1.2整式的乘法寒假预习讲义（5知识点+10题型+过关检测） 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

1.2整式的乘法寒假预习讲义 （5知识点+10题型+过关检测） 模块一 题型先知导航 【题型1 计算单项式乘单项式】 2 【题型2 计算单项式乘多项式】 2 【题型3 单项式乘多项式的应用】 2 【题型4 计算多项式乘多项式】 3 【题型5 多项式乘多项式与图像面积】 3 【题型6 （x+p）（x+q）型多项式乘法】 4 【题型7 利用单项式乘法求字母或代数式的值】 5 【题型8 利用单项式乘多项式求字母的值】 5 【题型9 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 5 【题型10多项式乘法中的规律性问题】 5 模块二 预习目标导航 本节内容包含单项式 × 单项式、单项式 × 多项式、多项式 × 多项式、单项式相除、多项式除以单项式等类运算，是整式运算的核心进阶，预习目标分基础、能力、素养三层，贴合课堂学习与自主预习需求。 【知识点1.单项式乘以单项式】模块三 知识点梳理 单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 【知识点2.单项式乘以多项式】 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即(都是单项式). 【知识点3.多项式乘以多项式】 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即. 特别说明：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：. 【知识点4.单项式相除】 把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式. 【知识点5.多项式除以单项式】 先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加. 即： 模块四 题型汇总 【题型1 计算单项式乘单项式】 【典例1】．计算： ． 变式1-1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 变式1-2．下列计算中①；②；③；④，正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型2 计算单项式乘多项式】 【典例2】．计算： ． 变式2-1．计算： ． 变式2-2．化简： (1) (2) (3) 【题型3 单项式乘多项式的应用】 【典例3】．一个长方形的长，宽分别是和，这个长方形的面积是（） A． B． C． D． 变式3-1．如图，边长为a的正方形，边长为b的正方形，边长为b，c的长方形，边长为b，的长方形，组成了边长为a，的长方形．其中边长为a的大正方形面积为26，图中的阴影部分的总面积为8，则边长为b的小正方形的面积为（    ） A．7 B．10 C．11 D．14 变式3-2．如图，某小区为改善业主的居住环境，准备在一个长为，宽为的长方形草坪上修建一条宽为的小路（阴影部分），这条小路的面积是（   ） A． B． C． D． 【题型4 计算多项式乘多项式】 【典例4】．下列各式中，结果错误的是（    ） A． B． C． D． 变式4-1．计算：． 变式4-2．已知，则代数式的值是（   ） A． B．0 C．1 D． 【题型5 多项式乘多项式与图像面积】 【典例5】．我们知道对于一个几何图形，可以采用两种不同的方法计算它的面积，从而得到一个数学等式．如图，可以得到的数学等式是（    ） A． B． C． D． 变式5-1．如图1，一个小长方形的长为，宽为a，把5个大小相同的小长方形放入图2的大长方形内，则下列说法：①大长方形的长为；②大长方形的面积为；③阴影部分的面积为；④若，大长方形的面积为，大长方形内阴影部分的面积为，则．正确的有 ．（填序号） 变式5-2．五张如图所示的长为，宽为的小长方形纸片，按如图的方式不重叠地放在长方形中，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差的绝对值为，当的长度变化时，按照同样的放置方式，始终保持不变，则，满足的关系式为（　　） A． B． C． D． 【题型6 （x+p）（x+q）型多项式乘法】 【典例6】．若，则的值为 ． 变式6-1．若，则 ． 变式6-2．当时，的值是 ． 【题型7 利用单项式乘法求字母或代数式的值】 【典例7】．已知单项式与的积与是同类项，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 变式7-1．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式7-2．若，则 ． 【题型8 利用单项式乘多项式求字母的值】 【典例8】．若，则（    ） A．6 B． C．8 D． 变式8-1．若计算的结果中不含项，则常数的值为（   ） A． B． C． D． 变式8-2．关于x的代数式的化简结果中不含x的二次项，则a的值为 ． 【题型9 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 【典例9】．已知．若的值与x的取值无关，则当时，A的值为 ． 变式9-1．若计算的结果中含项的系数为，则的值为 ． 变式9-2．若的计算结果中不含的一次项，则的值是（   ） A． B． C．3 D． 【题型10多项式乘法中的规律性问题】 【典例10】．杨辉是我国南宋时期杰出的数学家，在其所著的《详解九章算法》中记载了源于北宋时期数学家贾宪的“开方作法本源图”（如右图），因此我们把这个图中的三角形叫作“杨辉三角”或“贾宪三角”．杨辉三角解释了二项式的乘方规律，其两腰上都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和．例如，此三角形中第六行的6个数1，5，，，5，1，恰好对应着展开式中的系数，则的展开式中的系数是（   ） A．7 B． C． D． 变式10-1．观察下列各式，寻找规律．已知，计算： ，， ，，… 则的个位数字是（   ） A． B． C． D． 变式10-2．我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方的展开式各系数规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）． 1   1  1   1  2  1   1  3  3  1   1  4  6  4  1   …… 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是（　　） A． B． C．6 D．60 模块五 过关检测 1．计算的结果是（ ） A．a B． C． D． 2．公园里有一块长为米，宽为的长方形草坪，经统一规划后，长减少了1米，宽增加1米，改造后得到一块新的长方形草坪，该草坪面积与原来的相比，面积（   ） A．不变 B．减少 C．增加 D．无法判断 3．如图，现有三种不同型号的卡片，其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为、宽为的长方形，型卡片是边长为的正方形，且．现取出1张型卡片，12张型卡片，要再取几张B型卡片，使得所取卡片可以不重叠、无缝隙地拼成一个长方形．那么下列取法错误的是（　　） A．6张 B．7张 C．8张 D．13张 4．若，则代数式的值为（    ） A．16 B． C．20 D． 5．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 6．对任意相邻两个整式进行如下操作：用左边的整式减去右边的整式，所得的结果放在这两个整式之间，得到一个新的整式串，称其为作差变换．已知两个依次排列的整式为，，对其进行作差变换，则第1次作差变换得到的整式串是，，，对该新的整式串进行第2次作差变换，以此进行下去．下列说法： ①若第2次作差变换新增整式之积不含的一次项，则的值为3； ②当时，若第1次作差变换得到的整式串之积为3，则； ③第28次作差变换得到的整式串之和为． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．如图是某公司的平面结构示意图，用含、的式子表示会议厅比办公区多出的面积为 ．注：（图形中的四边形均是长方形或正方形）． 8．已知，求的值 ． 9．某班级组织联欢活动布置教室，需要制作出一些边长如图所示的A，B，C三种彩色卡片，其中．最后需要用这些卡片拼出一个边长分别为和的大长方形，那么所准备的C种卡片的张数不能少于 张． 10．若代数式展开后不含项，求的值是 ． 11．用图1中的卡片覆盖图2月历上的四个数，记，则与之间的数量关系是 ． 12．我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方的展开式各系数规律（如图），称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）．请依据上述规律，写出展开式中第三项的系数是 ．                                     1                                1  1                       1  2  1               1  3  3  1      1  4  6  4  1               …                               … 13．计算： (1)． (2)． (3)． 14．小明计算一道代数式乘法题时，由于将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到． (1)根据上述信息，分别计算出m，n的值． (2)请你计算出这道整式乘法题的正确答案． 15．对联是中华传统文化的瑰宝．如图所示，对联装裱后卷轴的总宽度为b，总长度为，对联上方留白称为天头，长为，下方留白称为地头，图中天头和地头的长度之比为，左、右两边的边宽均为天头与地头长度之和的． (1)这副对联画心（即图中阴影部分）的纵向长度为________，横向宽度为________；（用含a、b的代数式表示，并将结果化为最简） (2)求这副对联画心（即图中阴影部分）的面积．（用含a、b的代数式表示，并将结果化为最简） 16．【方法点拨】 在求代数式的值时，遇到这样一类题：“代数式的值与x的取值无关，求a的值”．通常的解题方法是把x、y看作字母，a看作系数，然后合并同类项，即原式．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即，则． 【理解应用】 （1）若关于x的多项式不含项，则________； （2）已知，，且的值与y的取值无关，求x的值； 【拓展延伸】 （3）用7张长为a，宽为b的长方形纸片按照如图所示的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分未被覆盖，设右上角部分的面积为，左下角部分的面积为，当的长发生变化时，的值始终保持不变．请求出a与b之间的数量关系． 17．书籍是人类进步的阶梯！为了爱护书籍，人们常用封皮进行包裹．现有一本数学课本（如图1），其长为、宽为、厚为．小军用一张长方形纸（如图2）包好了这本数学书，图中虚线为折痕，阴影部分是裁掉区域，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长（）即为折叠进去的宽度．请解答下列问题：（用含x的代数式表示，并化为最简） (1)图2中这张长方形包书纸（含裁掉区域）的长为______，宽为______； (2)求图2中这张长方形包书纸（含裁掉区域）的总面积． 18．下列每组中两数的和为定值，观察它们的积的变化规律，回答下列问题． ①； ②． 【发现规律】 （1）两数的和一定时，两数的差的绝对值越小，则它们的积就越__________；（填“大”或“小”）当两数的差的绝对值为0（即两数相等）时，它们的积最__________；（填“大”或“小”） 【解释规律】 （2）设两数为和，其中为定值，．请你解释以上所发现的规律； 【应用规律】 （3）用长的绳子围成一个长方形，当长方形的两条邻边长各为多少时，长方形的面积最大？最大面积是多少． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2整式的乘法寒假预习讲义 （5知识点+10题型+过关检测） 模块一 题型先知导航 【题型1 计算单项式乘单项式】 2 【题型2 计算单项式乘多项式】 2 【题型3 单项式乘多项式的应用】 4 【题型4 计算多项式乘多项式】 6 【题型5 多项式乘多项式与图像面积】 7 【题型6 （x+p）（x+q）型多项式乘法】 9 【题型7 利用单项式乘法求字母或代数式的值】 10 【题型8 利用单项式乘多项式求字母的值】 11 【题型9 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 13 【题型10多项式乘法中的规律性问题】 15 模块二 预习目标导航 本节内容包含单项式 × 单项式、单项式 × 多项式、多项式 × 多项式、单项式相除、多项式除以单项式等类运算，是整式运算的核心进阶，预习目标分基础、能力、素养三层，贴合课堂学习与自主预习需求。 【知识点1.单项式乘以单项式】模块三 知识点梳理 单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 【知识点2.单项式乘以多项式】 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即(都是单项式). 【知识点3.多项式乘以多项式】 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即. 特别说明：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：. 【知识点4.单项式相除】 把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式. 【知识点5.多项式除以单项式】 先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加. 即： 模块四 题型汇总 【题型1 计算单项式乘单项式】 【典例1】．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘法，根据单项式乘法法则，系数相乘，同底数幂相乘． 【详解】解：原式． 故答案为：． 变式1-1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，根据单项式乘法法则，系数相乘，同底数幂相乘，指数相加即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 变式1-2．下列计算中①；②；③；④，正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查整式的运算，涉及积的乘方、同底数幂的除法、单项式乘单项式等，需逐一验证每个计算的正误即可 【详解】解：①，故①错误； ②，故②错误； ③，故③正确； ④，故④错误． ∴仅③正确，正确的有1个． 故选：A． 【题型2 计算单项式乘多项式】 【典例2】．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查单项式乘以多项式，根据单项式乘以多项式的法则进行计算即可． 【详解】解：原式， 故答案为：． 变式2-1．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘多项式，根据单项式乘多项式的法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为． 变式2-2．化简： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，单项式乘以多项式的计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可； （2）根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可 （3）先计算积的乘方，再根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【题型3 单项式乘多项式的应用】 【典例3】．一个长方形的长，宽分别是和，这个长方形的面积是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式，掌握单项式乘多项式的定义是关键．根据长方形的面积等于长乘以宽列式计算即可． 【详解】∵长方形的面积=长×宽， ∴面积， ， ． 故选D． 变式3-1．如图，边长为a的正方形，边长为b的正方形，边长为b，c的长方形，边长为b，的长方形，组成了边长为a，的长方形．其中边长为a的大正方形面积为26，图中的阴影部分的总面积为8，则边长为b的小正方形的面积为（    ） A．7 B．10 C．11 D．14 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，单项式乘以多项式的应用，根据三角形面积公式和正方形面积公式得到，，则可推出，据此可得答案． 【详解】解：∵边长为a的大正方形面积为26，图中的阴影部分的总面积为8， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴边长为b的小正方形的面积为10， 故选：B． 变式3-2．如图，某小区为改善业主的居住环境，准备在一个长为，宽为的长方形草坪上修建一条宽为的小路（阴影部分），这条小路的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘以多项式的应用，根据长方形的面积公式列式计算即可，掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：由图可得，这条小路的面积是， 故选：． 【题型4 计算多项式乘多项式】 【典例4】．下列各式中，结果错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式法则是解题的关键． 对每个选项运用多项式乘法法则展开计算，对比左右两边是否相等，从而找出结果错误的选项． 【详解】解：A、与右边相等，正确，不符合题意； B、与右边相等，正确，不符合题意； C、而选项右边是，错误，符合题意； D、与右边相等，正确，不符合题意． 故选：C． 变式4-1．计算：． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘多项式和去括号，熟练掌握多项式的乘法法则是解题的关键． 根据多项式乘多项式法则计算，然后合并同类项即可求解． 【详解】解：原式 ． 变式4-2．已知，则代数式的值是（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查代数式求值，熟练掌握乘法运算法则和整体代入思想是解题的关键，将给定方程展开并变形，得到的值，然后代入代数式求值即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴. ∴. 故选：C 【题型5 多项式乘多项式与图像面积】 【典例5】．我们知道对于一个几何图形，可以采用两种不同的方法计算它的面积，从而得到一个数学等式．如图，可以得到的数学等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式乘法的几何意义，体现数形结合的思想．图中的面积可表示为一个大的正方形的面积或所分成的9个图形的面积之和，由此可得到答案． 【详解】解：图中的面积可表示为：， 或， 故可以得到的数学等式是：， 故选：D． 变式5-1．如图1，一个小长方形的长为，宽为a，把5个大小相同的小长方形放入图2的大长方形内，则下列说法：①大长方形的长为；②大长方形的面积为；③阴影部分的面积为；④若，大长方形的面积为，大长方形内阴影部分的面积为，则．正确的有 ．（填序号） 【答案】②④ 【分析】本题考查多项式乘以多项式与几何面积，先表示出大长方形的长为，大长方形的宽为，再表示出大长方形的面积，最后逐个判断即可． 【详解】解：大长方形的长为，故①错误；大长方形的宽为， ∴大长方形的面积为，故②正确； ∵5个小长方形的面积为：， ∴阴影部分的面积为：，故③错误； ∵， ∴，， ∴，故④正确． 故答案为：②④． 变式5-2．五张如图所示的长为，宽为的小长方形纸片，按如图的方式不重叠地放在长方形中，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差的绝对值为，当的长度变化时，按照同样的放置方式，始终保持不变，则，满足的关系式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查代数式的应用，熟练掌握该知识点是解题的关键． 用含，，的代数式表示左上角与右下角的阴影部分的面积，从而得到，因为当的长度变化时，按照同样的放置方式，始终保持不变，所以可推得前的系数值为0，则问题可解． 【详解】解：由题意有，，， ． 当的长度变化时，按照同样的放置方式，始终保持不变， ， ． 故选：A． 【题型6 （x+p）（x+q）型多项式乘法】 【典例6】．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘多项式，通过展开左边多项式并与右边比较系数，求出b和c的值即可． 【详解】解：， ∵， ∴； ∴，， ∴． 故答案为：． 变式6-1．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了计算多项式乘多项式，型多项式乘法，求代数式的值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 将等式左边展开，与右边多项式对比系数，求出a和b的值，再计算它们的和． 【详解】解： ． 因为， 所以 所以，常数项． 故， 故答案为：． 变式6-2．当时，的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式与多项式相乘，先将所求代数式展开整理，再结合已知条件进行整体代入计算． 【详解】解：化简：； ∵， ∴将其代入化简后的式子，得； 故答案为：． 【题型7 利用单项式乘法求字母或代数式的值】 【典例7】．已知单项式与的积与是同类项，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查同类项的定义，单项式乘单项式，先计算单项式得，再根据同类项的定义求出、的值，再代值计算即可． 【详解】解：， ∵单项式与的积与是同类项， ∴与是同类项， ∴，， 解得，， ∴， 故选：C． 变式7-1．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式，负整数指数幂，根据单项式乘单项式运算法则求解，得到关于m，n的方程，求出的值，代入即可求出结果． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴，， ∴． 故选：A． 变式7-2．若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查单项式乘单项式，利用单项式乘单项式法则计算后得到关于m，n的方程，解得，的值后代入中计算即可． 【详解】解：， 则，， 解得：，， 那么， 故答案为：2． 【题型8 利用单项式乘多项式求字母的值】 【典例8】．若，则（    ） A．6 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式乘多项式，正确计算是解题的关键． 利用单项式乘多项式法则展开左边表达式，比较同类项系数求即可. 【详解】解：∵ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ . 故选：C. 变式8-1．若计算的结果中不含项，则常数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式的运算，多项式的项及系数，先将展开，合并同类项得，继而得到，求解即可．解题的关键是掌握相应的运算法则． 【详解】解： ， ∵计算的结果中不含项， ∴， 解得：， 即常数的值为． 故选：A． 变式8-2．关于x的代数式的化简结果中不含x的二次项，则a的值为 ． 【答案】 3 【分析】本题考查整式的混合运算，将代数式展开并合并同类项，根据不含二次项的条件，令二次项系数为零，求解a的值即可 【详解】原式 = = = ， ∵不含x的二次项， ∴ ， 解得 。 故答案为3 【题型9 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 【典例9】．已知．若的值与x的取值无关，则当时，A的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了整式加减的无关型问题，掌握多项式乘以多项式法则是解题关键．原式利用多项式乘以多项式法则和整式加减运算法则计算，再根据值与x的取值无关，求出、的值，进而得到代数式，再代入计算求值即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 的值与x的取值无关， ，， ，， ， 当时，A的值为， 故答案为：3． 变式9-1．若计算的结果中含项的系数为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的知识点包括多项式的乘法运算法则、同类项的合并方法，以及通过系数对应关系构建方程求解参数的代数思想，核心是对整式运算和方程求解的综合应用；将多项式展开后，合并同类项，根据项的系数为，列出方程求解． 【详解】解： ∵项的系数为， ∴， 解得． 故答案为：． 变式9-2．若的计算结果中不含的一次项，则的值是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式乘多项式； 展开多项式后，令一次项系数为零，求解a． 【详解】解：， ∵计算结果不含x的一次项， ∴， 解得， 故选∶D． 【题型10多项式乘法中的规律性问题】 【典例10】．杨辉是我国南宋时期杰出的数学家，在其所著的《详解九章算法》中记载了源于北宋时期数学家贾宪的“开方作法本源图”（如右图），因此我们把这个图中的三角形叫作“杨辉三角”或“贾宪三角”．杨辉三角解释了二项式的乘方规律，其两腰上都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和．例如，此三角形中第六行的6个数1，5，，，5，1，恰好对应着展开式中的系数，则的展开式中的系数是（   ） A．7 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数字规律，多项式乘法的应用，找出本题的数字规律是解题的关键． 根据每一行两端的系数都为1，中间部分系数分别为上一行相邻两系数的和，据此计算求值． 【详解】解：， 的系数是， 故选：D． 变式10-1．观察下列各式，寻找规律．已知，计算： ，， ，，… 则的个位数字是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题是数字类规律题，考查了整式乘法，认真观察、仔细思考，弄清题中的规律是解决这类问题的方法.首先利用已知的等比数列求和公式，将转化为；接着根据的幂的个位数字周期规律(周期为)，判断出的个位数字为，进而推出的个位数字为；最后通过分析的奇偶性，得出该式的个位数字为． 【详解】解：依据变化规律，可得：， ∴（当)， 令，，则 . 求 的个位数字， ∵的幂的个位周期为4（3，9，7，1），且 ，余数为1， ∴的个位为， ∴的个位为， ∵为偶数，除以后个位为， ∴和的个位数字为． 故选：C． 变式10-2．我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方的展开式各系数规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）． 1   1  1   1  2  1   1  3  3  1   1  4  6  4  1   …… 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是（　　） A． B． C．6 D．60 【答案】A 【分析】本题考查多项式乘法中的规律性探究，根据杨辉三角的规律，的展开式系数为 1，6，15，20，15，6，1，含的项对应第二项，需考虑，的符号和幂次即可． 【详解】解：∵展开式中含项的系数为 6， ∴展开式中含的项为， ∴含项的系数是， 故选：A． 模块五 过关检测 1．计算的结果是（ ） A．a B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的混合运算，通过乘法分配律展开并合并同类项化简代数式即可．熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 故选：D． 2．公园里有一块长为米，宽为的长方形草坪，经统一规划后，长减少了1米，宽增加1米，改造后得到一块新的长方形草坪，该草坪面积与原来的相比，面积（   ） A．不变 B．减少 C．增加 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题考查整式的混合运算，结合已知条件列出正确的算式是解题的关键．根据题意列式为，将其计算后比较其结果与0的大小关系即可． 【详解】解： ， 则该草坪面积与原来的相比，面积增大， 故选：C． 3．如图，现有三种不同型号的卡片，其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为、宽为的长方形，型卡片是边长为的正方形，且．现取出1张型卡片，12张型卡片，要再取几张B型卡片，使得所取卡片可以不重叠、无缝隙地拼成一个长方形．那么下列取法错误的是（　　） A．6张 B．7张 C．8张 D．13张 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘法的应用；根据题意有，根据可表示为或或三种形式，则可得到长方形的长为，宽为，或长为，宽为，或长为，宽为，进而可作出判断． 【详解】解：取出1张型卡片，12张型卡片，其面积和为； 而可表示为或或三种形式， 对应地，长方形的长为，宽为，或长为，宽为，或长为，宽为， 此时，，， 则可以取13张或8张或7张B型卡片； 当取6张B型卡片时，其面积为，所取三种卡片不能拼成一个长方形． 故选：A． 4．若，则代数式的值为（    ） A．16 B． C．20 D． 【答案】D 【分析】先将代数式化简，再利用已知条件代入求值. 【详解】∵ , 又∵ , ∴ , ∴ 原式 . 【点睛】本题主要考查了整式混合运算，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键． 5．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查幂的乘方法则，积的乘方法则，合并同类项，掌握各类运算规则是解题关键． 根据幂的乘方法则，积的乘方法则，合并同类项法则，逐一验证每个选项． 【详解】解：选项：根据幂的乘方法则，，正确； 选项：，错误； 选项：，则，错误； 选项：，错误 ． 故选：． 6．对任意相邻两个整式进行如下操作：用左边的整式减去右边的整式，所得的结果放在这两个整式之间，得到一个新的整式串，称其为作差变换．已知两个依次排列的整式为，，对其进行作差变换，则第1次作差变换得到的整式串是，，，对该新的整式串进行第2次作差变换，以此进行下去．下列说法： ①若第2次作差变换新增整式之积不含的一次项，则的值为3； ②当时，若第1次作差变换得到的整式串之积为3，则； ③第28次作差变换得到的整式串之和为． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查整式的加减运算，多项式乘以多项式，数字类规律探究，熟练掌握给定的操作方法，确定规律是解题的关键，根据给定的操作方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：初始整式串为，，整式串之和为； 第1次变换后：，，，整式串之和为； 第2次变换后：，，，，，整式串之和为； 第3次变换后：，，，，，，，，，整式串之和为； ； 故第次变换后整式串之和为； ①若第2次作差变换新增整式之积不含的一次项，则， ∵不含的一次项， ∴，解得；故①正确； ②当时，若第1次作差变换得到的整式串之积为3， 即，整理，得， ∴， ∴；故②正确 ③∵第次变换后整式串之和为； ∴时，整式串之和，③正确 故选：D． 7．如图是某公司的平面结构示意图，用含、的式子表示会议厅比办公区多出的面积为 ．注：（图形中的四边形均是长方形或正方形）． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式以及整式乘法的应用，能够正确列出代数式是解题关键； 先求出会议厅的宽为，然后用会议厅的面积减去办公区的面积，同时对代数式进行化简即可． 【详解】解：会议厅的宽为：， ∴会议厅的面积为：， 办公区的面积为：， ∴会议厅比办公区多出的面积为：． 故答案为： ． 8．已知，求的值 ． 【答案】2026 【分析】本题考查了代数式求值，整式乘法．根据已知等式得出，，然后对所求式子变形，整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ． 故答案为：2026． 9．某班级组织联欢活动布置教室，需要制作出一些边长如图所示的A，B，C三种彩色卡片，其中．最后需要用这些卡片拼出一个边长分别为和的大长方形，那么所准备的C种卡片的张数不能少于 张． 【答案】23 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，根据需要用这些卡片拼出一个边长分别为和的大长方形，得出长方形面积为，再用多项式乘多项式运算法则进行计算，得出长方形面积为，即可得出答案． 【详解】解：∵需要用这些卡片拼出一个边长分别为和的大长方形， ∴长方形的面积为： ， ∴所准备的C种卡片的张数不能少于23张． 故答案为：23． 10．若代数式展开后不含项，求的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查多项式乘多项式，将多项式展开后，合并同类项，令项的系数为零，解方程求． 【详解】解： ， 展开后不含项， ， 解得， 故答案为：2． 11．用图1中的卡片覆盖图2月历上的四个数，记，则与之间的数量关系是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查列代数式，多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，解题的关键是发现日历的特点，设表示的数为，根据日历的特点表示出，再利用整式乘法的运算法则得到，进而得到，即可解答． 【详解】解：设表示的数为，根据日历的特点表示出， ∵， ∴，即， ∴． 故答案为：． 12．我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方的展开式各系数规律（如图），称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）．请依据上述规律，写出展开式中第三项的系数是 ．                                     1                                1  1                       1  2  1               1  3  3  1      1  4  6  4  1               …                               … 【答案】10 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律探索，找出正确的规律是解决本题的关键． 观察可知把看成常数，从左往右数，的第三项的系数为，据此规律求解即可． 【详解】解：由题意得，把b看成常数， ∴从左往右数，的第三项的系数为， 从左往右数，的第三项的系数为， 从左往右数，的第三项的系数为， ……， 以此类推，从左往右数，的第三项的系数为， 而中， 第三项的系数是10， 故答案为：10． 13．计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接利用积的乘方运算法则以及单项式乘单项式运算法则计算得出答案； （2）用单项式乘多项式的每一项即可； （3）运用多项式乘多项式和去括号的法则先计算，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【点睛】此题主要考查了积的乘方运算、单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键． 14．小明计算一道代数式乘法题时，由于将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到． (1)根据上述信息，分别计算出m，n的值． (2)请你计算出这道整式乘法题的正确答案． 【答案】(1)m的值为2，n的值为3． (2) 【分析】（1）先对小明抄错指数后的整式乘法式子，利用同底数幂的乘法法则进行化简，再结合化简结果与已知结果的指数对应相等，列出方程，求解得到、的值； （2）计算正确答案的分析解题思路是：将（1）中求出的、的值代入原式，再利用同底数幂的乘法法则进行整式乘法运算，得到正确结果． 【详解】（1）解：由题意，得 ， 即， 所以解得 所以的值为2，的值为3． （2）解：原式 由（1）可知，， 所以原式． 一题多解法由（1）可知，， 所以原式 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法法则，掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加是解题的关键． 15．对联是中华传统文化的瑰宝．如图所示，对联装裱后卷轴的总宽度为b，总长度为，对联上方留白称为天头，长为，下方留白称为地头，图中天头和地头的长度之比为，左、右两边的边宽均为天头与地头长度之和的． (1)这副对联画心（即图中阴影部分）的纵向长度为________，横向宽度为________；（用含a、b的代数式表示，并将结果化为最简） (2)求这副对联画心（即图中阴影部分）的面积．（用含a、b的代数式表示，并将结果化为最简） 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了列代数式，多项式乘法在几何图形中的应用，正确理解题意表示出这副对联画心（即图中阴影部分）的纵向长度和横向宽度是解题的关键． （1）根据题意求出地头的长，进而可求出左、右两边的边宽，再结合图形可得答案； （2）根据长方形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵天头和地头的长度之比为，且天头长为， ∴地头长为， ∴这副对联画心（即图中阴影部分）的纵向长度为； ∵左、右两边的边宽均为天头与地头长度之和的， ∴这副对联画心（即图中阴影部分）的横向宽度为； （2）解： ， ∴这副对联画心（即图中阴影部分）的面积为． 16．【方法点拨】 在求代数式的值时，遇到这样一类题：“代数式的值与x的取值无关，求a的值”．通常的解题方法是把x、y看作字母，a看作系数，然后合并同类项，即原式．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即，则． 【理解应用】 （1）若关于x的多项式不含项，则________； （2）已知，，且的值与y的取值无关，求x的值； 【拓展延伸】 （3）用7张长为a，宽为b的长方形纸片按照如图所示的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分未被覆盖，设右上角部分的面积为，左下角部分的面积为，当的长发生变化时，的值始终保持不变．请求出a与b之间的数量关系． 【答案】（1）2；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了整式加减运算和化简求值，解题关键是熟练掌握多项式乘以多项式，单项式乘以多项式法则． （1）根据多项式不含项，列出方程解答即可； （2）先求，根据多项式的值与y的取值无关可知：化简后的多项式含有y的项的系数之和为0，列出方程解答即可； （3）观察图形，求出和的面积，则可求出，进而可得到答案． 【详解】解：（1） ∵该多项式不含项， ∴， ∴， 故答案为：2； （2）∵，， ∴ ∵的值与y的取值无关， ∴， ∴； （3）解：设， 依题意，，， ∴， ∵当的长发生变化时，的值始终保持不变， ∴．即． 17．书籍是人类进步的阶梯！为了爱护书籍，人们常用封皮进行包裹．现有一本数学课本（如图1），其长为、宽为、厚为．小军用一张长方形纸（如图2）包好了这本数学书，图中虚线为折痕，阴影部分是裁掉区域，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长（）即为折叠进去的宽度．请解答下列问题：（用含x的代数式表示，并化为最简） (1)图2中这张长方形包书纸（含裁掉区域）的长为______，宽为______； (2)求图2中这张长方形包书纸（含裁掉区域）的总面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了列代数式，多项式乘以多项式与几何图形，明确题意，准确列出代数式是解题的关键． （1）根据题意，列出代数式，即可求解； （2）利用长方形的面积公式得到，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，长为，宽为， 故答案为：，； （2）解：由题意得， 18．下列每组中两数的和为定值，观察它们的积的变化规律，回答下列问题． ①； ②． 【发现规律】 （1）两数的和一定时，两数的差的绝对值越小，则它们的积就越__________；（填“大”或“小”）当两数的差的绝对值为0（即两数相等）时，它们的积最__________；（填“大”或“小”） 【解释规律】 （2）设两数为和，其中为定值，．请你解释以上所发现的规律； 【应用规律】 （3）用长的绳子围成一个长方形，当长方形的两条邻边长各为多少时，长方形的面积最大？最大面积是多少． 【答案】（1）大；大 （2）见解析 （3）当长方形的两条邻边长各为时，面积最大，最大面积为 【分析】本题考查数字规律探索问题． （1）通过观察给定数据，发现和一定时，两数差绝对值越小积越大，差为0时积最大； （2）设两数为和，其和为定值，积为，分析b对积的影响； （3）利用周长固定下长方形面积与边长的关系，结合规律求解． 【详解】（1）解：观察数据：第一组和均为60，差绝对值分别为0，10，26，44，对应积900，875，731，416； 第二组和均为100，差绝对值分别为0，6，48，82，对应积2500，2491，1924，819． 差绝对值越小，积越大；差绝对值为0时积最大． 故答案为：大，大． （2）证明：设两数为和，其中a为定值，， 其和为定值，积为， 两数和为（定值）． 两数积为． ∵ 为定值，， ∴ 当b越小，越大； 当时，积最大． 故规律成立． （3）解：设长方形两条邻边长分别为和． 周长为， ∴ （定值）． 面积． 由规律，当即时，S最大． ∴， ∴． 答：当长方形的两条邻边长各为时，面积最大，最大面积为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $