所示： （4）解：设，设右上角阴影为，左下角阴影为， ∵， ∴ ＝， 若S为定值，则S将不随x的变化而变化， ∴时，即时，为定值． 43．“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现．例如图1，可得等式或 (1)如图2，请写出你发现的恒等式：________________； (2)利用（1）中的发现计算：若，，求的值； (3)利用6个相同的宽为，长为的小长方形，拼成如图3所示的大长方形，记长方形面积与长方形的面积差为S，求S（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用两种方法表示出大正方形的面积即可解答； （2）利用（1）的结论求解即可； （3）根据图3可得：，设长方形的长为c，则长方形的长为，宽为；长方形的长为，宽为；然后求出长方形面积与长方形的面积，最后作差即可解答． 【详解】（1）解：图2的正方形的面积一种表示方法为，另一种表示方法为， 所以． （2）解：设，则 ， ， ∵， ∴ ， 解得：． （3）解：由图可知：， 设长方形的长为c，则长方形的长为 ，宽为； 长方形的长为 ，宽为； ∴长方形的面积为，长方形的面积为， ∴长方形面积与长方形的面积差为，即． 44．已知： （1）； （2）； （3）；猜想规律如下： （其中为正整数，且）． 利用上面猜想的结论计算：_____________． 【答案】 【分析】将所求式子变形为，根据题目材料设，，，得到，再代入变形式子计算即可． 【详解】解： ∵，设，，， ∴ ， ， ∴， ∴． 45．为响应儿童友好空间建设的号召，某市政公园规划出一片长为，宽为的长方形区域，用来打造儿童活动区域．如图，该区域划分为三个功能区，分别是游戏娱乐区、文化体验区、绿化休息区，其中、游戏娱乐区和文化体验区均为长方形，绿化休息区为边长为的正方形． (1)分别求出游戏娱乐区、文化体验区、绿化休息区这三个区域的面积（用含的式子表示）． (2)该公园计划对这片儿童活动区域的地面进行处理，为游戏娱乐区和文化体验区铺设塑胶地面，造价为每平方米元；为绿化休息区铺设草坪，造价为每平方米元．求处理这片儿童活动区域的地面所需的费用（用含的式子表示）． 【答案】(1)游戏娱乐区的面积；文化体验区的面积；绿化休息区的面积 (2)元 【分析】（1）根据题干中的图形列式计算即可； （2）结合（1）中所求结果列式计算即可． 【详解】（1）解：游戏娱乐区的面积 ． 文化体验区的面积 ． 绿化休息区的面积． （2）解：处理这片儿童活动区域的地面所需的费用 元． 46．对任意相邻两个整式进行如下操作：用左边的整式减去右边的整式，所得的结果放在这两个整式之间，得到一个新的整式串，称其为作差变换．已知两个依次排列的整式为，，对其进行作差变换，则第1次作差变换得到的整式串是，，，对该新的整式串进行第2次作差变换，以此进行下去．下列说法： ①若第2次作差变换新增整式之积不含x的一次项，则的值为； ②当时，若第1次作差变换得到的整式串之积为3，则； ③第2026次作差变换得到的整式串之和为． 其中正确的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】解：由题意知：初始整式串为，，整式串之和为； 第1次变换得到的整式串是，，，整式串之和为； 第2次变换得到的整式串是，，，，，整式串之和为； 第3次变换得到的整式串是，，，，，，，，，整式串之和为； 以此类推，第n次变换得到的整式串之和为． ①由题意得， ∵不含的一次项， ∴，解得，①正确； ②当时，由题意得，整理得， 则， 因此，②正确； ③∵第n次变换得到的整式串之和为， ∴当时，整式串之和为，③正确． 47．观察下列式子：；；； (1)请你根据上面式子的规律直接写出第个式子： ； (2)探索以上式子的规律，试写出第个等式，并说明第个等式成立． 【答案】(1) (2)；证明见解析 【分析】（1）根据上面式子的规律即可写出第个式子； （2）探索以上式子的规律，结合（1）即可写出第个等式，计算等式左边，得出左边右边即可说明． 【详解】（1）解：观察已知式子的规律： 第个式子：（第一个乘数，第二个乘数，右边） 第个式子：（第一个乘数，第二个乘数，右边） 第个式子：（第一个乘数，第二个乘数，右边） 第个式子：（第一个乘数，第二个乘数，右边） 因此第个式子中，第一个乘数，第二个乘数，右边，即：； （2）解：由（1）中规律可得： 第个等式：（为正整数） 证明：∵左边，右边， ∴左边右边， ∴第个等式成立． 48．如图，边长为的大正方形有一个边长为的小正方形，把图中的阴影部分拼成一个长方形（如图所示） (1)如图，可以求出阴影部分的面积是________（写成平方差的形式）． (2)如图，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，比较左、右的阴影部分面积，可以得到公式________． (3)请应用这个公式完成下列各题： ①计算： ②计算： 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】（1）用大正方形的面积减去小正方形的面积，即可得解； （2）根据图形，即可得到长方形的长和宽，利用长乘宽就可得到长方形的面积，根据阴影面积相等，列出等式即可； （3）①利用公式进行计算即可； ②利用（2）中公式，逐项展开，进行计算即可． 【详解】（1）解：阴影部分的面积是：； （2）解：由图可知：长方形的宽为，长为，面积为； 由题意，得：； （3）解：①由，可知： ②原式 ． 49．已知整式，，为任意有理数． (1)试说明的值为非负数； (2)当为整数时，试说明的值一定是偶数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）将、代入化简，再结合偶次方的非负性即可解答； （2）将、代入化简，即可判断其为偶数； 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即的值为非负数． （2）解：∵，， ∴， ∵m是整数 ， ∴是整数， ∴是2的倍数，即一定为偶数 ， ∴当为整数时，的值一定是偶数． 50．规定一种新运算为：，例如：．根据此规定，解决下列问题： (1)__________； (2)若的结果是一个关于，的完全平方式，则的值为__________； (3)若，求的值． 【答案】(1)8 (2) (3)0 【分析】 （1）根据定义可得，据此求解即可； （2）根据定义可得，根据完全平方式的特点确定一次项即可得到答案； （3）由，可以得到，则可推出，据此可得答案． 【详解】（1） 解：由题意得，； （2） 解：由题意得，， ∵的结果是一个关于，的完全平方式， ∴一次项为， ∴； （3） 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 51．有10张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内．大长方形中未被覆盖的两个空白部分，设左上角的面积为，右下角的面积为．的长变化时，的值与的长无关，与的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的混合运算，设大长方形的长为x，左上角空白部分的面积，右下角空白部分的面积，计算，根据的值与的长无关可知即含x的项系数必须为0，据此求出m、n的关系． 【详解】解：设大长方形的长为x，面积为的长方形的长为，宽为， 因此， 面积为的长方形的长为，宽为m， 因此， 因为的值与的长无关， 即含x的项系数必须为0， 因此， 可得， 综上，m与n的数量关系为， 故选：B． 52．数学兴趣小组开展探究活动，研究了“多边形数规律”的问题： 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究各种多边形数． 比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为“三角形数”；类似的，称图2中的这样的数为“正方形数”． (1)第n个“三角形数”可表示为．第n个“正方形数”可表示为____________．既是三角形数又是正方形数且大于1的最小正整数为____________． (2)可以发现：任意两个连续“三角形数”之和等于一个“正方形数”，即第个“三角形数”与第n个“三角形数”之和等于第n个“正方形数”，其中n为大于1的整数，请通过计算证明． (3)通过进一步的研究发现：第n个“五边形数”可表示为，第n个“六边形数”可表示为，则推测第n个“七边形数”可表示为____________． 【答案】(1)；36 (2)见解析 (3) 【分析】（1）理解题意，结合图中信息，得出第n个“正方形数”可表示为，再把三角形数和正方形数从小到大写出来，即可得出既是三角形数又是正方形数且大于1的最小正整数为36，即可作答． （2）理解题意，列式得出即第个“三角形数”与第n个“三角形数”之和为，再整理得出，即可作答． （3）研究三角形数，正方形数，五边形数，总结规律得边形数公式：，最后把代入计算，即可作答． 【详解】（1）解：观察图中信息，得第n个“正方形数”可表示为； 依题意，三角形数： 正方形数： ∴既是三角形数又是正方形数且大于1的最小正整数为． （2）解：∵第n个“三角形数”可表示为， ∴第个“三角形数”可表示为，其中 则第个“三角形数”与第n个“三角形数”之和等于， 由（1）得第n个“正方形数”可表示为； 即第个“三角形数”与第n个“三角形数”之和等于第n个“正方形数”，其中n为大于1的整数． （3）解：依题意，三角形数，； 正方形数，； 五边形数，； 以此类推：边形数公式：， ∴当（七边形数）时：． 53．我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值．通常的解题思路是把看作字母，看作系数，合并同类项．因为代数式的值与的取值无关，所以含的项的系数为0． 具体解题过程：原式 因为代数式的值与的取值无关． 所以，解得． 【理解应用】 (1)若关于的代数式的值与的取值无关，则的值为___________． (2)已知，且的值与的取值无关，求的值． 【能力提升】 (3)7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长度变化时，的值始终保持不变，求与的等量关系． 【答案】(1)2 (2)8 (3) 【分析】（1）根据题中所给方法进行求解即可； （2）由题意易得，然后可得，进而问题可求解； （3）设，由题意易得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：， 因为代数式的值与的取值无关． 所以，解得． （2）解：∵， ∴ ， ∵的值与的取值无关， ∴， 解得：， ∴； （3）解：设，由图可知： ， ∴， ∵的长度变化时，的值始终保持不变， ∴， ∴． 54．阅读下列材料，解决相应问题： 已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“友好数对”，例如，所以和与和都是“友好数对”． (1)概念判断： 和 “友好数对”（填“是”或“不是”） (2)性质探究：为探究“友好数对”的本质，可设“友好数对”中一个数的个位数字为，十位数字为，且；另一个数的个位数字为，十位数字为，且，请探究，，，之间的等量关系． (3)性质应用：若有一个两位数，十位数字为，个位数字为，另一个两位数，十位数字为，个位数字为，且这两个数为“友好数对”，直接写出这两个两位数． 【答案】(1)是 (2) (3)和 【分析】（1）根据“友好数对”的定义，计算原数乘积与交换后新数的乘积，比较后得到判断． （2）用代数式表示出原数和交换后的新数，根据定义列等式，化简整理得到，，，的等量关系． （3）利用（2）得到的等量关系列方程，结合数位数字为正整数的限制求解，得到两个两位数． 【详解】（1）解：是，理由如下： 计算原两个数的乘积：． 交换位置后得到新数和，乘积为． 因为，符合“友好数对”的定义． （2）解：根据题意，两个原两位数分别为和，交换位置后得到的两个新数分别为和． 因为两个数是“友好数对”，所以， 展开等式左右两边得：， 消去两边相同项和， 整理得：， 因此等量关系为． （3）解：根据题意，第一个两位数的个位数字，十位数字，第二个两位数的个位数字，十位数字． 由（2）的结论，代入得：， 因为是十位数字， 因此， 等式两边同时除以得： ， 解得． 所以第一个两位数为，第二个两位数为． 答：这两个两位数是和． 55．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形，并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图2的大正方形． (1)观察图2，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系； (2)若要拼出一个面积为的长方形，则需要号纸片1张，号纸片2张，号纸片_____张； (3)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知，，求的值； ②已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】（1）利用图中大正方形的面积写出完全平方公式； （2）号纸片的数量展开后的系数； （3）①由即可求解的值； ②采用换元法，令，则，，由，计算出的值，即的值． 【详解】（1）解：由图中大正方形的面积可得，； （2）解：∵， ∴需要3张号纸片； （3）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②令，则，， ∵， ∴， ∴，即． 56．小华同学在计算后，爱思考的他发现：是项的系数，与通过计算后的结果对比，项的系数是正确的．为了验证这个发现，又计算，项的系数为，用他发现的方法计算，结果还是一样的．请你认真领会小华同学的方法，并用他的方法解决下面问题． (1)①中项的系数是________； ②若，其中________． (2)若的积中不含项，求的值． (3)拓展应用：某超市计划购进，两种型号某品牌矿泉水共100箱（每箱24瓶），有多种购进方案，这两种型号矿泉水的进价和售价如表格所示： 进价/（元/箱） 22 32 售价/（元/箱） 46 59 该超市积极参与做慈善活动，决定每售出一箱型号矿泉水，向社会福利机构捐款元，型号矿泉水每箱的售价不变，100箱矿泉水全部售出后，不同的购进方案，超市获得的利润都相同，设购进型号矿泉水箱，超市获得的利润为元，用含，的式子表示，并求的值． 【答案】(1)①；②4052 (2) (3)；， 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的运算及应用等知识点，理解多项式乘以多项式所得的多项式每一项的系数及题干中得出的规律是解决问题的关键． （1）①由题干中计算方法即可得解；②由题干和前面计算知：几个多项式相乘的积的一次项系数为每个多项式中一次项系数与另外的多项式的常数项的积之和，根据规律即可得解； （2）由题干中计算方法即可得解； （3）根据题意列出式子，由无论a为多少，w都不变，得出m的值，即可得解； 【详解】（1）解：①的系数：； ②的展开式中，的系数 ∵是由2026个相乘， 又由题干和前面计算知：几个多项式相乘的积的一次项系数为每个多项式中一次项系数与另外的多项式的常数项的积之和， ∴它的展开式的一次项系数为2026个2的和， ∴. （2）解：的系数为： 不含项则， ∴． （3）解：购进型箱，型箱，利润： 整理得： 因利润与无关，故， ∴， 57．定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． (1)_____； (2)若有理数m、n满足，且． ①求的值； ②如图，四边形是长方形，点E、F、G、H分别在边上，连接交于点P，且将长方形分割成四个小长方形，若，，，，在①的条件下，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)11 (2)①；② 【分析】（1）利用新定义的运算法则计算即可求解； （2）①利用新定义的运算法则化简，再整体代入求解即可； ②利用矩形面积公式和三角形面积公式计算得到图中阴影部分的面积为，再将①中数据整体代入求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：①∵，， ∴， ∴， 整理得， ∵， ∴， ∴， ∴； ②图中阴影部分的面积 ， ∵，， ∴原式． 58．【基本方法】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求a的值．通常的解题思路是：把x、y看作字母，a看作系数，合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0．具体解题过程是：原式，∵代数式的值与x的取值无关，∴，解 (1)【理解应用】若关于x的代数式的值与x的取值无关，则m值为 ． (2)【理解应用】，，且的值与x的取值无关，求n的值． (3)【迁移提升】7张如图1的小长方形卡片，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把当作系数，将多项式去括号，合并同类项，得，再令的系数为0，即可求出的值； （2）根据整式的混合运算法则，先将，的代数式代入式子，合并同类项得，然后根据的值与无关，令的系数为0，即可求出n的值； （3）设，由图可得，，即可得到关于的代数式，根据其值不变，令的系数为0 ，即可求得与的关系． 【详解】（1）解： ， 其值与的取值无关， ， ； （2）∵，， ， 的值与无关， ，即； （3）设，由图可知，， ， 当的长变化时，的值始终保持不变． 取值与无关， ， ． 59．对于一个图形，用不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式：如图1可得等式；现用四个长与宽分别为的小长方形拼成如图2所示的正方形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)【探索发现】观察图2，写出这三个代数式之间的一个等式___________． (2)【解决问题】①若，则___________． ②当时，求的值． (3)【拓展提升】如图4，将边长为的正方形和边长为的正方形叠放在一起，三点在同一条直线上，连结和．若这两个正方形的边长满足，请求出阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)① ② (3) 【分析】（1）可通过整体面积等于各部分面积之和来得到等式； （2）①根据（1）中等式变形得出结论；②根据，，可得，即可求解； （3）根据等式变形可得，即可求解. 【详解】（1）解：如图所示：，， ∴； （2）①解：∵，， ∴， ∴； ②解：∵，， ∴， 即：； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴. 试卷第2页，共49页 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业02 整式的乘除与乘法公式 【知识点1 单项式的乘除运算】 把系数、同底数幂分别相乘(除)，作为积(商)的因式，单独出现的字母连同它的指数作为积(商)的因式； 【知识点2 多项式的乘除运算法则】 m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc； (a＋b＋c)÷m＝； (m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb 【知识点3 平方差公式】 (a＋b)(a－b)＝a2－b2 【知识点4 完全平方公式】 (a±b)2＝a2±2ab＋b2 常见的变形有 a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；(a－b)2＝(a＋b)2－4ab； (－a－b)2＝(a＋b)2；(－a＋b)2＝(a－b)2 【题型1 单项式有关的运算及应用】 1．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 3．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 4．有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个面积为的长方形．则需要（    ） A．A类卡片2张，B类卡片3张 B．A类卡片3张，C类卡片2张 C．A类卡片3张，B类卡片2张 D．B类卡片3张，C类卡片2张 5．2026年全国两会明确提出并重点部署乡村振兴工作，为更好地落实该精神，上级决定在一块长方形空坪上修建板房，作为扶贫办事务所，已知长方形空坪长为，宽为，则其面积为（    ） A． B． C． D． 6．计算： (1)； (2)． 【题型2 多项式的乘法运算及应用】 7．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 8．小刚同学计算一道整式乘法：，由于他抄错了多项式中前面的符号，把“”写成“”，得到的结果为，则的结果为（    ） A． B． C． D． 9．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（为自然数）展开式的项数及各项系数的规律．例如：，系数为1；，系数分别为1，1；，系数分别为1，2，1；…则展开后的常数项是（     ） A．50 B．40 C．36 D．35 10．如果多项式与的乘积化简后的系数为6，则m的值为_________． 11．计算：． 12．先化简，再求值：，其中，． 13．小厉、小琪在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的福建土楼，也有被誉为中国民居建筑典范的山西大院，她们对于哪个建筑的占地面积（图中阴影）更大展开了讨论． ①小厉认为图1中回字形福建土楼的占地面积（记为）更大； ②小琪认为图2中山西大院的占地面积（记为）更大． 【数据采集】 为了证明自己的想法是正确的，她们二人分别对建筑物进行了数据测量，数据如图所示． 【数据应用】 (1)请分别计算这两个建筑物的占地面积； (2)若，则______（填“小厉”或“小琪”）的想法正确，并说明理由． 【题型3 利用乘法公式进行计算】 14．，分别表示两个边长为，的正方形的面积．若，，则（     ） A．12 B．14 C．16 D．22 15．计算： _________． 16．如图所示图象表示的个位数字随m（m为正整数）变化的规律，则的个位数字是_________． 17．先化简，再求值：，其中． 18．先化简，再求值：，其中． 19．理解与尝试 在计算时有两种算法， 方法1：请你直接计算； 方法2：用字母代替数，转化成整式计算来完成． 例如：设，原式 (1)请你完成以上计算； 应用： (2)计算 20．如图，某居民小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一个雕塑，底座是边长为米的正方形． (1)绿化的面积是多少平方米？ (2)求出当，时的绿化面积． 21．已知，，，先化简，再计算当时，求该式子的值． 【题型4 整式乘法运算中的字母确定问题】 22．计算的结果为，则的值是（   ） A． B． C． D． 23．若关于的二次三项式是一个完全平方式，则常数的值是（     ） A．5或 B．5 C． D．或1 24．若m，n互为倒数，且满足，则n的值为（   ） A． B． C． D．2 25．已知，，．若的值与m无关，则a的值为（    ） A． B． C．3 D．5 26．，求的值_______． 27．若的乘积中不含项，则a的值为____． 28．已知的展开式中不含和项，则______，______． 【题型5 整式的化简求值】 29．先化简，再求值：，其中． 30．先化简，再求值：求的值，其中． 31．先化简，再求值：，其中，． 32．先化简，再求值：，其中． 33．先化简，再求值：的值，其中． 34．化简：，其中，． 【题型6 整式的乘法与图形面积】 35．如图，在长方形中放入一个边长为8的大正方形和两个边长为6的小正方形（正方形和正方形），其中3个阴影部分的面积满足，则长方形的面积是______． 36．【阅读理解】我们在学习整式乘法时，常常通过数形结合来理解掌握运算方法．如图1反映了单项式与多项式的乘法运算方法，即：． (1)【类比应用】任务一：观察图2，完成填空： ． (2)【综合应用】任务二： ①由图3，可以得到等式： ． ②若实数满足：，，求的值． 37．综合与实践 活动主题：借助图形直观感受数与形之间的关系 初步应用 (1)如图，一个大长方形被分割为4个大小不同的小长方形，通过用两种不同方法计算大长方形的面积，可推导出整式乘法的运算规律，请用图中标注的字母写出对应的等式： ． 拓展创新 (2)仿照（1）中面积法的思路，画出图形，并计算． 迁移应用 (3)若式子无论x为多少时恒成立，求m的值． 38．综合与实践: 【观察发现】： (1)观察图①，图形的面积能说明的乘法公式是_________________________； 观察图②，用等式表示图中阴影部分的面积是 ． 【问题解决】： (2)根据发现，若满足 ，求的值． 【拓展应用】： (3)如图③，某学校有一块梯形空地，且于点，，．该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草．经测量种草区域的面积和为，，求种花区域的面积和是多少？ 39．图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，对于一个图形，通过不同方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． (1)观察图1、图2，用等式表示图1和图2的面积运算为___________；（用含的式子表示） (2)嘉琪想用这三种纸片拼出一个面积为的大长方形，需要图2中的三种纸片各多少张？ (3)如图3，将两个正方形如图摆放，点与点重合，点分别在的延长线上，若它们边长之和为16，阴影部分面积为60，求这两个正方形的面积之差． 40．【探究发现】 从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是________（填字母序号） A． B． C． 【知识迁移】 (2)运用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，，则的值为________； ②计算：． 【拓展应用】 (3)如图，大正方形与小正方形的面积之差是40，则阴影部分的面积为________． 41．在“综合与实践”活动中，同学们通过图形剪拼操作探究乘法公式的几何意义，体会数形结合思想．如图1可以得到；如图2可以得到；现有长与宽分别为a，b的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图3的图形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)【探索发现】 ①观察图3，大正方形的面积可表示为______，小正方形的面积可表示为______； ②结合图3的拼接方式，直接写出与之间的关系：_______；（用含a，b的代数式表示出来） (2)【解决问题】 ①若，，则______； ②已知长方形的长和宽分别为m，n，，，求的值； (3)【拓展提升】 ①若t满足，求的值； ②如图4，在正方形中，E，F分别是边上的点，已知，，长方形的面积是48，分别以为边作正方形、正方形，求阴影部分的面积． 42．学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图 1：A型卡片是边长为的正方形， B 型卡片是边长为的正方形，C型卡片是长和宽分别为，的长方形． (1)选取 1 张 A型卡片，2 张C型卡片，1 张B型卡片，在纸上按照图 2 的方式拼成一个边长为的大正方形，通过不同方式表示大正方形的面积，可得到等式：_____ ； (2)请用上题得到的等式求解下面问题：已知，求的值； (3)如果用若干张A，B，C三种卡片拼成的一个长方形，边长分别为和 ，在虚线框中画出你的拼图，并在示意图上按照图2的方式标注好长方形的长与宽； (4)选取1张A型卡片，4张C型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形框架内，图中两阴影部分（长方形）为没有放置卡片的部分． 已知的长度固定不变，的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为． 若 ，当与满足什么关系，为定值，且定值为多少？ （用含的代数式表示）． 43．“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现．例如图1，可得等式或 (1)如图2，请写出你发现的恒等式：________________； (2)利用（1）中的发现计算：若，，求的值； (3)利用6个相同的宽为，长为的小长方形，拼成如图3所示的大长方形，记长方形面积与长方形的面积差为S，求S（用含的代数式表示）． 44．已知： （1）； （2）； （3）；猜想规律如下： （其中为正整数，且）． 利用上面猜想的结论计算：_____________． 45．为响应儿童友好空间建设的号召，某市政公园规划出一片长为，宽为的长方形区域，用来打造儿童活动区域．如图，该区域划分为三个功能区，分别是游戏娱乐区、文化体验区、绿化休息区，其中、游戏娱乐区和文化体验区均为长方形，绿化休息区为边长为的正方形． (1)分别求出游戏娱乐区、文化体验区、绿化休息区这三个区域的面积（用含的式子表示）． (2)该公园计划对这片儿童活动区域的地面进行处理，为游戏娱乐区和文化体验区铺设塑胶地面，造价为每平方米元；为绿化休息区铺设草坪，造价为每平方米元．求处理这片儿童活动区域的地面所需的费用（用含的式子表示）． 46．对任意相邻两个整式进行如下操作：用左边的整式减去右边的整式，所得的结果放在这两个整式之间，得到一个新的整式串，称其为作差变换．已知两个依次排列的整式为，，对其进行作差变换，则第1次作差变换得到的整式串是，，，对该新的整式串进行第2次作差变换，以此进行下去．下列说法： ①若第2次作差变换新增整式之积不含x的一次项，则的值为； ②当时，若第1次作差变换得到的整式串之积为3，则； ③第2026次作差变换得到的整式串之和为． 其中正确的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 47．观察下列式子：；；； (1)请你根据上面式子的规律直接写出第个式子： ； (2)探索以上式子的规律，试写出第个等式，并说明第个等式成立． 48．如图，边长为的大正方形有一个边长为的小正方形，把图中的阴影部分拼成一个长方形（如图所示） (1)如图，可以求出阴影部分的面积是________（写成平方差的形式）． (2)如图，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，比较左、右的阴影部分面积，可以得到公式________． (3)请应用这个公式完成下列各题： ①计算： ②计算： 49．已知整式，，为任意有理数． (1)试说明的值为非负数； (2)当为整数时，试说明的值一定是偶数． 50．规定一种新运算为：，例如：．根据此规定，解决下列问题： (1)__________； (2)若的结果是一个关于，的完全平方式，则的值为__________； (3)若，求的值． （1）根据定义可得，据此求解即可； （2）根据定义可得，根据完全平方式的特点确定一次项即可得到答案； （3）由，可以得到，则可推出，据此可得答案． 51．有10张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内．大长方形中未被覆盖的两个空白部分，设左上角的面积为，右下角的面积为．的长变化时，的值与的长无关，与的数量关系为（   ） A． B． C． D． 52．数学兴趣小组开展探究活动，研究了“多边形数规律”的问题： 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究各种多边形数． 比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为“三角形数”；类似的，称图2中的这样的数为“正方形数”． (1)第n个“三角形数”可表示为．第n个“正方形数”可表示为____________．既是三角形数又是正方形数且大于1的最小正整数为____________． (2)可以发现：任意两个连续“三角形数”之和等于一个“正方形数”，即第个“三角形数”与第n个“三角形数”之和等于第n个“正方形数”，其中n为大于1的整数，请通过计算证明． (3)通过进一步的研究发现：第n个“五边形数”可表示为，第n个“六边形数”可表示为，则推测第n个“七边形数”可表示为____________． 53．我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值．通常的解题思路是把看作字母，看作系数，合并同类项．因为代数式的值与的取值无关，所以含的项的系数为0． 具体解题过程：原式 因为代数式的值与的取值无关． 所以，解得． 【理解应用】 (1)若关于的代数式的值与的取值无关，则的值为___________． (2)已知，且的值与的取值无关，求的值． 【能力提升】 (3)7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长度变化时，的值始终保持不变，求与的等量关系． 54．阅读下列材料，解决相应问题： 已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“友好数对”，例如，所以和与和都是“友好数对”． (1)概念判断： 和 “友好数对”（填“是”或“不是”） (2)性质探究：为探究“友好数对”的本质，可设“友好数对”中一个数的个位数字为，十位数字为，且；另一个数的个位数字为，十位数字为，且，请探究，，，之间的等量关系． (3)性质应用：若有一个两位数，十位数字为，个位数字为，另一个两位数，十位数字为，个位数字为，且这两个数为“友好数对”，直接写出这两个两位数． 55．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形，并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图2的大正方形． (1)观察图2，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系； (2)若要拼出一个面积为的长方形，则需要号纸片1张，号纸片2张，号纸片_____张； (3)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知，，求的值； ②已知，求的值． 56．小华同学在计算后，爱思考的他发现：是项的系数，与通过计算后的结果对比，项的系数是正确的．为了验证这个发现，又计算，项的系数为，用他发现的方法计算，结果还是一样的．请你认真领会小华同学的方法，并用他的方法解决下面问题． (1)①中项的系数是________； ②若，其中________． (2)若的积中不含项，求的值． (3)拓展应用：某超市计划购进，两种型号某品牌矿泉水共100箱（每箱24瓶），有多种购进方案，这两种型号矿泉水的进价和售价如表格所示： 进价/（元/箱） 22 32 售价/（元/箱） 46 59 该超市积极参与做慈善活动，决定每售出一箱型号矿泉水，向社会福利机构捐款元，型号矿泉水每箱的售价不变，100箱矿泉水全部售出后，不同的购进方案，超市获得的利润都相同，设购进型号矿泉水箱，超市获得的利润为元，用含，的式子表示，并求的值． 57．定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． (1)_____； (2)若有理数m、n满足，且． ①求的值； ②如图，四边形是长方形，点E、F、G、H分别在边上，连接交于点P，且将长方形分割成四个小长方形，若，，，，在①的条件下，求图中阴影部分的面积． 58．【基本方法】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求a的值．通常的解题思路是：把x、y看作字母，a看作系数，合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0．具体解题过程是：原式，∵代数式的值与x的取值无关，∴，解 (1)【理解应用】若关于x的代数式的值与x的取值无关，则m值为 ． (2)【理解应用】，，且的值与x的取值无关，求n的值． (3)【迁移提升】7张如图1的小长方形卡片，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 59．对于一个图形，用不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式：如图1可得等式；现用四个长与宽分别为的小长方形拼成如图2所示的正方形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)【探索发现】观察图2，写出这三个代数式之间的一个等式___________． (2)【解决问题】①若，则___________． ②当时，求的值． (3)【拓展提升】如图4，将边长为的正方形和边长为的正方形叠放在一起，三点在同一条直线上，连结和．若这两个正方形的边长满足，请求出阴影部分的面积． 试卷第2页，共49页 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $