1.1幂的乘除寒假预习讲义（7知识点+14题型+过关检测） 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

1.1幂的乘除寒假预习讲义 （7知识点+14题型+过关检测） 模块一 题型先知导航 【题型1 同底数幂相乘】 1 【题型2 用科学记数法表示数的乘法】 2 【题型3 幂的乘方】 3 【题型4 幂的乘方的逆用】 3 【题型5 积的乘方】 3 【题型6 同底数幂的除法运算】 4 【题型7 零指数幂】 4 【题型8 负整数指数幂】 4 【题型9 用科学计数法表示绝对值大于1的数】 4 【题型10 用科学计数法表示绝对值小于1的数】 5 【题型11 同底数幂乘法的逆用】 5 【题型12 积的乘方的逆用】 6 【题型13 同底数幂除法的逆用】 6 【题型14 幂的混合运算】 6 模块二 预习目标导航 1.了解同底数幂的乘法的运算性质，能进行相关计算并解决一些实际问题. 2.了解幂的乘方与积的乘方的运算性质，能进行相 关计算，并解决一些实际问题. 3.掌握同底数幂的除法的运算性质，能进行同底数幂的除法运算，并能解决一些实际问题. 4.知道零指数幂和负整数指数幂的意义，了解规定：a⁰=1（）,（,p是正整数）. 模块三 知识点梳理 【知识点1：幂的乘法运算】 口诀：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 am×an=a（m+n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) 【知识点2：幂的乘方运算】 口诀：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 (m,n都为正整数) 【知识点3：积的乘方运算】 口诀：等于将积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 （m,n为正整数） 【知识点4：幂的除法运算】 口诀：同底数幂相除，底数不变，指数相减。 am÷an=a（m-n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) 【知识点5：零指数】 a0=1 (a≠0) 【知识点6：科学记数法】 科学记数法：有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 a´10-n 的形式，其中 n 是正整数，1£ a <10 ，这叫科学记数法． 注：对于一个绝对值小于 1 的数，如果小数点后至第一个非 0 数字前有 m 个 0，则 10d 的指数 n=m+1． 【知识点7：负整数幂】 当n 是正整数时，（，n是正整数） 模块四 题型汇总 【题型1 同底数幂相乘】 【典例1】．若，则的值为（    ） A．2 B．7 C．9 D．14 变式1-1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 变式1-2．若，则 ． 【题型2 用科学记数法表示数的乘法】 【典例2】．卫星绕地球运动的速度（即第一宇宙速度）约是，则卫星绕地球运行走过的路程约是（    ）（结果用科学记数法表示） A． B． C． D． 变式2-1．天文学上计算天体之间的距离常用“光年”作为单位，1光年就是光在真空中沿直线传播一年所经过的距离．光在真空中的速度约为，1年约为，则1光年约为（   ） A． B． C． D． 变式2-2．已知1个水分子的质量约是．如果1滴水的质量约是，那么这滴水中大约有 个水分子（结果用科学记数法表示）． 【题型3 幂的乘方】 【典例3】．计算： ． 变式3-1．嘉淇计算时，写出如下式子：，则a的值为（   ） A．8 B．6 C．3 D．2 变式3-2．计算下列各式，并用幂的形式表示结果． (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【题型4 幂的乘方的逆用】 【典例4】．已知，则（   ） A． B． C． D． 变式4-1．若，，则 ． 变式4-2．计算： （1）已知，则的值是________． （2）若，则________． 【题型5 积的乘方】 【典例5】．计算的结果是（ ） A． B． C． D． 变式5-1．计算： ． 变式5-2．计算： (1) (2) (3) (4) 【题型6 同底数幂的除法运算】 【典例6】．已知，则的值为 ． 变式6-1．计算 ． 变式6-2．下列算式中，结果等于的是（    ） A． B． C． D． 【题型7 零指数幂】 【典例7】．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式7-1．的值为 ． 变式7-2．若等式成立，则的值为 ． 【题型8 负整数指数幂】 【典例8】．计算（    ） A． B．1 C． D． 变式8-1．已知，则的值为 ． 变式8-2．计算： ． 【题型9 用科学计数法表示绝对值大于1的数】 【典例9】．据报道，2025年《哪吒之魔童闹海》（《哪吒2》）在全球影史票房榜上排名第5位，票房达159.08亿元人民币，稳居全球动画电影票房榜首，成为首部登顶该榜单的非好莱坞作品．将159.08亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 变式9-1．焦作市博物馆位于河南焦作市山阳区建设中路72号，属综合性博物馆．于1965年建馆，现为国家二级博物馆、中国博物馆协会会员单位．截至2020年9月，焦作市博物馆占地面积24325平方米，建筑面积10500平方米，焦作市博物馆拥有藏品近三万件，整理上架文物有3315件．1998年2月，焦作市博物馆被确定为河南省优秀爱国主义教育基地；2014年11月，焦作市博物馆被确定为河南省社会科学普及基地；2019年9月，焦作市博物馆被确定为河南省社会科学普及示范基地．截至2022年，焦作市博物馆全部藏品15630件（套），年参观量万人次，其建筑面积用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 变式9-2．中国邮政定于2026年1月5日发行《丙午年》特种邮票，计划发行套票26680000套，将26680000用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 【题型10 用科学计数法表示绝对值小于1的数】 【典例10】．唐代刘禹锡有诗曰：“庭前芍药妖无格，池上芙蕖净少情，唯有牡丹真国色，花开时节动京城．”牡丹花有非常高的观赏价值，某品种的牡丹花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 变式10-1．近期，东江湖国家湿地公园陆续迎来大批越冬候鸟，其中中华秋沙鸭已连续9年来此栖息．科研人员测量发现，其羽毛上某种微生物的平均长度约为米，“”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 变式10-2．“桃之夭夭，灼灼其华．”每年3月，神农山的桃花竞相开放，灿若云霞，芳香四溢，吸引众多游客前来赏花踏春．桃花花粉直径约为米，用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【题型11 同底数幂乘法的逆用】 【典例11】．计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 变式11-1．已知，，则（    ） A．50 B．45 C．11 D．43 变式11-2．计算： ． 【题型12 积的乘方的逆用】 【典例12】．计算：的值为（    ） A． B．6 C． D． 变式12-1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 变式12-2．计算： ． 【题型13 同底数幂除法的逆用】 【典例13】．已知，，则的值（   ） A．18 B．9 C． D． 变式13-1．若，则的值是（   ） A．10 B．12 C．18 D．34 变式13-2．已知，，则 ． 【题型14 幂的混合运算】 【典例14】．若，则 ． 变式14-1．计算： (1)； (2)． 变式14-2．计算： (1)； (2)． 模块五 过关检测 1．已知，则（    ）． A．16 B．25 C．32 D．64 2．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．某科研团队用高分子制备出一种厚度只有200微米的智能变色液晶高分子薄膜．已知1微米米，则“200微米”用科学记数法可表示为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 4．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．若，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 6．已知关于的整式、，，，其中为自然数，，为正整数．下列说法： ①若，则； ②当时，若与次数相同，且互不相等，则满足条件的整式只有1个； ③若为二次三项式，为二次式，则所有满足条件的不同整式的和为． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．已知，，则 ． 8．比较大小： （填“”、“”或“”）． 9．纳米机器人是由纳米尺度部件组装的机器人．在医学领域，它能够在人体内进行药物运输、病毒检测、组织修复等．一个用于药物运输的纳米机器人的长度为0.000000056m，将用科学记数法表示为 ． 10．计算： ． 11．计算： (1) (2) 12．在城区老旧小区改造中，为了提高居民的宜居环境，某小区规划修建一个广场（平面图如图中阴影部分所示）． (1)用含m，n的式子表示广场（阴影部分）的面积S； (2)若米，米，修建每平方米需费用200元，用科学记数法表示修建广场的总费用W的值． 13．在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题，例如：“已知，，求的值．”这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即，所以，所以． 请你也利用逆向思考的方法解决下列问题： (1)若，，求的值； (2)计算：． 14．阅读：已知正整数a、b、c，显然，当同底数时，指数大的幂也大，若对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有，根据上述材料，回答下列问题． (1)比较大小：_______（填写、或）． (2)比较与的大小（写出比较的具体过程）． (3)计算：． 15．【概念学习】我们规定两数之间的一种运算，记作，如果，那么；例如，记作． 【初步探究】 （1）根据以上规定直接写出结果： ； ； 【深入思考】 对于同底数的幂的乘除法运算，我们有，例如． （2）小颖发现也成立，并证明如下： 设，则， 因为，所以， 所以， 仿照以上证明，计算[， ]，写出计算过程； （3）猜想[， ]，并说明理由． 16．著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 【阅读材料】通过学习幂的运算，我们发现： 当m，都是正整数． ①若，当时，；当时，；当时，． ②若，，当时，；当时，；当时，． 【理解知识】例如： ①若，求的值． 解：法一：． 法二：． ②比较与的大小． 解：． 【运用知识】运用上面方法，解决下列问题． (1)若，求的值． (2)比较与的大小． (3)定义两个正数之间的一种运算，记作，如果，那么，例如：．求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1幂的乘除寒假预习讲义 （7知识点+14题型+过关检测） 模块一 题型先知导航 【题型1 同底数幂相乘】 1 【题型2 用科学记数法表示数的乘法】 3 【题型3 幂的乘方】 4 【题型4 幂的乘方的逆用】 6 【题型5 积的乘方】 7 【题型6 同底数幂的除法运算】 9 【题型7 零指数幂】 10 【题型8 负整数指数幂】 11 【题型9 用科学计数法表示绝对值大于1的数】 12 【题型10 用科学计数法表示绝对值小于1的数】 13 【题型11 同底数幂乘法的逆用】 14 【题型12 积的乘方的逆用】 16 【题型13 同底数幂除法的逆用】 17 【题型14 幂的混合运算】 18 模块二 预习目标导航 1.了解同底数幂的乘法的运算性质，能进行相关计算并解决一些实际问题. 2.了解幂的乘方与积的乘方的运算性质，能进行相 关计算，并解决一些实际问题. 3.掌握同底数幂的除法的运算性质，能进行同底数幂的除法运算，并能解决一些实际问题. 4.知道零指数幂和负整数指数幂的意义，了解规定：a⁰=1（）,（,p是正整数）. 模块三 知识点梳理 【知识点1：幂的乘法运算】 口诀：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 am×an=a（m+n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) 【知识点2：幂的乘方运算】 口诀：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 (m,n都为正整数) 【知识点3：积的乘方运算】 口诀：等于将积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 （m,n为正整数） 【知识点4：幂的除法运算】 口诀：同底数幂相除，底数不变，指数相减。 am÷an=a（m-n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) 【知识点5：零指数】 a0=1 (a≠0) 【知识点6：科学记数法】 科学记数法：有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 a´10-n 的形式，其中 n 是正整数，1£ a <10 ，这叫科学记数法． 注：对于一个绝对值小于 1 的数，如果小数点后至第一个非 0 数字前有 m 个 0，则 10d 的指数 n=m+1． 【知识点7：负整数幂】 当n 是正整数时，（，n是正整数） 模块四 题型汇总 【题型1 同底数幂相乘】 【典例1】．若，则的值为（    ） A．2 B．7 C．9 D．14 【答案】C 【分析】本题考查同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法法则是计算的关键． 根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加． 【详解】解：∵ ，且 ， ∴ ． 故选：C． 变式1-1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加． 本题主要考查了同底数幂乘法的运算法则，掌握运算法则是解答本题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴ ． 故选：B． 变式1-2．若，则 ． 【答案】81 【分析】本题考查同底数幂的运算，熟练掌握幂运算的法则是关键． 利用同底数幂相乘的法则，将指数相加，再代入已知条件计算． 【详解】解：根据同底数幂的乘法法则，， ∵ ， ∴． 故答案为：81． 【题型2 用科学记数法表示数的乘法】 【典例2】．卫星绕地球运动的速度（即第一宇宙速度）约是，则卫星绕地球运行走过的路程约是（    ）（结果用科学记数法表示） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同． 【详解】解：． 故选：B． 变式2-1．天文学上计算天体之间的距离常用“光年”作为单位，1光年就是光在真空中沿直线传播一年所经过的距离．光在真空中的速度约为，1年约为，则1光年约为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了科学记数法的乘法运算，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键．根据路程速度时间的公式，代入光速和时间的数值，利用同底数幂的乘法法则计算1光年的距离，再选择正确选项． 【详解】解：1光年约为 （）， 故选：B． 变式2-2．已知1个水分子的质量约是．如果1滴水的质量约是，那么这滴水中大约有 个水分子（结果用科学记数法表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查科学记数法，读懂题意是解题的关键． 根据题意，水分子的数量等于一滴水的质量除以一个水分子的质量，利用科学记数法的除法法则进行计算． 【详解】解：一滴水的质量为，一个水分子的质量为，则水分子的数量为：． 故答案为：． 【题型3 幂的乘方】 【典例3】．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方．应用幂的乘方法则，底数不变，指数相乘． 【详解】解：． 故答案为：． 变式3-1．嘉淇计算时，写出如下式子：，则a的值为（   ） A．8 B．6 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘法，掌握相关知识是解决问题的关键．幂的乘方运算为底数不变指数相乘，同底数幂相乘为底数不变指数相加． 【详解】解：， 即， ∴． 故选：B． 变式3-2．计算下列各式，并用幂的形式表示结果． (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了幂的乘方运算，根据幂的乘方运算法则：底数不变，指数相乘，逐个计算即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【题型4 幂的乘方的逆用】 【典例4】．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了幂的运算法则，包括幂的乘方与同底数幂的乘法，同底数幂乘方的逆运算，将已知条件转化为以2为底的指数形式，利用指数运算法则求解． 【详解】解：∵， ∴． ∵，且， ∴ ， ∴． ∴， 故选A． 变式4-1．若，，则 ． 【答案】72 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法和幂的乘方，解题关键是熟练掌握同底数幂的乘法和幂的乘方法则． 先根据已知条件，将所求表达式分解为已知指数的乘积形式，再代入数值计算． 【详解】解：，， ，， ． 故答案为：． 变式4-2．计算： （1）已知，则的值是________． （2）若，则________． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方与同底数幂的乘法法则，掌握将不同底数的幂转化为同底数幂，再结合已知条件整体代入求值是解题的关键． （1）利用指数运算性质，将表示为的平方，再求值； （2）将化为的立方，利用同底数幂相乘的法则，结合已知条件求值． 【详解】解：（1）， ， ，即． 故答案为：． （2）， ， ， ，即． 故答案为：． 【题型5 积的乘方】 【典例5】．计算的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查积的乘方运算． 根据积的乘方运算法则直接计算即可． 【详解】解：． 故选：A． 变式5-1．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方，掌握这两个运算法则是关键；先计算积的乘方，再计算幂的乘方即可． 【详解】解：， 故答案为：． 变式5-2．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了幂的乘方、积的乘方及同底数幂的乘法运算，解题的关键是熟练掌握幂的运算性质并正确应用符号法则． （1）先根据幂的乘方计算，再依据同底数幂乘法计算乘积． （2）分别用幂的乘方计算、积的乘方计算，再通过同底数幂乘法合并结果． （3）分别用幂的乘方计算，再进行同底数幂乘法运算． （4）分别用积的乘方计算，最后合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【题型6 同底数幂的除法运算】 【典例6】．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的除法法则．利用同底数幂的除法法则，将指数相减转化为幂的除法，再代入已知值计算 【详解】解：∵ ∴． 故答案为：． 变式6-1．计算 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂的除法运算，（其中 ），据此求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 变式6-2．下列算式中，结果等于的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘除法以及幂的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键，根据相关运算法则，逐一进行判断即可． 【详解】∵ A： ，故选项不符合； B： ，故选项符合； C： ，故选项不符合； D： ，故选项不符合； 故选：B． 【题型7 零指数幂】 【典例7】．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是零指数幂，熟知非零数的零次幂等于1是解题的关键．根据零指数幂的运算法则进行计算即可． 【详解】解：， ， 解得． 故选：B． 变式7-1．的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查零指数幂，根据零指数幂的法则，任何非零实数的零次幂都等于1，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：1． 变式7-2．若等式成立，则的值为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了零指数幂以及乘方运算，掌握相关运算法则是解题关键，注意分类讨论．根据零指数幂的性质，乘方的运算法则分类讨论求解即可． 【详解】解：①当时，解得：， ∴ 此时，符合题意； ②当时，解得：， ∴， 此时，符合题意； ③当时，解得：， ∴， 此时，符合题意； 综上可知，x的值为或或． 故答案为：或或． 【题型8 负整数指数幂】 【典例8】．计算（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了负整数指数化简．熟练掌握负整数指数的意义性质，是解题的关键． 利用负指数法则，将表达式转化为正指数的倒数形式，然后计算平方. 【详解】解：∵ ， 又∵ ， ∴ . 故选：A． 变式8-1．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，负整数指数幂，利用同底数幂相乘的法则，将原式转化为以2为底的指数形式，再根据已知条件求出指数值，最后计算负整数指数幂． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 变式8-2．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方及负整数幂，先计算积的乘方，再利用负整数幂的运算法则化简即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【题型9 用科学计数法表示绝对值大于1的数】 【典例9】．据报道，2025年《哪吒之魔童闹海》（《哪吒2》）在全球影史票房榜上排名第5位，票房达159.08亿元人民币，稳居全球动画电影票房榜首，成为首部登顶该榜单的非好莱坞作品．将159.08亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键是要正确确定a的值以及n的值． 将159.08亿转换为科学记数法，需先理解亿表示，然后调整数字部分使其满足． 【详解】解：∵159.08亿，且， ∴． 故选：B． 变式9-1．焦作市博物馆位于河南焦作市山阳区建设中路72号，属综合性博物馆．于1965年建馆，现为国家二级博物馆、中国博物馆协会会员单位．截至2020年9月，焦作市博物馆占地面积24325平方米，建筑面积10500平方米，焦作市博物馆拥有藏品近三万件，整理上架文物有3315件．1998年2月，焦作市博物馆被确定为河南省优秀爱国主义教育基地；2014年11月，焦作市博物馆被确定为河南省社会科学普及基地；2019年9月，焦作市博物馆被确定为河南省社会科学普及示范基地．截至2022年，焦作市博物馆全部藏品15630件（套），年参观量万人次，其建筑面积用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 根据科学记数法的定义作答即可． 【详解】解：． 故选：B． 变式9-2．中国邮政定于2026年1月5日发行《丙午年》特种邮票，计划发行套票26680000套，将26680000用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：将26680000用科学记数法表示应为， 故选：A． 【题型10 用科学计数法表示绝对值小于1的数】 【典例10】．唐代刘禹锡有诗曰：“庭前芍药妖无格，池上芙蕖净少情，唯有牡丹真国色，花开时节动京城．”牡丹花有非常高的观赏价值，某品种的牡丹花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，掌握科学记数法的表示形式是解题的关键． 科学记数法表示形式为，其中，为整数.对于小于的数，为负整数，其绝对值等于小数点向右移动的位数． 【详解】解：∵的小数点向右移动位得到， 且满足， ∴， 故选B. 变式10-1．近期，东江湖国家湿地公园陆续迎来大批越冬候鸟，其中中华秋沙鸭已连续9年来此栖息．科研人员测量发现，其羽毛上某种微生物的平均长度约为米，“”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）． 根据科学记数法的表示方法作答即可． 【详解】解：∵移动小数点5位后得到，且满足， ∴． 故选：A． 变式10-2．“桃之夭夭，灼灼其华．”每年3月，神农山的桃花竞相开放，灿若云霞，芳香四溢，吸引众多游客前来赏花踏春．桃花花粉直径约为米，用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）． 【详解】解：． 故选：B． 【题型11 同底数幂乘法的逆用】 【典例11】．计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、积的乘方，逆用同底数幂的乘法和积的乘方运算法则是解题的关键．将化为分数形式，再逆用同底数幂的乘法和积的乘方运算法则简便计算即可． 【详解】解： ， 故选：A． 变式11-1．已知，，则（    ） A．50 B．45 C．11 D．43 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用以及幂的乘方的逆用，解题的关键是熟练掌握运算法则． 由于，所以分解为，再代入计算即可． 【详解】解：，， ． 故选B． 变式11-2．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查积的乘方的逆运算，通过指数分解和结合简化计算． 【详解】解： ． 故答案为：． 【题型12 积的乘方的逆用】 【典例12】．计算：的值为（    ） A． B．6 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查积的乘方逆运算，解题的关键是逆用积的乘方公式，根据积的乘方公式，将原式转化为进行计算． 【详解】解： ， 故选：C． 变式12-1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了积的乘方的逆运算，同底数幂的乘法的逆运算，先把原式变形为，进一步可变形为，据此求解即可． 【详解】解： ， 故选：B． 变式12-2．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方逆用、零指数幂，先将化为，再根据积的乘方逆用和零指数幂运算，然后运算减法计算． 【详解】解：， 故答案为：． 【题型13 同底数幂除法的逆用】 【典例13】．已知，，则的值（   ） A．18 B．9 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂相除和幂的乘方法则，逆用同底数幂相除和幂的乘方法则将变形为，然后把已知整体代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故选：C． 变式13-1．若，则的值是（   ） A．10 B．12 C．18 D．34 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方和同底数幂除法的逆用； 利用指数运算的性质，将所求表达式分解为已知指数的形式，再代入数值计算． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 变式13-2．已知，，则 ． 【答案】3 【分析】此题考查了同底数幂的除法和幂的乘方的逆运算，根据同底数幂的除法和幂的乘方的逆运算法则求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：3． 【题型14 幂的混合运算】 【典例14】．若，则 ． 【答案】 【分析】主要考查幂的混合运算，负整数指数幂，熟练掌握同底数幂的乘法法则和除法法则是解题的关键． 先运算，再化简方程，推出，代入即可求解． 【详解】解：∵， 又∵， ∴． 将代入得：． 故答案为：． 变式14-1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方法则，绝对值的性质计算后再算乘法，最后算加减即可； （2）利用幂的乘方与积的乘方法则，同底数幂乘法及除法法则计算后再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式14-2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方、零指数幂、负整数指数幂、有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据零指数幂法则、负整数指数幂法则、有理数的混合运算法则进行解题即可； （2）根据同底数幂的乘除法法则，幂的乘方与积的乘方法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 模块五 过关检测 1．已知，则（    ）． A．16 B．25 C．32 D．64 【答案】C 【分析】本题考查同底数幂的运算，掌握好幂运算的法则是解题关键． 按照幂运算的法则，先将转化为，与合并后，将代数式整体代入即可． 【详解】解：， ∵， ∴原式． 故选：C． 2．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了负整数指数幂，零指数幂和乘方运算，分别计算 a、b、c 的值，然后比较大小即可． 【详解】解：， ∵， ∴， 故选：C． 3．某科研团队用高分子制备出一种厚度只有200微米的智能变色液晶高分子薄膜．已知1微米米，则“200微米”用科学记数法可表示为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 根据1微米米，将200微米转换为米，再利用科学记数法表示即可． 【详解】解：∵1微米米米， ∴200微米米米米； 故选：D． 4．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法、积的乘方、合并同类项等知识点．运用合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A、，故该选项符合题意； B、和不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：A． 5．若，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的大小比较，零次幂，负整数指数幂，解题的关键是先计算出和的值．先根据零次幂和负整数指数幂的计算法则，计算出和的值，然后比较大小即可． 【详解】解：，，， ． 故选： B． 6．已知关于的整式、，，，其中为自然数，，为正整数．下列说法： ①若，则； ②当时，若与次数相同，且互不相等，则满足条件的整式只有1个； ③若为二次三项式，为二次式，则所有满足条件的不同整式的和为． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了整式加减的应用、多项式的项数与次数、零指数幂，理解题意是解题的关键． 若，则这三个自然数中有1个为1，2个为0，结合题意可知为正整数，则，，据此列举出所表示的整式，可判断①；当时，的次数为10，则的次数为10，即这11个自然数的最大值为10，根据互不相等，可知为，得出所表示的整式，可判断②；根据为二次三项式，为二次式，可知，，，且这3个自然数的最大值为2，据此列举出所表示的不同整式，再根据整式的加减运算可判断③，即可得出结论． 【详解】解：①若，则这三个自然数中有1个为1，2个为0， 由题意得，为正整数， ∴，， ∴，故①正确； ②当时，的次数为10， ∵与次数相同， ∴的次数为10，即这11个自然数的最大值为10， 又∵互不相等， ∴为， ∴整式为， ∴满足条件的整式只有1个，故②正确； ③∵为二次三项式，为二次式， ∴，，，且这3个自然数的最大值为2， 当这3个自然数中有1个为1，2个为2，则； 当这3个自然数中有2个为1，1个为2，则； 当这3个自然数全都为2，则； ∴所有满足条件的不同整式的和为，故③正确； 综上，正确的个数是3个． 故选：D． 7．已知，，则 ． 【答案】 71 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法和除法的逆用， 利用指数运算法则，将所求表达式分解为已知值的组合，然后代入计算． 【详解】解：因为，， 所以，， 所以． 故答案为：71． 8．比较大小： （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】根据负整数指数幂和零指数幂的运算法则，分别计算两个式子的值，再比较大小即可． 本题主要考查了负整数指数幂和零指数幂，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵，， 又∵， ∴． 故答案为：． 9．纳米机器人是由纳米尺度部件组装的机器人．在医学领域，它能够在人体内进行药物运输、病毒检测、组织修复等．一个用于药物运输的纳米机器人的长度为0.000000056m，将用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值小于1的数的科学记数法，按照左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，确定这两个关键要素是解题的关键． 先确定左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，写成的形式即可． 【详解】解：∵， 故答案为：． 10．计算： ． 【答案】3 【分析】本题考查了零指数幂和负整数指数幂的运算．先化简零指数幂和负整数指数幂，再运算加法，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：3． 11．计算： (1) (2) 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查了0指数幂、负整数指数幂、幂的乘方、幂积的乘方、同底数幂的乘除等知识，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． （1）先计算有理数的乘方、0指数幂和负整数指数幂的运算，再计算加减即可； （2）先计算幂的乘方，再进行同底数幂的乘除运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．在城区老旧小区改造中，为了提高居民的宜居环境，某小区规划修建一个广场（平面图如图中阴影部分所示）． (1)用含m，n的式子表示广场（阴影部分）的面积S； (2)若米，米，修建每平方米需费用200元，用科学记数法表示修建广场的总费用W的值． 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查列代数式，代数式求值，正确的列出代数式是解题的关键： （1）利用分割法，求出图形的面积即可； （2）把米，米代入（1）中代数式，求出总面积，再乘以单价，求出总费用，然后用科学记数法进行表示即可． 【详解】（1）解：； （2）当米，米， ， ∴（元）． 13．在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题，例如：“已知，，求的值．”这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即，所以，所以． 请你也利用逆向思考的方法解决下列问题： (1)若，，求的值； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，变形计算即可； （2）逆向应用积的乘方解答即可． 本题考查了公式的逆向应用，熟练掌握公式是解题的关键 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴． （2）解： ． 14．阅读：已知正整数a、b、c，显然，当同底数时，指数大的幂也大，若对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有，根据上述材料，回答下列问题． (1)比较大小：_______（填写、或）． (2)比较与的大小（写出比较的具体过程）． (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查积的乘方的逆运算、幂的大小的比较以及有理数的混合运算等知识，解答的关键是熟练掌握相关的运算法则． （1）根据“对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有”比较大小即可； （2）将与化为指数相同的幂，然后再根据“当同指数时，底数大的幂也大”即可进行比较大小； （3）首先将和化为指数相同的幂，将和也化为指数相同的幂，再根据积的乘方逆运算进行运算，然后进行减法运算即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意，对于同指数，不同底数的两个幂和， 当时，则有， ∴． 故答案为：； （2）解：∵，， 又∵， ∴； （3）原式 ． 15．【概念学习】我们规定两数之间的一种运算，记作，如果，那么；例如，记作． 【初步探究】 （1）根据以上规定直接写出结果： ； ； 【深入思考】 对于同底数的幂的乘除法运算，我们有，例如． （2）小颖发现也成立，并证明如下： 设，则， 因为，所以， 所以， 仿照以上证明，计算[， ]，写出计算过程； （3）猜想[， ]，并说明理由． 【答案】（1）3，4；（2）24，见解析；（3）6，理由见解析 【分析】本题主要考查同底数幂的乘除法，熟练掌握同底数幂的乘除法及题意是解题的关键； （1）根据题中所给新定义可直接进行求解； （2）设，，则，，然后根据同底数的乘法可进行求解； （3）设，，则，，进而根据新定义运算及同底数幂的除法可进行求解． 【详解】解：（1）∵， ∴； 故答案为：3，4； （2）设，，则，， ∵， ∴， ∴； （3），理由如下： 设，，则，， ∵， ∴， ∴． 16．著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 【阅读材料】通过学习幂的运算，我们发现： 当m，都是正整数． ①若，当时，；当时，；当时，． ②若，，当时，；当时，；当时，． 【理解知识】例如： ①若，求的值． 解：法一：． 法二：． ②比较与的大小． 解：． 【运用知识】运用上面方法，解决下列问题． (1)若，求的值． (2)比较与的大小． (3)定义两个正数之间的一种运算，记作，如果，那么，例如：．求的值． 【答案】(1)3 (2)相等 (3)4 【分析】本题考查了幂的运算，涉及幂的乘方运算，同底数幂的乘法和除法运算等知识点． （1）先由幂的乘方得到，再由同底数幂的乘法运算法则得到，则，解方程即可； （2）将化为，再由幂的乘方化简比较即可； （3）设，则，设，则，再根据通过幂的运算性质推导求值． 【详解】（1）解： ， 解得； （2）解：，故相等； （3）解：设，则， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 所以，即． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $